20/09/03 17:21:40.39 k0Z0EEBv.net
>>126
>違うだろ
>”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
補足
Jean-Pierre Serre
(余談：”Hiroshi Toda”？)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Homotopy groups of spheres
In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other. They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute.
Most modern computations use spectral sequences, a technique first applied to homotopy groups of spheres by Jean-Pierre Serre. Several important patterns have been established, yet much remains unknown and unexplained.
History
Jean-Pierre Serre used spectral sequences to show that most of these groups are finite, the exceptions being πn(Sn) and π4n?1(S2n).
Others who worked in this area included Jose Adem, Hiroshi Toda, Frank Adams and J. Peter May. The stable homotopy groups πn+k(Sn) are known for k up to 64, and, as of 2007, unknown for larger k (Hatcher 2002, Stable homotopy groups, pp. 385?393).
つづく
144:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:22:26.78 k0Z0EEBv.net
>>129
つづき
Framed cobordism
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
Homotopy groups of spheres are closely related to cobordism classes of manifolds. In 1938 Lev Pontryagin established an isomorphism between the homotopy group πn+k(Sn) and the group Ωframed
k(Sn+k) of cobordism classes of differentiable k-submanifolds of Sn+k which are "framed", i.e. have a trivialized normal bundle.
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
In 1954 the Pontrjagin isomorphism was generalized by Rene Thom to an isomorphism expressing other groups of cobordism classes (e.g. of all manifolds) as homotopy groups of spaces and spectra. In more recent work the argument is usually reversed, with cobordism groups computed in terms of homotopy groups (Scorpan 2005).
Finiteness and torsion
In 1951, Jean-Pierre Serre showed that homotopy groups of spheres are all finite except for those of the form πn(Sn) or π4n?1(S2n) (for positive n), when the group is the product of the infinite cyclic group with a finite abelian group (Serre 1951). In particular the homotopy groups are determined by their p-components for all primes p. The 2-components are hardest to calculate, and in several ways behave differently from the p-components for odd primes.
In the same paper, Serre found the first place that p-torsion occurs in the homotopy groups of n dimensional spheres, by showing that πn+k(Sn) has no p-torsion if k < 2p ? 3, and has a unique subgroup of order p if n ? 3 and k = 2p ? 3.
つづく
145:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:24:01.93 k0Z0EEBv.net
>>130
つづき
Furthermore, the stable range can be extended in this case: if n is odd then the double suspension from πk(Sn)
146:to πk+2(Sn+2) is an isomorphism of p-components if k < p(n + 1) ? 3, and an epimorphism if equality holds (Serre 1952). The p-torsion of the intermediate group πk+1(Sn+1) can be strictly larger. Computational methods ・"The method of killing homotopy groups", due to Cartan and Serre (1952a, 1952b) involves repeatedly using the Hurewicz theorem to compute the first non-trivial homotopy group and then killing (eliminating) it with a fibration involving an Eilenberg?MacLane space. ・The Serre spectral sequence was used by Serre to prove some of the results mentioned previously. He used the fact that taking the loop space of a well behaved space shifts all the homotopy groups down by 1, so the nth homotopy group of a space X is the first homotopy group of its (n?1)-fold repeated loop space, which is equal to the first homology group of the (n?1)-fold loop space by the Hurewicz theorem. This reduces the calculation of homotopy groups of X to the calculation of homology groups of its repeated loop spaces. The Serre spectral sequence relates the homology of a space to that of its loop space, so can sometimes be used to calculate the homology of loop spaces. The Serre spectral sequence tends to have many non-zero differentials, which are hard to control, and too many ambiguities appear for higher homotopy groups. Consequently, it has been superseded by more powerful spectral sequences with fewer non-zero differentials, which give more information. （日本語ページ無いが、英文ページがある（＾＾；） https://en.wikipedia.org/wiki/Hiroshi_Toda Hiroshi Toda Hiroshi Toda (戸田 宏, Toda Hiroshi, born 1928) is a Japanese mathematician, who specializes in stable and unstable homotopy theory. つづく
147:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:25:03.24 k0Z0EEBv.net
>>131
つづき
He started publishing in 1952. Many of his early papers are concerned with the study of Whitehead products and their behaviour under suspension and more generally with the (unstable) homotopy groups of spheres. In a 1957 paper he showed the first non-existence result for the Hopf invariant 1 problem. This period of his work culminated in his book Composition methods in homotopy groups of spheres (1962). Here he uses as important tools the Toda bracket (which he calls the toric construction) and the Toda fibration, among others, to compute the first 20 nontrivial homotopy groups for each sphere.
（Ishikawa, Goo は、北大か。URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp) 幾何学者石川剛郎の公式ホームページへようこそ！ ）
URLﾘﾝｸ(mathgenealogy.org)
Hiroshi Toda
Name School Year Descendants
Ishikawa, Goo 1985 7
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cobordism
In mathematics, cobordism is a fundamental equivalence relation on the class of compact manifolds of the same dimension, set up using the concept of the boundary (French bord, giving cobordism) of a manifold. Two manifolds of the same dimension are cobordant if their disjoint union is the boundary of a compact manifold one dimension higher.
The boundary of an (n + 1)-dimensional manifold W is an n-dimensional manifold ∂W that is closed, i.e., with empty boundary. In general, a closed manifold need not be a boundary: cobordism theory is the study of the difference between all closed manifolds and those that are boundaries. The theory was originally developed by Rene Thom for smooth manifolds (i.e., differentiable), but there are now also versions for piecewise linear and topological manifolds.
つづく
148:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:25:33.48 k0Z0EEBv.net
>>132
つづき
4 History
History
Cobordism had its roots in the (failed) attempt by Henri Poincare in 1895 to define homology purely in terms of manifolds (Dieudonne 1989, p. 289). Poincare simultaneously defined both homology and cobordism, which are not the same, in general. See Cobordism as an extraordinary cohomology theory for the relationship between bordism and homology.
Bordism was explicitly introduced by Lev Pontryagin in geometric work on manifolds. It came to prominence when Rene Thom showed that cobordism groups could be computed by means of homotopy theory, via the Thom complex construction. Cobordism theory became part of the apparatus of extraordinary cohomology theory, alongside K-theory. It performed an important role, historically speaking, in developments in topology in the 1950s and early 1960s, in particular in the Hirzebruch?Riemann?Roch theorem, and in the first proofs of the Atiyah?Singer index theorem.
In the 1980s the category with compact manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms played a basic role in the Atiyah?Segal axioms for topological quantum field theory, which is an important part of quantum topology.
つづく
149:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:26:12.38 k0Z0EEBv.net
>>133
つづき
Categorical aspects
Cobordisms are objects of study in their own right, apart from cobordism classes. Cobordisms form a category whose objects are closed manifolds and whose morphisms are cobordisms. Roughly speaking, composition is given by gluing together cobordisms end-to-end: the composition of (W; M, N) and (W′; N, P) is defined by gluing the right end of the first to the left end of the second, yielding (W′ ∪N W; M, P). A cobordism is a kind of cospan:[3] M → W ← N. The category is a dagger compact category.
A topological quantum field theory is a monoidal functor from a category of cobordisms to a category of vector spaces. That is, it is a functor whose value on a disjoint union of manifolds is equivalent to the tensor product of its values on each of the constituent manifolds.
In low dimensions, the bordism question is relatively trivial, but the category of cobordism is not. For instance, the disk bounding the circle corresponds to a null-ary operation, while the cylinder corresponds to a 1-ary operation and the pair of pants to a binary operation.
つづく
150:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:26:31.13 k0Z0EEBv.net
>>134
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ホモトピー群
ファイブレーションの長完全列
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション（英語版）とする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質（英語版）を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn?1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例： ホップ・ファイブレーション（英語版）。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列
? → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn?1(S1) → ?
と、n ? 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ? 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。
つづく
151:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:26:53.76 k0Z0EEBv.net
>>135
つづき
計算の手法
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト?ファン・カンペ
152:ンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理（英語版）とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。 球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。 (引用終り) 以上
153:１３２人目の素数さん
20/09/03 19:41:30.92 jFhKC8Ah.net
>>126-136
🐎🦌が分りもせんことコピペして発●
154:１３２人目の素数さん
20/09/03 19:43:02.13 jFhKC8Ah.net
セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
155:１３２人目の素数さん
20/09/03 19:55:55.12 jFhKC8Ah.net
>>135
「例： ホップ・ファイブレーション。
B を S2 とし E を S3 とする。
p をホップ・ファイブレーションとする。
ファイバーは S1 である。
長完全列
… → π_n(S1) → π_n(S3) → π_n(S2) → π_n-1(S1) → …
と、n>=2 のとき π_n(S1) = 0 であることから、
n>=3 のとき π_n(S3) = π_n(S2) であることが分かる。
とくに、π_3(S2) = π_3(S3) = Z である。」
🐎🦌は一回も読みもせずにコピペｗ
3次元球面のHopf fibrationの作り方
C^2(=R^4)の単位球面S^3と、複素直線（＝実平面）czの交わりを考える
交わりは円であり、直線の傾きが異なれば円同士は共通の点を持たない
傾きのパラメータは∞も含めればS^2に対応するから
S^3を、底空間S^2 ファイバーS^1 のファイバー空間とすることができる
（実際にはファイバー束でもある）
実は同じ理屈で
S^1を、底空間S^1、ファイバーS^0＝{-1,1} のファイバー空間
（実平面R^2の中のS^１と実直線cxの交わり）
S^7を、底空間S^4、ファイバーS^3のファイバー空間
（四元数平面H^2の中のS^7と四元数直線ｃhの交わり）
も考えられる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
156:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 21:12:58.00 IXkbS7e9.net
>>138
>セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
文盲かよ（下記）
”the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves”
を見落としたか
あるいは、意図してスルーしたのかな？
(>>127より)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Leray spectral sequence
History and connection to other spectral sequences
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves.
(引用終り)
必死の論点ずらし、ご苦労さん
（>>126より）
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
(引用終り)
ということ
つまり、「セールのスペクトル系列に層は必要かどうか」ではなく
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
は、”球面のホモトピー群”だからの受賞ではなく
”Serre spectral sequence”という手法が、当時として斬新だった
そして、その斬新さは、21世紀のいまでも、ほとんど失われていないのです。偉大なり、Jean-Pierre Serre！！（＾＾
（そのことは、”URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) ”
”URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) ”
”URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ホモトピー群”を読めば分かる
ホモトピー群「球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。
S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。」ということなのです）
157:粋蕎
20/09/03 22:30:53.33 vYrXB61b.net
文章が謂わんとする大義に目が眩み論点を見失いよった、過失レベルに｡
争点すり替えと言われても争点すり替え呼ばわりに対する罪を指摘し返せないレベルの過失｡
層の要否に瀬田氏と魔王の両者の頭脳評価進退が掛かる争点だったのに
争点の叩き台であったネタ元話題の話題の中の最たる大義（無論、ネタ元同一ながら別争点）に逃げよった｡
丸でアインシュタインのノーベル賞受賞ネタ元（ブラウン運動がどうしたこうした）の話をしとる所に
瀬田氏が勝手に相対論（ノーベル賞受賞論文と同様、アインシュタインの三本ほぼ同時デビュー論文）の話をするが如く｡
瀬田氏は数学の理論を弁論するのではなく、数学の政治を弁論する様じゃ｡
竜巻扇風脚の科学を語る場に、場を弁えず昇龍拳の科学を語る愚｡
158:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:49:09.03 IXkbS7e9.net
>>128 補足
>Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
下記
”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
”3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.”
へー、”Fourier-Mukai”ね。そうなのかぁ～！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves
Eric Sharpe
Department of Mathematics
1409 W. Green St., MC-382
University of Illinois
Urbana, IL 61801
These notes are a writeup of lectures given at the twelfth Oporto meeting on “Geometry,
Topology, and Physics,” and at the Adelaide workshop “Strings and Mathematics 2003,”
primarily geared towards a physics audience. We review current work relating boundary
states in the open string B model on Calabi-Yau manifolds to sheaves. Such relationships
provide us with a mechanism for counting open string states in situations where the physical
spectrum calculation is essentially intractable - after translating to mathematics, such calculations become easy.
We describe several different approaches to these models, and also describe how these models are changed by varying physical circumstances - flat
B field backgrounds, orbifolds, and nonzero Higgs vevs. We also discuss mathematical interpretations
of operator products, and how such mathematical interpretations can be checked physically.
One of the motivations for this work is to understand the precise physical relationship between boundary states in the open string B model and derived categories in mathematics,
and we outline what is currently known of the relationship.
July 2003
つづく
159:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:50:21.11 IXkbS7e9.net
>>142
つづき
Contents
1 Introduction 5
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups 8
2.1 Complexes and exact sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Sheaf cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Ext groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Introduction
Using sheaves as a mathematical tool to model D-branes on large-radius Calabi-Yau manifolds was first suggested many years ago by J. Harvey and G. Moore in [1]. Since then, it
has become popular to assume that such a model is a reasonable one, and furthermore to
assume that sheaves can be used to calculate physical properties such as, for example:
1. Open string spectra between D-branes, which are believed to be counted by Ext groups.
2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.
3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.
Another motivation comes from understanding mirror symmetry. Before D-branes
were popularized, Kontsevich [2] proposed an understanding of mirror symmetry involving
mathematical objects known as derived categories (collections of complexes of sheaves, for
the moment). At the time, the physical meaning of this proposal was far from clear.
Using sheaves as a tool to describe D-branes was progress towards
160:understanding the physical meaning of Kontsevich’s proposal, but only a first step. つづく
161:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:50:55.20 IXkbS7e9.net
>>143
つづき
Another important physical step was Sen’s work (see e.g. [3]) on brane/antibrane annihilation, which helped suggest
a physical meaning for the objects in derived categories: they should be complexes of alternating branes and antibranes. This proposal first appeared in print in [4], which helped motivate the suggestion by using properties of Fourier-Mukai transforms modelling T-duality
to suggest that such brane/antibrane complexes were required. (See also [5] for earlier work
suggesting a different physical meaning of derived categories, in a very different context.)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold (a notion with obvious applications to modelling D-branes), and other more abstract
settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map
つづく
162:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:51:21.43 IXkbS7e9.net
>>144
つづき
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
2.3 Sheaf cohomology
略
(引用終り)
以上
163:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/04 07:37:00 dmgJxCEv.net
>>140
>偉大なり、Jean-Pierre Serre！！
追加
「現代幾何学の流れ」2007日本評論社の
P72 加藤文元氏がセール氏のFACについて、書いていたので、調べてみた
下記の”Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）”中の層の定義が、古風で丁寧です。一見の価値あり（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jean-Pierre_Serre
Algebraic geometry
In the 1950s and 1960s, a fruitful collaboration between Serre and the two-years-younger Alexander Grothendieck led to important foundational work, much of it motivated by the Weil conjectures. Two major foundational papers by Serre were Faisceaux Algebrique
164:s Coherents (FAC, 1955),[3] on coherent cohomology, and Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique (GAGA, 1956).[4] https://mathoverflow.net/questions/14404/serres-fac-in-english Serre's FAC in English edited May 4 '10 at 8:59 Anweshi 100% http://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳） Jean-Pierre Serre Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa （参考） http://achinger.impan.pl/fac/fac.tar.gz 49 pointing you to a (in my novice opinion) good translation of GAGA here by my former office mate Trevor. Hailong Dao https://web.archive.org/web/20180728222951/http://ms.mcmaster.ca/~arnoldt/Serre-GAGA.dvi 9 There is another translation by Andy McLennan that comes with a lot of background material, the actual translation starts at page 235. I'm not really competent to make any comparisons. http://cupid.economics.uq.edu.au/mclennan/Algebra/fac_trans.pdf リンク切れみたいだが answered Sep 3 '16 at 12:54 https://ncatlab.org/nlab/show/FAC nLab
165:現代数学の系譜 雑談
20/09/04 10:51:51.25 WA43t50K.net
>>128 補足
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Grothendieck spectral sequence
>In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
下記に英訳がある
ここの層の定義は、大分現代風
というか、みんなこれに右にならえかもね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)
英訳
Some aspects of homological algebra Alexandre Grothendieck1
1The essential content of Chapters 1, 2, and 4, and part of Chapter 3 was developed in the spring
of 1955 during a seminar in homological algebra at the University of Kansas. Received March 1,1957.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Grothendieck's Tohoku paper
The article "Sur quelques points d'algebre homologique" by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal. It has revolutionized the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
つづく
166:現代数学の系譜 雑談
20/09/04 10:52:16.49 WA43t50K.net
>>147
つづき
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it. His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7] David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept (needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8] The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9] In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12] In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13] The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
(引用終り)
以上
167:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:16:20.61 YJxrx+O5.net
>>142 追加
下記は、物理屋さんに、層の講義をしているので、分り易い
層が抽象的で分かり難いと思う方、一読の価値がある
（物理の話”Higgs vevs”とかは、飛ばしながらね）
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P8
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups
2.1 Complexes and exact sequences
The language of complexes and exact sequences, standard in algebraic topology, will be used
throughout these lectures. However, many physicists do not know this language, so in this
introductory section we shall review these concepts.
A complex of groups, rings, modules, sheaves, etc is a collection An of groups, rings, etc,
with maps φn : An → An+1 satisfying the important property that φn+1 ◯φn = 0. Complexes
are typically denoted as follows:
An exact sequence is a special kind of complex, namely one in which the image of each
map is the same as the kernel of the next map, not just a subset. This is a stronger statement
than merely φn+1 ◯ φn = 0. For example, for the complex
Aφ-→ B -→ 0
to be exact implies that φ is surjective (onto): the kernel of the right map is all of B, since
the right map sends all of B to zero, yet since the complex is exact, the kernel of each map
equals the image of the previous map, so the image of φ is all of B, hence φ is surjective.
Similarly, for the complex
0 -→ A φ -→ B
to be exact implies that φ is injective (one-to-one): the image of the left map is zero, but
since the complex is exact, the image of each map equals the kernel of the next, so the kernel
of φ is zero, hence φ is injective.
つづく
168:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:17:29.55 YJxrx+O5.net
>>149
つづき
Short exact sequences are three-element exact sequences of the form
0 -→ A φ1 -→ B φ2 -→ C -→ 0
From the discussion above, we see that φ1 is injective and φ2 is surjective,
and the image of φ1 equals the kernel of φ2.
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map ρU,V : S(U) → S(V ), such
that for any triple inclusion W ⊆ V ⊆ U, the restriction from U to W is the same as the
composition of the restrictions from U to V and then from V to W:
ρU,W = ρV,W ◯ ρU,V
and such that the restriction map associated to the identity U ⊆ U is the identity map
S(U) → S(U). We shall usually denote the restriction map with a vertical bar, as |V , in the
usual way. A collection of sets {S(U)} together with restriction maps gives us a presheaf of sets.
つづく
169:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:18:25.15 YJxrx+O5.net
>>150
つづき
To get a sheaf of sets, we must impose what are called the “gluing” conditions:
1. For any pair of intersecting open sets U, V , and sections σ ∈ S(U), τ ∈ S(V ) such
that σ|U∩V = τU∩V
there exists a section ρ ∈ S(U ∪ V ) such that ρ|U = σ and ρ|V = τ . In other words, sections glue together in the obvious way.
2. If σ ∈ S(U ∪ V ) and σ|U = σ|V = 0 then σ = 0.
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
We should also mention some notation that will be used throughout these notes.
A holomorphic line bundle with first Chern
170: class c1 on a given space will typically be denoted O(c1). This notation makes most sense on projective spaces, where the first Chern class is simply an integer, so that O(n) denotes a holomorphic line bundle of first Chern class n. つづく
171:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:19:29.38 YJxrx+O5.net
>>151
つづき
Another easy example of a sheaf is the skyscraper sheaf. Let X be a space, and p be a
point on that space. Now, associate sections S(U) to open sets as follows:
・ If U contains p, then S(U) = C.
・ If U does not contain p, then S(U) = {0}.
It is easy to check that this is a sheaf. Moreover, the support of the sheaf S (meaning, the
subset of X over which the sheaf is nonzero) is only the point p.
Skyscraper sheaves are the simplest examples of “vector bundles on submanifolds” alluded to earlier.
Given a continuous map i : Y → X and a sheaf S on Y , we can form a sheaf denoted
i*S on X, defined as follows: i*S(U) ≡ S(i-1(U)).
For example, given a vector bundle E (or rather, the associated sheaf) on a submanifold
S of a manifold X, with inclusion map i : S → X, we can form the sheaf i*E on X. It is easy
to check that i*E only has support on S ? if an open set in X does not intersect S, then there
are no sections associated to that open set. The sheaf i*E is the more precise meaning of the
phrase “vector bundle on a submanifold,” and is an example of what is known technically
as a torsion sheaf. Notice that a skyscraper sheaf can also be put in the form i*E, where
i : p → X and E is the rank one line bundle on the point p, and so skyscraper sheaves are
also examples of torsion sheaves.
In particular, later we shall study the extent to which we can describe a D-brane on a
complex submanifold S with holomorphic vector bundle E by the sheaf i*E, for example by
comparing open string spectra to Ext groups (which will be discussed momentarily).
Another example of a sheaf is the sheaf of maps into Z, that assigns, to every open set
U, the set of continuous maps U → Z. This sheaf comes up in considerations of cohomology,
but is less useful for modelling D-branes.
つづく
172:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:20:28.67 YJxrx+O5.net
>>152
つづき
There are many more kinds of sheaves, more than we shall be able to discuss here.
Another way to describe sheaves is in terms of modules over coordinate rings ([12, section
5.3], [13, section II.5]), which often gives results not of forms previously discussed.
For example, sheaves on C^2 can be built by specifying C[x, y]-modules. The trivial line bundle on C^2
is described by the C[x, y] module given by C[x, y] itself.
The skyscraper sheaf supported at the origin corresponds to the C[x, y]-module
C[x, y]/(x, y)
where (x, y) denotes the ideal of the ring C[x, y] generated by x and y.
The sheaf corresponding to the trivial line bundle over the subvariety x = 0 is described by the C[x, y]-module
C[x, y]/(x).
A more interesting family of sheaves supported over the origin of C^2
is described by the one-parameter-family of C[x, y]-modules given by
C[x, y]/(x2, y - αx)
for some complex number α. These are not vector bundles over their supports in any sense,
making their physical interpretation somewhat confusing.
We shall see in section 10 that these sheaves model pairs of D0 branes, sitting at the origin of C^2, with nilpotent Higgs vevs.
A word on notation. Sections of a sheaf are often denoted with Γ, i.e. the sections of a
sheaf S over U are sometimes denoted Γ(U, S).
Some basic references on sheaves are [12, section 0.3], [14, section 2], and [15, section II.10].
つづく
173:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:20:50.35 YJxrx+O5.net
>>153
つづき
P12
2.3 Sheaf cohomology
One can define cohomology groups with coefficients in sheaves, just as one can define cohomology with coefficients in R and Z. Such cohomology groups are called sheaf cohomology.
Sheaf cohomology groups commonly arise in physics when counting vertex operators in string
compactifications. See for example [17] for a discussion of how sheaf cohomology counts spectra in heterotic compactifications, and [18] for a discussion of how sheaf cohomology counts
spectra in
174:the B model topological field theory, for just two examples. Sheaf cohomology will play an important role in understanding open string spectra also, so we shall take a few minutes to review it. In principle sheaf cohomology of degree n is defined as n-cochains, closed with respect to a coboundary operator, modulo exact cochains. Let us describe what that means more precisely, then work through some applications. Then, sheaf cohomology is defined as δ-closed cochains, modulo δ-exact cochains. (Strictly speaking, we should take a direct limit over open covers in order to obtain sheaf cohomology, but for our purposes that technicality will be irrelevant.) The resulting cohomology groups are denoted Hn(X, S), where n is called the degree. To help clarify the meaning of sheaf cohomology, let us take a moment to verify the following claim: line bundles are classified by degree 1 sheaf cohomology. Consider the sheaf C∞(U(1)) of smooth maps into U(1), or, alternatively, the sheaf O* of nowhere-zero holomorphic functions. A degree one element of sheaf cohomology is a collection of either smooth U(1)-valued maps or nowhere-zero holomorphic functions, defined on overlaps of elements of a good open cover. Let such a collection of functions on overlaps be denoted gαβ. Then, the condition of δ-closedness implies that the gαβ close on triple overlaps: gαβgβγgγα = 1. つづく
175:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:21:37.88 YJxrx+O5.net
>>154
つづき
For most of this paper, we shall only be interested in sheaf cohomology on complex
manifolds with coefficients in holomorphic sheaves. However, there are some amusing games
one can play with more general sheaves, which we wish to take a moment to describe.
In general, any map of sheaves S → T induces a map between sheaf cohomology groups
Hn(X, S) → Hn(X, T ), and also, a short exact sequence of sheaves
0 -→ S -→ T -→ U -→ 0
induces a long exact sequence of sheaf cohomology groups
・ ・ ・ -→ Hn(X, S) -→ Hn(X, T ) -→ Hn(X, U) -→ Hn+1(X, S) -→ ・ ・ ・
Using this fact we can quickly derive the topological classification of principal U(1) bundles
by first Chern classes, as follows. There is a short exact sequence of sheaves
0 -→ Z -→ C∞(R) -→ C∞(U(1)) -→ 0
which induces a long exact sequence as above.
However, Hn(X, C∞(R)) = 0 for n > 0, so,
for example, we find immediately that
H1(X, C∞(U(1))) ~= H2(X,Z).
As we have already seen, the group on the left classifies principal U(1) bundles,
and their images in H2(X,Z) under the induced map in the long exact sequence are just their first
Chern classes. Another relationship that can be immediately derived from the associated
long exact sequence is that
H2(X, C∞(U(1))) ~= H3(X,Z)
which will play an important role when we discuss B fields.
つづく
176:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:21:56.27 YJxrx+O5.net
>>155
つづき
Just as ordinary cohomology of a space can be realized by differential forms for special
coeffients (i.e., R coefficients), sheaf cohomology can be realized in terms of differential forms
when the coefficients are locally-free sheaves ? holomorphic vector bundles. In particular, if
E is a holomorphic vector bundle, then Hn
(X, E) is the same as ∂-closed (0, n)-differential
forms valued in the bundle E, modulo ∂-exact differential forms.
Here are some useful facts for calculating sheaf cohomology on complex manifolds, for
coefficients in holomorphic sheaves:
(引用終り)
以上
177:１３２人目の素数さん
20/09/05 08:23:02 Svsyj+D0.net
岡潔と連接性
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
178:１３２人目の素数さん
20/09/05 11:48:22 mUiKRCVR.net
ペタペタコピペすることに何の意味が有るのか？
畜生はそういうことが考えられない
179:１３２人目の素数さん
20/09/05 14:33:46 Svsyj+D0.net
自分で考えられない人が他人の文章をコピペで剽窃して誤魔化す
そういうことでしょう
180:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:42:23.33 YJxrx+O5.net
>>142 補足
>”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
>？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
米田信夫 でした by チコちゃん（＾＾
”Yoneda pairing”とか、”Yoneda product”とか、結構普通みたいだね
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Artin?Verdier duality
(抜粋)
In mathematics, Artin?Verdier duality is a duality theorem for constructible abelian sheaves over the spectrum of a ring of algebraic numbers, introduced by Michael Artin and Jean-Louis Verdier (1964), that generalizes Tate duality.
It shows that, as far as etale (or flat) cohomology is concerned, the ring of integers in a number field behaves like a 3-dimensional mathematical object.
Statement
Let X be the spectrum of the ring of integers in a totally imaginary number field K, and F a constructible etale abelian sheaf on X. Then the Yoneda pairing
H^{r}(X,F)times Ext^{3-r}(F,mathbb {G} _{m}) → H^{3}(X,mathbb {G} _{m})=mathbb {Q} /mathbb {Z}
is a non-degenerate pairing of finite abelian groups, for every integer r.
つづく
181:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:42:58.23 YJxrx+O5.net
>>160
つづき
上記”Yoneda pairing”にリンクが張ってあって、下記に飛ぶ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Yoneda product
(抜粋)
In algebra, the Yoneda product (named after Nobuo Yoneda) is the pairing between Ext groups of modules:
Ext^n (M,N)◯x Ext^{m}(L,M) → Ext^{n+m}(L,N)
induced by
Hom (N,M)◯x Hom (M,L) → Hom (N,L),f◯x g → g ・ f.
Specifically, for an element xi ∈ Ext^n (M,N), thought of as an extension
xi :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → M → 0,
and similarly
ρ :0 → M → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m}(L,M)
we form the Yoneda (cup) product
xi smile ρ :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m+n}(L,N).
Note that the middle map E_{n-1} → F_{0}} E_{n-1} → F_{0}} factors through the given maps to M.
We extend this definition to include m,n=0} m,n=0} using the usual functoriality of the Ext^{*}(_,_) groups.
Contents
1 Applications
1.1 Ext Algebras
1.2 Grothendieck duality
1.3 Deformation theory
2 See Also
3 References
4 External links
つづく
182:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:43:20.77 YJxrx+O5.net
>>161
つづき
References
Altman; Kleiman. Grothendieck Duality. p. 5.
Illusie, Luc. "Complexe cotangent; application a la theorie des deformations" (PDF). p. 163.
May, J. Peter. "Notes on Tor and Ext" (PDF).
External links
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Universality of Ext functor using Yoneda extensions asked Feb 8 '13 at 2:27 Arkandias
(抜粋)
Let C be an abelian category (possibly without enough injective nor projective).
(i) Let A,B∈C. When are the Extn(A,B) (defined using Yoneda extensions) sets ?
つづく
183:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:43:38.09 YJxrx+O5.net
>>162
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Nobuo Yoneda
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
米田信夫
(抜粋)
米田 信夫（よねだ のぶお、1930年3月28日 - 1996年4月22日）
1961年東京大学で理学博士号を取得した。博士論文の題は「On ext and exact sequences」[1]。
圏論における米田の補題に名を残している[2]。
脚注
1^ CiNii 博士論文
2^ しかしながら、現在につながる形で最初に用いたのはグロタンディークである。
URLﾘﾝｸ(www.numdam.org)
A.Grothendieck (1958-1960), Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebriques. II. Le theoreme d'existence en theorie formelle des modules.、
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
Encyclopedia of Mathematics :
184: Grothendieck functor (抜粋) Comments In the English literature, the Grothendieck functor is commonly called the Yoneda embedding or the Yoneda?Grothendieck embedding. つづく
185:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:44:33.04 YJxrx+O5.net
>>163
つづき
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
The Yoneda pairing, hypercohomology, and cup product asked Mar 11 at 10:41 Svinto
(抜粋)
Let F and G be coherent analytic sheaves on Pn. Let F・ be a locally free resolution of F. In Principles of Algebraic Geometry by Griffiths and Harris, Extp(F,G) is defined as the hypercohomology of the complex Hom(F・,G), i.e., the cohomology of the complex ◯+p=k+ｌCk(U,Hom(Fｌ,G)), see pages 705 and 446. Here C・(U,Hom(Fｌ,G)) denotes the ?ech complex with respect to some affine open cover U of Pn.
If I understand correctly, the Yoneda pairing
Extp(F,G)×Extq(G,H)→Extp+q(F,H)
should then be induced by the cup product in ?ech cohomology. However, I fail to see precisely how this works out.
つづく
186:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:44:55.06 YJxrx+O5.net
>>164
つづき
URLﾘﾝｸ(math.uchicago.edu)
SERRE DUALITY AND APPLICATIONS JUN HOU FUNG Date: September 15, 2013
(抜粋)
Abstract. We carefully develop the theory of Serre duality and dualizing
sheaves. We differ from the approach in [12] in that the use of spectral sequences and the Yoneda pairing are emphasized to put the proofs in a more systematic framework.
2.3. The Yoneda pairing 10
2.3. The Yoneda pairing. The statement of theorem 2.1 refers to the Yoneda
pairing which we describe here, using the language of abelian categories and derived
functors. Recall, an object I in an abelian category C is injective if Hom(?, I) is
exact. The category C has enough injectives if every object is isomorphic to a
subobject of an injective object.
Theorem/Definition 2.12 (Yoneda-Cartier). Let C and D be abelian categories
and suppose C has enough injectives. Let F : C → D be an additive, left-exact
functor. Then for any two objects A, B in C, there exist δ-functorial (i.e., functorial
in A and B and compatible with connecting morphisms) pairings
RpF(A) × ExtqC(A, B) → Rp+qF(B)
for all nonnegative integers p and q.
(引用終り)
以上
187:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 17:15:31 YJxrx+O5.net
（>>108-109 再録）
神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
河野玄斗
URLﾘﾝｸ(kosodatedoctor.)ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報
188:が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。 (8)独学の意識を持つ 教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。 おサルは、そういう勉強をしてこなかったみたいだな グロタンディークのまね、抽象的な数学を抽象的なまま考えようとした、身の程知らず たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んだ程度で、舞い上がるサル それが、数学落ちこぼれの原因ですよ（＾＾； (引用終り) 補足： いま、コピペしているのは、神脳 河野玄斗 数学勉強法の 「→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する」の部分です ”→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる”が出来れば良いが なかなかそこまで行かない。でも、オチコボレのばかサルよりましかもよｗｗｗ
189:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 17:24:37.36 YJxrx+O5.net
＜オチコボレのばかサル＞
１．時枝でも間違いを犯し
（参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番) 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
２．IUT でも、自分が理解できないくせに、IUTアンチでIUTをディスりまくり、間違いを犯す大失敗 （IUTは正しいよ（＾＾ ）
（参考）Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)
３．この「純粋・応用数学（含むガロア理論）4 」スレでも、人の揚げ足を取りに来て、自分が連続失言して、大失敗
（例えば、”例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもんで唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”とか、大爆笑。自然数は群ではない（＾＾ ）
190:１３２人目の素数さん
20/09/05 18:40:40.31 Svsyj+D0.net
>>166-167
何をぶつぶつ、独り言をいってるんですかね
サルなんて、ここにはいませんよ
191:１３２人目の素数さん
20/09/05 18:51:07.19 Svsyj+D0.net
１．数学セミナー201511月号の記事「箱入り無数目」は正しいですよ
２．望月新一のABC予想の証明は、まだ十分ではないですね
３．自然数の全体は群ではないですね 整数と書くつもりで間違ったんでしょう
ただ正則行列と書くべきところを、正方行列と間違える人はいないと思いますが
192:１３２人目の素数さん
20/09/05 19:00:46.98 Svsyj+D0.net
>>166
＞教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
独学の怖いところは誰も間違いを指摘してくれず
二つ三つと間違い続けて全然誤った結果に至っても
全然気づかず受け入れてしまう点ですね
全ての正方行列が逆行列を持つなんて、
大学で線形代数の講義を聞いていたら
誤りだと気付くんですがね
教科書の定義を全く読まずに
計算式だけ丸暗記して
しかも実際の計算は全くしないと
ウソを正しいと誤解しますね
逆行列のない正方行列なんて幾らでもできますからね
ついでにいうと全ての固有値が０となる行列で
零行列でない行列というのも幾らでもありますね
あ、いま、ビクッってしました？
もしかして全ての固有値が０なら零行列だと思ってました？
いるんですよね 何の根拠もなくそう思い込む人が
論理抜きで直感で思い込む癖のある人は独学に最も向きませんよ
193:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:05:23
194: ID:YJxrx+O5.net
195:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:05:43 YJxrx+O5.net
>>171
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
定義
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。
群に対して
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gm = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 gm は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という[1]。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる[2]。このとき A/T は捩れのない群である。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。
加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
（注 1^ すべての 0 ≠ s ∈ R に対して rs ≠ 0 ≠ sr が成り立つような元 r ∈ R を正則元という。）
（注 2^ 整域（零因子が 0 のみの可換環）では、全ての非零元が正則であるので、整域上の加群の捩れ元は、整域の非零元により零化される元であり、これ
196:を捩れ元の定義として使っている著者もいる。しかしこの定義は、一般の環の上ではうまくいかない（例えば後述の捩れがない加群は、零因子を持つ環上零加群しか存在しなくなってしまう）。） つづく
197:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:06:41 YJxrx+O5.net
>>172
つづき
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
群に対して
・任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイドの問題（英語版）＊）は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。（答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。）
・mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Q がその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。
・加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群（英語版）の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup（英語版）であるときである。
つづく
198:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:07:02 YJxrx+O5.net
>>173
つづき
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
ホモロジー代数における捩れ
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と N を可換環 R 上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorRi(M, N) の族を与える。R-加群 M の S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも S が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。
アーベル多様体
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式（英語版）(division polynomials)の項として計算される。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
(引用終り)
以上
199:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:50:43 YJxrx+O5.net
(再録)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:37番)
200:0 必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ >>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです 私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな 群は基本的に非可換だよ」と書いた （補足説明も、>>134-136に書いてある） おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾ （”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。 >>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です）） ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い 普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです） で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです 逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません 群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160） やれやれですなｗ（＾＾； (引用終り) ＜補足＞ これ 「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな 群は基本的に非可換だよ」 ↓ もっと簡単にして 「折角だから書いておくと、行列とか多元数あたりな・・ とでも書いておけば、意図はずっと明確になったろう 念頭にあったのは、行列による群の表現理論です つづく
201:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:51:07 YJxrx+O5.net
>>175
つづき
行列の積は、基本は非可換だからね
そして、群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
（逆元の存在要請から、零因子は除かれるし、正則行列に限られる）
だが、チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、専門用語”正則行列”は避けた。ここは日本数学会でなく、５ｃｈだから、ここの日常会話ではこれで十分だ
が、アホが揚げ足とりに来て、行列の零因子と逆行列の関係が理解できていない赤っ恥を露呈。笑えたな
面白いな、アホなおサルさん
以上
202:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 23:08:01.32 YJxrx+O5.net
>>91
(引用開始)
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
(引用終り)
(>>81より）
再録
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
(引用終り)
この話も、おサルが人の揚げ足を取ろうと、仕掛けてきて、自分の常識の無さを露呈の赤っ恥ｗ（＾＾
笑える
フィールズ賞で、”球面のホモトピー群”と”スペクトル系列”と、どちらが重視されたのか？ 分からない？ 常識が欠けているな
そもそも、”especially ”って書いてあるし
後に”Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.”とある
”スペクトル系列”と”sheaves”との繋がりが、見えないとしたら、常識が欠けているな
つづく
203:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 23:08:24.26 YJxrx+O5.net
>>177
つづき
（下記の通りですよ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jean-Pierre Serre
(抜粋)
Career
From a very young age he was an outstanding figure in the school of Henri Cartan,[2] working on algebraic topology, several complex variables and then commutative algebra and algebraic geometry, where he introduced sheaf theory and homological algebra techniques. Serre's thesis concerned the Leray?Serre spectral sequence associated to a fibration. Together with Cartan, Serre established the technique of using Eilenberg?MacLane spaces for computing homotopy groups of spheres, which at that time was one of the major problems in topology.
In his speech at the Fields Medal award ceremony in 1954, Hermann Weyl gave high praise to Serre, and also made the point that the award was for the first time awarded to a non-analyst. Serre subsequently changed his research focus.
(引用終り)
以上
204:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:38:40 JRBNrvaF.net
>>175
>私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
>群は基本的に非可換だよ」と書いた
>（補足説明も、>>134-136に書いてある）
>おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
>（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
そのような言い訳が通用しないことは、他ならぬあなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されていることからも明らかですねー
205:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:40:45 JRBNrvaF.net
>>167
>１．時枝でも間違いを犯し
> （参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番) 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
間違いを犯しているのはあなたですねー
そのスレに指摘してあげましたからよく読んで理解して下さいねー
206:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:32:07 rCjTzdM1.net
>>175
☆＞群の例で、非可換のものを挙げてくれ
★＞正方行列とか多元数あたりな
群の定義
０．演算で閉じている。
１．演算が結合法則を満たす。
２．単位元が存在する。
３．逆元が存在する
群であると言い切った時点で、上記の４条件を満たさなければなりません
したがって、
★＞これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐ
という言い訳は一切通用しませんよ
★＞（行列による）「群の表現」の話もしている
★＞（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
正則行列全体による群は部分群ではありません
群の部分集合が、もとの群の演算で群を成す時、部分群といいます
この場合、行列の積の演算は共通ですが、
そもそも元の集合である「正方行列の全体」が群でないのでダメ
★＞逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。
「普通、デフォルト」は誤り
「必ず満たすべき制約条件」が正しい
かならずいうべきこと
いわないのは詐欺
★＞群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
「仮定」ではなく「前提」
群だと言い切ったら、前提を満たしていることを証明する義務を負う 当たり前ですね
したがって、正方行列（の全体）が群だと言い切った瞬間
「いかなる正方行列にも逆行列が存在する」
と証明する義務を負う
あなたは果たせませんでしたが
★＞群の表現論で使うnxn行列で、
★＞わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、
★＞ド素人ｗ
群の表現は、「正則行列全体の群」への準同型写像
決して「正方行列全体の群」ではありませんよ
それをご存じないあなたこそド素人
まあ、大学に入れなかったそうですから致し方ないですね
大学で線形代数を学んだ人なら、いくら成績が悪くても
・正則行列でない正方行列が存在すること、
・非正則行列の行列式が０となること
くらいは覚えていますから
それが大学卒業の最低限の資格ですよ
207:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:36:49 rCjTzdM1.net
>>181
★＞”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、
★＞ 行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”
高校では行列式って教えないんでしたっけ？
じゃあ、大学行ってないあなたが全く知らなくても仕方ないですね
道理で行列式といわれてもキョトンとするわけですね
しかし、行列式くらい覚えておきましょうね
行列式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
工学部卒で、群の定義知らなくても問題ないですが
行列式知らないなんて言ったら、大恥かきますよ
208:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:49:58 rCjTzdM1.net
>>176
＞群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、
＞行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
それは必要条件ですね
つまり
「行列の集合が群となる場合、
その集合の要素は正方行列である必要がある」
しかし上記は十分条件ではありません
十分条件を示してはじめて群であると示せたことになります
＞（逆元の存在要請から、・・・正則行列に限られる）
存在「要請」なら、要請に答えましょうね
つまり、あなたは
「正則行列の積は正則行列であること」
を示す必要があります
しかし、あなたはそもそも何が正則行列か
分かっていないから示しようがない
＞チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
不親切、ではなく、不十分です
そして正方行列と言い直しても、まだ不十分です
＞ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、
＞専門用語”正則行列”は避けた
避けた？違うでしょう？
あなた自身がゆとり世代で、
「正則行列」を知らなかったんでしょう？
群の例を挙げるんだから
当然、正則行列という必要がある
正則行列と云う言葉を知らなかったとしても
例えば行列式が０でない行列という必要があった
ランクｎのｎ×ｎ行列でもKer M={0}の行列Mでも
なんでも結構ですが
＞ここは５ｃｈだから、
＞ここの日常会話ではこれで十分だ
全く誤りですね
５ｃｈの数学板だろうと
日本数学会の全国大会だろうと
国際数学者会議の講演だろうと
ステートメントは正確に述べ切る必要がある
それができない人は・・・数学は無理ですよ
間違い続けるだけですから
「正方行列から零因子を除けば体になる」
とか
209:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:56:10 rCjTzdM1.net
>>179
＞あなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されている
ええ、正方行列＝可逆行列、でないことは
理工系学生の一般常識ですから
行列式を知らない、なんて理工系ならあり得ませんからね
◆yH25M02vWFhPは、まず行列式と外積くらい覚えましょう
工学部でも確実に役に立ちますからね
210:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:01:51 rCjTzdM1.net
>>177-178
あなたには理解できないでしょうが
スペクトル系列に層は必要ありません
代数幾何で層は不可欠でしょうけどね
211:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:04:38 rCjTzdM1.net
そもそも行列式も知らない人には
代数幾何どころか代数も無理
終結式とか知らないでしょ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
212:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:11:54 rCjTzdM1.net
遠山啓の「数学入門」（上）で、グラスマン代数使って
行列式の定義をしているのは
「こんなことはいくらなんでもわかるだろう
順序を交換すれば符号が逆転する、っていうだけだから」
と考えたからだろう
213:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:20:35 rCjTzdM1.net
行列式を知らないってことは、ヤコビアンも知らないってこと？
ってことは、ｎ変数の逆関数定理も、一般の陰関数定理も知らないってこと？
そんなの、ま�
214:ｷます理工系ではあり得ないなぁ ヤコビ行列 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97 そういえば、学生の頃、この曲の替え歌が流行りました https://www.youtube.com/watch?v=o-7QeOuNMIs ♪ヤコビア～ン
215:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:53:17.48 P1Kztm36.net
>>149-150 補足
再録
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
(引用終り)
なるほど、21世紀では、層は
”One motivation for sheaves is as the mathematical machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.”
ってこと
層の概念がいろんなところへ取り込まれた
秋月の本とか、もう古くなっています
層とファイバー束とを、全く別もの扱いしていますが、生まれは別でも、結構関連するようになっています
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ファイバー束
(抜粋)
ファイバー束（ファイバーそく、英: fiber bundle, fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
一点 p 上のファイバー Fp
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
U上に制限した座標束。この画像ではまばらだが、本当はどの点の上にもファイバーがあり、隙間無く並んでいる。
つづく
216:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:54:24.20 P1Kztm36.net
>>189
つづき
概要
単位円 S1 と線分 I = [0, 1] の直積 S1 × I は円柱の側面になる。円柱の側面と似たような図形にメビウスの輪がある。局所的には S1 の一部と線分 I = [0, 1] の直積に見えるが、全体的には円柱と異なる図形になっている。このような局所的に直積として書けるという性質（局所自明性）を持った図形を扱うのがファイバー束の概念である。
この場合の S1 を底空間といい、線分 I をファイバー（繊維）という。ファイバーを底空間に沿って束ねたとき、上の例の円柱のように全体としても直積になっていれば、その全体を自明束（じめいそく）という。自明束は基本的なファイバー束ではあるが、むしろ、メビウスの輪のように自明でないファイバー束の構造がどのようになっているのかといったことが重要である。
ファイバーはただ束ねられるだけではなく、構造群と呼ばれる位相変換群に従って張り合わされる。底空間の開被覆 {U}a∈A があり、その 2つの元の共通部分 Ua ∩ Ub が空でないとき、その共通部分に立っているファイバーはどのように貼り合わされるべきか？ という事、すなわち、直積 Ua × F と Ub × F の重なり方を記述するのが構造群である。
ファイバー束の概念は、ホイットニーに
217:始まる。ホイットニーは多様体上のベクトル場から接ベクトル空間をファイバーに持つ接ベクトル束を構成し、その一般化としてファイバー束に到達した。その後、陳省身(Shiing-Shen Chern) による研究は、ファイバー束と接続を関連させ微分幾何学を大域的理論へと導いていくことになり、ゲージ理論などの基礎も成している。また、微分幾何学に留まらず、様々な幾何学の基本的な道具となり、その適用範囲は広い。さらにファイバー束はセールやヒューレッツらによってファイバー空間として一般化され、代数的位相幾何学を支える概念の一つにもなった。 定義 束 位相空間 E, B と、連続な上への写像 π: E → B があるとき、E を全空間 (total space)、B を底空間 (base space)、π を射影 (projection)、これらの組 (E, π, B) を束 (bundle, バンドル) という[要出典]。 (E, B, π) のような順序で書かれる場合もある。 x ∈ B に対し、Fx = π-1(x) を x 上のファイバー (fibre, fiber) という。 つづく
218:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:55:16.14 P1Kztm36.net
>>190
つづき
以下で扱う座標束やファイバー束の場合、任意の x ∈ B に対し Fx は x によらず位相空間 F と同相になる。すなわち、x, y ∈ B に対して、Fx と Fy は同相である。しかし、一般の束では、そのような関係は無い。例えば楕円曲面などでは、ほとんどのファイバー（非特異ファイバー）とは異なる特異ファイバーと呼ばれるファイバーがある。
座標束
ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。
束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という。各座標近傍 Ua には同相写像
φa: Ua × F → π-1(Ua)
が存在し、任意の x ∈ Ua および f ∈ F に対して
π ◯ φa(x, f) = x
を満たす。
この φa という同相写像によって Ua × F と π-1(Ua) はしばしば同一視される。座標束を説明する図を描くときも Ua × F という直積の図を π-1(Ua) とみなして説明することも少なくない。φa-1 を局所自明化という。
G は位相変換群としてできるだけ要素の少ない小さいものをとるとする。
このような性質を持つ (E, π, B, G, {Ua, φa}a∈A) という組を座標束 (coordinate bundle) といい、F をファイバー、G を構造群 (structure group)、E を全空間、π を射影、B を底空間、φa を、座標関数 (coordinate function)、gba を座標変換 (coordinate transformation) という。
一般の束と違って、ファイバーは点に依らない位相空間である。正確には、任意の x ∈ B に対し x 上のファイバー Fx が、ファイバー F と同相となっている。そして各点での座標変換が、構造群という代数的な構造によって決まっているという点も重要である。
つづく
219:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:55:41.98 P1Kztm36.net
>>190
つづき
ファイバー束
座標束をここで述べるような同値関係で分類するとファイバー束が得られる。多様体において座標近傍系を極大座標近傍系にし、座標の取り方によらない幾何学を目指したのと同様に、座標束を座標近傍 {Ua} や座標関数 {φa} のとり方によらないように分類したものがファイバー束である。つまりファイバー束を具体的に調べる際に、特定の開被覆を取って調べたりする場合、そこで調べているものは座標束ということになる。
座標近傍や座標関数の取り方の違う 2つの座標束 (E, π, B, F, G, Ua, φa) および (E, π, B, F, G, Vb, ψb) があるとき、x ∈ Ua ∩ Vb に対して
hba(x) := ψ -1
b, x ◯ φa, x
が、hba(x) ∈ G となり
hba: Ua ∩ Vb → G
が連続写像であるとき、この 2つの座標束は同値 (equivalent) であるといい、この同値関係による同値類をファイバー束あるいは G 束 (G-bundle) といい、ξ = (E, π, B, F, G) と書く。F や G なども省略して
220:、π: E → B によってファイバー束を表すこともある。 つづく
221:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:56:07.24 P1Kztm36.net
>>192
つづき
切断
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
Ua 上の局所断面
詳細は「切断 (ファイバー束)」を参照
（ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
断面 (位相幾何学)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、英: section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
束 p: E → B の切断 s は底空間 B と E の部分空間 s(B) とを同一視する方法を与える。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
R2 におけるベクトル場の例。接ベクトル束の切断とは、実はベクトル場のことである。
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
ファイバー束 E の開集合 U 上の連続（局所）切断全体の成す空間はときに C(U,E) とも表され、また E の大域切断全体の成す空間はしばしば Γ(E) や Γ(B,E) と表される。）
つづく
222:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:57:00.57 P1Kztm36.net
>>193
つづき
例
自明束
全空間を E = B × F とし、π: E → B を第一成分への射影とする。すなわち、x ∈ B, f ∈ F に対して、π(x, f) = x とする。このとき E は F の B 上のファイバー束である。ここで E は、局所的にだけでなく大域的に、底空間とファイバーの直積となっている。そのようなファイバー束を自明束 (trivial bundle) という。S1 × [0, 1] や S1 × R1 のような円柱や、自然数 m, n > 0 に対して Rm+n = Rm × Rn などのように直積で表される図形は、自明束としての構造を持つ。可縮なCW複体上の任意のファイバー束は自明である。
ベクトル束と主束
ベクトル束と呼ばれる、ファイバー束の特別なクラスがあり、これはファイバーがベクトル空間であるようなファイバー束である。（ベクトル束であるためには、束の構造群は線型群でなければならない）。ベクトル束の重要な例には、滑らかな多様体の接束や余接束がある。任意のベクトル束から、主束（下記参照）である、基底の枠束（英語版）を構成することができる。
主束と呼ばれる、ファイバー束の別の特別なクラスがあり、これはその上に群 G による自由かつ推移的な作用が与えられていて、各ファイバーが主等質空間（英語版）であるような束である。束はしばしば主 G 束と呼ぶことによって群とともに特定される。群 G はまた束の構造群でもある。G のベクトル空間 V 上の表現 ρ が与えられると、構造群として ρ(G)⊆Aut(V) なるベクトル束を構成でき、これを同伴束（英語版）と呼ぶ。
つづく
223:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:57:21.30 P1Kztm36.net
>>194
つづき
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接束
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束（せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は M の接空間の非交和[注釈 1]である。
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インフォーマルには、多様体（この場合円）の接束はすべての接空間を考え（上）それらを滑らかに重ならないようにつなげる（下）ことによって得られる。[注釈 1]
（注釈
1^ a b 非交和は多様体 M の任意の 2 点 x1 と x2 に対して接空間 T1 と T2 が共通のベクトルをもたないことを保証する。これはグラフィカルに円 S1 の接束の添付図に描かれている、例のセクションを参照：円のすべての接線は円の平面にある。それらを交わらないようにするためには円の平面に垂直な平面にそれらを整列することが必要である。）
この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。
接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能（英語版） (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 M が 枠付き（英語版） であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ◯+ E が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面 Sn はすべての n に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。
つづく
224:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:58:02.21 P1Kztm36.net
>>195
つづき
役割
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、M と N を滑らかな多様体として、f: M → N が滑らかな写像であれば、その微分（英語版） は滑らかな写像 Df: TM → TN である。
位相と滑らかな構造
接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である[注釈 2]。
（注釈 2^ M が Cr 級の多様体 (1 ? r < ∞) であっても接束は定義でき、Cr-1 級の多様体になる。）
例
最も簡単な例は Rn の例である。この場合接束は自明である。
別の簡単な例は単位円 S1 である（上の絵を見よ）。円の接束も自明であり S1 × R に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。
容易に視覚化できる接束は実数直線 R と単位円 S1 の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。
非自明な接束の簡単な例は単位球面 S2 の接束である。この接束はつむじ頭の定理（英語版）によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。
ベクトル場
接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 M 上のベクトル場は滑らかな写像
V： M → TM
であって、Vx と表記される x の像が x における接空間 TxM にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。M 上のベクトル場はしたがって M の接束の断面である。
M 上のすべてのベクトル場の集合は Γ(TM) によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ
(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}
M 上の滑らかな関数を掛けることができ
(fV)_{x}=f(x)V_{x}
別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 Γ(TM) は M 上の滑らかな関数の可換環、C∞(M) と表記される、上の加群の構造をもつ。
M 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場は M のある開集合 U 上でだけ定義され、U の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。M 上の局所ベクトル場全体の集合は M 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。
つづく
225:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:58:52.30 P1Kztm36.net
>>196
つづき
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余接束
微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。
余接層
余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。
余接層の定義
M を滑らかな多様体とし M × M を M の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 Δ は M の点 p を M × M の点 (p, p) に送る。Δ の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。
Ｉを対角線上消える M × M 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層 Ｉ/Ｉ^2 はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。
余接層
226:はこの層の M への引き戻し（英語版）である。 Γ T^*ＩM=Δ ^*Ｉ(Ｉ/ Ｉ^2). テイラーの定理によって、これは M の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは M 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。 多様体における反変性 多様体の滑らかな射 φ ： M → N は M 上の引き戻し層（英語版） φ^*T^*N を誘導する。 ベクトル束の誘導される写像（英語版） φ^*(T^*N) → T^*M が存在する。 つづく
227:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:59:09.78 P1Kztm36.net
>>197
つづき
相空間としての余接束
余接束 X=T*M はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。T*M の定義が底空間 M の微分トポロジー (differential topology) に関係づける方法のために、 X は自然な 1-形式 θ （canonical one-form あるいは tautological one-form あるいは symplectic potential）を有する。θ の外微分は斜行 2-形式 (symplectic 2-form) であり、そこから非退化体積形式 (volume form) が X に対して構成できる。例えば、結果として X は常に向き付け可能な多様体である（つまり X の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 (canonical coordinates) と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 (symplectic manifold) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。
相空間
多様体 M が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 T*M を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。
(引用終り)
以上
228:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 11:04:22.48 P1Kztm36.net
>>192 リンク訂正
>>190
↓
>>191
分かると思うが
ところで、おサルがなんか、言い訳書いているな
オチコボレがぁ
こいつ、”層”とか、さっぱり理解出来ていなかったみたい（21世紀では、”層”なんて物理でも常用の概念になったみたいですがね(>>189)）
いや、私もアホでバカですよ
でも、このオチコボレのおサルは、世間では全く通用しない
５ｃｈで威張り腐る、鳥無き里のコウモリであることは、ハッキリしましたなｗｗｗ（＾＾
229:１３２人目の素数さん
20/09/06 11:05:35.01 JRBNrvaF.net
「正方行列から零因子を除けば体になる」レベルの頭でいくらコピペ連投しても無駄！
無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！ 無駄！
230:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:24:07.07 rCjTzdM1.net
>>199
何をぶつぶつ、独り言をいってるんですかね
サルなんて、ここにはいませんよ
>>200
確かに「正方行列から零因子を除けば体になる」は
数学を全く知らない素人による実に酷い発言でしたね
◆yH25M02vWFhP は連接性とか層とか無理だから
まず行列式を完全にマスターすることに全力を注ぎましょう
それがあなたの人生における数学のゴール
231:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:26:26.03 rCjTzdM1.net
行列式
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数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、
歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。
幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、
線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。
行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
232:１３２人目の素数さん
20/09/06 12:33:22 rCjTzdM1.net
概要
X を成分が実数である2次の正方行列
(a b)
(c d)
とするとき、これは平面上の線型変換
x → ax + by
y → cx + dy
を定めている。
一方で平面における二つのベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) について、
これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
A(u,v)=u_0v_1-u_1v_0
によって指定される数だと考えることができる。
このとき A(X.u, X.v) = (ad － bc)A(u, v) が成り立っているが、
これは X の定める線型変換によって
平面内の図形の面積が (ad － bc)-倍される、と解釈できる。
したがって各2次正方行列 X に対し（上の記号の下で）
det X := ad － bc
を対応させると、
det(XY) = (det X)(det Y)
であることや、det X > 0 であるとき
X の定める変換は図形の向きを保ち、
反対に det X < 0 であるとき
図形の向きは反転させられることがわかる。
det の乗法性から X が可逆ならば
det X は逆数を持つ数であることが従うが、
反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）
になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから
det X = 0 となることがいえる。
こうして行列 X が正則になることと X の行列式が可逆になることが
同値であるということがわかる。
同様にして一般の次数の正方行列 X に対し、
X の定める線型変換が図形の体積を何倍にしているかという量を
X の行列式として定義することができる。
これは行列の成分を変数とする多項式の形でかけ、二次の場合と同様に
これは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。
一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対して
その行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態を
ある程度知ることができる。
特にクラメルの公式により、
根が一組である線型方程式系の根の公式が
行列式を用いて表示される。