20/09/03 17:26:31.13 k0Z0EEBv.net
>>134
つづき
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ホモトピー群
ファイブレーションの長完全列
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション（英語版）とする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質（英語版）を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn?1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例： ホップ・ファイブレーション（英語版）。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列
? → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn?1(S1) → ?
と、n ? 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ? 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。
つづく