20/09/19 16:03:18.97 tFaPEuCB.net
>>483
なんか対称・反対称を理解できない人が、ギャアギャアわめいてますね
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
困ったもんです
554:１３２人目の素数さん
20/09/19 16:30:48.70 tFaPEuCB.net
>>484
＞正則行列
555:＞行列式が 0 でない行列 ＞det A ≠ 0 ＞これは、どこにでも書いてある そもそも理工系大学なら、線型代数代数は必須だから 正則行列なんてみんな知ってる 知らないヤツはモグリ ただ、キミの引用したpdfは・・・不親切だね 実際には、正則行列を特徴づける性質は複数ある 例えば、ガウス消去法で、行列を階段行列に変える場合 階段の段数としてのランクが、行列のサイズと一致すれば正則である （逆にランクが行列のサイズより小さくなる場合は非正則 実際、連立方程式の解が存在しない場合や、 解があっても一意的でない場合の行列はそのようなもの） ＞確か高校の教程に行列が入ったときに、 ＞関連記述があったとような気がしたんだよね ＞それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ それ、一番ダメなパターンねｗ まず、高校の教科書のつくりがダメ そして、そのダメなところを、わざわざひろうのもダメ 零因子なんて、なんで高校で唐突に教えるかもわからんが そこが最重要だと鵜呑みにするのも、考えない馬鹿の典型 「正則行列」は「階が一意的に存在する連立方程式」に対応する そして連立方程式をガウスの消去法で解くなら、 「消去法によって変数が消えすぎることがない」 という性質に対応する 消去法がうまくいけば、 ・対角要素より下の要素は０ ・対角要素すべてに０でない数が並ぶ ようにできる、そして、消去法の方法として 階段化しか行わないなら行列式は変化しないようにできるから 階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できて したがって、対角要素全てが０でない数＝行列式が０でない という形で対応づけられる あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、 この位の説明はできるようになってほしいね ま、昔はクソ大学だと、耄碌教授による 行列式とクラメルの公式と余因子による逆行列の計算だけバカチョンで教えて、 ガウス消去法との関連付けなんて一切しないの講義がまかり通ったみたい だけど、そんなん２１世紀では噴飯ものだからｗ （自分は、昭和最末期に大学生だったが、その頃の線型代数の教科書でも 消去法による階段化と行列式との関係づけは、ちゃんとやってたぞ。 つーか、そのくらいやんなかったら、線型代数やる意味ねぇじゃん！）
556:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 17:43:36.41 sEbNlTN3.net
リピート再生ｗｗｗ（＾＾
>>481
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
557:１３２人目の素数さん
20/09/19 17:50:32.07 tFaPEuCB.net
リピート再生
>>482
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
558:１３２人目の素数さん
20/09/19 17:54:30.02 tFaPEuCB.net
これも繰り返しとく
我ながらよく書けたｗ
>>486
正則行列は、
・解が一意的に存在する連立方程式
に対応し、連立方程式をガウスの消去法で解くなら、
・消去法によって変数が消えすぎることがない
という性質に対応する
消去法がうまくいけば、
・対角要素より下の要素は０
・対角要素すべてに０でない数が並ぶ
ようにできる、そして、消去法の方法として
階段化しか行わないなら、行列式は変化しないようにできるから
階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できるので
・対角要素全てが０でない＝行列式が０でない
という形で対応づけられる
あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、
この位の説明はできるようになってほしいね
559:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 20:28:32.31 5vG6tTQ1.net
>>488
くっさ（＾＾
「行列式はテンソルです」って
アホや～！（＾＾
>>489
くっさ（＾＾
正則行列は、可逆行列（雪江 代数2 P86）のこと
逆元を持つ行列のことであって、行列式が０でない（零でない）
つまり、零因子でない行列のこと
この単純な理解が抜け居ていたおサル
雪江 代数2 くらい嫁よ （別に雪江にかぎらんけどな）
Fランオチコボレは、ここまで酷いのかねぇ～！
低レベルだな、Fランオチコボレはｗ（＾＾；
560:１３２人目の素数さん
20/09/19 20:35:08.62 +g3Gqta4.net
瀬田は相変わらずバカ丸出しだね
561:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 23:29:52.14 5vG6tTQ1.net
>>443 >>451 補足
雪江明彦のテキスト「代数学2」
P86
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が
562:一般的である。 (引用終り) 乗法群 GLn(R)で、A∈GLn(R)→Aは可逆行列 つまり、群の定義に、可逆元が規定されているのです 行列だから、可逆行列 （Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的ともある） よって、群の定義の可逆元→「Aは可逆行列」が出る さて、下記の二つの表現 １）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列 ２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列 こう書くと、 １）は雪江本と同じ書き方 ２）は、下記の重言に相当すると言える 繰返すが、２）の”可逆行列Aの成す群G”という表現は、 必ずしも間違いではないが、しかし”重言”といえるのです！（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E8%A8%80 重言 重言（じゅうげん、じゅうごん）は、「馬から落馬する」「頭痛が痛い」のように、同じ意味の語を重ねる日本語表現である。多くは誤用と見なされるが、意味を強調したり語調を整えるため[1]、あるいは理解を確実にさせるため[2]に、修辞技法として用いられる場合もある。二重表現、重複表現ともよばれる[3]。 「びっくり仰天」「むやみやたら」[4]「好き好んで」などは、意味の重複が語呂のよさをともなうことからあえて用いられる。 つづく
563:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 23:30:42.52 5vG6tTQ1.net
>>492
つづき
「えんどう豆」[5]「青海湖」「しし肉」などは、語源的には重複表現だが、慣用的に誤用とは見なされない。[6]
外来語においてはあまり馴染みのない語の性質を表すために意図的に用いられることもある。例えば日本語ではアム・ダリヤ（ダリヤは大河の意）を「アムダリヤ川」とすることで川であることを簡潔に示し、英語では荒川を指して "Arakawa river" などと表現することがある。
日本語における重言
日本語の重複
馬から落馬する[7]
頭痛が痛い
満天の星空
学校に登校する
アメリカへ渡米
訃報のお知らせ
事前予約 - 「予約」の「予」は、「事前に」という意味である。
暇の合間
脚注
7^ 「浄瑠璃『鑓の権三重帷子（やりのごんざかさねかたびら）』（近松門左衛門作、1717年初演）で重言という言葉が使われる。この作品に何度か出てくる「馬から落ちて落馬」というフレーズは有名で、典型的な重言の例として頻繁に言及される。
竜の駒にもけつまづき、馬から落ちて落馬いたしたと、片言やら重言やら
これが現代にも伝わり、「古の昔、武士の侍が―」と頭に挿入される言葉遊びになった。
(引用終り)
以上
564:１３２人目の素数さん
20/09/20 06:58:46.72 Xq8NqmL2.net
>>492
＞雪江明彦のテキスト「代数学2」P86
＞ 定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
で、キミ、肝心の「乗法群」の定義は見つけた？
まさか、探してないの？ ボクはみつけたよ
ほれ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「数学と群論において、乗法群 (multiplicative group) は
次の概念を意味する：
体、環、あるいはその演算の1つとして乗法をもつ他の構造の、
可逆元が乗法の下でなす群。
体 F の場合には、群は {F ∖ {0}, •} である、
ただし 0 は F の零元であり二項演算 • は体の乗法である。」
＞１）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列
＞１）は雪江本と同じ書き方
ちがうな
誤 「…のなす群」
正 「…の乗法群」
キミが同じだと思ってる表現は、実は全然違う
「…のなす群」は「…全体がある演算でなす群」�
565:ﾆいうもの つまり、正方行列全てがその演算における可逆元だと、いいきっている したがって、間違っている 正方行列には非可逆元があるから 「…の乗法群」は「…のうち乗法の可逆元がなす群」というもの つまり、乗法群の言葉の定義で、非可逆元を排除している ただの「群」と云う言葉とはそこが違っている ＞２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列 ＞２）は、重言に相当すると言える 実際は 「Aは正方行列の内の可逆元⇔Aは可逆行列」 であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない 定義を「重言」という馬鹿はいない ＃そもそも「可逆行列」ではなく正則行列と云う言葉を使っていたし ＃その定義は「行列式が０でない」であるから、「可逆元」とは異なる ＃両者は同値であるが、文章として異なる ＃（ここ、区別できないと数学は理解できない）
566:１３２人目の素数さん
20/09/20 07:20:43.89 Xq8NqmL2.net
>>490
＞正則行列は、可逆行列のこと（逆元を持つ行列のこと）であって、
＞行列式が０でない（零でない）
＞つまり、零因子でない行列のこと
キミの上の文章で数学のセンスが書けてることがわかる
まず「可逆行列」というだけでは、
いかなる行列がその条件にあてはまるのか
全く明確でない
さすがに君もこれでは何もいったことにならないと感じたんだろう
「行列式が０でない（零でない）」と書いた
しかし、もし数学的センスがあるなら、例えばこう書くだろう
「正則行列は、行列式が０でない（零でない）行列のこと。
正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列である。」
つまり、正則行列を行列式によって定義した上で、
定義から、可逆であることがいえる、と書くだろう
また、こう書いてもいい
「正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列であって
それは、具体的には、行列式が０でない、という性質で判定できる」
ついでにいうと
「つまり、零因子でない行列のこと」
これ、要らない
零行列は群の要素じゃないし、
群の要素じゃない行列どうしの積で
それが導けたからといって
群とは何の関係もない
「可換でない群の例を示せ」という例に対して、キミは
「正則行列の群」もしくは「正方行列の乗法群」と答えればよかっただけ
（注：「正則行列の乗法群」は「重言」 しかし、
「正則行列が乗法の下でなす群」は「重言ではない」）
しかし、キミは「正方行列（の群）」と答えた
だから「正則行列も、行列式も知らん大馬鹿野郎」と馬鹿にされた
もちろん、正則行列も行列式も知らない、というだけで馬鹿にされることはない
キミが馬鹿にされるのは、さんざん数学でシッタカぶってたから
全てキミの尊大さが原因 自業自得だよ
大学に落ちまくった高卒DQN君ｗ
勉強一つしない人間が大学に受かるわけないだろう
大学なめとんか？ワレ
567:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:11:17.30 w0R3FJMo.net
>>494
>であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない
まあ、「単に言葉の定義に過ぎない」と言いたい気持ちもわからんでもないが
しかし、”定義”というのは、数学ではある意味”いのち（命）”でもある
”定義”によって、問題としている数学の対象に対し、「視点」（あるいは切り口）を与えるのです
”定義”によって、問題としている数学の対象を、明確に捉えられるようになることも多いのです（＾＾
568:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:16:40.21 w0R3FJMo.net
>>456
>よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
>・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
脱線ですが、下記がちょっと面白かったので、メモ貼る
”非数学系”のテンソルの本で、反変、共変が出てくる本多い
ご参考まで
なお、下記はベクトル”代数”ではなく、ベクトル”解析”です
同様、反変、共変が出てくるテンソル本は、多分
テンソル”代数”ではなく、テンソル”解析”です
（参考）
URLﾘﾝｸ(lemniscus.)ハテナブログ.com/entry/20100129/1264736947
再帰の反復blog
2010-01-29
いわゆる反変ベクトルと共変ベクトルのこと
(抜粋)
（注：数式が出てくるが、文字化けするので、省略した）
物理の本とかベクトル解析の本に出てくる反変ベクトル・共変ベクトルというのが昔から何か気持ち悪かった(もっと気持ち悪く
569:てよくわからないのが極性ベクトルと軸性ベクトルだけど、それは置いといて)。それについてのメモ。 反変ベクトルと共変ベクトルについてのとりあえずの説明 勾配ベクトルは反変ベクトルか共変ベクトルか 多少脱線した話題。 よくいわれる「向きと大きさを持った」ベクトルというのは反変ベクトル。例えば速度ベクトルの向きは、軌道曲線に対する接線の方向になる。一方、共変ベクトルはそれとは違う。「速度ベクトル≒軌道に対する接線」というイメージと比較すると、「勾配ベクトル≒等ポテンシャル面に対する接平面」というイメージだと思う。 追記: 次のような文があった。 通常、空間に即した位差的なものをベクトルと思い、ヤジルシで表す。より正確には、接空間に住んでいるベクトル、つまり「接ベクトル」こそが、ピッタリそれに当たる。対して「微分」dfpの方は、双対(余接空間)に属し、今の意味でのベクトルとは区別すべきだ。名前をつけるなら「コベクトル」である。同時に、函数の表象としての「絵」はヤジルシではなく、空間に描かれた「等高線」の集まりとなる。但し、それは無限小世界の真っすぐな等高線なので、平行な平面からなる。 (梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(3)) つづく
570:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:18:26.72 w0R3FJMo.net
>>497
つづき
追記:
数学者にとっては、現在常識となっている「双対」という概念ではあるが、これが案外捉えにくいものだという指摘もある。内積に長年慣れ親しみ、ドップリ浸かっていると、双対は自分自身と直ちに同一視できるから、区別できなくなっているのかもしれない。目の前に「存在する内積」を使ってどこが悪い、ということなのだろう。……
また、区別しているようでも、一つのベクトルの反変成分と共変成分があると思っている人もある。そのような同一視がどのような機構から生じるかを一度反省しないと、正確な理解は永久に得られないだろう。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(2))
反変ベクトル・共変ベクトルの気持ち悪さ
まず反変・共変という名前の付け方に何だか違和感がある。反変ベクトルと共変ベクトルを内容で比べると、反変ベクトルの方が「先・主」で、共変ベクトルは「後・従」という感じがするけど、反変・共変の語感はそれとは逆に感じる。けれどそれは置いとく。
で何で反変ベクトル・共変ベクトルという名前かというと「反変ベクトルの成分変換の式は、基底の変換式と逆になっていて、共変ベクトルの成分変換式は基底の変換式と同じだから」とか説明される(しかしこの基底自身は反変ベクトル)。
ここで急に基底のことが出てくるのだけど、そもそも基底の話なしに成分の話が始まりベクトルの定義がなされるというのが、かなり変な感じがする。
線形代数的には、まず線形空間が定義され(=何がベクトルなのかが定まる)、それからベクトルの中から基底を決めて、基底に対応して成分表示がされる、という流れになる。なのに反変ベクトル・共変ベクトルの定義では、まず成分が登場しその性質によってベクトルかどうかが決まり、基底は登場しない。これはあまりうれしくない。基底の話が出てこないので、ベクトル自体とその成分表示との区別がわかりにくくなっているような気がする。
追記:
ちょっとした、しかし、重要な注意としては、微分幾何の「反変(contravariant)ベクトル」「共変(covariant)ベクトル」という用語の不適切さをパウリが指摘し、その代わりに「共傾(cogredient)ベクトル」「反傾(contragredient)ベクトル」という用語を提唱している点である。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(1))
つづく
571:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:18:47.88 w0R3FJMo.net
>>498
つづき
反変ベクトルと接ベクトル
速度ベクトルを特定の座標系に依存しない形で定義することを考える。
接ベクトルの基底と成分表示
共変ベクトルと余接ベクトル
勾配ベクトルについて、座標系に依存しない定義を考える。
接ベクトル・余接ベクトル
接ベクトルも余接ベクトルも定義はわかりにくい。でも実質的には反変ベクトル・共変ベクトルと同じものなので、使
572:用する上では違いは無いし定義を意識する必要もほとんどない。ベクトル成分とか成分の変換規則が定義に入ってこないのがうれしいという精神衛生上の問題にすぎないといっても良い(もちろん数学的にきちんとやる場合はまた別)。でも非数学系の本でもその辺のことに少しぐらい触れていても良いと思う。 (引用終り) https://www.アマゾン.co.jp/exec/obidos/asin/4535788464/ 数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨 (引用終り) 以上
573:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:22:14.55 w0R3FJMo.net
>>499
>数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨
これ確か数学セミナーに連載されていたね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
（書誌情報のみ）
森毅の主題による変奏曲(第0回)はじめに
梅田 亨
数学セミナー 52(7), 52-57, 2013-07
日本評論社
574:１３２人目の素数さん
20/09/20 08:51:24.74 Xq8NqmL2.net
>>496
>”定義”というのは、数学ではある意味”いのち（命）”でもある
>”定義”によって、問題としている数学の対象に対し、「視点」（あるいは切り口）を与えるのです
>”定義”によって、問題としている数学の対象を、明確に捉えられるようになることも多いのです
ごもっともだが・・・
それを、定義の文章が全く理解できない「意味盲」の、貴様がいうなｗ
>>497-499
例によってトンチンカンなコピペ
なんで、多変数の積分の変数変換に
ヤコビアンが出てくるかも分からん
数盲の貴様には到底無理ｗ
575:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:37:27.03 w0R3FJMo.net
>>487 追加
>「行列式はテンソルです」って
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
>シッタカしたつもりが
>単にアホ晒しているだけのこと
＜前振り＞
下記の”テンソル 行列 違い”及び”テンソルと行列が混同される理由”
この手の話は難しい。私も一時期悩みました（＾＾
で、最近では、AIの「TensorFlow(テンソルフロー)」が、この混乱に輪を掛ける
下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルは、単純に「数の多次元配列」です
（下記 Chainer Tutorial 5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル ご参照）
スカラー(0次元配列)、ベクトル（1次元配列）、行列（2次元配列）、テンソル（n次元配列）
で、nに、0,1,2,3,・・ として、多次元のデータを扱う
一方、連続体のテンソルは、具体的な連続体の物理計算をするための道具です
（昔々、主に人が”手計算”をするための）
そして、連続体などの物理系のテンソルで、テンソルと行列とが似ている場面がある
この文脈で、（下記の通り）「（物理系の）専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！」という（細かい話は、下記を読んでください）
さて、雪江（>>443）の代数学２，３ではどうか？
雪江のテンソルに関する記述では、ほとんど行列は出てきません
ただ、ある場面で、テンソルの表現の一手段として、成分表示の行列が使われます
やっぱり、行列の成分表示は分り易いですからね
つづく
576:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:37:49.79 w0R3FJMo.net
>>502
つづき
＜本題＞
・さて、前振りが長くなったが、本題の「行列式はテンソルです」って話
・これをいうと、即座に「じゃ、行列とテンソルの関係は？」と突っ込まれる可能性が大です
・「行列とテンソルは、別物です」というと
相手は「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？」となるでしょうね～ｗ
・要するに、「行列式はテンソルです」って話は、まずは理解されないし、
風が吹けば桶屋が儲かる式の長い言い訳の果てに、ある程度は説明できたとしても
（なお、その結果言いたいことは、単に”行列式は多重線形の交代形式です”じゃあね～ｗ
（参考： URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
交代多重線型形式 ”行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である”））
・で、あげく「じゃ、行列式とテンソルの関係は？」と突っ込まれて、また、長い長い言い訳をするはめになる
・結局「こいつアホか？」と蔑まれるのが、関の山
・アホのマネを、しないようにしましょう！！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(uylindaun71.hatenablog.com)
uylindaun71の日記
2020-05-14
テンソル 行列 違い
(抜粋)
「TensorFlow(テンソルフロー)」とは、Googleが開発した、私たちの生活のさまざまなところで活用されているこの機械学習のソフトウェアライブラリです。 今回は、TensorFlowの特徴やできることなどをわかりやすく解説します。 専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！と。しかし、そう言われたって、2階のテンソルと行列は、どうみても同じにみえます。計算の仕方やルールも、一見、同じです。テンソルとは何でしょうか？いったい、専門家は何を言おうとしているのでしょうか … 変形と内力の関係 構成方程式. 図-3.8に示したように，連続体をモデル化する に当たって，材料の抵抗特性を内力という概念を仲介させて記述することに した。
つづく
577:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:38:08.56 w0R3FJMo.net
>>503
つづき
URLﾘﾝｸ(www.mynote-jp.com)
Notes_JP
トップ > 物理学 >物理数学 >ベクトル・テンソル > テンソルと行列が混同される理由
2018-01-28
POINT
・「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソル）の成分」になることが混乱の原因．
・この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する．
テンソルと行列の違いについて悩んだ事はありませんか？テンソルを学ぶ人の多くは
・テンソルを導入する際に，『「行列とテンソル」は別物です』と注意があった．
・にも関わらず，「2階のテンソルの成分を並べて行列の形で表わしている」のを見たことがある．
という矛盾に出会ったことがあるのでは無いでしょうか．
実は，以下の2つの意味において「行列」と「（1階反変1階共変）テンソル」は同じものとみなせるのです：
１．「行列の成分」は「1階反変1階共変テンソルの成分」にもなる．
２．【参考】これは「テンソルの商法則」として一般化できる．
「線形空間VVからVVへの線形写像全体」と「1階反変1階共変テンソル全体」は，同じ線形空間とみなせる．
テンソルと行列の関係
まず「テンソルの成分が行列の形で表される例」について触れます．
つづく
578:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:38:30.37 w0R3FJMo.net
>>504
つづき
（>>363より）
URLﾘﾝｸ(tutorials.chainer.org)
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
tep********さん
2008/12/31 18:49
行列とテンソルの違いを教えてください。
ベストアンサー
瑠璃さん
2008/12/31
このページに類似した質問と回答が挙がっております。
URLﾘﾝｸ(www005.upp.so-net.ne.jp)
参考になりますでしょうか？
私もかつて大学の物理学の講義でテンソルについて学びましたが、
行列の範疇を超えなかったように記憶しております。
おそらく、定義する範囲に違いがあるだけで、
ご自身で使う分には、厳密な使い分けをする必要はないかと思います。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
(抜粋)
テンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな
579:対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法である。 線型写像のテンソル積 ベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 S, T はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 S ◯x T を表現する行列は、S, T を表す行列のクロネッカー積で与えられる。 (引用終り) 以上
580:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 11:48:16.67 w0R3FJMo.net
余談ですが
ｘｘ形式というと、しばしば、「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」あるいは、それに付加的な特性を付与した対象に指す場合が多いようです（下記）
なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型形式
抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、英: multilinear form）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。
多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。
定義
V を体 K 上のベクトル空間とし、Vk := V × ・・・ × V は V の k 個の直積とする。V 上 k-変数の函数
f： V^k → K
が k-重線型または k-線型であるとは、各変数 xi に対して
f(x_1,・・・，c ,c・・・ x_i,・・・，c ,x_n)=c・ f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)
および
f(x_1,・・・，c ,x_i+x_i',・・・，c ,x_n)=f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)+f(x_1,・・・，c ,x_i',・・・，c ,x_n)
を満たすときに言う[1]。
k を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。
V 上の k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。
このベクトル空間は k-階共変テンソルの空間 Tk(V) = V* ◯x ・・・ ◯x V*（V* は V の双対空間で、◯x はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、
その意味で k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
つづく
581:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 11:48:35.61 w0R3FJMo.net
>>506
つづき
テンソル積
「テンソル積#線型写像のテンソル積」も参照
k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は点ごとの積に関しては閉じていないが、f ∈ Lk(V), g ∈ Ll(V) の点ごとの積:
略
は (k + l)-重線型形式となる（これを f と g とのテンソル積と呼ぶ）。
略
このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双線型形式
抽象代数学および線型代数学における双線型形式（そうせんけいけいしき、英: bilinear form）とは、スカラー値の双線型写像、すなわち各引数に対してそれぞれ線型写像となっている二変数函数を言う。より具体的に、係数体 F 上のベクトル空間 V で定義される双線型形式 B: V × V → F は
略
を満たす。
双線型形式の定義は、線型写像を加群の準同型に置き換えることで、可換環上の加群へも拡張できる。
つづく
582:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 11:48:56.42 w0R3FJMo.net
>>507
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二次形式
二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式は
ax^2+bxy+cy^2 (abc≠ 0)
の形である（x, y が変数）。
二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分形式
微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
(引用終り)
以上
583:１３２人目の素数さん
20/09/20 13:04:14.22 Xq8NqmL2.net
>>503
＞☆「行列式はテンソルです」
＞★「じゃ、行列とテンソルの関係は？」
＞☆「行列とテンソルは、別物です」
一か所、誤りがありますね
☆「行列もテンソルですが、何か？」
＞★「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？
じゃ、行列式とテンソルの関係は？」
☆「その前に・・・あなた、もしかして行列式は行列だと思ってます？
全然、ちがいますよ！」
ま、こう答えた後の、★の反応は、大方想像がつく
★「？？？？？？？、行列式は行列じゃないって？！
何、狂ったこといってるの？
行列の式だから行列式なんじゃないの？」
☆「残念ながら、私は全く狂っておりません
まず、英語でいえば、行列はmatrix 行列式はdeterminantで
両者の起源は全く異なるものです。
で、両者の数学的な意味を言わせてもらえば、
それぞれ以下の通りです」
・行列(matrix)とは、線型空間Vから線型空間Wへの写像V→W
特に正方行列の場合は、線形空間Vのそれ自身への線型写像V→V
・行列式(determinant)はVをn次元線型空間、Fを基礎体として、
V×…(n個)…×V→Fという反対称的な多重線型写像で
Vの基底をe1,…,enと表したとき(e1,…,en)の値が1となるものです
☆「たった５行ですよ。全然長くありません。
この程度のことは大学で線型代数を学んだ人ならみな知ってます。
え？知らない？それ、講義した先生に文句いったほうがいいですね。」
584:１３２人目の素数さん
20/09/20 13:10:21.17 Xq8NqmL2.net
>>502-507
なんか、長々とコピペしてますけど、
行列式が理解できてないようじゃ、
どれもこれも理解できてませんね
特に行列式と外積代数の関係を理解してなかったら
微分形式なんていくら説明読んでも理解できませんよ
ああ、こういう人が、大学の微分積分学の「多変数の微分積分」で
ヤコビアンが出てきた途端「訳わかんねぇ！」と絶叫し
逆関数定理とか陰関数定理とか出てくると
「証明以前に、そもとも定理が何云ってんのかわかんねぇ」
とか言い出して、講義に出なくなってそのまま
大学からフェイドアウトしちゃうんでしょうね・・・
線型代数分かってないと、多変数の微分積分は絶対に分かりませんよ
これ鉄板
585:１３２人目の素数さん
20/09/20 18:41:09.47 Xq8NqmL2.net
線型代数で
「消去法と行列式」が、第一
586:ステップ だとすると 「固有値とジョルダン標準形」は 第二ステップ だな わかるかな？わかんねぇだろぉなぁｗ
587:１３２人目の素数さん
20/09/20 18:53:57.16 Xq8NqmL2.net
>>506
＞ｘｘ形式というと、しばしば、
＞「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」
＞あるいは、それに付加的な特性を付与した
＞対象を指す場合が多いようです
＞なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
はい、🐎🦌発言ｗ
微分形式は、各点毎に複数の接ベクトルを変数とし
スカラーを値とする関数（これを「共変テンソル」という）
が与えられたものですが、何か？
588:１３２人目の素数さん
20/09/20 18:59:14.58 Xq8NqmL2.net
>>506
＞ k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
な？ｗ
n×n行列の行列式は、反対称なn-重線形形式、だからn-階共変テンソル
（完）
589:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:11:23.80 Xq8NqmL2.net
>>511
◆yH25M02vWFhPは 線型代数の第一ステップから分かってない時点でドイヒー
590:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:20:09.84 Xq8NqmL2.net
◆yH25M02vWFhPはワカランチンの程度が、安達弘志並
591:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:20:50.95 Xq8NqmL2.net
つまり、◆yH25M02vWFhPは数学が全く分かってないレベル
592:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:24:15.61 Xq8NqmL2.net
◆yH25M02vWFhPって線形代数の教科書読んだことあるのか？
おそらく、一度もないだろうな
593:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:26:30.03 Xq8NqmL2.net
◆yH25M02vWFhPは読めもしない数学書を全部売ったほうがいい
断捨離で、貴様にとって全く役に立たない「数学」を一切捨てろ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
594:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 19:42:44.08 w0R3FJMo.net
>>503 補足
（>>477-478 より、連続体力学 URLﾘﾝｸ(www.mm.civil.tohoku.ac.jp) 数学準備 東北大学
補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
下記の応力テンソルを使って、補足します
１）応力テンソルは、下記のように、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、上記同様に実は独立なのは6成分のみです
２）一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
３）さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
この文脈で、「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
応力テンソル以外の場面でも同じ。「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
応力
(抜粋)
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。応力ベクトルと応力テンソルは、ともに連続体内部に定義した微小面積に作用する単位面積あたりの力として定義される。そのため、それらの単位は、SIではPa (N/m2)、重力単位系ではkgf/mm2で、圧力と同じである。
つづく
595:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 19:43:25.82 w0R3FJMo.net
>>519
つづき
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を
596:記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。 応力テンソルの成分には、微小面の法線と力の作用方向が一致する垂直応力 (normal stress) 成分と、一致しない（異なっている）せん断応力 (shear stress) 成分の2種類に分類することができる。 垂直応力とせん断応力 上に示した3次元デカルト座標系における応力テンソルの成分について考えた場合、垂直応力は σ_xx,σ_yy,σ_zz の3成分となる。垂直応力は、力の作用面と力の作用方向とが直交し、作用面を引っ張る方向に作用した場合には引張応力 (tensile stress)、作用面を押し込む方向に作用した場合には圧縮応力 (compressive stress) と呼ばれる。 一方、せん断応力は、力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致しない応力成分であり、σ_xy,σ_yx,σ_yz,σ_zy,σ_zx,σ_xzの6つが該当する。なお、微小変形の力学においては、せん断応力を記号τで表すことがある。 上に示した3次元デカルト座標系での成分については、 σ_xy=σ_yx,σ_yz=σ_zy,σ_zx=σ_xz が成り立ち、応力テンソルσの独立な成分は6成分となることがわかる。 この性質のため、固体物性やCAEなどの分野では、独立な6成分を並べてベクトルとする表記がしばしば用いられる。これをフォークト表記 (Voigt notation)という[6]。 J1、J2、J3は、ある応力状態において座標系に関わらず常に一定値となるので応力不変量(stress invariant)と総称される。それぞれ第一次応力不変量、第二次応力不変量、第三次応力不変量と呼ぶ[11]。第一次応力普遍量、第三次応力不変量は、それぞれ応力テンソルの跡、行列式に等しい。 (引用終り) 以上
597:１３２人目の素数さん
20/09/20 20:13:47.30 Xq8NqmL2.net
>>519
＞応力テンソルは、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、
＞実は独立なのは6成分のみです
＞一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。
＞ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
＞さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。
＞また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
＞この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
なんかスゲェ🐎🦌な発言ｷﾀ―(ﾟ∀ﾟ)―!!
応力テンソルは対称テンソルですね
で、もし対称じゃないからテンソルじゃない
とかいったら完全な🐎🦌発言ですねｗ
さらに、行列式を「行列から数への関数」と誤解してますね
全く違いますよ
「列ベクトルの組から数への関数」ですから
「え、行列と列ベクトルの組って同じじゃないの？」
というなら、そいつは完全な🐎🦌ですｗ
行列から数への関数なら、引数は行列１つでしょ？
列ベクトルの組というなら、引数は列ベクトル複数個です
ｎ×ｎの行列の行列式というのは、
実はｎ個のｎ次元列ベクトルから数への関数です
だから「多重」線型写像
つまり一つ一つの列ベクトルについて
線型性を満たす必要がある
行列一個に対して、線形性を満たすわけではない！
598:１３２人目の素数さん
20/09/20 20:15:42.19 Xq8NqmL2.net
蛇足
ところで３×３の行列で、反対称なら、独立な成分の数は３つです(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
599:１３２人目の素数さん
20/09/20 20:24:01.44 Xq8NqmL2.net
３×３の反対称テンソルδの場合
・δ_xx,δ_yy,δ_zzは0
・δ_xy=－δ_yx,δ_yz=－δ_zy,δ_zx=－δ_xz
であるから、独立な成分の数は３つ
さて、問題
３×３×３の反対称テンソルの独立成分はいくつ？
600:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 23:44:51.58 w0R3FJMo.net
sage
601:１３２人目の素数さん
20/09/21 06:10:06.99 ygseaWNf.net
◆yH25M02vWFhP >>523の質問に答えられず 遁走
🐎🦌は数学板に書くな いや そもそも読むな 時間の無駄だ
602:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:12:06.52 THwyOeaW.net
>>502 補足
>下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
>この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
くどいが、補足 >>477より
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
(引用終り)
この３つは、ある視点（切り口）では共通
603:点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾； １のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。下記、Chainer Tutorialが良い。著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる 間違って、２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルに、深入りしないこと。深入りしても、得られるものは少ない ２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルは、コンピュータ計算に乗せる話は、殆ど無いから ２の物理のテンソルの人も、間違って、３の抽象代数学のテンソルに深入りしても、得られるものは少ない ３の抽象代数学のテンソルは、具体的なテンソルの成分計算をしない方向で議論を抽象化しているし、物理との接点が薄くなっている ３の抽象代数学の人は、教養として、軽く１や２のテンソルを学んでおくのは、良いと思う 抽象的な議論の裏にある具体例を知っておくことは、悪くない つづく
604:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:17:39.70 THwyOeaW.net
>>526
つづき
なお、「行列式はテンソルです」だけは、ダメです（＾＾；
（>>505より）
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
得居 誠也
現在は深層学習フレームワーク Chainer の開発者
東京大学 理学部 数学科 2010/03
(引用終り)
以上
605:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:27:20.82 THwyOeaW.net
>>526 補足
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
という順番です
”１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル”なんて、だれでも思い付く
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
古典数学は、紙とエンピツと言いますが、多次元配列は二次元の紙には書けない
コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
というか、ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
そういうことで、多次元配列を考えて、”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう（＾＾；
606:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:29:46.48 THwyOeaW.net
>>528 タイポ訂正
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
↓
けれども、コンピュータ処理がない時代には、あまり意味がない
失礼しました（＾＾；
607:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:04:29.75 ygseaWNf.net
>>526
＞１．AI数学の単なる数の多次元配列を、
＞ コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
＞１のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。
＞Chainer Tutorialが良い。
＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
読め
608:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:09:23.28 ygseaWNf.net
>>527
＞なお、「行列式はテンソルです」だけは、ダメです
ダメ＝一意的に定められない、という意味か？
「n×nの行列式は、
n次元ベクトルn個の組からスカラーへの反対称的な多重線型写像であって
n次元ベクトルの相異なる基底n個の組のカラー値が1もしくは-1となるもの」
とすればほぼ十分だろう
これ、線形代数の常識な 覚えとけ
609:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:19:40.01 ygseaWNf.net
>>528
＞物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
＞２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
＞という順番です
実は、
３．抽象代数学→２．物理→１．AI
な
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって
特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)における
ノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは
1899年のヴォルデマール・フォークトからである。」
ま、19世紀はグラスマン代数だのクリフォード代数だのといった
抽象代数が生まれた時代でもあった
外積代数（グラスマン代数）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クリフォード代数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
610:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:26:03.47 ygseaWNf.net
>>528
＞…多次元配列は二次元の紙には書けない
＞コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
＞…ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
＞そういうことで、多次元配列を考えて、
＞”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう
今日、サイテーの🐎🦌発言ｷﾀ―(ﾟ∀ﾟ)―!!
>>530で紹介した論文に、数学におけるテンソルがバッチリでてくるので
「高卒🐎🦌のボクちゃんには理解不能な
多重線形性とかいう概念とは全く無関係の
ただの多次元配列」
という嘘は、この瞬間、完全否定
御愁
611:傷様 自分の名前すら漢字で正しく書けず Fラン大学にも入れなかった 工業高校卒の🐎🦌◆yH25M02vWFhP
612:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 09:25:19.75 THwyOeaW.net
>>530
>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
うむ
彼は、東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍していますとあるので
DR論文ネタの投稿かな（＾＾；
別におれの言っていることも間違っては居ないぞ（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.beam2d.net)
得居 誠也
東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍しています．
東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 (2016/4 ? 現在)
指導教員：佐藤一誠 講師
URLﾘﾝｸ(techplay.jp)
TECH PLAY
深層学習フレームワークで世界に伍して闘った、その先見性とは？ ─SOCIAL TECH PLAYER賞は「Chainer」開発チーム
インタビュー
2020/07/22
2019年12月、Preferred Networksは、開発の基盤技術である深層学習フレームワークを自社開発した「Chainer」から、Facebookが開発した「PyTorch」に移行することを発表した。TECH PLAYER AWARD 2020審査員は、Chainerが深層学習技術にもたらした功績と、基盤技術を移行する決断を高く評価。「SOCIAL TECH PLAYER 賞」に選出した。
URLﾘﾝｸ(s3.ap-northeast-1.amazonaws.com)
▲Chainerが日経優秀製品・サービス賞2018で日本経済新聞賞を受賞した当時のChainer開発チーム
613:Dan Shirley
20/09/21 10:05:14.77 ygseaWNf.net
>>533
＞別におれの言っていることも間違っては居ないぞ
なにいったっけ？ｗ
中身がないから「間違ってすらいない」よな
もう高卒の🐎🦌が見栄張るなよ みっともないから
おまえ、断捨離な 数学から一切縁切れｗ
614:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 10:14:13.91 THwyOeaW.net
>>534
>>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
>彼は、東京大学情報理工学系研究科の博士課程にも在籍していますとあるので
>DR論文ネタの投稿かな（＾＾；
多分、得居 誠也氏は、”Chainer”ネタでDR論文を書こうとしていると思うが
「Chainer 作りました」だけでは、DR論文にならない
もっと、学問チックにしないとね
そのために、”「抽象代数学」のテンソル”を使いたいのだろうね
で、”「抽象代数学」のテンソル”を使って、学問チックなお化粧をする
だが、それは無駄ではないと思う
”「抽象代数学」のテンソル”を使って、学問チックなお化粧をすることが、基礎理論の深化を促し
次の発展に繋がると思うな（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Chainer
Chainer (チェイナー) は、ニューラルネットワークの計算および学習を行うためのオープンソースのソフトウェアライブラリである。バックプロパゲーションに必要なデータ構造をプログラムの実行時に動的に生成する特徴があり[4]、複雑なニューラルネットワークの構築を必要とするディープラーニング（深層学習)で用いられる[3][1]。Python 2.x系および3.x系から利用でき[要出典]、GPUによる演算をサポートしている[3][5]。株式会社Preferred Networks（PFN）からリリースされている[5][1]。2019年12月5日、開発元のPFNは今後はChainerから、Facebookが主導して開発しているPyTorchに順次移行すると発表した[1]。
概要
Chainerは"define-by-run"というモデル設計手法を取り入れた深層学習のフレームワークの先駆けで、後発のPyTorchなどにも大きな影響を与えた[1]。Preferred Networks（PFN）が日本の機械学習系のベンチャー企業であることから、日本語の関連資料が多いという特徴がある[5]。
つづく
615:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 10:16:39.49 THwyOeaW.net
>>536
つづき
開発元のPFNは2019年12月5日、フレームワーク開発を終了してChainerはメンテナンスフェーズへ移行すること、自社はChainerからFacebookが主導するPyTorchに順次移行することを発表した[1]。
URLﾘﾝｸ(tech.preferred.jp)
2015.06.09
Deep Learning のフレームワーク Chainer を公開しました
得居です。
なぜ今新しいフレームワーク？
Deep Learning のフレームワークとしては Caffe, Theano/Pylearn2, Torch7 の 3 つが人気です。これらはフィードフォワードなネットワークを書くことが基本的な目標として開発されています。ですが、最近では Deep Learning の進展に伴い、より複雑なネットワークを柔軟に書けることの必要性が高まっています。そこで、この中でも特に自由度が高い Theano をベースに、新しいフレームワークがたくさん模索されています（例：Blocks, Keras, Lasagne, deepy など）。
Chainer はこれとは異なるアプローチを取ります。Python をベースとしていますが、Theano は使いません。制御構造はすべて Python のものがそのままつかえます。Chainer は、実際に Python のコードを用いて入力配列に何の処理が適用されたかだけを記憶しておき、それを誤差逆伝播の実行に使います。このアプローチは、複雑化していく Deep Learning の研究・開発速度を保つために必要だと考えており、私たちが新しいフレームワークの開発に乗り出した理由です。
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
計測と制御/58 巻 (2019)
リレー解説 機械学習の可能性
《第2回》機械学習と開発環境：深層学習フレームワークの動向 鈴木 亮太
Define and Run/Define by Run
Define by Run 実行初期はニューロン間のシナプ
スは張られていない．コードに従ってニューロン間にデー
タが流れることでリンクが定義され，従ってネットワー
クが動的に構築される．データによってネットワーク構
造が変わる Recursive Neural Network や，再帰リンク
をもつ Recurrent Neural Network (RNN) を真に実装
可能である．
3. フレームワーク比較
(引用終り)
以上
616:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 17:40:51.96 THwyOeaW.net
>>530
>＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
>上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
>という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
違うな。それは
「深層ニューラルネットの積分表現理論」は、下記の早稲田 園田翔氏のDR論文だな
テンソルは、5箇所に出てくる
最初の3箇所は、第3 章数学的準備のところで、超関数と拡散方程式の話
多次元空間の拡散方程式のために、テンソルを準備している
超関数は、拡散方程式が偏微分方程式なので、弱解を使うための準備
（別に、抽象数学のテンソル積を明示的に使う話でもない）
後の2箇所は、深層ニューラルネットの理論で、
DAE：denoising autoencoder デノイジング・オートエンコーダー
のDAE を輸送写像とみなす方法で，積分表現に関連して出てくるテンソル
上記の拡散方程式に関連している話
なお、論文本体よりも、付録のP155 付録B 背景知識 がよく纏まっている
”P171 B.1.8 情報理論小史”は、秀抜。種本がある気もするが、一読の価値ありだな（＾＾
これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが（＾＾；
あなたには、もっとね。おれは、”付録B 背景知識”は、よく書けていると思ったぜ
（参考）
URLﾘﾝｸ(core.ac.uk)
深層
617:ニューラルネットの積分表現理論 2017 年 2 月 園田翔 早稲・大学大学院先進理工学研究科 電気・情報生命専攻 情報学習システム研究 つづく
618:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 17:41:35.57 THwyOeaW.net
>>538
つづき
P34
第3 章数学的準備
3.3 一般の空間上の関数と超関数
◯xは（π ないしε の意味で）完備化したテンソル積をあらわす。
P48
3.11 拡散方程式
(aij) はC1 級正定値テンソル，bi, c はHolder 連続関数とする。
拡散係数をD(x, t) とするR
ここでD(x, t) は各点でC2 級かつ正定値対称なテンソルとする。
P12
本研究の結果は二つに分けられる：浅いニューラルネットの積分表現
理論と，深層ニューラルネットの積分表現理論である。浅いニューラル
ネットの理論では，ReLU と呼ばれる活性化関数に対応するように積分
表現理論を拡張し，ニューラルネットとRadon 変換およびウェーブレッ
ト変換との関係を詳らかにし，さらに積分表現を離散化してニューラル
ネットを学習する方法を提案した。
深層ニューラルネットの理論では，デノイジング・オートエンコーダー
（denoising autoencoder; DAE）と呼ばれるクラスに対して，DAE を輸送
写像とみなす方法で，積分表現を構成した。
P113
6.5.3 位相共役性
ただしa, b, c はそれぞれH に値をとるテンソルとし，縦ベクトルとみなす。
P114
ただしra,rb,rc はそれぞれrH に値をとるテンソルとする。
つづく
619:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 17:41:59.03 THwyOeaW.net
>>539
つづき
P155
付録B 背景知識
ニューラルネットの中ではどのように情報を表現し，処
理しているのだろうか。この問題を理解するために，情報やデータ表現
について整理する。また，ニューラルネットはどのように設計すべきか。
この問題を理解するために，複雑性やモデル選択について整理する。そ
して，ニューラルネットの中では，どのように秩序が形成されているの
だろうか。この問題をアナロジーとして理解するために，水と油が分離
する原理の考え方を整理する。
B.1 情報とは何か
Shannon 情報量（エントロピー）
B.1.2 情報理論における情報
B.1.3 統計学における情報
データ，情報，知識
B.1.5 集合代数としての情報
B.1.7 情報の意味と価値
意思決定
P171
B.1.8 情報理論小史
B.2 データ表現の観点
B.2.2 単射性，忠実性，モノ
B.2.3 全射性，十分性，エピ
B.3 複雑性の測り方
B.4 モデル選択の考え方
B.5 水と油はなぜ分離するか
(引用終り)
以上
620:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 17:46:04.31 THwyOeaW.net
>>538
得居 誠也氏の記事では、下記があったな
解説記事だが
これ分り易いな（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オペレーションズ・リサーチ
最適化から見たディープラーニングの考え方 得居 誠也 2015 年 4 月号
機械学習において，人手で設計した特徴量にもとづく手法が性能の限界を迎えつつあるなか，計算機性能
の進歩とデータセットの大規模化によって，深層学習（ディープラーニング）は圧倒的な認識性能を次々に
叩き出し，産業界を巻き込み注目を集めている．本稿では，教師あり学習とニューラルネットの基本的な定
式化からはじめ，深層学習において高い性能を実現するための最適化，モデリング，正則化の技術について
広く紹介する．
621:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 17:48:43.98 THwyOeaW.net
>>541 補足
テンソルは、一箇所のみ
P195
図 5 畳み込み層の概略図．入力と出力はともに 3 階のテ
ンソルで表される．テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
中間層ではその位置における何らかの特徴を表す．畳
み込み演算は，入力の各矩形をベクトルに展開し，そ
れぞれに同じ重み行列 W を作用させ，位置ごとに
ベクトルを出力する．
(引用終り)
と出てくる。抽象的なテンソルは無いぜ！（＾＾；
622:Dan Shirley
20/09/21 20:15:51.59 ygseaWNf.net
>>538
＞これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが
大学にも受からん高卒の貴様に読めるわけないだろ
おれには読める！どうだクヤシイか？
数学板は貴様のような馬鹿の来るところじゃない
失せろ！永遠に来るな！！この大🐎🦌野郎！！！
623:Dan Shirley
20/09/21 20:29:29.34 ygseaWNf.net
>>542
＞抽象的なテンソルは無いぜ！
多重線型性くらいで抽象的と泣き言云う🐎🦌は数学板から失せろ 永遠に！
624:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 09:14:46.88 qkl/9znF.net
>>543
>＞これ、あんたには読めないだろうな。おれも読めないが
あれれ、そのコメント
自分も、読めないことを認めたんだ～！ やれやれだなｗ（＾＾；
>>544
>＞抽象的なテンソルは無いぜ！
>多重線型性くらいで抽象的と泣き言云う歷は数学板から失せろ 永遠に！
あれれ、典型的な論点ずらしか？
AIのテンソルは、主として、得居 誠也氏の記事(>>541-542)にあるように
「テンソルの各軸は，画像の縦・横
方向およびチャンネルの種類に対応する．各チャン
ネルは，入力がカラー画像なら R，G，B に対応し，
中間層ではその位置における何らかの特徴を表す．」って話
つまり、単なるデジタル数字の多次元配列だってこと（>>526ご参照）
一方、抽象数学のテンソルの定義は、このような具体的な成分表示によらないって話し
やれやれ
要するに、あなた
「行列式はテンソルです」って、全然”テンソル”が分かってなかったってことを露呈したわけだ
（>>519ご参照）
シッタカしたつもりが、単にアホ晒しただけのこと
625:１３２人目の素数さん
20/09/22 14:48:50.48 jk08YZjf.net
>>545
＞自分も、読めないことを認めたんだ～！
（肩を叩いて）
>>543のダン・シャーリー（断捨離のもじり？）の書き込み、
よく読もうね
「おれには読める！どうだクヤシイか？」
＞AIのテンソルは、・・・単なるデジタル数字の多次元配列だってこと
多重線型性について述べてないからといって、
多重線形性がないとはいえませんね
工学系の人は、数学の説明を端折りますから
数学の話がしたいわけじゃないしね
＞一方、抽象数学のテンソルの定義は、このような具体的な成分表示によらない
線型空間が有限次元なら成分表示できますよ
あなたが抽象数学のテンソルの定義を
全くわかってないからできないだけでしょ
例えば
「ｎ×ｎの行列の行列式は
ｎ組のｎ次元線型空間からスカラーへの反対称的な多重線型写像で
ｎ次元線型空間の基底をe1,…,enとしたとき
(e1,…,en)に対応する値を1とするもの」
とすれば、一意的に求まりますよ
こんなの、大学の線型代数の基本ですがね
（行列式が狭義の線形代数から逸脱している、という指摘はあるが
どうせベクトル解析で、外積とか外微分とかやるんだから
先取りしても別にかまわない）
626:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 15:47:12.88 qkl/9znF.net
メモ
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
［ワールドビュー］中国先行のＡＩ 曲がり角…編集委員 石黒 穣 読売 2020/09/20
昆虫は、ピンの先ほどの小さな脳で多彩な行動をコントロールしている。
空や地面を動き回ってエサを探し、危険を察知すれば巧みに身をかわす。メスのフェロモンを頼りに隣町から飛来するオスもいる。
「何億年もの進化の過程で、多様な環境を生き抜く問題解決能力を手に入れたのが昆虫だ。ＡＩ（人工知能）でも難しいことをたやすくやってのける」
東大先端科学技術研究センター所長の神崎亮平教授は、敬意を込めて言う。
とりわけ昆虫が優れているのは、自然の様々な状況に対応するノウハウを誰からも教わらずに備えている点という。
対照的に、ＡＩでは人間が答えを与えないと始まらない。正解データを大量に入力してＡＩを鍛える手法は、今日のＡＩブームを支える中核技術の深層学習（ディープラーニング）の特徴でもある。
たとえば自動運転では、カメラに映る画像から歩行者や信号、対向車を識別するのに深層学習が使われる。まず何千枚、何万枚もの画像を用意し、映っているのが人なら人、車なら車、バイクならバイクと印をつけて、ＡＩに学習させていく。１枚ごとに向きや姿勢、服装がまちまちの人が映る画像を大量に学習させれば、どんな向きや姿勢でも人を人と識別できるようになる。
ＡＩに教え込むこの工程は、実は単純な手作業だ。パソコンをずらりと並べて人海戦術で行われることが多い。データ工場と呼ばれ、中国の地方都市などで続々と誕生している。
この深層学習が先導してきたＡＩ開発が曲がり角を迎えているといわれる。
国立情報学研究所の山田誠二教授は「ＡＩの大きな弱点は常識を学べないことだ。深層学習では克服できない」と語る。
常識とはしていいこと、いけないことを見極める能力だ。たとえば木の枝に腰掛けているとき、幹の近くをノコギリで切れば自分も一緒に落っこちる。人にとっては当たり前でも、機械に理解させるのは至難という。そんなレベルでは暴走が心配だ。先頭を行く中国は暴走を防ぐ手立てを用意しているだろうか。
世界では、深層学習の限界を踏まえた次の新技術を探る動きが盛んだ。日本が巻き返すチャンスもありそうだ。ちっぽけなサイズでＡＩにも劣らない昆虫の脳もヒントになる。
627:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 15:51:18.03 qkl/9znF.net
>>546
(引用開始)
＞自分も、読めないことを認めたんだ～！
（肩を叩いて）
>>543のダン・シャーリー（断捨離のもじり？）の書き込み、
よく読もうね
「おれには読める！どうだクヤシイか？」
(引用終り)
ああ、了解
「自分も、読めないことを認めた」わけではないことは、了解した
が
「おれには読める！」
と主張しているのは分かった
が、その主張には証明がないな
まあ、ここを見た皆さんが判断するだろう
こいつは、「おれには読める！」と主張しているが
本当は、あやしいってぞ！
てねｗｗ（＾＾
628:１３２人目の素数さん
20/09/22 15:57:31.23 jk08YZjf.net
>>548
キミ、他人をとやかくいう暇があったら
ＡＩの論文くらい読めるようになったほうがいいよ
数学的にはちっとも難しくないんだからさ
少なくともIUTよりは全然易しい
頑張ってみたら？
まずは線型代数からやり直そうな
いきなり佐武一郎とか読まないほうがいいよ
あれ、そもそも章立てが古いし
行列式から入ってるけど、あれは昔のスタイルだね
個人的には「アントンのやさしい線型代数」とかいいんじゃないかね？
この本で理解できたら、あとは佐武でもなんでも読んだらいいよ うん
629:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:07:56.01 qkl/9znF.net
>>538 補足
正直、この園田翔のDR論文はすぐには読めない
かなり、数学理論を勉強しながらでないとね（＾＾；
で
「今後の展望
学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。」
ってある
学習機械の汎化誤差：近似誤差と推定誤差
積分表現理論：専ら関数近似の理論
ということは、学習機械の汎化誤差の半分しか扱ってない
だから、これを読んでも、いまいちという気がする
もちろん、この分野の専門家なら、読む価値あると思うが
一般人には、付録の方が価値があると思う（>>540）
（>>538より）
URLﾘﾝｸ(core.ac.uk)
深層ニューラルネットの積分表現理論 2017 年 2 月 園田翔
早稲・大学大学院先進理工学研究科
電気・情報生命専攻 情報学習システム研究
(抜粋)
第1章 序論
深層ニューラルネットは，2012 年頃から機械学習や人工知能の分野で
急速に発展を続けている学習機械である。深層ニューラルネットの快挙
は，大画像に対する一般物体認識タスクで人間と同程度のスコアを記録
し，囲碁では「人?最強」とも呼ばれる棋士イ・セドル氏に勝利するな
ど，枚挙に暇がない。ニューラルネットは，神経細胞が繋がり合って情
報を処理論する?子を抽象化した「脳の数理論モデル」として，20 世紀半ば
に?場し，これまでに二度のブームを引き起こしている。深層ニューラ
ルネットは第三次ブームの立役者である。
つづく
630:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:09:22.39 qkl/9znF.net
>>550
つづき
「深層」という修飾語は，中間層の数が従来のニューラルネットよりも
多いことを強調している。ニューラルネットを深層化することで，内部
の情報表現が階層化され，情報処理論が効?化されることは，以前から予
想されていた。しかし，古典的な学習法であるバックプロパゲーション
（backpropagation）では，深層ニューラルネットを学習させることができ
なかった。原因は?々だが，例えば，層が深くなるに連れて，学習に必
要な誤差信号が減衰し，学習が極端に遅くなるためである。深層ニュー
ラルネットを学習させる技術を総称して，深層学習という。深層学習が
立て続けに成功し始めたのは，2006 年の Hinton や Bengio のプレトレー
ニングからである。
本論研究では，深層ニューラルネットの中で何が起きているのか，なぜ
深層にした方が良いのかという問題に対して，深層ニューラルネットの
積分表現理論の開発を通じて問題解決を図る。深層ニューラルネットの
内部では，タスクに有利な情報表現（特徴量写像）が獲得されていると考
えられている。情報表現を自動的に獲得するという意味で，深層学習は
表現学習とも呼ばれる。しかし，深層学習はヒューリスティクスを多く
含むので，実際に獲得される特徴量の素性は分からないことも多い。そ
もそも，浅いニューラルネットは任意の関数を近似できるほど表現力が
高い（万能関数近似器）のに，なぜ深層にする必要があるのだろうか。
本論研究が拠り所とする積分表現は，ニューラルネットの中間層素子に
関する総?を積分に置き換えて得られる。これは中間層素子を積分核と
する積分変換であり，双対リッジレット変換と呼ばれる。リッジレット
変換は Radon 変換やウェーブレット変換との関係が深く，幾何学的性質
や解析的性質がよく調べられている。
つづく
631:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:09:53.46 qkl/9znF.net
>>551
つづき
通常のニューラルネットは，積分
表現の離散化を通じて理論解できる。積分表現理論は 90 年代に起きた第二
次ブームにおいて，浅いニューラルネットの表現能力を調べる過程で成
立した。残念ながら，深層ニューラルネットの積分表現理論は今日まで
ほとんど調べられていない。中間層が二層以上ある場合には，単に積分
核が入れ子になるだけで，中間層同士の関係をうまく定式化できないた
めである。
本論研究の結果は二つに分けられる：浅いニューラルネットの積分表現
理論と，深層ニューラルネットの積分表現理論である。浅いニューラル
ネットの理論では，ReLU と呼ばれる活性化関数に対応するように積分
表現理論を拡張し，ニューラルネットと Radon 変換およびウェーブレッ
ト変換との関係を詳らかにし，さらに積分表現を離散化してニューラル
ネットを学習する方法を提案した。
深層ニューラルネットの理論では，デノイジング・オートエンコーダー
（denoising autoencoder; DAE）と呼ばれるクラスに対して，DAE を?送
写像とみなす方法で，積分表現を構成した。また，?送写像の極限を調
べることで，無限層ニューラルネットに相当する連続 DAE の性質を明ら
かにした。DAE はデータ分布のエントロピーを減らす方向に入力データ
を再配置する?送作用があり，この作用は層を深くした方が顕著になる
ことが分かった。従って，浅い DAE と深層 DAE とでは抽出される特徴
量が異なることから，DAE においては積極的に深層化す�
632:ﾗきであると言 える。本論研究の結果を深層学習のアルゴリズムに反映する方法の開発は， 今後の重要な課題である。 つづく
633:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:10:43.52 qkl/9znF.net
>>552
つづき
本論文の構成は，第 1 章が本論研究の概要と?文の構成の説明，第 2 章が
関連研究と先行研究のサーベイ，第 3 章と第 4 章が本論を展開するうえ
での準備，第 5 章から第 7 章が本論，第 8 章が本論研究の総括である。第 2
章以降の各章の詳細は次の通りである。
第 2 章では関連研究および先行研究について，深層ニューラルネット
と浅いニューラルネットの二つの観?で整理論する。まず深層ニューラル
ネットについては，最初に全体の動向を概観する。次に，本論研究の主題の
一つである「深層ニューラルネットの中では何が起きているか」につい
て言及している研究を整理論する。本論研究で取り扱う ReLU や DAE につい
ては独立に節を設けるほか，オートエンコーダーと対照的な表現学習の
例として，畳み込みネットワークについても解説する。一方，浅いニュー
ラルネットについては，まず 90 年代の結果を整理論する。具体的には，万
能関数近似能力を軸にして積分表現理論が?場するまでの経緯を説明す
る。続いて，積分表現理論以降に?場したリッジレット解析や学習理論
について，その後の展開を整理論する。
第 3 章では，本論研究で用いる数学的な道具を整理論する。具体的には，
Fourier 変換や Radon 変換，ウェーブレット解析，拡散方程式，最適?送
理論の基本論的な定理論や公式を整理論する。さらに，本論で展開される超関
数や特異積分の計算について解説する。これらの計算には，これまでに
まとまった解説が少なく，申請者が独自に計算した内容も含む。
第 4 章では積分表現理論について基本論事項を説明する。本論章は本論を
展開するうえでの準備にあたるが，積分表現理論は本論研究の要であり，申
請者の考察も多く含むことから，独立に章を設けた。まず積分表現理論
がリッジレット解析と等価であることを説明したあと，リッジレット変
換が Radon 変換とウェーブレット変換の合成変換に分解できることを示
す。これにより，リッジレット解析の幾何学的な意味付録けが明らかとな
る。最後に，リッジレット変換の離散化や，ベクトル値の場合の考え方
を説明する。これにより，現実のニューラルネットと積分表現との関係
が明らかとなる。
つづく
634:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:11:36.15 qkl/9znF.net
>>553
つづき
第 5 章では浅いニューラルネットの積分表現理論を展開する。まず，深
層学習において，ReLU と呼ばれる非有界な活性化関数が用いられる背景
を簡単に説明する。これにより，深層ニューラルネットの積分表現理論
を展開するためには ReLU を含む超関数によるリッジレット解析が必要
であることが分かる。本論章の前半では，超関数によるリッジレット変換
が存在すること，および適当な条件の下で再構成公式（逆変換）が成り
立つことを理論的に示す。後半では，リッジレット変換の具体例を解析
的に計算し，さらに再構成公式の数値例を計算することで，理論の実効
性を確率認する。
第6章では深層ニューラルネットの積分表現理論を展開する。まず，DAE
が?場した背景と，DAE の学習アルゴリズムを簡単に説明し，Alain and
Bengio の変分計算によって学習アルゴリズムの?留?が?に求まること
を示す。続いて，得られた DAE が?送写像とみなせることを説明する。
本論章の前半では，浅い DAE による?送の性質を調べる。後半では，三つ
の深層 DAE（積層 DAE，合成 DAE，連続 DAE）を導入し，深層 DAE に
よる?送現象を軸として深層DAEの積分表現理論を展開する。積層DAE
は深層学習の一種であるプレトレーニングで現れる形式だが，解析が難
しい。合成 DAE は浅い DAE の合成写像であり，これ自体も?送写像な
ので解析は比較的容易である。連続 DAE は合成 DAE の連続極限であり，
無限層のニューラルネットに相当する。本論章の主結果は二つある。まず，
連続 DAE による?送に伴って変形されたデータ分布（押出測度）が，逆
向きの拡散方程式に従うことを示す。つまり，連続 DAE はデータ分布の
エントロピーを減らすようにデータ?を再配置する連続力学系である。次
に，積層 DAE と合成 DAE の等価性を示す。つまり，積層 DAE から得ら
れる特徴量は，ある線形写像によって適当な合成 DAE �
635:ｩら得られた特徴 量に変換できる。二つの主結果の系として，合成 DAE と積層 DAE はい ずれも，層を重ねるに連れて連続 DAE と?似の振舞いをするようになる ことが分かる。最後に，深層 DAE の積分表現は，層毎の積分表現を合成 したものとして得る。 つづく
636:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 18:12:38.55 qkl/9znF.net
>>554
つづき
第 7 章では積分表現を離散化することでニューラルネットを学習させる方法を説明する。再構成公式を離散化することで学習済ニューラルネッ
トが得られる。離散化は離散フーリエ変換のように規則的な格子に沿っ
て行うこともできるが，本論章ではサンプリングによる方法を提案する。こ
れは，データからリッジレット変換を推定し，得られた変換を確率分布
とみなして，パラメータをサンプリングする方法である。リッジレット
変換をパラメータ空間上の確率分布とみなしたものをオラクル分布と呼
ぶ。人工データおよび実データに対してアルゴリズムを適用し，バック
プロパゲーションに依らない学習が行えることを確率認した。
第 8 章では本論研究を総括し，今後の展望について述べる。
なお付録 A では，本論文で省略した定理論の証明を掲載している。
また付録 B では，情報やエントロピー，複雑性などの基本論的かつ解釈の難しい
概念について，諸分野での用例を元にして整理論する。本論付録の内容は，深
層ニューラルネットの中でどのように情報を処理論しているかについて考
察を加えるための背景知識となるが，本論を展開するうえで必ずしも全
て理論解しておく必要はないため，付録に置いた
今後の展望
慣習に従い，学習機械の汎化誤差を近似誤差と推定誤差に分けて考え
る。近似誤差を評価するのは関数近似理論，推定誤差を評価するのは統計
学や学習理論である。積分表現理論は専ら関数近似の理論であり，デー
タの存在は希薄である。しかし今後は，統計的な解析にも取り組んでい
く必要がある。深層学習を利用すると，どのような構造にすれば良いの
か，どの活性化関数を使えば良いのかといったモデル選択の問題や，ど
うすれば学習が上手くいくのかといった最適化の問題に直面する。この
ような問題を解析するためには，データとニューラルネットを対応付け
る規則，すなわち学習アルゴリズムを解析する必要がある。また，深層
ニューラルネットのパラメータは数十億個にのぼり，データサイズから
見てもほとんど無限と思われるほど大量にあるにも関わらず，学習でき
るのはなぜか。このような問題は一般的な新 NP 問題を解決する糸口とも捉えられるので，今後の重要な課題と言える
(引用終り)
637:現代数学の系譜 雑談
20/09/22 19:13:58.18 qkl/9znF.net
>>549
＞まずは線型代数からやり直そうな
＞行列式から入ってるけど、あれは昔のスタイルだね
自分が躓いたところを言っているのかい？
「行列式はテンソルです」って、笑えたよ（＾＾
いやね、第3章 数学的準備の目次を見ると
ちょっと、知らない分野があるので、
すぐには読めないと思ったわけ
それに、>>550に書いたけど、DR論文本体は
いまいち面白そうじゃない（自分の興味のあることを書いていない）
そういうことです
付録はつまみ読みしたよ
面白かったな（＾＾
638:１３２人目の素数さん
20/09/22 19:20:49.14 jk08YZjf.net
>>550
＞正直、このDR論文はすぐには読めない
＞かなり、数学理論を勉強しながらでないとね
君、いったいどういうふうに論文読んでるの？
当然、未知のことが書かれてることがあるじゃん
そういう場合、理解するためにどうやってるの？
もしかしてただサルのごとくキーワード検索して
自分でも読める文献を延々と検索しつづけるの？
それ・・・正真正銘の馬鹿戦略だよね？
要するにたったワンステップで分かろうとするわけじゃん
そんなの虫が良すぎるって自分でも思わないの？
当然、検索した結果の文章も分からない場合
さらに、その中のキーワードで検索するよね？
つまり自分の立ち位置と目標の間に
いくつも中間目標を設定するよね
で、今の自分に十分到達可能な中間目標から
順々に攻略していくよね
例えば、Ｋ２に上るのに、
自分が今いるのがパキスタンの海岸近くのカラチだとするよね
そしたら少なくとも内陸のイスラマバードまでは行って、
そしてそこからカシミールのギルギットまで行って・・・
と順序立てて考える必要があるよね
そういうこと全然考えてないの？
639:１３２人目の素数さん
20/09/22 19:28:53.46 jk08YZjf.net
>>556
>DR論文本体はいまいち面白そうじゃない
そりゃ理解できないことは面白くないだろ
理解できてはじめて面白いと感じる
>（自分の興味のあることを書いていない）
君の興味あることって何？
まさか
「全ての問題の真偽を判定する方法」
なんて馬鹿なこといわないよね？ｗ
（なぜこれが馬鹿なことなのかは、自分で考えてみよう）
>付録はつまみ読みしたよ
>面白かったな
そうやって自分が賢いと自分にウソをつき続けるの、やめようよ
一生馬鹿から抜け出せないよ
大卒だと偽装するくせに、行列式すら理解できないとか
ヒド過ぎるよ 全然笑えないって
大学出てるといいはりたいんなら、行列式くらい理解しようぜ
多重線形性が分れば、テンソルだと認めざるをえなくなるって
いったい何と闘ってるの？僕？僕は敵じゃないよ
君の敵は僕でも数学でもない
本当の自分から目を背ける君自身の弱さ
640:１３２人目の素数さん
20/09/22 19:37:19.47 jk08YZjf.net
＞「行列式はテンソルです」って、笑えたよ
なんか性懲りもなく書き続けてるけど
それがいかにトンデモな発言かわかってないの？
行列式は列ベクトルの組の多重線型写像だよ
これだけでテンソルだと分かる
逆にテンソルでないというなら、
多重線型性がないっていうのかい？
反例は？そんなもんあるわけないじゃんｗ
もういいかげんわけもわからず、つっぱり続けるの、やめなよ
恥かくのは君だよ 笑われるのは君だよ 俺じゃない
数学分かりたいんなら 素直にありのままの自分を受け入れなよ
無知でなにもわかってない自分自身をさ
そうでないと何も学べないよ
641:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 06:54:21.03 LeQWW8SA.net
＜転載＞
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:100番)-101
100 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:35:46.71 ID:PrdD62BV [1/2]
URLﾘﾝｸ(noschool.asia)
101 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/09/22(火) 22:55:34.90 ID:qkl/9znF [16/18]
>>100
ありがとう
そうです、そうです
URLﾘﾝｸ(noschool.asia)
NoSchool.inc
テンソルと行列
(抜粋)
2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが、上の場合は両方ベクトルと書かれているので疑問に思いました。
また、行列とテンソルは概念的に全く重なることはないのでしょうか？
2年前
数学(大学)の質問
rghwr さんの質問
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tamu 先生 の回答
先生
2年前
> 2×2行列が2階のテンソルでないことは知っていますが
2×2行列A=(a_ij)は、V=R^2とした時
T:(V^*)×V→R
(e^*_i,e_j)→a_ij
によって、2階（1階共変、1階反変）のテンソルとみなせます。
(引用終り)
上記は、純粋数学というよりも、物理数学系ですね
そして、よく言われる（書かれている）こと
例えば、上記「2×2行列と、2階のテンソルとは別物」って注意（書き）です
しかしながら、2階のテンソルがしばしば、行列で表現できるのも事実
（2×2行列に限らず、n×n行列でも類似のことがあります）
で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
(引用終り)
以上
642:１３２人目の素数さん
20/09/23 09:52:36.80 7U6sk/iJ.net
>>560
�
643:｣田くんは論理が分かってないね。 「行列式は2階テンソルである。」 なんて書かれてないんだけど、なに発狂してんの？
644:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 10:17:24.14 Ukw5lW7M.net
転載
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:109番)-110
物理数学は、下記ご参照
テンソルあるよ
昔、コーシー、ポアソンの頃、彼らがテンソルで個体力学を、数学的に研究した
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
物理数学
(抜粋)
物理学で用いられるいくつかの数学的手法を総称した呼び方であり、特定の数学分野を示すものではない
・線型代数
・ベクトル解析
・テンソル
・微分方程式
・フーリエ変換
・群論
・複素解析
URLﾘﾝｸ(lib.nagaokaut.ac.jp)
連続体力学の基礎 古口日出男 永澤茂 20150619 長岡技術科学大学出版会
(抜粋)
1. 1 連続体力学の歴史
個体に関する力学
フックの法則 17世紀
弾性力学 18世紀 ベルヌーイ、オイラー、ラグランジュ、19世紀 コーシー
テンソルの概念を応力とひずみに導入 19世紀 コーシー
実際の問題に関する解 19世紀 ポアソン
URLﾘﾝｸ(structure.cande.iwate-u.ac.jp)
構造工学研究室 岩手大学
URLﾘﾝｸ(structure.cande.iwate-u.ac.jp)
構造力学の歴史 1988.5.26
(抜粋)
ガリレイ(Domino Galileo Galilei, 1564-1642) 材料力学の最初の本「二つの新しい科学」 片持ばりの断面抵抗力，中空断面はりの強さを論じた
ロバ－ト・フック(Robert Hooke, 1635-1703) フックの法則，はりの曲げにさいし凸側では引張りを受け凹側では圧縮される
ヤコブ・ベルヌ－イ(Jacob Bernoulli, 1654-1705) たわみの曲率は曲げモ－メントに比例する
レオナ－ド・オイラ－(Leonard Euler, 1707-1783) 柱の座屈
ナビィエ(L.M.H. Navier, 1785-1836) 単純ばりのたわみ曲線による解法，平面保持の仮定
コ－シ－(Augustin Cauchy, 1789-1857) 等方弾性体の完全な方程式系
ポアソン(S.D. Poisson 1781-1840) ポアソン比，板のたわみ方程式
マクスウェル(James Clerk Maxwell, 1831-1879) 相反法則
1795 パリにエコ－ル・ポリテクニク（L'Ecole Polytechnique パリ高等理工科学校) 開校 モンジュ、ラクランジュ、フ－リエ、ポアソンらの教授陣
645:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 10:18:04.81 Ukw5lW7M.net
で、この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
646:裏ボス系のアラフェス
20/09/23 10:55:56.08 BXKSsIMy.net
こっちは背理法になっちゃうけど、前提が仮定なので背理法でも証明は可能といえよう。
i^2=,j^2=,k^2=-1
これは余分な集合を割り引いたもの。例えば、（AかつA）においてAという記号の集合は一つ邪魔である。よって、
０（元々あったもの）－１（余分に加えてしまったもの）で i^2 = -1 となる。以下も同様である。
ijk = -1
これは同様の思考で、ただし、掛ける集合がお�
647:ﾝいに全部違うから、大体５０％くらいの確率で交わるとし、 0 - 1/2 - 1/2 = -1 である。まぁ、俺は数学を専門にした覚えはないからクレームの反応受けても理解できないと思ってね。やるのは思いついたのを書き残しておくくらい。じゃあ、みんな頑張ってねー
648:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 11:38:24.11 Ukw5lW7M.net
>>562 補足
下記は、物理数学系だが
行列（行列式，余因子，逆行列）、ベクトル、テンソルとある
この文脈で
「行列式はテンソルです」って、笑える
（参考）
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
(抜粋)
関連の基礎数学
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
649:現代数学の系譜 雑談
20/09/23 11:40:48.22 Ukw5lW7M.net
>>564
ありがとう（＾＾
650:ID:1lEWVa2s
20/09/23 16:11:06.43 MqkxRjd6.net
>>562
ヤング係数は無いのか。
651:１３２人目の素数さん
20/09/23 17:10:29.05 jby33uIR.net
>>560
2×2行列の行列式DETはテンソルですよ
(もちろんn×n行列の行列式もテンソル）
DET:V×V→R
反対称性
DET(e_1,e_1)=-DET(e_1,e_1)=0
DET(e_1,e_2)=-DET(e_2,e_1)=1
DET(e_2,e_2)=-DET(e_2,e_2)=0
上記の場合、2階共変テンソルですね
(注：2×2の場合、2階だというだけで、
n×nの場合、n階である、つまり、引数の数がn個）
DET((a11e_1+a21e_2),(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,(a12e_1+a22e_2))+DET(a21e_2,(a12e_1+a22e_2))
= DET(a11e_1,a12e_1)+DET(a11e_1,a22e_2)
+DET(a21e_2,a12e_1)+DET(a21e_2,a22e_2)
= a11a12*DET(e_1,e_1)+a11a22*DET(e_1,e_2)
+a21a12*DET(e_2,e_1)+a21a22*DET(e_2,e_2)
= a11a12*0+a11a22*1
+a21a12*(-1)+a21a22*0
= a11a22-a21a12
大学で習わなかった？
あ、大学行ってないのかｗ
これ、遠山啓の「数学入門（上）」にもほぼ同様のこと書いてあるから
（ま、ちょっとだけアレンジしたけど、大筋は同じ）
652:１３２人目の素数さん
20/09/23 17:11:05.56 jby33uIR.net
>>561
>「行列式は2階テンソルである。」
>なんて書かれてないんだけど
セタは、行列式(determinant)＝行列(matrix)、だと思い込んでるね
全然違うよ
「n×n行列の行列式は、n階(共変)テンソルである」
が正しいね
>「行列式はテンソルです」って、笑える
「行列式は行列です」って、アタマ痛ぇｗ
653:１３２人目の素数さん
20/09/23 17:37:44.92 jby33uIR.net
>>564
💊飲んでますか？
エビリファイ、レキサルティ 効きますよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
適応
添付文書に記載された用法は以下である。
統合失調症
成人は1日6mg-12mgを開始用量として、1日6mg-24mgを維持量とする。
1回または2回に分けて経口投与し、1日30mgを超えないようにする。
年齢や症状に応じて適宜減量する。
効果を発揮するまでに約2週間必要なため、2週間以内に増量しないことが望まれる。
654:裏
20/09/23 17:55:15.65 Lrj4KtsS.net
>>570
眠り薬と鎮静剤ですかね。
まぁ、そんなところでしょうが、
気付け
655:薬以上には役に立っていますよ。
656:１３２人目の素数さん
20/09/23 19:44:30.11 jby33uIR.net
>>571
＞眠り薬と鎮静剤ですかね。
いえ、抗精神病薬です。
ちなみに睡眠薬は身体によくないよ
ベンゾジアゼピン
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベンゾジアゼピン薬物乱用
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)