20/09/16 07:45:14.10 eQpB/idh.net
>>438 タイポ訂正
可逆行列（下記）か 不可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
↓
可逆行列（下記）か 非可逆行列＝零因子の行列か が決まるよ
不でも非でも、どちらもで良さそうだが、統一しておかないとね
501:１３２人目の素数さん
20/09/16 17:46:42.83 Z56pvYB4.net
>>438
>”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
そもそも、初めから、
正方行列でなく正則行列といえばよかった
はよ気づけ！
>群の文脈では、”可逆行列”の”可逆”は当たり前
>それで揚げ足を取ったつもりとは笑止
「自然数の群」がＮＧなら
「正方行列の群」もＮＧ
「自然数」に”負数”を追加した「整数」で群をなす
「正方行列」から”行列式０の行列”を削除した「正則行列」で群をなす
つまり、不足か過剰かの違い
不足を笑う🐎🦌が、過剰で笑われる 実に大🐎🦌
笑止なのはこっちだよｗｗｗｗｗｗｗ
>揚げ足を取ったつもりで、
>自分が揚げ足取られて
>すってんころりん高転び。
まさに◆yH25M02vWFhP自身のこと
「自然数の群で」、揚げ足を取ったつもりで、
「正方行列の群で」、自分が揚げ足取られて
すってんころりん高転び、で「脳天逆落とし」
🐎🦌だねぇｗｗｗｗｗｗｗ
（「男はつらいよ」のおいちゃん（森川信）の声で読んでね）
502:１３２人目の素数さん
20/09/16 17:47:40.65 Z56pvYB4.net
>>438
＞一般線型群
＞定義：
＞n 次正方行列全体 Mn(F) のうち正則な行列全体が
＞行列の積に関してなす群のことを一般線型群という
肝心の「正則」の定義がないね
正則＝可逆かい？
結構だけど、それだと、
どういう場合に可逆になるか
明らかでないね
＞行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
言い換えてもよい、というより、
言い換える必要があるよね
「行列式がゼロでない」が唯一の答えではないけどね
「行列のランクがｎ」でもいいよ
少なくとも確実に判定できる条件を示さないと
数学的な意味がないよね
で、◆yH25M02vWFhP君さあ
「ｎ次正方行列Ｍの行列式がゼロでないのは
行列のランクがｎとなるとき、そのときに限る」
んだが、証明できるかい？
503:現代数学の系譜 雑談
20/09/16 23:02:19.03 eQpB/idh.net
>>438 補足
>”正方行列から非可逆元をなくせば一般線型群GL(n, F)を成す”でどう
>下記一般線型群
>定義：行列式がゼロでない行列全体と言い換えてもよい
雪江明彦のテキスト「代数学2」に、類似の記述を見つけた（＾＾；
「定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。」
Mn(R)は、R上のn x n 正方行列だが、Mn(R)は環だから、その乗法群としてGLn(R)を定義し
さらに、A∈GLn(R)として、可逆行列Aを定義している （＾＾
これ、いいじゃない！ｗ
雪江明彦「代数学2」をお持ちの方、ちらっと見て下さい（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
代数学2 環と体とガロア理論 雪江明彦 著 発刊年月 2010.12
目次
第2章 環上の加群
2.1 行列と線形方程式
2.2 行列式
(抜粋)
2.1 行列と線形方程式
（P84 R上のm x n行列の集合をMm,n(R)と書く。m=nのときは、Mn(R)とも書く。）
P86
上で述べたことにより、Mn(R)は、Inを単位元とする環になる。
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら*)、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的である。
(引用終り)
注：*) この雪江本では、体は可換である。P3に説明がある
あと
2.1 行列式
P92
注 2.2.10 Rが非可換で、例えばハミルトンの四元数だと
「Aが可逆行列←→detA≠0」といった性質が成立たない。
とあるね
504:現代数学の系譜 雑談
20/09/16 23:08:47.54 eQpB/idh.net
>>443 補足
”雪江明彦のテキスト「代数学2」に、類似の記述を見つけた（＾＾；
「定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。」
Mn(R)は、R上のn x n 正方行列だが、Mn(R)は環だから、その乗法群としてGLn(R)を定義し
さらに、A∈GLn(R)として、可逆行列Aを定義している （＾＾”
(引用終り)
おサルの流儀だと、これ許されないみたいだな
先に、可逆行列ありきで、それを使って乗法群GLn(R)を作らないと、間違いだぁ～、なーんちゃってｗ（＾＾
雪江明彦、行列環 Mn(R)ありきで、乗法群GLn(R)ができて、そこから可逆行列A∈GLn(R) が出る
良いんじゃないですか、これで？ｗ 群の定義に、乗法逆元の存在は定められているのだからねｗ（＾＾；
505:現代数学の系譜 雑談
20/09/16 23:11:15.06 eQpB/idh.net
>>443 タイポ訂正
2.1 行列式
↓
2.2 行列式
分かると思うが（＾＾；
506:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 00:00:36.45 Goa0/AaP.net
>>417 戻る
「行列式はテンソルです」って
確かに、行列式の多重線形性、テンソルも多重線形性
だから、「行列式はテンソルです」ってアホやんか
日本人は、人です。アメリカ人も人です
だから「日本人は、アメリカ人」ですとしたら、
あたまおかしいで～ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
線形代数学講義ノート 福井 敏純 2020 年 3 月 23 日 埼玉大学理学部数学科
P36
定理 2.2.12 (行列式の多重線形性).
(i) det(A) は各行について線形である．
(ii) det(A) は各列について線形である．
Ｐ37
定理 2.2.14 (行列式の交代性（わい歪対称性）).
(i) 行列式の i 行と j 行 (1 <= i < j <= n) を入れ替えると行列式の符号が変わる．
(ii) 行列式の i 列と j 列 (1 <= i < j <= n) を入れ替えると行列式の符号が変わる．
系 2.2.15.
(i) 2 つの行が同じ行列の行列式は 0 である．
(ii) 2 つの列が同じ行列の行列式は 0 である．
2.5 行列式の特徴付け *
行列式の性質として，行（または列）に関する多重線形性（定理 2.2.12）があった．実
は，行（または列）に関する多重線形性と交代性（定理 2.2.14）が．行列式を特徴づける．
ここでは，列に関する多重線形性と交代性が行列式を特徴づける事を示そう．行に関する
場合も同様であるので，列に関する場合のみ示す．
つづく
507:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 00:01:04.23 Goa0/AaP.net
>>446
つづき
URLﾘﾝｸ(tech-blog.rei-frontier.jp)
Rei Frontier Tech Blog
2017-10-12
テンソルの定義について: 普遍性と多重配列
レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。
本記事では、機械学習において盛んに応用され、深層学習のライブ
508:ラリ tensorflow の名前の由来にもなっているテンソルについて述べます。 機械学習においては、たとえば映画館の顧客について、「顧客の好み」「映画の種類」「放映された季節」など複数の"次元"を持つデータを多重配列として表現し、その類似度を求めるということが行われます。 実際の計算処理のなかではテンソルは単なる多重配列として表現されますし、そのような理解で十分とする解説記事も多くあります。 その一方で、テンソルの定義が気になって調べてみると難しい数学の説明ばかりでわけが分からなかった……という経験をした方も多いと思われます。 そこで、本記事ではテンソルの数学的な定義と多重配列との関連について、その"気持ち"の部分をわかりやすく解説することを目指しました。 少しでも納得に近づければ幸いです。 テンソルを導入するモチベーション 応力テンソル テンソル積の定義 方法1: 普遍性による定義： 基底を用いる 方法2: 普遍性による定義： 基底を用いない 方法3: 商空間を用いる定義 高階テンソル 多重配列としてのテンソル 参考文献 テンソル(tensor)という言葉の由来は、弾性学における"引っ張る力"を意味するテンション(tension)といわれています。 テンソル積の定義 本記事では、ベクトル空間のテンソル積の3種類の定義を紹介します。 高階テンソル n 階のテンソルに関しても2階の場合と同様、 n重の多重線形写像を"線形化"するという意味での普遍性と、n重線形性をもつことが確認できます。 (引用終り) 以上
509:１３２人目の素数さん
20/09/17 06:10:59.55 PUn6GZi6.net
>>443
>Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
でしょ
だ・か・ら、Mn(R)は乗法群を成さないんでしょ
自爆じゃんｗ 完全な自爆じゃんｗｗｗ
御愁傷様(-||-)
ああ、それから、「…の乗法群」の定義あるでしょ
必ず見つけて書こうね それが数学の勉強だよ
510:１３２人目の素数さん
20/09/17 06:17:05.46 PUn6GZi6.net
>>444
＞先に、可逆行列ありきで、それを使って乗法群GLn(R)を作らないと、間違いだぁ～
乗法群の定義がないと意味ないですよ おわかり？
君はどうも定義を読みたがらない癖があるね
でも、それ大学では一切通用しないから
ざんね~ん（バッサリ）
P.S.
>>443
＞Rが非可換で、例えばハミルトンの四元数だと
＞「Aが可逆行列←→detA≠0」といった性質が成立たない。
そもそも体上の線形対数も全然分かってない君に
斜体の話は百年早いよ
それはさておき、その場合「Aが可逆行列」という性質は
いかなる形で定義される、と書いてあるかな？
そして、可逆行列全体が積で閉じてることは君、確認したかな？
群の公理を理解したなら、真っ先に確認すべきことだよ
君、やったかな？どうせやってないんだろ 君ホント🐎🦌だからなｗ
511:１３２人目の素数さん
20/09/17 06:21:10.91 PUn6GZi6.net
>>446
＞確かに、行列式の多重線形性、テンソルも多重線形性
＞だから、「行列式はテンソルです」ってアホやんか
アホはきみやんか
「テンソルとは多重線形写像のことである」
って定義されとることも知らんとかド阿呆やん
上記の定義を知っとったら
「行列式は多重線形写像である」
と確認したその瞬間
「したがって、行列式はテンソルである！」
とわかるやんか？
君、アホか？バカか？タワケか？ダラズか？ホンジナシか？タクランケか？ｗ
512:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 06:48:34.43 Goa0/AaP.net
>>448
ばかサル必死だな
（>>443より）
（P84 R上のm x n行列の集合をMm,n(R)と書く。m=nのときは、Mn(R)とも書く。）
P86
上で述べたことにより、Mn(R)は、Inを単位元とする環になる。
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
(引用終り)
上記同様、「正方行列の成す群Ｇ」といえば、A∈Gなら Aは可逆行列 が出る
「正則行列の成す群Ｇ」などという必要は、必ずしも無い！！
ＱＥＤ ｗｗｗ（＾＾；
雪江明彦 代数学2 の該当ページを、熟読してください、おサルさん！ｗｗｗ
513:１３２人目の素数さん
20/09/17 06:52:50.62 PUn6GZi6.net
>>451
なんだ、まだ「・・・の乗法群」の定義が見つけられないのか？
アタマ悪いな 数学書なんだから定義なしに新奇な用語使うわけないだろ！
さあ、探せ！ 定義見つけてから書け ダラズが�
514:I
515:１３２人目の素数さん
20/09/17 06:55:58.67 PUn6GZi6.net
>>451
＞「正方行列の成す群Ｇ」といえば
ん？「正方行列の乗法群」の「乗法」を忘れた？
君、記憶ができないの？君、🐎🦌？
まず「乗法群」の定義を見つけて書け
話は全てそこからだ 定義なしの用語使用はまずありえないと知れ
このダラズが！！！
516:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 07:32:09.17 Goa0/AaP.net
>>450
ばかサル必死だな
「テンソルとは多重線形写像のことである」
「行列式は多重線形写像である」
で、止めておけばいいのです
下記 多重線型写像で、
”行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である”
”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である”
あるいは
下記 「テンソルの大雑把な意味と正確な定義」の
”線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる”
とあるよね。それで終わっておけば良いのです
「行列式はテンソルです」ってアホやんか
だれが聞いても、誤解を生むだけ
”こいつアホやな”ってね（＾＾；
実際アホやけど
シッタカしようとして、すってんころりん！
シラケ鳥が飛ぶぅ～！
頭腐っている～ｗ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型写像
(抜粋)
多重線型写像（たじゅうせんけいしゃぞう、英: multi-linear map）は各変数ごとに線型な多変数関数である。
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。
多重線型写像の終域が係数体（スカラー値）のときはとくに多重線型形式と言う。
例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、
行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
つづく
517:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 07:33:11.04 Goa0/AaP.net
>>454
つづき
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称（英語版）、反対称、交代（英語版） k 重線型写像を考えることができる（注意すべき点として、基礎（英語版）環（あるいは体）の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する）。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積（フランス語版）、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。
テンソル積との関係
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。
すなわち多重線型写像の空間 L(E1, …, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 ◯x … ◯x Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。
例
・行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である。
URLﾘﾝｸ(mathwords.net)
具体例で学ぶ数学 > 計算 > テンソルの大雑把な意味と正確な定義
最終更新日 2019/04/18
(抜粋)
テンソルの大雑把な意味
単なる多次元配列のことをテンソルと呼ぶことがあります。
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
つづく
518:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 07:33:34.18 Goa0/AaP.net
>>455
つづき
テンソルの正確な定義
テンソルの定義は（同値なものが）いくつかありますが、ここでは「成分の変換規則」による定義を紹介します。
例2. 線形写像
線形写像は1階反変1階共変テンソルです。
線形写像は、基底を決めると表現行列 A が定まります。
そして、基底を変換する（基底の変換行列を R とする）と、新しい基底での表現行列は R?1AR となります。詳しくは 相似変換の意味、表現行列や基底の変換行列との関係を整理 に記載しています。
よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
(引用終り)
以上
519:粋蕎
20/09/17 07:47:50.68 xI04d2jT.net
自然数は正整数である
正整数は非負整数である
自然数は非負整数である
520:粋蕎
20/09/17 07:4
521:9:10.93 ID:xI04d2jT.net
522:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 10:45:54.45 mTCCJp7z.net
>>458
「テンソルとは多重線形写像のことである」
「行列式は多重線形写像である」
で、止めておけばいいのです
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
523:１３２人目の素数さん
20/09/17 19:19:04.89 PUn6GZi6.net
>>454
>「テンソルとは多重線形写像のことである」
>「行列式は多重線形写像である」
>で、止めておけばいいのです
君の認識があやふやだから止まる
まず第一点
「ｘがテンソルであるとは、ｘが多重線形写像であるときそのときに限る」
ここがはっきり分かっていれば、第二点
「行列式は多重線形写像である」
から、結論
「行列式はテンソルである」
が導ける
>”行列式は正方行列の列（あるいは行）ベクトルを引数と見れば多重線型形式である”
然り
>”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）の反対称多重線型関数である”
否、正しくは
”行列の行列式は正方行列の列（あるいは行）【ベクトル】の反対称多重線型関数である”
君は、なぜか肝心な言葉を省いて誤解する悪い癖がある
素人は決して言葉を省いてはならない
省き方が間違ってるからである
で、ｎ×ｎの行列式は ｎ階共変テンソルな
なぜなら、ｎ×ｎの行列には、ｎ個の列（あるいは行）ベクトルがあるから
そして写像としての行列式の値は体であって、（体上の）線形空間ではないから
524:１３２人目の素数さん
20/09/17 19:21:29.80 PUn6GZi6.net
>>454
>「行列式はテンソルです」ってアホやんか
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
一体なにに発●してるのか知らんけど
多重(つまり二重以上）線形写像であって、(一重)線形写像ではないよ
例えば
「行列式０の集合全体が、線形空間でないからオカシイ」
といってるんなら
「そもそも、”多重”線形写像だから、線形空間になりませんが、それが何か？」
というだけだけど
で、ｎ個のベクトルのうち、ｎ－１個を固定した上で、
１個だけ変数にした場合は、も・ち・ろ・ん、線形空間になる
つまり、(ｎ－１個のベクトルが一次独立の場合）残り１つのベクトルが、
ｎ－１個のベクトルの一次結合で表せる場合は０になる
もしかして、キミ、全然見えてなかっただろ？
これだから、線型代数が分かってない人は、困るんだよ
>シッタカしようとして、すってんころりん！
>シラケ鳥が飛ぶぅ～！
それ、お前な
525:１３２人目の素数さん
20/09/17 20:17:51.90 PUn6GZi6.net
日向坂（旧 ひらがなけやき）で学ぶ線型代数ｗ
まずはこの動画の21:34～を見てほしい
URLﾘﾝｸ(www.dailymotion.com)
で、問題と解法を理解した上で、このブログを読んでほしい
URLﾘﾝｸ(www.hinatazaka46.com)
「ゆうかとこの前のひらがな推しの学力テストの話になり、
番組の途中で出てきたリンゴ○個、ミカン○個っていう
答えの数学の問題の話になりました！
そしたら、あれは番組で出ていたのは中学生の解き方で
あの問題は3パターン答え方があり、
小学生の答え方(つるかめ算)、
中学生の答え方(方程式)、
高校生の答え方(連立方程式)
があったらしいです！」
「ゆうか」こと影山優佳は当時筑波大付属高に通っていた才女で
大学受験のため休業中だった
彼女は３種類の解き方を的確に述べている
ちなみに高校生の解き方というのは
ミカンｘ個、リンゴｙ個 として
・全部で１５個
・ミカン１個１２５円、リンゴ１個１６０円で２１００円出したらおつりが１５円
から、以下の２つの方程式を立てる
① ｘ＋ｙ＝１５
② １２５ｘ＋１６０ｙ＝２１００－１５＝２０８５
その上で変数消去法で解く、というもの
１２５×①
１２５ｘ＋１２５ｙ＝１２５×１５＝１８７５
②－１２５×①
３５ｙ＝２０８５－１８７５＝２１０
ｙ＝６
ｘ＝１５－６＝９
526:で、ここで大学理系学部に通う人がいたら ４つ目の「大学生の解き方」を述べた筈 それは・・・「クラメルの公式を使う」 うわー、鶏を牛刀で割く、イヤミなやっちゃなあｗｗｗ
527:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 20:56:22.35 Goa0/AaP.net
>>455 補足
（再録）
テンソルと多次元配列の違い
多次元配列は、単純に数字をたくさん（立方体の各マスに）並べたものです。
一方、テンソルは正確に定義するのがけっこう大変な「数学的なオブジェクト」です。大雑把には、テンソルとは「基底を定めれば多次元配列が定まり、その多次元配列の成分は基底の変換規則に従う」ような関数と言えます。
(引用終り)
ここを補足しておくと
この認識は、ちょっと違う
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
例（>>331 ”NumPy”の”ndarrayというクラス”とか、テンソルフローとか。もう、これ数学や物理のテンソルとは無関係。線形写像とも無関係
>>332 "カラー画像をデジタル表現する場合、1 枚の画像は RGB (Red Green Blue) の3枚のレイヤー（チャンネルと呼びます） 各チャンネルは行列として表され、その行列がチャンネル方向に複数積み重なっている"みたいなもの）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
528:１３２人目の素数さん
20/09/17 21:02:55.40 PUn6GZi6.net
>>463
🐎🦌が、わけもわからず、●チガイまくってるな
529:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 23:31:34.79 Goa0/AaP.net
>>463 参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
(抜粋)
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、独: allgemeine Relativitatstheorie, 英: general theory of relativity）は、アルベルト・アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて、それを発展させ1915年から1916年にかけて発表した物理学の理論である。一般相対論（いっぱんそうたいろん、英: general relativity）とも。
(抜粋)
4. 一般相対性理論の内容
4.1 時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件
一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする4次元のリーマン多様体として扱われる[注 9]。
つづく
530:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 23:32:08.03 Goa0/AaP.net
>>465
つづき
可微分多様体 M がリーマン多様体であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル gij(x) が与えられているものを言う。なお、局所座標系 (x0, x1, x2, x3) の四つの座標の内、x0 は適当な測定単位で測られた時間座標、x1, x2, x3 は空間座標とする。すなわち、x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るというアインシュタインの縮約記法を用いる。
4.3 リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
時空の曲率は、レヴィ・チビタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル（Riemann tensor）R ρ
?σμν で表現される。局所座標表現では、次のように書ける。
アインシュタイン方程式とその特徴
一般相対性理論の基本方程式は、
G_μ ν +Λ g_μ ν =Κ T_μ ν
と表され、アインシュタイン方程式と呼ばれる。ここで Gμν はアインシュタインテンソル、gμν は計量テンソル、Λ は宇宙項、Tμν はエネルギー・運動量テンソルである。
κ （アインシュタインの定数）は、
Κ = 8πG/c^4
となる。G は万有引力定数、 c は光速である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。
(引用終り)
以上
531:現代数学の系譜 雑談
20/09/17 23:40:03.74 Goa0/AaP.net
>>463 補足
> ３．抽象代数学のテンソル：多重線形
>この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
「３．抽象代数学のテンソル：多重線形」
これは、多分、数学屋さんは、３次元とか４次元とかを超えて、一般ｎ次元を考えたがるのです
そのときに、物理の３次元とか４次元とかを超えるために、成分表示でない一般のテンソルの表示というか定義を考えたい
それが、”多重線形”です
物理のように
３次元とか４次元で終わるなら、別に”多重線形”など飛ばして（抜きで）
すぐに具体的な、応力テンソル (stress tensor) （>>465）や、一般相対性理論のリーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル（時空テンソル）などの計算を扱えば良いのです（＾＾
532:１３２人目の素数さん
20/09/18 06:02:16.50 dTNN6abH.net
>>467
>別に”多重線形”など飛ばして（抜きで）
>すぐに具体的な、応力テンソル (stress tensor) や、
> 一般相対性理論のリーマンテンソル、
> アインシュタイン・テンソル（時空テンソル）
>などの計算を扱えば良いのです
多重線形性も理解できない🐎🦌に
上記の具体的なテンソルの計算が
理解できるわけなかろうがｗ
行列式がテンソルであることすら分からん奴が
ヤコビアンの計算なんかできるわけなかろうが
この🐎🦌が！！！
533:１３２人目の素数さん
20/09/18 06:11:47.95 dTNN6abH.net
🐎🦌は「AI数学」に興味あるらしいが
そのくせまったく「AI数学」を勉強してないので
云ってることが支離滅裂でウソっぱちだらけ
もう諦めろ 貴様のようなNatural Innocent（天然の馬鹿ｗ）に数学は無理
これから、◆yH25M02vWFhPを、”NI”と呼ぼうｗ
534:現代数学の系譜 雑談
20/09/18 22:44:12.39 3jqOEXUQ.net
>>463 補足
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
例えば、下記のyoutube "テンソルとは何か？"
野沢秀文
"テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）"
ペンギンの機械工学講座
これは、主に物理のテンソルの説明です
テンソルの成分による説明が主です
数学は、ちょっと違う
雪江明彦の
代数学2 テンソル積
代数学3 テンソル代数
圏論によるテンソル積の普遍性から、説明は始まります（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
テンソルとは何か？
2017/02/27
野沢秀文
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）
2,097 回視聴?2020/05/10
ペンギンの機械工学講座
535:１３２人目の素数さん
20/09/19 06:00:01.88 tFaPEuCB.net
>>470
何がいいたいのかわからん
定義が
536:違うからって モノが違うとはいえないよ 行列式が多重線型形式だと認めるなら テンソルだと認めたことになるじゃん テンソル＝多重線型形式 なんだから
537:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 06:49:46.15 5vG6tTQ1.net
>>459 追加
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
シッタカしたつもりが
白眼視されるの関の山
雪江明彦 代数学2，3でも
「行列式はテンソル」なんて記述はない
知る限り「行列式はテンソルです」と言った数学者は、ゼロ
これからも無いだろう
空前絶後！ 空前絶後のアホです（＾＾；
538:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 06:51:39.59 5vG6tTQ1.net
突然ですが
OIST 沖縄科学技術大学院大学
2019年に質の高い論文数で世界の研究機関をランキングづけするNature Indexにおいて、世界9位と評価される
か、なんか凄いね
「とくに最近は機械学習とか深層学習とかも増えています。」とか
AMD Ryzen 藤井聡太か
（参考）
URLﾘﾝｸ(pc.watch.impress.co.jp)
pc.watch
大学のスパコン担当博士が「新時代を感じた」というAMD EPYCの利点とは
～2021年には富岳を越えるEPYC搭載の世界最速スパコンが稼働予定 提供：日本AMD株式会社 石井 英男2020年9月15日
(抜粋)
AMDといえば、古くからPC自作派には有名だが、近年、コスト性能が高いRyzenがブームになり、知名度やシェアが大きく向上した。大手メーカーからも、AMD採用パソコンが次々と登場している。直近では、藤井聡太二冠が、一番会いたい人としてAMDのCEOであるリサ・スー氏を挙げたり、二冠獲得後に「パソコンを1台組みたい」と語ったことでも話題になった。
OISTの新スパコンシステム「DE･i･GO」に第2世代EPYCが912基採用
EPYC採用事例として、OIST(Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University: 沖縄科学技術大学院大学)の新スパコンシステム「DE･i･GO」を紹介する。OISTは、世界各国の大学を卒業した院生や教官がさまざまな研究を行なっている大学院大学であり、2019年に質の高い論文数で世界の研究機関をランキングづけするNature Indexにおいて、世界9位と評価されるなど国内でも有数の研究機関である。
OISTでは、所属する学生や教官が共有して使うスパコンを所有しているが、その第4世代にあたるスパコンが、DE･i･GOである(ちなみに、「でいご」とは沖縄を代表する花であり、沖縄の県花である)。DE･i･GO導入プロジェクトのリーダーである沖縄科学技術大学院大学学園科学計算及びデータ解析セクションセクションリーダーのタユフェール・エディ博士に、DE･i･GOの特徴やEPYC採用の理由などをお聞きした。
つづく
539:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 06:52:21.96 5vG6tTQ1.net
>>473
つづき
－: OIST全体で色々な用途に使っているとおっしゃってましたが、もう少し具体的に教えてください。
エディ: OISTはライフサイエンスの分野を中心に結構広く研究を行なっています。 生物学とか物理学とか神経とかそういったさまざまな研究をしています。そしてその研究に関する計算、とくに最近は機械学習とか深層学習とかも増えています。計算としてよくあるのはやはり画像とか動画とか、DNAデータとか神経だったらシミュレーションとかデータの解析とか。他の生物学だったらシミュレーションが多いですね。材料とか量子コンピューティングとか流体計算とか、本当に幅広い計算を同じシステムで行なっています。
－: 新しいDE･i･GO�
540:ﾉついて、ユーザーからの感想はありましたでしょうか。 エディ: やはりユーザーからは、こんなに多くの計算がすぐにできるのがすごいと、喜びの声をたくさんいただいてます。この2年間、ユーザーが増えて、前のシステムでは、キャパシティがいっぱいになり、待たされたりしてたんですね。それで結構困ってた人が多かったのですが、DE･i･GOになってスムーズに行っています。 ー: EPYCには満足されていらっしゃるようですが、AMDに対する要望はありますか? エディ: EPYCに乗り換えて、本当にびっくりしているんですよ。これまでの15年間は、ずっと同じメーカーのCPUを使っていて、新製品が出ても性能が少し上がるとか、機能でプラスアルファがあるとかと言った程度で、「やっぱりこんなものかな」と、そういう状態に慣れてしまっていたんですね。 けど、AMD CPUでは、世代が変わると性能が何倍も上がり、新しい時代に入ったと感じました。メモリもかなりたくさん載せられますので、とても満足しています。敢えて要望を挙げるなら、もっとコア数を増やして欲しいですね。これからもっとよい製品が出てくると思いますので、そしたらもっと嬉しいですね。 つづく
541:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 06:52:45.16 5vG6tTQ1.net
>>474
つづき
2021年、2023年に富岳を越える世界最速スパコンが米国で稼働開始
最後に、世界最速を狙う超高速スパコンの話題を紹介する。
現時点で世界最速のスパコンは試験運用中の富岳で、2020年6月にTOP500で1位を獲得した。LINPACKでの性能は415PFLOPSであり、正式運用開始は2021年の予定だ。富岳は富士通製スパコンで、CPUとしてA64FXを採用しているが、現在、富岳を越える性能を目指すスパコンの計画がいくつか進められている。
そのなかでも、野心的な性能を目指しているスパコンが、2021年に米国のオークリッジ国立研究所への納入が計画されている「Frontier」と、2023年に同じく米国のローレンスリバモア国立研究所に納入が計画されている「El Capitan」である。FtontierとEl Capitanは、どちらもCPUとしてAMD EPYCを、GPUとしてAMDのRadeon Instinctを採用することになっている。
Frontierの目標性能は1.5EFLOPS(1,500PFLOPS)、El Capitanの目標性能は2EFLOPS(2,000PFLOPS)であり、どちらもその時点での世界最速スパコンとなる予定だ。2023年の時点で、世界1位と世界2位の性能を持つであろうスパコンが、ともにAMD EPYCとAMDのGPUを採用しているというのは、まさに快挙であろう。今後もAMDは、スパコンからPCまで業界のリーダーシップとなっていくだろう。
最後に余談となるが、EPYCというと、個人ユーザーにはあまり関係ないと思われるかもしれないが、実はAmazonで普通に販売されている。2020年9月上旬現在の価格は、64コアのEPYC 7742が約76万円であり、その気になればEPYCマシンを自作することもできるかもしれない。
(引用終り)
以上
542:１３２人目の素数さん
20/09/19 08:01:37.89 tFaPEuCB.net
>>472
＞「行列式はテンソル」なんて記述はない
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v
543:_n であるが、ここで v_1 … v_n=(Σσ∈S‗n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n である。 ただし、vi の第j成分を v_i~ji と表した。 これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
544:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 08:33:57.17 5vG6tTQ1.net
>>463 補足
(引用開始)
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
この３つは、ある視点（切り口）では共通点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾；
(引用終り)
3種のテンソルのうち
１のAI数学の単なる数の多次元配列をテンソルと呼ぶ
最近の流儀。コンピュータ数値計算の発展で、こういう流儀の方がシンプル。
”テンソル”って、格好良い名前つけるけど、本来のテンソルとは別もの
２の物理のテンソルで、下記引用は土木の連続体力学PDFから
これは、アインシュタインのころのテンソルです
”1.2.8 二階テンソルの成分，三次元正方行列”にあるように、
”座標系を固定するという条件のもとで，成分 Ai j および正方行列 [A] を二階テンソル A と同一視して扱い”
式 (1.39)とか、式 (1.40)とかのみが、テンソルです。式 (1.40)にならない正方行列は、テンソルではない
（補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
３の（雪江）抽象代数学のテンソルは、>>470に書いたけど、ｎ次とか あるいはもっと抽象化したテンソルを扱う（圏論によるテンソル積をベースにしてね）
実際、テンソル積は、現代数学のいろんなところに顔をだすよ（＾＾；
３つのテンソルの違いを、覚えておくのが良い
「この人は、どの立場で”テンソル”と言っているのかな？」を意識しないと、初対面の人とは話が混線するだろうね（＾＾；
つづく
545:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 08:34:19.79 5vG6tTQ1.net
>>477
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.mm.civil.tohoku.ac.jp)
東北大学大学院 工学研究科
土木工学専攻 材料力学研究室
URLﾘﾝｸ(www.mm.civil.tohoku.ac.jp)
連続体力学
URLﾘﾝｸ(www.mm.civil.tohoku.ac.jp)
1．数学準備 →PDF
(抜粋)
P18
1.2.8 二階テンソルの成分，三次元正方行列
正規直交基底 [e1, e2, e3] を導入すると，任意の二階テンソル A は９個のテンソル積 (ei ◯x ej) (i, j =1, 2, 3) の一次結合として
A = Ai j(ei ◯x ej) (1.33)
のように一意に表される．ここに，成分 Ai j は次式で与えられる．
Ai j = ei・ Aej (1.34)
実際，テンソル積の定義式 (1.29) を用いれば
P19
二階テンソル A に対して一意に定まる成分 Ai j は 3×3 正方行列として表すことができる．
これを A の表現行列という．
式 (1.36)
基底すなわち座標系を定めれば表現行列が一意に定まることから，座標系を固定するという条件
のもとで，成分 Ai j および正方行列 [A] を二階テンソル A と同一視して扱い，
式 (1.37)
のようにも表す．ただし，(1.36) 式の関係が背景にあることを忘れてはならない．
すると，この表現行列は二つの数ベクトルの積によって作られていることに気づく．
式 (1.39)
二つのベクトルのテンソル積は，次のような指標表記および数ベクトルの積と同一視できる
式 (1.40)
(引用終り)
以上
546:１３２人目の素数さん
20/09/19 11:20:33.57 tFaPEuCB.net
>>477
キミは結局、定義の文章が読めない「論理盲」なんだね
論理盲
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
だから、見た目だけでわかる数の配列でしか理解できない
>>476なんて全然難しいこといってないよ
こんな簡単なことも理解できないなんて 技術者もつとまらんよ
「対称」とか「反対称」とか云った瞬間、ｎ＾ｎ次元が縮退する
置換によって不変となる関係で、制約式を満たす必要があるから
そういうことすら理解できないなら、数学は無理
悪いこと言わない 綺�
547:夋Tッパリ諦めな 数学書買うのにいくら投資したか知らんけど、全部売り払いな どうせキミには書いてあることが一字一句理解できない 大学一年の線形代数の教科書の基本的な記述すら読めないんじゃね 何読んだって、正しく理解できるわけがない
548:１３２人目の素数さん
20/09/19 11:35:35.89 tFaPEuCB.net
アスペクト盲
URLﾘﾝｸ(pssj.info)(Sugasaki_Yoshino).pdf
ある言葉に対する複数の定義の同値性を理解できず
ただ一つの（しかも見た目で分かる素朴な）定義に固執する
「万年小学生」に数学は無理
昨日のチコちゃんでも云ってたが「数学は算数じゃない」
549:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 12:12:31.26 sEbNlTN3.net
>>472 再録（＾＾；
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
普通に
・「なに言ってんだ、こいつ！」
・「なにを言いたいんだ、こいつは！」
となって、
白眼視されるの関の山ですよ
シッタカしたつもりが
白眼視されるの関の山
雪江明彦 代数学2，3でも
「行列式はテンソル」なんて記述はない
知る限り「行列式はテンソルです」と言った数学者は、ゼロ
これからも無いだろう
空前絶後！ 空前絶後のアホです（＾＾；
550:１３２人目の素数さん
20/09/19 13:08:07.44 tFaPEuCB.net
>>481
＞「行列式はテンソル」なんて記述はない
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
551:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 13:53:36.14 sEbNlTN3.net
>>481
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
552:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 15:53:40.40 sEbNlTN3.net
>>483
>URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
>行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
>キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
これに
P22
正則行列
行列式が 0 でない行列
det A ≠ 0
あるよね
これ、岡山大 機械工学だけど
これは、どこにでも書いてある
が、確か高校の教程に行列が入ったときに、
関連記述があったとような気がしたんだよね
（大学のテキストに、この記述があるのは当たり前だが）
それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ
（流石に、高校では行列式は、教程には入らなかったらしい
でも、こっそり一貫校では教えていたかもな（＾＾ ）
て、その意図は、「正方行列で、逆行列を持たないものがある」は、
（旧）高校数学の教程の範囲だという意図だったわけですよ
それ、気付よ！ あほサル
553:１３２人目の素数さん
20/09/19 16:03:18.97 tFaPEuCB.net
>>483
なんか対称・反対称を理解できない人が、ギャアギャアわめいてますね
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
困ったもんです
554:１３２人目の素数さん
20/09/19 16:30:48.70 tFaPEuCB.net
>>484
＞正則行列
555:＞行列式が 0 でない行列 ＞det A ≠ 0 ＞これは、どこにでも書いてある そもそも理工系大学なら、線型代数代数は必須だから 正則行列なんてみんな知ってる 知らないヤツはモグリ ただ、キミの引用したpdfは・・・不親切だね 実際には、正則行列を特徴づける性質は複数ある 例えば、ガウス消去法で、行列を階段行列に変える場合 階段の段数としてのランクが、行列のサイズと一致すれば正則である （逆にランクが行列のサイズより小さくなる場合は非正則 実際、連立方程式の解が存在しない場合や、 解があっても一意的でない場合の行列はそのようなもの） ＞確か高校の教程に行列が入ったときに、 ＞関連記述があったとような気がしたんだよね ＞それで、高校の行列に”零因子”を見つけて、引用したわけ それ、一番ダメなパターンねｗ まず、高校の教科書のつくりがダメ そして、そのダメなところを、わざわざひろうのもダメ 零因子なんて、なんで高校で唐突に教えるかもわからんが そこが最重要だと鵜呑みにするのも、考えない馬鹿の典型 「正則行列」は「階が一意的に存在する連立方程式」に対応する そして連立方程式をガウスの消去法で解くなら、 「消去法によって変数が消えすぎることがない」 という性質に対応する 消去法がうまくいけば、 ・対角要素より下の要素は０ ・対角要素すべてに０でない数が並ぶ ようにできる、そして、消去法の方法として 階段化しか行わないなら行列式は変化しないようにできるから 階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できて したがって、対角要素全てが０でない数＝行列式が０でない という形で対応づけられる あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、 この位の説明はできるようになってほしいね ま、昔はクソ大学だと、耄碌教授による 行列式とクラメルの公式と余因子による逆行列の計算だけバカチョンで教えて、 ガウス消去法との関連付けなんて一切しないの講義がまかり通ったみたい だけど、そんなん２１世紀では噴飯ものだからｗ （自分は、昭和最末期に大学生だったが、その頃の線型代数の教科書でも 消去法による階段化と行列式との関係づけは、ちゃんとやってたぞ。 つーか、そのくらいやんなかったら、線型代数やる意味ねぇじゃん！）
556:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 17:43:36.41 sEbNlTN3.net
リピート再生ｗｗｗ（＾＾
>>481
２の物理のテンソルの立場（>>477）
では、下記みたいな資料もあります
これ、分かり易いね
そして、いかなる立場であれ
「行列式はテンソルです」って
だれが聞いても、誤解を生むだけ
シッタカしたつもりが
単にアホ晒しているだけのこと
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
機械工学者向けサイト by 多田 直哉 岡山大
固体力学（Solid Mechanics）
＜関連の基礎数学＞
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
テンソル（Tensor）
キーワード：テンソル，内積，テンソル積，座標変換，縮約，商法則
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
ベクトル（Vector）
キーワード：ベクトル，スカラー積（内積），ベクトル積（外積），テンソル積，座標変換，勾配，発散，回転，微分演算子
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
行列と総和規約（Matrix and Summation Convention）
キーワード：行列，クロネッカー・デルタ，置換記号，行列式，余因子，逆行列，固有値，対角化，総和規約
URLﾘﾝｸ(solid4.mech.okayama-u.ac.jp)
弾性体の構成式（Constitutive Equation of Elastic Solid）
キーワード：線形弾性体，弾性係数テンソル，弾性コンプライアンス係数テンソル，一般化フックの法則，熱応力
557:１３２人目の素数さん
20/09/19 17:50:32.07 tFaPEuCB.net
リピート再生
>>482
君、下の文章、理解できる？
「K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
K の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型は
一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。」
「Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、
vj とは Xej にほかならない。
∧^n X(e_1 … e_n)=v_1 … v_n
であるが、ここで
v_1 … v_n=(Σσ∈S_n sgn(σ)v_σ(1)~1v_σ(2)~2…v_σ(n)~n)e_1∧…∧e_n
である。
ただし、vi の第j成分を v_i~j と表した。
これは Kn 上 ⋀nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。」
558:１３２人目の素数さん
20/09/19 17:54:30.02 tFaPEuCB.net
これも繰り返しとく
我ながらよく書けたｗ
>>486
正則行列は、
・解が一意的に存在する連立方程式
に対応し、連立方程式をガウスの消去法で解くなら、
・消去法によって変数が消えすぎることがない
という性質に対応する
消去法がうまくいけば、
・対角要素より下の要素は０
・対角要素すべてに０でない数が並ぶ
ようにできる、そして、消去法の方法として
階段化しか行わないなら、行列式は変化しないようにできるから
階段化の後の行列式は、対角要素の積として計算できるので
・対角要素全てが０でない＝行列式が０でない
という形で対応づけられる
あのね、線形代数をちゃんと学んだんなら、
この位の説明はできるようになってほしいね
559:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 20:28:32.31 5vG6tTQ1.net
>>488
くっさ（＾＾
「行列式はテンソルです」って
アホや～！（＾＾
>>489
くっさ（＾＾
正則行列は、可逆行列（雪江 代数2 P86）のこと
逆元を持つ行列のことであって、行列式が０でない（零でない）
つまり、零因子でない行列のこと
この単純な理解が抜け居ていたおサル
雪江 代数2 くらい嫁よ （別に雪江にかぎらんけどな）
Fランオチコボレは、ここまで酷いのかねぇ～！
低レベルだな、Fランオチコボレはｗ（＾＾；
560:１３２人目の素数さん
20/09/19 20:35:08.62 +g3Gqta4.net
瀬田は相変わらずバカ丸出しだね
561:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 23:29:52.14 5vG6tTQ1.net
>>443 >>451 補足
雪江明彦のテキスト「代数学2」
P86
定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。A∈GLn(R)なら、Aは可逆行列であるという。
Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が
562:一般的である。 (引用終り) 乗法群 GLn(R)で、A∈GLn(R)→Aは可逆行列 つまり、群の定義に、可逆元が規定されているのです 行列だから、可逆行列 （Rが体なら、可逆行列という用語より正則行列という用語の方が一般的ともある） よって、群の定義の可逆元→「Aは可逆行列」が出る さて、下記の二つの表現 １）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列 ２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列 こう書くと、 １）は雪江本と同じ書き方 ２）は、下記の重言に相当すると言える 繰返すが、２）の”可逆行列Aの成す群G”という表現は、 必ずしも間違いではないが、しかし”重言”といえるのです！（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E8%A8%80 重言 重言（じゅうげん、じゅうごん）は、「馬から落馬する」「頭痛が痛い」のように、同じ意味の語を重ねる日本語表現である。多くは誤用と見なされるが、意味を強調したり語調を整えるため[1]、あるいは理解を確実にさせるため[2]に、修辞技法として用いられる場合もある。二重表現、重複表現ともよばれる[3]。 「びっくり仰天」「むやみやたら」[4]「好き好んで」などは、意味の重複が語呂のよさをともなうことからあえて用いられる。 つづく
563:現代数学の系譜 雑談
20/09/19 23:30:42.52 5vG6tTQ1.net
>>492
つづき
「えんどう豆」[5]「青海湖」「しし肉」などは、語源的には重複表現だが、慣用的に誤用とは見なされない。[6]
外来語においてはあまり馴染みのない語の性質を表すために意図的に用いられることもある。例えば日本語ではアム・ダリヤ（ダリヤは大河の意）を「アムダリヤ川」とすることで川であることを簡潔に示し、英語では荒川を指して "Arakawa river" などと表現することがある。
日本語における重言
日本語の重複
馬から落馬する[7]
頭痛が痛い
満天の星空
学校に登校する
アメリカへ渡米
訃報のお知らせ
事前予約 - 「予約」の「予」は、「事前に」という意味である。
暇の合間
脚注
7^ 「浄瑠璃『鑓の権三重帷子（やりのごんざかさねかたびら）』（近松門左衛門作、1717年初演）で重言という言葉が使われる。この作品に何度か出てくる「馬から落ちて落馬」というフレーズは有名で、典型的な重言の例として頻繁に言及される。
竜の駒にもけつまづき、馬から落ちて落馬いたしたと、片言やら重言やら
これが現代にも伝わり、「古の昔、武士の侍が―」と頭に挿入される言葉遊びになった。
(引用終り)
以上
564:１３２人目の素数さん
20/09/20 06:58:46.72 Xq8NqmL2.net
>>492
＞雪江明彦のテキスト「代数学2」P86
＞ 定義 2.1.5 Mn(R)の乗法群をGLn(R)と書く。
で、キミ、肝心の「乗法群」の定義は見つけた？
まさか、探してないの？ ボクはみつけたよ
ほれ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「数学と群論において、乗法群 (multiplicative group) は
次の概念を意味する：
体、環、あるいはその演算の1つとして乗法をもつ他の構造の、
可逆元が乗法の下でなす群。
体 F の場合には、群は {F ∖ {0}, •} である、
ただし 0 は F の零元であり二項演算 • は体の乗法である。」
＞１）正方行列Aの成す群G→Aは可逆行列
＞１）は雪江本と同じ書き方
ちがうな
誤 「…のなす群」
正 「…の乗法群」
キミが同じだと思ってる表現は、実は全然違う
「…のなす群」は「…全体がある演算でなす群」�
565:ﾆいうもの つまり、正方行列全てがその演算における可逆元だと、いいきっている したがって、間違っている 正方行列には非可逆元があるから 「…の乗法群」は「…のうち乗法の可逆元がなす群」というもの つまり、乗法群の言葉の定義で、非可逆元を排除している ただの「群」と云う言葉とはそこが違っている ＞２）可逆行列Aの成す群G→Aは可逆行列 ＞２）は、重言に相当すると言える 実際は 「Aは正方行列の内の可逆元⇔Aは可逆行列」 であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない 定義を「重言」という馬鹿はいない ＃そもそも「可逆行列」ではなく正則行列と云う言葉を使っていたし ＃その定義は「行列式が０でない」であるから、「可逆元」とは異なる ＃両者は同値であるが、文章として異なる ＃（ここ、区別できないと数学は理解できない）
566:１３２人目の素数さん
20/09/20 07:20:43.89 Xq8NqmL2.net
>>490
＞正則行列は、可逆行列のこと（逆元を持つ行列のこと）であって、
＞行列式が０でない（零でない）
＞つまり、零因子でない行列のこと
キミの上の文章で数学のセンスが書けてることがわかる
まず「可逆行列」というだけでは、
いかなる行列がその条件にあてはまるのか
全く明確でない
さすがに君もこれでは何もいったことにならないと感じたんだろう
「行列式が０でない（零でない）」と書いた
しかし、もし数学的センスがあるなら、例えばこう書くだろう
「正則行列は、行列式が０でない（零でない）行列のこと。
正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列である。」
つまり、正則行列を行列式によって定義した上で、
定義から、可逆であることがいえる、と書くだろう
また、こう書いてもいい
「正則行列は、乗法における逆元を持つ可逆行列であって
それは、具体的には、行列式が０でない、という性質で判定できる」
ついでにいうと
「つまり、零因子でない行列のこと」
これ、要らない
零行列は群の要素じゃないし、
群の要素じゃない行列どうしの積で
それが導けたからといって
群とは何の関係もない
「可換でない群の例を示せ」という例に対して、キミは
「正則行列の群」もしくは「正方行列の乗法群」と答えればよかっただけ
（注：「正則行列の乗法群」は「重言」 しかし、
「正則行列が乗法の下でなす群」は「重言ではない」）
しかし、キミは「正方行列（の群）」と答えた
だから「正則行列も、行列式も知らん大馬鹿野郎」と馬鹿にされた
もちろん、正則行列も行列式も知らない、というだけで馬鹿にされることはない
キミが馬鹿にされるのは、さんざん数学でシッタカぶってたから
全てキミの尊大さが原因 自業自得だよ
大学に落ちまくった高卒DQN君ｗ
勉強一つしない人間が大学に受かるわけないだろう
大学なめとんか？ワレ
567:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:11:17.30 w0R3FJMo.net
>>494
>であるから、単に可逆行列という言葉の定義に過ぎない
まあ、「単に言葉の定義に過ぎない」と言いたい気持ちもわからんでもないが
しかし、”定義”というのは、数学ではある意味”いのち（命）”でもある
”定義”によって、問題としている数学の対象に対し、「視点」（あるいは切り口）を与えるのです
”定義”によって、問題としている数学の対象を、明確に捉えられるようになることも多いのです（＾＾
568:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:16:40.21 w0R3FJMo.net
>>456
>よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。
>・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる
脱線ですが、下記がちょっと面白かったので、メモ貼る
”非数学系”のテンソルの本で、反変、共変が出てくる本多い
ご参考まで
なお、下記はベクトル”代数”ではなく、ベクトル”解析”です
同様、反変、共変が出てくるテンソル本は、多分
テンソル”代数”ではなく、テンソル”解析”です
（参考）
URLﾘﾝｸ(lemniscus.)ハテナブログ.com/entry/20100129/1264736947
再帰の反復blog
2010-01-29
いわゆる反変ベクトルと共変ベクトルのこと
(抜粋)
（注：数式が出てくるが、文字化けするので、省略した）
物理の本とかベクトル解析の本に出てくる反変ベクトル・共変ベクトルというのが昔から何か気持ち悪かった(もっと気持ち悪く
569:てよくわからないのが極性ベクトルと軸性ベクトルだけど、それは置いといて)。それについてのメモ。 反変ベクトルと共変ベクトルについてのとりあえずの説明 勾配ベクトルは反変ベクトルか共変ベクトルか 多少脱線した話題。 よくいわれる「向きと大きさを持った」ベクトルというのは反変ベクトル。例えば速度ベクトルの向きは、軌道曲線に対する接線の方向になる。一方、共変ベクトルはそれとは違う。「速度ベクトル≒軌道に対する接線」というイメージと比較すると、「勾配ベクトル≒等ポテンシャル面に対する接平面」というイメージだと思う。 追記: 次のような文があった。 通常、空間に即した位差的なものをベクトルと思い、ヤジルシで表す。より正確には、接空間に住んでいるベクトル、つまり「接ベクトル」こそが、ピッタリそれに当たる。対して「微分」dfpの方は、双対(余接空間)に属し、今の意味でのベクトルとは区別すべきだ。名前をつけるなら「コベクトル」である。同時に、函数の表象としての「絵」はヤジルシではなく、空間に描かれた「等高線」の集まりとなる。但し、それは無限小世界の真っすぐな等高線なので、平行な平面からなる。 (梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(3)) つづく
570:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:18:26.72 w0R3FJMo.net
>>497
つづき
追記:
数学者にとっては、現在常識となっている「双対」という概念ではあるが、これが案外捉えにくいものだという指摘もある。内積に長年慣れ親しみ、ドップリ浸かっていると、双対は自分自身と直ちに同一視できるから、区別できなくなっているのかもしれない。目の前に「存在する内積」を使ってどこが悪い、ということなのだろう。……
また、区別しているようでも、一つのベクトルの反変成分と共変成分があると思っている人もある。そのような同一視がどのような機構から生じるかを一度反省しないと、正確な理解は永久に得られないだろう。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(2))
反変ベクトル・共変ベクトルの気持ち悪さ
まず反変・共変という名前の付け方に何だか違和感がある。反変ベクトルと共変ベクトルを内容で比べると、反変ベクトルの方が「先・主」で、共変ベクトルは「後・従」という感じがするけど、反変・共変の語感はそれとは逆に感じる。けれどそれは置いとく。
で何で反変ベクトル・共変ベクトルという名前かというと「反変ベクトルの成分変換の式は、基底の変換式と逆になっていて、共変ベクトルの成分変換式は基底の変換式と同じだから」とか説明される(しかしこの基底自身は反変ベクトル)。
ここで急に基底のことが出てくるのだけど、そもそも基底の話なしに成分の話が始まりベクトルの定義がなされるというのが、かなり変な感じがする。
線形代数的には、まず線形空間が定義され(=何がベクトルなのかが定まる)、それからベクトルの中から基底を決めて、基底に対応して成分表示がされる、という流れになる。なのに反変ベクトル・共変ベクトルの定義では、まず成分が登場しその性質によってベクトルかどうかが決まり、基底は登場しない。これはあまりうれしくない。基底の話が出てこないので、ベクトル自体とその成分表示との区別がわかりにくくなっているような気がする。
追記:
ちょっとした、しかし、重要な注意としては、微分幾何の「反変(contravariant)ベクトル」「共変(covariant)ベクトル」という用語の不適切さをパウリが指摘し、その代わりに「共傾(cogredient)ベクトル」「反傾(contragredient)ベクトル」という用語を提唱している点である。
(梅田亨『森毅の主題による変奏曲 上』微分篇(1))
つづく
571:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:18:47.88 w0R3FJMo.net
>>498
つづき
反変ベクトルと接ベクトル
速度ベクトルを特定の座標系に依存しない形で定義することを考える。
接ベクトルの基底と成分表示
共変ベクトルと余接ベクトル
勾配ベクトルについて、座標系に依存しない定義を考える。
接ベクトル・余接ベクトル
接ベクトルも余接ベクトルも定義はわかりにくい。でも実質的には反変ベクトル・共変ベクトルと同じものなので、使
572:用する上では違いは無いし定義を意識する必要もほとんどない。ベクトル成分とか成分の変換規則が定義に入ってこないのがうれしいという精神衛生上の問題にすぎないといっても良い(もちろん数学的にきちんとやる場合はまた別)。でも非数学系の本でもその辺のことに少しぐらい触れていても良いと思う。 (引用終り) https://www.アマゾン.co.jp/exec/obidos/asin/4535788464/ 数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨 (引用終り) 以上
573:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 08:22:14.55 w0R3FJMo.net
>>499
>数学の読み方・聴き方 森毅の主題による変奏曲(上) 日本評論社 (2018/3/23)梅田 亨
これ確か数学セミナーに連載されていたね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
（書誌情報のみ）
森毅の主題による変奏曲(第0回)はじめに
梅田 亨
数学セミナー 52(7), 52-57, 2013-07
日本評論社
574:１３２人目の素数さん
20/09/20 08:51:24.74 Xq8NqmL2.net
>>496
>”定義”というのは、数学ではある意味”いのち（命）”でもある
>”定義”によって、問題としている数学の対象に対し、「視点」（あるいは切り口）を与えるのです
>”定義”によって、問題としている数学の対象を、明確に捉えられるようになることも多いのです
ごもっともだが・・・
それを、定義の文章が全く理解できない「意味盲」の、貴様がいうなｗ
>>497-499
例によってトンチンカンなコピペ
なんで、多変数の積分の変数変換に
ヤコビアンが出てくるかも分からん
数盲の貴様には到底無理ｗ
575:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:37:27.03 w0R3FJMo.net
>>487 追加
>「行列式はテンソルです」って
>だれが聞いても、誤解を生むだけ
>シッタカしたつもりが
>単にアホ晒しているだけのこと
＜前振り＞
下記の”テンソル 行列 違い”及び”テンソルと行列が混同される理由”
この手の話は難しい。私も一時期悩みました（＾＾
で、最近では、AIの「TensorFlow(テンソルフロー)」が、この混乱に輪を掛ける
下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルは、単純に「数の多次元配列」です
（下記 Chainer Tutorial 5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル ご参照）
スカラー(0次元配列)、ベクトル（1次元配列）、行列（2次元配列）、テンソル（n次元配列）
で、nに、0,1,2,3,・・ として、多次元のデータを扱う
一方、連続体のテンソルは、具体的な連続体の物理計算をするための道具です
（昔々、主に人が”手計算”をするための）
そして、連続体などの物理系のテンソルで、テンソルと行列とが似ている場面がある
この文脈で、（下記の通り）「（物理系の）専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！」という（細かい話は、下記を読んでください）
さて、雪江（>>443）の代数学２，３ではどうか？
雪江のテンソルに関する記述では、ほとんど行列は出てきません
ただ、ある場面で、テンソルの表現の一手段として、成分表示の行列が使われます
やっぱり、行列の成分表示は分り易いですからね
つづく
576:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:37:49.79 w0R3FJMo.net
>>502
つづき
＜本題＞
・さて、前振りが長くなったが、本題の「行列式はテンソルです」って話
・これをいうと、即座に「じゃ、行列とテンソルの関係は？」と突っ込まれる可能性が大です
・「行列とテンソルは、別物です」というと
相手は「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？」となるでしょうね～ｗ
・要するに、「行列式はテンソルです」って話は、まずは理解されないし、
風が吹けば桶屋が儲かる式の長い言い訳の果てに、ある程度は説明できたとしても
（なお、その結果言いたいことは、単に”行列式は多重線形の交代形式です”じゃあね～ｗ
（参考： URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
交代多重線型形式 ”行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である”））
・で、あげく「じゃ、行列式とテンソルの関係は？」と突っ込まれて、また、長い長い言い訳をするはめになる
・結局「こいつアホか？」と蔑まれるのが、関の山
・アホのマネを、しないようにしましょう！！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(uylindaun71.hatenablog.com)
uylindaun71の日記
2020-05-14
テンソル 行列 違い
(抜粋)
「TensorFlow(テンソルフロー)」とは、Googleが開発した、私たちの生活のさまざまなところで活用されているこの機械学習のソフトウェアライブラリです。 今回は、TensorFlowの特徴やできることなどをわかりやすく解説します。 専門家は言います。2階のテンソルと行列は違う！と。しかし、そう言われたって、2階のテンソルと行列は、どうみても同じにみえます。計算の仕方やルールも、一見、同じです。テンソルとは何でしょうか？いったい、専門家は何を言おうとしているのでしょうか … 変形と内力の関係 構成方程式. 図-3.8に示したように，連続体をモデル化する に当たって，材料の抵抗特性を内力という概念を仲介させて記述することに した。
つづく
577:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:38:08.56 w0R3FJMo.net
>>503
つづき
URLﾘﾝｸ(www.mynote-jp.com)
Notes_JP
トップ > 物理学 >物理数学 >ベクトル・テンソル > テンソルと行列が混同される理由
2018-01-28
POINT
・「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソル）の成分」になることが混乱の原因．
・この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する．
テンソルと行列の違いについて悩んだ事はありませんか？テンソルを学ぶ人の多くは
・テンソルを導入する際に，『「行列とテンソル」は別物です』と注意があった．
・にも関わらず，「2階のテンソルの成分を並べて行列の形で表わしている」のを見たことがある．
という矛盾に出会ったことがあるのでは無いでしょうか．
実は，以下の2つの意味において「行列」と「（1階反変1階共変）テンソル」は同じものとみなせるのです：
１．「行列の成分」は「1階反変1階共変テンソルの成分」にもなる．
２．【参考】これは「テンソルの商法則」として一般化できる．
「線形空間VVからVVへの線形写像全体」と「1階反変1階共変テンソル全体」は，同じ線形空間とみなせる．
テンソルと行列の関係
まず「テンソルの成分が行列の形で表される例」について触れます．
つづく
578:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 10:38:30.37 w0R3FJMo.net
>>504
つづき
（>>363より）
URLﾘﾝｸ(tutorials.chainer.org)
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
tep********さん
2008/12/31 18:49
行列とテンソルの違いを教えてください。
ベストアンサー
瑠璃さん
2008/12/31
このページに類似した質問と回答が挙がっております。
URLﾘﾝｸ(www005.upp.so-net.ne.jp)
参考になりますでしょうか？
私もかつて大学の物理学の講義でテンソルについて学びましたが、
行列の範疇を超えなかったように記憶しております。
おそらく、定義する範囲に違いがあるだけで、
ご自身で使う分には、厳密な使い分けをする必要はないかと思います。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル積
(抜粋)
テンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな
579:対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法である。 線型写像のテンソル積 ベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 S, T はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 S ◯x T を表現する行列は、S, T を表す行列のクロネッカー積で与えられる。 (引用終り) 以上
580:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 11:48:16.67 w0R3FJMo.net
余談ですが
ｘｘ形式というと、しばしば、「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」あるいは、それに付加的な特性を付与した対象に指す場合が多いようです（下記）
なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型形式
抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、英: multilinear form）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。
多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。
定義
V を体 K 上のベクトル空間とし、Vk := V × ・・・ × V は V の k 個の直積とする。V 上 k-変数の函数
f： V^k → K
が k-重線型または k-線型であるとは、各変数 xi に対して
f(x_1,・・・，c ,c・・・ x_i,・・・，c ,x_n)=c・ f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)
および
f(x_1,・・・，c ,x_i+x_i',・・・，c ,x_n)=f(x_1,・・・，c ,x_i,・・・，c ,x_n)+f(x_1,・・・，c ,x_i',・・・，c ,x_n)
を満たすときに言う[1]。
k を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。
V 上の k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。
このベクトル空間は k-階共変テンソルの空間 Tk(V) = V* ◯x ・・・ ◯x V*（V* は V の双対空間で、◯x はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、
その意味で k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
つづく
581:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 11:48:35.61 w0R3FJMo.net
>>506
つづき
テンソル積
「テンソル積#線型写像のテンソル積」も参照
k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は点ごとの積に関しては閉じていないが、f ∈ Lk(V), g ∈ Ll(V) の点ごとの積:
略
は (k + l)-重線型形式となる（これを f と g とのテンソル積と呼ぶ）。
略
このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双線型形式
抽象代数学および線型代数学における双線型形式（そうせんけいけいしき、英: bilinear form）とは、スカラー値の双線型写像、すなわち各引数に対してそれぞれ線型写像となっている二変数函数を言う。より具体的に、係数体 F 上のベクトル空間 V で定義される双線型形式 B: V × V → F は
略
を満たす。
双線型形式の定義は、線型写像を加群の準同型に置き換えることで、可換環上の加群へも拡張できる。
つづく
582:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 11:48:56.42 w0R3FJMo.net
>>507
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二次形式
二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式は
ax^2+bxy+cy^2 (abc≠ 0)
の形である（x, y が変数）。
二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
微分形式
微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、 余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。これは関数の全微分で現れる式と同じである。2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
(引用終り)
以上
583:１３２人目の素数さん
20/09/20 13:04:14.22 Xq8NqmL2.net
>>503
＞☆「行列式はテンソルです」
＞★「じゃ、行列とテンソルの関係は？」
＞☆「行列とテンソルは、別物です」
一か所、誤りがありますね
☆「行列もテンソルですが、何か？」
＞★「？？？。”行列式はテンソルです”といったのに～？
じゃ、行列式とテンソルの関係は？」
☆「その前に・・・あなた、もしかして行列式は行列だと思ってます？
全然、ちがいますよ！」
ま、こう答えた後の、★の反応は、大方想像がつく
★「？？？？？？？、行列式は行列じゃないって？！
何、狂ったこといってるの？
行列の式だから行列式なんじゃないの？」
☆「残念ながら、私は全く狂っておりません
まず、英語でいえば、行列はmatrix 行列式はdeterminantで
両者の起源は全く異なるものです。
で、両者の数学的な意味を言わせてもらえば、
それぞれ以下の通りです」
・行列(matrix)とは、線型空間Vから線型空間Wへの写像V→W
特に正方行列の場合は、線形空間Vのそれ自身への線型写像V→V
・行列式(determinant)はVをn次元線型空間、Fを基礎体として、
V×…(n個)…×V→Fという反対称的な多重線型写像で
Vの基底をe1,…,enと表したとき(e1,…,en)の値が1となるものです
☆「たった５行ですよ。全然長くありません。
この程度のことは大学で線型代数を学んだ人ならみな知ってます。
え？知らない？それ、講義した先生に文句いったほうがいいですね。」
584:１３２人目の素数さん
20/09/20 13:10:21.17 Xq8NqmL2.net
>>502-507
なんか、長々とコピペしてますけど、
行列式が理解できてないようじゃ、
どれもこれも理解できてませんね
特に行列式と外積代数の関係を理解してなかったら
微分形式なんていくら説明読んでも理解できませんよ
ああ、こういう人が、大学の微分積分学の「多変数の微分積分」で
ヤコビアンが出てきた途端「訳わかんねぇ！」と絶叫し
逆関数定理とか陰関数定理とか出てくると
「証明以前に、そもとも定理が何云ってんのかわかんねぇ」
とか言い出して、講義に出なくなってそのまま
大学からフェイドアウトしちゃうんでしょうね・・・
線型代数分かってないと、多変数の微分積分は絶対に分かりませんよ
これ鉄板
585:１３２人目の素数さん
20/09/20 18:41:09.47 Xq8NqmL2.net
線型代数で
「消去法と行列式」が、第一
586:ステップ だとすると 「固有値とジョルダン標準形」は 第二ステップ だな わかるかな？わかんねぇだろぉなぁｗ
587:１３２人目の素数さん
20/09/20 18:53:57.16 Xq8NqmL2.net
>>506
＞ｘｘ形式というと、しばしば、
＞「複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数」
＞あるいは、それに付加的な特性を付与した
＞対象を指す場合が多いようです
＞なお、微分形式は、”スカラー値”ではありませんが
はい、🐎🦌発言ｗ
微分形式は、各点毎に複数の接ベクトルを変数とし
スカラーを値とする関数（これを「共変テンソル」という）
が与えられたものですが、何か？
588:１３２人目の素数さん
20/09/20 18:59:14.58 Xq8NqmL2.net
>>506
＞ k-重線型形式を k-階共変テンソルと看做すことができる。
な？ｗ
n×n行列の行列式は、反対称なn-重線形形式、だからn-階共変テンソル
（完）
589:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:11:23.80 Xq8NqmL2.net
>>511
◆yH25M02vWFhPは 線型代数の第一ステップから分かってない時点でドイヒー
590:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:20:09.84 Xq8NqmL2.net
◆yH25M02vWFhPはワカランチンの程度が、安達弘志並
591:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:20:50.95 Xq8NqmL2.net
つまり、◆yH25M02vWFhPは数学が全く分かってないレベル
592:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:24:15.61 Xq8NqmL2.net
◆yH25M02vWFhPって線形代数の教科書読んだことあるのか？
おそらく、一度もないだろうな
593:１３２人目の素数さん
20/09/20 19:26:30.03 Xq8NqmL2.net
◆yH25M02vWFhPは読めもしない数学書を全部売ったほうがいい
断捨離で、貴様にとって全く役に立たない「数学」を一切捨てろ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
594:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 19:42:44.08 w0R3FJMo.net
>>503 補足
（>>477-478 より、連続体力学 URLﾘﾝｸ(www.mm.civil.tohoku.ac.jp) 数学準備 東北大学
補足：式 (1.40)だと正方行列 [A] は6成分で足りる。一般の正方行列は9成分だから、一般の正方行列には（連続体で使う）テンソル以外も入っているのです）
下記の応力テンソルを使って、補足します
１）応力テンソルは、下記のように、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、上記同様に実は独立なのは6成分のみです
２）一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
３）さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
この文脈で、「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
応力テンソル以外の場面でも同じ。「行列式はテンソルです」と言ってはいけません。誤解されます、「アホか」と。シッタカしたつもりが、単にアホ晒しているだけのこと
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
応力
(抜粋)
応力（おうりょく、ストレス、英: stress）とは、物体[注 1]の内部に生じる力の大きさや作用方向を表現するために用いられる物理量である。物体の変形や破壊などに対する負担の大きさを検討するのに用いられる。
この物理量には応力ベクトル (stress vector) と応力テンソル (stress tensor) の2つがあり、単に「応力」といえば応力テンソルのことを指すことが多い。応力テンソルは座標系などを特別に断らない限り、主に2階の混合テンソルおよび混合ベクトルとして扱われる（混合テンソルについてはテンソル積#テンソル空間とテンソルを参照）。応力ベクトルと応力テンソルは、ともに連続体内部に定義した微小面積に作用する単位面積あたりの力として定義される。そのため、それらの単位は、SIではPa (N/m2)、重力単位系ではkgf/mm2で、圧力と同じである。
つづく
595:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 19:43:25.82 w0R3FJMo.net
>>519
つづき
応力テンソル
応力テンソルは、応力ベクトルの定め方の違いから、真応力テンソル・コーシー応力テンソル、公称応力テンソル・第1パイオラ・キルヒホッフ応力テンソル、第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルの3種類が定義されており、いずれも（行列の形式で記述できる）2階のテンソルとなる。ただし、これらの応力テンソルに違いが生じるのは有限変形理論に基づいて物体の運動を
596:記述した場合であり、材料力学や応用力学で多用されている微小変位・微小変形の仮定の下では、これらの応力テンソルはすべて真応力テンソルに一致する。 応力テンソルの成分には、微小面の法線と力の作用方向が一致する垂直応力 (normal stress) 成分と、一致しない（異なっている）せん断応力 (shear stress) 成分の2種類に分類することができる。 垂直応力とせん断応力 上に示した3次元デカルト座標系における応力テンソルの成分について考えた場合、垂直応力は σ_xx,σ_yy,σ_zz の3成分となる。垂直応力は、力の作用面と力の作用方向とが直交し、作用面を引っ張る方向に作用した場合には引張応力 (tensile stress)、作用面を押し込む方向に作用した場合には圧縮応力 (compressive stress) と呼ばれる。 一方、せん断応力は、力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致しない応力成分であり、σ_xy,σ_yx,σ_yz,σ_zy,σ_zx,σ_xzの6つが該当する。なお、微小変形の力学においては、せん断応力を記号τで表すことがある。 上に示した3次元デカルト座標系での成分については、 σ_xy=σ_yx,σ_yz=σ_zy,σ_zx=σ_xz が成り立ち、応力テンソルσの独立な成分は6成分となることがわかる。 この性質のため、固体物性やCAEなどの分野では、独立な6成分を並べてベクトルとする表記がしばしば用いられる。これをフォークト表記 (Voigt notation)という[6]。 J1、J2、J3は、ある応力状態において座標系に関わらず常に一定値となるので応力不変量(stress invariant)と総称される。それぞれ第一次応力不変量、第二次応力不変量、第三次応力不変量と呼ぶ[11]。第一次応力普遍量、第三次応力不変量は、それぞれ応力テンソルの跡、行列式に等しい。 (引用終り) 以上
597:１３２人目の素数さん
20/09/20 20:13:47.30 Xq8NqmL2.net
>>519
＞応力テンソルは、3次元デカルト座標系で行列表示を持ち、
＞実は独立なのは6成分のみです
＞一方、3x3の正方行列は、9成分独立に取れます。
＞ですから、応力テンソルでない3x3正方行列が存在します。
＞さて、行列式は、3x3の正方行列に対して常に計算できます。
＞また、行列表示された応力テンソルに対しても、常に計算できます。
＞この文脈で、「テンソルは行列ではない」と言われます
なんかスゲェ🐎🦌な発言ｷﾀ―(ﾟ∀ﾟ)―!!
応力テンソルは対称テンソルですね
で、もし対称じゃないからテンソルじゃない
とかいったら完全な🐎🦌発言ですねｗ
さらに、行列式を「行列から数への関数」と誤解してますね
全く違いますよ
「列ベクトルの組から数への関数」ですから
「え、行列と列ベクトルの組って同じじゃないの？」
というなら、そいつは完全な🐎🦌ですｗ
行列から数への関数なら、引数は行列１つでしょ？
列ベクトルの組というなら、引数は列ベクトル複数個です
ｎ×ｎの行列の行列式というのは、
実はｎ個のｎ次元列ベクトルから数への関数です
だから「多重」線型写像
つまり一つ一つの列ベクトルについて
線型性を満たす必要がある
行列一個に対して、線形性を満たすわけではない！
598:１３２人目の素数さん
20/09/20 20:15:42.19 Xq8NqmL2.net
蛇足
ところで３×３の行列で、反対称なら、独立な成分の数は３つです(￣ー￣)ﾆﾔﾘ
599:１３２人目の素数さん
20/09/20 20:24:01.44 Xq8NqmL2.net
３×３の反対称テンソルδの場合
・δ_xx,δ_yy,δ_zzは0
・δ_xy=－δ_yx,δ_yz=－δ_zy,δ_zx=－δ_xz
であるから、独立な成分の数は３つ
さて、問題
３×３×３の反対称テンソルの独立成分はいくつ？
600:現代数学の系譜 雑談
20/09/20 23:44:51.58 w0R3FJMo.net
sage
601:１３２人目の素数さん
20/09/21 06:10:06.99 ygseaWNf.net
◆yH25M02vWFhP >>523の質問に答えられず 遁走
🐎🦌は数学板に書くな いや そもそも読むな 時間の無駄だ
602:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:12:06.52 THwyOeaW.net
>>502 補足
>下記の”uylindaun71の日記 2020-05-14 テンソル 行列 違い”
>この人、機械学習のソフトウェアライブラリのテンソルと、連続体のテンソルが別物だってこと気付いていない
くどいが、補足 >>477より
21世紀の現代社会の”テンソル”は、大きく３種ある
１．AI数学の単なる数の多次元配列を、コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
３．抽象代数学のテンソル：多重線形
(引用終り)
この３つは、ある視点（切り口）では共通
603:点もあるが、一方ある視点（切り口）では別物と理解する方が、良い面もあるのです（＾＾； １のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。下記、Chainer Tutorialが良い。著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる 間違って、２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルに、深入りしないこと。深入りしても、得られるものは少ない ２の物理のテンソルや、３の抽象代数学のテンソルは、コンピュータ計算に乗せる話は、殆ど無いから ２の物理のテンソルの人も、間違って、３の抽象代数学のテンソルに深入りしても、得られるものは少ない ３の抽象代数学のテンソルは、具体的なテンソルの成分計算をしない方向で議論を抽象化しているし、物理との接点が薄くなっている ３の抽象代数学の人は、教養として、軽く１や２のテンソルを学んでおくのは、良いと思う 抽象的な議論の裏にある具体例を知っておくことは、悪くない つづく
604:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:17:39.70 THwyOeaW.net
>>526
つづき
なお、「行列式はテンソルです」だけは、ダメです（＾＾；
（>>505より）
Chainer Tutorial
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
得居 誠也
現在は深層学習フレームワーク Chainer の開発者
東京大学 理学部 数学科 2010/03
(引用終り)
以上
605:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:27:20.82 THwyOeaW.net
>>526 補足
> ２．物理のテンソル：代表例が３次元弾性力学の応力テンソルと、アインシュタインの一般性相対性理論の４次元時空のテンソル（最古の概念はこれ）
物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
という順番です
”１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル”なんて、だれでも思い付く
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
古典数学は、紙とエンピツと言いますが、多次元配列は二次元の紙には書けない
コンピュータ処理で、多次元配列の数が扱える
というか、ビッグデータを扱うには、多次元配列にした方が良い
そういうことで、多次元配列を考えて、”テンソル”というちょっと格好良い名前を借用したのでしょう（＾＾；
606:現代数学の系譜 雑談
20/09/21 07:29:46.48 THwyOeaW.net
>>528 タイポ訂正
けれども、コンピュータ処理が時代には、あまり意味がない
↓
けれども、コンピュータ処理がない時代には、あまり意味がない
失礼しました（＾＾；
607:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:04:29.75 ygseaWNf.net
>>526
＞１．AI数学の単なる数の多次元配列を、
＞ コンピュータ内の処理として扱うための道具（これは最近出てきた）
＞１のAIのテンソルは、単に多次元の数の配列です。
＞Chainer Tutorialが良い。
＞著者 得居 誠也氏は、東大数学科だから、数学の内容は信頼できる
上記著者の「深層ニューラルネットの積分表現理論」
という論文には「抽象代数学」のテンソルがでてくるぞ
読め
608:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:09:23.28 ygseaWNf.net
>>527
＞なお、「行列式はテンソルです」だけは、ダメです
ダメ＝一意的に定められない、という意味か？
「n×nの行列式は、
n次元ベクトルn個の組からスカラーへの反対称的な多重線型写像であって
n次元ベクトルの相異なる基底n個の組のカラー値が1もしくは-1となるもの」
とすればほぼ十分だろう
これ、線形代数の常識な 覚えとけ
609:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:19:40.01 ygseaWNf.net
>>528
＞物理のテンソルの概念が、一番古いってことです
＞２．物理のテンソル→３．抽象代数学のテンソル→１．AI数学の単なる数の多次元配列のテンソル
＞という順番です
実は、
３．抽象代数学→２．物理→１．AI
な
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって
特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)における
ノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは
1899年のヴォルデマール・フォークトからである。」
ま、19世紀はグラスマン代数だのクリフォード代数だのといった
抽象代数が生まれた時代でもあった
外積代数（グラスマン代数）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クリフォード代数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)