20/09/07 09:23:14.34 bE/6WhUJ.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、
微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。
微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、
また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。
微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、
あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。
また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、
この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
275:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:25:08.87 bE/6WhUJ.net
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた
微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、
形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも
非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、
n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、
余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。
係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。
これは関数の全微分で現れる式と同じである。
2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
276:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:29:40.85 bE/6WhUJ.net
しかし、通常はこのような一般的すぎる積の代わりに
何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。
いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、
区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。
対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、
テンソル積の記号は省略して書かれる。
dx2 といった形で指数にして表してしまうこともある。
リーマン計量は多様体上の各点での接ベクトルの大きさを定めるものであり、
局所的に線素の「長さ」を定めていることになる。
ガウスが曲面論で示したように、このような局所的な情報から、
多様体全体の形や大きさをかなりの程度知ることができる。
交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号 ∧ を用い書かれる。
交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。
dxi∧dxj=-dxj∧dxi
という関係式を満たし {dxk} の並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる
（対称微分形式では符号は変わらない）。
こういった符号の反転を内包させることによって
積分する変数の「向き」を捉えられることになる。
したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、
負の面積や負の体積といったものも現れるが、
そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、
非常に簡明に計算できるようになる。
さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、
解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる。
特に何の指定も無い場合、（高次元の）微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。
277:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:33:54 bE/6WhUJ.net
外微分
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は
関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。
外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。
それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の
自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、
その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るもの
と考えることができる。
278:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:38:39 bE/6WhUJ.net
公理による定義
外微分 d は以下の性質を満たす
k-形式から (k + 1)-形式への一意的な R-線型写像
として定義される：
1.滑らかな関数 f に対して d(f) := df は f の微分である。
2.任意の滑らかな関数 f に対して d(df) = 0 である。
3.d(α ∧ β) = dα ∧ β + (－1)p(α ∧ dβ) である、
ただし α は p-形式とする。
二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ：
実は、任意の k-形式 α に対して d(dα) = 0（より簡潔には、d＾2 = 0）である。
三番目の定義性質は特別な場合として f が関数で α が k-形式であれば
d(fα) = d(f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα
であるということを含んでいる。
なぜならば、関数は 0 形式であり、スカラー乗法と外積は
引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。
279:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:42:24 bE/6WhUJ.net
境界付き多様体上の微分形式に対するストークスの定理は次のように定式化される。
∫M dω=∫∂M ω
ここに、
M は向きの付いたn次元多様体であり、
ωは M 上の（少なくともC 1級の）n－1次微分形式でコンパクトな台を持つものとする。
∂Mは M の境界を、dω は ω の外微分を表している。
∂Mには M の構造から誘導される n－1 次元向きつき多様体の構造が入る。
この定理は
「ある量(微分形式)の微分を特定の領域で積分した値は、
境界で元の量を評価（積分）することによっても得られる」
と解釈でき、微積分学の基本定理の自然な拡張になっている。
280:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/08 07:49:21 wPbjCPq+.net
>>234
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
セール GAGA（>>54）にも、ちゃんとKODAIRAが引用されている
おサル、いやさ維新さんは、単に日本及び日本人数学者をディスりたいがために、”小平は特に関係ない”と発言したんだろうなー
日本で不遇な維新さん
おれが不遇なのは、日本及び日本人数学者が悪いって発想かな？
たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれたからといって、日本及び日本人数学者を恨むなよな！（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.numdam.org)
JEAN-PIERRE SERRE
Geometrie algebrique et geometrie analytique
Annales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), p. 1-42
(抜粋)
P26
KODAIRA-SPENCER [12]
P32
KODAIRA-SPENCER [12]
KODAIRA [11]
BIBLIOGRAPHIE
[11] K. KODAIRA. On Kahler varieties of restricted type. (an intrinsic characterization of algebraic varieties). Ann. of Maths., 60, 1954, pp. 28-48.
[12] K. KODAIRA ahd D. C. SPENCER. Diviser class groups on algebraic
varieties. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39, 1953, pp. 872-877.
281:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 11:36:37.07 eqr8yurO.net
>>245
>たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれた
「小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている」（下記）か
まあ、ニュートン・ライプニッツの微積くらいで終わっているの�
282:ﾅしょうね これで数学にあこがれたのかな？ｗ（＾＾ でもね、おれたちのころは、数学科は食えない進路と言われた 数学科出ても、せいぜい高校数学教師どまり。普通の企業の就職には不利 まあ、東大京大の数学科主席くらいになると、大学に残ってくれと言われるだろうがね いまとは時代が違うかも 維新さんの時代は、「数学科は食えない進路」だったでしょ。おっちゃんより年上って言っていたね すんなり、高校数学教師目指せば良かったかな？ おっと、高校教師も人気職業で競争激しくなったんだ でも、それで日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ 身の程知らずに、Fラン数学科に進路を選んだのが間違いでしょ おじさん、修士のときに、数学科以外を選ぶべきだったと思うよ（＾＾； （参考） http://www.bohyoh.com/Bookshelf/Sugaku.html 数学入門（上）／（下） 著者：遠山啓 発行：岩波書店（1959年11月） この書は、拙著『ＣプログラマのためのＣ++入門』（ソフトバンク,1992）でも、以下のように推薦しています。 複素数についてもう少し詳しく知りたい人には、遠山啓著「数学入門（上）」（岩波新書）をお勧めします。複素数に限らず、小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている、非常によい本です（著者の好きな本の１冊です）小学校や中学校から何気なく使ってきた数学の本当の意味が理解できるでしょう。 数の意味も含めて数学の基本を身につけたい人、算数・数学を勉強し直したい人、算数・数学の指導に携わっている人などに、特にお薦めいたします。小学校・中学校・高等学校の算数・数学の先生が、全員この本に取り組めば、数学嫌いの子供はいなくなるかもしれませんね！？。 2000年12月6日 by BohYoh Shibata
283:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 11:58:51.68 eqr8yurO.net
>>244
おっさん、ご苦労さん
必死で、「おまえは、こんなことを知らないだろう」と
外微分とか微分形式を持ち出すバカ
哀れ
付け焼刃が見え見えだよ、おれから言わせればね
外微分とか微分形式はね、三次元のベクトル解析で非常に有用でね
電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
なので、物理とか工学では、知っている人多数
それを、お前が知らないだけのことだよｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
外微分 [物理のかぎしっぽ]
三次元ユークリッド空間 R^{3} 上の外積代数を考えると，微分形式として次の 4 つを定義できました．
外微分
実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます．
つづく
284:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 11:59:11.02 eqr8yurO.net
>>247
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外微分
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。
目次
4 さらなる性質
4.1 閉形式と完全形式
4.2 ド・ラームコホロジー
4.3 自然性
5 ベクトル解析における外微分
5.1 勾配
5.2 発散
5.3 回転
5.4 grad, curl, div, およびラプラシアンの不変公式
(引用終り)
以上
285:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 15:28:25.61 eqr8yurO.net
>>247
「数学をいかに使うか（志村 五郎）」
志村 五郎先生は、微分形式、外微分を結構重視していたといのは、下記の通り有名な
286:話で 旧ガロアスレでも取り上げた （参考） https://yashiroy29.wordpress.com/2019/06/05/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%84%E3%81%8B%E3%81%AB%E4%BD%BF%E3%81%86%E3%81%8B%EF%BC%88%E5%BF%97%E6%9D%91-%E4%BA%94%E9%83%8E%EF%BC%89/ yashiroy29 数学をいかに使うか（志村 五郎） (抜粋) ・四元数環は実数体、複素数体の延長であり、それ自体が重要であるばかりでなく、外積代数やClifford代数、多元環論の基礎となっている。 ・微分形式、外微分という概念は難しくなく、それを使うと、外積などのベクトル解析の算法の見通しが良くなる。積分のGauss-Stokesの式は、微積分の基本定理を多次元空間に拡張したものである。 ・多変数の微積分の次に学ぶとよいのは、複素解析、具体的には楕円関数論が良いだろう。歴史的には三角関数の逆関数の拡張から二重周期関数が発見されたが、Weierstrassは逆に二重周期関数は楕円関数となることを示した。 ・Fourier変換にPoissonの和公式を適用するとJacobiのテータ関数が得られる。３人はほぼ同時代に生きたが、この関係性は本人たちは知らなかっただろう。 ・定理などの名付けには色々問題がある。最後の証明を完成した人だけが偉いのではない。そもそも間違った論文や教科書も多く、古典的な書物は、現代の厳密な証明に照らし合わせると不完全な場合もある。 ・参考にすべき日本語の教科書が無いため、参考文献は外国語のものばかりになってしまった。だからこの本を日本語で書いたのである。
287:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 15:40:49.66 eqr8yurO.net
>>238
>意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
意味わからん
”諦めろ”？
なんのことかな
おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
いまさら、数学の論文書いて、数学者になろうなんて、考えていない
数検？ まあ、十代か二十代で、就職の箔付け（英語の資格みたいな）ならやっても良いが
いまさら、数検１級とか、「実用数学技能検定」ね、下記かよ
いまさら、復習してもね、面白くもなんともない
セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ（＾＾；
数検１級 「実用数学技能検定」 それって、就職のときの 英語の資格試験類似でしょ
おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実用数学技能検定
1級（大学程度・一般）
検定の内容
解析：微分法、積分法、基本的な微分方程式、多変数関数（偏微分・重積分）、基本的な複素解析
線形代数：線形方程式、行列、行列式、線形変換、線形空間、計量線形空間、曲線と曲面、線形計画法、二次形式、固有値、多項式、代数方程式、初等整数論
確率・統計：確率、確率分布、回帰分析、相関係数
コンピュータ：数値解析、アルゴリズムの基礎
その他：自然科学への数学の応用など
288:１３２人目の素数さん
20/09/08 16:17:00 /5kzKRHO.net
>>246
瀬田君が工学部卒でないことは分かる。
どう考えても、瀬田君に大学に合格する能力はない。
簡単な等確率の考え方や級数 Σ_{k=1,2,…,+∞}(9/10)^k の計算が出来ないのに大学に合格出来る訳ない。
50代、60代なら尚更。
289:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 16:44:17.78 eqr8yurO.net
>>247 追加
>電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
微分形式 [物理のかぎしっぽ]
(抜粋)
ユークリッド空間とミンコフスキー空間上の
290:微分形式 † ストークスの定理再々考（Joh著） 四次元の微分形式（Joh著） ミンコフスキー空間上の微分形式（Joh著） マックスウェル方程式への応用（Joh著） http://hooktail.sub.jp/differentialforms/DiffFormsMaxwellsEq/ マックスウェル方程式への応用 (抜粋) 三次元ユークリッド空間上の微分形式 最初に，微分形式の復習も兼ねて，三次元ユークリッド空間上で次のような一次微分形式 E,J と二次微分形式 B を考えてみます． 確かに，微分形式を使ってマックスウェルの方程式を表現することは出来ましたが，特にこのように書く旨味はあまり感じられませんね．三次元ユークリッド空間上で考えている限り，マックスウェルの方程式はこれ以上は簡単になりません．しかし， x,y,z と t を一緒にして， ミンコフスキー空間 上で考えることで，驚くほど美しく，簡単な表現に帰着します．次セクション以降で，そのことを見ていきます． ミンコフスキー空間で表現してみる まず，次のような微分形式 F を考えます．これは，ミンコフスキー空間上の二次微分形式です．（おいおい見ていくように，マックスウェルの方程式は，ミンコフスキー空間上で，本当に綺麗に表現されます．） これはマックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) に他なりません．つまり，ミンコフスキー空間上の微分形式を使えば，マックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) がまとめて次のように表現できるということです． dF =0 {9} 美しい！ 真空中でのマックスウェルの方程式 真空中（自由空間中）でのマックスウェルの方程式は，微分形式を使えば dF=0 , d*F=0 という二本の式に集約できます． ここまで美しい形にまとめられたのも，まさに微分形式の威力です． ここまで，多様体というような概念はわざと避け，ユークリッド空間とミンコフスキー空間だけで微分形式を考えてきましたが，次からはいよいよ多様体上の微分形式を考えます．微分形式の威力と美しさが，読者のみなさんに少しでも伝わっていれば嬉しいです．
291:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 16:53:11.17 eqr8yurO.net
>>251
おれは、具体的な氏名の議論はしない
だが、おれの書いていることは、時枝にしろ、IUTにしろ、ここで書いていることにしろ、旧ガロアスレで書いたことにしろ
正しいと思っている
間違っているのは、おサルさんたち
（なお、間違いがあったことは認めるが、都度訂正しているよ。時枝も分からないようじゃ、なんだかなーｗｗ）
あと、下記の哀れな素人氏のスレでも同じだ
おれが書いたことは、正しいよ（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
それだけです（＾＾
（参考）
0.99999……は１ではない その12
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
292:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 17:06:26.88 eqr8yurO.net
>>253 補足
>おれは、具体的な氏名の議論はしない
議論をすることが
全く無関係な第三者の迷惑になりかねないからね
293:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:08:10.60 ojElSBRm.net
>>245
>日本及び日本人数学者をディスりたいがために・・・
>日本及び日本人数学者が悪いって発想かな
>>246
>日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ
ニッポン、ニッポンって、愛国気違いがうるさいねぇ
岡だけでなく小平を持ち出した理由って
ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？
岡と小平は役割が違うんだがね
数学が分からないくせに
ニッポン万歳！
ニッポンジン万歳！
とわめきたがる愛国白痴には
困ったもんだね
訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
ニッポン自慢したいだけだろ？
もしかして朝鮮学校の奴らにオカマ掘られた？
どうせキムチくせぇとかバカなこといったんでしょ
自分だってタクアンくせぇとかいわれたら発狂するくせに
何いってんだろう�
294:ﾋ
295:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:08:38.27 ojElSBRm.net
>>247-249
◆yH25M02vWFhP は
なぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
全然分かってないと思うね
行列式も知らん奴に分かるわけないって
296:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:10:39.21 ojElSBRm.net
>>250
>おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
学歴詐欺遊びは悪趣味だね
>数検？ いまさら、数検１級とか、
>復習してもね、面白くもなんともない
復習？ この期に及んで、まだ嘘つきつづけるのかい？
君が大学に行ってないことはもうとっくにバレれるよ
大学に行ってて、行列式を知らないとかありえないから
>セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ
君には代数幾何なんて無理
だって線形代数の初歩もわかってないんだからねえ
>おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ
「ら」？ 君は自分に仲間がいると思ってるの？
悪いけど君のような学歴詐称のウソツキピエロは他にいないよ
さ、詐欺師は他所に行ってくれ
297:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:11:34.24 ojElSBRm.net
>>253
>おれの書いていることは、
>時枝にしろ、IUTにしろ、
>・・・正しいと思っている
君は論理的に思考する能力が欠如してるから
自分の誤りには死んでも気づけないね
そんな人が数学に興味もっても間違い続けて
恥かきつづけるだけだからやめときな
>おれが書いたことは、正しいよ
>（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。
> テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
本当に、正真正銘の白痴なんだね、君は
超実数＝実数だとおもってるんだから
ウルトラフィルタ＝コーシーフィルタだとおもってるんだから
君、もしかして
「双曲平面はユークリッド平面だ！」
なんて言わないだろうね？
君のテレンスタオ発言の誤用は
そういう地獄の底レベルのものなんだよ
わかる？
298:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:16:57.02 ojElSBRm.net
>>253
>おれは、具体的な氏名の議論はしない
怖いの？
安心しなよ 誰も君みたいなDQNの命なんか奪わないって
何の意味があるの？
君がアベ・シンゾーとかならともかく只のド貧民でしょ？
299:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 18:17:38.31 eqr8yurO.net
>>255
すぐ、維新さんの本性が出るなぁ～ｗ（＾＾
>>256
>なぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
>全然分かってないと思うね
いいんじゃね？
そもそも、他人が何をどれだけ分かって、あるいは分かってないとか、それあなたの理解とか数学レベルとは何の関係もない
但し、鳥なき里の蝙蝠をするときだけに関係するんだ
おれさま、コウモリ様です。数学DRたプロ数学者に居ないところで、威張りたいもん！ ってときだに関係するよね、それってｗ、おサルさんｗｗ(゜ロ゜;
なお、ストークスの定理は、>>252に引用した [物理のかぎしっぽ] ストークスの定理再々考（Joh著）とか、その他なんでも、検索して好きなもの読めば、よかよかだよｗｗｗ
300:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:01:03.21 ojElSBRm.net
>>260
＞＞ぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
＞＞全然分かってないと思うね
＞いいんじゃね？
ベクトル解析も知らんとか技術者失格 只の工員
301:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:04:55.87 ojElSBRm.net
数学が分らん高卒バカが数学板で大卒詐称すんなよ
302:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:52:51.96 ojElSBRm.net
◆yH25M02vWFhP はまずここからやり直せ
現代数学への入門
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
303:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:54:12.71 ojElSBRm.net
◆yH25M02vWFhP にはチンプンカンプン
現代数学の基礎
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
304:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:54:33.06 uFw/N5vZ.net
>>263
このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
305:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:56:30.95 ojElSBRm.net
◆yH25M02vWFhP は見た瞬間、失神・卒倒
現代数学の展開
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
306:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:58:38.74 ojElSBRm.net
>>265
あくまでレベルという意味であげてみた
それぞれの内容についてもっといい本は他に沢山あるだろうから
自分で見つけて読めばいい
307:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 21:11:20.45 wPbjCPq+.net
>>255 補足
>訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
>ニッポン自慢したいだけだろ？
訳も分からずは、維新さん、あなた
下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:750番)-777
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
Promenade in IUT
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille)
(抜粋)
The seminar takes place every two weeks on Thursday for 2 hours by Zoom 17:30-19:30, JP time (9:30-11:30, UK time; 10:30-12:30 FR time) ? we refer to the Programme for descriptions of the talks and associated references.
Programme and schedule
September
09/24 T0 IUT Introductory Talk Collas
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
List of Participants
Niels Borne, Lille University, France;
Raf Cluckers, CNRS Lille University, France & KU Leuven, Belgium;
Benjamin Collas, RIMS - Kyoto University, Japan;
Pierre Debes, Lille University, France;
Ivan Fesenko, Nottingham University, UK;
Benoit Fresse, Lille University, France;
Julien Hauseux, Lille University, France;
Yuichiro Hoshi, RIMS - Kyoto University, Japan;
Fumiharu Kato, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Arata Minamide, RIMS - Kyoto University, Japan;
Shinichi Mochizuki, RIMS - Kyoto, Japan;
Wojciech Porowski, Nottingham University, UK;
Lorenzo Ramero, Lille University, France;
Koichiro Sawada, Osaka University, Japan;
Shota Tsujimura, RIMS - Kyoto University, Japan;
Yasuhiro Wakabayashi, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Seidai Yasuda, Osaka University, Japan (TBC);
Shigetoshi Yokoyama, Gunma University, Japan;
308:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 21:22:26.22 wPbjCPq+.net
>>265
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
例えば、フェルマー（谷山志村の解決）、ポアンカレ予想の解決、物理ストリング理論と数学との関係（ソリトンなども）、森先生や広中先生のフィールズ賞に繋がる話も抜けているし
いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
はっきり言って、視点が古すぎると思うよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。
309:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 21:28:16.61 wPbjCPq+.net
>>266
笑えるわ
アホザル
下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
お前読めなかったじゃんか～！ ｗｗｗｗｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波講座 現代数学の展開
(抜粋)
9．確率解析：重川一郎
310:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 21:31:07.49 wPbjCPq+.net
>>270
(引用開始)
下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
お前読めなかったじゃんか～！ ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)
はっきりしたな
ネットからコピーするだけな
311:ら、だれでもできるよな お前が、読めない、読んでない本でもさ 丸分かりだなｗｗｗｗ（＾＾
312:１３２人目の素数さん
20/09/08 22:11:42.56 jldlOMMa.net
そもそも確率論だの確率過程論だのを箱入り無数目がらみで出してくること自体まったく見当違い。
実際 The Riddle には確率のかの字も出て来ない。
箱入り無数目はThe Riddleの「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」を確率の言葉で表したに過ぎない。
瀬田、相変わらずのバカ丸出し。
313:１３２人目の素数さん
20/09/08 22:14:51.67 jldlOMMa.net
>>268
>下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
>それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
>随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
だから？
行列式もεδ論法も理解してないバカには無縁の世界
314:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 23:15:51.20 wPbjCPq+.net
>>269 追加
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
(引用終り)
決定的に抜けているのが、圏論だね
圏論は、大きく三つの方向があると思う
一つは、代数幾何に代表される方向（含む数論幾何）
一つは、ロジック系（竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』や清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』など）
一つは、計算機科学
圏論をどう扱うか難しいが、雪江明彦の代数３でも扱っていたな。なんか要るよね。いまどきの論文結構圏論出てくる（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。
他の分野への影響
カテゴリカル・ロジックは現在、型理論に基づいて、直観主義的論理のためにうまく定義された分野である。そして、これの応用として関数型プログラミングの理論および領域理論がある。これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。
参考文献
竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』日本評論社、1978年1月。ISBN 4-535-78109-5。
清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』東京大学出版会、2007年12月。ISBN 978-4-13-012057-9。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
高次圏
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
トポス (数学)
315:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:07:15.77 RmImPufM.net
>>269
相変わらずの分不相応なはったり発言は無視して
>いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
行列式も分からん人にテンソルは無理
現代数学への入門「行列と行列式」あたりからやり直そうね
あ、やり直しじゃなくてはじめての学習か
大阪大学、入れすらしなかったもんね
大阪大学卒なら、行列式くらい常識で知ってるから、残念っ！
316:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:15:22.76 RmImPufM.net
>>270-271
＞下記、重川一郎 先生、覚えているかい？
しらん（バッサリ）
だいたい数学者にセンセイとかつける時点で素人丸出し
数学科の学生は数学者にセンセイなんてキモチワルイ敬称つけないよ
＞時枝で、重川一郎の確率論・確率過程論のPDFを紹介したら
それ、紹介間違いだね
＞ネットからコピーするだけなら、だれでもできるよな
って自ら白状してるように、ド素人が中身も全く理解せずに
「なにかしらないけど有難いお経だろう」とばかりに
コピペするのは始末悪いよな
般若心経を意味も知らずに丸暗記するようなもの
数学は仏教じゃないけどな
確率過程とか全然関係ない 時間進展しないし
そもそも何が確率変数かすら誤解する君に
時枝が正しく理解できるわけないよ
数学以前に国語からやり直したら
いや、むしろ文章を読む精神的落ち着きが必要か
あなた、ADHDでしょ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
317:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:24:05.77 RmImPufM.net
>>274
＞圏論は、大きく三つの方向があると思う
＞一つは、代数幾何に代表される方向（含む数論幾何）
＞一つは、ロジック系（竹内外史『層・圏・トポス 現代的集合像を求めて』や清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』など）
＞一つは、計算機科学
ロジックと計算機科学を分ける意味ないけどな
それはさておき
代数幾何は圏論だけじゃ全然ダメだね
少なくとも、層、それも連接層が必要
君、連接層の定義、知らないでしょ？
それじゃ、代数幾何なんか初歩から無理だよ
全然計算すらできないじゃん
ま、連接層も分からないんじゃ
グロタンディクの”エタ―ル”の考えなんか
わかりようがないよな
だいたい、行列式も外微分も分からない人に
コホモロジーなんか分かるわけないじゃん
まず線形代数、それからベクトル解析・微分形式な
ああ、別に電磁気学とか解析力学は必要ないぞ
それ、数学じゃないからな
別に仕事のために、やったっていいけど
318:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:30:25.17 RmImPufM.net
それにしても◆yH25M02vWFhP は行列式に対して
見事なまでに無反応だね
きっと計算式が全てだと思ってるんだろうね
それじゃ外微分わかるわけないわｗ
だって外積からして全然わかってないでしょ
行列式は外積で定義されるんだけどね わかるかな？が・い・せ・き
母方の親戚じゃないよｗ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
319:現代数学の系譜 雑談
20/09/09 06:33:20.05 ooZO5lQ5.net
>>269
>ソリトンなども
調べると、ソリトンは、「現代数学の流れ1」に入っているね
神保道夫先生が、書いているな
でさ
おサルは、全くこれに突っ込めないよね、アホが
ということは、おサルは、自分が引用した「岩波講座 現代数学への入門」の内容を全く知らずに、コピペしていましたってこと、丸分かりのアホってことだなｗｗｗｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波講座 現代数学への入門
現代数学の流れ 1 1996年3月 1999年4月 上野健爾，砂田利一，深谷賢治，神保道夫
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
岩波
現代数学への入門
現代数学の流れ 1
目次
第5章 よみがえる19世紀数学（神保道夫）
§5.1 古代史と数学
§5.2 ソリトンの発見
(a) KdV方程式
(b) 線形と非線形
(c) ソリトン解
§5.3 ソリトン理論の展開
(a) 逆散乱法
(b) ソリトン方程式
(c) 可積分系
(d) ラックス表示
(e) KdV階層と擬微分作用素
(f) 広田の方法
§5.4 古典数学の再生
(a) 準周期解
(b) 再発見
(c) 埋もれた遺産
§5.5 パンルヴェ方程式の復活
(a) イジング模型
(b) パンルヴェの方程式
(c) モノドロミーを保存する変形
§5.6 20世紀の数学
320:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:38:51.21 RmImPufM.net
>>268
＞仏 Lille 大学が応援に入ったよ。
やっぱりこの人、数学界が分かってないね
個人じゃなく大学名を挙げるところが数学者に対する侮蔑
ある人がた・ま・た・まそこの大学に所属してるというだけのこと
大体なんかのコンフェレンスに出たからといって
そこの主催者の学説の正当性を認めている、ということにはならない
ゲーデルみたいに「ヒルベルト・プログラム 無理ですわ」みたいな
発表しちゃう人もいるわけだしｗ
ちなみにゲーデルはそもそもヒルベルト・プログラムを実現しようとしてたが
その中で真理の定義の算術化が必要であること、そしてもし算術化が可能だとすると
矛盾が生じることに気づいてしまった
賢い人は、自分の予見に反することでもちゃんと気付けるんだよ
君みたいに自分に予見を絶対に正しいと信じて暴走し
崖からダイブして地面に激突しする大馬鹿なことにはならない
321:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:42:53.48 RmImPufM.net
岩波講座って、論理学を数学の外に追い出してる点が残念なんだよな
ま、岩波は数学基礎論ってテキストも出版してるけどね
URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
322:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:47:32.57 RmImPufM.net
>>279
素人にいきなりソリトンは無理
まず行列式から勉強しよう
ホント、マジで
323:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/09 06:52:05 ooZO5lQ5.net
>>275
>行列式も分からん人にテンソルは無理
行列式とテンソルとは、殆ど脈絡がないぞｗ
>>276
>確率過程とか全然関係ない 時間進展しないし
時間は、数学では抽象化されているでしょ（下記）
離散時間 T = {1, 2, 3, …}で、→∞ とすれば、これ時枝の可算無限個の箱だろ、アホやな～
状態空間 Sで、ユークリッド空間 R^dで一次元とすれば、これRは箱に任意の実数を入れる話と合う。アホやな～（＾＾
おサルは確率論・確率過程論が、サッパリってことが ばればれ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
確率過程
普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, …} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 R^d や整数 Zを考える。
(引用終り)
>そもそも何が確率変数かすら誤解する君に
>時枝が正しく理解できるわけないよ
時枝については、いまや形勢は完全に逆転した
時枝が分かっていないのは、おサルさん、あなたですよ（＾＾
324:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/09 07:19:02 ooZO5lQ5.net
>>277
>ああ、別に電磁気学とか解析力学は必要ないぞ
>それ、数学じゃないからな
>別に仕事のために、やったっていいけど
ちょっと古いが、「数学と物理学との交流」倉田 令二朗先生
”数学と物理学との交流”、ニュートンの昔からある
おサルは、常識の無い数学のオチコボレ
というか、”数学と物理学との交流”を知らないから、オチコボレたのじゃないかな？
「マキシム・コンセビッチ教授に聞く」下記 でも読んでみなさいよ
もっとも、おサルとは レベルが違いすぎるかもね
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.morikita.co.jp)
森北出版
数学ライブラリー27
数学と物理学との交流 POD版
河合文化教育研究所主任研究員理博倉田 令二朗(著)
（初版1972年4月刊行）
数学と物理学の二つの学問の交流の姿は，理工学を学ぶ人が一度は考えるべき課題である．
本書は，特に数学がいかにして物理学の諸法則を表現し，取り込んでいるかを記述．
1章 古典力学
2章 ベクトル解析
3章 複素変数関数
4章 フーリエ級数
5章 測度と積分
6章 フーリエ解析
7章 確率論と統計力学
8章 量子力学
URLﾘﾝｸ(www.ipmu.jp)
IPMU Interview 「マキシム・コンセビッチ教授に聞く」IPMU News?No. 4?December?2008
(抜粋)
斎藤 ウィッテン予想に出会うまでのことをお話しいただきましたが、それ以来、あなたは非常に多くの大きなテーマに関わってこられましたね。
コンセビッチ それ以前も私は多くの問題を取り上げ、まだ論文にしていない研究課題を数多く進めてきました。正直に言えば何でも屋の数学者なのです。
コンセビッチ 問題を解こうとはしません。私は自分で現状の定式化を試みるだけなのです。ウィッテン予想は、私が実際に解いた数少ない問題の一つです。
325:現代数学の系譜 雑談
20/09/09 07:31:05.07 ooZO5lQ5.net
>>255 >岡だけでなく小平を持ち出した理由って >ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？ ここ、種本があってね 下記「現代幾何学の流れ」で 加藤文元先生が、「ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理」について書いている そのP73に、1951年に小平先生が代数局面のリーマン・ロッホの定理を証明した、それに刺激を受けてセールが一般ｎ次元のリーマン・ロッホの定理を予想として出した それを、きちんと証明したのが、ヒルツェブルフだと書いてある それを読んだから、”セールの前に小平先生がいる”と、書いたわけだ（＾＾ （参考） https://www.hmv.co.jp/artist_%E7%A0%82%E7%94%B0%E5%88%A9%E4%B8%80_200000000330595/item_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%B5%81%E3%82%8C_3216277 現代幾何学の流れ 日本評論社 2007年10月 砂田利一 内容詳細 １９５０年代以降の幾何学の発展の様子を、研究に関わった数学者１８人にスポットを当てて紹介する。現代幾何学に至るまでの概要を理解できるとともに、これからの幾何学発展の方向性がわかる１冊。 【著者紹介】 砂田利一 : １９４８年東京で生まれる。１９７２年東京工業大学数学科を卒業、１９７４年東京大学大学院理学系研究科修士課程修了。名古屋大学、東京大学、東北大学にて教授を歴任し、現在は明治大学理工学部教授（本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理 ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch?Riemann?Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてグロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（英語版）およびアティヤ＝シンガーの指数定理がある。
327:現代数学の系譜 雑談
20/09/09 07:32:49.91 ooZO5lQ5.net
おサルは、数学の知識の絶対量が不足しているね、アホやな
328:現代数学の系譜 雑談
20/09/09 07:37:19.79 ooZO5lQ5.net
雑多な知識を、闇雲に詰め込んでも仕方ない
が、ある程度の知識は、必要
それも、体系化されて、いろんな分野との繋がりを理解してね
自分で、自分なりに考えることも必要
おサルは、何にもないｗｗｗ（＾＾
329:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/09 07:53:13 ooZO5lQ5.net
>>269 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。
(引用終り)
これみて、古いなと思うのは、いまどきのPC環境でなら、行列とか数式処理とか、軽くやれる
Mathematicaとかね
そして、21世紀の現代社会で扱う行列のサイズが、とても大きいこと。人間の手でやれるレベルを超えているってこと
群論もそう。群論ソフトがあるよね。そういう話が抜けていると思う
あるいは、下記”On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and its applications Kirti Joshi April 24, 2020”
を、ちらっと見ると、結構具体的な計算を、大量にしている
ああ、これ数式処理ソフト使っているなと思った。もう、そういう時代なんだなと思ったわけ
だから、岩波シリーズには、そういう視点が欠けているなと、思うわけです（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Mathematica
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and
its applications
Kirti Joshi
April 24, 2020
P18
Table 4.1: Fragment of data on unamphoricity of discriminants of anabelomorphic
fields. Let L =
330:Q(ζ9,√9 a) the table lists pairs [a, v(dL/Qp)] P48 Let E : y2 = x3 + 3x2 + 9 and EK and EL be as above. Let ? be the minimal discriminant (over the relevant field), P51 Table 21.3: Fragment of data on weak unamphoricity of numerical invariants of elliptic curves
331:粋蕎
20/09/09 11:54:32.20 vXPCbZUQ.net
そもそも猿MaraオナホしごきPapiyas第六天(=他化自在天)魔王はPDFを読み通しとらんじゃろ
見なさいよと言われて見る人間もとい魔族ではない
332:現代数学の系譜 雑談
20/09/09 16:16:20.12 mY76z1dO.net
>>289
>そもそも猿MaraオナホしごきPapiyas第六天(=他化自在天)魔王はPDFを読み通しとらんじゃろ
>見なさいよと言われて見る人間もとい魔族ではない
どうも
そこは同意
そもそも、自分で引用する文典でさえ
おそらく読みも、あるいは理解していない・理解できない
虚勢のこけおどしです
それ、丸見えですね、アホサルですね（＾＾；
333:１３２人目の素数さん
20/09/09 16:54:30.24 5ULagWCi.net
その猿はアンタの数千万倍有能だけどな
334:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:06:19.47 RmImPufM.net
>>283
>行列式とテンソルとは、殆ど脈絡がないぞｗ
ああ、やっぱり全然分かってないですね
まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです
335:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:10:31.71 RmImPufM.net
>>283
時枝に関する◆yH25M02vWFhPの初歩的誤解の指摘はこちら
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:166番)
336:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:13:13.35 RmImPufM.net
>>284
無意味
>>285
>ここ、種本があってね
種本があっても、◆yH25M02vWFhPは
中身を全く理解してないから無意味
リーマン・ロッホは、連接性とは別の話
ヒルツェブルフなら微分可能多様体の符号数定理につながる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ま、しかし、そもそもベクトル解析すら分かってない
◆yH25M02vWFhPにはチンプンカンプン
特性類なんて知らないだろ？
ああ、知らなくて結構
◆yH25M02vWFhPには決して理解できないから
337:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:17:00.26 RmImPufM.net
>>286
◆yH25M02vWFhPは数学の論理が分かってないから
いくらネットで「知識」を得ても
自分勝手な妄想して間違うだけ
>>287
ネットで闇雲に知識を詰め込んでも無駄
◆yH25M02vWFhPはは論理が全くわかってないから
つながりを自分勝手にでっちあげて妄想し
それが全部嘘っぱちだから間違い続けるだけ
>自分で、自分なりに考えることも必要
定義も読まずに文面だけで勝手に妄想するが
ことごとく見当違い
自分の直感を過信したら🐎🦌の沼で溺れ死ぬ
338:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:18:14.24 RmImPufM.net
>>288
>いまどきのPC環境でなら、
>数式処理とか、軽くやれる
>Mathematicaとかね
>群論もそう。群論ソフトがあるよね。
>ちらっと見ると、結構具体的な計算を、大量にしている
>ああ、これ数式処理ソフト使っているなと思った。
結局、◆yH25M02vWFhPにとって
数学とは「数式処理」かｗ
要するに、計算しか能がない「計算🐎🦌」か
だったら、行列式くらい理解しろよ ダラズが
339:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:21:17.97 RmImPufM.net
>>291
数千万倍どころか、いかなる自然数ｎをもってきてもｎ倍では追いつかない
なぜなら、０を何倍しても０だからｗ
◆yH25M02vWFhPの数学的能力は、ゼロ！！！
340:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:44:13.33 RmImPufM.net
行列式の計算
URLﾘﾝｸ(techtipshoge.blogspot.com)
行列式の定義式しか知らない馬鹿は、計算に無駄な手数をかける
しかし行列式の値を変えずに上三角行列に変換すれば
対角成分の積だけで計算できて�
341:ｵまう こんなの大学で線形代数を学んだ学生は皆知ってるが ◆yH25M02vWFhPは大学に受からなかった馬鹿だから全然知るまい（嘲）
342:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/09 23:43:31 ooZO5lQ5.net
>>227 再録
題目 『 曲面の小平理論 』 URLﾘﾝｸ(youtu.be)
資料 配布資料 (PDF) URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014
(>>229)
P13
3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理
関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べ
るような使いやすい形で述べたのは Leray である。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
(引用終り)
ここ大事
「3 層とそのコホモロジー
２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。」
「古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。」
秋月先生も同じことをいう
（>>87より）
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
多様体の概念について(秋月康夫)科学基礎論研究January1955
(抜粋)
かかる不定域イデアルとか,層とかい
うような概念が生み出されざるを得なかった根本的な因
由は,実にn≧2なることに存する.n=1ならば問題は
なかった.η=1ならば,複素直線(即ちガウス平面)
の完備化(無限遠点を追加して閉じた面とする)は唯一通りよりなくわれわれの慣れている数球面(即ち射影直
線)を取ることであるに対し,n≧2の場合には複素アフィン空間の完備化は幾通りにも可能である.というよ
うに,n=1とn≧2とでは根本的な差があるのである.
(引用終り)
つづく
343:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/09 23:43:59 ooZO5lQ5.net
>>299
つづき
この話で、佐藤超関数を思い出す
一変数なら、簡単に一変数正則函数との境界上での「差」で定義できるが
しかし、多変数になると、オリジナルの佐藤理論では、層係数コホモロジー理論を使う必要があった（下記、片岡 清臣）
これは、是非覚えておくべき
層の理論は、上記 秋月康夫にあるように、”n≧2”で威力を発揮するということを！！（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
超局所解析と代数解析を巡って
片岡 清臣
２０１７年３月２１日，於：東京大学大学院数理科学研究科
(抜粋)
P4
１変数の佐藤超関数f(x)は
f(x) = F+(x + i0) F(x -i0)
と解析関数F±(z)を使って書けて直観的にもわかり易い．
しかしn変数佐藤超関数は
B(Rn) := HnRn(Cn; OCn)
のように解析関数の層OCnを係数とし，実軸Rnに台をもつ相対コホモロジー群の元として定義される．
従って，理解するには，多変数解析関数の基本的性質 + 層係数コホモロジー群の消滅定理
などかなりの予備知識が必要．
(引用終り)
以上
344:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/09 23:46:28 ooZO5lQ5.net
>>291
＞その猿はアンタの数千万倍有能だけどな
証明は？
有能の定義？
”数千万倍”？ 測度が定義されていないでしょｗ（＾＾
345:現代数学の系譜 雑談
20/09/10 00:12:11.84 5cvoq+AD.net
>>292
＞したがって、行列式はテンソルです
あほサルがｗ
下記でも嫁め
特に、「1.1.8 ベクトルとテンソルの概念に関する簡単な歴史」
これ、すぐれものですよ！（＾＾
URLﾘﾝｸ(dyna.geo.kyushu-u.ac.jp)
地球惑星数理演習 九州大
URLﾘﾝｸ(dyna.geo.kyushu-u.ac.jp)
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
目 次
第 1 章 ベクトル・テンソル解析 3
1.1 ベクトルとテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 テンソルとは何だろうか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.8 ベクトルとテンソルの概念に関する簡単な歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.1.8.1 18 世紀まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1.8.2 ハミルトンの四元数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1.8.3 19 世紀前半～ハミルトンの同時代人 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.1.8.4 グラスマンとコーシー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.1.8.5 1860?70 年代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.1.8.6 ギブスとヘビサイドによる現代ベクトル解析の創始～1880 年代 . . . . 71
1.1.8.7 1890 年代前半の生存競争 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.1.8.8 現代的なベクトル解析の誕生～1894?1910 年 . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.1.8.9 テンソル概念の歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
346:１３２人目の素数さん
20/09/10 02:16:30 e23m6Bgx.net
>>283
じゃあ確率論・確率過程論でThe Riddle不成立を証明してみて
The Riddleは確率のかの字も使ってないけどがんばってね～
The Riddleを認めるなら箱入り無数目も認めるしかない
何故なら箱入り無数目は、The Riddleの「100人の数学者のうち99人以上が勝つ」を確率の言葉で言い換えただけだから
347:１３２人目の素数さん
20/09/10 02:21:21 e23m6Bgx.net
Prussは1週間で間違いを認めた。
「we win with probability at least (n-1)/n. That's right.」
5年経っても認められない瀬田はピエロ。
348:１３２人目の素数さん
20/09/10 06:05:46.54 9gEGQrRx.net
>>299-300
素人は文章だけで自由連想するしかできないから間違い続ける
哲学
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
哲学への批判 数学からの批判
数学者田中一之は
一般の哲学者は、論理の専門家ではない。
と述べ、計算機科学者（コンピュータ科学者）・電子工学者
トルケル゠フランセーンは、哲学者たちによる数学的な言及の多くが
ひどい誤解や自由連想に基づいている
と批判している。
田中によると、ゲーデルの不完全性定理について哲学者が書いた本が、
トルケル・フランセーンの本と同じ頃に書店販売されていたが、
哲学者の本は専門誌によって酷評された。
その本は全体として読みやすく一般読者からの評判は高かったが、
ゲーデルの証明の核（不動点定理）について、根
本的な勘違いをしたまま説明していた。
同様の間違いは他の入門書などにも見られる。
フランセーンによれば、不完全性定理のインパクトと重要性について、しばしば大げさな主張が繰り返されてきた[55]。たとえば
「数学の思考に変革をもたらした」「数学ばかりでなく、科学全体も一新した」 「数学だけではなく、哲学、言語学、計算機科学と宇宙論にまで革命を起こした」
という言があるが、これらは乱暴な誇張とされる[55]。不完全性定理が一番大きな衝撃を与えたと思われる数学においてさえ、「革命」らしきものは何も起きていない[55]。1931年にゲーデルが示した「不完全性定理」とは、「特定の形式体系{\displaystyle P}Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない[56]。
349:１３２人目の素数さん
20/09/10 06:13:02.22 9gEGQrRx.net
>>302
＞嫁め
君こそ「読め」 決して嫁むなｗ
◆yH25M02vWFhP への宿題
１．テンソルを数学的に定義せよ
２．行列式を数学的に定義せよ
３．行列式の数学的な定義が、テンソルの数学的な定義を満たすことを示せ
で・き・る・か・な 大学に入れなかったトーシロ―君ｗ
350:１３２人目の素数さん
20/09/10 06:21:26.28 9gEGQrRx.net
>>303-304
時枝に関する◆yH25M02vWFhPの初歩的誤解の指摘はこちら
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:167番)
351:１３２人目の素数さん
20/09/10 06:25:20.61 9gEGQrRx.net
◆yH25M02vWFhPの数学板への書き込み、とかけて
秋元真夏（乃木坂４６）の歌、と解く
その心は・・・
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
オレは白石麻衣かｗ
352:１３２人目の素数さん
20/09/10 06:29:32.95 9gEGQrRx.net
それではお口直しにこの曲をお聞きください
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
＞こんなに歌上手い子が
＞ カレーに酢飯入れたり、
＞ 温度計のカバーを外さず直接油の中に入れたり、
＞ ぶりっ子してたり、
＞ やってる人だったり、
＞ カップラーメンが作れなかったり、
＞ にいまるという訳の分からないキャラクターを作ったり、
＞ Switchのあつまれどうぶつの森を300時間してる人
＞とは思えない
わはははははは
353:１３２人目の素数さん
20/09/10 06:35:24.91 9gEGQrRx.net
おまけ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
354:現代数学の系譜 雑談
20/09/10 06:37:05.39 5cvoq+AD.net
>>301
＞その猿はアンタの数千万倍有能だけどな
なるほど
ｅ^{(芸能知識)x(数学ずっこけ)x(人をディする技)x(特に日本及び日本人数学者をディする)x(笑いをとる)x(ヒキコモリ)x(無職無収入で暮す技)}
たしかに、数千万倍かもねｗｗｗ（＾＾；
355:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/10 06:54:18 5cvoq+AD.net
>>302 追加
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Tensor
8 History
History
The concepts of later tensor analysis arose from the work of Carl Friedrich Gauss in differential geometry, and the formulation was much influenced by the theory of algebraic forms and invariants developed during the middle of the nineteenth century.[28] The word "tensor" itself was introduced in 1846 by William Rowan Hamilton[29] to describe something different from what is now meant by a tensor.[Note 3] The contemporary usage was introduced by Woldemar Voigt in 1898.[30]
Tensor calculus was developed around 1890 by Gregorio Ricci-Curbastro under the title absolute differential calculus, and originally presented by Ricci-Curbastro in 1892.[31] It was made accessible to many mathematicians by the publication of Ricci-Curbastro and Tullio Levi-Civita's 1900 classic text Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications (Methods of absolute differential calculus and their applications).[32]
In the 20th century, the subject
356: came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann.[33] Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915?17, and was characterized by mutual respect: I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. ??Albert Einstein[34] つづく
357:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/10 06:54:42 5cvoq+AD.net
>>312
つづき
Tensors were also found to be useful in other fields such as continuum mechanics. Some well-known examples of tensors in differential geometry are quadratic forms such as metric tensors, and the Riemann curvature tensor. The exterior algebra of Hermann Grassmann, from the middle of the nineteenth century, is itself a tensor theory, and highly geometric, but it was some time before it was seen, with the theory of differential forms, as naturally unified with tensor calculus. The work of Elie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics.
From about the 1920s onwards, it was realised that tensors play a basic role in algebraic topology (for example in the Kunneth theorem).[35] Correspondingly there are types of tensors at work in many branches of abstract algebra, particularly in homological algebra and representation theory. Multilinear algebra can be developed in greater generality than for scalars coming from a field. For example, scalars can come from a ring. But the theory is then less geometric and computations more technical and less algorithmic.[36] Tensors are generalized within category theory by means of the concept of monoidal category, from the 1960s.[37]
(引用終り)
以上
358:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/10 06:57:53 5cvoq+AD.net
>>313
(>>292より）
＞したがって、行列式はテンソルです
笑えるｗｗ（＾＾；
359:現代数学の系譜 雑談
20/09/10 07:25:08.00 5cvoq+AD.net
突然ですが
（>>32 再録）
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.rs.tus.ac.jp)
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
代数学３ 加群論 (2019)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b [x
c d ] , y ])
→
[a b [ x
c d ] y ]
=
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.
P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.
P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) → a(
360:b mod n) := ab mod n とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき ∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M であるから, M から一次独立な元はとることができない. 問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ. 問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき (1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である. (2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない. ことを示せ. 略解. （略） 前スレより再録 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/590 https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/nomura060730.pdf 行列の世界で代数・幾何・解析 九州大学公開講座 「現代数学入門」 （2006年7月30日） 野村隆昭 （九州大学 大学院数理学研究院 教授） (抜粋) P27 （え）n次正定値4元数エルミート行列全体(n=2) 4元数を成分とするn次正方行列X=(xij)で，すべてのi,j （ただし1<=i<=j<=n）に対してxji=xijとなるとき，Xを4元数エルミート行列と言います． （お）3次正定値8元数エルミート行列全体 8元数を成分とするn次正方行列X=(xij)で，すべてのi,j（ただし1<=i<=j<=n）に対してxji=xijとなるとき，Xを8元数エルミート行列と言います． (引用終り)
361:現代数学の系譜 雑談
20/09/10 10:04:57.09 pX4bxpjH.net
自分の大失言を、取り繕うため、必死に他人のあら探ししてる～ｗ
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
「したがって、行列式はテンソルです」？
なんじゃ、そりゃ？
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
（ｽﾚﾘﾝｸ(math板:131番)より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
362:現代数学の系譜 雑談
20/09/10 10:06:31.75 pX4bxpjH.net
やれやれ、頭くさってんのか？
アホも、ここまでくれば、名人芸だな
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
363:１３２人目の素数さん
20/09/10 12:06:49.20 e23m6Bgx.net
早く確率論・確率過程論でThe Riddle不成立を証明して下さいねー
364:１３２人目の素数さん
20/09/10 12:09:27.18 e23m6Bgx.net
The Riddleは確率は一切使ってないのに確率論・確率過程論で否定できると聞いてどんな証明なのか首を長くして待ってますから、早くお願いしますねー
365:１３２人目の素数さん
20/09/10 19:10:55.06 9gEGQrRx.net
>>316-317
＞行列式
＞n-次外積の普遍性により、
＞行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で
＞単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。
じゃ、テンソルじゃん
◆yH25M02vWFhP そんなことも理解できないパクチー野郎なの？
脳味噌、💩なの
366:粋蕎
20/09/10 19:43:09.43 xYowPdSr.net
ん？
言うたらテンソルやな
の、乗り。M1が始まったか？
367:現代数学の系譜 雑談
20/09/11 07:48:52.84 dt7uB+gp.net
ディープラーニングのテンソルと、物理学のテンソルと、数学の代数のテンソルと、それぞれ意味（定義）が微妙に違う（＾＾；
�
368:Eディープラーニングのテンソルは、下記のブログの通り、単に多次元の数の配列で、それをコンピュータプログラムとして計算するための意味 ・物理学のテンソルは、下記の「ベクトルとテンソル （吉田）」にあるように、具体的な物理現象を解析するための道具で、主にテンソルの成分表示を使う （この意味のテンソルでは、”[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない”とあるように、ディープラーニングよりも制限された意味になる） ・代数のテンソルの定義は、成分表示を使わない（下記 テンソルwikipedia、雪江の代数本にも出ている ） （これは、上記の物理学のテンソルと一致するが、（吉田）よりヘルマン・ワイルのご意見（『空間・時間・物質』）も引用しておいたので、ご参照ください） （参考） https://blog.apar.jp/deep-learning/12121/ あぱーブログ ディープラーニングの数学「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」とは？ (抜粋) ディープラーニングの解説では「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」という言葉がよく出てきます。これらは、数値をまとめてあつかうための数学の便利な仕組みなのですが、私をふくめ数学が苦手な方にとっては「～をベクトルにして」とか「行列とスカラーを計算するには～」と言われると、おそろしく難解なことに思えるのではないでしょうか？ そこで今回は、「スカラー・ベクトル・行列・テンソル」についてまとめてみました。 もくじ 1.スカラー 2.ベクトル 3.行列 4.テンソル 5.おわりに つづく
369:現代数学の系譜 雑談
20/09/11 07:49:11.63 dt7uB+gp.net
>>322
つづき
4.テンソル
スカラー（単なる数値）を、タテにならべたりヨコにならべたり（ベクトル）、タテヨコにならべたり（行列）、タテヨコナナメなど複数に並べもの（３次元以上の配列）をまとめて「テンソル」と呼びます。
スカラー、ベクトル、行列もテンソルのひとつなのですが、テンソルという言葉で表すと次のようになります。添字の数すなわちプログラムで言うところの配列の次元数がそのままテンソルの階数になります。
スカラー（０次元の配列） ０階のテンソル
ベクトル（１次元の配列 １階のテンソル
行列（２次元の配列） ２階のテンソル
（３次元の配列） ３階のテンソル
（４次元の配列） ４階のテンソル
・・・
（X次元の配列） X階のテンソル
３次元以上の配列は決まった呼び方がありませんので、３階のテンソル、４階のテンソルのように表現します。
例えば「３階のテンソル」すなわち「３次元の配列」を Python で表すと次のようになります。
つづく
370:現代数学の系譜 雑談
20/09/11 07:49:36.81 dt7uB+gp.net
>>323
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル
目次
1 いくつかのアプローチ
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
2.2 テンソル積に基づく定義
（>>302より）
URLﾘﾝｸ(dyna.geo.kyushu-u.ac.jp)
地球惑星数理演習 九州大
URLﾘﾝｸ(dyna.geo.kyushu-u.ac.jp)
ベクトルとテンソル （吉田） v10.0 2020/03/14
P3
1.1 ベクトルとテンソル
。1.1.6 節では、ここまでの学
習を踏まえて、物理学の世界と数学の世界をどう結ぶのかを改めて考え直す。普段はあまり気
にしなくても良いのだが、物理学においては、性質（たとえば単位）の異なるベクトルを同じ
図の上に書くことが良くある。でも本当は、単位が違うものは同じ空間に属してはいない。そ
のような問題を考えてゆく。1.1.7 節は正規直交座標系ではない座標系の取扱いである。
ベクトルとテンソルの定義の仕方にはいろいろな流儀があるのだが、あまり一般的にしすぎ
ると抽象的になりすぎるので、物理学で一番よく使われるであろう形でまず定義をする。ただ、
それだけだと狭くなる意味もあって、後から拡張してゆく。まず、ベクトルは矢印、テンソル
はベクトルからベクトルへの線形関数（比例関係を表す）であると定義する。それだけだとベ
クトルとテンソルは全く別のものということになるのだが、実際は共通する性質があって、ベ
クトルもテンソルの一種だととらえられることを説明してゆく。
さらに、ここで考えるのは３次元ユークリッド空間に限ることにする。座標系もほぼデカル
ト座標に限る。
つづく
371:現代数学の系譜 雑談
20/09/11 07:49:56.01 dt7uB+gp.net
>>324
つづき
P11
1.1.1.4 [参考] 「矢印」ではないベクトルについて
1.1.1.1 節でも触れたとおり、ベクトル空間（線形空間）という概念は「矢印」を超えて拡張
できる。数学では、「矢印」のような具体的なイメージのあるものを用いてものごとを定義して
しまうと、拡張性が制限されることになるのでできるだけ避けようとする。そこで、1.1.1.1 節
の最後の方で説明したように、簡単に言えば、和と定数倍が定義できるということだけを抽象
的にベクトル空間の定義として用いる。さらに内積が定義されるベクトル空間のことを内積空
間という。以下に「矢印」ではない「ベクトル」の例を２つ挙げる。
1.1.1.4.1 ベクトルとしての行列 m × n 行列が作る空間 M(m, n) は mn 次元の線型空間で
ある。和と定数倍が自然に定義されるからである。基底としては、第 i 行、第 j 列の成分のみ
が 1 でそれ以外の成分が 0 という行列 eij を取ることができる。
この意味では、行列もベクトルだという言い方ができる。しかし、このように行列をベクト
ルと言ってしまうと、座標変換行列やテンソルもベクトルということになって、本講義では大
混乱を招くことになってしまう。本講義では「ベクトル」は「矢印」しか指さないということ
にする。本講義（テンソル解析）の用語では、座標変換行列はベクトルではなく、後述のよう
にベクトルは１階のテンソルともいえるが、それ以外のテンソルはベクトルではない。
1.1.1.4.2 ベクトルとしての関数 関数もベクトルだと考えることもできる（詳しくは、関数
解析の教科書を参照すること）。本講義でも、第２章の１回目でそのような考え方が出てくる。
関数にも和やスカラー倍が定義できるし、内積とか座標変換も考えられる。関数が作るベクト
ル空間を関数空間と言う。
1.1.2 テンソルとは何だろうか？
テンソルとは、数学的にはどういう量であるべきだろうか？ここでは、具体的な例として地
下水の流れに関係する浸透率テンソルと岩石の変形に関係する変形勾配テンソルの２つを導入
することからテンソルが持っている性質を考えてゆくことにする。
つづく
372:現代数学の系譜 雑談
20/09/11 07:50:17.05 dt7uB+gp.net
>>325
つづき
P21
1.1.2.10 テンソルの座標変換による定義～テンソルの古典的定義
テンソルを成分の座標変換規則をもって定義することができる。こ
れがテンソルの古典的な定義である。
ベクトルは、１階のテンソルという言い方もできる。０階のテンソルをスカラーと呼ぶ。スカラーは、座標変換に対して変化しない。
[注意] 行列で書けるものは、何でもテンソルというわけではない。たとえば、上の座標変換の
行列 (Rij ) は、定義からしてテンソルではない。同様に、数であれば何でもスカラーとい
うわけではない。スカラーは座標変換に対して変化しない量を指すのだから、たとえば、
ベクトル v の第１成分の v1 のような量はスカラーではない。座標変換の際に変化してし
まうからである。
しかし、このベクトルやテンソルの定義は、数学屋さん的には少し気持ち悪い。というのは、
この定義で用いられている「成分」は、1.1.1.2 節でベクトルを説明するときに解説したように、
「見かけの量」だからである。言い換えると、定義に現れている数（成分）が座標系に依存して
いる。だから、数学的には成分を使わないで（座標系に依存しない形で）定義したい。それに、
上の「注意」で述べたような単なる行列とテンソルの区別も、成分で書くと同じように見える
ので紛らわしい。そこで、先のように線形写像で定義しておくのがスマートである。
とはいえ、上のように成分を用いた定義が良い点もある*注）10。ひとつは、スカラーやベクトル
がテンソルの一種ととらえられることがはっきり分かる点であり、もうひとつは、座標変換が
直接出ているので実用的である点である。
本当のことを言えば、ベクトルが矢印で表されるように、テンソルも図を使って表される何
かであると言いたい。でも、なかなか図では描け�
373:ﾈいので、テンソルの定義がいろいろ持って 回った感じになっている。図を描こうとすると、地震学でモーメントテンソルを表すのに使う 「ビーチボール」くらいなものだが、これもトレース０の対称テンソルでないと使いづらい（「ト レース０」「対称テンソル」の意味は後述）。 つづく
374:現代数学の系譜 雑談
20/09/11 07:50:39.24 dt7uB+gp.net
>>326
つづき
*注）10：有名な数学者・理論物理学者のヘルマン・ワイルは『空間・時間・物質』の中で、成分に依らない形だけで書
こうとするのは不都合だとして、以下のように書いている。「ただテンソルそのものだけでテンソル算を書きあら
わそうという試みは、これまでしばしばあった。これは３次元空間におけるベクトル算の成分によらない表現と
似たようなものを作ろうとする試みである。しかし、著しく発展したテンソル算の大きな体系にとっては、この
ような試みはまったく不都合であることがわかった。もしわれわれが絶対に成分にたよらないようにしようとす
れば、非常に多数の名称や記号、また多くの計算の規則を導入しなければならない。その結果は意図に反して莫
大な損失をせおいこむことになる。われわれはこのようなでたらめな形式主義の跳梁に対し強く抗議しなければ
ならない。」（ちくま学芸文庫版 上巻 p.111）
P28
1.1.4 ベクトルやテンソルの積
ベクトルやテンソルには何通りかの「積」が定義されている。それらを見てゆこう。もちろ
ん内積と外積が一番普通に使われる「積」*注）15であるが、それ以外にもいくつかの「積」がある。
一般に「積」は、２つのベクトル（やテンソル）の双線型関数である。したがって、先の写
像としてのテンソルの定義によれば、テンソルの一種であるという言い方もできる。
本講義のような話の流れだと、ベクトルの基本は線型空間であるということで、積は単にそ
れに付随する演算ということになるが、歴史 (1.1.8 節) を見てゆくと、ベクトルに意味のある
積（内積や外積）が定義できるかどうかが、ベクトルの発明の上では鍵だったということがわ
かる。今から見れば、内積や外積がないと、物理学上重要なことがらが簡潔に表現できないの
で、当然といえば当然ではあるが。
*注）15：1.1.8.2 節で見るようにこれらは四元数から自然に出てくる。
(引用終り)
以上
375:１３２人目の素数さん
20/09/11 17:52:46.77 SjCJUr5o.net
>>322
>・代数のテンソルの定義は、成分表示を使わない
成分表示でしか理解できない、ってのは頭悪い
>>323
>スカラー（０次元の配列） ０階のテンソル
>ベクトル（１次元の配列） １階のテンソル
>行列（２次元の配列） ２階のテンソル
>（３次元の配列） ３階のテンソル
>（４次元の配列） ４階のテンソル
>・・・
>（X次元の配列） X階のテンソル
こんな幼稚なこと書いてるようじゃ
対称テンソルとか反対称テンソルとか
全然知らないんだろうな
行列式は反対称テンソルね
376:１３２人目の素数さん
20/09/11 18:00:09.41 SjCJUr5o.net
>>324-327
訳も分からずコピペしても腹壊すぞｗ
対称テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
反対称テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ま、素人の◆yH25M02vWFhP には、どっちの次数も計算できまいｗ
実は単純な組み合わせ論だがな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称テンソルの次数は、繰り返しを許した組合せ
反対称テンソルの次数は、繰り返しを許さない組合せ
の数と一致する
なぜかって？考えてごらんｗ
377:１３２人目の素数さん
20/09/11 18:08:01.50 SjCJUr5o.net
ま、物理狂に説明するなら
対称テンソルはボゾン
反対称テンソルはフェルミオン
だなｗ
378:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 06:31:51.16 cnqeiEp4.net
>>322 補足
>ディープラーニングのテンソルと、物理学のテンソルと、数学の代数のテンソルと、それぞれ意味（定義）が微妙に違う（＾＾；
>・ディープラーニングのテンソルは、下記のブログの通り、単に多次元の数の配列で、それをコンピュータプログラムとして計算するための意味
下記のChainer Tutorialが分り易い
「ディープラーニングのテンソルは、単に多次元の数の配列」ってこと
伝統的な物理系のテンソル演算や、数学の代数系のテンソルとは、別物ですね
扱うのは”Python で数値計算を高速に行うためのライブラリ”（下記）で、テンソルの要素 つまり各数値の配列ってことです
そして、会話でテンソルと言えば、行列（2次元）を超えた3次元以上の配列を意味する。ベクトルは1次元です
因みに、下記”NumPy”では、計算機の言語上は、”8.2. 多次元配列を定義する”にあるように、”ndarrayというクラス”で、ベクトル・行列・テンソルを統一的に扱います
（参考）
URLﾘﾝｸ(tutorials.chainer.org)
Chainer Tutorial
(抜粋)
1. はじめに
Chainer チュートリアルへようこそ。
このチュートリアルは、機械学習やディープラーニングの仕組みや使い方を理解したい大学学部生以上の方に向けて書かれたオンライン学習資料です。
5. 線形代数の基礎
5.1. スカラ・ベクトル・行列・テンソル
まず始めに、スカラ、ベクトル、行列、テンソルという 4 つの言葉を解説します。
スカラ (scalar)
ベクトル (vector) は、スカラを 1 方向に並べたものです。
行列 (matrix) は同じサイズのベクトルを複数個並べたものです。
つづく
379:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 06:33:47.76 cnqeiEp4.net
>>331
つづき
テンソル (tensor) はベクトルや行列を一般化した概念です。 例えば、ベクトルは 1 方向に、行列は 2 方向にスカラが並んでいます。これは「ベクトルは 1 階のテンソルで、行列は 2 階のテンソルである」であることを意味します。 この考え方をさらに進めて、下図のように行列を奥行き方向にさらに並べたものを3階のテンソルと呼びます。例えば、カラー画像をデジタル表現する場合、1 枚の画像は RGB (Red Green Blue) の3枚のレイヤー（チャンネルと呼びます）を持つのが一般的です。 各チャンネルは行列として表され、その行列がチャンネル方向に複数積み重なっているため、画像は 3 階テンソルとみなすことができます。 3 階のテンソルは、特定の要素を指定するのに「上から 3 番目、左から 2 番目、手前から 5 番目」のように整数（インデックス）を3個必要とします。
同様に、4 次元以上の場合でも、N 次元にスカラを並べたもの（つまり、要素を指定するのに N 個のインデックスが必要なもの）を N 階のテンソルと言います。例えば、多くのディープラーニングフレームワークでは、複数枚の画像の集まりを「画像のインデックス1つ」+「各画像のインデックス 3 つ（幅、高さ、チャンネル）」の 4 階テンソルとして表現します。 前述のようにベクトルや行列はテンソルの一種とみなすことができますが、本資料では単に「テンソル」と言った場合は3階以上のテンソルを指します。
8. NumPy 入門
本章では、Python で数値計算を高速に行うためのライブラリ（注釈1）である NumPy の使い方を学びます。 本章の目標は、単回帰分析と重回帰分析の章で学んだ重回帰分析を行うアルゴリズムをNumPy を用いて実装することです
NumPy による多次元配列（multidimensional array）の扱い方を知ることは、他の様々なライブラリを利用する際に役立ちます。
NumPy は Google Colaboratory（以下 Colab）上のノートブックにはデフォルトでインストールされているため、ここではインストールの方法は説明しません。自分のコンピュータに NumPy をインストールしたい場合は、こちらを参照してください。：Installing packages
8.2. 多次元配列を定義する
ベクトル・行列・テンソルなどは、プログラミング上は多次元配列により表現でき、NumPy では ndarray というクラスで多次元配列を表現します（注釈2）
(引用終り)
以上
380:１３２人目の素数さん
20/09/12 07:12:54.80 pEvJeedl.net
>>331
>「ディープラーニングのテンソルは、単に多次元の数の配列」ってこと
>伝統的な物理系のテンソル演算や、数学の代数系のテンソルとは、別物ですね
💩野郎 ◆yH25M02vWFhP 毎度恒例の見苦しい言い訳ｗｗｗｗｗｗｗ
テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多次元配列として定義しようが、
多重線型写像として定義しようが、
テンソル積を用いて定義しようが、
結局同じこと
見た目の表現しか分からない🐎🦌には
死んでも理解できまいｗｗｗｗｗｗｗ
381:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 08:07:51.26 cnqeiEp4.net
>>317 追加
>（>>292より）
382:>「まず、テンソルは多重線形写像です > 次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です > したがって、行列式はテンソルです」 下記、”多重線型代数”で、「テンソル代数」と「外積代数」とは、峻別されています 「6 行列式」は、外積代数の外冪で定義されるから、明らかに「外積代数」の概念です ”行列式はテンソルです”という主張は、「テンソル代数」と「外積代数」との区別ができておらず、「多重線形写像」という言葉の上っ面だけで反応した アホ発言です なんか、いろんなところから、つまみ食いして貼るのは良いが、全然理解できていないこと、丸分かり（＾＾； 虚勢のこけおどし丸見えで、笑える（＾＾ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0 多重線型代数 多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。 2.1.1 テンソル代数 2.1.2 対称代数 2.1.3 外積代数 6 行列式 行列式 詳細は「行列式」を参照 Kn の n 次外冪 ∧^nKn は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kn における体積要素の空間と見なせる。 Kn 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧^nKn 上に引き起こされる線型写像 ∧^n (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。 https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_algebra Multilinear algebra つづく
383:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 08:09:48.16 cnqeiEp4.net
>>334
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル
2 数学的定義
2.1 多重線型写像としての取り扱い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
2.1 抽象的な定義
2.2 明示的な定義
2.3 二つの定義の同値性
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ?^nE 注*) は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、?^nE 上に引き起こされる K-準同型
∧ ^n Φ ： e_1∧ ・・・ ∧ e_n → Φ (e_1)∧ ・・・ ∧ Φ (e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。この a は φ の行列式 det?φ と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Determinant
注*)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外積代数
ベクトルの外積（exterior product）あるいは楔積（ウェッジ積 wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる
外積代数（exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる
形式的には、外積代数は ?(V) あるいは ?*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
? ： ∧ (V) x ∧ (V) → ∧ (V)；(α ,β ) → α ? β
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v ∈ V に対して v?v=0
を持つものである。
(引用終り)
以上
384:１３２人目の素数さん
20/09/12 08:34:38.74 pEvJeedl.net
>>334
>
385:下記、”多重線型代数”で、「テンソル代数」と「外積代数」とは、峻別されています 文章読んでる？理解してる？ 外積代数や対称代数は、特殊なテンソル代数だけど、理解できなかった？ さすが論理が分からない🐎🦌は文章も正しく読解できないんだねえ（呆） >なんか、いろんなところから、つまみ食いして貼るのは良いが、 >全然理解できていないこと、丸分かり 大学に合格できなかった君の自嘲、乙 >虚勢のこけおどし丸見えで、笑える 僕は君を見ても笑えないな ただただ哀れで泣けてくるよ (;´д｀)トホホ 人間になれなかった🐎🦌って惨めだな
386:１３２人目の素数さん
20/09/12 08:38:14.48 pEvJeedl.net
>>335
まとめ
・対称代数はテンソル代数の一種です
・外積代数もテンソル代数の一種です
・対称代数と外積代数は異なります
・対称代数でも外積代数でもないテンソル代数もあります
わかるかなぁ？ わかんねぇだろぉなぁｗ
387:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 10:18:19.30 cnqeiEp4.net
やれやれ、頭くさってんのか？
アホも、ここまでくれば、名人芸だな
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ハナタカ、シッタカしたかったのだろうが
鳥無き里のコウモリ
「したがって、行列式はテンソルです」なんて、ちょっと数学を知っている人から突っ込まれたら、しどろもどろ、百万言を費やして言い訳たらたらするはめになるだけ
しかも、数学的に無意味・無価値、「したがって、行列式はテンソルです」なんて、アホ丸出し
信用失墜も良いところ。「えっへん、我が輩は、数学科出身である。テンソルを知っている。したがって、行列式はテンソルである」ｗｗｗ(゜ロ゜；
ばーか
その発言、なんの価値もないばかりか
自分の信用を落とし、バカ丸出し
（>>292より）
「まず、テンソルは多重線形写像です
次に、ｎ×ｎ行列の行列式は実はｎ個のｎ次元ベクトルの多重交代線形写像です
したがって、行列式はテンソルです」笑える（＾＾
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
（>>334 参考再録）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
多重線型代数
多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、tensor algebra）、対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）、外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。
2.1.1 テンソル代数
2.1.2 対称代数
2.1.3 外積代数
6 行列式
行列式
詳細は「行列式」を参照
Kn の n 次外冪 ∧^nKn は一次元空間であるが、これは向きも込めた Kn における体積要素の空間と見なせる。
Kn 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧^nKn 上に引き起こされる線型写像 ∧^n (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。
388:１３２人目の素数さん
20/09/12 10:37:39.69 pEvJeedl.net
>>338
脳味噌、サナダムシに食われまくってるなｗ
行列式は典型的なテンソルだぞｗ
多変数の積分変数変換でヤコビアン出てくるだろ
あれこそテンソルの座標変換の典型例だぞ
そんな基本的なことも知らんとか、やっぱ全然大学行ってないだろｗ
大学通ってたら、線形代数で行列式習うし
微積分でヤコビアンも逆関数定理も習うだろ
習わんかったらモグリ
習ったけど覚えてないとかいうのもモグリ
アベ・シンゾーじゃあるまいし
肝心なことはちゃんと理解して単位とれよ ダラズが！
389:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 11:28:49.52 cnqeiEp4.net
突然ですが
”Floer ホモロジー かいせつ. 都立大 吉田 朋好”が、面白い
ぐだぐだ、愚痴りながら入って、結構読ませる
つい、引き込まれてしまった（＾＾
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
TOPOLOGY NEWS Series B. No. 6. 1989
加藤 十吉
Floer ホモロジー かいせつ. 都立大 吉田 朋好
(引用終り)
（>>64より）
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
現代幾何学の流れ 日本評論社 砂田利一 編 発刊年月 2007.10
アティヤ-シンガー アティヤ-シンガーの指数定理／吉田朋好
の章を読んでいたんだけど
P120にアティヤの回想というところがあって
”ホッジは調和解析の理論を発展させるとき、電磁気学のマクスウェル方程式に強く動機づけられていた”
とか
ティヤ-シンガーは、ディラック方程式のリーマン幾何学版を追求することがから初め、またホッジの場合と同様に、彼らの出発点もまた代数幾何学であった」とある
（弟子のドナルドソンも有名）
なので、吉田朋好関連で検索してみたわけです
「ディラック作用素の指数定理」は、書店で見かけたことがあるかな？
つづく
390:現代数学の系譜 雑談
20/09/12 11:29:12.87 cnqeiEp4.net
>>340
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.)<)
サイモン・ドナルドソン
マイケル・アティヤとナイジェル・ヒッチンの弟子。
1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した
(引用終り)
以上