純粋・応用数学（含むガロア理論）4

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純粋・応用数学（含むガロア理論）4 - 暇つぶし2ch130:) はリー群で有名なリーと出会い，ともに幾何学に初心があったこともあり，意気投合しました。 2 人はガロア理論を解読し終えたばかりのジョルダンの影響を受け，ガロアが思いもよらなかったであろう幾何学の分野へ群論を拡張させました。 1872年，クラインは23歳でエルランゲン大学の教授に招聘され，その就任講演で，幾何学的性質とは変換群 G の作用で不変に保たれる性質という考え方を示しました。　これは後にエルランゲン・プログラムと呼ばれ，「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。　このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。 P28 5 最後に　すべての幾何がクラインの幾何の考え方によって統一されたかのように思われました。　しかし，リーマンが 1854 年に提唱した多様体上の幾何学（リーマン幾何学，微分幾何学）において，一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変に保つような変換群は存在しません。よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。そして，この多様体上の幾何学はその後発展をし，アインシュタインの一般相対性理論に大きな影響を及ぼしています。 (引用終り) つづく

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