20/09/12 08:09:48.16 cnqeiEp4.net
>>334
つづき
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テンソル
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
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行列式
2.1 抽象的な定義
2.2 明示的な定義
2.3 二つの定義の同値性
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ?^nE 注*) は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、?^nE 上に引き起こされる K-準同型
∧ ^n Φ ： e_1∧ ・・・ ∧ e_n → Φ (e_1)∧ ・・・ ∧ Φ (e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は φ の行列式 det?φ と呼ばれる。
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Determinant
注*)
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外積代数
ベクトルの外積（exterior product）あるいは楔積（ウェッジ積 wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる
外積代数（exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
? ： ∧ (V) x ∧ (V) → ∧ (V)；(α ,β ) → α ? β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v ∈ V に対して v?v=0
を持つものである。
(引用終り)
以上