20/09/28 18:53:34.40 83snEsGr.net
>>695
>テンソルと外積とはちょっと違うんだよね
テンソルとはテンソル積のことだと思ってる？
ちょっとどころか、全然、違うんだよね
定義、確認しような
テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「V ⊗ W の元のうち v ⊗ w の形に書けるものは、
基本テンソルあるいは単純テンソルと呼ばれる。
一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、
それらの有限線型結合も含まれる。
例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき
v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 は単純テンソルに書くことはできない。
テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、
テンソルの階数という（テンソルの次数と混同してはならない）。
線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、
テンソルの階数は行列の階数の概念に一致する。」
例えば正則行列は決して２つのベクトルのテンソル積で表せない
証明は簡単だから自分でやってみな
798:１３２人目の素数さん
20/09/28 19:04:11.15 83snEsGr.net
外積は流行じゃなく数学の常識
外積を知らずに外微分形式の理解は不可能
799:１３２人目の素数さん
20/09/28 19:13:57.40 83snEsGr.net
>>696
>>岩堀長慶の
>>「対称群と一般線型群の表現論」
>古すぎると思うよ
ワイルの「古典群」よりは新しいだろう
今なら岡田聡一の「古典群の表現論と組合せ論」か
フルトンの「ヤング・タブロー」を読んだほうがいい
・・・とかいっぱしの口を叩きたいんだろうが、
テンソルすら理解できない人には
どれもこれも読んでも分からんから
もしうっかり買ってしまったなら
即刻古本屋に叩き売ったほうがいい
その金でもっと有意義なものを買いな
別に＊ー＊ランドとかいかなくていいから
800:現代数学の系譜 雑談
20/09/28 22:05:14.44 EmW1PHnn.net
>>697
(引用開始)
定義、確認しような
テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(引用終り)
おサルさ、おまえ、そのwikipedia テンソルから、
テンソルの定義を抜き出せてないじゃんかｗｗｗ（＾＾；
誤魔化せたつもりかい？ｗｗｗ
自分が、テンソルを理解できてないからさ
どこを抜き出したら良いか分かってないってこと
丸分かりだぜｗｗｗｗｗ（＾＾
801:現代数学の系譜 雑談
20/09/28 22:56:04.09 EmW1PHnn.net
>>700
おサルのバカ踊りも見飽きたから、答えを書いていくよ
まず、下記のid:mathcommunicationさん、”テンソルがなかなか理解されない３つの理由”抜群に良いね～（＾＾
・注 ”*2:自分も学生の頃、随分悩まされました。”
は、私も全く同じです。「随分悩まされました」（＾＾；
・注 ”*3:数学者は元来、略、そうした背景から教育の場面でも独力で正しい理解に到達することを相当程度要求されます。（
802:自分もそうやって鍛えられました。）その意味で本質的に数学者はサービス精神とは無縁の生き物です。” は、この人数学科らしいね（＾＾； 参考 https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/01/22/220236 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ 理論と実践の狭間で漂流する数学趣味人の記録 2017-01-22 id:mathcommunication テンソルがなかなか理解されない３つの理由 数学一般 (抜粋) 大学の理学部（数物系）、工学部などの出身者であれば、テンソルという言葉を少なくても１度は耳にしたことがあると思います。重要な概念にも関わらず、どうしてテンソルは理解されないのか、その原因について考えてみたいと思います。 いろいろなテンソル テンソルと最初に出会うのは、全学共通科目（昔でいう教養科目）の力学に登場する慣性モーメントテンソルあたりでしょう。専門学部（理学部の物理学科や工学部）に進むと、電磁気学の電磁場テンソル、連続体力学や構造力学の応力テンソル、一般相対論のアインシュタインテンソル、場の量子論のボソンフォック空間やフェルミオンフォック空間と至る所に登場します。数学では代数学、幾何学、解析学、分野を問わず登場します。統計学でも多次元の確率変数のモーメント*1を定義するのに必要となります。また最近では機械学習の分野でも見かけるようになりました。 このように八面六臂の大活躍をするテンソルですが、理解するのに難渋するユーザー泣かせの概念としても有名です*2。その原因は主に３つあるように思われます。 つづく
803:現代数学の系譜 雑談
20/09/28 22:57:35.99 EmW1PHnn.net
>>701
つづき
原因１：複数の定義が存在する
原因の一つ目は（見かけ上）定義が複数存在することが挙げられます。現在、書店で購入できる書籍やネット上の講義資料で見られる定義で主なものは次の３つです。
1.基底の取り換えに伴う成分の変換規則によるもの、
2.多重線型汎関数によるもの、
3.普遍性によるもの。
定義１は物理（連続体力学・一般相対論など）や工学等で良く使われている定義、定義２は主に微分幾何学や一部のベクトル（テンソル）解析の書籍で見かける定義、定義３は代数学やそれらの概念を使う分野で見られる定義です。
これらの定義の関係ですが、もっとも一般的なものは定義３で、定義２は定義３で与えられるものの具体的な表現の１つ、定義１は定義２または定義３で与えられるものについて２通りの成分表示をしたときに、それらの間に成立していなければならない関係式、というようになっています。
それぞれの定義にはメリットとデメリットがあります。
まず定義１ですが、あまり深く考えず目先の計算を機械的に実行することができる一方、テンソルの実体については一切言及せず、見かけの量である成分しか登場しません。当然、計算は出来ても何をしているのか意味はさっぱり分からないことから、誠実なユーザーほど「テンソルとは何なのか？」という根本的な疑問に苛まされることになります。また「２階のテンソルは行列」や「一般のテンソルは多次元配列」という誤解を生みやすいということもデメリットの一つです。
定義２は、テンソルの実体についてある程度は言及できるのですが、双対空間上で定義された多重線形汎関数としてテンソルを実現しなければならないことから「なぜ双対空間を考えなければならないのか？」という新たな疑問を抱えることになり、こちらも本質的な解決にはなりません。
つづく
804:現代数学の系譜 雑談
20/09/28 22:58:32.94 EmW1PHnn.net
>>702
つづき
最後に定義３ですが、テンソルの実体について最も�
805:ｾ確かつシンプルに記述している優れた定義なのですが、見た目の抽象度の高さの為か、その定義がいったい何を言わんとしているのか趣旨を掴みかね、結局、多くの人は理解することを諦めてしまいます。ここで数学者が、その定義でどういった事象を汲み取ろうとしているのかを分かり易い言葉で解説してくれれば良いのですが、残念ながらそうしたサービス精神を持っている数学者はそう多くはありません*3。 原因２：テンソル解析との関係 テンソルが使われる重要な応用分野としてテンソル解析があります。テンソルはそれ単独として説明されることは少なく、テンソル解析やその応用分野の中で説明されることが殆どです。そうした文脈でテンソルが説明される際、偏微分や \(dx\) といった記号が使われるのを良く目にします。しかしこれはテンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり、テンソルの説明としては明らかに不適切なものです*4。テンソルは純粋に代数的な概念であり、微分演算とは全く関係ありません。 原因３：理解に必要なポイントを押さえた情報を見つけることが難しい テンソルを理解するために必要なポイントは「テンソルとは何で、なぜテンソルという概念が必要となるのか、その必然性」です。残念なことに殆どの書籍が「テンソルとは何で」という点についてすら満足に説明することが出来ていない状況では、テンソルに対する理解が進むはずもありません。 今回はテンソルの概念を取り巻く（あまり好ましくない）状況について見てきましたが、こうした状況を少しでも改善するために、テンソルについては稿を改めて解説したいと思います。 17/02/11追記：テンソルについての解説を以下で行っていますので、併せてお読みいただければと思います。 https://mathcommunication.ハテナブログ/entry/2017/02/05/193426 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ id:mathcommunication テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか 今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。 2017-02-05 19:34 つづく
806:現代数学の系譜 雑談
20/09/28 22:59:10.08 EmW1PHnn.net
>>703
つづき
注
*1:ここでいうモーメントとは確率変数のべき乗の期待値のことで、先述の慣性モーメントとは別物です。
*2:自分も学生の頃、随分悩まされました。
*3:数学者は元来、（基本的な学術上の価値観については他者と共有してはいるものの）内的動機に基づき自分の世界を突き詰めなければならない人達であり、そうした背景から教育の場面でも独力で正しい理解に到達することを相当程度要求されます。（自分もそうやって鍛えられました。）その意味で本質的に数学者はサービス精神とは無縁の生き物です。
*4:現代的な視点で述べれば、多様体上の微分積分法において「底空間＝接空間」としたものがベクトル解析やテンソル解析である、ということになるのですが、この「底空間＝接空間」という性質がテンソルとテンソル場の話をごちゃごちゃにしてしまう原因になっています。当然、多様体上の微分積分法ではそうした事象は起こることはありません。
(引用終り)
以上
807:現代数学の系譜 雑談
20/09/28 23:00:24.80 EmW1PHnn.net
残りは、また後でね（＾＾；
808:１３２人目の素数さん
20/09/28 23:11:27.05 f21IK4+Y.net
答えを書いていくよ（コピペ）
809:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:10:15.44 3gGgCYQz.net
>>700
誤
「おまえ、そのwikipedia テンソルから、
テンソルの定義を抜き出せてないじゃんか」
「自分が、テンソルを理解できてないからさ
どこを抜き出したら良いか分かってないってこと
丸分かりだぜ」
正
「おれ、そのwikipedia テンソルの定義読んでも
なにがなんだか、チンプンカンプンなんだよな」
「自分が、テンソルを理解できないからさ
どこを読んでも分からないってこと
恥ずかしいけど告白するぜ」
自分の無理解に素直になれよ、◆yH25M02vWFhP
810:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:13:30.45 3gGgCYQz.net
>>701
誤 「バカ踊りも見飽きたから、答えを書いていくよ」
正 「誰も教えてくれないから 俺がテンソルを理解できない理由を書いていくよ」
自分の無理解に素直になれよ、◆yH25M02vWFhP
811:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:17:16.96 3gGgCYQz.net
>>702
（テンソルが理解できない理由）
＞原因１：複数の定義が存在する
定義は一つである必要はないな
実数の定義もそう デデキントの切断もカントルの基本列も有効
複数の定義が存在しても、それぞれが同値であることを確認すればいい
アタマの悪いヤツは、そもそも考えたがらないから
複数の定義が存在した場合、自分で同値性を確認する面倒を厭う
悪いが、そんな態度では数学は決して理解できないから諦めろ
812:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:2
813:5:50.01 ID:3gGgCYQz.net
814:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:34:01.41 3gGgCYQz.net
>>702
＞（定義2）多重線型汎関数によるもの
＞定義２は主に微分幾何学や一部のベクトル（テンソル）解析の書籍で見かける定義
＞定義２は、テンソルの実体についてある程度は言及できるのですが、
＞双対空間上で定義された多重線形汎関数として
＞テンソルを実現しなければならないことから
＞「なぜ双対空間を考えなければならないのか？」
＞という新たな疑問を抱えることになり、
＞こちらも本質的な解決にはなりません。
テンソル＝多重線型汎関数、という定義は
単に定義１の「座標変換による関係式の羅列」という
冗長な定義をコンパクトに圧縮するための抽象化
であり、いわば便宜である
（数学における抽象化の意図はズバリそこにある）
双対空間を考えるのも
「そのほうがうまく定義できるから」
という以上の理由はない
宗教じゃないから、理由など考えるだけ無駄である
もし悟りが得られるとすれば
「数学の対象には、一般人が考えるナイーブな意味などない」
ということか
（これは、数学の対象が無意味であることを意味しない）
815:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:45:53.45 3gGgCYQz.net
>>703
＞（定義3）普遍性によるもの。
＞定義３は代数学やそれらの概念を使う分野で見られる定義
＞最後に定義３ですが、テンソルの実体について
＞最も明確かつシンプルに記述している優れた定義なのですが、
＞見た目の抽象度の高さの為か、
＞その定義がいったい何を言わんとしているのか趣旨を掴みかね、
＞結局、多くの人は理解することを諦めてしまいます。
そりゃそうだろ
代数屋以外、ありがたがらないからな
幾何屋や解析屋が、定義２で十分と考えてるのはそこ
代数屋は、自分の研究対象にどうテンソルを用いるか考えてるから
可能な限り抽象化して、使える状況を増やしたほうがいい
テンソルの実体とはまさにそうした抽象化の結晶であって
なにか具体的な意味があると考えるのは全く逆向きなのである
＞ここで数学者が、その定義でどういった事象を汲み取ろうとしているのかを
＞分かり易い言葉で解説してくれれば良いのですが、
＞残念ながらそうしたサービス精神を持っている数学者はそう多くはありません。
数学者は数学を作る人であって、数学以外の学問に対して数学を使う人ではない。
つまり、テンソルをどう使おうが、ユーザーの勝手なのであって、
むしろ物理や工学の対象のどこにテンソル性を見出すかは、
数学屋ではなく物理屋、工学屋の考えることなのである
数学ユーザーにとって普遍性による定義なんてハナクソほどの価値もなく
「座標変換にともなう計算式」という泥臭い規則のほうが
実際的にははるかに有用 どうせやるのは数学の理論構築ではなく計算なんだから
816:１３２人目の素数さん
20/09/29 06:53:33.11 3gGgCYQz.net
>>703
＞原因２：テンソル解析との関係
＞テンソルが使われる重要な応用分野としてテンソル解析があります。
＞テンソルはそれ単独として説明されることは少なく、
＞テンソル解析やその応用分野の中で説明されることが殆どです。
＞そうした文脈でテンソルが説明される際、偏微分や (dx) といった記号が
＞使われるのを良く目にします。
＞しかしこれはテンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり、
＞テンソルの説明としては明らかに不適切なものです。
＞テンソルは純粋に代数的な概念であり、微分演算とは全く関係ありません。
然り
しかし、物理屋や工学屋が純然たるテンソルを考えることはまずない
大体テンソル場と相場が決まっている（AIについては知らないので除外）
どうせ、代数演算としての外積だけでは話は終わらず、
（外）微分形式だの外微分だのが必要になる
つまるところストークスの定理（グリーンの定理、ガウスの発散定理を含む）を
理解しなければ仕事にならないのだから
ただ、AIなどで、「場ぬきのテンソル」を用いたいというのであれば
今度、そういう目的に即した教科書は出来るだろう
ただ、それを書くのは数学者ではないだろうし、
そういう教科書に「普遍性による定義」を書いても
無意味だと思われる
読むのは工学屋だし、代数には興味も理解もないだろう
圏論なんて死ぬまで無縁な人達に過度な抽象化を教えてもブタに真珠
817:１３２人目の素数さん
20/09/29 07:00:21.22 3gGgCYQz.net
>>703
＞原因３：理解に必要なポイントを押さえた情報を見つけることが難しい
＞テンソルを理解するために必要なポイントは
＞「テンソルとは何で、なぜテンソルという概念が必要となるのか、その必然性」
＞です。
＞残念なことに殆どの書籍が「テンソルとは何で」という点についてすら
＞満足に説明することが出来ていない状況では、
＞テンソルに対する理解が進むはずもありません。
そもそも問�
818:ｪ間違ってる 「テンソルとは何（what）か？」 「なぜ（why）テンソルという概念が必要となるのか？」 それは自分の研究対象に訊いてくれ、としか言いようがない 数学が提供できる答えはこれしかない 「テンソルをどう（How)扱えばいいか？」 その答えが定義１であり定義２である 定義３はそれらを「数学的に」導くための糸でしかない 結局計算に必要なのは定義１の関係式であり 関係式をまるまる覚えるのは面倒だから 定義２で圧縮しとけば記憶容量が大幅に減ってお得 ただ、定義２すらケチって定義３にすがるのは大して意味がない
819:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:21:21.76 xc6bep5/.net
先に参考資料を貼るよ（＾＾
（>>703より）
URLﾘﾝｸ(mathcommunication.)ハテナブログ/entry/2017/02/05/193426
数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
id:mathcommunication
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか 2017-02-05
(抜粋)
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。
テンソルの定義
これまでの議論を一般化して定理（および定義）としてまとめます。
定理 V とW を線型空間とする。このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
（性質）任意の線型空間 U と任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して ΦU=fU〇κ を
満たす線型写像 fU:T→U が唯一つ存在する。
このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、 T を V〇xW、 κ(v,w) を v〇xw と書く。また上記の（性質）をテンソル積 (V〇xW,κ) の普遍性と呼ぶ。
証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばあるので、そちらをご参照下さい*3。
注
*3:ただし代数学の書籍では線型空間ではなく、それらを一般化した環上の加群で証明されているかもしれません。
つづく
820:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:21:45.44 xc6bep5/.net
>>715
つづき
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
田丸 広島大 なお今は大阪市大 URLﾘﾝｸ(www.sci.osaka-cu.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学概論 (2014年度前期)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大
(抜粋)
1.1.1 テンソル積の定義
テンソル積の定義を与える前に, 用語を準備する. 線型写像の定義は既知とする.
定義 1.1 φ : V × W → U が 双線型 であるとは, 以下が成り立つこと: ∀a, b ∈ R,
∀v, v′ ∈ V , ∀w, w′ ∈ W,
テンソル積 V 〇x W は, 荒く言うと, 以下をみたす実線型空間である:
・ {v 〇x w | v ∈ V, w ∈ W} で張られる.
・ V × W → V 〇x W : (v, w) 7→ v 〇x w が双線型.
そこで, 実線型空間 U0 と双線型写像 ι : V × W → U0 の組 (U0, ι) で, 所定の性質をみた
すものとして, テンソル積を定義する. 所定の性質は, 次と関連する.
このような状況のときに, f 〇 φ は φ によって支配されていると呼ぶ. テンソル積は,
V × W 上の全ての双線型写像を支配するものとして定義される.
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
(T) 任意の実線型空間 U, 任意の双線型写像 Φ : V × W → U に対して, 線型写像
F : U0 → U が唯一つ存在して, Φ = F 〇 ι.
上記の条件 (T) をテンソル積の 普遍性 と呼ぶ.
定理 1.4 V , W を実線型空間とする. このとき, V と W のテンソル積が存在し, ある意
味で一意的である.
存在性は次項で示す. 一意性は, 正確に述べると次のようになる.
命題 1.5 (U0, ι), (U′0, ι′) が (T) をみたすとする. このとき線型同型写像 F0 : U0 → U′0
が存在して, F0 〇 ι = ι′.
つづく
821:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:22:04.13 xc6bep5/.net
>>716
つづき
1.1.2 基底を用いた構成
822: ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する. 命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする. また, U0 :=Rmn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の 基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である. この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する ことが従う. 系 1.8 dim(V 〇x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ V , W の基底とすると, {vi 〇x wj} は V 〇x W の基底である. これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件. 補題 1.9 ι′: V × W → U を双線型写像とする. このとき, もし以下が成り立つならば, (U, ι′) は V と W のテンソル積である: (1) dim U = dim V ・ dim W. (2) U は ι′(V × W) で生成される. 1.1.3 基底に依らない構成 ここで次を考える: Hom (V, W) := {F : V → W : 線型 }. このとき Hom (V, W) は自 然に線型空間であり, その次元は dim V ・ dim W と一致する. とくに, V*:= Hom (V, R) を V の 双対空間 と呼ぶ. 1.1.4 商線型空間を用いた構成 商線型空間を用いた構成については, 講義では触れないが, 原稿には載せておく. V0 を V 内の線型部分空間とする. つづく
823:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:22:30.47 xc6bep5/.net
>>717
つづき
1.2 テンソル代数
この項を通して, 特に断らない限り V , V1, . . . , Vn は有限次元実線型空間を表すものと
する. ここでは, 実線型空間のテンソル代数を定義し, その性質を見る.
1.2.1 高階のテンソル
先の V 〇x W を二階のテンソルという. ここでは n 階のテンソルを定義する.
定理 1.19 V1, . . . , Vn のテンソル積が存在し, ある意味で一意的である.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル空間
るテンソルの座標に依らない（英語版）現代的な取扱いは、テンソル空間（テンソルくうかん、英: tensor space）と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間
ベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
(引用終り)
以上
824:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:49:03.01 xc6bep5/.net
>>715-718 補足
貼った資料を読めば、分かるやつは分かるｗ（＾＾；
が、それでは不親切かもね
１．テンソルの定義：これが意外にはっきり書いてないけど、分かり易くいうなら、テンソル空間の元(>>718)
ベクトルは、ベクトル空間の元の如し。>>715でも、「T の元をテンソル」と書いているように、テンソルは、集合の元のことです
２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
>>715 "証明については、代数学や少し進んだ線型代数学の書籍を探せばある"は、例えば雪江明彦 代数学2 のテンソル積の章などに
一応、田丸先生のPDFをご紹介する>>716。ここにも証明あるよ。（雪江明彦に類似。先に一意を言い、あとから存在を示す筋です）
３．田丸先生で面白いのが、”テンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
つまり、3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です
４．ところで、内積を考える。3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、内積はテンソル積ではない！！
ＱＥＤ（＾＾；
ああ、もちろん内積は双線型ですよ（下記）ｗ
（なお、外積も同様だが、略す）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双線型写像
(抜粋)
特別な場合
X = F のとき（このときの双線型写像は双線型形式と呼ばれる）は特に有用である（例えばドット
825:積、内積、二次形式の記事を参照されたい）。 (引用終り) 以上
826:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 11:53:16.28 xc6bep5/.net
>>719 補足
x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
ここに、e1,e2,e3 は基底ベクトルを表す
まあ、常識なので分かると思うが、念のため
院試など試験では抜かさないように（書いていないと減点されかねないから） （＾＾
827:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 12:02:24.87 xc6bep5/.net
>>719 追加
（なお、外積も同様だが、略す）
↓
（なお、外積と行列式も同様だが、略す）
（＾＾；
828:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 14:29:53.71 xc6bep5/.net
>>721 追加
思いついたときに、外積と行列式について、追加しておく
行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる(下記)
「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、基底の外積で0になるものがあるから
>>719に示したように、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる行列式も、テンソル積とは異なる！
（多重線型ではあるが）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ?nE は A 上階数1の自由加群である。
明示的な定義
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とする
略
これは Kn 上 ?nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
(抜粋)
V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧v=0
を持つものである。
形式的定義と代数的な性質
外冪
基底と次元
V の次元を有限な n とし、{e1, …, en} を V の一つの基底とする。
楔積の中に同じベクトルがあれば 0 になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。 一般に、結果として得られた k-ベクトルの基底の係数は基底 ei に関してベクトル vj を記述する行列の小行列式として計算できる。
基底に属する元の個数を数えることにより ?k(V) の次元は二項係数 C(n , k) で与えられることが分かる
以上
829:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:15:36.81 xc6bep5/.net
思い出したときに
(>>635)
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
ここの得居誠也氏のディープラーニング は、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってこと�
830:ﾅしょ（＾＾ 普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う 数学科生が、コンピュータ処理の人から、「テンソルとは？」と聞かれて、雪江明彦 代数2の説明をすると大外れ（＾＾ 得居誠也氏のテンソルは、複数添え字のデカルト積ですね。写真画像の画素（ピクセル）を扱うのに、縦と横にカラー（R，G，B）と3種の添え字を使うところが、テンソル似というだけのこと あと、下記 直積 (ベクトル)（あるいは外積）が、”典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う”であり、外積が「クロス積の意味で使われる」云々とか 思い出してきたな～。用語が、錯綜していましたね～（＾＾； 複数の分野に跨って書籍を読むとき、ご注意ください（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88 直積集合 集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。 具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。 つづく
831:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:16:35.45 xc6bep5/.net
つづき
直積集合の例
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クロス積
ベクトル積（英語: vector product）とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。
演算の記号からクロス積（cross product）と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれるが、英語でouter productは直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。
つづく
832:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:17:02.90 xc6bep5/.net
>>724
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
(引用終り)
以上
833:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 15:33:06.45 xc6bep5/.net
>>724 補足
>線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う
>ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）
outer productと、exterior productとが
834:、 同じ「外積」という訳語が付けられたのですね 「外積」という訳語だけ見ていると、ワケワカですね～（＾＾；
835:１３２人目の素数さん
20/09/29 17:52:12.95 3gGgCYQz.net
>>715
>定理
> V とW を線型空間とする。
> このとき線型空間 T と双線型写像 κ:V×W→T の組 (T,κ) で
> 次の性質を満たすものが同型を除き唯一つ存在する。
> （性質）任意の線型空間 U と
> 任意の双線型写像 ΦU:V×W→U に対して
> ΦU=fU○κ を満たす線型写像 fU:T→U が
> 唯一つ存在する。
>このとき組 (T,κ) を V と W のテンソル積、T の元をテンソルと呼び、
>T を V⊗W、 κ(v,w) を v⊗w と書く。
>また上記の（性質）をテンソル積 (V⊗W,κ) の普遍性と呼ぶ。
◆yH25M02vWFhP君に質問
「ＶとＷのテンソル積V⊗Wと、ＶとＷの直積Ｖ×Wの関係を述べよ
例えばＶ×Ｗのκにおける像Imκは、Tにおけるいかなる集合か？」
ここまで書けば、テンソル空間 V⊗Wを直接
「ベクトルv∈V,w∈Wのテンソル積 v⊗w の全体」
として定義せず、なぜ>>702の定義２のような
双対空間を使った定義としているのか、がわかる
ついでいうと、上記の定理の証明の骨子は>>664-665で示されてる
836:１３２人目の素数さん
20/09/29 17:56:18.62 3gGgCYQz.net
>>715-718で示された引用がジャストミートなので
「もしかして◆yH25M02vWFhP は全部分かってて
あえて分かってないフリしてるのかな？」
という疑念が、ふと頭をかすめた
が、>>719を読んだ瞬間
「あ、こいつ、引用した文章全然読めてねぇ
全然分かってねぇわ」
と気づいた
>１．テンソルの定義：・・・テンソルは、集合の元のことです
（小声で）普遍性、全然分かってねぇな
>２．テンソル空間は、テンソル積によって構成され、普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
ベクトル空間同士のテンソル積と
個々のベクトル同士のテンソル積を
明確に区別せず、しかも普遍性について
「ある種の」とかトンチンカンな形容詞を
ぶっこんでる時点で
「こいつ、分かってねぇわ」臭がプンプン
>３．・・・面白いのが、
>”テンソル積の次元が分かった.
> 次は, 次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1) dim U = dim V ・ dim W”
唐突に次元について述べてる時点で
「ん、こいつ、やっぱもしかして分かってる？」
と思ったが・・・
（ちなみに直積V×Wの時点はdim V + dim Wね。）
>４．ところで、内積を考える。
> 3次元ベクトルで、x=x1e1+x2e2+x3e3, y=y1e1+y2e2+y3e3
> 内積 x・y＝x1y1+x2y2+x3y3
> ですから、どう見ても、内積は9次元ではないのです。
> 上記”次元を用いた判定条件 補題 1.9 (1)”に反する
>（3次元の二つのベクトルによるテンソル積は、3・3＝9次元です）
> よって、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）より、
> 内積はテンソル積ではない！！
ここで一気に腰砕け！
ということで、次に続く
837:１３２人目の素数さん
20/09/29 17:57:46.47 3gGgCYQz.net
さて
１．まず、もちろんベクトルの内積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、内積はテンソルである。
なぜなら内積は双線型写像だから、普遍性により、
ベクトルx,yのテンソル積
(x1y1 x2y1 x3y1)
(x1y2 x2y2 x3y2)
(x1y3 x2y3 x3y3)
が属する線型空間（テンソル空間）から
スカラーへの線形写像が構築できるから
（注：内積は反変テンソルではなく共変テンソルである
ベクトルのスカラー積は反変テンソル）
その際、線型写像としてテンソル積の各成分に掛ける
係数は以下の通り
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
そして行列式も同様にできる
ということで、またまた次に続く
838:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:01:14.93 3gGgCYQz.net
さて、行列式の場合だが
>>722
>行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる
>「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
> もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
> 外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、
> 基底の外積で0になるものがあるから
> テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び
> 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
> 外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる
> 行列式も、テンソル積とは異なる！
またまた、腰砕け！！
ついでにいうと
「3ｘ3行列なら 9個の項になるところ」
は誤り
正しくは３つの３次元ベクトル空間のテンソル積だが
項の数は3×3×3=27
これから反論の余地がないように
完璧に書いてさしあげよう
ということで、さらに次に続く
839:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:02:23.74 3gGgCYQz.net
行列Mを行ベクトル（列ベクトルでもいいが）
m1=(m11,m12,m13)
m2=(m21,m22,m23)
m3=(m31,m32,m33)
に分解する
１．もちろんベクトルの外積はベクトルのテンソル積ではない
２．しかしながら、外積も、そして行列式もテンソルである。
なぜなら、行列式の多重線形性から普遍性により
それらのテンソル積からスカラーへの線形写像
として構築でき、各成分に掛ける係数も明確に決められるから
３行３列の場合 ３つの行ベクトルのテンソル積は
第１段
(m11m21m31 m12m21m31 m13m21m31)
(m11m22m31 m12m22m31 m13m22m31)
(m11m23m31 m12m23m31 m13m23m31)
第２段
(m11m21m32 m12m21m32 m13m21m32)
(m11m22m32 m12m22m32 m13m22m32)
(m11m23m32 m12m23m32 m13m23m32)
第３段
(m11m21m33 m12m21m33 m13m21m33)
(m11m22m33 m12m22m33 m13m22m33)
(m11m23m33 m12m23m33 m13m23m33)
となるが、各成分に掛ける係数は以下の通り
第１段
(0 0 0)
(0 0 -1)
(0 1 0)
第２段
( 0 0 1)
( 0 0 0)
(-1 0 0)
第３段
(0 -1 0)
(1 0 0)
(0 0 0)
どうだ、まいったか(￣ー￣)
840:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:03:59.64 3gGgCYQz.net
さて、◆yH25M02vWFhPは、予想通り
普遍性が全然分かってない
分からん理由はただ一つ
一度も自分で計算しないから
一度でも計算すれば、ああそういうことか！と分かる筈
はっきり言っちゃうと、
テンソルなんて所詮、線形代数の延長戦だから
大して難しいわけがない
逆にこれが難しいって人は、
線形代数すら難しくてよくわかってない
ってことになる
もしそうなら、理系としては致命的なので
分野を替えたほうがいいだろう
（理系でも生物系ならなんとかなるかもしれん 知らんけど）
841:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:08:15.89 3gGgCYQz.net
>>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
「テンソル積は単なる直積集合（デカルト積）」
ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━━!!
・・・失礼
V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
前者の次元はdimV×dimW
後者の次元はdimV+dimW
積と和は全然違う
普遍性とは、要するに
Φ：V×W→U が 双線形写像なら
V×Wを包含する線型空間V⊗Wが存在して
(正確にはV×WからV⊗Wへの双線型写像κで埋め込む）
ｆ：V⊗W→U が 線形写像 となり、さらに
その写像のV×Wへの制限が、もとの
Φ：V×W→U と一致するように拡大できる
ということ
ついでにいうと、ここで>>727の問の答え書くけど
V⊗Wは線型空間だが、V×WってV⊗Wの中の線形空間ですらない
（つまりV×WからV⊗Wへの双線型写像κは
V×Wに直積による自然な線型空間の構造を入れた場合、
線型写像とはならない）
◆yH25M02vWFhP、全然わかってなかっただろ
842:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:11:31.51 3gGgCYQz.net
(蛇足）
ところで、
共変テンソル(ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像)
としての内積や外積、行列式が
共変ベクトル(ベクトルからスカラーへの線形写像)のテンソル積
として実現できるか？といえばそれは無理
なぜそう言い切れるか
もし、二つのベクトルのテンソル積になるなら
その結果できた行列の行列式は０になるが
内積を表す行列は対角行列であってその行列式は１だから
注：行列式が０だからといってベクトルのテンソルで表せる、とはいえない
843:１３２人目の素数さん
20/09/29 18:19:04.75 3gGgCYQz.net
普遍性
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論の用語だな
「U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をCの対象とする。
X から Uへの普遍射 （universal morphism） は、
D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、
かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
Y がDの対象で f : X → U(Y) がCの射であるような場合、
常に射 g : A → Yが一意に存在して、次の図を可換にする。
（つまりf=U(g)○φ）
射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、
一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。」
ま、いいたいことは分かるが、
これが実体だといえるヒトは、相当数学的にソフィスティケートされてる
もし工学部の学生なら、即、理学部数学科に転科したほうがいい
技術者なんぞになるのはもったいない
844:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 20:25:07.83 JfmTq990.net
>>719 補足
> ２．テンソル空間は、略 普遍性（ある種の一意性）が成り立つ
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような
845:抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。 結果として、我々は普遍性の一般的な扱い方を得ることになる。例えば、群の直積や直和、自由群、積位相, ストーン－チェックのコンパクト化, テンソル積, 逆極限 と 順極限, 核と余核, 引き戻し, 押し出し および イコライザ、など。 目次 2.1 存在と一意性 2.2 同値な定義 2.3 随伴関手との関係 3.1 テンソル代数 4 どのようなメリットがあるのか？ 5 歴史 存在と一意性 数量を定義することがその存在を保障することにはならない。与えられた関手U及び上述の対象Xに対し、X から U （もしくはU から X）の普遍射は、存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。しかしながら、もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。 すなわち、もし別の対 (A ' , φ ' ) が存在すれば、一意な同型射g : A → A ' が存在して φ ' = U(g)φ となる。 これは (A ' , φ ' ) を普遍射の定義にしたがって (Y, f) と置き換えることで容易に確かめられる。 例 ここで、この一般的なアイデアを明らかにすべく3つの有効な例を挙げる。読者は導入部で例示した記事を参照すれば、他にもたくさんの例を構築できるだろう。 テンソル代数 C を体 K 上のベクトル空間の圏 K-Vect とし、 D をK 上の多元環 K-Alg （ユニタリー かつ 結合的と仮定）とする。U を、各多元環をその基底となるベクトル空間に写す忘却関手とする。 K上の任意のベクトル空間 V において、V のテンソル代数 T(V) を構成できる。テンソル代数の普遍性は i : V → T(V) が埋め込み写像となるような対 (T(V), i) を表し、これは V から U への普遍射となる。 この構成は任意のベクトル空間 V において有効であり、それゆえ T は K-Vect から K-Alg への関手だと結論付けられる。この関手は忘却関手 U に対して左随伴となる。
846:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 20:55:28.45 JfmTq990.net
>>703 補足
>テンソルとテンソル場を混同している記述の典型であり
歴史として、有名なコーシーが「応力テンソル」を考えたそうですが、これは、テンソル場の話です
https://ノートcom/k_pone/n/n562fc61beb67
切り口で見え方が変わるのが応力 1ST_CEE_SHIRAI 2020/04/25
(抜粋)
「応力テンソル」の話です．
前回の記事はこちら．
応力の値は断面の取り方で決まるので，これでは
応力一意に定義できなくなってしまいます（下図）．
略
そこで，発想の逆転をした人がいました．それは，断面によって変換されるような量として，応力を定義してしまおうというものでした．
その人は，フランスのA. L. コーシーです．
コーシーは，関数解析ではこの人の名前の付かない定理を探すのが難しいくらい有名ですが，もともとは工学屋さんで，Ecole Polytechique の土木科卒業です．つまり，
変形体を扱う力学が専門だったんですね．
テンソル"T"と書くのと「行列形式」で書くのでは，普遍性が全く違います（以前のテキストを参照）．
断面は
断面の「法線ベクトル」
で決まります．そこでコーシーは，「法線ベクトル」と「応力ベクトル」を対応させようと考えたわけです．概念としては，応力を調べたいある検査面が決まると，その面の法線が決まり，その面の法線ベクトルを，回転，伸縮させて変換するのです．
その変換の演算子のことを「応力テンソル」と呼ぶことにしたのです．
略
すなわち上図では，f = T n
ということになります．具体的な演算の中身は，応力テンソル"T"が「行列」の形で書けて，
略
ということになります．
テンソルの成分は，このように添字がついた量で表されます．この場合は2つの添字がついているので，「2階のテンソル」といいます．
847:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:03:20.19 JfmTq990.net
>>737 追加
ベクトル歴史
歴史的には、コーシーによるテンソルの方が早いようですね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
空間ベクトル
歴史
いわゆる矢印ベクトルは物理学の教育では力学の初歩から導入されるため、ベクトルも古典力学と同時(17世紀ごろ)に発生したと思われるかもしれないが、実はもっと後の19世紀になって現れたものである。今でこそベクトルや行列などを使って、物理学や幾何の問題を解くといったことは常識であるが、ベクトルが誕生する以前の数学や物理学では初等幾何学、解析幾何学や四元数などを利用していた。今日我々が知っているベクトルの概念は、およそ200年もの時間を掛けて徐々に形成されてきたものである。そこでは何十人もの人々が重要な役割を果たしてきた[1]。ベクトルの先祖は四元数であり、ハミルトンが1843年に複素数の一般化によって考案したものである。ハミルトンは最初に、二次元における複素数と複素平面のような関係を満たすような数を三次元空間にも見いだそうとしたが失敗し、なぜか三つの数の組では二次元の場合の複素数と複素平面のように三次元空間を記述できないことが判明した。
研究の結果、最終的に四次元(数が4組)の四元数へとたどり着くこととなった。三次元空間を記述するのに、数が三組では記述が不可能でなぜか四組必要だったのである。二次元では、二組の数である複素数を用いることによって、複素平面を二次元ユークリッド平面と同等みなすとベクトルに似た概念(回転やスカラー倍など)が記述できるというのに、三次元空間を記述するのに四次元の数が必要だったのである。ハミルトンは1846年に四元数の複素数における実部と虚部に相当するものとしてスカラーとベクトルという用語を導入した(今日の用法とは異なることに注意されたい):
つづく
848:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:03:59.48 JfmTq990.net
>>738
つづき
代数的な虚部(ベクトル)は、幾何的には直線または半径ベクトルであり、それらは一般的には、各々の四元数によって決定され、空間における向きと長さが定まり、それをベクトル部(虚部)または単に四元数のベクトルと呼ぶ[2]。
ベラヴィティス（英語版）、コーシー、グラスマン、メビウス、セイントベナント（英語版）、マシュー・オブライエン（英語版）といったハミルトン以外の何人かの数学者たちは同時期にベクトルに似た概念を開発した。グラスマンの1840年の論文「Theorie der Ebbe und Flut」(減衰と流れの理論)は空間解析の最初の体系であって、今日の体系と類似したものであり、今日の外積、内積、ベクトルの微分に相当する概念が含まれていた。グラスマンの業績は1870年代まで不当に無視され続けていた[1]。
ピーター・テイト（英語版）はハミルトンの後に四元数の基礎を確立した。テイトの1867年の「Elementary Treatise of Quaternions」(四元数の初等的理論)には今日の∇(ナブラ)演算子に相当する概念が含まれていた。
ウィリアム・クリフォード（英語版）は1878年に力学原論（英語版）を出版した。ここでクリフォードは完備四元数積(complete quaternion product)から今日の二つのベクトルの外積、内積に相当する概念を抽出した。このアプローチは四次元の実在に疑念を抱いている技術者などの人々にベクトル解析を通じて三次元空間の解析を行う手段を提供したといえる。
つづく
849:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:04:29.18 JfmTq990.net
>>739
つづき
アメリカ
850:の物理学者ギブスは、四元数ベースで書かれていたマクスウェルの電磁気学の著書、「Treatise on Electricity and Magnetism」を現代的なベクトル解析を用いたものに書き直した。電磁気学の数理はベクトルが登場するまでは四元数が用いられており、ニュートン力学が初等幾何学ベースで後世の科学者らに現代風の解析学を用いる数理に書き換えられたのと同様、マクスウェルのオリジナルのものは四元数ベースであり今日教えられているベクトルベースの電磁気学もまた後世の科学者らによって書き換えられたものである。ギブスは自身のイェール大学での講義を元にベクトル解析の専門書「Elements of Vector Analysis」の最初の分冊を1881年に出版したが、ここでは今日用いられているベクトル解析の基本概念が概ね確立されているといえる[1]。この講義録は英国のヘヴィサイドにも送られ評価された。教え子のエドウィン・ウィルソン（英語版）が1901年に出版した「Vector Analysis」はギブスの講義を元に書かれており、四元数の名残を完全に抹消し今日のベクトル解析の基礎を確立した最初の著作であるといえる。 これ以降、理工学ではベクトルの概念が盛んに用いられるようになり、四元数は一旦廃れたものの、20世紀後半以降コンピュータの発達により三次元空間のプログラミングに四元数が一部で再び用いられている。 更に20世紀に入ると線型代数学の発達によりベクトルの概念も抽象化し、向きを持った直線の矢印で表せる具体的な幾何ベクトルのみならず線型空間と関連した抽象的存在としても認識されるようになっていく。20世紀後半になると線型代数は教育にも取り入れられるようになり、昔ながらの初等幾何学や解析幾何学よりもベクトルや線型代数を用いて幾何学や物理学の問題が教育されるようになった (引用終り) 以上
851:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:08:07.18 JfmTq990.net
>>738 補足
英語版（日本語は下記の訳がベースですね）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euclidean vector
History
The concept of vector, as we know it today, evolved gradually over a period of more than 200 years. About a dozen people made significant contributions to its development.[10]
In 1835, Giusto Bellavitis abstracted the basic idea when he established the concept of equipollence. Working in a Euclidean plane, he made equipollent any pair of line segments of the same length and orientation. Essentially, he realized an equivalence relation on the pairs of points (bipoints) in the plane, and thus erected the first space of vectors in the plane.[10]:52?4
The term vector was introduced by William Rowan Hamilton as part of a quaternion, which is a sum q = s + v of a Real number s (also called scalar) and a 3-dimensional vector. Like Bellavitis, Hamilton viewed vectors as representative of classes of equipollent directed segments. As complex numbers use an imaginary unit to complement the real line, Hamilton considered the vector v to be the imaginary part of a quaternion:
The algebraically imaginary part, being geometrically constructed by a straight line, or radius vector, which has, in general, for each determined quaternion, a determined length and determined direction in space, may be called the vector part, or simply the vector of the quaternion.[11]
つづく
852:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 21:08:35.82 JfmTq990.net
>>741
つづき
Several other mathematicians developed vector-like systems in the middle of the nineteenth century, including Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Mobius, Comte de Saint-Venant, and Matthew O'Brien. Grassmann's 1840 work Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) was the first system of spatial analysis that is similar to today's system, and had ideas corresponding to the cross product, scalar product and vector differentiation. Grassmann's work was largely neglected until the 1870s.[10]
Peter Guthrie Tait carried the quaternion standard after Hamilton. His 1867 Elementary Treatise of Quaternions included extensive treatment of the nabla or del operator ∇.
In 1878, Elements of Dynamic was published by William Kingdon Clifford. Clifford simplified the quaternion study by isolating the dot product and cross product of two vectors from the complete quaternion product. This approach made vector calculations available to engineers?and others working in three dimensions and skeptical of the fourth.
Josiah Willard Gibbs, who was exposed to quaternions through James Clerk Maxwell's Treatise on Electricity and Magnetism, separated off their vector part for independent treatment. The first half of Gibbs's Elements of Vector Analysis, published in 1881, presents what is essentially the modern system of vector analysis.[10][7] In 1901, Edwin Bidwell Wilson published Vector Analysis, adapted from Gibb's lectures, which banished any mention of quaternions in the development of vector calculus.
(引用終り)
以上
853:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:16:55.31 3gGgCYQz.net
ぽっぽっぽ
854:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:17:09.89 3gGgCYQz.net
鳩ぽっぽ
855:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:17:29.79 3gGgCYQz.net
豆がほしいか
856:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:17:49.82 3gGgCYQz.net
そらやるぞ
857:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:18:06.41 3gGgCYQz.net
みんなで仲善く
858:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:18:27.02 3gGgCYQz.net
食べに來い
859:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:21:35.70 3gGgCYQz.net
あめあめ ふれふれ かあさんが
860:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:21:52.33 3gGgCYQz.net
じゃのめで おむかえ うれしいな
861:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:22:08.08 3gGgCYQz.net
ピッチピッチ チャップチャップ
862:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:22:23.84 3gGgCYQz.net
ランランラン
863:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:02:50.77 lT/rGugt.net
🌧🌧🌧
☔ 。。ﾔｯﾊﾟﾘ雨ﾊ。。
𐀪𐁑彡☂︎゛💞相愛傘💕
ﾃﾞｽｮﾈｯ!
。。。ｱﾙﾙﾙﾙﾙｪｪｪｪ…?
💓愛合傘💖ﾀﾞｯﾀｶﾅ…
864:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:09:36.19 JfmTq990.net
>>738
>ベクトル歴史
山上 滋先生、下記、なかなか面白い（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
ベクトルあれこれ
?古人の求めたるところを
山上 滋 名古屋大
2016 年 1 月 27 日
目次
1 見通しなど 2
2 実数と複素数の幾何学 4
3 重心座標 7
4 ベクトル空間 7
5 ユークリッド空間 9
6 直交群 10
7 ユークリッド変換 11
8 四元数は予言する 12
付録 A ぶつぶつ交感 16
解析学特論（基礎解析） 大学院
目的：ベクトルは、日常語としても使われる程、人口に膾炙したものとなっているが、
その数学教育の中に
865:おける位置づけについて、発展の歴史的流れにも配慮しつつ理解を深 める。 到達目標：ベクトルの概念の自然科学における発展の流れを知る。その背景の下、数学 概念としてのベクトルの確かな理解とその運用方法を修得する。 以下の項目のいくつかについて演習もまじえて学習し、ベクトルの考え方に対する理解 を深める。
866:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:10:07.36 lT/rGugt.net
|∞ ﾇｼｻﾏ…ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…
|;´д`)め~さまの思惑通りﾆ
с 荒らしﾁｬｯﾃ…ﾓｩｼﾏｾﾝ…
| 許ｼ亭許ｼﾃ…
＼＼＼＼ｶﾞﾊﾞｯ!
_|~|〇
|∞ 失礼ｼﾏｼﾀ…
|`;)))
с
|
Σ|
Σ|Ю彡
Σ|
ﾊﾟﾀｯ!
867:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:10:14.56 JfmTq990.net
>>753
いらっしゃい
お元気そうで、なによりです（＾＾；
868:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:14:17.89 lT/rGugt.net
゜○。ｫ休ﾐﾅｻｨ。。。🍀ﾟ○。🍀🐑🍀ﾟ🐑🐑🍀🐑🐑🐑🍀。○゜良ぃ夢を。。。○゜🍀🍀🐑🐑🐑🐑🐑🍀🍀。○゜
869:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:15:42.91 JfmTq990.net
>>754
山上 滋先生、追加下記、これもなかなか面白そう（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
行列代数あれこれ 山上 滋 2017
線型代数の内容は、今となってはどれも代り映えがせず、だれがやっても金太郎飴状態のようにも思えるの
で、あえてそれに逆らうのは愚かなれど、別の見方をすると、十年一日、進歩がないというか、時代の変化を
無視してきたというのか、そのつけを支払わされるのは、教わる学生のみならず、巡り巡って社会全体に及ぶ
という大風呂敷。冥途のみやげに最後の悪あがきもまた一興。
８年ぶりの線型代数、相変わらず進歩がないというよりもむしろ劣化が激しいので、今回はぜひとも教科書
の指定をと思い、以下の項目をチェック。
(i) ３次元座標空間の幾何学はあるか。正射影、平面の方程式、距離の公式。
(ii) 連立一次方程式の幾何学的解釈があるか。
(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。行列式の幾何学的意味が説明してあるか。
(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
(v) 実二次形式の標準化が説明してあるか。極値問題への応用が意識されているか。
何と、大部分が (iii), (iv) でアウト。かろうじて残ったものも (i), (ii) であえなく撃沈。ううむ、困った。
しようがないので、昔のノート*1 をふくらまして凌ぐことにしよう。題して、行列代数あれこれ*2。あれこれ
というよりは、行きあたりばったりであるか。行き倒れにならないといいのだが、はてさて。
*1 懐かしの「行列代数これだけ」URLﾘﾝｸ(sss.sci.ibaraki.ac.jp)
*2 線型代数は使ってなんぼのもんである。あれもこれもと欲張るよりは、基本的なところをさっとやって、あとは個々人の関心のお
もむくまま実践するのがよい。そうして、必要になったときに必要な範囲で掘り下げる。丁寧にしつこく教えたとて身につくもの
でなし。その意味で、教科書は簡潔明瞭が良いのであるが、一方で砂をかむの苦行を強いるものは避けたい。行きあたりばったりを標榜する所以である。
目次
1
870:行列事始め 3 2 直線と平面の幾何学 5 3 行列とその計算 10 4 ２次・３次の行列式 15 5 一般の行列式 16 6 行列式の特徴づけ 19 略
871:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:50:39.68 JfmTq990.net
>>758
失礼、2020年版が出ていました。84ページが、85ページに増えている
それよりも、新しい版は、誤植などのバグが修正されている可能性大なので、是非こちらを（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
授業記録
名古屋大学における授業の記録です。
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
行列代数あれこれ
山上 滋
2020 年 7 月 6 日
872:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 22:53:33.34 JfmTq990.net
山上 滋先生は、昔はイバ大にいて、
以前数学板に居たコテの猫さんが、
山上 滋先生を評価していましたね～（＾＾；
873:現代数学の系譜 雑談
20/09/29 23:44:13.96 JfmTq990.net
外積代数も、普遍性あり
用語大混乱：「内積」(inner) 、「外積」(outer) 内部積（英語版） (interior) 、外（部）積 (exterior) 、外積代数、幾何代数（英語版）、スカラー積
いやはや、思い出してきました、なんか混乱させられた記憶が・・（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。
2.4 普遍性
普遍性
外積代数の普遍性
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
内積
関連のある積について
「内積」(inner) という語は「外積」(outer) の反対という意味での名称だが、外積は（きっちり反対というよりは）もう少し広い状況で考えることができる。
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積（英語版） (interior) と外（部）積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。
さらにややこしいことに、幾何代数（英語版）において、内積 (inner) と（グラスマン）外積 (exterior) は幾何積（クリフォード線型環におけるクリフォード積）に統合される（内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す）。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)（あるいはウェッジ積）と呼ばれ、またこの文脈での内積は（考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので）スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。
874:１３２人目の素数さん
20/09/30 05:52:35.59 wXBmLOg8.net
>>761
>>761
＞外積代数も、普遍性あり
別に驚くことじゃない
すべての反対称テンソルが、ベクトルの外積として表せるわけじゃないから
多重線型写像は、そのままでは線形写像にならないが
定義域を拡大すれば、一意的に線形写像にできる
テンソルとは拡大された定義域
875:１３２人目の素数さん
20/09/30 05:55:22.17 wXBmLOg8.net
>>761
＞いやはや、思い出してきました
何を？
＞なんか混乱させられた記憶が・・・
定義を理解しないからだよ
だからいまだに
「内積も行列式もテンソルじゃない」
なんて初歩的な誤り、平気で口にするんだよ
876:１３２人目の素数さん
20/09/30 06:00:39.01 wXBmLOg8.net
ま、テンソルも
「ベクトルのテンソル積がなす空間」
ではなく
「ベクトルのテンソル積の線型結合がなす空間」
と云ってしまえば、簡単だけどね
実際、基底同士のテンソル積の線型結合で表せるし
877:１３２人目の素数さん
20/09/30 06:16:49.15 wXBmLOg8.net
>>758
YS氏、いうことはごもっともだが、
それなら、自分で教科書書けばいいのに
＞(iv) 掃き出し法に列の操作が混入してないか。行のみの操作に限定しているか。
そうね 「邪念」を排すれば、列の操作は要らないね
＞(iii) 行列式の導入が帰納的になされているか。
「帰納的導入」ってなにかと思ったら、より小さい行列式を用いて定義する、ってことね
行列式と掃き出し法をつなげるなら、そうしたほうがいいね
線型代数なのに、いきなり偶置換・奇置換を持ち出すのは「暴挙」なんだろう
偶置換、奇置換による１、－１の決定は、帰納的な定義から定理として導けるから <
878:現代数学の系譜 雑談
20/09/30 16:18:52.14 GzqVILqn.net
>>762
>＞外積代数も、普遍性あり
>別に驚くことじゃない
あらら、自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
とろで、行列式は、外積代数の外冪を使って定義されるよ(>>722)
外積代数も、普遍性あり
テンソル代数も、普遍性あり
だったら、「行列式はテンソルです」というと
外積代数とテンソル代数とが、”一意な同型射を除いて一意的”（下記）ってなるよね
それは、おかしいよね（＾＾；
（∵ 外積代数とテンソル代数とは、全く同型じゃない。例えば、田丸>>716 数学概論ＰＤＦ 第 1 章 テンソル代数 と 第 2 章 外積代数 ご参照 ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
普遍性
(抜粋)
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（英: universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。
存在と一意性
もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。
例
テンソル代数
879:１３２人目の素数さん
20/09/30 17:50:08.17 wXBmLOg8.net
>>766
>外積代数も、普遍性あり
>テンソル代数も、普遍性あり
>だったら、
>外積代数とテンソル代数とが、
>”一意な同型射を除いて一意的”
>ってなるよね
>それは、おかしいよね
全然おかしくないが
>もし、普遍射 (A, φ) が存在すれば、
>一意な同型射を除いて一意的である
だからテンソル空間も外積空間（反対称的テンソル空間）も
”それぞれ”一意化されるが
君、一意化を誤解してる？
普遍性、全く理解できてないだろ
テンソル積と外積は違うんだろ？
だったらテンソル空間と（その部分空間となる）反対称的テンソル空間も違うが？
880:１３２人目の素数さん
20/09/30 18:56:45.87 wXBmLOg8.net
ところで、外積を「交代テンソル積」とすれば
「対称テンソル積」というものも考えられる
反対称テンソル（交代テンソル）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称テンソル積は
・置換に対する符号の転換を無視して足し合わせる
・同じ基底同士の積を０としない
という形で実現できる
881:現代数学の系譜 雑談
20/09/30 20:07:20.42 WPXiFBae.net
おサルは、統合失調症だったよね
自分で言ったこと覚えているか？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、言ったよね
あんた、数学無理じゃねぇ？
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的に意味不明だよ
それに気付かないのか？
統合失調症
数学無理だよ
882:粋蕎
20/09/30 20:36:26.52 nTJimpPg.net
瀬田氏の名前のイニシャルはYじゃったか
883:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:37:27.86 wXBmLOg8.net
>>769
◆yH25M02vWFhPは、知的障害か
>「行列式はテンソルです」
>「内積も、行列式同様、テンソルです」
>って、数学的に意味不明だよ
◆yH25M02vWFhPは、数学が分からない知的障害か
「テンソルとは多重線型写像である」
という定義の意味が不明なんだから
明らかな知的障害
数学以前に日本語の文章が理解できない時点で知的障害
884:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:44:10.23 wXBmLOg8.net
>>770
違うよ
「YS氏」とは山上 滋（やまがみ しげる）氏のこと
885:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:48:37.83 wXBmLOg8.net
多重線形写像はテンソル空間からスカラーへの線型写像を一意に定めるし
その線型写像もまたテンソルである
886:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:53:27.98 wXBmLOg8.net
◆yH25M02vWFhPは読み書き障害がある
日本語の文章の意味が正しく理解できない
国語ができない人には数学はもちろん、いかなる学問も無理
887:１３２人目の素数さん
20/09/30 20:56:15.45 wXBmLOg8.net
正規部分群の定義の誤解も、定義の文章が正しく読めなかったせい
∈と⊂の誤解も、∈と⊂の定義の文章が正しく読めなかったせい
そして今回のテンソルの件も、定義の文章が正しく読めなかったせい
数学以前に、国語からやり直したほうがいい
今のままで、初歩的な誤りを繰り返すだけで、何も正しく学べない
888:粋蕎
20/09/30 21:08:04.69 nTJimpPg.net
ヤマタノチンポ>>765
済まん、投稿者の事じゃのうて引用先の名大数学教授じゃったか、飛ばし読みし過ぎた
889:１３２人目の素数さん
20/09/30 21:31:05.55 wXBmLOg8.net
◆yH25M02vWFhPの本名には興味ないな
数学どころか英語も国語もダメな時点で
取るに足らない人物であることは明らか
890:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 07:53:54.15 puwLBl/N.net
>>733
>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>前者の次元はdimV×dimW
>後者の次元はdimV+dimW
あんた、勘違いしているよ
後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
そう考えないと、基底を用いた定義での「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」も、解釈不能になる
（5ch数学板では、数学記号が自由に使えず視認性が悪い。なので、原文のサイトを見て下さい）
そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
(抜粋)
定義
基底を用いた定義
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B′ = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B′ が生成する nm-次元の自由ベクトル空間
V◯x_FW(=V◯x W):= span _F((ξ_i,η_j)｜ 1<= i<= n,1<= j<= m)
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ◯x W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
Σ _{i,j}c_{ij}(ξ _i◯x η _j)
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ◯x w が定義できる。
つづく
891:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 07:54:12.93 puwLBl/N.net
>>778
つづき
商としての定義
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ◯x W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
(v_1,w)+(v_{2},w)～ (v_1+v_{2},w)
&(v_1,w) + (v_2,w) ～ (v_1 + v_2,w) (v, v_1, v_2 ∈ V; w, w_1, w_2 ∈ W; c ∈ K)
&c(v,w) ～ (cv,w) ～ (v,cw)
で与えられる同値関係 ～ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。
普遍性
テンソル積の普遍性
双線型写像 φ: V × W → V ◯x W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、
h = ~h ◯ φ を満足する線型写像
~h: V ◯x W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏（英語版）の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ′: V × W → V ◯x′ W に対し、同型写像 k: V ◯x W → V ◯x′ W が存在して φ′ = k ◯ φ を満足することを言う。
(引用終り)
以上
892:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 08:03:04.54 puwLBl/N.net
>>733 追加
(引用開始)
>>723
>”3 階のテンソル”は代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
(引用終り)
でな、(>>635より)
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！
分かってないな～！（＾＾；
893:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:11:52.20 ZvCLwev4.net
>>769
オカシイオカシイじゃなくて、何がどうオカシイのか言わないと
で、何がどうオカシイと？
894:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 13:52:08.19 7fZLD5Mp.net
>>781
そう慌てなさんな
分からない人には分からない
分かる人には分かる
そもそも
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的におかしいよね
それに気づかないってことは
どっか何が欠けているんだろうね
何か知らないが
何が欠けているか知らないが
そういう人に、「おかしい」と分からせるのは
大変なんだよ、自覚がないからな
895:１３２人目の素数さん
20/10/01 13:58:54.79 ZvCLwev4.net
>>782
あなたの論法はいつもそれですね
箱入り無数目でも「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」
それ、何の主張にもなってないこと、そろそろ理解しましょうね
896:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 14:25:37.23 7fZLD5Mp.net
>>780 補足
”(>>635より)
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテンソルで表される．
テンソルの各軸は，画像の縦・横方向およびチャンネルの種類に対応する．
各チャンネルは，入力がカラー画像なら R，G，B
ここの得居誠也氏のディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
代数学の抽象テンソルとは、無関係。むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
では、なぜデカルト積と言わず3 階のテンソルというかと言えば、添え字が3種ってことでしょ（＾＾
普通、デカルト積は添え字は１種類で済ませるのに対し、テンソルは複数添え字を使うので、これを借用したと思う
(引用終り)
得居誠也氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
つまり、２次元のデジタル画像を、カラーの R，G，B つかって、3次元のデカルト積でコンピュータ処理するときに
添え字が3種にするのだが、”商”は全く関係ないよ！”
ここを、補足しておくと
１．いま、１枚のデジタル画像（カラー写真）があるとする。縦10、横10で 10x10のピクセル（画素）から成るとする
２．物理的には、2次元のカラー写真と見ることもできるけれども、
コンピュータのデジタル処理を考えると
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
３．デカルト積で、下記の2次元直交座標系（x,y）と同様に、同じ流儀で言えば、300次元 300個の数字の組で、１枚のデジタル画像情報が扱えるのです
４．それで、>>778のような ”V×W 次元はdimV+dimW ”みたいな流儀だと、10＋10＋3＝23次元という計算になるけど、アホでしょ、それは（＾＾；
５．また、300次元で、添え字１つで、i＝1～300とするよりも
10ｘ10の数字の並びの行列が、R，G，B 3枚あるとする方が、分かり易い
デカルト積だが、添え字はテンソル流ってことですね（＾＾
つづく
897:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 14:26:07.30 7fZLD5Mp.net
>>784
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直積集合
(抜粋)
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
2次元直交座標系
有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち ?�
898:~?（? は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。 (引用終り) 以上
899:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 14:27:52.32 7fZLD5Mp.net
>>783
なんだ、おサルか
＞箱入り無数目でも「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」
ちゃんと主張になっているよｗ
箱入り無数目の記事不成立も
「大学の確率論・確率過程論を学べば分かる」！！ｗｗ（＾＾；
900:１３２人目の素数さん
20/10/01 14:50:16.74 ZvCLwev4.net
>>786
あなたの論法が正しいならこう帰結されます
箱入り無数目の記事成立も
「国語・数学を学べば分かる」！！ｗｗ（＾＾；
901:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 15:21:15.32 7fZLD5Mp.net
>>787
（>>782より再録）
そもそも
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、数学的におかしいよね
それに気づかないってことは
どっか何が欠けているんだろうね
何か知らないが
何が欠けているか知らないが
そういう人に、「おかしい」と分からせるのは
大変なんだよ、自覚がないからな
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
って、みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね（＾＾
”こいつ何言っているだ？”ってね
”気は確かか”ってね
それに、気付いていないのかな？ｗ（＾＾；
902:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 16:22:27.83 7fZLD5Mp.net
余談ですが、直積もテンソルを学ぶときに、用語が混乱しやすいです
下記、ご参照（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直積
数学において、直積を考えられる対象は様々ある。そのうちの一部を以下に挙げる。
・集合の直積
・群の直積
・加群の直積（ドイツ語版、英語版）
・環の直積
・位相空間の直積
・ベクトルの直積
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。
ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。
「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直積集合
（「積集合」と「デカルト積」はこの項目へ転送されています。その他の用法については「共通部分 (数学)」、「デカルトモノイド圏」をご覧ください。）
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
共通部分 (数学)
共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）[1]、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。
903:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 16:32:15.27 7fZLD5Mp.net
>>789 補足
直積 (ベクトル)が、
「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う」であって
「外積（outer product）」と呼ばれたり
直積集合が、「デカルト積」だとか
初学者レベルの集合論では、共通部分を、
積集合（せきしゅうごう）とか、積と言ったりします
テンソルのテキスト（教科書）を読むとき
ここらの、著者の立場（代数系の人かとか、応用系か（例えばベクトル解析、あるいは物理系とか）など）、用語の定義によく注意しましょう
あと、時代で用語の流行り廃れがあります
細かくフォローできていませんが
なんか、混乱させられた記憶があります（＾＾；
904:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 17:00:06.08 7fZLD5Mp.net
>>784 補足訂正
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
↓
10x10の画素で、カラーのR，G，Bの3種の情報の重ね合わせと見て、300個の変数のコンピュータプロブラムの情報処理とするのが良い
”300個の変数のコンピュータプロブラム”に、補足訂正します（＾＾；
905:１３２人目の素数さん🐙
20/10/01 17:56:30.50 ZvCLwev4.net
>>788
気は確かかと思うのはあなたの勝手ですが、根拠を示さなければナンセンスであるという至極当たり前のことを何故あなたは理解しないのですか？
906:１３２人目の素数さん
20/10/01 18:56:17.25 YkS1knOQ.net
>>778
>>V⊗Wと、V×Wでは次元が全然違う
>>前者の次元はdimV×dimW
>>後者の次元はdimV+dimW
>あんた、勘違いしているよ
>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
トンデモ、ｷﾀ━━(ﾟ∀ﾟ)━━!!
ま、正規部分群の定義の読み違いやら
∈と⊂の混同やらとかいう
明らかなトンデモぶりを見てきた
こちらとしては「ああ、またか」って
感じですけどね
>そう考えないと、下記のテンソル積の「商としての定義」の記述と合わないぜ
>つまり、テンソル積 U = V ◯x W と デカルト積 V × W とでは、
>集合として V ◯x W ⊂ V × W という包含関係があるんだよ！
包含関係が逆
正しくは V×W⊂V⊗W
つまり、ｔ∈V×Wが存在して
任意のv∈V、ｗ∈Wについて、
t=v⊗wでない
V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
逆に、V⊗Wの次元はdimV×dimW
>そう考えないと、基底を用いた定義での
>「順序対 (ξi, ηj) は記号 "◯x" を用いて ξi ◯x ηj と書くことにすれば・・」
>も、解釈不能になる
確かに、nm個のξi ⊗ηjは、V×Wの中にある、
しかし、
「だから V×Wの次元はdimV×dimW」
といってるなら誤り
２つのξi ⊗ηjの和が、ベクトル同士のテンソル積で表せないなら
V×Wの要素ではない
つまり、V×Wは、V⊗Wの中に「曲面」として埋め込まれており、
したがって、V⊗W内の線型空間ではない
>そこのところから、勘違い・大間違いかよ、やれやれ
勘違いしてるのは、キミだよ、キ・ミ
907:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:13:10.72 YkS1knOQ.net
>>780
>ここの・・・ディープラーニング 、”3 階のテンソル”は
>代数学の抽象テンソルとは、無関係。
>むしろ、単なる直積集合（デカルト積）と思うべし
引用された記事書いた人が、この文章見たら、確実に泣くな
V×Wだったら、2種類の添字要らない
Vの基底がe1~enで、Wの基底がε１~εｍだったら
V×Wを線型空間とみなした場合の基底は
e1~enおよびε１~εｍのn+m個だろ？
(v,w)∈V×W なんだからさ
ほんとマジで全然わかってないな
じゃ、聞くけど
e1⊗ε1＝(e1,ε1)∈V×W
e2⊗ε2＝(e2,ε2)∈V×W
として
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwって何？
>>778で
V⊗W⊂V×W
と言い切ったんだから
e1⊗ε1＋e2⊗ε2＝(v,w)
となるようなvとwを
具体的に書き表し切ってみせられるよね
さあ、やって！今！ここで！
ほんと、いつまでたっても
自分が微積分も線形代数も基礎から誤解してる
トンデモだという自覚がないんだねぇ（呆）
908:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:18:00.12 YkS1knOQ.net
>>782
＞分からない人には分からない
＞分かる人には分かる
◆yH25M02vWFhPには分からない
数学者卒業者には皆分かる
◆yH25M02vWFhPが >>778
＞V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
と言い切った瞬間
「数学のスの字も分からん正真正銘のidiot」
であることが、数学科出身者にとって明らかとなった
909:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:25:50.02 YkS1knOQ.net
>>780 >>784
＞…氏は、>>778のV×Wに属する話だよ。”商”には落とさない
あまりに馬鹿な誤解なので、著者が気の毒すぎて、名前が書けない
だいたい、「商」ってなんだ？ 意味が分らん
(v,w)∈V×Wなので、Vがn次元で、Wがｍ次元なら、V×Wはn+m次元
C^nは、CをR^2と見たとき、R^(2*n)であって、R^(2^n)ではないだろｗ
ほんと、どこまで底抜けのidiotなんだろうな こいつは
910:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:34:32.03 YkS1knOQ.net
>>785
＞直積集合
＞集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）
＞または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、
＞または単に積（せき、英: product）、積集合は、
＞集合の集まり（集合族）に対して
＞各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）
＞を元として持つ新たな集合である。
＞具体的に二つの集合 A, B に対し、
＞それらの直積とはそれらの任意の元
＞a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b)
＞全てからなる集合をいう。
だろ？
で、
「任意のｔ∈V⊗Wについて、
ｔ＝v⊗ｗ＝(v,w)∈V×Wとなる
v∈V,w∈Wが必ず存在する」
というなら、ｔから(v､w)への関数を
具体的に示してみせて
ここまで言われて自分の誤りに気づけないなら
◆yH25M02vWFhP 君は正真正銘のidiotだよ
911:１３２人目の素数さん
20/10/01 19:52:48.79 YkS1knOQ.net
線型空間V,Wについて、直積集合V×Wに、
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)
a(v,w)=(av,aw)
のように成分ごと演算を定義して
線型空間の構造を入れたものを
VとWの「直和」といいV⊕Wで表す
加群の直和
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これは、双線型写像の考え方とは明らかに異なるんだよね
φ(v1+v2､w)=φ(v1､w)+φ(v2,w)
φ(v､w1+w2)=φ(v,w1)+φ(v,w2)
φ(av,w)=φ(v,aw)=aφ(v,w)
ほんと、線形代数が根本から全然分かってないんだねぇ、◆yH25M02vWFhPは
912:１３２人目の素数さん
20/10/01 20:21:46.55 YkS1knOQ.net
>>788
＞みんな、”ドン引き”してしまっているんだよね
「V×Wの次元も、dimV×dimWだよ」って、
数学科出身者全員、”ドン引き”どころか”超弩級失笑”
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
913:１３２人目の素数さん
20/10/01 20:29:21.00 YkS1knOQ.net
今日のまとめ
１．V×Wに線型空間の構造を入れたものは、直和V⊕W
２．V×WからVとWのテンソル積V⊗Wへの写像は双線型写像であって、
線型写像ではない つまりV×WはV⊗Wの線型部分空間ではない
914:現代数学の系譜 雑談
20/10/01 21:09:04.57 puwLBl/N.net
>>793
>>あんた、勘違いしているよ
>>後者V×Wの次元も、dimV×dimWだよ
>V × W の変数の値はdimV+dimW個しかない
あーらら、頑張るねｗ
だが、あんたの負けだな
下記の田丸先生読んでみな（＾＾
「定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. 」
「命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.」
だよ
つまり、V × Wは、R^mn つまり、mとnの積の次元なのですよ（＾＾；
（参考 >>716より）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学概論 (2014年度前期) 講義資料 数学専攻 M1 対象, 輪講科目. 田丸 広島大（今は大阪市大）
(抜粋)
Ｐ2
定義 1.3 U0 を実線型空間, ι : V × W → U0 を双線型写像とする. このとき (U0, ι) が
V と W の テンソル積 であるとは, 次が成り立つこと:
1.1.2 基底を用いた構成
ここでは, テンソル積を基底を用いて構成する.
命題 1.7 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
また, U0 :=R^mn とおき, ι : V × W → U0 を双線型写像とする.
このとき, もし {ι(vi, wj )} が U0 の基底ならば, (U0, ι) は V と W のテンソル積である.
この命題の仮定をみたす ι が存在することは容易に分かるので, テンソル積が存在する
ことが従う.
系 1.8 dim(V ◯x W) = dim V ・ dim W. とくに {v1, . . . , vn}, {w1, . . . , wm} をそれぞれ
V , W の基底とすると, {vi ◯x wj} は V ◯x W の基底である.
これでテンソル積の次元が分かった. 次は, 次元を用いた判定条件.
(引用終り)
以上