636:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:12:38.55 qkl/9znF.net
>>554
つづき
第 7 章では積分表現を離散化することでニューラルネットを学習させる方法を説明する。再構成公式を離散化することで学習済ニューラルネッ
トが得られる。離散化は離散フーリエ変換のように規則的な格子に沿っ
て行うこともできるが，本論章ではサンプリングによる方法を提案する。こ
れは，データからリッジレット変換を推定し，得られた変換を確率分布
とみなして，パラメータをサンプリングする方法である。リッジレット
変換をパラメータ空間上の確率分布とみなしたものをオラクル分布と呼
ぶ。人工データおよび実データに対してアルゴリズムを適用し，バック
プロパゲーションに依らない学習が行えることを確率認した。
第 8 章では本論研究を総括し，今後の展望について述べる。
なお付録 A では，本論文で省略した定理論の証明を掲載している。
また付録 B では，情報やエントロピー，複雑性などの基本論的かつ解釈の難しい
概念について，諸分野での用例を元にして整理論する。本論付録の内容は，深
層ニューラルネットの中でどのように情報を処理論しているかについて考
察を加えるための背景知識となるが，本論を展開するうえで必ずしも全
て理論解しておく必要はないため，付録に置いた
今後の展望
慣習に従い，学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。深層学習を利用すると，どのような構造にすれば良いの
か，どの活性化関数を使えば良いのかといったモデル選択の問題や，ど
うすれば学習が上手くいくのかといった最適化の問題に直面する。この
ような問題を解析するためには，データとニューラルネットを対応付け
る規則，すなわち学習アルゴリズムを解析する必要がある。また，深層
ニューラルネットのパラメータは数十億個にのぼり，データサイズから
見てもほとんど無限と思われるほど大量にあるにも関わらず，学習でき
るのはなぜか。このような問題は一般的な新 NP 問題を解決する糸口とも捉えられるので，今後の重要な課題と言える
(引用終り)
637:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 19:13:58.18 qkl/9znF.net
>>549
＞まずは線型代数からやり直そうな
＞行列式から入ってるけど、あれは昔のスタイルだね
自分が躓いたところを言っているのかい？
「行列式はテンソルです」って、笑えたよ（＾＾
いやね、第3章 数学的準備の目次を見ると
ちょっと、知らない分野があるので、
すぐには読めないと思ったわけ
それに、>>550に書いたけど、DR論文本体は
いまいち面白そうじゃない（自分の興味のあることを書いていない）
そういうことです
付録はつまみ読みしたよ
面白かったな（＾＾
638:１３２人目の素数さん
20/09/22 19:20:49.14 jk08YZjf.net
>>550
＞正直、このDR論文はすぐには読めない
＞かなり、数学理論を勉強しながらでないとね
君、いったいどういうふうに論文読んでるの？
当然、未知のことが書かれてることがあるじゃん
そういう場合、理解するためにどうやってるの？
もしかしてただサルのごとくキーワード検索して
自分でも読める文献を延々と検索しつづけるの？
それ・・・正真正銘の馬鹿戦略だよね？
要するにたったワンステップで分かろうとするわけじゃん
そんなの虫が良すぎるって自分でも思わないの？
当然、検索した結果の文章も分からない場合
さらに、その中のキーワードで検索するよね？
つまり自分の立ち位置と目標の間に
いくつも中間目標を設定するよね
で、今の自分に十分到達可能な中間目標から
順々に攻略していくよね
例えば、Ｋ２に上るのに、
自分が今いるのがパキスタンの海岸近くのカラチだとするよね
そしたら少なくとも内陸のイスラマバードまでは行って、
そしてそこからカシミールのギルギットまで行って・・・
と順序立てて考える必要があるよね
そういうこと全然考えてないの？
639:１３２人目の素数さん
20/09/22 19:28:53.46 jk08YZjf.net
>>556
>DR論文本体はいまいち面白そうじゃない
そりゃ理解できないことは面白くないだろ
理解できてはじめて面白いと感じる
>（自分の興味のあることを書いていない）
君の興味あることって何？
まさか
「全ての問題の真偽を判定する方法」
なんて馬鹿なこといわないよね？ｗ
（なぜこれが馬鹿なことなのかは、自分で考えてみよう）
>付録はつまみ読みしたよ
>面白かったな
そうやって自分が賢いと自分にウソをつき続けるの、やめようよ
一生馬鹿から抜け出せないよ
大卒だと偽装するくせに、行列式すら理解できないとか
ヒド過ぎるよ 全然笑えないって
大学出てるといいはりたいんなら、行列式くらい理解しようぜ
多重線形性が分れば、テンソルだと認めざるをえなくなるって
いったい何と闘ってるの？僕？僕は敵じゃないよ
君の敵は僕でも数学でもない
本当の自分から目を背ける君自身の弱さ
640:１３２人目の素数さん
20/09/22 19:37:19.47 jk08YZjf.net
＞「行列式はテンソルです」って、笑えたよ
なんか性懲りもなく書き続けてるけど
それがいかにトンデモな発言かわかってないの？
行列式は列ベクトルの組の多重線型写像だよ
これだけでテンソルだと分かる
逆にテンソルでないというなら、
多重線型性がないっていうのかい？
反例は？そんなもんあるわけないじゃんｗ
もういいかげんわけもわからず、つっぱり続けるの、やめなよ
恥かくのは君だよ 笑われるのは君だよ 俺じゃない
数学分かりたいんなら 素直にありのままの自分を受け入れなよ
無知でなにもわかってない自分自身をさ
そうでないと何も学べないよ
641:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 06:54:21.03 LeQWW8SA.net
＜転載＞
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:100番)-101
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:35:46.71 ID:PrdD62BV [1/2]
URLﾘﾝｸ(noschool.asia)
101 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:55:34.90 ID:qkl/9znF [16/18]
>>100
ありがとう
そうです、そうです
URLﾘﾝｸ(noschool.asia)
NoSchool.inc
テンソルと行列
(抜粋)
2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが、上の場合は両方ベクトルと書かれているので疑問に思いました。
また、行列とテンソルは概念的に全く重なることはないのでしょうか？
2年前
数学(大学)の質問
rghwr さんの質問
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tamu 先生 の回答
先生
2年前
> 2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが
2×2行列A=(a_ij)は、V=R^2とした時
T:(V^*)×V→R
(e^*_i,e_j)→a_ij
によって、2階（1階共変、1階反変）のテンソルとみなせます。
(引用終り)
上記は、純粋数学というよりも、物理数学系ですね
そして、よく言われる（書かれている）こと
例えば、上記「2×2行列と、2階のテンソルとは別物」って注意（書き）です
しかしながら、2階のテンソルがしばしば、行列で表現できるのも事実
（2×2行列に限らず、n×n行列でも類似のことがあります）
で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
(引用終り)
以上
642:１３２人目の素数さん
20/09/23 09:52:36.80 7U6sk/iJ.net
>>560
�
643:｣田くんは論理が分かってないね。 「行列式は2階テンソルである。」 なんて書かれてないんだけど、なに発狂してんの？
644:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 10:17:24.14 Ukw5lW7M.net
転載
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:109番)-110
物理数学は、下記ご参照
テンソルあるよ
昔、コーシー、ポアソンの頃、彼らがテンソルで個体力学を、数学的に研究した
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
物理数学
(抜粋)
物理学で用いられるいくつかの数学的手法を総称した呼び方であり、特定の数学分野を示すものではない
・線型代数
・ベクトル解析
・テンソル
・微分方程式
・フーリエ変換
・群論
・複素解析
URLﾘﾝｸ(lib.nagaokaut.ac.jp)
連続体力学の基礎 古口日出男 永澤茂 20150619 長岡技術科学大学出版会
(抜粋)
1. 1 連続体力学の歴史
個体に関する力学
フックの法則 17世紀
弾性力学 18世紀 ベルヌーイ、オイラー、ラグランジュ、19世紀 コーシー
テンソルの概念を応力とひずみに導入 19世紀 コーシー
実際の問題に関する解 19世紀 ポアソン
URLﾘﾝｸ(structure.cande.iwate-u.ac.jp)
構造工学研究室 岩手大学
URLﾘﾝｸ(structure.cande.iwate-u.ac.jp)
構造力学の歴史 1988.5.26
(抜粋)
ガリレイ(Domino Galileo Galilei, 1564-1642) 材料力学の最初の本「二つの新しい科学」 片持ばりの断面抵抗力，中空断面はりの強さを論じた
ロバ－ト・フック(Robert Hooke, 1635-1703) フックの法則，はりの曲げにさいし凸側では引張りを受け凹側では圧縮される
ヤコブ・ベルヌ－イ(Jacob Bernoulli, 1654-1705) たわみの曲率は曲げモ－メントに比例する
レオナ－ド・オイラ－(Leonard Euler, 1707-1783) 柱の座屈
ナビィエ(L.M.H. Navier, 1785-1836) 単純ばりのたわみ曲線による解法，平面保持の仮定
コ－シ－(Augustin Cauchy, 1789-1857) 等方弾性体の完全な方程式系
ポアソン(S.D. Poisson 1781-1840) ポアソン比，板のたわみ方程式
マクスウェル(James Clerk Maxwell, 1831-1879) 相反法則
1795 パリにエコ－ル・ポリテクニク（L'Ecole Polytechnique パリ高等理工科学校) 開校 モンジュ、ラクランジュ、フ－リエ、ポアソンらの教授陣
645:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 10:18:04.81 Ukw5lW7M.net
で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
646:裏ボス系のアラフェス
20/09/23 10:55:56.08 BXKSsIMy.net
こっちは背理法になっちゃうけど、前提が仮定なので背理法でも証明は可能といえよう。
i^2=,j^2=,k^2=-1
これは余分な集合を割り引いたもの。例えば、（AかつA）においてAという記号の集合は一つ邪魔である。よって、
０（元々あったもの）－１（余分に加えてしまったもの）で i^2 = -1 となる。以下も同様である。
ijk = -1
これは同様の思考で、ただし、掛ける集合がお�
647:ﾝいに全部違うから、大体５０％くらいの確率で交わるとし、 0 - 1/2 - 1/2 = -1 である。まぁ、俺は数学を専門にした覚えはないからクレームの反応受けても理解できないと思ってね。やるのは思いついたのを書き残しておくくらい。じゃあ、みんな頑張ってねー
648:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 11:38:24.11 Ukw5lW7M.net
>>562 補足
下記は、物理数学系だが
行列（行列式，余因子，逆行列）、ベクトル、テンソルとある
この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
（参考）
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
(抜粋)
関連の基礎数学
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
649:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 11:40:48.22 Ukw5lW7M.net
>>564
ありがとう（＾＾
650:ID:1lEWVa2s
20/09/23 16:11:06.43 MqkxRjd6.net
>>562
ヤング係数は無いのか。
651:１３２人目の素数さん
20/09/23 17:10:29.05 jby33uIR.net
>>560
2×2行列の行列式DETはテンソルですよ
(もちろんn×n行列の行列式もテンソル）
DET:V×V→R
反対称性
DET(e_1,e_1)=-DET(e_1,e_1)=0
DET(e_1,e_2)=-DET(e_2,e_1)=1
DET(e_2,e_2)=-DET(e_2,e_2)=0
上記の場合、2階共変テンソルですね
(注：2×2の場合、2階だというだけで、
n×nの場合、n階である、つまり、引数の数がn個）
DET((a11e_1+a21e_2),(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,(a12e_1+a22e_2))+DET(a21e_2,(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,a12e_1)+DET(a11e_1,a22e_2)
+DET(a21e_2,a12e_1)+DET(a21e_2,a22e_2)
= a11a12*DET(e_1,e_1)+a11a22*DET(e_1,e_2)
+a21a12*DET(e_2,e_1)+a21a22*DET(e_2,e_2)
= a11a12*0+a11a22*1
+a21a12*(-1)+a21a22*0
= a11a22-a21a12
大学で習わなかった？
あ、大学行ってないのかｗ
これ、遠山啓の「数学入門（上）」にもほぼ同様のこと書いてあるから
（ま、ちょっとだけアレンジしたけど、大筋は同じ）
652:１３２人目の素数さん
20/09/23 17:11:05.56 jby33uIR.net
>>561
>「行列式は2階テンソルである。」
>なんて書かれてないんだけど
セタは、行列式(determinant)＝行列(matrix)、だと思い込んでるね
全然違うよ
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
>「行列式はテンソルです」って、笑える
「行列式は行列です」って、アタマ痛ぇｗ
653:１３２人目の素数さん
20/09/23 17:37:44.92 jby33uIR.net
>>564
💊飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
適応
添付文書に記載された用法は以下である。
統合失調症
成人は1日6mg-12mgを開始用量として、1日6mg-24mgを維持量とする。
1回または2回に分けて経口投与し、1日30mgを超えないようにする。
年齢や症状に応じて適宜減量する。
効果を発揮するまでに約2週間必要なため、2週間以内に増量しないことが望まれる。
654:裏
20/09/23 17:55:15.65 Lrj4KtsS.net
>>570
眠り薬と鎮静剤ですかね。
まぁ、そんなところでしょうが、
気付け
655:薬以上には役に立っていますよ。
656:１３２人目の素数さん
20/09/23 19:44:30.11 jby33uIR.net
>>571
＞眠り薬と鎮静剤ですかね。
いえ、抗精神病薬です。
ちなみに睡眠薬は身体によくないよ
ベンゾジアゼピン
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベンゾジアゼピン薬物乱用
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
657:粋蕎
20/09/23 19:54:57.84 LRTMYflj.net
実数→複素数→多元数
スカラー→ベクトル→テンソル
テンソルは正方行列である
658:１３２人目の素数さん
20/09/23 20:00:07.61 jby33uIR.net
蕎麦に質問だ
実行列の行列式は、列ベクトル（行ベクトルでもいいが）が張る
平行体のｎ次元体積を表している
複素行列の行列式は、いったい何を表しているんだろう？
答え？僕は知らないよ 単に思いついたから訊いてみただけ
659:１３２人目の素数さん
20/09/23 21:41:24.65 jby33uIR.net
◆yH25M02vWFhP 死す
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:124番)-125
660:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 23:29:05.88 LeQWW8SA.net
＜転載＞
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:122番)-123
jby33uIR さんは、維新さん（下記）（＾＾；
「行列式はテンソルです」って、笑える
必死だな
”「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね”か、外しまくりだな（下記 テンソル wikipedia）
（参考）
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
必死チェッカーもどき
(抜粋)
トップページ > 数学 > 2020年09月23日 > jby33uIR
3 位/75 ID中 Total 10
使用した名前一覧
１３２人目の素数さん
書き込んだスレッド一覧
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
残念だった天才・秀才達を思い出そう
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
書き込みレス一覧
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
617 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/09/23(水) 06:04:01.08 ID:jby33uIR
AIはAI 自分は自分
数学したくない人はセックスでもしてればいいよ
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
569 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/09/23(水) 17:11:05.56 ID:jby33uIR
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
純粋・応用数学（含むガロア理論）4
570 ：１３２人目の素数さん[]：2020/09/23(水) 17:37:44.92 ID:jby33uIR
??飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル
つづく
661:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 23:29:42.76 LeQWW8SA.net
>>576
つづき
例
工学では剛体や流体内の応力がテンソルによって説明される。実際のところ「テンソル」という言葉はラテン語の「延びる物」、つまり応力を発生するもの、という意味の言葉からきている。物体内の特定の面要素に特に注目して考えれば、面の一方の側にある物質が反対側に対して力をおよぼしていると考えられる。一般にはこの力は面に垂直な向きに働いてはおらず、面の向きに線形的に依存して決まるとしかいえない。したがってこれは(2,0)型のテンソル（正確に言えば、応力は位置によってかわるので、(2,0)型のテンソル場）によって記述される。
幾何におけるテンソルでは二次形式や曲率テンソルが有名である。物理学におけるテンソルにはエネルギー・運動量テンソル、慣性能率テンソルや極分解テンソルがある。
幾何学的な量や物理学的な量はその記述について内在的な自由度を考えることによって分類できる。圧力、質量、温度などのスカラー量はただ一つの数によって指定できる。力のようなベクトル量を表示するためには数のリストを用いる必要があるし、二次形式のような量は複数の添字系によって並べられる数の配列を用いて表示される。これらの量はテンソルとして考えなければとらえることができない。
実際のところテンソルの概念はとても一般的なものであり、上の例全てに当てはまっている。つまり、スカラーやベクトルはテンソルの特別なものと見なすことができる。スカラーをベクトルと区別し、これら二つをより一般のテンソル�
662:ｩら区別しているのは、その要素の表現にもちいられる配列の添字の組の数である。この数はテンソルの階数（または位数）とよばれる。したがってスカラーは階数 0（添字は必要ない）のテンソルであり、ベクトルは階数 1 のテンソルだということになる。 テンソルの別の例は一般相対性理論におけるリーマン曲率テンソルであり、次元<4, 4, 4, 4>（空間3次元と時間1次元で合わせて4次元）の4階テンソルとして表現される。これは256（ = 4 × 4 × 4 × 4）の成分を持っているが、実際に独立な要素の数は20であり、表記を大きく単純化することができる[4]。 (引用終り) 以上
663:粋蕎
20/09/24 01:34:30.54 SCQzjZ4+.net
>>574
知らん。実時間上n次元体積に対する虚時間上n次元体積？
664:１３２人目の素数さん
20/09/24 06:27:45.02 H6sqOdXp.net
◆yH25M02vWFhP 四度目の死
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:134番)
665:１３２人目の素数さん
20/09/24 06:29:20.65 H6sqOdXp.net
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは証明できることではあるが、
しばしばより内在的な定義が取り上げられる。
その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。」
交代多重線型形式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「線型代数学における行列の行列式や、
微分幾何学における微分形式は
多重線型交代形式の重要な例である。」
多重線型交代写像
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「W = K のときを考えれば、函数 det_e は
f(e_1,…,e_n)=1 を満たす唯一の n-重線型交代形式 f
として特徴づけられる。」
◆yH25M02vWFhP 今度こそキッチリ死んで、
次は、数学のわかる賢いヤツに生まれ変われよ！
666:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 10:29:57.31 2CuZB/b0.net
>>567
ヤング率ね
下記英文wikipedia によると
”However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782?predating Young by 25 years.[35] Furthermore, the idea can be traced to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young's 1807 paper.”
とある。オイラーは偉大だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヤング率
ヤング率（ヤングりつ、英語: Young's modulus）は、フックの法則が成立する弾性範囲における、同軸方向のひずみと応力の比例定数である[1]。
この名称はトマス・ヤングに由来する。縦弾性係数（たてだんせいけいすう、英語: modulus of longitudinal elasticity[1]）とも呼ばれる。
概要
ヤング率は、線形弾性体ではフックの法則
ε = σ/ E
ε：ひずみ，σ：応力，E：ヤング率
より、
E= σ/ε
である。
一般の材料では、一方向の引張りまたは圧縮応力の方向に対するひずみ量の関係から求める。ヤング率は、縦軸に応力、横軸にひずみをとった応力-ひずみ曲線の直線部の傾きに相当する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
トマス・ヤング（Thomas Young, 1773年6月13日 - 1829年5月10日）は、イギリスの物理学者。
弾性体力学の基本定数ヤング率に名前を残している。ほかにエネルギー (energy) という用語を最初に用い、その概念を導入した。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(scientist)
Thomas Young (scientist)
Young's modulus
667: Main article: Young's modulus Young described the characterization of elasticity that came to be known as Young's modulus, denoted as E, in 1807, and further described it in his Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts.[34] However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782?predating Young by 25 years.[35] Furthermore, the idea can be traced to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young's 1807 paper.
668:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 10:43:07.99 2CuZB/b0.net
内積：二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
多重線型写像：多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。
例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
では、内積はテンソルか？ｗｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
内積
線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型写像
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積（フランス語版）、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。
目次
1 定義
2 成分表示
3 テンソル積との関係
4 対称性・反対称性・交代性
例
・任意の双線型写像は多重線型写像である。例えば、ベクトル空間上の任意の内積や R3 のベクトルのクロス積は多重線型写像である。
669:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 11:27:05.30 2CuZB/b0.net
>>582 関連
多重線型写像に「テンソル積との関係」という記述があります。ご参考
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型写像
目次
1 定義
2 成分表示
3 テンソル積との関係
4 対称性・反対称性・交代性
テンソル積との関係
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。
すなわち多重線型写像の空間 L(E1, ・・・, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 〇x ・・・ 〇x Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。
ここに E1 〇x ・・・ 〇x Ek は E1, ・・・, Ek のテンソル積である。
この対応関係において対応する多重線型写像 f： E_1 ｘ ・・・ ｘ E_k→ F と線型写像 ~f： E_1〇x ・・・ 〇x E_k→ F の間の関係は、
等式
~f(x_1〇x ・・・ 〇x x_k)=f(x_1,・・・ ,x_k) (x_i∈ E_i)
によって端的に表される。すなわち、この等式を満たすという意味で
f は ~f の制限であり、
~f は f の唯一の線型な拡張である[注釈 1]。
注釈1^
上記の関係式では
~f の値は単純テンソル上でしか与えられていないが、単純テンソルの全体はテンソル積空間全体を生成するから、
線型写像 ~f はこれだけで一意に決定されることに注意する。
＜英文＞
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Multilinear map
Contents
1 Examples
2 Coordinate representation
3 Example
4 Relation to tensor products
Relation to tensor products
There is a natural one-to-one corre
670:spondence between multilinear maps f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W, and linear maps F： V_1〇x ・・・ 〇x V_n→ W, where V_1〇x ・・・ 〇x V_n denotes the tensor product of V_1,・・・ ,V_n. The relation between the functions f and F is given by the formula F(v_1〇x ・・・ 〇x v_n)=f(v_1,・・・ ,v_n).
671:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 12:20:09.60 2CuZB/b0.net
>>583 補足
ja.wikipedia ”多重線型写像”の和文がおかしいな（下記）
英 for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
和 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」
”if all of the variables but v_i are held constant”
”held constant”は、定数でいいんじゃない？
で、”but v_i are held constant ”のところ、「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」は、意味逆じゃね？（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型写像
正確には、多重線型写像は、 V_1,・・・ ,V_n および W をベクトル空間（あるいは可換環上の加群）として、次の性質を満たす写像
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W
である： 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
＜英文＞
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Multilinear map
More precisely, a multilinear map is a function
f： V_1ｘ ・・・ ｘ V_n→ W,
where V_1,・・・ ,V_n and W are vector spaces (or modules over a commutative ring), with the following property: for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
672:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 13:04:02.68 2CuZB/b0.net
>>584 訂正
(引用開始)
「vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき」
”if all of the variables but v_i are held constant”
(引用終り)
？
これで良いのか
”are held constant”は、複数形だかならね（＾＾；
673:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 13:12:00.49 2CuZB/b0.net
>>585 追加
各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ ,v_n) は vi に関して線型である[1]。
for each i, if all of the variables but v_i are held constant, then f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n) is a linear function of v_i.[1]
ここで、”linear function of v_i”をしっかり訳して、f(v_1,・・・ v_i,・・・ v_n)とv_iを明示して
”各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f(v_1,・・・ v_i,・・・ ,v_n) は viの線型関数となる[1]。”
くらいにしないと、意味取りにくいな（＾＾
674:１３２人目の素数さん
20/09/24 16:54:17.81 H6sqOdXp.net
>>582
>内積：二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるため
> スカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。
>多重線型写像：多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときは
> とくに多重線型形式と言う。
>例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、
>行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
>では、内積はテンソルか？ｗｗ
ええ、内積も、行列式同様、テンソルですが、何か？
（完）
675:１３２人目の素数さん
20/09/24 16:56:30.99 H6sqOdXp.net
>>584
>"all of the variables but v_i …"
>なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
>「vi を除くすべての変数・・・」は、意味逆じゃね？
なんだ、◆yH25M02vWFhPは、数学だけじゃなく英語もダメなのか？
”all ○ but ●”（●以外の○全部）も知らんとは（呆）
例えば
”all but finitely many ・・・”は、
「有限個の例外を除いて（すべて）」の意味
676:１３２人目の素数さん
20/09/24 16:58:38.55 H6sqOdXp.net
>>586
（「vi に関して線型である」について）
>”linear function of v_i”をしっかり訳して
> 「viの線型関数となる」くらいにしないと
>意味取りにくいな
関係ないな
単に、◆yH25M02vWFhPが、
（数学だけでなく）英語も不勉強で
”all … but …”を知らんだけ
こんな🐎🦌じゃ、国立大学なんか、到底受かるわけねぇな
677:１３２人目の素数さん
20/09/24 17:18:16.34 vInmwnby.net
>>584
>"all of the variables but v_i …"
>なんか、和文の意味が取れないと思ったら、誤訳かね
>「vi を除くすべての変数・・・」は、意味逆じゃね？
「vi を除くすべての変数・・・」で合ってるよ。
このbutは「～以外の」という意味の前置詞な。butは接続詞のみと思ったら間違い。
678:１３２人目の素数さん
20/09/24 18:54:48.44 SCQzjZ4+.net
大阪符内大学学部別偏差値一覧
URLﾘﾝｸ(www.univ-library.com)
より詳細に
大阪符内大学学科別偏差値一覧
URLﾘﾝｸ(www.minkou.jp)
679:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 20:15:42.68 TqvS6Yz8.net
>>591
ご苦労さん（＾＾
680:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 20:28:17.23 TqvS6Yz8.net
>>587
(引用開始)
>では、内積はテンソルか？ｗｗ
ええ、内積も、行列式同様、テンソルですが、何か？
（完）
(引用終り)
へへー
「内積も、行列式同様、テンソルです」か
強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
真の数学とはほど遠いけどなｗ（＾＾
ソフィスト：（古代ギリシャ）政治的成功を望む人間は大衆に自己の主張を信じさせる能力を必要とした。そのためには、自信たっぷりに物事を語ることで人々を納得させ、支持を取り付けるものとしての話術の習得が必須であった
とあるな
面白い（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ソフィスト
ソフィスト（英: Sophist, 古希: Σοφιστ??, Sophist?s, ソピステース）は、紀元前5世紀ごろ、すなわちペルシア戦争後からペロポネソス戦争ごろにかけて、主にギリシアのアテナイを中心に活動した、金銭を受け取って徳を教えるとされた弁論家・教育家の総称。
ギリシア語に忠実な読みはソピステースである。語源としては「賢くする」を意味する動詞「ソピゾー」（σοφ?ζω）から作られた名詞であり、「賢くする人」「智が働くようにしてくれる人」「教えてくれる人」といった意味がある。代表的なソフィストに、プロタゴラス、ヒッピアス、ゴルギアス、プロディコスがいる。彼らの同時代人にソクラテスがいる。
時代背景
ソロンの立法（紀元前594年）、クレイステネスの改革（紀元前507年）を経てアテナイには民主制が形成される。この世界史に初めて登場する民主制は、従来の有力・富裕氏族による独裁を防ぎ、選挙・抽選によって国民（女性・未成年・奴隷を除く）のほとんど全てが政治に関わることを可能とした。
しかし、ペロポネソス戦争の頃から、冷静に政治的判断を行うべき評議会（政務審査会）はその機能を失う。評議会には説得力のある雄弁を用いて言論を支配するデマゴーグ（煽動的民衆指導者）が現れるようになり、戦争期の興奮の中、デマゴーグの誘導によって国策が決められるようになってしまった。
つづく
681:現代数学の系譜 雑談
20/09/24 20:28:40.03 TqvS6Yz8.net
>>593
つづき
そのような社会状況の中で、政治的成功を望む人間は大衆に自己の主張を信じさせる能力を必要とした。そのためには、自信たっぷりに物事を語ることで人々を納得させ、支持を取り付けるものとしての話術の習得が必須であった。ここに、大金を出して雄弁の技術を身につけようとする者と、それを教えるとするソフィストの関係が成り立つこととなった。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
詭弁
詭弁（詭辯、きべん、希: σοφιστικ?、英: sophism）とは、主に説得を目的として、命題の証明の際に、実際には誤っている論理展開が用いられている推論。誤っていることを正しいと思わせるように仕向けた議論。奇弁、危弁とも。意図的ではない誤謬は異なる概念。
歴史
「詭弁」という語は、『史記』に見ることができる。 「屈原賈生列伝」で「設詭辯於懐王之寵姫鄭袖（詭弁を懐王の寵姫鄭袖に設く）」との用例がある[8]。 「五宗世家」で「好法律持詭辯以中人（法律を好み詭弁を持して、以て人に中つ）」との用例があり[9]、『史記索隠』は詭弁の語義について「詭誑ノ弁」（あざむき、たぶらかす言葉）と注している。
古代中国の詭弁は学問的な発展につながらなかったが、古代ギリシャの時代には詭弁が飛躍的に発展し後
682:世の論理学の発展へとつながっていった[10]。この時代は、弁舌に長じた哲学者達を多く輩出し、日本語で「詭弁家」とも称されるソフィストを生んだ。 ゼノンやプロタゴラスは紀元前400年以前のギリシアのアテナイなどで活躍し、哲学の分類では名家やソフィストなどを含めて詭弁学派と呼ぶことがある。 ギリシャ、ローマの時代では、為政者、立候補者が高い地位につくために、人心を得る演説をする必要があった。そのためには、正当な弁論術よりも、詭弁、強弁、争論が有用であったため、ソフィストが台頭することとなった[12]。 (引用終り) 以上
683:１３２人目の素数さん
20/09/24 21:04:13.77 H6sqOdXp.net
>>593
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」か
ええ
それが真の数学ですが
大学にも入れない🐎🦌には理解できなかったかな？（嘲）
数学はともかく、英語でall butも知らないんじゃねｗｗｗｗｗｗｗ
684:１３２人目の素数さん
20/09/24 21:56:43.65 H6sqOdXp.net
>>591
◆yH25M02vWFhP は 大阪と大学の間の２文字を省略したらしいｗ
ちなみにもっとも偏差値の低い大阪＊＊大学のシラバスを確認したが
代数学１～３で線型代数をやるらしい
１はベクトルと行列（正則行列、逆行列）と一次変換で終わってしまい
２でやっと行列式、３で固有値をやるらしい
使ってるテキストを調べたが、レビューがボロクソだったには泣けた
教科書くらい分かりやすいものを作れよといいたい
685:１３２人目の素数さん
20/09/24 22:04:30.89 H6sqOdXp.net
ただの線型代数で四苦八苦してるような大学じゃ
テンソルとか外積代数とかいうだけで最先端とか思ってるだろうし
線型表現なんて出てきた日には白目剥いて泡吹いて卒倒するんじゃないだろか？
686:１３２人目の素数さん
20/09/24 23:26:33.62 YmbVQKzN.net
>>593
>へへー
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
>真の数学とはほど遠いけどなｗ（＾＾
じゃあテンソルじゃないことを示してみて
687:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 07:20:05.53 r08k0jea.net
>>593 補足
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
説明します（＾＾
内積とテンソルの違い
”ベクトル解析 物理のかぎしっぽ”の”もういちどだけ内積・外積”にあるよ
内積はテンソル積を使って説明できる
（原文見る方が、良いです。この板ではテンソル積（丸にxが入った）が書けないので◯xで代用しているし、添え字（上付き、下付き）も不便なので視認性が悪いから）
要するに、内積はテンソル積を使って説明できるが、テンソルではない
テンソル：私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．
ってあるよ
関連のところも、引用しておいたので見て下さい
”テンソルの概念”、”多重線形性とテンソル空間”などもご参照
（”ベクトル解析 物理のかぎしっぽ”は、よく書けていると思うので、興味のある人は他の箇所も読んでおくといいです（＾＾ ）
（なお、”注 たまに，テンソルのことを行列だと勘違いしている人に遭遇します”とか、”注 ベクトルの集合は ベクトル空間 と呼ばれる代数構造を持ちますが，ベクトルの元同士に適切な乗法を定義したベクトル空間を代数と呼びます．代数と言うと，代数学の意味もありますから紛らわしいですが，数学者は乗法の定義されたベクトル空間を代数と呼んでしまっても混乱しないようです．テンソル積によってベクトル空間から生成される代数は テンソル代数 と呼ばれます．”とかも（＾＾； ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
ベクトル解析 物理のかぎしっぽ
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
もういちどだけ内積・外積
(抜粋)
ベクトルの掛け算（テンソル積）
{A}=a^1{e_1}+a^2{e_2}+a^3{e_3}
{B}=b^1{e_1}+b^2{e_2}+b^3{e_3}
つづく
688:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 07:20:39.72 r08k0jea.net
>>599
つづき
{A}◯x {B}
=(a^1{e_1}+a^2{e_2}+a^3{e_3})◯x (b^1{e_1}+b^2{e_2}+b^3{e_3})
=a^1b^1{e_1}◯x {e_1}+a^1b^2{e_1}◯x {e_2}+a^1b^3{e_1}◯x {e_3}
+a^2b^1{e_2}◯x {e_1}+a^2b^2{e_2}◯x {e_2}+a^2b^3{e_2}◯x {e_3}
+a^3b^1{e_3}◯x {e_1}+a^3b^2{e_3}◯x {e_2}+a^3b^3{e_3}◯x {e_3} (1)
内積
基底の積 {e_i}◯x {e_j} に関して，次のようなルールを決めることにします．
もし i=j ならば， {e_i}◯x {e_i} =1 とする．
もし i ≠ j ならば， {e_i}◯x {e_j} =0 とする．
すると式 (1) は次のようになります．
{A}◯x {B}
=a^1b^1{e_1}◯x {e_1}+a^2b^2{e_2}◯x {e_2}+a^3b^3{e_3}◯x {e_3}
=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3
このルール 1 ～ 2 を導入する場合は，特に ◯x の代わりに ・ と書くことにしましょう．
{A}・ {B}=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3
これはご存知の通り，内積に他なりません．
考察
内積
式 (1) で行った掛け算にはちゃんと名前がついていて，実はテンソル積と言います．テンソル積に対し，特別にルールを課すと，内積と外積という掛け算を作ることを見ました．基底の積が {e_1}◯x {e_1} のように同じ基底の積になっているものだけを内積と呼び，同様に {e_1}◯x {e_2} のように異なる基底の積になっているものを外積と呼びましたが，テンソル積の成分を次のように行列で書くと，テンソル積成分のうちどこが内積部分と外積部分に相当するのかがよく分かります．
つづく
689:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 07:21:38.88 r08k0jea.net
>>600
つづき
テンソル
私達は，最初にそのままベクトルを掛け合わせ，そこに独特のルールを課することで内積と外積を分離しましたが，何も分離しないで，そのままテンソル積 ◯x の形で考えることもできます．このようにして出てきた量は，テンソルと呼ばれます．
注
たまに，テンソルのことを行列だと勘違いしている人に遭遇します．この勘違いは恐らく，物理学や工学に出てくるテンソルの多くが二階のテンソルで，式 (2) の行列形でいきなり教科書に紹介されることに原因していると思われます．式 (1) のように基底に着目し，ベクトルを拡張したものがテンソルだということが分かっていれば，テンソルを単なる行列だと勘違いすることは無いでしょうし，三階以上のテンソル成分を行列で表わそうと思ったら少し工夫が必要だということも察せられるでしょう．
このあと テンソルの概念 では，テンソル成分が座標変換の際に満たすべき関係式を使ってテンソルを定義します．テンソルは結構奥の深い分野ですから，それだけで色々楽しめると思います．
注
ベクトルの集合は ベクトル空間 と呼ばれる代数構造を持ちますが，ベクトルの元同士に適切な乗法を定義したベクトル空間を代数と呼びます．代数と言うと，代数学の意味もありますから紛らわしいですが，数学者は乗法の定義されたベクトル空間を代数と呼んでしまっても混乱しないようです．テンソル積によってベクトル空間から生成される代数は テンソル代数 と呼ばれます．
つづく
690:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 07:21:57.77 r08k0jea.net
>>601
つづき
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
テンソルの概念
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
多重線形性とテンソル空間
(抜粋)
ここまで勉強したことを少しおさらいしておきましょう．ベクトル空間 V とその双対空間 V^{*} という考え方がベクトル代数に出てきましたが，そこで考えた線形性を二変数関数にまで拡張し，双線形性という性質を考えることで，新たにベクトル空間 V ◯x V = L_2(V^{*}) という概念に到達しました．そして， V ◯x V の元は，私達が今まで考えてきた二階のテンソルであることを確認しました．
同様にして，多変数関数に対して多重線形性という性質を考えることで，さらに高次のベクトル空間 V ◯x V ◯x ・ ・ ・ ◯x V= L_{n}(V^{*}) を考えることが出来ます．このようにして生成したベクトル空間を，一般には テンソル空間 と呼び，記号 ◯x をテンソル積と呼ぶのでした．
(引用終り)
以上
691:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 15:44:36.35 gn+8iQGQ.net
>>593 補足
>「内積も、行列式同様、テンソルです」か
>強弁・詭弁も、ここまでくれば、立派なもの
「行列式」について
「外積代数」：
”線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し”
とあるけど
外積はテンソルとは違うよね
外積の記述
”5 交代テンソル代数
しかしこれはテンソル積とは異なる乗法”って書かれていますよね～（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
ベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高
692:次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。 外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。 つづく
693:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 15:45:04.65 gn+8iQGQ.net
>>603
つづき
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
∧ ： ∧ (V) ｘ ∧ (V) → ∧ (V);(α ,β )→ α ∧ β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧ v=0
を持つものである。これは以下の性質
(2) 任意の u,v∈ V に対して u∧ v=-v∧ u
(3) v_1,・・・ ,v_ｋ∈ V が一次従属ならば v_1∧ v_2∧ ・・・ ∧ v_ｋ=0
を特別の場合として含む[2]。
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の（ベクトル空間としての）双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に V 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。
5 交代テンソル代数
しかしこれはテンソル積とは異なる乗法であって、Alt の核がちょうど両側イデアル I に一致して（K は標数 0 だと仮定している）、自然な同型
A(V)＝～ ∧ (V)
が存在する。
7 歴史
(引用終り)
以上
694:１３２人目の素数さん
20/09/25 17:45:19.65 odtDyxBa.net
>>599
>内積はテンソル積を使って説明できる
然り
>…が、テンソルではない
否
>>603
>交代テンソル代数
>これはテンソル積とは異なる乗法
然り
>外積はテンソルとは違うよね
否
以下で明らかになように
「反変ベクトルのテンソル積からスカラーへの線型写像」
であるので共変テンソルである
もういちどだけ内積・外積
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
「内積
基底の積 ei ○x ej に関して，次のようなルールを決めることにします．
もし i=j ならば， ei ○x ｅi =1 とする．
もし i=/=j ならば， ei ○x ｅj =0 とする．」
「外積
今度は，次のようなルールを導入してみましょう．
ei ○x ｅj =－eｊ ○x ｅi とする．
（もし i=j ならば， ei ○x ｅi=- ei ○x ｅi なので、左辺右辺とも0）」
（注：元のHPの記述がダサいのでスマートに修正）
ここで、外積について
「n次元のとき e1 ○x ・・・ ○x en = 1」
とすれば、n×nの行列式の定義ができる
つまり、反変ベクトルのテンソル積の各基底に対して
スカラーを割り付けるだけなので、共変テンソル
◆yH25M02vWFhP、引用したHPで自説を真正面から否定され自爆
695:１３２人目の素数さん
20/09/25 19:48:58.10 CLji2EFp.net
>◆yH25M02vWFhP、引用したHPで自説を真正面から否定され自爆
わろたｗ
696:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 20:56:27.01 r08k0jea.net
>>605-606
時枝でもサルは二匹居たけど
チンパンジー並みの知能が二匹なのか
はたまた、低脳が二つのIDを使い分けているのかしらないが
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
チンパンジー並みの知能が二匹なのか
はたまた、低脳が二つのIDを使い分けているのかしらないが
そんなことを書いている数学教科書および論文皆無
みんな、呆れているぜｗ（＾＾；
697:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 21:12:38.66 r08k0jea.net
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
698:こんなん、時枝以上に勝負は明白 チンパンジーに賛同する数学徒ゼロ 別に、こちらが百万言を労して説明する必要なしだが 面白いから じわじわやるかなｗ（＾＾； しかし、無知無理解も、ここに極まれりか なるほど 数学科でオチコボレるはずだわな なんにも数学分かってないんかいｗｗ（＾＾；
699:１３２人目の素数さん
20/09/25 21:16:15.14 odtDyxBa.net
>>607
＞「行列式はテンソルです」
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」
＞そんなことを書いている数学教科書および論文皆無
いや、どの教科書にも書いてあるけど
ニワトリ並の知能の◆yH25M02vWFhPには読み取れないだけ
ここはトリの来るとこじゃない
700:１３２人目の素数さん
20/09/25 21:22:01.22 odtDyxBa.net
>>608
＞こちらが百万言を労して説明する必要なし
そもそも◆yH25M02vWFhPが引用したHPが
内積も行列式も共変テンソルである決定的証拠
>>605で、◆yH25M02vWFhP、自爆死
しかし自分が死んだことにも気づかぬありさま
シロウトって哀れだね・・・
701:現代数学の系譜 雑談
20/09/25 23:35:45.18 r08k0jea.net
>>608 補足
下記、テンソルの概念に、「ベクトルは一階のテンソル」とある
内積はご存知二つのベクトルのスカラー積です
この文脈で、「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）とかなればさ
あらら、「内積も、ベクトルです」とかなってよｗ、それワケワカだわなｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
テンソルの概念
添字の数が 2 なので，計量テンソルは 二階のテンソル という種類になります．実は スカラーは零階のテンソル ， ベクトルは一階のテンソル なのです．
702:１３２人目の素数さん
20/09/26 08:33:32.51 yzp/rGwK.net
>>611
＞「ベクトルは一階のテンソル」
＞内積はご存知二つのベクトルのスカラー積
＞この文脈で、「内積も、行列式同様、テンソルです」とかなれば
＞「内積も、ベクトルです」とかなって
なにワケワカランこといってんだ？ この🐎🦌
スカラーは０階のテンソル
ベクトルは１階のテンソル
そして２階以上のテンソルは、
スカラーでもベクトルでもない
内積は、「２階の」「共変」「対称」テンソルだぞ
２階わかってるか？
共変わかってるか？
対称わかってるか？
ついでにいうと、（ｎ×ｎの）行列式は
「ｎ階の」「共変」「反対称」テンソルだぞ
ｎ階わかってるか？
共変わかってるか？
反対称わかってるか？
703:１３２人目の素数さん
20/09/26 08:42:08.92 yzp/rGwK.net
シロウトがつまづく石 その１
・ベクトルｎ個のテンソル積は、ｎ階テンソル
・一方任意のｎ階テンソルが、ベクトルｎ個のテンソル積に分解できるわけではない
なぜか？
ベクトルがｄ次元だとする
・ｎ階テンソルの次元はｄ＾ｎ
・一方 ｎ個のベクトルの直積の次元はｎｄで、
ｄが２以上、ｎが２以上で、ｄ＝２、ｎ＝２以外なら ｎｄ＜ｄ＾ｎ
したがってベクトルのテンソル積で表せないテンソルが存在する
704:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 08:45:53.31 l8trEkrZ.net
これいいね
分り易いね
URLﾘﾝｸ(ibis.t.u-tokyo.ac.jp)
社会人向け講座「データ分析者養成コース」
機械学習技術とその数理基盤
(第2部)
鈴木大慈
東京大学大学院情報理工学系研究科数理情報学専攻
理研AIP
2018年4月4日/4月18日
P63
深層学習の脆さ
少し作為的ノイズを入れ
ただけでパンダをテナガ
ザルと間違える．
しかもかなり強い自信を
もって間違える．
[Szegedy et al.: Intriguing properties of neural networks. ICLR2014.]
標識をハックすることで誤認識を誘発．
「STOP」を「スピード制限時速45mile」と誤認識
[Evtimov et al.: Robust Physical-World Attacks on Machine Learning Models. 201
705:7] 深層学習の信頼性評価はまだ難しい
706:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 08:48:27.57 l8trEkrZ.net
>>612-613
(引用開始)
内積は、「２階の」「共変」「対称」テンソルだぞ
２階わかってるか？
ついでにいうと、（ｎ×ｎの）行列式は
「ｎ階の」「共変」「反対称」テンソルだぞ
ｎ階わかってるか？
(引用終り)
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗ（＾＾
707:１３２人目の素数さん
20/09/26 08:52:29.42 yzp/rGwK.net
シロウトがつまづく石 その２
反変と共変の違いが分かってない
反変ベクトルが普通のベクトルだとすると
・共変ベクトルは反変ベクトルからスカラーへの線形写像
そして
・反変ベクトルは共変ベクトルからスカラーへの線形写像
と同一視できる（ここ、重要！！！）
上記を踏まえた上で
・ｎ階共変テンソルは、ｎ個の反変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
・ｎ階反変テンソルは、ｎ個の共変ベクトルからスカラーへのｎ重線型変換
（注：”ｎ個の反変ベクトルのテンソル積全体”としないのは、
線型空間にならないから）
で、実は同値であるが（問：証明せよ）
・ｎ階共変テンソルは、ｎ階反変テンソルからスカラーへの線型写像
・ｎ階反変テンソルは、ｎ階共変テンソルからスカラーへの線型写像
708:１３２人目の素数さん
20/09/26 09:12:32.24 yzp/rGwK.net
>>599-602のリンクのHPの記載を見れば
内積も行列式も
（”複数の反変ベクトルのテンソル積”を包含する）反変テンソルから
スカラーへの線型写像になっている、とわかる
したがって共変テンソルである
（もちろん、もとの
”複数の反変ベクトルからスカラーへの多重線型写像”
の定義でも共変テンソルだが）
709:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 10:16:56.41 l8trEkrZ.net
>>616-617
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗｗ（＾＾
710:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 10:37:56.07 l8trEkrZ.net
>>>612-613 ＆ >>616-617
”ｎ階”の数学的定義は？ｗｗｗｗｗ（＾＾
(>>608より)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
こんなん、時枝以上に勝負は明白
チンパンジーに賛同する数学徒ゼロ
別に、こちらが百万言を労して説明する必要なしだ
(引用終り)
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
か
ばかサルが、屁理屈こね回して、
失言を正当化しようと、悶絶している
笑える
いくら屁理屈こね回しても
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
なんて、アホとしか言いようがないぜ
711:m9(^Д^)
20/09/26 11:20:29.78 yzp/rGwK.net
>>618
＞ｎ階”の数学的定義は？
引数の数
v_1,…,v_n をベクトルとする
スカラーを値とする多重線型関数fが
ｎ個の反変ベクトルを引数とするなら
ｎ階共変テンソル
で、逆にw_1,…,w_n を共変ベクトルとする
（共変ベクトルは、反変ベクトルからスカラーへの線型関数）
スカラーを値とする多重線型関数fが
ｎ個の共変ベクトルを引数とするなら
ｎ階反変テンソル
そんな初歩的なことも知らん🐎🦌が
「行列式も内積もテンソルとか、マジワロス」
とか恥ずかしいことほざくなよ
おまえの方がマジ、ワロス、っていうか
m9(^Д^)プギャー
712:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 18:09:19.02 l8trEkrZ.net
>>620
引数とは？
引数の数学的定義を述べよ！
なお、下記の文献等は
テンソルの階数は、添字の数で定義している。
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせるという
これら、従来のテンソルの階数の定義と、あなたの引数による階数の定義との違いは？
同じなのか、違いがあるのか！
（参考）
(>>611)
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
添字の数が 2 なので，計量テンソルは 二階のテンソル という種類になります．実は スカラーは零階のテンソル ， ベクトルは一階のテンソル なのです．
(>>483)
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
P4
0階のテンソル スカラー
1階のテンソル ベクトル
2階以上のテンソル テンソル
（>>302）
URLﾘﾝｸ(dyna.geo.kyushu-u.ac.jp)
地球惑星数理演習 九州大
URLﾘﾝｸ(dyna.geo.kyushu-u.ac.jp)
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P14
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせる。
713:１３２人目の素数さん
20/09/26 19:07:31.92 kdQZCrAn.net
>>621
>引数とは？
>引数の数学的定義を述べよ！
引数が分からないバカに数学は無理
714:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 19:10:36.44 l8trEkrZ.net
>>622
>>引数とは？
>>引数の数学的定義を述べよ！
>引数が分からないバカに数学は無理
定義なくして数学なし
引数の数学的定義ができないなら、”引数”による数学はできない
数学における定義の重要性が
715:分からないバカ、数学は無理
716:１３２人目の素数さん
20/09/26 19:55:34.40 kdQZCrAn.net
>>623
定義が無いなんて言ってないがな
相変わらず国語がダメだね、英国数全滅だね
717:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 19:59:41.22 l8trEkrZ.net
>>624
同じだよ
定義を言えなければ、”引数”の数学は始まらない
718:m9(^Д^)
20/09/26 20:05:58.08 yzp/rGwK.net
>>621
>引数とは？
>引数の数学的定義を述べよ！
引数知らない🐎🦌発見！！！
引数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「引数（ひきすう）、パラメータ（ー）（英語:parameter）は、
数学における関数やコンピュータプログラムにおける手続きにおいて、
その外部と値をやりとりするための特別な変数、
あるいはその変数の値のことである。」
>なお、下記の文献等は
>テンソルの階数は、添字の数で定義している。
>従来のテンソルの階数の定義と、
>あなたの引数による階数の定義との違いは？
>同じなのか、違いがあるのか！
もちろん、同じだけどね
引数の数だけ添字がつくから
考えりゃわかる 考えない🐎🦌には分からん
m9(^Д^)プギャー
719:m9(^Д^)
20/09/26 20:11:11.34 yzp/rGwK.net
>>622 >引数が分からないバカに数学は無理
>>623 >定義なくして数学なし
>>624 >定義が無いなんて言ってないがな
>>625 >同じだよ 定義を言えなければ…
そもそも、このコンピュータ全盛の21世紀に
引数という言葉を全く知らない奴が理系ヅラして
数学板に書き込みしてるのが驚き
さらに、あれだけ専門用語を「ナントカを覚えたサル」みたいに
訳も分からず検索して結果を読みもせずに自慢げにコピペする奴が
引数という言葉で一切検索しないのも驚き
m9(^Д^)プギャー
720:m9(^Д^)
20/09/26 20:14:02.27 yzp/rGwK.net
m9(^Д^)プギャー
721:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 20:48:47.57 l8trEkrZ.net
>>626
全然説明になってないな
では聞く
１．引数と変数の違いは？
２．>>621に書いたが、テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
では、あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
なお、その定義の”引数”は
コンピュータプログラム用語だな
数学の教科書には”引数”は出てこない
722:m9(^Д^)
20/09/26 21:21:17.30 yzp/rGwK.net
>>629
＞引数と変数の違いは？
違わんよ
＞テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
＞あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
問いが間違ってる
正しい問いは「”引数”と”添え字”の関係を述べよ」
添え字の順番は引数の順番と一致する
そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
m9(^Д^)プギャー
723:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 21:52:17.87 l8trEkrZ.net
>>630
>＞引数と変数の違いは？
>違わんよ
違うよ。引数（ひきすう）は、プログラミングの用語で、サブルーチンと本体プログラムとの値のやり取りに使う変数だ。数学では、まずは用語”変数”を使う。”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わないよ
（下記の”関数”は、関数型プログラミングからみだろ）
まあ、なんか誤魔化そうとした魂胆見えるけどな～。自分の失言を誤魔化そうとね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
引数
引数（ひきすう）、パラメータ（ー）（英語:parameter）は、数学における関数やコンピュータプログラムにおける手続きにおいて、その外部と値をやりとりするための特別な変数、あるいはその変数の値のことである。
数学や最適化問題に関するそれ（「パラメータ」とカタカナで表現されることが多い）については「媒介変数」の記事を参照のこと。以下は専らコンピュータプログラミングに関して説明する。
関数・サブルーチン・メソッド等を定義する時に、外部から値を渡される特別な変数として指定されるのが仮引数。関数（等）を呼出す式において、仮引数に対応する式（あるいはその値）が実引数である。実行時には、実引数の値を仮引数が受け取る。
(引用終り)
>＞テンソルのｎ階とは一般に添え字の数をいう
>＞あなたの定義の”引数”とテンソルの関係をのべよ
>添え字の順番は引数の順番と一致する
>そしてそれぞれの添え字の値はベクトルの基底の番号である
(>>621より)
（一般の）文献等は
テンソルの階数は、添字の数で定義している。
スカラーは０階のテンソル、ベクトルは１階のテンソルとみなせるという
(引用終り)
「ベクトルは１階のテンソルとみなせる」において
例えば、ベクトル v=(v1,・・・,vm)
で添え字 i=1,・・・,m で、添え字はｉ一つ
v1,・・・,vmを変数と見れば、変数の数はｍ個だな
で？
”引数”？だから、なんだって？？
”引数”がｍ個だから、ｍ階か？？？ｗｗｗｗｗｗ（＾＾；
724:m9(^Д^)
20/09/26 22:19:08.
725:69 ID:yzp/rGwK.net
726:現代数学の系譜 雑談
20/09/26 23:07:32.49 l8trEkrZ.net
>>632
詭弁だな
１．どんなテンソルの、いなどんな数学の教科書にも、”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！ また、これからも使われないだろう（＾＾
（チンパンジーの教科書は知らずｗｗｗ）
２．「v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく」？ では何だ？ v1,・・・,vmが変数でなければ何だ？ｗｗ（＾＾
定数かい？ チンパンジーの数学は、面白いなｗｗ
３．「v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した」ってか？
”v=v1e1+…+vne”を一つと数えるってか？ｗ
チンパンジーの数学は、面白いなｗ
その論で言えば、全てのテンソルは、基底を使って、基底の一次結合にできるぜｗｗ
だったら、全てのテンソルは１階だなｗｗｗｗｗｗ
あほらし、テンソルは ”（テンソルの）基底を使ったら、基底の一次結合にできる”って知らなかったらしいな（下記）
チンパンジーの数学は、面白いなｗｗｗ（＾＾
参考(>>611)
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
基底を使った定義
ベクトル Ａ は適当な基底 ({e_1},{e_2},{e_3}) を使って次のように表現できました．
Ａ=A^1{e_1}+A^2{e_2}+A^3{e_3} (5)
もしくは，その成分を括弧でくくって (A^1,A^2,A^3) のように書けました．
ベクトルは一階のテンソルであることを再確認して下さい．
次に，ベクトルの基底 ({e_1},{e_2},{e_3}) を二つ組み合わせて作った基底 {e_i}◯x {e_j} を考えると，このような基底には 3ｘ 3 で 9 種類があり，その成分 T^ijとして二階のテンソルを表現することができます．
T=T^11({e_1}◯x {e_1})+T^12({e_1}◯x {e_2})+T^13({e_1}◯x {e_3})
+T^21({e_2}◯x {e_1})+T^22({e_2}◯x {e_2})+T^23({e_2}◯x {e_3})
+T^31({e_3}◯x {e_1})+T^32({e_3}◯x {e_2})+T^33({e_3}◯x {e_3}) (6)
727:m9(^Д^)
20/09/26 23:51:39.35 yzp/rGwK.net
>>633
＞詭弁だな
それは君の発言だろう
＞どんなテンソルの、いなどんな数学の教科書にも、
＞”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！
変数と同じ、と述べたので、その指摘は無意味
＞「v1,・・・,vmは線形写像の変数ではなく」？
＞では何だ？ v1,・・・,vmが変数でなければ何だ？
テンソルは「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
変数はベクトルの組であり、ベクトルの個数が変数の個数
君のいうv=(v1,・・・,vm)で、v1,・・・,vmはスカラー
そして、これは多重線形写像ｆの変数ではない
＞「v=v1e1+…+vnen と、基底の一次結合で表した」ってか？
＞ ”v=v1e1+…+vne”を一つと数えるってか？
ああ
ベクトル v=(v1,・・・,vm) と書いた時点で
v1,・・・,vmはベクトルではなくスカラーだろう？
もしベクトルだとしたらおかしな記法である
＞その論で言えば、全てのテンソルは、基底を使って、基底の一次結合にできるぜｗｗ
＞だったら、全てのテンソルは１階だなｗｗｗｗｗｗ
＞あほらし、テンソルは ”（テンソルの）基底を使ったら、基底の一次結合にできる”って知らなかったらしいな
まったくトンチンカン
そんな話は全くしていないが
テンソルｔ＝（t1、・・・、tn)とあらわすことはもちろんできる
で、このとき、t1,・・・,tnは全部スカラー
t1,・・・,tnは、テンソルを
「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
としたときの「変数」ではないし、ｎはスカラーの階数ではない
アタマ大丈夫か？
m9(^Д^)プギャー
728:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 00:28:22.02 OEEXn+D4.net
>>634
詭弁だなｗ（＾＾
>＞”引数（ひきすう）”という日本語は使われていない！
>変数と同じ、と述べたので、その指摘は無意味
チンパンジーの教科書用語かｗｗｗ
>テンソルは「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
>変数はベクトルの組であり、ベクトルの個数が変数の個数
>t1,・・・,tnは、テンソルを
>「ベクトルの組からスカラーへの多重線型写像」
>としたときの「変数」ではないし、ｎはスカラーの階数ではない
だから？
ごたくはいいから、世に言う（>>621の）「ｎ階のテンソル」と
あんたのいう ”引数（ひきすう）”との関係を説明しなよ
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
ベクトルの数を数えるのか？
逃げられないように具体例出すよ（＾＾
>>541-542に得居氏の記事があるだろ？
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテ
ンソルで表される．テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
(引用終り)
とあるよね、これで
この得居氏の画像で、あんたの流儀の”ｎ階”を説明してみて
単純に、画像は 縦10点x横10点のカラーデジタル画像とするよ
つまり、横方向に画像の点 vjk=(v1,・・,vi,・・,v10) なる10点が並んでいて
縦方向には、ｊ＝1,・・・,10の10行があり
色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
このカラー画像を表すテンソルは、何階？
人間のテンソル理論では、3階だがな
あんたの ”引数（ひきすう）”では、何階？
普通に、3階としても良いが、
あんたの その”引数（ひきすう）”と
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁって話をちゃんと使って説明してねｗ（＾＾；
729:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 00:31:20.72 OEEXn+D4.net
>>635 補足
＞色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
”引数（ひきすう）”との関係
”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
なにが、色のベクトル？ｗｗｗ（＾＾；
730:m9(^Д^)
20/09/27 07:11:04.93 zL73gCM8.net
>>635
>ごたくはいいから、世に言う「ｎ階のテンソル」と
>あんたのいう ”引数（ひきすう）”との関係を説明しなよ
>”ベクトルの個数が変数の個数”だぁ
>ベクトルの数を数えるのか？
なんだ 君、wikipediaのテンソルのページ、全然読めてないのか？
m9(^Д^)プギャー
もはや、君に弁解の余地がないことを示すために
wikipediaのテンソルのリンクと重要箇所を書き記す
テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「数学的定義
多重線型写像としての取り扱い
テンソルを多次元配列として定義するやり方では、
内在的な幾何学的対象であることから期待されるべき性質である
基底の取り方に依らないことが、定義から明らかでないという欠点がある。
テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは
証明できることではあるが、しばしばより内在的な定義が取り上げられる。
その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。
これによれば、(p, q)-型テンソル T は函数
T: （V*× … × V*） (p個)×（V× … × V） (q個）→ R
で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。
ここで V は有限次元ベクトル空間で、V∗ はその双対ベクトルからなる双対空間である。」
（注：テンソルの階数nは、p+qとして定義される、
したがって、VおよびV*のコピーの個数である）
「 (p, q)-型の多重線型写像 T を
V の基底 ej とその V∗ における標準的な双対基底 εi に対して施せば、
T_j_1 … j_q ~i_1… i_p ≡ T(ε~i_1,…,ε~i_p,e_j_1,…,e_j_q)
によりその成分として (p + q)-次元配列が得られる。
基底の取り方を変えれば異なる成分が得られるが、
T は各引数に関して線型であるから、
成分は多次元配列としてのテンソルの変換法則を満足する。
したがって、T の成分の成す多次元配列はその意味において
確かにテンソルを成していることが分かる。
さらに言えば、そのような性質を持つ多次元配列は
必ず多重線型写像 T の成分として実現できる。
そのような事情により、多重線型写像を
テンソルに基づく内在的対象を与えるものとして見ることができる。」
「 テンソルを多重線型写像と見る立場では、ベクトル空間 V を
V の双対空間上の線型汎函数全体の成す空間
（つまり V の二重双対V∗∗） と同一視するのが普通である。
V からその二重双対への自然な線型写像が 常に、V のベクトルを
「V∗ に属する線型形式を与えられたベクトルにおいて評価した値へ写す写像」
と看做すことによって与えられる。
V が有限次元ならばこの線型写像は同型であり、
しばしば V をその二重双対と同一視することは有用である。」
731:m9(^Д^)
20/09/27 07:16:22.39 zL73gCM8.net
>>637の追記
なお、wikipediaの記述�
732:ﾅも引数と云う言葉が用いられているので >>629「”引数”はコンピュータプログラム用語だな」 >>631「引数（ひきすう）は、プログラミングの用語で、… 数学では、まずは用語”変数”を使う。 ”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わないよ」 は全くの詭弁 君こそ線型代数を全く勉強したことないな m9(^Д^)プギャー
733:m9(^Д^)
20/09/27 07:32:48.17 zL73gCM8.net
>>635
以下、蛇足
>単純に、画像は 縦10点x横10点のカラーデジタル画像とするよ
>つまり、横方向に画像の点 vjk=(v1,・・,vi,・・,v10) なる10点が並んでいて
vjkはベクトルだよね？
で、v1,・・,vi,・・,v10はベクトル？
違うよね、スカラーだよね？
だったらv1,・・,vi,・・,v10じゃなく
別の文字、例えばsを使って
s1,・・,si,・・,s10
とあらわしたほうがミスがなくなるね
vjk=(s1,・・,si,・・,s10)
君、そういうこと一切考えないの？
そんな粗雑なオツムだから、数学が理解できないんだよ
それはさておき
＞縦方向には、ｊ＝1,・・・,10の10行があり
で、tk=(v1,…,vj,…,v10)とあらわせるね
ここでtkは2階テンソル、v1,…,vj,…,v10はベクトルね
＞色は、k＝1,2,3 で、1がR、2がG、3がB の３色で ３枚の画像があるとする
で、T=(t1,t2,t3)とあらわせるね
ここでTは3階テンソル、t1,t2,t3は2階テンソルね
>このカラー画像を表すテンソルは、何階？
>人間のテンソル理論では、3階だがな
>あんたの ”引数（ひきすう）”では、何階？
>普通に、3階としても良いが、
なんかニワトリが朝からコケコッコーと鳴いてウルサイが
もちろん、神（＝数学科出身者ｗ）のテンソル理論でも３階
この場合
T:V_h*×V_v*×V_c*→R
という多重線型写像で表せる
V_h* 横の点列からなるベクトルの双対空間(10次元)
V_v* 縦の点列からなるベクトルの双対空間(10次元)
V_c* 各点のRGB値からなるベクトルの双対空間(3次元)
このくらい、自分で考えられないと、数学なんて理解できないぞ！キミ
m9(^Д^)プギャー
734:m9(^Д^)
20/09/27 07:40:00.44 zL73gCM8.net
◆yH25M02vWFhP は 数学書に書かれているテンソルの定義が理解できない
だから
・内積や行列式がテンソルであることが理解できない
・機械工学やらオペレーションズリサーチやらのテンソルが
数学におけるテンソルの定義を満たしてることも理解できない
・数の並びしか理解できない🐓頭だから
スカラー：1個の数（０次元配列）
ベクトル：数の１次元配列
行列 ：数の２次元配列
テンソル：数の３次元以上の配列
というnaiveかつinnocentな理解しかできない
こういう人を、我々、数学科で学んだ”神”はこう呼ぶ
idiot
m9(^Д^)プギャー
735:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 10:10:43.10 OEEXn+D4.net
>>637-640
分かった！
”引数（ひきすう）”分かったよ
それ、”argument”からの訳語だね（下記）
研究社 英和コンピューター用語辞典、「argument」【２】 引数(ひきすう)だな
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Tensor
(抜粋：対照)
和：で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。
英：which is linear in each of its arguments.
和：T は各引数に関して線型であるから、
英：But, because T is linear in all of its arguments,
（辞書）
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
それが真の反例かどうか微妙だが、まあ、一本取られたことにして、「”引数（ひきすう）”という日本語は数学では使わない」は撤回する
だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
ところで、本題
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
だったね
n ｘ n 行列から、行列式が出る。「行列式はテンソルです」？
二つのn次元ベクトルのスカラー積が、内積だ。ベクトルは1階のテンソル。「内積も、行列式同様、テンソルです」？
あなたの”引数(ひきすう）”論で
「行列式はテンソルです」、「内積も、行列式同様、テンソルです」を、ご説明願いたしｗｗｗ（＾＾；
736:１３２人目の素数さん
20/09/27 10:27:22.04 gB08ovcU.net
>>641
>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
君の考えている線型写像は何？
737:m9(^Д^)
20/09/27 10:32:27.48 zL73gCM8.net
>>641
＞「行列式はテンソルです」、
＞「内積も、行列式同様、テンソルです」を、
＞ご説明願いたし
>>599-602で、キミ自身が引用した文章
まさか、一度も読んでないの？読まずにコピペしてるの？
なんで？日本語読めないの？
朝鮮人？中国人？
738:まさかのモンゴル人？ 読んでないなら、読んで！書いてあるから ついでに>>605も読んで！ さらに、それでOKな理由は>>616読んで！ あのさ、数学書の定義は必ず読んで、云ってることを理解しような その上で、定義から証明される基本的な定理も必ず読もうな もちろん証明もだぞ 証明理解しないと全体が理解できないだろ 君は、定義も定理も証明も一切読まずに 「数の並び方」という動物でもわかる視覚情報だけで 物事の全てを理解しようするから何も理解できないんだよ 🐓でも🐎🦌でもなく人間だっていうなら 文章読めよ 論理に基づいて考えろよ それできないと人間失格で、こういわれるぞ m9(^Д^)プギャー
739:m9(^Д^)
20/09/27 10:44:03.37 zL73gCM8.net
>>642
＞君（＝◆yH25M02vWFhP）の考えている線型写像は何？
例えば行列式の場合、行列からスカラーへの写像とか、マジで考えてそうｗ
そして・・・
「ほれ！引数１つだぞ そもそも線型じゃないぞ
全然 テンソルでもなんでもないぞ！！
I hava a win!!!」
とか鳴いてそう コケコッコー🐓
実際には、テンソルとしての行列式の引数は、ｎ次元列ベクトルｎ個
そして、そのそれぞれに対して線型性が成り立つので、多重線型
こんなの大学で行列式習う時、絶対学ぶ基本的性質
理系なら知らんとかあり得んって
大阪＊＊大学でも行列式、カリキュラムに入っとったで
740:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 11:26:19.59 OEEXn+D4.net
検索ヒットしたので貼る
初級Mathマニアの寝言 「リーマン多様体」なかなか良いね
2次テンソル場、余接空間と１次微分形式 などが、特にご参考
（参考）
URLﾘﾝｸ(ogyahogya.)ハテナブログ/entry/2015/01/31/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
初級Mathマニアの寝言
プロフィール 佐藤一宏です。東京大学で講師をしています。
数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。
2015-01-31
リーマン多様体
ユークリッド空間と2次元球面の違い
位相空間の初歩
多様体
多様体に関する注意
多様体上の関数
接空間
速度ベクトル
二つの多様体間の写像の微分
余接空間と１次微分形式
2次テンソル場
リーマン多様体
参考文献
741:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 11:31:11.27 OEEXn+D4.net
>>642
>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
>君の考えている線型写像は何？
レスありがとう
質問の趣旨が分からないが
引数(ひきすう)は、コンピュータの用語で、ベクトル値に限らない
線型写像は、線形写像でしょ？ 線型写像の一般的（辞書的）な意味は、別にある（下記）
引数(ひきすう）＝線型写像でもないよね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
線型写像
線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法（英語版）とスカラー乗法（英語版）を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
742:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 11:35:06.14 OEEXn+D4.net
>>643-644
ゴマカシ モード入りか？
繰返す
（>>641より）
本題
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
だったね
n ｘ n 行列から、行列式が出る。「行列式はテンソルです」？
二つのn次元ベクトルのスカラー積が、内積だ。ベクトルは1階のテンソル。「内積も、行列式同様、テンソルです」？
あなたの”引数(ひきすう）”論で
「行列式はテンソルです」、「内積も、行列式同様、テンソルです」を、ご説明願いたしｗｗｗ（＾＾；
チンパンジー悶絶中かい？ｗｗｗ（＾＾
743:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 11:59:36.75 OEEXn+D4.net
>>647
行列式、内積、多重線形
テンソルと無関係だと言っていない
だが、テンソルそのものではないよね
「行列式はテンソルです」(>>576)
「内積も、行列式同様、テンソルです」（>>593）
は、言えないと思うぜｗｗｗ（＾＾
744:１３２人目の素数さん
20/09/27 12:17:21.96 gB08ovcU.net
>>646
話の通じない人だね
線型写像とは何かを聞いてるんじゃなくて、君が考えている線型写像の定義域・値域を聞いている
745:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 12:20:24.72 OEEXn+D4.net
>>649
>線型写像とは何かを聞いてるんじゃなくて、君が考えている線型写像の定義域・値域を聞いている
何についての線型写像？
あなたの聞いている 線型写像を定義せよ
746:１３２人目の素数さん
20/09/27 12:58:57.49 gB08ovcU.net
>>650
ホントに疲れる人だね
君が
>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
と発言した。
この発言をするにあたって想定している線型写像。
君コミュ症？
747:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 14:08:00.34 OEEXn+D4.net
>>651
>>>だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
>と発言した。
>この発言をするにあたって想定している線型写像。
ああ、その話か
それ
（>>641）
（辞書）
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
weblio
argument
(抜粋)
研究社 英和コンピューター用語辞典での「argument」の意味
【２】 引数(ひきすう), アーギュメント《関数やサブルーチンに与えるパラメーター》.
(引用終り)
だが、引数(ひきすう)が、ベクトル値に限るということではないな（＾＾
(引用終り)
の箇所だね
この部分では、”線型写像”は全く想定していないよ
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数（スカラー値、ベクトル値、テンソル値などなど、文字や文さえもあり）であって
”ベクトル値に限るということではない”と言っただけのことであって
”線型写像”など、全く頭に無いのです（＾＾
以上
748:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 14:10:17.05 OEEXn+D4.net
>>652 タイポ訂正
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との乗法のやり取りのための変数
失礼しました
なお、この”変数”は、プログラムで使う変数のことです（＾＾
749:現代数学の系譜 雑談
20/09/27 14:11:41.34 OEEXn+D4.net
>>653 訂正の訂正
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との重宝のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との乗法のやり取りのための変数
↓
つまり、”引数(ひきすう)”とは、単に本体プログラムと、本体から呼ばれるサブルーチンなり関数との情報のやり取りのための変数
重ね重ね失礼しました ｍ（＿＿）ｍ
750:m9(^Д^)
20/09/27 14:32:29.18 zL73gCM8.net
>>645
>「リーマン多様体」なかなか良いね
行列式も知らん人には無理だから諦めな
閑話休題
本題にはいろうか
>>647
>繰返す
>あなたの”引数(ひきすう）”論で・・・
>ご説明願いたし
なんだ、そこから分かってないのか
じゃ、一から教えてやるから、その前に
君はそもそも内積と行列式を
どういうふうに理解してるのか
ここに書いてくれるかい？
話はそこからだ
式で理解してるなら、式書いてくれな
一般のｎ次元じゃなくていいよ
２次元でいいからさ
君、どうせ高卒だから、
具体的に分かるのそのくらいだろ？
P.S.
>>648
>テンソルと無関係だと言っていない
>だが、テンソルそのものではないよね
逃げ道を開けるためだけの言葉の遊びならやめときな
（「・・・はテンソル」は）
>言えないと思うぜ
言ってるのを見つけられないから
言えないだろうと推測したなら大外れだ
誰もわざわざ言ってないのは、定義から明らかなので
わざわざいう必要性を感じなかったんだろう
🐓ってほんとアタマ悪いな