201:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:51:07 YJxrx+O5.net
>>175
つづき
行列の積は、基本は非可換だからね
そして、群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
（逆元の存在要請から、零因子は除かれるし、正則行列に限られる）
だが、チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、専門用語”正則行列”は避けた。ここは日本数学会でなく、５ｃｈだから、ここの日常会話ではこれで十分だ
が、アホが揚げ足とりに来て、行列の零因子と逆行列の関係が理解できていない赤っ恥を露呈。笑えたな
面白いな、アホなおサルさん
以上
202:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 23:08:01.32 YJxrx+O5.net
>>91
(引用開始)
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
(引用終り)
(>>81より）
再録
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
(引用終り)
この話も、おサルが人の揚げ足を取ろうと、仕掛けてきて、自分の常識の無さを露呈の赤っ恥ｗ（＾＾
笑える
フィールズ賞で、”球面のホモトピー群”と”スペクトル系列”と、どちらが重視されたのか？ 分からない？ 常識が欠けているな
そもそも、”especially ”って書いてあるし
後に”Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.”とある
”スペクトル系列”と”sheaves”との繋がりが、見えないとしたら、常識が欠けているな
つづく
203:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 23:08:24.26 YJxrx+O5.net
>>177
つづき
（下記の通りですよ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jean-Pierre Serre
(抜粋)
Career
From a very young age he was an outstanding figure in the school of Henri Cartan,[2] working on algebraic topology, several complex variables and then commutative algebra and algebraic geometry, where he introduced sheaf theory and homological algebra techniques. Serre's thesis concerned the Leray?Serre spectral sequence associated to a fibration. Together with Cartan, Serre established the technique of using Eilenberg?MacLane spaces for computing homotopy groups of spheres, which at that time was one of the major problems in topology.
In his speech at the Fields Medal award ceremony in 1954, Hermann Weyl gave high praise to Serre, and also made the point that the award was for the first time awarded to a non-analyst. Serre subsequently changed his research focus.
(引用終り)
以上
204:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:38:40 JRBNrvaF.net
>>175
>私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
>群は基本的に非可換だよ」と書いた
>（補足説明も、>>134-136に書いてある）
>おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
>（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
そのような言い訳が通用しないことは、他ならぬあなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されていることからも明らかですねー
205:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:40:45 JRBNrvaF.net
>>167
>１．時枝でも間違いを犯し
> （参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番) 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
間違いを犯しているのはあなたですねー
そのスレに指摘してあげましたからよく読んで理解して下さいねー
206:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:32:07 rCjTzdM1.net
>>175
☆＞群の例で、非可換のものを挙げてくれ
★＞正方行列とか多元数あたりな
群の定義
０．演算で閉じている。
１．演算が結合法則を満たす。
２．単位元が存在する。
３．逆元が存在する
群であると言い切った時点で、上記の４条件を満たさなければなりません
したがって、
★＞これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐ
という言い訳は一切通用しませんよ
★＞（行列による）「群の表現」の話もしている
★＞（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
正則行列全体による群は部分群ではありません
群の部分集合が、もとの群の演算で群を成す時、部分群といいます
この場合、行列の積の演算は共通ですが、
そもそも元の集合である「正方行列の全体」が群でないのでダメ
★＞逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。
「普通、デフォルト」は誤り
「必ず満たすべき制約条件」が正しい
かならずいうべきこと
いわないのは詐欺
★＞群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
「仮定」ではなく「前提」
群だと言い切ったら、前提を満たしていることを証明する義務を負う 当たり前ですね
したがって、正方行列（の全体）が群だと言い切った瞬間
「いかなる正方行列にも逆行列が存在する」
と証明する義務を負う
あなたは果たせませんでしたが
★＞群の表現論で使うnxn行列で、
★＞わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、
★＞ド素人ｗ
群の表現は、「正則行列全体の群」への準同型写像
決して「正方行列全体の群」ではありませんよ
それをご存じないあなたこそド素人
まあ、大学に入れなかったそうですから致し方ないですね
大学で線形代数を学んだ人なら、いくら成績が悪くても
・正則行列でない正方行列が存在すること、
・非正則行列の行列式が０となること
くらいは覚えていますから
それが大学卒業の最低限の資格ですよ
207:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:36:49 rCjTzdM1.net
>>181
★＞”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、
★＞ 行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”
高校では行列式って教えないんでしたっけ？
じゃあ、大学行ってないあなたが全く知らなくても仕方ないですね
道理で行列式といわれてもキョトンとするわけですね
しかし、行列式くらい覚えておきましょうね
行列式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
工学部卒で、群の定義知らなくても問題ないですが
行列式知らないなんて言ったら、大恥かきますよ
208:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:49:58 rCjTzdM1.net
>>176
＞群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、
＞行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
それは必要条件ですね
つまり
「行列の集合が群となる場合、
その集合の要素は正方行列である必要がある」
しかし上記は十分条件ではありません
十分条件を示してはじめて群であると示せたことになります
＞（逆元の存在要請から、・・・正則行列に限られる）
存在「要請」なら、要請に答えましょうね
つまり、あなたは
「正則行列の積は正則行列であること」
を示す必要があります
しかし、あなたはそもそも何が正則行列か
分かっていないから示しようがない
＞チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
不親切、ではなく、不十分です
そして正方行列と言い直しても、まだ不十分です
＞ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、
＞専門用語”正則行列”は避けた
避けた？違うでしょう？
あなた自身がゆとり世代で、
「正則行列」を知らなかったんでしょう？
群の例を挙げるんだから
当然、正則行列という必要がある
正則行列と云う言葉を知らなかったとしても
例えば行列式が０でない行列という必要があった
ランクｎのｎ×ｎ行列でもKer M={0}の行列Mでも
なんでも結構ですが
＞ここは５ｃｈだから、
＞ここの日常会話ではこれで十分だ
全く誤りですね
５ｃｈの数学板だろうと
日本数学会の全国大会だろうと
国際数学者会議の講演だろうと
ステートメントは正確に述べ切る必要がある
それができない人は・・・数学は無理ですよ
間違い続けるだけですから
「正方行列から零因子を除けば体になる」
とか
209:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:56:10 rCjTzdM1.net
>>179
＞あなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されている
ええ、正方行列＝可逆行列、でないことは
理工系学生の一般常識ですから
行列式を知らない、なんて理工系ならあり得ませんからね
◆yH25M02vWFhPは、まず行列式と外積くらい覚えましょう
工学部でも確実に役に立ちますからね
210:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:01:51 rCjTzdM1.net
>>177-178
あなたには理解できないでしょうが
スペクトル系列に層は必要ありません
代数幾何で層は不可欠でしょうけどね
211:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:04:38 rCjTzdM1.net
そもそも行列式も知らない人には
代数幾何どころか代数も無理
終結式とか知らないでしょ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
212:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:11:54 rCjTzdM1.net
遠山啓の「数学入門」（上）で、グラスマン代数使って
行列式の定義をしているのは
「こんなことはいくらなんでもわかるだろう
順序を交換すれば符号が逆転する、っていうだけだから」
と考えたからだろう
213:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:20:35 rCjTzdM1.net
行列式を知らないってことは、ヤコビアンも知らないってこと？
ってことは、ｎ変数の逆関数定理も、一般の陰関数定理も知らないってこと？
そんなの、ま�
214:ｷます理工系ではあり得ないなぁ ヤコビ行列 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97 そういえば、学生の頃、この曲の替え歌が流行りました https://www.youtube.com/watch?v=o-7QeOuNMIs ♪ヤコビア～ン
215:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:53:17.48 P1Kztm36.net
>>149-150 補足
再録
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
(引用終り)
なるほど、21世紀では、層は
”One motivation for sheaves is as the mathematical machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.”
ってこと
層の概念がいろんなところへ取り込まれた
秋月の本とか、もう古くなっています
層とファイバー束とを、全く別もの扱いしていますが、生まれは別でも、結構関連するようになっています
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ファイバー束
(抜粋)
ファイバー束（ファイバーそく、英: fiber bundle, fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
一点 p 上のファイバー Fp
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
U上に制限した座標束。この画像ではまばらだが、本当はどの点の上にもファイバーがあり、隙間無く並んでいる。
つづく
216:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:54:24.20 P1Kztm36.net
>>189
つづき
概要
単位円 S1 と線分 I = [0, 1] の直積 S1 × I は円柱の側面になる。円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S1 の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質（局所自明性）を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S1 を底空間といい、線分 I をファイバー（繊維）という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束（じめいそく）という。自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。
ファイバーはただ束ねられるだけではなく、構造群と呼ばれる位相変換群に従って張り合わされる。底空間の開被覆 {U}a∈A があり、その 2つの元の共通部分 Ua ∩ Ub が空でないとき、その共通部分に立っているファイバーはどのように貼り合わされるべきか？ という事、すなわち、直積 Ua × F と Ub × F の重なり方を記述するのが構造群である。
ファイバー束の概念は、ホイットニーに
217:始まる。ホイットニーは多様体上のベクトル場から接ベクトル空間をファイバーに持つ接ベクトル束を構成し、その一般化としてファイバー束に到達した。その後、陳省身(Shiing-Shen Chern) による研究は、ファイバー束と接続を関連させ微分幾何学を大域的理論へと導いていくことになり、ゲージ理論などの基礎も成している。また、微分幾何学に留まらず、様々な幾何学の基本的な道具となり、その適用範囲は広い。さらにファイバー束はセールやヒューレッツらによってファイバー空間として一般化され、代数的位相幾何学を支える概念の一つにもなった。 定義 束 位相空間 E, B と、連続な上への写像 π: E → B があるとき、E を全空間 (total space)、B を底空間 (base space)、π を射影 (projection)、これらの組 (E, π, B) を束 (bundle, バンドル) という[要出典]。 (E, B, π) のような順序で書かれる場合もある。 x ∈ B に対し、Fx = π-1(x) を x 上のファイバー (fibre, fiber) という。 つづく
218:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:55:16.14 P1Kztm36.net
>>190
つづき
以下で扱う座標束やファイバー束の場合、任意の x ∈ B に対し Fx は x によらず位相空間 F と同相になる。すなわち、x, y ∈ B に対して、Fx と Fy は同相である。しかし、一般の束では、そのような関係は無い。例えば楕円曲面などでは、ほとんどのファイバー（非特異ファイバー）とは異なる特異ファイバーと呼ばれるファイバーがある。
座標束
ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。
束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という。各座標近傍 Ua には同相写像
φa: Ua × F → π-1(Ua)
が存在し、任意の x ∈ Ua および f ∈ F に対して
π ◯ φa(x, f) = x
を満たす。
この φa という同相写像によって Ua × F と π-1(Ua) はしばしば同一視される。座標束を説明する図を描くときも Ua × F という直積の図を π-1(Ua) とみなして説明することも少なくない。φa-1 を局所自明化という。
G は位相変換群としてできるだけ要素の少ない小さいものをとるとする。
このような性質を持つ (E, π, B, G, {Ua, φa}a∈A) という組を座標束 (coordinate bundle) といい、F をファイバー、G を構造群 (structure group)、E を全空間、π を射影、B を底空間、φa を、座標関数 (coordinate function)、gba を座標変換 (coordinate transformation) という。
一般の束と違って、ファイバーは点に依らない位相空間である。正確には、任意の x ∈ B に対し x 上のファイバー Fx が、ファイバー F と同相となっている。そして各点での座標変換が、構造群という代数的な構造によって決まっているという点も重要である。
つづく
219:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:55:41.98 P1Kztm36.net
>>190
つづき
ファイバー束
座標束をここで述べるような同値関係で分類するとファイバー束が得られる。多様体において座標近傍系を極大座標近傍系にし、座標の取り方によらない幾何学を目指したのと同様に、座標束を座標近傍 {Ua} や座標関数 {φa} のとり方によらないように分類したものがファイバー束である。つまりファイバー束を具体的に調べる際に、特定の開被覆を取って調べたりする場合、そこで調べているものは座標束ということになる。
座標近傍や座標関数の取り方の違う 2つの座標束 (E, π, B, F, G, Ua, φa) および (E, π, B, F, G, Vb, ψb) があるとき、x ∈ Ua ∩ Vb に対して
hba(x) := ψ -1
b, x ◯ φa, x
が、hba(x) ∈ G となり
hba: Ua ∩ Vb → G
が連続写像であるとき、この 2つの座標束は同値 (equivalent) であるといい、この同値関係による同値類をファイバー束あるいは G 束 (G-bundle) といい、ξ = (E, π, B, F, G) と書く。F や G なども省略して
220:、π: E → B によってファイバー束を表すこともある。 つづく
221:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:56:07.24 P1Kztm36.net
>>192
つづき
切断
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
Ua 上の局所断面
詳細は「切断 (ファイバー束)」を参照
（ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
断面 (位相幾何学)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、英: section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
束 p: E → B の切断 s は底空間 B と E の部分空間 s(B) とを同一視する方法を与える。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
R2 におけるベクトル場の例。接ベクトル束の切断とは、実はベクトル場のことである。
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。）
つづく
222:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:57:00.57 P1Kztm36.net
>>193
つづき
例
自明束
全空間を E = B × F とし、π: E → B を第一成分への射影とする。すなわち、x ∈ B, f ∈ F に対して、π(x, f) = x とする。このとき E は F の B 上のファイバー束である。ここで E は、局所的にだけでなく大域的に、底空間とファイバーの直積となっている。そのようなファイバー束を自明束 (trivial bundle) という。S1 × [0, 1] や S1 × R1 のような円柱や、自然数 m, n > 0 に対して Rm+n = Rm × Rn などのように直積で表される図形は、自明束としての構造を持つ。可縮なCW複体上の任意のファイバー束は自明である。
ベクトル束と主束
ベクトル束と呼ばれる、ファイバー束の特別なクラスがあり、これはファイバーがベクトル空間であるようなファイバー束である。（ベクトル束であるためには、束の構造群は線型群でなければならない）。ベクトル束の重要な例には、滑らかな多様体の接束や余接束がある。任意のベクトル束から、主束（下記参照）である、基底の枠束（英語版）を構成することができる。
主束と呼ばれる、ファイバー束の別の特別なクラスがあり、これはその上に群 G による自由かつ推移的な作用が与えられていて、各ファイバーが主等質空間（英語版）であるような束である。束はしばしば主 G 束と呼ぶことによって群とともに特定される。群 G はまた束の構造群でもある。G のベクトル空間 V 上の表現 ρ が与えられると、構造群として ρ(G)⊆Aut(V) なるベクトル束を構成でき、これを同伴束（英語版）と呼ぶ。
つづく
223:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:57:21.30 P1Kztm36.net
>>194
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
接束
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束（せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は M の接空間の非交和[注釈 1]である。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
インフォーマルには、多様体（この場合円）の接束はすべての接空間を考え（上）それらを滑らかに重ならないようにつなげる（下）ことによって得られる。[注釈 1]
（注釈
1^ a b 非交和は多様体 M の任意の 2 点 x1 と x2 に対して接空間 T1 と T2 が共通のベクトルをもたないことを保証する。これはグラフィカルに円 S1 の接束の添付図に描かれている、例のセクションを参照：円のすべての接線は円の平面にある。それらを交わらないようにするためには円の平面に垂直な平面にそれらを整列することが必要である。）
この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。
接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能（英語版） (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 M が 枠付き（英語版） であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ◯+ E が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面 Sn はすべての n に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。
つづく
224:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:58:02.21 P1Kztm36.net
>>195
つづき
役割
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、M と N を滑らかな多様体として、f: M → N が滑らかな写像であれば、その微分（英語版） は滑らかな写像 Df: TM → TN である。
位相と滑らかな構造
接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である[注釈 2]。
（注釈 2^ M が Cr 級の多様体 (1 ? r < ∞) であっても接束は定義でき、Cr-1 級の多様体になる。）
例
最も簡単な例は Rn の例である。この場合接束は自明である。
別の簡単な例は単位円 S1 である（上の絵を見よ）。円の接束も自明であり S1 × R に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。
容易に視覚化できる接束は実数直線 R と単位円 S1 の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。
非自明な接束の簡単な例は単位球面 S2 の接束である。この接束はつむじ頭の定理（英語版）によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。
ベクトル場
接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 M 上のベクトル場は滑らかな写像
V： M → TM
であって、Vx と表記される x の像が x における接空間 TxM にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。M 上のベクトル場はしたがって M の接束の断面である。
M 上のすべてのベクトル場の集合は Γ(TM) によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ
(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}
M 上の滑らかな関数を掛けることができ
(fV)_{x}=f(x)V_{x}
別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 Γ(TM) は M 上の滑らかな関数の可換環、C∞(M) と表記される、上の加群の構造をもつ。
M 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場は M のある開集合 U 上でだけ定義され、U の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。M 上の局所ベクトル場全体の集合は M 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。
つづく
225:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:58:52.30 P1Kztm36.net
>>196
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
余接束
微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。
余接層
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。
余接層の定義
M を滑らかな多様体とし M × M を M の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 Δ は M の点 p を M × M の点 (p, p) に送る。Δ の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。
Ｉを対角線上消える M × M 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層 Ｉ/Ｉ^2 はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。
余接層
226:はこの層の M への引き戻し（英語版）である。 Γ T^*ＩM=Δ ^*Ｉ(Ｉ/ Ｉ^2). テイラーの定理によって、これは M の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは M 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。 多様体における反変性 多様体の滑らかな射 φ ： M → N は M 上の引き戻し層（英語版） φ^*T^*N を誘導する。 ベクトル束の誘導される写像（英語版） φ^*(T^*N) → T^*M が存在する。 つづく
227:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:59:09.78 P1Kztm36.net
>>197
つづき
相空間としての余接束
余接束 X=T*M はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。T*M の定義が底空間 M の微分トポロジー (differential topology) に関係づける方法のために、 X は自然な 1-形式 θ （canonical one-form あるいは tautological one-form あるいは symplectic potential）を有する。θ の外微分は斜行 2-形式 (symplectic 2-form) であり、そこから非退化体積形式 (volume form) が X に対して構成できる。例えば、結果として X は常に向き付け可能な多様体である（つまり X の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 (canonical coordinates) と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
相空間
多様体 M が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 T*M を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。
(引用終り)
以上
228:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 11:04:22.48 P1Kztm36.net
>>192 リンク訂正
>>190
↓
>>191
分かると思うが
ところで、おサルがなんか、言い訳書いているな
オチコボレがぁ
こいつ、”層”とか、さっぱり理解出来ていなかったみたい（21世紀では、”層”なんて物理でも常用の概念になったみたいですがね(>>189)）
いや、私もアホでバカですよ
でも、このオチコボレのおサルは、世間では全く通用しない
５ｃｈで威張り腐る、鳥無き里のコウモリであることは、ハッキリしましたなｗｗｗ（＾＾
229:１３２人目の素数さん
20/09/06 11:05:35.01 JRBNrvaF.net
「正方行列から零因子を除けば体になる」レベルの頭でいくらコピペ連投しても無駄！
無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！
230:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:24:07.07 rCjTzdM1.net
>>199
何をぶつぶつ、独り言をいってるんですかね
サルなんて、ここにはいませんよ
>>200
確かに「正方行列から零因子を除けば体になる」は
数学を全く知らない素人による実に酷い発言でしたね
◆yH25M02vWFhP は連接性とか層とか無理だから
まず行列式を完全にマスターすることに全力を注ぎましょう
それがあなたの人生における数学のゴール
231:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:26:26.03 rCjTzdM1.net
行列式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、
歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。
幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、
線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。
行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
232:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:33:22 rCjTzdM1.net
概要
X を成分が実数である2次の正方行列
(a b)
(c d)
とするとき、これは平面上の線型変換
x → ax + by
y → cx + dy
を定めている。
一方で平面における二つのベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) について、
これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
A(u,v)=u_0v_1-u_1v_0
によって指定される数だと考えることができる。
このとき A(X.u, X.v) = (ad － bc)A(u, v) が成り立っているが、
これは X の定める線型変換によって
平面内の図形の面積が (ad － bc)-倍される、と解釈できる。
したがって各2次正方行列 X に対し（上の記号の下で）
det X := ad － bc
を対応させると、
det(XY) = (det X)(det Y)
であることや、det X > 0 であるとき
X の定める変換は図形の向きを保ち、
反対に det X < 0 であるとき
図形の向きは反転させられることがわかる。
det の乗法性から X が可逆ならば
det X は逆数を持つ数であることが従うが、
反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）
になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから
det X = 0 となることがいえる。
こうして行列 X が正則になることと X の行列式が可逆になることが
同値であるということがわかる。
同様にして一般の次数の正方行列 X に対し、
X の定める線型変換が図形の体積を何倍にしているかという量を
X の行列式として定義することができる。
これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様に
これは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。
一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対して
その行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態を
ある程度知ることができる。
特にクラメルの公式により、
根が一組である線型方程式系の根の公式が
行列式を用いて表示される。
233:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:53:32.30 rCjTzdM1.net
行列式の定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。
E の n-次外冪 ⋀nE は A 上階数1の自由加群である。
E 上の K-線型写像 φ について、⋀nE 上に引き起こされる K-準同型
∧^n φ : e_1∧…∧e_n → φ(e_1)∧…∧φ(e_n)
は一意的に定まるある a ∈ A に関する定数倍写像と一致する。
この a は φ の行列式 det φ と呼ばれる。
明示的な定義
n 次正方行列 A の i 行 j 列成分を ai,j で表すと、
A の行列式は、次の式で定義される：
det A=Σ (σ∈Aut(n)){{sgn σ) π\prod (i=1～n)a_i,σ(i)}
ここで、
Aut(n) は n 次対称群（{1, …, n} の自己同型群）
sgn は置換の符号
を表す。
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。
正方行列 A の行列式は、|A| あるいは det(A) と表記される。
二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。
行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とすると、vj とは Xej にほかならない。
(∧^n X)(e_1∧…∧e_n)=v_1∧ …∧v_n
であるが、ここで
v_1∧…∧v_n=Σ (σ ∈ S_n)(sgn σ)v_1‗σ(1)v_2‗σ(2)…v_n‗σ(n))e_1∧…∧e_n
である。（ただし、v‗jの第 i成分を v‗j‗i と表した）。
これは Kn 上 ⋀nX が
234: (det X)-倍写像として作用していることを示している。 n-次外積の普遍性により、行列式とは 行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で 単位行列について 1 を与えるようなもの として特徴づけられることがわかる。
235:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:58:00.60 rCjTzdM1.net
複線型交代形式
n次行列に関する行列式は列に関して n重交代線型性をもつ。
特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である。
A の行列式と、A の転置行列の行列式は等しい。
これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、
行に関しても同様の性質を持つことが分かる。
つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。
二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい：
A, B を n次正方行列とするとき、|A|⋅|B| = |AB| である。
これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。
236:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 13:49:21.09 P1Kztm36.net
>>175
私は、別に言い訳もなにもする必要がない
５ｃｈの気楽な日常会話なのだから
発言の意図を、補足しているだけのこと
そもそもの話は、前スレより
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:103番)-104
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)<)
(引用終り)
これに、揚げ足を取ろうとするおサルの発言下記
前スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:130番)
>”抽象 ←→ 具体例 ”
例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿
(引用終り)
ホント
おサルの「群の例で、自然数」には、笑えたな
おサルは、自身の失言の上塗りを取り繕うために
非可換な群の例の話に、論点ずらし（＾＾
(>>175より)
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
(引用終り)
自分の失言をゴマカスために、揚げ足を取りに来ているのは見え見えだった
で、そこでまた、行列の零因子の話をこちらが出すと
行列の零因子と逆行列が密接な関係があることを、知らなかったのです
そして、層についても、全く理解していないことを露呈したのです！
まさに、アホですな
237:１３２人目の素数さん
20/09/06 13:55:17.97 t3ZcJAwB.net
でも、「解析接続」の概念が層の概念の元になってるなら
位相空間においてただの連続函数の層が定義されるのはおかしいじゃん
という指摘は鋭いでしょ。
238:１３２人目の素数さん
20/09/06 14:03:42.86 t3ZcJAwB.net
セタは、対称群S_3は巡回群C_2とC_3の直積！と思っていた。
いや、しかしアーベル群とアーベル群の直積はアーベル群なのだから
非可換群が直積として生じるのはおかしいでしょ
という
239:、自分の頭で数学を考えたことのあるひとなら 誰でも気づく当たり前のことにさえ気づかなかったことがある。
240:１３２人目の素数さん
20/09/06 14:50:47.95 rCjTzdM1.net
>>206
>私は、別に言い訳もなにもする必要がない
誤 必要がない
正 余地がない
>５ｃｈの気楽な日常会話なのだから
５ｃｈでも気楽でも日常会話でも
あなたの明らかな誤りに対して
言い訳の余地は全くない
>「群の例で、自然数」には、笑えたな
「いかなる層は解析接続する」には、笑わせていただきました
「正方行列の群」にも、笑わせていただきました
いかなるあなたの誤りも、まったく初歩的で、
存分に笑わせていただきました
◆yH25M02vWFhP あなたは、まったく最高のピエロですよ Bravo!!!
241:１３２人目の素数さん
20/09/06 14:55:15.51 rCjTzdM1.net
>>207
ええ、層というだけでは解析接続なんて性質は決して導けませんから
連接性の意味も多分わかってないでしょう
彼は位相空間におけるパラコンパクトやコンパクトの意味も分かってないでしょうから
>>208
彼は何であれ考え方が粗雑です
群S_3が、C_2とC‗3のみを自明でない部分群として持つ、といえば
何の考えもなしに、両者の直積だ、と言い切ってしまう
論理的に考えることのできない「動物」には困ったものです
242:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 17:09:10.89 P1Kztm36.net
>>207
>位相空間においてただの連続函数の層が定義されるのはおかしいじゃん
>という指摘は鋭いでしょ。
確かに鋭いが、まずは下記の向井 茂先生(>>48)だな
C∞の層と類似だよ、連続函数の層は
（>>48-49より再録）
C∞の層はあんまし面白くないみたいだな
まずは、下記向井 茂先生
「・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。」
こっから入っていけば良い。C∞の層はあんまし面白くない（＾＾；
代数的、正則、まずはこの二つよ
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
Fourier-Mukai変換 向井 茂 述 1998
Fourier-Mukai 変換(以下FM 変換と書く) というのは、Fourier 変換の拡張です。Fourier 変換
というのは普通、関数を展開してやるものですが、これを層でやるというのがFM 変換です。
略
で、こういうのをここまでは多様体上の関数に対してやっていたんですが、今度は多様体上の
層に対してやればどうなるかということを考えます。
略
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じますが、時々話が通じないことも事実です。そのときに何に注意すれ
ばいいかと言いますと、X の閉部分多様体Y 上のベクトル束を(補集合X !Y では零になる
ように) 拡げたものも層だということです。層というのは多様体の各点にベクトル空間が生
えたものです。このベクトル空間の次元が各点で全て同じならば、本当にベクトル束です。
ただ各点で次元がジャンプすることがあります。例えば、摩天楼層がそうです。摩天楼層と
いうのはX の１点x 2 X に有限次元ベクトル空間を生やしたものです。
関数のFourier 変換を層のFourier 変換(FM 変換) に拡張するためにどうすればいいかですが、
略
243:１３２人目の素数さん
20/09/06 18:20:38.38 rCjTzdM1.net
>>211
いつものことだけど、見苦しいね
層は解析接続と無関係、で終わりだよ
C∞の層は面白くない、とか無意味
しかも何がどう面白くないか言えないんでしょ？
連接性の定義を理解できない人に、代数幾何も複素解析幾何も無理
まず、行列式を覚えましょうね
そこがあなたがたどり着ける数学の最高地点だから
244:１３２人目の素数さん
20/09/06 18:25:05.31 mzMgHN1v.net
広中平祐さんが耳学問が重要とか言�
245:ﾁていましたが、本当に重要なんですか？
246:１３２人目の素数さん
20/09/06 18:53:54 t3ZcJAwB.net
C^∞級多様体上だとC^∞級函数の層が自然な対象になるはず。
要するに考えている幾何学的対象によって、その上の自然な「函数環」も
異なってくる。
それにそもそも層理論の母体となった、多変数函数論における
「クザンの問題」の層コホモロジーによる定式化
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
を見れば分かるが、正則函数の層Oの他に、有理型函数の層K
さらには、K/Oなどが自然にあらわれる。
フーリエ-向井変換 とかより、こっちが基本でしょ。
247:１３２人目の素数さん
20/09/06 19:04:38.44 t3ZcJAwB.net
>>213
広中が言っていたのは、何をやろうとしているかも分からずに
専門書を1ページから順に読んでいくというやり方では
途中で挫折してしまう、アメリカでは教授のところに訊きにいけば
気軽に教えてくれて、聞いてるうちにだんだん分かってくるとか
そんな話だったと思う。
248:１３２人目の素数さん
20/09/06 19:13:15.24 mzMgHN1v.net
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPさんはなぜ、数学を真剣に勉強しないのに興味は非常にあるのでしょうか？
249:１３２人目の素数さん
20/09/06 20:06:58.55 rCjTzdM1.net
>>216
数学に興味があるわけではないんでしょう
カッコつけたいだけじゃないですかね？
URLﾘﾝｸ(www.facebook.com)
250:１３２人目の素数さん
20/09/06 20:51:55 rCjTzdM1.net
◆yH25M02vWFhPは、まず数検１級とってみたら？
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
251:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 21:28:30.67 P1Kztm36.net
>>214
(引用開始)
それにそもそも層理論の母体となった、多変数函数論における
「クザンの問題」の層コホモロジーによる定式化
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
を見れば分かるが、正則函数の層Oの他に、有理型函数の層K
さらには、K/Oなどが自然にあらわれる。
(引用終り)
全く同じ意見です、全面同意です！
要するに、 正則函数の層を例とする tsujimotterの層の定義の理解、下記
（>>206）
”《例示は理解の試金石》
そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！
そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。
あっ、これ解析接続じゃん！！！”
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:103番)-104
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)<)
カルタンの定理A, B
1951年頃にアンリ・カルタンによって証明された、シュタイン多様体 X 上のある連接層 F に関する定理で、A と B の二種類が存在する。それらはいずれも多変数複素函数論に対する応用や、層コホモロジーの一般的な発展に対して意義のあるものである。
定理 B は、以下のようなコホモロジーにおける用語で表現される（これは Cartan (1953, p.51) が J.-P. Serre に帰するものとしている式である）：
つづく
252:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 21:29:30.12 P1Kztm36.net
>>219
つづき
カルタンの定理 B：すべての p > 0 に対して H?p(X, F) = 0 である。
代数幾何学における連接層に対する同様の性質は、X がアフィンスキームである場合に、Serre (1957) によって示されている。定理 B と類似のそのような定理は、以下のように記述される (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)：
定理 B（スキーム論的表現）：X をアフィンスキームとし、F を X 上のザリスキー位相に対する OX-加群の準連接層とする。このとき、すべての p > 0 に対して H?p(X, F) = 0 である。
より深い段階では、これらの定理はGAGAの定理を証明するためにジャン＝ピエール・セールによって利用された。
カルタンの定理 B は、複素多様体 X 上のすべての連接層 F（resp. ネータースキーム X 上の準連接層 F）に対して H?1(X, F) = 0 であるなら、X はシュタイン多様体（resp. アフィン多様体）であるという明確な結果である。(Serre 1956) (resp. (Serre 1957) and Hartshorne (1977, Theorem III.3.7)) を参照されたい。
(引用終り)
以上
253:粋蕎
20/09/06 22:10:45.28 WI7jv5pd.net
誤引用は悪かつ公害
254:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/06 22:27:21 P1Kztm36.net
>>211
再録
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
Fourier-Mukai変換 向井 茂 述 1998
層に対してやればどうなるかということを考えます。
略
・ 層( sheaf )
大雑把にいって
層' X 上の代数的(正則) ベクトル束 (10)
です(X が代数多様体のときは「代数的」、複素多様体のときは「正則」が対応します)。
こう思って大体話が通じます
(引用終り)
補足しておきます
この引用で言いたかったことは（「Fourier-Mukai変換」ではなく）
”層のとらえ方”
「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
「代数的」が、代数幾何・代数多様体
「正則」が、多変数複素関数論・複素多様体
そして、歴史的には、「正則」が先にあった
岡とか小平とか
そこから発展して、カルタン、セール、グロタンディークへと繋がる
「正則」つまり、（多変数）解析函数を例として、層を理解すれば
そこから、「代数的」な層の理解に、繋がっていくでしょう
それ以外の層は、「代数的」と「正則」が、ある程度理解できた後でやれば
よかんべよということです（＾＾
255:１３２人目の素数さん
20/09/06 22:44:13.67 rCjTzdM1.net
>>222
＞”層のとらえ方”
＞「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
やっぱり全然分かってないですね
代数幾何学と解析幾何学
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
X を複素射影代数多様体とする。
X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) は
コンパクト複素解析空間の構造を持ち、X~an と表わされる。
同様に、F を X 上の層とすると、
X~an 上の対応する層 F~an が存在し、
これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。
典型的な X と X~an を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 F と G に対し、自然な準同型
Hom_Ox(F,G)→Hom_Ox~an(F~an,G~an)
は同型である。
ここに Oxは代数多様体 X の構造層であり、
Ox~an は解析的多様体 X~an の構造層である。
言い換えると、
代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 X~anの圏は同値であり、
同値性は F から F~an への写像により与えられる。
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。
代数多様体 X 上の任意の連接層 F に対し、準同型
εq: H^q(X,F)→H^q(X~an,F~an)
は、すべての q について同型である。
このことは、
X 上の q次コホモロジー群と、
X~an 上の q次コホモロジー群が
同型であることを意味する。
256:１３２人目の素数さん
20/09/06 22:56:00.81 rCjTzdM1.net
>>223
>歴史的には、「正則」（＝解析的）が先にあった
>岡とか小平とか
正しくは、解析空間に関する 岡の連接定理が先にあった
（小平は特に関係ない）
>そこから発展して、カルタン、セール、グロタンディークへと繋がる
H.カルタンとセールが、岡の発見した連接性を、
代数多様体に応用して「代数的連接層」を考えた
（なお、わざわざH.カルタンとつけるのは、
父親も有名な数学者のE.カルタンだから）
グロタンディクはさらにそこから
エタール射によるエタール層
を考え出した
「層」が重要なわけではない
257:１３２人目の素数さん
20/09/06 23:13:17.41 rCjTzdM1.net
>>224
＞（小平は特に関係ない）
上記は、連接性の発見について、という意味
258:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:41:22.68 FwdYzTor.net
>>222 補足
>”層のとらえ方”
>「代数的」と「正則」が、二本柱ってこと
下記”曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014”
が、同じ扱いです
P14 層の例で、「無限回微分可能な r 次微分形式全体の空間を対応させる層 DrX」は、これ全く使わない
「正則関数全体を対応させる層 OX」が、主です
P16
”3.2. 層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，と
りあえずは以下を記憶しておけばよい。
(0) X 上の層 A と X の開集合 U に対してアーベル群の列 Hi(U, A),
i =0, 1, 2, . . . が定まり H0(U, A) = Γ(U, A)。
(1) 短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
→ H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
→ H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
・ ・ ・
がある。
(2) A が脆弱層（すべての U に対して ρXU が全射。K など）や柔軟層（１の
分解ができる。Dpq など）であるときは，i > 0 について Hi(X, A) = 0。
(3) X がコンパクトな n 次元複素多様体（射影代数多様体など）で A が
連接層（A は有限生成 O 加群）ならば Hi(X, A) は有限次元 C ベク
トル空間で，i > n なら Hi(X, A) = 0. したがってこのとき A のオイ
ラー標数 Euler characteristic χ(X, A) = (-1)i dim Hi(X, A) が定義
される。”
これ、1時間の数学公開講座だから、すっきり割りきっていて、かえって要点が分り易い
このPDFは、必見ですね
なお、講演のビデオが公開されているので、時間がある人（1時間もの）、是非見て下さい
つづく
259:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:42:56.80 FwdYzTor.net
>>226
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
2014年度 数学公開講座 「 小平邦彦氏の生涯と業績 」
(ビデオがある)
■11月22日 13:30 ～ 14:30
飯高 茂 氏
講演者 飯高 茂（学習院大学・名誉教授）
題目 『 小平邦彦博士の生涯と数学 』『 附録 私の接した小平先生 』
■11月22日 14:45 ～ 15:45
川又 雄二郎 氏
講演者 川又 雄二郎（東京大学・教授）
題目 『 小平=スペンサーの変形理論』
資料 配布資料 (PDF) URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
■11月22日 16:00 ～ 17:00
宮岡 洋一 氏
講演者 宮岡 洋一（東京大学・教授）
題目 『 曲面の小平理論 』 URLﾘﾝｸ(youtu.be)
資料 配布資料 (PDF) URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
曲面の分類に関する小平理論 宮岡洋一 November 18, 2014
(抜粋)
P1
1 複素多様体
複素多様体とはどんなものであるか．簡単に説明する．
1.1. 射影直線・射影平面・射影空間
P7
2 リーマン面と代数曲線
１９世紀までにほぼ解明された代数曲線の理論を，大道具をできるだけつか
わずに説明する。
つづく
260:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:43:22.24 FwdYzTor.net
>>227
つづき
P8
2.2. 代数曲線上の有理関数と因子
実は C(C) の付値と C の点は 1:1 に対応し，この対応によって関数体から C
を復元することができる。以上をまとめると，非特異射影代数曲線 C に対
しては自然な対応
代数多様体の構造 → 複素多様体の構造 → 関数体 → 代数多様体の構造
があって，これら３つの構造は三位一体 trinity をなす。
C の０でない有理関数 f に対して，その零点や極は有限個しか存在しな
いから,
(f) = 廃∈Cv(f, p)p
は有限和である。(f) を f が定める主因子 principal divisor という。
P10
2.3. 曲線のリーマン・ロッホの定理
（リーマン・ロッホの証明は次節で述べる層のコホモロジー
理論と Serre 双対仮定すれば易しくできてしまうので，ここでは触れない）。
2.4. 分岐と Hurwitz の定理
この式を フルヴィッツの公式 Hurwitz formula という。
分岐指数が２以上の点
∈ C は有限個である。これらの点を分岐点 ramification point と呼ぶ。また
分岐点の f による像 ∈ B を分枝点 branch point という。
したがって，この場合，
分岐点の個数 = 分枝点の個数（一般には，分岐点の個数 >= 分枝点の個数）が成立
し，その個数を b とすると，b = 2g(C) + 2 である。逆に, P の 2g + 2 個の点で分
岐する２重分岐被覆 y2 = (x - a1)・ ・ ・(x - a2g+2) をとると，その種数は g である。
�
261:ｵたがってすべての g に対して，種数 g の射影代数曲線は存在する。P の２重分岐 被覆として得られる曲線を g = 1 のときは楕円曲線 elliptic curve，g >= 2 のときは 超楕円曲線 hyperelliptic curve という。 つづく
262:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:43:45.96 FwdYzTor.net
>>228
つづき
P13
3 層とそのコホモロジー
代数曲線のリーマン・ロッホ定理は，零点や極に条件をつけた大域的な有理
関数の言葉で記述できた。しかし２次元以上の話になると，曲線のようなわ
けにはいかなくなって，厳密な数学を展開するためには，層の概念が必要に
なる。層の概念の原型は岡潔の多変数関数論にすでに現れるが，以下に述べ
るような使いやすい形で述べたのは Leray である。古典的なイタリア学派は
代数曲面論を展開して深い結果を多数得たが，層とそのコホモロジー理論が
まだ使えなかったため，議論が非常にわかりにくいものになっている。以下
では層とそのコホモロジーについて，簡単に説明する。
P14
3.1. 層の定義
X を位相空間とする。X 上のアーベル群の層 A とは，X のひとつひと
つの開集合 U に，アーベル群 Γ(U, A) を対応させる規則であって，条件
をみたしているものをいう。これらは，A に関しては局所的データから大域
的なデータが完全に決まるという条件である。
例 もっとも基本的な例は実多様体 X の開集合 U に対して U で無限回微
分可能な r 次微分形式全体の空間を対応させる層 DrX や，X が複素多様体
上であるときは，U に U 上の正則関数全体を対応させる層 OX である。ま
た非特異代数多様体 X 上の因子 D を与えたとき，Γ(U, OX(D)) を U 上の
(f) + D >= 0 をみたす U 上の有理型関数全体とすれば OX(D) は局所的に
OX と同型な層（可逆層）である。代数多様体 X 上の有理関数の層 K は定
数層 constant sheaf である。言い換えるとすべての空でない開集合 U に対
して ρXU : Γ(X, K) = C(X)~→ Γ(U, K) = C(X) が成立する。U 上の実数値
あるいは複素数値局所定数関数全体を Γ(U, RX), Γ(U, CX) で表せば，これら
も層である。また U 上の局所２乗可積分関数を Γ(U, L2X,loc) とすれば L2
X,locは層であるが，U 上の２乗可積分関数を対応させても層にならない。大域的
な可積分条件は局所的条件からは決まらないからである。同様に U に U 上
の定数関数全体を対応させても層にはならない。U が連結でなければ，各連
結成分ごとに違った定数値をとる関数があるからである。
つづく
263:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:44:04.64 FwdYzTor.net
>>229
つづき
P16
3.2. 層のコホモロジー
層に対しては層係数のコホモロジー理論がある。詳しくは述べないが，と
りあえずは以下を記憶しておけばよい。
(0) X 上の層 A と X の開集合 U に対してアーベル群の列 Hi(U, A),
i =0, 1, 2, . . . が定まり H0(U, A) = Γ(U, A)。
(1) 短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
→ H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
→ H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
・ ・ ・
がある。
(2) A が脆弱層（すべての U に対して ρXU が全射。K など）や柔軟層（１の
分解ができる。Dpq など）であるときは，i > 0 について Hi(X, A) = 0。
(3) X がコンパクトな n 次元複素多様体（射影代数多様体など）で A が
連接層（A は有限生成 O 加群）ならば Hi(X, A) は有限次元 C ベク
トル空間で，i > n なら Hi(X, A) = 0. したがってこのとき A のオイ
ラー標数 Euler characteristic χ(X, A) = (-1)i dim Hi(X, A) が定義
される。
P18
3.3. 連接層の特性類
P19
3.4. Serre 双対定理
3.5. 複素多様体の変形
代数曲線の変形／モジュライ理論はす
でにリーマンが本質的な解答をもっていたわけであるが，一般のコンパクト
複素多様体に対する変形理論 deformation theory は小平 ?Spencer によって
創始され，倉西によって局所理論が完成した。
対応するコホモロジーの完全列をとればB の o における接空間から H1(X, TX)
への写像を得る。これを小平 -Spencer 写像 Kodaira-Spencer map という。
基本的な結果は小平 - Spencer および倉西による以下の結果である。
つづく
264:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:44:29.26 FwdYzTor.net
>>230
つづき
P20
4 複素曲面
２次元の複素多様体を複素曲面 complex surface という。通常はコンパクト
を仮定する。前節で説明した基本的概念をもちいて，小平先生が展開した複
素曲面理論のエッセンスを説明する。
P22
4.2. 複素曲面上のリーマン・ロッホ定理
Ｐ26
4.5. エンリケスと小平の曲面分類理論
複素曲面の双有理同値類を分類する場合，重要なことは双有理変換によっ
ては変化しない量，すなわち双有理不変量を見つけることである。双有理不
変量としては，基本群や第１ベッチ数などさまざまなものがあるが，代数曲
265:面だけをあつかった Enriques は多重種数 Plurigenera と補助的に不正則数 irregularity を選んだ。それに対して代数的でない複素曲面もあつかった小平 は，第１ベッチ数と幾何種数および第１ Chern 類に着目した。 Enriques による相対極小な代数曲面 S の「分類」は以下のようなものである。 (0-2) P1 = 1, q = 0。K3 曲面。KS ~= 0。 (1) Pm = O(m)：ある m > 0 に対して，|mKS| は底点をもたず，ΦmKS は S から代数曲線 B への全射を定めて，その一般のファイバーは種数１ の非特異曲線（楕円曲面）。とくに mKS は B の因子の引き戻しになっ ている（ただし KS そのものが B の因子から来るとは限らない）。 この「分類」は，曲線の場合と比較するときわめて不完全である。(-∞) や (0-1), (0 - 1*) については問題ないが，K3 曲面（およびその商空間であ る Enriques 曲面）が位相的にどういう構造をもっているのかわからないし， 楕円曲面についての情報も茫漠としている。そして一般型曲面についてはほ とんど何も情報がない。K3 曲面や楕円曲面の構造を理解するためには，代 数曲面のカテゴリーを複素曲面に広げて考える必要があり，それを実行した のは小平であった。 つづく
266:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:44:48.31 FwdYzTor.net
>>231
つづき
また小平による『分類』は以下の通りである。
II0 : b1 = 0, pg = 1, c1 = 0 : K3 曲面
IV0 : b1 は偶数，pg > 0, c1≠ 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
VI0 : b1 奇数，pg > 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
小平の分類理論を使うと，
(a) すべての複素解析的 K3 曲面は変形でつながっており，とくに P
3 内の
非特異４次曲面と微分同相である。変形の空間のうち代数的な K3 曲
面全体は可算個の超曲面の和集合になっている。
(b) 適当に底曲線をその分岐被覆で置き換えると，楕円曲面は関数不変量
とホモロジー不変量という２つのデータで変形同値類が完全に決まり，
基本群などの位相不変量はすべて計算できる（たとえば基本群は底曲
線の基本群 π1(B) と Z2 の直和，または有限巡回群による π1(B) の拡
大である）。変形空間は上の２つのデータを用いたコホモロジー類の空
間と一致し，代数的な楕円曲面は稠密ではあるが測度０の部分集合 (絶
対値１の複素数のなかの１のベキ根全体と似ている）になっている。
ことが示される。代数曲面だけではなくコンパクトな複素曲面全体を考察す
る小平理論によって，Enriques の理論は（一般型曲面および非代数的な VII0
曲面を除いて）実質的な分類表になったのである。
(引用終り)
つづく
267:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:45:18.63 FwdYzTor.net
>>232
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
入射層
アーベル群の入射層（英: injective sheaf）は層係数コホモロジー（およびその他の導来函手、例えば Ext など）の定義に必要な分解を構成するのに用いられる。
関連する概念が適用できる層の他のクラスとして、脆弱層 (flabby sheaf[注釈 1]), 細層 (fine sheaf), 軟弱層 (soft sheaf[注釈 2]), 非輪状層 (acyclic sheaf) などがある。歴史的には入射層の概念は、1957年アレクサンドル・グロタンディークの「東北論文（英語版）」（アーベル圏が理論を得るのに十分な入射対象を持つことを示したもの）より前には導入されていた。先に挙げたほかの層のクラスはより古いものである。コホモロジーおよび導来函手を定義するための抽象的な枠組みはそれらに必要なものではない。しかし多くの具体的な状況下では、非輪状層による分解はしばしば構成が容易であり、したがって計算目�
268:I（たとえばルレイスペクトル系列（英語版））では非輪状層を考える。 技術的な目的では、入射層は上で述べたほかの層のクラスに対してふつうは上位互換である。つまり、ほかのクラスでできることは入射層でも大抵できて、その理論はより簡素かつより一般である。実は、入射層は脆弱、軟弱かつ非輪状である。しかし、これら他のクラスの層が自然に表れる状況というのが存在し、具体的な計算の場面では特にそうである。 脆弱層 底空間 X 上の層 Ｆ が脆弱層 (flasque sheaf, flabby sheaf) とは、 U ⊂ V( ⊂ X)} が開部分集合の包含列ならば、制限写像 r_{U ⊂ V}： Γ (V,Ｆ) → Γ (U,Ｆ)} は群準同型として（あるいは状況により環準同型や加群準同型として）全射となるときに言う。 脆弱層が有用であるのは、それが定義によりその切断を延長できることによる。 それはホモロジー代数を用いて扱えるもっとも簡単な層の一種となっていることを意味する。任意の層はエタール空間の可能なすべての不連続切断の成す脆弱層に標準的埋め込みを持ち、それを繰り返すことにより任意の層に対する標準的な脆弱分解を得ることができる。脆弱分解すなわち脆弱層に関する意味での分解は層係数コホモロジーを定義する方法の一つである。 脆弱層は軟弱層であり、非輪状層である。 (引用終り) 以上
269:現代数学の系譜 雑談
20/09/07 07:58:31.24 FwdYzTor.net
>>225
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
ここ
セールの有名な下記FAC, 1955 Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Introductionに
”let me recall the recent works of Kodaira-Spencer on the Riemann-Roch theorem”
とあるぜ
おまえ
付け焼き刃丸見えじゃん（＾＾
(>>146 より）
URLﾘﾝｸ(achinger.impan.pl)
Faisceaux Algebriques Coherents (FAC, 1955)
Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）
Jean-Pierre Serre
Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa
(抜粋)
Introduction
We know that the cohomological methods, in particular sheaf theory, play an increasing role not only in the theory of several complex variables ([5]),
but also in classical algebraic geometry (let me recall the recent works of Kodaira-Spencer on the Riemann-Roch theorem).
The algebraic character of these methods suggested that it is possible to apply them also to abstract algebraic geometry;
the aim of this paper is to demonstrate that this is indeed the case.
270:１３２人目の素数さん
20/09/07 08:30:06 bE/6WhUJ.net
>>234
やっぱり全然分かってないね
小平は連接性（局所有限な生成系の存在）を示したわけではない
連接性があると有意義な結果（コホモロジーが有限次元）が得られること
を示した
だから立ち位置はカルタンやセールと同じ
岡と同じだなんて、ウソをついてはいけないよ
271:１３２人目の素数さん
20/09/07 08:57:16.02 bE/6WhUJ.net
１次元の複素解析も怪しい◆yH25M02vWFhP に
代数幾何も複素解析幾何も無理だから諦めろ
大人しく線形代数を初歩からやり直せ
行列式知らんとか、工学部卒でも恥ずかしいぞ
272:１３２人目の素数さん
20/09/07 08:59:40.96 bE/6WhUJ.net
行列式知らんようじゃ、ヤコビアンも知らんだろ
微分形式もストークスの定理なんか当然知らんだろうな
そんな奴がコホモロジーとか聞いたって何が何やらチンプンカンプンだろ
意味ないよ 工学部卒ならベクトル解析くらい理解しとけ
273:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:04:20.41 bE/6WhUJ.net
大体トポロジーも知らん奴が
＞短完全列 0 → A → B → C → 0 があれば，長完全列
＞0 → H0(U, A) → H0(U, B) → H0(U, C)
＞ → H1(U, A) → H1(U, B) → H1(U, C)
＞ → H2(U, A) → H2(U, B) → H2(U, C)
＞ ・ ・ ・
＞がある。
とかいったって、何故だか分かるまい
意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
274:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:23:14.34 bE/6WhUJ.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、
微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。
微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、
また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。
微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、
あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。
また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、
この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
275:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:25:08.87 bE/6WhUJ.net
概要
エリ・カルタンによって微分方程式を幾何学的に捕らえようとする試みから生まれた
微分形式は、解析学や幾何学のいろいろな概念や公式を統一的な視点からまとめ、
形式的な計算により多くの結果を得、多様体などの図形を調べるのにも
非常に強力な道具になっていった。
n 次元ユークリッド空間において、座標が (x1,x2,…,xn) で与えられているとき、
n 変数関数 f(x1,x2,…,xn) を微分 0 形式といい、
余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。
係数となっている fk は変数を省略してあるが関数である。
これは関数の全微分で現れる式と同じである。
2 次以上の微分形式は微分形式同士をテンソル積でかけ合わせることにより得られる。
276:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:29:40.85 bE/6WhUJ.net
しかし、通常はこのような一般的すぎる積の代わりに
何らかの対称性を課した対称微分形式や交代微分形式がもちいられる。
いずれも、座標のとりかたによらない幾何学的な量を表すものであるが、
区別するためにも、このテンソル積の記号はあまり用いられない。
対称微分形式は、リーマン計量などを表現するときによく使われ、
テンソル積の記号は省略して書かれる。
dx2 といった形で指数にして表してしまうこともある。
リーマン計量は多様体上の各点での接ベクトルの大きさを定めるものであり、
局所的に線素の「長さ」を定めていることになる。
ガウスが曲面論で示したように、このような局所的な情報から、
多様体全体の形や大きさをかなりの程度知ることができる。
交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号 ∧ を用い書かれる。
交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。
dxi∧dxj=-dxj∧dxi
という関係式を満たし {dxk} の並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる
（対称微分形式では符号は変わらない）。
こういった符号の反転を内包させることによって
積分する変数の「向き」を捉えられることになる。
したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、
負の面積や負の体積といったものも現れるが、
そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、
非常に簡明に計算できるようになる。
さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、
解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる。
特に何の指定も無い場合、（高次元の）微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。
277:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:33:54 bE/6WhUJ.net
外微分
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は
関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。
外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。
それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の
自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、
その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るもの
と考えることができる。
278:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:38:39 bE/6WhUJ.net
公理による定義
外微分 d は以下の性質を満たす
k-形式から (k + 1)-形式への一意的な R-線型写像
として定義される：
1.滑らかな関数 f に対して d(f) := df は f の微分である。
2.任意の滑らかな関数 f に対して d(df) = 0 である。
3.d(α ∧ β) = dα ∧ β + (－1)p(α ∧ dβ) である、
ただし α は p-形式とする。
二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ：
実は、任意の k-形式 α に対して d(dα) = 0（より簡潔には、d＾2 = 0）である。
三番目の定義性質は特別な場合として f が関数で α が k-形式であれば
d(fα) = d(f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα
であるということを含んでいる。
なぜならば、関数は 0 形式であり、スカラー乗法と外積は
引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。
279:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:42:24 bE/6WhUJ.net
境界付き多様体上の微分形式に対するストークスの定理は次のように定式化される。
∫M dω=∫∂M ω
ここに、
M は向きの付いたn次元多様体であり、
ωは M 上の（少なくともC 1級の）n－1次微分形式でコンパクトな台を持つものとする。
∂Mは M の境界を、dω は ω の外微分を表している。
∂Mには M の構造から誘導される n－1 次元向きつき多様体の構造が入る。
この定理は
「ある量(微分形式)の微分を特定の領域で積分した値は、
境界で元の量を評価（積分）することによっても得られる」
と解釈でき、微積分学の基本定理の自然な拡張になっている。
280:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/08 07:49:21 wPbjCPq+.net
>>234
>＞（小平は特に関係ない）
>上記は、連接性の発見について、という意味
セール GAGA（>>54）にも、ちゃんとKODAIRAが引用されている
おサル、いやさ維新さんは、単に日本及び日本人数学者をディスりたいがために、”小平は特に関係ない”と発言したんだろうなー
日本で不遇な維新さん
おれが不遇なのは、日本及び日本人数学者が悪いって発想かな？
たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれたからといって、日本及び日本人数学者を恨むなよな！（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.numdam.org)
JEAN-PIERRE SERRE
Geometrie algebrique et geometrie analytique
Annales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), p. 1-42
(抜粋)
P26
KODAIRA-SPENCER [12]
P32
KODAIRA-SPENCER [12]
KODAIRA [11]
BIBLIOGRAPHIE
[11] K. KODAIRA. On Kahler varieties of restricted type. (an intrinsic characterization of algebraic varieties). Ann. of Maths., 60, 1954, pp. 28-48.
[12] K. KODAIRA ahd D. C. SPENCER. Diviser class groups on algebraic
varieties. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 39, 1953, pp. 872-877.
281:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 11:36:37.07 eqr8yurO.net
>>245
>たかが 小学生で遠山先生の「数学入門」を読めた程度で舞い上がって、Fラン数学科に入学し、そこで落ちこぼれた
「小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている」（下記）か
まあ、ニュートン・ライプニッツの微積くらいで終わっているの�
282:ﾅしょうね これで数学にあこがれたのかな？ｗ（＾＾ でもね、おれたちのころは、数学科は食えない進路と言われた 数学科出ても、せいぜい高校数学教師どまり。普通の企業の就職には不利 まあ、東大京大の数学科主席くらいになると、大学に残ってくれと言われるだろうがね いまとは時代が違うかも 維新さんの時代は、「数学科は食えない進路」だったでしょ。おっちゃんより年上って言っていたね すんなり、高校数学教師目指せば良かったかな？ おっと、高校教師も人気職業で競争激しくなったんだ でも、それで日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ 身の程知らずに、Fラン数学科に進路を選んだのが間違いでしょ おじさん、修士のときに、数学科以外を選ぶべきだったと思うよ（＾＾； （参考） http://www.bohyoh.com/Bookshelf/Sugaku.html 数学入門（上）／（下） 著者：遠山啓 発行：岩波書店（1959年11月） この書は、拙著『ＣプログラマのためのＣ++入門』（ソフトバンク,1992）でも、以下のように推薦しています。 複素数についてもう少し詳しく知りたい人には、遠山啓著「数学入門（上）」（岩波新書）をお勧めします。複素数に限らず、小学校から高校程度までのレベルの数学がとてもわかりやすく解説されている、非常によい本です（著者の好きな本の１冊です）小学校や中学校から何気なく使ってきた数学の本当の意味が理解できるでしょう。 数の意味も含めて数学の基本を身につけたい人、算数・数学を勉強し直したい人、算数・数学の指導に携わっている人などに、特にお薦めいたします。小学校・中学校・高等学校の算数・数学の先生が、全員この本に取り組めば、数学嫌いの子供はいなくなるかもしれませんね！？。 2000年12月6日 by BohYoh Shibata
283:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 11:58:51.68 eqr8yurO.net
>>244
おっさん、ご苦労さん
必死で、「おまえは、こんなことを知らないだろう」と
外微分とか微分形式を持ち出すバカ
哀れ
付け焼刃が見え見えだよ、おれから言わせればね
外微分とか微分形式はね、三次元のベクトル解析で非常に有用でね
電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
なので、物理とか工学では、知っている人多数
それを、お前が知らないだけのことだよｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(hooktail.sub.jp)
外微分 [物理のかぎしっぽ]
三次元ユークリッド空間 R^{3} 上の外積代数を考えると，微分形式として次の 4 つを定義できました．
外微分
実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます．
つづく
284:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 11:59:11.02 eqr8yurO.net
>>247
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
外微分
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、英: exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。
k 形式を無限小 k 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を (k + 1)-平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。
目次
4 さらなる性質
4.1 閉形式と完全形式
4.2 ド・ラームコホロジー
4.3 自然性
5 ベクトル解析における外微分
5.1 勾配
5.2 発散
5.3 回転
5.4 grad, curl, div, およびラプラシアンの不変公式
(引用終り)
以上
285:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 15:28:25.61 eqr8yurO.net
>>247
「数学をいかに使うか（志村 五郎）」
志村 五郎先生は、微分形式、外微分を結構重視していたといのは、下記の通り有名な
286:話で 旧ガロアスレでも取り上げた （参考） https://yashiroy29.wordpress.com/2019/06/05/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%82%92%E3%81%84%E3%81%8B%E3%81%AB%E4%BD%BF%E3%81%86%E3%81%8B%EF%BC%88%E5%BF%97%E6%9D%91-%E4%BA%94%E9%83%8E%EF%BC%89/ yashiroy29 数学をいかに使うか（志村 五郎） (抜粋) ・四元数環は実数体、複素数体の延長であり、それ自体が重要であるばかりでなく、外積代数やClifford代数、多元環論の基礎となっている。 ・微分形式、外微分という概念は難しくなく、それを使うと、外積などのベクトル解析の算法の見通しが良くなる。積分のGauss-Stokesの式は、微積分の基本定理を多次元空間に拡張したものである。 ・多変数の微積分の次に学ぶとよいのは、複素解析、具体的には楕円関数論が良いだろう。歴史的には三角関数の逆関数の拡張から二重周期関数が発見されたが、Weierstrassは逆に二重周期関数は楕円関数となることを示した。 ・Fourier変換にPoissonの和公式を適用するとJacobiのテータ関数が得られる。３人はほぼ同時代に生きたが、この関係性は本人たちは知らなかっただろう。 ・定理などの名付けには色々問題がある。最後の証明を完成した人だけが偉いのではない。そもそも間違った論文や教科書も多く、古典的な書物は、現代の厳密な証明に照らし合わせると不完全な場合もある。 ・参考にすべき日本語の教科書が無いため、参考文献は外国語のものばかりになってしまった。だからこの本を日本語で書いたのである。
287:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 15:40:49.66 eqr8yurO.net
>>238
>意味ないよ 悪いこといわない 数学はキレイサッパリ諦めろ
意味わからん
”諦めろ”？
なんのことかな
おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
いまさら、数学の論文書いて、数学者になろうなんて、考えていない
数検？ まあ、十代か二十代で、就職の箔付け（英語の資格みたいな）ならやっても良いが
いまさら、数検１級とか、「実用数学技能検定」ね、下記かよ
いまさら、復習してもね、面白くもなんともない
セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ（＾＾；
数検１級 「実用数学技能検定」 それって、就職のときの 英語の資格試験類似でしょ
おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
実用数学技能検定
1級（大学程度・一般）
検定の内容
解析：微分法、積分法、基本的な微分方程式、多変数関数（偏微分・重積分）、基本的な複素解析
線形代数：線形方程式、行列、行列式、線形変換、線形空間、計量線形空間、曲線と曲面、線形計画法、二次形式、固有値、多項式、代数方程式、初等整数論
確率・統計：確率、確率分布、回帰分析、相関係数
コンピュータ：数値解析、アルゴリズムの基礎
その他：自然科学への数学の応用など
288:１３２人目の素数さん
20/09/08 16:17:00 /5kzKRHO.net
>>246
瀬田君が工学部卒でないことは分かる。
どう考えても、瀬田君に大学に合格する能力はない。
簡単な等確率の考え方や級数 Σ_{k=1,2,…,+∞}(9/10)^k の計算が出来ないのに大学に合格出来る訳ない。
50代、60代なら尚更。
289:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 16:44:17.78 eqr8yurO.net
>>247 追加
>電磁気学の方程式などが、綺麗に書けるんだ
URLﾘﾝｸ(hooktail.org)
微分形式 [物理のかぎしっぽ]
(抜粋)
ユークリッド空間とミンコフスキー空間上の
290:微分形式 † ストークスの定理再々考（Joh著） 四次元の微分形式（Joh著） ミンコフスキー空間上の微分形式（Joh著） マックスウェル方程式への応用（Joh著） http://hooktail.sub.jp/differentialforms/DiffFormsMaxwellsEq/ マックスウェル方程式への応用 (抜粋) 三次元ユークリッド空間上の微分形式 最初に，微分形式の復習も兼ねて，三次元ユークリッド空間上で次のような一次微分形式 E,J と二次微分形式 B を考えてみます． 確かに，微分形式を使ってマックスウェルの方程式を表現することは出来ましたが，特にこのように書く旨味はあまり感じられませんね．三次元ユークリッド空間上で考えている限り，マックスウェルの方程式はこれ以上は簡単になりません．しかし， x,y,z と t を一緒にして， ミンコフスキー空間 上で考えることで，驚くほど美しく，簡単な表現に帰着します．次セクション以降で，そのことを見ていきます． ミンコフスキー空間で表現してみる まず，次のような微分形式 F を考えます．これは，ミンコフスキー空間上の二次微分形式です．（おいおい見ていくように，マックスウェルの方程式は，ミンコフスキー空間上で，本当に綺麗に表現されます．） これはマックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) に他なりません．つまり，ミンコフスキー空間上の微分形式を使えば，マックスウェルの方程式 (2-1)(2-2) がまとめて次のように表現できるということです． dF =0 {9} 美しい！ 真空中でのマックスウェルの方程式 真空中（自由空間中）でのマックスウェルの方程式は，微分形式を使えば dF=0 , d*F=0 という二本の式に集約できます． ここまで美しい形にまとめられたのも，まさに微分形式の威力です． ここまで，多様体というような概念はわざと避け，ユークリッド空間とミンコフスキー空間だけで微分形式を考えてきましたが，次からはいよいよ多様体上の微分形式を考えます．微分形式の威力と美しさが，読者のみなさんに少しでも伝わっていれば嬉しいです．
291:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 16:53:11.17 eqr8yurO.net
>>251
おれは、具体的な氏名の議論はしない
だが、おれの書いていることは、時枝にしろ、IUTにしろ、ここで書いていることにしろ、旧ガロアスレで書いたことにしろ
正しいと思っている
間違っているのは、おサルさんたち
（なお、間違いがあったことは認めるが、都度訂正しているよ。時枝も分からないようじゃ、なんだかなーｗｗ）
あと、下記の哀れな素人氏のスレでも同じだ
おれが書いたことは、正しいよ（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
それだけです（＾＾
（参考）
0.99999……は１ではない その12
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
292:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 17:06:26.88 eqr8yurO.net
>>253 補足
>おれは、具体的な氏名の議論はしない
議論をすることが
全く無関係な第三者の迷惑になりかねないからね
293:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:08:10.60 ojElSBRm.net
>>245
>日本及び日本人数学者をディスりたいがために・・・
>日本及び日本人数学者が悪いって発想かな
>>246
>日本と日本人数学者を恨むのは、筋違いだよ
ニッポン、ニッポンって、愛国気違いがうるさいねぇ
岡だけでなく小平を持ち出した理由って
ただただニッポン最高！っていいたいだけかい？
岡と小平は役割が違うんだがね
数学が分からないくせに
ニッポン万歳！
ニッポンジン万歳！
とわめきたがる愛国白痴には
困ったもんだね
訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
ニッポン自慢したいだけだろ？
もしかして朝鮮学校の奴らにオカマ掘られた？
どうせキムチくせぇとかバカなこといったんでしょ
自分だってタクアンくせぇとかいわれたら発狂するくせに
何いってんだろう�
294:ﾋ
295:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:08:38.27 ojElSBRm.net
>>247-249
◆yH25M02vWFhP は
なぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
全然分かってないと思うね
行列式も知らん奴に分かるわけないって
296:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:10:39.21 ojElSBRm.net
>>250
>おれは、５ｃｈ数学板で遊んでいるだけでね
学歴詐欺遊びは悪趣味だね
>数検？ いまさら、数検１級とか、
>復習してもね、面白くもなんともない
復習？ この期に及んで、まだ嘘つきつづけるのかい？
君が大学に行ってないことはもうとっくにバレれるよ
大学に行ってて、行列式を知らないとかありえないから
>セールも、グロタンも、望月も出てこないじゃんかｗ
君には代数幾何なんて無理
だって線形代数の初歩もわかってないんだからねえ
>おれら、遊びでやっていることと、なんの関係もないぜｗ
「ら」？ 君は自分に仲間がいると思ってるの？
悪いけど君のような学歴詐称のウソツキピエロは他にいないよ
さ、詐欺師は他所に行ってくれ
297:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:11:34.24 ojElSBRm.net
>>253
>おれの書いていることは、
>時枝にしろ、IUTにしろ、
>・・・正しいと思っている
君は論理的に思考する能力が欠如してるから
自分の誤りには死んでも気づけないね
そんな人が数学に興味もっても間違い続けて
恥かきつづけるだけだからやめときな
>おれが書いたことは、正しいよ
>（実際、一撃で議論の方向が変わったでしょ。
> テレンスタオの指摘を投稿してからねｗｗｗ）
本当に、正真正銘の白痴なんだね、君は
超実数＝実数だとおもってるんだから
ウルトラフィルタ＝コーシーフィルタだとおもってるんだから
君、もしかして
「双曲平面はユークリッド平面だ！」
なんて言わないだろうね？
君のテレンスタオ発言の誤用は
そういう地獄の底レベルのものなんだよ
わかる？
298:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:16:57.02 ojElSBRm.net
>>253
>おれは、具体的な氏名の議論はしない
怖いの？
安心しなよ 誰も君みたいなDQNの命なんか奪わないって
何の意味があるの？
君がアベ・シンゾーとかならともかく只のド貧民でしょ？
299:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 18:17:38.31 eqr8yurO.net
>>255
すぐ、維新さんの本性が出るなぁ～ｗ（＾＾
>>256
>なぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
>全然分かってないと思うね
いいんじゃね？
そもそも、他人が何をどれだけ分かって、あるいは分かってないとか、それあなたの理解とか数学レベルとは何の関係もない
但し、鳥なき里の蝙蝠をするときだけに関係するんだ
おれさま、コウモリ様です。数学DRたプロ数学者に居ないところで、威張りたいもん！ ってときだに関係するよね、それってｗ、おサルさんｗｗ(゜ロ゜;
なお、ストークスの定理は、>>252に引用した [物理のかぎしっぽ] ストークスの定理再々考（Joh著）とか、その他なんでも、検索して好きなもの読めば、よかよかだよｗｗｗ
300:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:01:03.21 ojElSBRm.net
>>260
＞＞ぜ、ストークスの定理を成立させるのが外微分か
＞＞全然分かってないと思うね
＞いいんじゃね？
ベクトル解析も知らんとか技術者失格 只の工員
301:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:04:55.87 ojElSBRm.net
数学が分らん高卒バカが数学板で大卒詐称すんなよ
302:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:52:51.96 ojElSBRm.net
◆yH25M02vWFhP はまずここからやり直せ
現代数学への入門
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
303:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:54:12.71 ojElSBRm.net
◆yH25M02vWFhP にはチンプンカンプン
現代数学の基礎
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
304:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:54:33.06 uFw/N5vZ.net
>>263
このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
305:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:56:30.95 ojElSBRm.net
◆yH25M02vWFhP は見た瞬間、失神・卒倒
現代数学の展開
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
306:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:58:38.74 ojElSBRm.net
>>265
あくまでレベルという意味であげてみた
それぞれの内容についてもっといい本は他に沢山あるだろうから
自分で見つけて読めばいい
307:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 21:11:20.45 wPbjCPq+.net
>>255 補足
>訳も分からず、望月は全面的に正しい！と吠えるのも
>ニッポン自慢したいだけだろ？
訳も分からずは、維新さん、あなた
下記見なさいよ。仏 Lille 大学が応援に入ったよ。日本だけじゃない
それに、IUTの電子会議の”Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory”のリスト見なさい
随分大勢になった。これは、IUTが正しいからこそ、賛同者がじわじわ増えているってことですよ
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:750番)-777
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
Promenade in IUT
Org.: Collas (RIMS); Debes, Fresse (Lille)
(抜粋)
The seminar takes place every two weeks on Thursday for 2 hours by Zoom 17:30-19:30, JP time (9:30-11:30, UK time; 10:30-12:30 FR time) ? we refer to the Programme for descriptions of the talks and associated references.
Programme and schedule
September
09/24 T0 IUT Introductory Talk Collas
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
List of Participants
Niels Borne, Lille University, France;
Raf Cluckers, CNRS Lille University, France & KU Leuven, Belgium;
Benjamin Collas, RIMS - Kyoto University, Japan;
Pierre Debes, Lille University, France;
Ivan Fesenko, Nottingham University, UK;
Benoit Fresse, Lille University, France;
Julien Hauseux, Lille University, France;
Yuichiro Hoshi, RIMS - Kyoto University, Japan;
Fumiharu Kato, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Arata Minamide, RIMS - Kyoto University, Japan;
Shinichi Mochizuki, RIMS - Kyoto, Japan;
Wojciech Porowski, Nottingham University, UK;
Lorenzo Ramero, Lille University, France;
Koichiro Sawada, Osaka University, Japan;
Shota Tsujimura, RIMS - Kyoto University, Japan;
Yasuhiro Wakabayashi, Tokyo Institute of Technology, Japan;
Seidai Yasuda, Osaka University, Japan (TBC);
Shigetoshi Yokoyama, Gunma University, Japan;
308:現代数学の系譜 雑談
20/09/08 21:22:26.22 wPbjCPq+.net
>>265
>このシリーズは良いシリーズでしたか？微分積分も線形代数もいいとは思いませんでしたし
同意だな
内容がすでに古くなっている気がするな
例えば、フェルマー（谷山志村の解決）、ポアンカレ予想の解決、物理ストリング理論と数学との関係（ソリトンなども）、森先生や広中先生のフィールズ賞に繋がる話も抜けているし
いまどきのビッグデータや、IAに繋がる話（テンソルフローなど）も無い
はっきり言って、視点が古すぎると思うよ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波講座 現代数学への入門
全10巻20分冊で構成され、第1次は1995年10月から1996年9月まで、第2次は1999年4月から2000年1月までに渡り刊行された。