純粋・応用数学（含むガロア理論）4

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純粋・応用数学（含むガロア理論）4 - 暇つぶし2ch265:面だけをあつかった Enriques は多重種数 Plurigenera と補助的に不正則数 irregularity を選んだ。それに対して代数的でない複素曲面もあつかった小平は，第１ベッチ数と幾何種数および第１ Chern 類に着目した。 Enriques による相対極小な代数曲面 S の「分類」は以下のようなものである。 (0-2) P1 = 1, q = 0。K3 曲面。KS ~= 0。 (1) Pm = O(m)：ある m > 0 に対して，|mKS| は底点をもたず，ΦmKS は S から代数曲線 B への全射を定めて，その一般のファイバーは種数１の非特異曲線（楕円曲面）。とくに mKS は B の因子の引き戻しになっている（ただし KS そのものが B の因子から来るとは限らない）。この「分類」は，曲線の場合と比較するときわめて不完全である。(-∞) や (0-1), (0 - 1*) については問題ないが，K3 曲面（およびその商空間である Enriques 曲面）が位相的にどういう構造をもっているのかわからないし，楕円曲面についての情報も茫漠としている。そして一般型曲面についてはほとんど何も情報がない。K3 曲面や楕円曲面の構造を理解するためには，代数曲面のカテゴリーを複素曲面に広げて考える必要があり，それを実行したのは小平であった。つづく

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