20/08/30 16:01:06.67 oR3g+efa.net
>>17
つづき
IBN 環 R 上の自由加群 Rn の階数 (rank) は Rn に同型な勝手な（したがってすべての）R-加群 Rm の指数 m の濃度と定義される。したがって IBN property は自由 R-加群のすべての同型類は一意的な階数を持つことを主張する。階数は IBN を満たさない環に対しては定義されない。ベクトル空間に対しては、階数は次元とも呼ばれる。したがってこれまでの結果をまとめると： 階数がすべての自由 R-加群に対して一意的に定義されることと、それがすべての有限生成自由 R-加群に対して一意的に定義されることは同値である。
例
任意の（可換）体は IBN を満たし、これは有限次元ベクトル空間が well-defined な次元を持つという事実である。さらに、任意の可換環（1 = 0 の自明環は除く）は IBN を満たし、任意の左ネーター環や任意の半局所環も（したがって可除環や半単純環なども）IBN を満たす。
証明
略（原文を見よ）
他の結果
IBN は零因子を持たない環（域）が可除環に埋め込めるための必要条件である（が十分ではない）。（可換な場合には分数体に埋め込める。）Ore condition も参照。
すべての非自明な stably finite ring は invariant basis number を持つ。
非可換体の拡大を考えると、上の体は下の体の左ベクトル空間とも右ベクトル空間ともみられるが、この 2 つのランクは一致するとは限らない。驚くべきことに、任意の整数 m, n > 1 に対して、体の拡大 K ⊂ L であって、L は K 上左から見て m 次元、右から見て n 次元となるものが存在する。
つづく