4:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 10:02:16.00 oR3g+efa.net
メモ
"注意
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）"か
圏論から入った用語で、混乱していますね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
加群の直和
(抜粋)
抽象代数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、いくつかの加群を一つにまとめて新しい大きな加群にする構成である。加群の直和は、与えられた加群を「不必要な」制約なしに部分加群として含む最小の加群であり、余積の例である。双対概念である直積（英語版）と対照をなす。
この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。
ベクトル空間とアーベル群に対する構成
まずこれら二つについて、対象が二つだけの場合と仮定して構成を与え、それからそれらを任意の加群の任意の族に一般化する。一般的な構成の重要な部分は、これら二つのケースを深く考えることによって、よりはっきり浮かび上がってくるだろう。
2つのベクトル空間に対する構成
V と W を体 K 上のベクトル空間とする。カルテジアン積 V × W に K 上のベクトル空間の構造を成分ごとに演算を定義することによって与えることができる (Halmos 1974, §18)
得られるベクトル空間は V と W の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される：
V＋◯ W
順序付けられた和の元を順序対 (v, w) ではなく和 v + w として書くのが慣習である。
V ＋◯ W の部分空間 V × {0} は V に同型でありしばしば V と同一視される。
この構成はただちに任意の有限個のベクトル空間に一般化する。
つづく
5:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 10:04:04.14 oR3g+efa.net
>>3
つづき
2つのアーベル群に対する構成
加法的に書かれるアーベル群 G と H に対して、G と H の直積 (direct product) はまた直和 (direct sum) とも呼ばれる (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6)。したがってカルテジアン積 G × H は成分ごとに演算を定義することによってアーベル群の構造が入る
得られるアーベル群は G と H の直和 (direct sum) と呼ばれ、通常円の中にプラスの記号で表記される：
G＋◯ H
順序付けられた和の元を順序対 (g, h) ではなく和 g + h として書くのが慣習である。
G ＋◯ H の部分群 G × {0} は G に同型でありしばしば G と同一視される。
この構成は直ちに有限個のアーベル群に一般化する。
付加的な構造をもった加群の直和
多元環の直和
多元環 X と Y の直和とは、ベクトル空間の直和に積を
(x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})
で入れたものをいう。これらの古典的な例を考えよう：
・ {R ＋◯ R} は分解型複素数に環同型であり、区間算術（英語版）においても使われる。
・ {C ＋◯ C} は 1848 年にジェームズ・コックル（英語版）によって導入されたテッサリンの多元環である。
・ {H ＋◯ H} は、分解型双四元数（英語版）と呼ばれ、1873 年にクリフォード（英語版）によって導入された。
ジョゼフ・ウェダーバーン（英語版）は、自身の超複素数の分類において、多元環の直和の概念を利用した (Wedderburn, Lectures on Matrices (1934), page 151)。
ウェダーバーンは多元環の直和と直積の違いを以下のように明らかにしている。
すなわち、直和に対して係数体は両方の成分に同時に作用する (λ (x ＋◯ y)=λx ＋◯λy) が、
一方で直積に対しては両方ではなく一方のみがスカラー倍される (λ (x,y)=(λx,y)=(x,λy)).
注意
上記の構成は、ウェダーバーンの用いた直和と直積の語法に従ったものだが、これは圏論で用いる直和と直積の慣習とは異なる。圏論的な用語では、ウェダーバーンの意味での直和は圏論的直積であり、一方ウェダーバーンの意味での直積は余積（圏論的直和）である（実はこれは（可換多元環に対して）多元環のテンソル積に対応する）。
(引用終り)
以上
6:１３２人目の素数さん
20/08/30 11:06:15.63 b+bKalul.net
>>2
>注＊）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；
高卒落ちこぼれのくせに威張り散らしてる君より1ペタ倍マシ
7:１３２人目の素数さん
20/08/30 11:09:31.10 5gNFgTYC.net
>>5
◆yH25M02vWFhPは「鵜の真似をする烏」
《自分に姿が似ている鵜のまねをして水に入った烏がおぼれる意から》
自分の能力をよく考えず、みだりに人まねをすると、
必ず失敗するということのたとえ。
8:１３２人目の素数さん
20/08/30 11:13:27.03 ge8tmrzk.net
>>1
●購入ありがとう、運営
9:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:16:50.05 oR3g+efa.net
メモ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
射 (圏論)
型射あるいは射（しゃ、英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。
圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。
射は始域から終域へ向かう「矢印」として表される。X から Y への射全体の成す集まりは、homC(X,Y) あるいは単に hom(X, Y) で表され、射の類、ホム類 (hom-class) あるいは（特に類が小さいとき）射集合またはホム集合 (hom-set)（"hom" は同じを意味する "homo-" あるいは準同型 ("homomorphism") から）と呼ばれる。
特定の種類の射
・単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、f * g1 = f * g2 ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つことである。モノ射 (mono) あるいは単型射 (monic) とも呼ばれる[1]。
・射 f が左逆射 (left inverse) を持つとは、射 g: Y → X で g * f = idX を満たすものが存在するときに言う。左逆射 g は f の引き込み（英語版） (retraction) とも言う[1]。左逆射を持つ射は常に単射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たない（左逆射をもたない単射が存在する）。
・具体圏（英語版）において、左逆射を持つ写像は集合論的単射（単写）すなわち入射的 (injective) である。即ち、具体圏において（圏論的）単射は殆ど常に（集合論的）単射である。注意すべきは、入射的であるという条件は単型であるという条件よりは強いが、分裂単射であるという条件よりは弱いことである。
・全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 * f = g2 * f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う[1]。
・射 f が左逆射 (left inverse) を持つとは、射 g: Y → X で g * f = idX を満たすものが存在するときに言う。左逆射 g は f の引き込み（英語版） (retraction) とも言う[1]。左逆射を持つ射は常に単射だが、逆は任意の圏においては必ずしも成り立たない（左逆射をもたない単射が存在する）。
つづく
10:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:17:25.77 oR3g+efa.net
>>8
つづき
・単射でも全射でもあるような射は全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。
・同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、 f * g = idY かつ g * f = idX が成り立つものを同型射であると言う。射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、両者は一致して f は同型射であり、g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。逆射は、それが存在すれば一意である。逆射 g もやはり同型射であり、逆射として f を持つ。二つの対象がその間に同型射を持つとき、それら二つは互いに同型あるいは同値であるという。注意すべきは、任意の同型射は双射だが、双射は必ずしも同型射ではないことである。例えば、可換環の圏において包含射 Z → Q は双射だが同型射ではない。しかし、全射かつ分裂単射であるような、もしくは単射かつ分裂全射であるような任意の射は同型射でなければならない。集合の圏 Set のように、任意の双射が同型射であるような圏は、均衡圏 (balanced category) と呼ばれる。
・自己射: 射 f: X → X は、対象 X の自己射と言う。冪等自己射 f が分裂自己射 (split endomorphism) であるとは、分解 f = h * g で g * h = id を満たすものが存在するときに言う。特に、圏のカロウビ展開圏（英語版）は、任意の冪等射が分裂する。
・自己同型射は同型射であるような自己射を言う。
例
・普遍代数学において調べられるような具体圏（群の圏 Grp、環の圏 Ring、加群の圏 R-Mod など）における射は、ふつう準同型（準同型射）と呼ばれる。自己同型、自己準同型、全準同型、準同型、同型、単準同型などの概念が普遍代数において用いられる。
・位相空間の圏 Top において、射は連続写像であり、同型射は同相写像と呼ばれる。
・可微分多様体の圏 Man∞ において、射は滑らかな写像であり、同型射は微分同相写像と呼ばれる。
つづく
11:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:21:19.78 oR3g+efa.net
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
準同型
準同型（homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（isomorphic）および同型写像（isomorphism）という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。
構造により、等長・等距、同相や射型などといった特定の術語が用いられることがある。
重要なことは、A の演算と B の演算とが台集合上の写像 f のみで一対一に対応させることができるということである。これを、f は構造を保存 (structure preserving) する、構造と両立 (compatible with structure) する、構造と可換 (commute with structure) であるなどといい表す。これにより、A における演算が f で B に移されると考えることができる。特に、準同型写像 f: A → B が与えられたとき、その像 f(A) は B の部分代数系となる。このとき一般には、像 f(A) はもとの代数系 A からある程度 "つぶれている" ため、像 f(A) から直接にもとの代数系 A の様子を知ることは完全にはできないのであるが、この潰れ具合は準同型の核と呼ばれる同値関係によって推し量ることができ、それによってもとの代数系 A を復元することができる。一方、準同型 f が単射であれば A は B にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型をしばしば埋め込み（うめこみ、embedding）と呼ぶ。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ単準同型（たんじゅんどうけい、injective homomorphism, monomorphism）、全準同型（ぜんじゅんどうけい、surjective homomorphism, epimorphism）とも言われる。
準同型写像 f が逆写像 f^-1 を持ち、なおかつ f^-1 もまた準同型であるとき、f は同型写像あるいは単に同型であるという。f が同型ならば f^-1 も同型である。ある数学的構造を持つ二つの集合 A, B の間に準同型写像が存在するとき、A と B とは準同型であるといい、さらに同型写像が存在するとき同型であるという。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。
つづく
12:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:22:06.55 oR3g+efa.net
>>10
つづき
体の準同型（単位元を持つ環としての準同型）は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。
ゆえに体の場合は準同型といわず中への同型 (isomorphic into) とよび、さらに全射ならば上への同型 (isomorphic onto) であるという。また、群や環の準同型、ベクトル空間の線型写像（環上の加群としての準同型）は全単射ならば同型である。
まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。
諸定義
自己同型群・自己準同型環
代数系 (A, R) に対し、始域と終域が同じ A である準同型写像 f: A → A は A 上の自己準同型（じこじゅんどうけい、endomorphism）であると言い、さらに f が同型写像であるときには A 上の自己同型（じこどうけい、automorphism）と呼ばれる。 A 上の自己同型の全体 Aut(A) は写像の合成を二項演算と考えれば、恒等写像 idA を単位元とし、逆写像を逆元とする群を成す。これを A 上の自己同型群と呼ぶ。
また、G が群であるとき、G 上の自己準同型 f, g に対し、f(x)g(y) = g(y)f(x) がどんな x, y ∈ G に対しても成り立つなら f と g は加法可能であると言い、(f + g)(x) := f(x)g(x) (x ∈ G) と置く。特に、G がアーベル群なら G 上の自己準同型の全体 End(G) で加法が定義され、さらに写像の合成を積として End(G) は環となる。これを G 上の自己準同型環という。
つづく
13:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:23:23.60 oR3g+efa.net
>>11
つづき
線型写像
詳細は「線型写像」および「作用 (数学)」を参照
体 K 上のベクトル空間 V とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {αk: V → V}k∈K (αk(v) := kv for v ∈ V) を演算として持つ代数系 (V, +, 0, -・, {αk}k∈K) である（ここで、0 は加法に関する単位元（零元）であり, -・ は加法に関する逆元（マイナス元）を与える単項演算であるが、加法に関して V は群となるのでこれを略して (V, +, {αk}k∈K) と考えてもよい）。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 K から V の加法群としての自己準同型環 End(V) への単位的環としての準同型像として得られるものである。
ベクトル空間（あるいはもっと一般の環上の加群）の間の準同型写像のことを通常は、線型写像と呼ぶ。
つづく
14:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:23:39.87 oR3g+efa.net
>>12
つづき
代数的構造以外の構造
位相空間の構造を持つならば準同型は連続写像である。同型写像に当たるものは全単射かつ両連続な写像であり、それは同相写像 (homeomorphism) あるいは位相同型写像 (homeomorphic isomorphism) と呼ばれる。
順序構造が付加されている代数系の準同型は単調写像（順序を保つ写像・順序を逆にする写像）であり、同型写像は全単射な単調写像、順序同型（順序を保つ同型・順序を逆にする同型）と呼ばれる性質を持つものを言うのである。また一方で、単なる集合を演算を持たない代数系と思えば、その間の準同型は単に写像であるということになるし、集合の中に特定の点（基点）を固定して構造として付加したものと考えるなら、基点を持つ集合の間の準同型は、基点を基点にうつす写像である。
これらの付加的な構造のいくつかは、台集合（にいくつか集合演算を施したもの）のある性質を保つ部分集合族として構造が特徴付けられ、したがって台集合上の写像に対して構造の上の写像が引き起こされるという状況を考えうるところは代数系における演算と同様である。この引き起こされた写像が適当な意味で構造を保つ、構造と可換であるということが準同型と呼ばれることのある所以である。本質的には、準同型写像とは特定の数学的構造のなす圏における射 (morphism) になっているような写像のことであると言ってよい（もちろん一般の圏ではその対象は集合とは限らないし、その射が写像であるとも限らない）。準同型を射のことととらえるならば代数系に考察を限る必要はない。
(引用終り)
以上
15:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:26:11.75 oR3g+efa.net
>>7
>●購入ありがとう、運営
どもです
本当に運営かどうか疑問なれど
まあ了解
16:１３２人目の素数さん
20/08/30 15:44:27.78 b+bKalul.net
>>8
>・全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、g1 * f = g2 * f ならば g1 = g2 が任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成立するときに言う。エピ射 (epi) あるいは全型射 (epic) とも言う[1]。
すべての写像は全射であるなどと言っちゃう人がそんなコピペぺたぺた貼っても無駄ですよー
あなた、任意の写像f: X → Yについてf(X)=Yって言ってましたよねー
17:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 15:58:03.35 oR3g+efa.net
メモ
”Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環上の加群
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
動機
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。環上の加群においては、スカラーの全体は環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアルの（作用の入る向きとして）左右を区別するし、環上の加群においてもそれはより顕著になることだが、しかしさまざまに重要な環論的議論において片側（大抵は左）からの作用に関するものだけを条件として提示することが行われる。
つづく
18:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 16:00:18.54 oR3g+efa.net
つづき
加群の理論のおおくは、ベクトル空間のもつ好ましい性質が、単項イデアル環のような「素性のよい」(well-behaved) 環上の加群の領域でどれだけたくさん存在するかというような議論からなるが、しかしながら環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Invariant basis number
数学、具体的には環論において、環が invariant basis number (IBN) property を持つとは、R 上のすべての有限生成自由左加群が well-defined な階数（ランク）を持つことをいう。体の場合には、IBN property は有限次元ベクトル空間は一意的な次元を持つという主張になる。
定義
環 R が invariant basis number (IBN) を持つとは、どんな正の整数 m と n に対しても、Rm が Rn に（左 R-加群として）同型ならば m = n であることをいう。
同じことだが、これは相異なる正整数 m, n であって Rm が Rn に同型となるようなものが存在しないということである。
行列の言葉で invariant basis number の定義を言い換えると、A が R 上の m × n 行列で B が R 上の n × m 行列で、AB = I および BA = I であれば、必ず m = n となるということである。この形にすれば定義が左右対称なことがわかり、IBN を左加群で定義しても右加群で定義しても同じになる。
定義の同型は環としての同型ではなく加群としての同型であることに注意する。
議論
invariant basis number の条件の主たる目的は、IBN 環上の自由加群はベクトル空間に対する次元定理（英語版）の類似を満たすことである。すなわち、IBN 環上の自由加群の 2 つの基底は同じ濃度を持つ。（選択公理よりも真に弱い）ultrafilter lemma（英語版） を仮定すると、この結果は実は上で与えた定義と同値であり、これを別の定義とすることができる。
つづく
19:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 16:01:06.67 oR3g+efa.net
>>17
つづき
IBN 環 R 上の自由加群 Rn の階数 (rank) は Rn に同型な勝手な（したがってすべての）R-加群 Rm の指数 m の濃度と定義される。したがって IBN property は自由 R-加群のすべての同型類は一意的な階数を持つことを主張する。階数は IBN を満たさない環に対しては定義されない。ベクトル空間に対しては、階数は次元とも呼ばれる。したがってこれまでの結果をまとめると： 階数がすべての自由 R-加群に対して一意的に定義されることと、それがすべての有限生成自由 R-加群に対して一意的に定義されることは同値である。
例
任意の（可換）体は IBN を満たし、これは有限次元ベクトル空間が well-defined な次元を持つという事実である。さらに、任意の可換環（1 = 0 の自明環は除く）は IBN を満たし、任意の左ネーター環や任意の半局所環も（したがって可除環や半単純環なども）IBN を満たす。
証明
略（原文を見よ）
他の結果
IBN は零因子を持たない環（域）が可除環に埋め込めるための必要条件である（が十分ではない）。（可換な場合には分数体に埋め込める。）Ore condition も参照。
すべての非自明な stably finite ring は invariant basis number を持つ。
非可換体の拡大を考えると、上の体は下の体の左ベクトル空間とも右ベクトル空間ともみられるが、この 2 つのランクは一致するとは限らない。驚くべきことに、任意の整数 m, n > 1 に対して、体の拡大 K ⊂ L であって、L は K 上左から見て m 次元、右から見て n 次元となるものが存在する。
つづく
20:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 16:02:08.23 oR3g+efa.net
>>18
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ore condition
(抜粋)
In mathematics, especially in the area of algebra known as ring theory, the Ore condition is a condition introduced by Oystein Ore, in connection with the question of extending beyond commutative rings the construction of a field of fractions, or more generally localization of a ring. The right Ore condition for a multiplicative subset S of a ring R is that for a ∈ R and s ∈ S, the intersection aS ∩ sR ≠ ?. A (non-commutative) domain for which the set of non-zero elements satisfies the right Ore condition is called a right Ore domain. The left case is defined similarly.[1]
General idea
The goal is to construct the right ring of fractions R[S^-1] with respect to multiplicative subset S. In other words, we want to work with elements of the form as^-1 and have a ring structure on the set R[S^-1]. The problem is that there is no obvious interpretation of the product (as^-1)(bt^-1); indeed, we need a method to "move" s^-1 past b. This means that we need to be able to rewrite s^-1b as a product b1s1^-1.[2] Suppose s^-1b = b1s1^-1 then multiplying on the left by s and on the right by s1, we get bs1 = sb1. Hence we see the necessity, for a given a and s, of the existence of a1 and s1 with s1 ≠ 0 and such that as1 = sa1.
つづく
21:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 16:02:25.70 oR3g+efa.net
>>19
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Invariant basis number
(抜粋)
In mathematics, more specifically in the field of ring theory, a ring has the invariant basis number (IBN) property if all finitely generated free left modules over R have a well-defined rank. In the case of fields, the IBN property becomes the statement that finite-dimensional vector spaces have a unique dimension.
Other results
IBN is a necessary (but not sufficient) condition for a ring with no zero divisors to be embeddable in a division ring (confer field of fractions in the commutative case). See also the Ore condition.
Every nontrivial division ring or stably finite ring has invariant basis number.
(引用終り)
以上
22:１３２人目の素数さん
20/08/30 16:37:38.09 YJr5hFTS.net
前スレへのレス。
>927
ジュコーフスキー変換は複素解析なのか。
>933
>「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
球状の物体には重力が作用する。他に球状の物体には何もしなければ気体や液体などの力が均等に作用する。
同じく翼の断面のジュコーフスキー変換では、翼の断面には重力が作用している。
その翼の断面の重心に何もしなければ気体や液体などの力が均等に作用し、
翼の断面に揚力が作用して翼が飛行機の一部として機能するようにすることを考えたい。
等角写像を用いると、翼の断面の境界の角度が球いわゆる円と同様に均一に保たれたまま、元の円状の物体を翼に変形出来る。
その変形後の飛行中の横から見た飛行機の翼の断面の重心には、何もしなければ流体の力が均等な方向から作用する。
変形した翼に作用する重力で飛行機が落下する可能性は、元の円状の物体が重力で落下する可能性より低い。
流体の運動は複雑で、出来る限りそのように流体の力が均等に作用するようにしないと、飛行中の飛行機や翼の危険度が高まる。
変形した翼の断面の形状と重心の決め方が問題になる。翼の断面のジュコーフスキー変換では、変形した翼の断面に前から後ろへと、
翼の断面の前側と後側ではどちらというと前側に飛行機が進むときに発生する力が垂直に加わり、かつ翼の上側に風が吹くように形状を決める。
そのため、翼の断面の重心は前側にあって、翼の断面は薄い形状になる。
意図的な力が翼の断面に上から作用しなければ、翼が壊れることはない。
飛行機の後端に尖った部分は落雷の恐れはまだ残っているが、翼の断面自体は針状の形ではなく落雷の危険度も低くなる。
そのように翼の断面の形状と重心を決めれば、前から吹いた風が翼の断面の上側に吹くと翼の気圧は低くなり浮き易くなる。
上側に風が吹いて断面の翼の角度が変わって浮上したら、下側にも風が吹くようになって翼は飛行機の一部として機能するようになる。
二次元のジュコーフスキー変換に限っていえば、そのようになる。
実際問題の飛行機造りでは、三次元の話で工学の知識も必要になり、物理だけでは何ともいえない。
実際問題の飛行機造りの工学的なことは、工学部卒だという瀬田君に聞いた方がいい。
23:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 16:48:04.20 oR3g+efa.net
前スレより
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:900番)-
＜ジューコフスキー翼を作図 [伊藤孝宏，MONOist]＞
ドモアブル関係ないよね
>>922の Excelシート（joukowski.xls） で終わっている（難しい式は使われていない）
URLﾘﾝｸ(monoist.atmarkit.co.jp)
URLﾘﾝｸ(monoist.atmarkit.co.jp)
＜５．Joukovski の翼 九大 辻井 正人＞
ドモアブル関係ないよね
オイラーの公式 （複素数の極形式）で終わっている（大学数学の極形式はこれ）
>>906の "z 平面の円 |z| = r の像を調べる。z = e^iθ (0 <= θ <= 2π) とする"あたり
URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp)
>>900 東北工業大学 情報通信工学科 中川研究室
オイラーの公式 （複素数の極形式）
e ^iθ=cosθ+ i sinθ
URLﾘﾝｸ(www.ice.tohtech.ac.jp)
等角写像については、>>917
URLﾘﾝｸ(www.gem.aoyama.ac.jp)
リーマンの写像定理と等角写像；具体例と応用
青山学院大学 理工学部 物理数理学科
西山研究室 15112117 山本 義也 平成 28 年 2 月 19 日
に詳しい
等角写像＝正則関数なのだが、
等角写像ではあまり複雑な関数は使われない
むしろ、ジューコフスキー翼や、上記の山本の具体例と応用にあるように
具体例の対象に合わせた簡単な変換式が使われる
等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（クラインの）エルランゲン・プログラム
24:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 17:02:46.81 oR3g+efa.net
>>21
どうも
レスありがとう
適切な回答ありがとう
仰る通りです
ジュコーフスキー理論は、等角写像論という一変数複素解析の一つの金字塔だと思います
これを通じて、一変数複素解析の意味が深く理解できるという意味で
しかし、20世紀の前半はまだ、ジュコーフスキー理論などが実際にも使われたと思うが
その後、コンピュータ解析能力が上がって、いまは殆どが、３次元の数値解析でしょうね
（下記など）
（参考）
URLﾘﾝｸ(park.itc.u-tokyo.ac.jp)
李家・今村研究室
東京大学大学院工学系研究科航空宇宙工学専攻
東京大学工学部航空宇宙工学科
研究内容
1.翼型上に生じる層流剥離泡に関する研究／翼型失速の制御に関する研究
25:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:11:34.09 5gNFgTYC.net
>>21
>ジュコーフスキー変換は複素解析なのか。
解析写像なのでそう考えてます
>>「なぜ、流体力学において等角写像が有用なのか？」
>等角写像を用いると、翼の断面の境界の角度が
>球いわゆる円と同様に均一に保たれたまま、
>元の円状の物体を翼に変形出来る。
なるほど・・・
>実際問題の飛行機造りの工学的なことは、
>工学部卒だという瀬田君に聞いた方がいい。
あの人、資源工学科卒で 材料屋だとかいってたぞ
ヒコーキのこととか全然専門外じゃねえの？
26:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:14:05.97 YJr5hFTS.net
>>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
エルランゲン・プログラムは、ユークリッド幾何学の平行線を証明しようとする試みから生じた幾何学の変換群の話になる。
等角写像とは違う。
27:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:20:54.03 YJr5hFTS.net
>>24
材料屋？ どうなんだろ。
飛行機造りに全く材料が関係しないという訳ではないとは思う。
28:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:34:31.72 5gNFgTYC.net
>>22
＞ドモアブル関係ないよね
「ジュコーフスキー変換」なら単純に計算できるよ
だってｚ＋１／ｚやんｗ
前スレ743は「逆」変換っていうとるよね？
あんたほんと肝心な文字を見落とすよね
目悪いん？それとも頭悪いん？
逆変換だと平方根をとるやろ？
もちろん、やり方はいくらもあるけど、
前スレ743は、
「対数（角度）とって２で割って戻す」
方法を使たとおもわれる
それはな、まあええ�
29:� で、問題は以下の2点 ・arctan(y/x)だとｚと－ｚが同じ角度になるからそこんとこ対策せなあかんよ ・√ｚは答えが２つあるから、どっちをとるか考えなあかんよ 君、いまだに全然わかっとらんやろ あんた仕事で複素関数論使とる？使てないやろｗ
30:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:37:39.70 5gNFgTYC.net
>>22
＞等角写像と言えば、どちらかと言えば、
＞クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
一般の「等角写像」なら、エルランゲン・プログラムの範囲内ではないな
メビウス変換（一次分数変換）なら、エルランゲン・プログラムの範囲
なぜなら、メビウス変換は、リーマン球面の等角同型変換だから
あんたホント肝心なところで粗雑な間違いするよね
脳味噌に皺ないの？ｗ
31:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:40:55.64 5gNFgTYC.net
>>26
もちろん、飛行機に関係する材料の仕事というのはあり得る
ただ、材料屋が流体力学知っとる必要はないんじゃね？
セタは、今井功の本のタイトルだけで
「流体力学、それなら、等角写像や！」
と脊髄反射しとるだけｗ
だいたい、セタの思考ってつねに反射レベルｗ
だから毛深い野獣と云われるｗ
32:１３２人目の素数さん
20/08/30 17:45:52.62 5gNFgTYC.net
>>25
>>28にも書いたけど、一般の等角写像なら
確かにエルランゲン・プログラムの範囲外です
一方でこういう幾何学もあります
反転幾何学
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
反転幾何学の中でさらにある円を不変
33:とする写像だけ使えば 双曲幾何学を実現できます （これ、数学科で複素関数論を学んだ人なら知ってます 他の学科は知らんよ 留数解析までしかやらんのだったら こんなん教えないだろうからｗ）
34:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 21:12:44.69 oR3g+efa.net
>>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
（クラインの）エルランゲン・プログラム
(抜粋)
概説
クラインはこの中で、幾何学を集合に対する変換群の作用によって分類し、その中で出てくる不変量（不変式）を扱うものだと定義した。例えばユークリッド幾何は合同変換で変わらない性質を扱う分野であり、射影幾何は射影変換で変わらない性質を扱う分野だ、というのである。
この考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けたが、ただベルンハルト・リーマンが創立したリーマン幾何学とは相性が悪かった。
何故なら、クラインの定義だとリーマン計量の下では恒等変換以外に不変量を取り出せないため、全ての図形が自分自身とのみ関係することとなって、幾何学の成立する余地がなくなってしまうからである。この問題は20世紀に入り、ヘルマン・ワイルの創出したアフィン接続を契機に、アンリ・カルタンらによって両者のギャップを埋める方向に拡張された。したがって現代の幾何学も、本質的な考えはエルランゲン・プログラムの発展系であると考えてよい。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Erlangen program
(抜粋)
Later, Elie Cartan generalized Klein's homogeneous model spaces to Cartan connections on certain principal bundles, which generalized Riemannian geometry.
Abstract returns from the Erlangen program
In the seminal paper which introduced categories, Saunders Mac Lane and Samuel Eilenberg stated: "This may be regarded as a continuation of the Klein Erlanger Program, in the sense that a geometrical space with its group of transformations is generalized to a category with its algebra of mappings"[2]
35:現代数学の系譜 雑談
20/08/30 22:58:48.06 oR3g+efa.net
>>16 追加
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.rs.tus.ac.jp)
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
授業のレジュメ
URLﾘﾝｸ(www.rs.tus.ac.jp)
代数学３ 加群論の授業のレジュメ (2019年度)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b
c d ] ,
[x
y ]) →
[a b
c d ]
[ x
y ] =
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.
P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.
P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) 7→ a(b mod n) := ab mod n
とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき
∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M
であるから, M から一次独立な�
36:ｳはとることができない. 問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ. 問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき (1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である. (2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない. ことを示せ. 略解. （略） 余談ですが、下記の前層・層の説明分り易い https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018_Algebraic_Curve.pdf 代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和 P30 9 層係数コホモロジー群 (1) なお、参考 https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2016_Group_and_Ring_Theory.pdf 代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和 （前半が群論、後半が環論） P63～ 環, 整域, 体
37:１３２人目の素数さん
20/08/31 06:15:53 CK4NnquJ.net
>>31
>"エルランゲン・プログラム的視点"：
>”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
そういうみっともない言い訳すんなよ
エルランゲンプログラムそのものずばり、だとおもったんだろ
しかも、なんの根拠もなく
あんた、ほんと口から出まかせばっかりだな
会社での綽名はずばり「口先男」だろ？
38:１３２人目の素数さん
20/08/31 06:20:48 CK4NnquJ.net
>>32
＞余談ですが、下記の前層・層の説明分り易い
で、層は解析接続と全く無関係だってことは理解できたか？
まぁだ、「辻ナントカは絶対正しい」とか寝言いってんじゃないだろな
39:１３２人目の素数さん
20/08/31 06:26:04 CK4NnquJ.net
>>23
＞李家・今村研究室
「李家」って珍しい苗字なので調べてみた
名字由来net より
【名字】李家
【読み】りのいえ
【全国順位】 23,014位
【全国人数】 およそ180人
【名字の由来解説】
李王家一族の子孫。
萩出身の長州藩士(寄組・大組)の一族に見られる。
近年、東京都、神奈川県などに多数みられる。
李家さん有名人アクセスランキング TOP10
名前 生年月日 ジャンル 備考
李家 幽竹 ？ その他 風水師
李家 隆介 1866年 政治家 内務官僚、県知事
40:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/31 07:20:10 356lX/6R.net
>>32 補足
URLﾘﾝｸ(www.rs.tus.ac.jp)
代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和
（前半が群論、後半が環論）
で、
Ｐ65
1 “環論” への導入
1.1 “環” の定義と例
1.2 参考: “環論” (イデアル, 単数群, 環準同型写像) と応用例
が丁寧に書かれていて、好感が持てる
（抽象論だけで突っ走らないところが）
41:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/31 07:33:34 356lX/6R.net
>>32 補足
層の話は、前スレより 下記と加塩先生とを読み比べてみれば、tsujimotterがきっちり書いていることが、よく分かるでしょう（＾＾
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:103番)
(抜粋)
tsujimotter氏の図解が良いね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
2019-06-21 層の定義
今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。
目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２ まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献
層の定義においては、この２つの公理が本質的なわけですが・・・。
tsujimotterには、この２つの公理がまーーーーーーったくもってわからなかったのです。
正直言って意味不明でした。どちらもステートメ
42:ントの意味がわからかったですし、何のためにこのような条件が課されているのかもわかりませんでした。 いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。 《例示は理解の試金石》 そうだ！ 例示をしてみればわかるかもしれない！ そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。 あっ、これ解析接続じゃん！！！ と思うわけです。解析接続との関係については、補足２で改めて言及します。 対象をスキームとして、射をエタール射に置き換えた圏を考えると、その上でエタール層と呼ばれる層の類似物を定義することができます。このエタール層の層係数コホモロジーこそが、あの有名なエタール・コホモロジーです。そう言われるとちょっと嬉しく感じてきますよね。 圏論化することによる層の一般化の話は、整数論サマースクールの三枝先生の記事で読みました http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/SummerSchool-0201-2.pdf
43:現代数学の系譜 雑談
20/08/31 07:44:50.70 356lX/6R.net
>>37 補足
（>>32より）
URLﾘﾝｸ(www.rs.tus.ac.jp)
代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和
(抜粋)
P30
9 層係数コホモロジー群 (1)
定義 58. X 上の (C-線形空間の) 前層 とは
略
注意 59. (1) 記法としては, 前層 F は, 線形空間と線形写像の集まり
(5) 前層は “どんどん局所へ制限していく” ことを定式化している.
定義 60. X 上の前層 F で以下を満たすものを 層 と呼ぶ:
注意 61. (1) 層は, 局所へ制限するだけでなく “局所的なデータから大域的なデータを
復元できる” ことを定式化している.
問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX を
略
で定める.
実際に OX が層であることを確かめよ.
（注：ここ、「 OX およびMX が層であることを確かめよ.」だと思う。MXが抜けたのだろう）
（余談：下記も分り易い例だね）
問題 10. x ∈ X での 摩天楼層 Cx を
略
で定める.
(1) Cx が層であることを確かめよ.
(2) Cx の各点でのストークを求めよ.
(3) Cx のサポートを求めよ.
注意 64. 前層 F の各ストーク Fx を “なめらかに” つなげたものが F の層化 Fa である.
(引用終り)
ここ、上記加塩先生「問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX 実際に OX が層であることを確かめよ.」が、>>37のtsujimotter氏の記事と符合しているよ（＾＾
44:１３２人目の素数さん
20/08/31 08:00:36 DzVUmZfn.net
前スレの話の続きを書きますね。
ジューコフスキー変換 w=z+a^2/z において
逆変換 z=f(w)とおくと、zは2次方程式z^2-wz+a^2=0
の根。しかし、ただの数字方程式ではなく
代数函数なのだから、2つの根が別々にあるんじゃなくて
解析接続でつながってる。
分岐点は±2aだから、w平面上に原点を中心とする
半径2aの円を描けば、円の内側と外側
（外側は∞を中心とする円内と考えられる）
で一価解析函数が2個づつ求まる。
だから、それら4個の解（数え方によっては2個の解）をもって、「つながり方」を示してやれば
一応完全な解ではある。
（セタンコが「等角写像だからぁ」と言っていたのは、それら1個ずつの解に過ぎない。）
実はそれら4枚の面（数え方によっては2枚）を適切につなげて
分岐点の所を埋めてやれば、1枚のリーマン球面と同相になる。
それはまぁ当然だろう、もともとz球面だったんだから。
45:１３２人目の素数さん
20/08/31 08:05:20.82 DzVUmZfn.net
つまり、w球面上の2重の分岐被覆面として、z球面が得られている。
このことから、パラメータtを適切に取ってやると
w=w(t),z=z(√t) のようにあらわせるだろう。
（t=r(cos(θ+isinθ)とおくと、zは
(r,θ),（0≦θ<4π）によって「一意化」されるはず。）
そういうことを求めてるのかな？と前スレ>879で思ったのだが
違うのならまぁいい。
46:１３２人目の素数さん
20/08/31 08:13:07.62 DzVUmZfn.net
一応書いておくと
t=(w-2a)/(w+2a)とおくと逆変換 w=-2a(t+1)/(t-1)で
z=w+√t(w+2a).
これはt=∞（つまりw=-2a）以外で成立する。
（w平面で言うと、原点中心ではなく、分岐点を中心にしていることがミソ。
あとメビウス変換で、2つの分岐点をそれぞれ0,∞ に移動することで半径の制約を無くした。）
47:１３２人目の素数さん
20/08/31 09:45:17.00 CK4NnquJ.net
>>37
なんだ、まだわからないのかｗ
公理２が「あっ、これ解析接続じゃん！！！」というのが誤り
解析接続を満たさないC∞関数も層を成すから
はい、セタ、トンデモｗ
48:１３２人目の素数さん
20/08/31 09:55:51 CK4NnquJ.net
>>39
＞一価解析函数が2個づつ求まる。
2個？
＞それら4個の解
4個？
＞それら4枚の面
４枚
面は２枚だと思うよ
複素平面全体から円の外側への写像と、内側への写像の２枚
つまり、２つの解の１つが円の外側で、もう１つが内側
どう数えても解は２つで、枚数も２枚 違う？
＞適切につなげて分岐点の所を埋めてやれば、
＞1枚のリーマン球面と同相になる。
そもそもジューコフスキー写像はリーマン球面の二重被覆だからな
で、被覆面もリーマン球面、というのはその通り
で被覆面のほうから元のリーマン球面へ写像する場合
２重になってる被覆面の１重分の値域が
リーマン球面上の「半球」になる
それが円の内側と、外側にあたるというわけ
49:１３２人目の素数さん
20/08/31 10:06:05.92 CK4NnquJ.net
>>40-41
いいんじゃないか？
w=-2a(t+1)/(t-1)
z=w+√t(w+2a)
としたとき√tを適切に２つの一価解析写像に分ければ
円内と円外の区別ができる筈
50:１３２人目の素数さん
20/08/31 10:20:40.13 CK4NnquJ.net
セタは正則行列も知らないくらいだから
単体のホモロジー・コホモロジーも知らないだろう
そんな奴が層係数のコホモロジーとか分かるわけないだろ
だいたい、ホモロジーとコホモロジーの関係も分かってないだろ
サインとコサインみたいなもんだと思ってるんじゃないか？ｗ
51:１３２人目の素数さん
20/08/31 12:12:47.94 o86d3Fhu.net
>>42
>公理２が「あっ、これ解析接続じゃん！！！」というのが誤り
>解析接続を満たさないC∞関数も層を成すから
落ちこぼれが、何を言っているのかねーｗ
（>>37より）
いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。
《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
(引用終り)
って書いてあるだろ？
tsujimotterの記事全体を読めば分かる
彼の記事のコンテキストから読めるのは、
「あっ、これ解析接続じゃん！！！」
の意図は、層は解析接続を抽象化したものだってことだよ
彼の言いたいことは
そしてそれは、>>38の加塩先生のPDFの
問題 8. リーマン面 X 上の 正則関数のなす層 OX
略
実際に OX が層であることを確かめよ.
と、符合しているってことですよ（＾＾
52:１３２人目の素数さん
20/08/31 13:55:35.13 CK4NnquJ.net
>>46
＞彼の記事のコンテキストから読めるのは、
＞「あっ、これ解析接続じゃん！！！」
＞の意図は、層は解析接続を抽象化したものだってことだよ
コンテキスト関係ないｗ
解析接続の抽象化なら、解析接続の性質を有しない
連続関数は、層にならない筈
し・か・し、実際は層になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
「連続関数の層
Xを位相空間とする。
X の開集合 U に対して、その上の複素数値連続関数のなす空間を C(U) とかくことにする。
開集合の包含関係 V ⊆ U に対して関数の定義域の制限 C(U) → C(V) を考えることで X 上の層が得られる。
点x におけるこの層の芽とはxのまわりでの関数の局所的な振る舞いを表していると考えることができる。」
ものの見事に反駁されとるｗｗｗ
大学も受からなかった落ちこぼれセタが、何をウソ八百言っているのかねーｗｗｗ
だから
「正方行列の全体は群を成す！いかなる正方行列も逆元を持つ！」
なんていってクソ壺で溺死するんだよ ばぁぁぁぁぁかｗｗｗｗｗｗｗ
53:１３２人目の素数さん
20/08/31 14:11:07.86 o86d3Fhu.net
>>46 補足
C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
まずは、下記向井 茂先生
「・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。」
こっから入っていけば良い。C∞の層はあんまし面白くない（＾＾；
代数的、正則、まずはこの二つよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
浜中 真志 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
講義録
Fourier-Mukai変換
向井 茂 述
浜中 真志 記
1998 年 12 月 9 日
Fourier-Mukai 変換(以下FM 変換と書く) というのは、Fourier 変換の拡張です。Fourier 変換
というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM 変換です。
Fourier 変換の拡張という話はいろいろあります。一番簡単なものですと、例えば次のようなも
のがあります。
略
ここからいろいろな話を続けていくことができます。これからやるFM 変換の場合により近い
例としては、次のようなものがあります。まず、
V : 有限次元(実) ベクトル空間(4）
を持ってきて、
略
で、こういうのをここまでは多様体上の関数に対してやっていたんですが、今度は多様体上の
層に対してやればどうなるかということを考えます。
そのためにまず、基本単語の説明をします。
・ カテゴリー( category )
数学的には
略
射の全体Hom(X; Y ) が群構造を持ち、(iv) までくると、X とY というobject の間
の射の全体Hom(X; Y ) がベクトル空間の構造を持ちます。それから、今日の話で関係する
カテゴリーは
object morphism
(v) 代数的(複素) 多様体X 上の(連接) 層 その間の準同型
です。これには少し戸惑うかもしれませんが、恐れる程のことはありません。
つづく
54:１３２人目の素数さん
20/08/31 14:11:37.82 o86d3Fhu.net
>>48
つづき
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すれ
ばいいかと言いますと、X の閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X !Y では零になる
ように) 拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生
えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。
ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層と
いうのはX の１点x 2 X に有限次元ベクトル空間を生やしたものです。
関数のFourier 変換を層のFourier 変換(FM 変換) に拡張するためにどうすればいいかですが、
結論から先に言いますと次の置き換えをすることになります：
関数のFourier 変換層のFourier 変換(FM 変換)
実ベクトル空間V 複素トーラスX
V の双対空間V X の双対トーラス?X
関数f 連接層F
核関数e^2?i(v,α) on VｘV^ Poincare 直線束P on XｘX^
関数の積分 層のコホモロジー群
それで、まず複素トーラスX ですが、それは次のように定義されます。
略
(引用終り)
以上
是非、原文をば（＾＾
55:１３２人目の素数さん
20/08/31 15:21:19.20 CK4NnquJ.net
>>48
＞C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
面白くないから層じゃないのか？
貴様は馬鹿か？白痴か？
もういいから貴様は数学やめろ
粗雑な貴様に精密な現代数学なんか到底理解不能
「正方行列の群」？貴様 白痴か！！！
56:１３２人目の素数さん
20/08/31 16:27:51.16 o86d3Fhu.net
>>48 補足
代数幾何学や複素多様体やスキームの理論�
57:ﾅは、連接層又は準連接層の理論が成り立ち、豊富な結果が得られている C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E6%8E%A5%E5%B1%A4 連接層 (抜粋) 代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。 連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、核（英語版）や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。 代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。 定義 環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、次の性質をもつ場合をいう[1]。 略 環 OX の層が連接層であるとは、それ自身を OX-加群の層とみなしたときに、連接であることとする。環の連接層の重要な例として、複素多様体の正則函数の芽の層やネタースキーム[3]の構造層がある。 連接層はいつも、有限表現可能な層である。言い換えると X の各々の点 x は開近傍 U を持ち、F の U 上への制限 F|U が、ある整数 n, m について射 OXn|U → OXm|U の余核と同型になることである。OX が連接層であれば、逆も正しい、つまり有限表現可能な OX 加群の層は連接層である。 {O}_{X}-加群の層 {F} が準連接層とは、局所表現を持っている場合、つまり、X の任意の点 x にたいしその開近傍 U が存在して、次の完全系列が成立する場合のことを言う。 つづく
58:１３２人目の素数さん
20/08/31 16:28:27.07 o86d3Fhu.net
>>51
つづき
連接層の例
・環付き空間 X 上の {O}_X-加群 {F} が局所自由(locally free)とは 略
・X = {Spec}(R) とすると、R はネーター環である。すると、R 上の有限生成射影加群（英語版）(finitely generated projective module)は局所自由 {O}_X-加群とみることができる。
・岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である[3] 。
・ベクトルバンドルの切断の層（スキーム上、もしくは、複素解析空間の上の）は連接層である。
・イデアル層：Z が複素解析空間 X の閉複素部分空間であれば、Z でゼロとなるすべての正則函数の層 IZ/X は連接層である。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる代数多様体の射(regular functions)の層は連接層である。
・X の閉部分スキームや閉解析的部分空間 Z の構造層 OZ は X 上の連接層である。層 OZ は開集合 X - Z の中の点では（以下に定義する）ファイバー次元がゼロに等しく、Z の中の点では 1 に等しい。
性質
(X, OX) 上の連接層の圏は、アーベル圏であり、(X, OX) 上のすべての層のアーベル圏の充密な部分圏である。 （同様に、環 R 上の有限生成加群の圏も、すべての R-加群の圏の充密なアーベル部分圏である。） R により、大域切断のなす環 Γ(X, OX) を表すとすると、任意の R-加群は自然な方法で OX-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手をさだめることができる。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法で R-加群から得られるわけではない。座標環 R を持つアフィンスキーム X に対しては、この構成は X 上の R-加群と準連接層の間の圏同値を与える。とくに環 R がネーター環の場合は、連接層は有限生成加群にちょうど対応する。
可換環に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができる。例えば、中山の補題は F が連接層であれば、点 x での F のファイバー Fx?OX,xk(x)（剰余体 k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層 F が x のある開近傍でゼロであることは同値である（と言い換えることができる）。
つづく
59:１３２人目の素数さん
20/08/31 16:28:47.00 o86d3Fhu.net
>>52
つづき
連接コホモロジー
連接層の層係数コホモロジー論は、連接コホモロジー(coherent cohomology)と呼ばれる。これは層の主要で最も実りの多い応用の一つで、この結果はただちに古典的な理論と結びついている。
フレシェ空間のコンパクト作用素の定理を使い、カルタンとセールは、コンパクトな複素多様体上では、任意の連接層のコホモロジーは有限次元のベクトル空間になるという性質を持っていることを証明した。
この結果は、ケーラー多様体上の局所自由層の特別な場合に、小平邦彦により以前に証明されていたものの拡張である。GAGA の同値性の証明に重要な役割を果たしている。この定理の代数的な（非常に簡単な）バージョンは、セールにより証明された。この結果の相対的なバージョンは、グロタンディーク(Grothendieck)により代数的な場合に証明され、グラウエルト（英語版）(Hans Grauert)とレンマート（英語版）(Reinhold Remmert)が解析的な場合に証明した。例えば、グロタンディークの結果は、f をスキームの固有射としたときに、連接層 F のプッシュフォワード、函手 Rif*F が連接層になることを主張する。（この函手Ri f*は層の順像（英語版） f* の右導来函手である。）セールの結果は相対的な結果を点への射に適用したものとみなすことができる。
(引用終り)
以上
60:１３２人目の素数さん
20/08/31 16:41:56.79 o86d3Fhu.net
>>51 補足
代数多様体と解析多様体と
この二つが、層を理解する上で、超重要なのです
まずは、この二つ
C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数幾何学と解析幾何学
(抜粋)
代数幾何学と解析幾何学（フランス語: Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique、略称: GAGA）[1]は密接な関係にある。代数幾何学は代数多様体を研究するのに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数の（複素）解析函数のゼロ点で局所的に定義された解析空間（英語版）を扱う。これら2つの深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用したりする上で応用されている。
主要な結果
X を複素射影代数多様体とする。X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) はコンパクト複素解析空間の構造を持ち、Xan と表わされる。同様に、 {F}}} {F}} を X 上の層とすると、Xan 上の対応する層 {F}}^{an}}} {F}}^{{an}}} が存在し、これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。典型的な X と Xan を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 {F} と {G}に対し、自然な準同型
略
は同型である。ここに、 {O}_{X}は代数多様体 X の構造層であり、 {O}_{X}^{an} は解析的多様体 Xan の構造層である。言い換えると、代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 Xanの圏は同値であり、同値性は {F} から {F}^{an}への写像により与えられる。（特に、 {O}_{X}^{an} 自身 が連接層であることは、岡の連接定理として知られている。）
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。代数多様体 X 上の任意の連接層 {F}に対し、準同型
略
は、すべての q について同型である。このことは、X 上の q次コホモロジー群と、Xan 上の q次コホモロジー群が同型であることを意味する。
この定理はより一般的な場合にも成り立つ。（詳しくは、GAGAの公式ステートメントを参照。）この定理と証明は、周の定理、レフシェッツの原理や小平消滅定理のような多くの結果がある。
つづく
61:１３２人目の素数さん
20/08/31 16:42:24.77 o86d3Fhu.net
>>54
つづき
背景
代数多様体は、局所的には多項式の共通なゼロ点として定義され、複素数上の多項式は正則函数でもあるので、C 上の代数多様体は解析空間と解釈することもできる。同様に、多様体間の正規写像は解析空間の間の正則写像と解釈することができる。少し驚くべきことであるが、しばしば、解析的対象を代数的な方法で解釈することも可能である。
例えば、リーマン球面からリーマン球面自身への解析函数は、有理函数か、もしくは恒等的に無限大の函数であることが容易に証明できる（リウヴィルの定理の拡張として）。もしそのような函数 f が定数ではないとすると、f(z) が無限遠点となるような z の集合は孤立していて、リーマン球面はコンパクトであるから、高々有限個の z しか f(z) の値が無限大にならない。そのような z のあらゆる点でのローラン展開を考え、特異点を取り除くと、C 上に値を持つリーマン球面上の函数は、リウヴィルの定理により、定数函数しか残らない。このようにして f は有理函数となる。この事実は、代数多様体として、複素射影直線とリーマン球面との間には本質的な差異は存在しないことを示している。
重要な結果
代数幾何学と解析幾何学の間の比較の結果は、長い歴史を持っている。19世紀に始まり現在まで続いている。より重要な結果をここに時系列で記載する。
リーマンの存在定理
レフシェッツの原理
周の定理
GAGA
GAGAの公式ステートメント
少し一般性は低くなるが、GAGAの定理は、複素多様体 X の上の代数的連接層の圏と対応する解析空間 Xan の上の解析的連接層の圏が、圏同値であることを言っている。解析空間 Xan は、大まかには、座標変換(the coordinate charts)を通して Cn から決まる複素構造を X へ引き戻すことによって得られる。実際、この方法で定理を言い換えることはセールの論文の精神に近く、上記の公式のステートメントを使うことでその重要さが分かるスキーム論は、GAGAの出版された当時はまだ理解されてはいなかった。
(引用終り)
以上
62:１３２人目の素数さん
20/08/31 17:42:23 CK4NnquJ.net
>>51-53
層の公理２（閉条件）が解析接続と無関係だと認めたんだね？
み・と・め・た・ん・だ・ね？
で、もしかして解析接続の性質を持つ層が連接層だといってる？
それ、証明した？まぁた、口からデマカセじゃないの？ｗ
63:１３２人目の素数さん
20/08/31 17:53:30 CK4NnquJ.net
>>51
＞環付き空間 (X, OX) の上 OX-加群の層 F が連接層であるとは、
＞次の性質をもつ場合をいう。
＞略
肝心の定義を省略する大馬鹿野郎
ちゃんと書け、ちゃんと読め
ま、貴様には死んでも理解できまいがなｗｗｗｗｗｗｗ
１．F は、OX 上に有限型である。
つまり、X の任意の点 x について、開近傍 U が存在して、
F の U への制限 F|U が、有限個の切断により生成される。
（言い換えると、全射 OX^n|U → F|U がある自然数 n に対し存在する。）
２．任意の X の開集合 U、自然数 n、OX-加群の射(morphism)φ: OX^n|U → F|U に対して、
φの核が有限型である。
64:１３２人目の素数さん
20/08/31 18:03:44.20 CK4NnquJ.net
>>51
＞C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！
C∞の場合、ファイバー束でOKだからな
ファイバー束
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
切断
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
65:１３２人目の素数さん
20/08/31 18:48:13.03 DzVUmZfn.net
>>43
w平面の函数要素を考えていたので、4個と数えたんですね。
z平面から見ると、円周|z|=a の内側と外側で綺麗に
2枚分に分かれるので、2枚と数えるのが普通でしたね。
66:１３２人目の素数さん
20/08/31 18:50:48.76 DzVUmZfn.net
>>41
訂正
z=(w+√t(w+2a))/2. /2 が抜けてました。
さらに計算すると
z=-a(√t+1)/(√t-1).
逆変換すると
√t=((z/a)-1)/((z/a)+1).
円周|z|=a は√t平面では何に写るか？
z/a=e^(iθ) とおくと、√t=itan(θ/2)だから、虚軸に写る。
したがって、Re(√t)が正または負にしたがって、zは円周の外側または内側になりそう。
67:１３２人目の素数さん
20/08/31 19:14:55.13 DzVUmZfn.net
正直、こんなにうまくいくとは思わんかったｗ
まとめると
t=(w-2a)/(w+2a),
w=-2a(t+1)/(t-1),
z=-a(√t+1)/(√t-1).
t=r(cosθ+isinθ) とおいて、(r,θ) (0<r<∞, 0≦θ<4π)
によって、函数 z=f(w)を一意化すると
zの値が円|z|=aの内側にあるか外側にあるか或いは周上にあるかは
rにはよらず、θのみによって決まる。
68:１３２人目の素数さん
20/08/31 19:43:53 CK4NnquJ.net
>>59
＞w平面の函数要素を考えていたので、4個と数えたんですね。
やっぱわからん ４つ具体的に作ってみた？
>>61
そうなるだろうね
69:１３２人目の素数さん
20/08/31 20:00:45 DzVUmZfn.net
>>62
前スレで、別のひとが、「w平面の原点中心に解が得られるから簡単」
のように言っていた（正確にはそのように自分は捉えた）ので、それが頭にあったんですよ。
仮にその解を「べき級数」のことだとすると、円周|w|=2a上に特異点があるので
そこまでしか収束しない、従ってその範囲でしか有効な表現ではない。
結局そのような「函数要素」が4つ貼り合わさったものが全体像になる
と思ったんですね。
つまりw平面の（円内・円外）×2と考えたわけです。
70:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/31 21:10:29 356lX/6R.net
>>31
>"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
>またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
下記書籍「現代幾何学の流れ」の巻頭論文が
砂田利一氏の”現代幾何学の生成 19世紀幾何学の「遺産」と20世紀幾何学の「精神」”だが
（この本は、私の書棚の肥やしですが）
このＰ9に「3.エルランゲン目録-幾何学とは何か-」の章がある。1872年に提示されたとある
Ｐ12に「4.接続の幾何学」の章がある
エルランゲンなんぞ、砂田利一に限らず、いろんな人がいろんなところで書いている
それをベースに、"エルランゲン・プログラム的視点"と書いただけのことｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
現代幾何学の流れ 日本評論社 砂田利一 編 発刊年月 2007.10
目次
現代幾何学の生成 19世紀幾何学の「遺産」と20世紀幾何学の「精神」／砂田利一
チャーン チャーン特性類／小林昭七
トム コボルディズム理論、カタストロフィー理論／福田拓生
小林昭七 小林双曲的多様体の理論／野口潤次郎
ヒルツェブルッフ リーマン-ロッホの定理の解決／加藤文元
スメール 双曲力学系／林 修平
ミルナー 微分位相幾何学、異種球面の発見／佐藤 肇
クリンゲンバーグ パッキングの問題（古典的球面定理）／塩濱勝博
アティヤ-シンガー アティヤ-シンガーの指数定理／吉田朋好
ベルジェ 幾何のエスプリ／酒井 隆
サリヴァン サリヴァンの手術理論／森田茂之
モストフ 強剛性定理と非数的格子／佐武一郎
グロモフ 幾何学的群論／藤原耕二
ヤウ カラビ-ヤウ多様体／小林亮一
サーストン ３次元多様体論／小島定吉
フリードマン ４次元ポアンカレ予想の解決／松本幸夫
ドナルドソン ゲージ理論の４次元位相幾何学への応用／橋本義武
ウィッテン 位相的場の理論、サイバーグ-ウィッテン不変量／中島 啓
コンツェヴィッチ 量子不変量／深谷賢治
71:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/31 21:15:55 356lX/6R.net
>>61
>正直、こんなにうまくいくとは思わんかったｗ
>まとめると
お疲れさまでした
まとめ、ありがとう（＾＾
72:１３２人目の素数さん
20/08/31 23:47:19.62 VsKp6cIi.net
01 02
03 04 05
06 07 08 09
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42 43 44
44 36
43 35 28
42 34 27 21
41 33 26 20 15
40 32 25 19 14 10
39 31 24 18 13 09 06
38 30 23 17 12 08 05 03
37 29 22 16 11 07 04 02 01
上の数列を下の数列に変換する
アルゴリズムを見つけてくれ(^_^)ﾉ
73:１３２人目の素数さん
20/09/01 06:09:29.64 S0c5RHlN.net
>>64
＞私の書棚の肥やし
無駄だね 即刻古本屋に売りなよ
あんたに数学は無理 別の趣味を見つけな
74:１３２人目の素数さん
20/09/01 06:21:18.89 S0c5RHlN.net
>>63
＞w平面の（円内・円外）
z=(w+√t(w+2a))/2 だよね
その区別、要らない。接続してるから
＞解を「べき級数」のことだとすると、円周|w|=2a上に特異点があるので
＞そこまでしか収束しない、従ってその範囲でしか有効な表現ではない。
＞結局そのような「函数要素」が4つ貼り合わさったものが全体像になる
＞と思ったんですね。
冪級数の張り合わせで解析接続するんなら「２つ」じゃすまない
しかしそれは一価関数としては１つだから問題ない。
結局特異点を結ぶ線で切断すれば、２つの一価関数で足りる
（切断線に任意性はあるが、決めてしまえばいい）
75:１３２人目の素数さん
20/09/01 06:52:24.39 S0c5RHlN.net
◆yH25M02vWFhP が本当に数学を理解したいんなら
真っ先に以下を実行したほうがいい
１．数学板のアクセスをやめる
２．山ほど買った数学書のどれでもいいから１冊読み切る
（啓蒙書とか概説書はＮＧ）
ふんぞりかえって
「貴様等、世界のエクゼクティブの俺様に
エグゼクティブ・サマリーを見せてみろ！」
と吠え続けるなら数学諦めたほうがいい
76:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 06:57:07.39 pGoi0nQw.net
>>54 補足
>C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！ｗ（＾＾；
秋月康夫先生が、下記1955年 科学基礎論研究に書いています
「C∞-多様体上のC∞-函数の全体についても層を
考えることができる.そこで'解析的な層'だとか,‘C∞の層'を考えることができるが,
C∞-理論は層を要しないでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層によって初めて明かになし得られたものである.」
と。用語は少し古い。また、層の定義も、古風だ。が、秋月康夫先生は、”科学基礎論研究”として、数理哲学を語っているのです
そこに、値打ちがあり、一読の価値があると思う
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
P62
大域化する場合においても,局所的に'ばらばら'に与
えた更に広い世界を構成し,自由に思考ができる場所を
こしらえてその中で接ぎ合わしていくといった立場を取
る.而してこれには寧ろ極度に拡張した抽象的体系を取
るのが却って見通しやすくするものである.この方面の
代表的概念としてはFiberbundleを挙げねばならない.
BがFiberbundleとは
略
Ｐ63
c∞-多様体M上ではc∞の函数は環F(M)を作る
が,複素解析多様体についてはかかる環は考えられない.
そこでR(M)の代りに,各点(のと(x)における解析
的要素f(x)(局所複素座標x1…xnによる整級数)との
組(X,f(X))の全体から成る集合(点(x)をもM上に
変えて)を取る.解析的な微分形式についても,また有
理型の微分形式(これは複素直線バンドル上の解析的微
分形式として)についても同様のものを取る.そしてか
かる体系に
77:共通な性質をうまく抽象して得られたのが層 (Faisceau,Scheaf)の概念である.1) （ 1)このような概念化は絵画などにtcとえると非常にしつかりした‘素描'のように感じられる.） この層の概念の把握により閉じた複素解析的多様体-Kahler計量を許すものではあるが-の理論は最近に飛躍的な発展を遂げたのであり, これを成就した最も主要な人の一人はわが小平邦彦君であった. つづく
78:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 06:57:29.22 pGoi0nQw.net
>>70
つづき
層の定義を述べよう.
Fが多様体M上の層とは
1.Fは位相空間であり,Fから底空間Mへの一意写像π(これを射影という)が存在する.即ちPεF→π(P)=xεM.
2.M上の各点(x)に対し,πの原像Fx=π-1(x)は加群を作り,Fxの位相はFの位相について分散的である.
3.PεFの近傍Uと,x=π(P)εMの近傍π(U)とは位相合同である.
4.Fx上の加法は,Pの位相について連続写像である.
これが層の定義である.Mが複素解析多様体のとき,
解析的要素の集合は層を作るが,それは唯一つの層ではない C∞-多様体上のC∞-函数の全体についても層を
考えることができる.そこで'解析的な層'だとか,‘C∞の層'を考えることができるが,
C∞-理論は層を要しないでも得られるものであるに対し,複素解析的理論は層によって初めて明かになし得られたものである.
P64
この層の定義はH.Cartanによるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方Lerayが別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann多様体もすべて射影空間に入って了うが,n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される).即ちn≧2では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.即ちHodge型の多様体(説明は省くが基本的な概念だけで規定
されるものである)は射影空間に入る(逆は自明)とい
う定理である.
つづく
79:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 06:58:19.48 pGoi0nQw.net
>>71
つづき
これは層の概念をうまく適用して得られ
たのである.また長い間難渋を極めていた中心問題の
Riemann-Rochの定理の拡張も層の概念を用いて小平
君やSerreによって見通されるに到ったのである.この
ように華々しい進展はあっても,多様体にはなお未解決
の深い問題は多数あって明日を待っている現状である.
層の概念の畠現によって短時日の間にかく理論は躍進
を遂げたが,それには躍進が行われる地盤が既に育まれ
ていたからである.それはPoincareに始まる代数的位
相幾何学であり,そのホモロギー論特にそれに関連し
て得られたdeRhamのコホモロギー論である.また
Hodgeに始まる調和積分論があった.また層には到ら
ないまでも,整数論のイデールに当るcoelementの理
論を樹てて,層係数のコホモロギー理論を示唆(明かに)
しているWeilの業績が,複素直線バンドルの活用とと
もに燦然と光っていることを附記しなければならない.1)
(1)とれらの詳細は勿論,おぼろげながらもここに説明することは不可
能である.これについては岩波現代数学,秋月,井草,中野著調和積
分論(近刊)にいて見られたい.)
つづく
80:１３２人目の素数さん
20/09/01 06:58:30.62 S0c5RHlN.net
ああ、それから
＞（＾＾
↑このバカ絵文字、やめてなｗ
安達の（笑、同様 只の負け犬の強がりだから
こういうのがみっともないと思わない時点で他人全員に負けてるよな
81:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 06:58:40.54 pGoi0nQw.net
>>72
つづき
P66
この'定域'を'不定域'に開いたのが層係数のコホモロギーである.(岡君の不定域イデアル!)
不定域にすることは,被覆系U={Ui}を固定しない
で,更にそれを細分して行く系列Uαを考えその極限を
見ることに当る.そして各野のnerveN(Uα)につ
いての層係数のコホモロギー群の極限について見るのである.
このように層係数のコホモロギーは相当に複雑な機構
をもつものである.然るにそこに明快な理論が成立つ.
これを得しめたものは何か.これは興味ある疑問であろ
う.それは'完全系(exactsequence)'という群論的
思惟の図式化が行われており,これによってこの高層建
築も比較的に易々と図引くことができたのである.
群の準同型になぞらえて層の準同型も定義され,また
その完全系も考えられる.
層係数のコホモロギー論がうまくいくのは,層F',F,
F"が完全系0→Ft→F→F"→0を作るとき,層係数の
コホモロギー群HP(F)[F係数のNerveのp次コホ
モロギー群〕において
の完全系を作ることが従うからなのである.このことが
輪転機の役割をして,幾くらでもコホモロギー群の完全
系が作れて,器械的に推理をどんどんおし進め得るので
ある.
(引用終り)
以上
82:１３２人目の素数さん
20/09/01 07:01:16.38 S0c5RHlN.net
>>70-74
不勉強なあんたに複素解析なんか一生理解できんから諦めな
なんで正則函数は等角写像なのか、理解してるのか？してねぇだろｗ
83:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 07:09:53.44 pGoi0nQw.net
>>70
秋月康夫先生の1955年 科学基礎論研究
「多様体の概念について」
これぞ、まさに ”エグゼクティブ・サマリー”
こういうのをしっかり読んで、頭に入れておくと
現代数学の層の抽象的な定義も、頭に入りやすくなる
そして、「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」の意味も分かる（＾＾
84:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/01 07:30:06 pGoi0nQw.net
>>31 補足
>>22
>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
”エルランゲン・プログラム的視点”とは、平たくいえば、幾何学的視点です
下記 等角写像：複素平面 z から複素平面 w への写像で、局所的に、微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう
下記「正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ」けれども
解析（関数論）というよりも、むしろ複素平面上の幾何です
そう捉えるのが正解です
等角写像では、難しい関数は、まれにしか出てこない
等角写像による翼型理論などは、中学・高校レベルの関数で終わっている
それは、力点が「複素平面上の”幾何”」にあるからです
複素平面 zの円を、複素平面 w の翼型に写すJoukovski の式という視点です
この幾何学的な視点も、大切なのです
（＜５．Joukovski の翼 九大 辻井 正人＞ URLﾘﾝｸ(www2.math.kyushu-u.ac.jp) （>>22））
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
等角写像
(抜粋)
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conforma
85:l transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換（写像）したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。 一見すると、原形から大きく図形が変わったように見えても、対応する微小部分に注目すると、原形の図形と相似になっているのが、等角写像である。等角写像は、複素関数論と深い関係があり、工学上、流体の挙動の記述などにおいて非常に有用である[1]。 複素関数の等角写像 複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f(z) について、正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ[2]。 (引用終り) 以上
86:１３２人目の素数さん
20/09/01 08:02:05 V/AkLYyF.net
>>68
概ね同意ですが
>冪級数の張り合わせで解析接続するんなら「２つ」じゃすまない
一般的にはですね。
しかしこの場合は「概ね」２つで済みますよ。
w球面で、0を中心とするべき級数と∞を中心とするものの２つです。
円周w=|2a|上にしか収束を邪魔する特異点はありませんから。
問題はこの円周上ですが、べき級数が意味を持つのは収束円内と一般的にはされますが
収束円上で意味を持たないということはない。
これは複雑で重要な研究対象です。
だから、円周w=|2a|を除けば完璧に２つで済む
円周w=|2a|上ははっきりしないが、おそらく「自然なつながり方」は一意的に決まるだろう。
だから、２つでいいんですよ。
全部で４つになりますがね。
87:１３２人目の素数さん
20/09/01 08:15:30 V/AkLYyF.net
>>61の「一意化」がうまくいったのは、「特異点の中心に飛び込んで」考えたから。
あとテクニカルには、もう一つの特異点が∞になるようにメビウス変換して、半径の制約をなくした。
そういうことです。
88:１３２人目の素数さん
20/09/01 10:19:18.78 JlmCPXEV.net
>>78-79
お疲れ様です
まとめ、ありがとう（＾＾
89:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 10:37:07.34 JlmCPXEV.net
なんか、コテハン設定が抜けていたな（＾＾；
>>76 補足
>そして、「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」の意味も分かる（＾＾
下記、フィールズ賞 1954年
小平邦彦：He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds.
セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
二人とも、層の理論でフィールズ賞
”to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties”、”the main results of complex variable theory”
algebraic variety と、 complex variety と
まず、この二つを押さえれば良いのです
”C∞の層”なんて、チラ見程度で良い。チラ見で混乱するなら忘れて良い
この二つで、層の理論の現代数学の王道は歩める
グロタンディークの代数幾何も含め
上記の二つで、層の理論の現代数学の王道は歩める
「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
90:１３２人目の素数さん
20/09/01 10:59:08.64 aYAGLL8f.net
>>31
＞>等角写像と言えば、どちらかと言えば、クラインのエルランゲン・プログラム的視点に力点がある
＞
＞"エルランゲン・プログラム的視点"：”的”と”視点”が入っていることを見落としているぜ
＞ またまた、揚げ足を取りに来て、踏みつぶされるの図か（＾＾
物理数学の本にも、ジュコーフスキー変換という名前が載っていなくその式は載っているが、等角写像は載っている。
その物理数学の本に変換群は載っていない。
必ずしも等角写像に変換群は必要ない。
91:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 11:00:20.09 JlmCPXEV.net
>>81 追加
検索でヒットしたので貼っておきます（＾＾
URLﾘﾝｸ(math00ture.blog.jp)
つれづれなるままの数学（算数）素数GPSの周辺 iPhoneとAndroid 366 aps
超難解な「宇宙際タイヒミュラー理論」に感動 (書籍『宇宙と宇宙をつなぐ数学』) 2019年06月04日
(抜粋)
参考
//////
「志村五郎名誉教授の理論」と「望月新一教授の理論」を学習するための基礎書籍
以下
代数曲線論（講座数学の考え方;18） / 小木曽啓示著 朝倉書店
◇複素数体上の代数曲線（コンパクトリーマン面）の教科書。リーマン球面の定義から始めて，層や層係数コホモロジーの理論が展開され，セールの双対定理やリーマン-ロッホの定理とその応用が扱われる。代数曲線論をきちんと学んでおくと，より高度な代数幾何学を勉強するための足がかりにもなる。
92:１３２人目の素数さん
20/09/01 11:30:00.19 aYAGLL8f.net
>>77
>”エルランゲン・プログラム的視点”とは、平たくいえば、幾何学的視点です
>下記 等角写像：複素平面 z から複素平面 w への写像で、局所的に、微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう
幾何学的視点だったら、余計エルランゲン・プログラムと等角写像は関係なくなる。
エルランゲン・プログラムは、図形において変わらない性質を保つようにするための群が設定出来るようにしてあればいい。
必ずしも等角写像にそのような性質があるとは限らない。
必ずしも等角写像で移される図形に角度を保つための群を設定出来るとは限らない。
93:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/01 15:09:07 JlmCPXEV.net
>>77 補足
等角写像は、２次元に限られない（下記）
だから、等角写像＝一変数正則複素関数ではない
例えば下記
"1 Conformal maps in two dimensions"
"2 Conformal maps in three or more dimensions"
など
２次元に限れば、等角写像＝一変数正則複素関数ではあるけれども
一変数複素関数論は関数に主眼があるのに対し、等角写像論はあくまで その”像”に主眼があるのです
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
等角写像（とうかくしゃぞう、英: conformal transformation）とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Conformal map For other uses, see Conformal (disambiguation).
In mathematics, a conformal map is a function that locally preserves angles, but not necessarily lengths.
For mappings in two dimensions, the (orientation-preserving) conformal mappings are precisely the locally invertible complex analytic functions. In three and higher dimensions, Liouville's theorem sharply limits the conformal mappings to a few types.
Contents
1 Conformal maps in two dimensions
1.1 Global conformal maps on the Riemann sphere
2 Conformal maps in three or more dimensions
2.1 Riemannian geometry
2.2 Euclidean space
3 Applications
3.1 Cartography
3.2 Physics and engineering
3.3 Maxwell's equations
3.4 General relativity
4 Pseudo-Riemannian geometry
5 See also
つづく
94:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/01 15:09:57 JlmCPXEV.net
>>85
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Joukowsky transform
In applied mathematics, the Joukowsky transform, named after Nikolai Zhukovsky (who published it in 1910),[1] is a conformal map historically used to understand some principles of airfoil design.
Contents
1 General Joukowsky transform
1.1 Sample Joukowsky airfoil
2 Velocity field and circulation for the Joukowsky airfoil
3 Karman?Trefftz transform
3.1 Background
4 Symmetrical Joukowsky airfoils
5 Notes
(引用終り)
以上
95:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 17:36:00.95 JlmCPXEV.net
>>71 補足
（再掲）
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
P64
この層の定義はH.Cartanによるが,それは岡潔君
の不定域イデアルの概念を基に抽象化し公理的に述べた
ものなのである.(尤も他方Lerayが別の立場から層を
考えてはいたが.)かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
n=1ならば閉じていさえすれば,どんな複素解析的な
Riemann多様体もすべて射影空間に入って了うが,n≧2の場合には閉じていても,射影空間(どんなに高次元
にとっても)には入り得ないものが存在するのである
(これは直ぐ円環体で例示される).即ちn≧2では最早
や射影空間(といっても複素的射影空間であるが)は絶
対者ではあり得ない.すると射影空間に入るような閉じ
た解析多様体の特性如何という問題が直ちに提出されよ
うが,これに解決を与えたのが小平君である.即ちHodge型の多様体(説明は省くが基本的な概念だけで規定
されるものである)は射影空間に入る(逆は自明)とい
う定理である.
(引用終り)
この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！（＾＾
つづく
96:現代数学の系譜 雑談
20/09/01 17:36:42.86 JlmCPXEV.net
>>87
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
佐藤超函数
佐藤超函数（さとうちょうかんすう、hyperfunction）は函数の一般化で、ある正則函数ともう一つの正則函数との境界上での「差」:
f(x)=F(x+i0)-F(x-i0)
として表される（正則関数 F(z)は f(x)の定義関数といい、 f(x)=[F(z)]と記す）[1][2][3][4]。
また、略式的には無限位数の極を持つシュワルツ超函数と見なすこともできる。
佐藤超函数はグロタンディークらの先駆的な仕事の上に1959年に佐藤幹夫によって導入された[1][2]。
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
超局所解析と代数解析を巡って
片岡 清臣
２０１７年３月２１日，於：東京大学大学院数理科学研究科
(抜粋)
P4
１変数の佐藤超関数f(x)は
f(x) = F+(x + i0) F(x -i0)
と解析関数F±(z)を使って書けて直観的にもわかり易い．
しかしn変数佐藤超関数は
B(Rn) := HnRn(Cn; OCn)
のように解析関数の層OCnを係数とし，実軸Rnに台をもつ相対コホモロジー群の元として定義される．
従って，理解するには，多変数解析関数の基本的性質 + 層係数コホモロジー群の消滅定理
などかなりの予備知識が必要．特に後者が大変．
P9
層 CM+|X, Mild性の導入
P16
導来圏，層の超局所台理論による初期値・境界値混合問題の超局所解析
フランスのSj¨ostrandやLebeauはFBI変換や評価の手法を駆使して回折現
象の超局所解析など，境界条件下での境界に沿う正則性伝播定理を得ていた．
しかし我々の境界値問題の超局所解析の手法，すなわち個々の解の構成にこだ
わる手法では境界条件下で境界に沿って正則性が伝播することを示すのが難
しかった．他方，極めて抽象的な理論である導来圏と柏原-Schapiraの層の超
局所台理論(Microlocal Study of Sheaves, Ast´erisques, 128,1985)
の組み合わせがこのような問題の解決に適していることを発見した．
(引用終り)
以上
97:１３２人目の素数さん
20/09/01 17:53:05.35 S0c5RHlN.net
>>76
>これぞ、まさに ”エグゼクティブ・サマリー”
>こういうのをしっかり読んで、頭に入れておくと
>現代数学の層の抽象的な定義も、頭に入りやすくなる
いやいや、全然頭に入ってないじゃん
エグゼクティブ要らんよ
>「C∞の層？ そんなの当面無視しとけ～！！」
あんた、連接層だと何がどう都合がいいのか
全然わかってないだろ
>>77
>”エルランゲン・プログラム的視点”とは、
>平たくいえば、幾何学的視点です
全然説明になってませんｗ
>等角写像では、難しい関数は、まれにしか出てこない
馬鹿ｗｗｗ
いくらでも難しい関数出てくるよ
あんたが知らんだけｗｗｗ
>等角写像による翼型理論などは、
>中学・高校レベルの関数で終わっている
正しくは
「Zhukovskiの変換に関することは
中学・高校レベルの関数で終わっている」
>それは、力点が「複素平面上の”幾何”」にあるからです
いや、Zhukovskiの変換が簡単だから
>複素平面 zの円を、複素平面 w の翼型に写す
>Joukovski の式という視点
はい、今、君💩踏んだよｗ
「円を翼型に写す」
もし、繊細な数学的センスを有していたら、以下の疑問が生じるはず
「なんで、等角写像なのに、尖がった点が生じるの？」
もちろん、賢い人は答えが分かってますがねｗ
98:１３２人目の素数さん
20/09/01 17:53:46.41 S0c5RHlN.net
>>78
云いたいことはわかります
>円周w=|2a|を除けば完璧に２つで済む
そこ、わざわざ２つに分ける必要あります？
>円周w=|2a|上ははっきりしないが
円周上には特異点が2つありますね
ということは特異点を結ぶ弧は２つあるってことです
どちらか一方で、解析接続してしまえば（実際できますが）一体化できます
つまり、接続させる弧を決めてしまえば２枚にできます
もともと二重被覆でしかないのだから、それが本質的かと思います
>>79
>「特異点の中心に飛び込んで」
>もう一つの特異点が∞になるように
>メビウス変換して、半径の制約をなくした。
√zを考えていいならそうなりますね
そこはテクニカルかもしれないが、
いいアイデアだと思いますよ
99:１３２人目の素数さん
20/09/01 17:55:12.95 S0c5RHlN.net
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
そもそも層の起源の一つは、ルレイのトポロジーの研究にあるんだがね
まさか日本人の岡が層を発明した、と思ってないか？
数学が分かっていれば、岡の発見は層よりも連接性にあることが分かるんだがね
（注：この指摘によって、岡の名誉が損なわれることは全くない）
層は所詮言葉に過ぎない 一方連接性は重要なポイント
どうせ素人の君は連接性とは何で、なぜそれが
代数幾何および複素解析幾何において重要なのかも
まったく理解できてないだろ