20/09/02 23:36:40 gNHKAJku.net
>>77 補足
海城 （春木先生）：”クラインの「エルランゲン・プログラム」
これまでいろいろな非ユークリッド幾何の例を見てきましたが、それらとユークリッド幾何学をすべてまとめて射影幾何学の一部としてとらえる統一理論です。
そのための道具として図形の動かし方をまとめた「変換群」という考え方が登場しました。”
”「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。
このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。
このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。”
”一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変
に保つような変換群は存在しません。よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。
カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。”
（参考）
１）海城 数学科リレー講座 エルランゲン・プログラム
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
海城
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
数学科リレー講座 最終日 2013.08.24 海城
2013.08.24 海城
月曜日から始まったリレー講座もいよいよ最終日になりました。今日はクラインの「エルランゲン・プログラム」についてです。これまでいろいろな非ユークリッド幾何の例を見てきましたが、それらとユークリッド幾何学をすべてまとめて射影幾何学の一部としてとらえる統一理論です。
そのための道具として図形の動かし方をまとめた「変換群」という考え方が登場しました。
途中で小澤先生に、2年前のガロア理論の講座をもとにして「群」の基本について10分ほど講義をしていただきました。
その後合同変換、アフィン変換、射影変換のイメージを伝えるところを重点的に話しました。
最後に射影変換群の部分群として球面や双曲面を不変にする群が現れてメデタシメデタシ、のはずなのですが、行列表示からは駆け足だったのでどうだったでしょうか…？
（春木教諭）
つづく
129:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/02 23:37:37 gNHKAJku.net
>>117
つづき
URLﾘﾝｸ(www.kaijo.ed.jp)
平成 25 年度 数学科リレー講座 6 日目 2013.08.24 海城
エルランゲン・プログラム 春木 淳・小澤嘉康
P3
クライン (1849 ? 1925
130:) はリー群で有名なリーと出会い，ともに幾何学に初心があったこともあり，意気投合しました。 2 人はガロア理論を解読し終えたばかりのジョルダンの影響を受け，ガロアが思いもよらなかったであろう幾何学の分野へ群論を拡張させました。 1872年，クラインは23歳でエルランゲン大学の教授に招聘され，その就任講演で，幾何学的性質とは変換群 G の作用で不変に保たれる性質という考え方を示しました。 これは後にエルランゲン・プログラムと呼ばれ，「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたものです。 このように，群とその群が作用する空間を組にして幾何学的対象として特徴づけたものをクライン幾何学といいます。 このエルランゲン・プログラムにより，その当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることができます。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学でした。 P28 5 最後に すべての幾何がクラインの幾何の考え方によって統一されたかのように思われました。 しかし，リーマンが 1854 年に提唱した多様体上の幾何学（リーマン幾何学，微分幾何学）において， 一般に n 次元リーマン多様体上に作用し，かつ計量を不変に保つような変換群は存在しません。 よって，クライン幾何の枠の中には入らないものでした。 カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。 そして，この多様体上の幾何学はその後発展をし，アインシュタインの一般相対性理論に大きな影響を及ぼしています。 (引用終り) つづく
131:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/02 23:38:16 gNHKAJku.net
>>118
つづき
２）”カルタンとワイルは，レヴィ・チヴィタが考案した接続の考え方を用いて，エルランゲン・プログラムとリーマン幾何学をより高い見地から統一しました．”
URLﾘﾝｸ(www.mathematics-pdf.com)
非ユークリッド幾何学について よしいず 2003-2011
(抜粋)
エルランゲン・プログラム
１８７２年，クラインは，空間とその空間における変換からなる群を与えたとき，その群に属するすべての変換によって不変なものとして，これまでの多くの幾何学が特徴づけられることを指摘しました．この群論によって幾何学を統合するという考え方はエルランゲン・プログラムと呼ばれています．例えばユークリッド幾何学は，距離が与えられた平面と長さを変えない変換からなる群が与えられたものと考えることができます．一般に，さまざまな空間や変換群を与えることにより数多くの幾何学が得られます．
しかし，エルランゲン・プログラムは万能ではなく，リーマン幾何学はその例外であることが知られています．その後，カルタンとワイルは，レヴィ・チヴィタが考案した接続の考え方を用いて，エルランゲン・プログラムとリーマン幾何学をより高い見地から統一しました．
関連書籍
小林昭七（著）： ユークリッド幾何から現代幾何へ，日本評論社，1990
(引用終り)
３）接続 (幾何学)：”カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。
カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)
接続 (幾何学)
つづく
132:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/02 23:39:18 gNHKAJku.net
>>119
つづき
接続（せつぞく、英: connection）の考え方により、曲線や曲線の族にそって平行で整合性を持つデータの移動の考え方を詳しく示すことができる。 現代の幾何学には多くの種類の接続の考え方があり、移動したいデータが何であるかに依存する。例えば、アフィン接続は接続の最も基本的なタイプであるが、この接続はある曲線に沿ってある点から別な点へ多様体の接ベクトルを移動することを意味する。アフィン接続は、典型的には共変な微分形式として与えられ、ベクトル場の方向微分、つまり与えられた方向へのベクトル場の無限小移動をとることを意味する。
現代の幾何学では接続は非常に重要である。大きな理由は、接続によりある点での局所幾何学と別な点での局所幾何学を比較することが可能となるからである。微分幾何学は、接続の考え方のいくつかの変形を持っている。大きなグループ分けをすると 2つのグループがあり、局所の理論と無限小の理論である。
接続の歴史
接続は、歴史的にはまずリーマン幾何学において見出された。接続の概念のはじまりをどこに置くかについては諸説あるが、クリストッフェルの研究をその淵源とする見方がある[注釈 1]。クリストッフェルは1869年の論文で、座標変換の導関数が満たす関係式の研究を通じ、現在クリストッフェル記号とよばれる量を発見した[3]。これを用いて、リッチはその学生であるレヴィ＝チヴィタとともに、彼らが絶対微分学（英語版）とよんだ、共変微分を用いる今でいうテンソル解析の計算の手法をつくりあげた[4]。
レヴィ＝チヴィタはまた、1916年に、リーマン幾何学における接ベクトルの平行移動の概念を発見し、これが共変微分によって記述されることをみつけた[5]（レヴィ＝チヴィタ接続の名前はこのことによる）。1918年にワイルはそれを一般化して、アフィン接続の概念に到達した[6][注釈 2]。ここで「接続」にあたる語（独: Zusammenhang）がはじめて使用された[要出典]。
つづく
133:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/02 23:39:51 gNHKAJku.net
>>120
つづき
それからすぐに、エリ・カルタンによって、さらなる一般化が行われた。
カルタンはクラインのエルランゲン・プログラムの局所化を試みていたのである。
1920年代にカルタンは、微分形式を用いた記述によって、現在カルタン接続（英語版）と呼ばれるものを発見していった[7]。カルタンのこの仕事により、リーマン幾何学だけでなく、共形幾何学（英語版）、射影幾何学などのさまざまな幾何学を研究するための基礎が築かれた。
４）幾何学とは？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学
単に幾何学と言うと、ユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学をさすことが多く、一般にも馴染みが深いが[3]、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し[1]、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している[2][3]。
現代の幾何学
クラインは幾何学に群論を応用することによって、空間Sの変換群Gによって、変換で不変な性質を研究する幾何学を提唱した。これをエルランゲン・プログラム[22]というが、この手法で運動群がユークリッド幾何学を定めるように、射影幾何学、アフィン幾何学、共形幾何学を統一化することができる[6]。
更に19世紀末にはポアンカレによって、連続的な変化により不変な性質を研究する位相幾何学が開拓された[6]。
代数曲線・曲面や代数多様体が起源である代数幾何学[6]は高度に発達し、日本でもフィールズ賞受賞者も多く盛んに研究されている。
またミンコフスキーによる凸体の研究は数論幾何学の道を開いた[6]。
つづく
134:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/02 23:40:46 gNHKAJku.net
>>121
つづき
20世紀前半には多様体は数学的に厳密に定式化され、ワイル、E・カルタンらにより多様体上の幾何学や現代微分幾何学が盛んに研究された[6]。リーによって導入されたリー群によって、これらの様々な幾何学を不変にする変換群が与えられたが、カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。
現代数学と幾何学
現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。
５）Cartan ”KLEIN-CARTAN プログラム”（エルランゲンの発展形）
URLﾘﾝｸ(www.nara-wu.ac.jp)
第14回岡シンポジウム（2015.12.05-06）
URLﾘﾝｸ(www.nara-wu.ac.jp)
巾零幾何・巾零解析の展開-幾何と微分方程式に対するKLEIN-CARTAN プログラム-森本 徹 2015
P2
Espace generalise.
一般相対性理論の波を受けて 1922年 Cartanは espace generalise の考えを発表し幾何の新しい枠組を提唱した (17)
今日 Cartan 接続を備えた空間あるいは Cartan 幾何と呼ばれるものである.その枠組は Klein 幾何を含むと同時に,それまで Klein 幾何の枠外に孤立していた Riema
135:nn 幾何をもその枠組に取り入れ,さらにユークリッド幾何の変形が Riemann 幾何であるように,射影幾何や Mobius幾何などの Klein 幾何の変形を自然にその枠組に取りいれるものである.さらにその枠組において Klein 幾何と同様に群が基本的な役割を演じるのである. Klein を遥かに超えた vaste synthese を達成したとCartan は誇らしげに述べている(81). (引用終り) つづく
136:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/02 23:42:52 gNHKAJku.net
>>122
つづき
要するに
海城の生徒なら、”クラインの「エルランゲン・プログラム」、「幾何学とは何か」というある種哲学的な問いに対する一つの答えを与えたもの
エルランゲン・プログラムその当時存在したいろいろな幾何学のほとんどは，射影幾何学に対してある種の制限をかけたものとしてとらえることがでる。そういった意味で，射影幾何学は当時では万能の幾何学”
”カルタンはクライン幾何を発展させて接続の理論を考えだし，その思想を多様体上の幾何学の中に取り込みました。”
ってこと、知っているのですｗ（＾＾
エルランゲン・プログラムから、発展して
（幾何学 wikipedia より）
「カルタンはリー群を応用して接続の概念を導入し接続幾何学を完成させ[3]、これらの幾何学を統一化することに成功した[6]。これはリーマンによる多様体と、クラインによる変換群の考えを統一化したとも理解できる[6]。これは現代では素粒子物理学などの物理学の諸分野でも常識となっている。」
「現代数学では幾何学は代数学や解析学などの数学全般に広範囲に浸透しているため、これらと明確に区別して幾何学とはなにかということを論ずるのは難しいが、しかしながら図形や空間の直感的把握やそのような思考法は先端分野の研究においても重要性を失っていないといえる[6]。」
です。
そして”conformal transformation”（＝等角写像 >>85）は、２次元に限らない
だが、奇跡的に 2次元”conformal transformation”は、１変数正則関数論と一致します
ですが、”conformal transformation”の視点は、ある図形、例えば複素平面の円が、”conformal transformation”によって、どういう図形になるのかというところに力点があるのです
１変数正則関数論は、関数自身が研究の対象なのです
両者は、切り口あるいは視点が違うのです！
よって”conformal transformation”（＝等角写像 >>85）は、
幾何学的視点から考えるのが正解なのです
これは 海城の生徒なら、すぐ分かる話です（＾＾
以上
137:１３２人目の素数さん
20/09/03 06:11:20.88 jFhKC8Ah.net
あんた わけもわからずやたらと文章食うと腹壊すよ
まず、等角写像というだけでは射影幾何学の制限にならんよ
メビウス変換のようにリーマン球面上で1対1対応するとか制限をつけないと
（メビウス幾何は１次元複素射影幾何）
次に、君、接続がなんだか理解してる？
君って必ずといっていいほど定義以外の文章ばかりコピペして
肝心の定義は略すよね？逆だよね まっさきに定義を書くよね
なんで定義書かないの？読んでも理解できないの？
だったら君には数学は無理だからきれいさっぱり諦めたら
往生際悪いよ
最後にconformal transformationは普通、共形変換といいますが
2次元の場合、１変数正則関数論と一致します
で、君、なぜそうなるか分かってる？
分かってないよね？君、大学で複素関数論、全然学んでないよね？
あ、そもそも大学行ってないのか
だってεδも分かってないし実数の定義も知らないし
行列のランクも行列式も全然知らなかったもんね
そんな大学生 理工系なら皆無だよね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
138:１３２人目の素数さん
20/09/03 06:18:59.38 jFhKC8Ah.net
それにしても◆yH25M02vWFhP は
・実数の定義も関数の連続性の定義も知らん
・行列式知らん
・微分形式知らん
・複素解析の基本３定理一つも知らん
そんなテイタラクで、やれ接続だド・ラム コホモロジーだ連接層だと
いったってどれ一つとっかかりすら理解できんだろ
なんで基礎から地道に勉強しないの？数学嫌いなの？
嫌いでもいいよ でも、それなら、数学板に書くなよ いやそもそも読むなよ
おまえみたいなド素人が読んだってちっともわかりゃしないんだから
エクゼクティブはゴルフでも車でも女性との＊＊Xでも好きにやればいいだろ
しかし数学はダメだ 数学はエクゼクティブにはもっとも向かない
139:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 10:18:34.18 k0Z0EEBv.net
>>91
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
実際、そのことは下記en.wikipediaを見れば分かる
なお、Leray spectral sequence、Serre spectral sequence、Grot
140:hendieck spectral sequence、この３者の関係は、 Leray spectral sequence en.wikipedia ”5 History and connection to other spectral sequences” に詳しい なお、Grothendieck spectral sequence：”the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper,” とある さらに、”Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245”なんてあるね ”D-branes and Sheaves”ね～！ （＾＾ （参考） https://en.wikipedia.org/wiki/Serre_spectral_sequence Serre spectral sequence In mathematics, the Serre spectral sequence (sometimes Leray?Serre spectral sequence to acknowledge earlier work of Jean Leray in the Leray spectral sequence) is an important tool in algebraic topology. It expresses, in the language of homological algebra, the singular (co)homology of the total space X of a (Serre) fibration in terms of the (co)homology of the base space B and the fiber F. The result is due to Jean-Pierre Serre in his doctoral dissertation. 1 Cohomology spectral sequence 2 Homology spectral sequence 3 Example computations 3.1 Hopf fibration 3.2 Sphere bundle on a complex projective variety 3.3 Basic pathspace fibration 3.4 Cohomology ring of complex projective space 3.5 Fourth homotopy group of the three-sphere つづく
141:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 10:20:00.81 k0Z0EEBv.net
>>126
つづき
References
The Serre spectral sequence is covered in most textbooks on algebraic topology, e.g.
・Allen Hatcher, The Serre spectral sequence
・Edwin Spanier, Algebraic topology, Springer
Also
・James Davis, Paul Kirk, Lecture notes in algebraic topology gives many nice applications of the Serre spectral sequence.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Leray spectral sequence
5 History and connection to other spectral sequences
History and connection to other spectral sequences
At the time of Leray's work, neither of the two concepts involved (spectral sequence, sheaf cohomology) had reached anything like a definitive state. Therefore it is rarely the case that Leray's result is quoted in its original form. After much work, in the seminar of Henri Cartan in particular, the modern statement was obtained, though not the general Grothendieck spectral sequence.
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves. This treatment, however, applied to Alexander?Spanier cohomology with compact supports, as applied to proper maps of locally compact Hausdorff spaces, as the derivation of the spectral sequence required a fine sheaf of real differential graded algebras on the total space, which was obtained by pulling back the de Rham complex along an embedding into a sphere. Serre, who needed a spectral sequence in homology that applied to path space fibrations, whose total spaces are almost never locally compact, thus was unable to use the original Leray spectral sequence and so derived a related spectral sequence whose cohomological variant agrees, for a compact fiber bundle on a well-behaved space with the sequence above.
つづく
142:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 10:20:24.02 k0Z0EEBv.net
>>127
つづき
In the formulation achieved by Alexander Grothendieck by about 1957, the Leray spectral sequence is the Grothendieck spectral sequence for the composition of two derived functors.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Grothendieck spectral sequence
In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
Contents
1 Examples
1.1 The Leray spectral sequence
1.2 Local-to-global Ext spectral sequence
2 Derivation
3 Notes
4 References
4.1 Computational Examples
Computational Examples
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
(引用終り)
以上
143:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:21:40.39 k0Z0EEBv.net
>>126
>違うだろ
>”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
補足
Jean-Pierre Serre
(余談：”Hiroshi Toda”？)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Homotopy groups of spheres
In the mathematical field of algebraic topology, the homotopy groups of spheres describe how spheres of various dimensions can wrap around each other. They are examples of topological invariants, which reflect, in algebraic terms, the structure of spheres viewed as topological spaces, forgetting about their precise geometry. Unlike homology groups, which are also topological invariants, the homotopy groups are surprisingly complex and difficult to compute.
Most modern computations use spectral sequences, a technique first applied to homotopy groups of spheres by Jean-Pierre Serre. Several important patterns have been established, yet much remains unknown and unexplained.
History
Jean-Pierre Serre used spectral sequences to show that most of these groups are finite, the exceptions being πn(Sn) and π4n?1(S2n).
Others who worked in this area included Jose Adem, Hiroshi Toda, Frank Adams and J. Peter May. The stable homotopy groups πn+k(Sn) are known for k up to 64, and, as of 2007, unknown for larger k (Hatcher 2002, Stable homotopy groups, pp. 385?393).
つづく
144:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:22:26.78 k0Z0EEBv.net
>>129
つづき
Framed cobordism
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
Homotopy groups of spheres are closely related to cobordism classes of manifolds. In 1938 Lev Pontryagin established an isomorphism between the homotopy group πn+k(Sn) and the group Ωframed
k(Sn+k) of cobordism classes of differentiable k-submanifolds of Sn+k which are "framed", i.e. have a trivialized normal bundle.
Until the advent of more sophisticated algebraic methods in the early 1950s (Serre) the Pontrjagin isomorphism was the main tool for computing the homotopy groups of spheres.
In 1954 the Pontrjagin isomorphism was generalized by Rene Thom to an isomorphism expressing other groups of cobordism classes (e.g. of all manifolds) as homotopy groups of spaces and spectra. In more recent work the argument is usually reversed, with cobordism groups computed in terms of homotopy groups (Scorpan 2005).
Finiteness and torsion
In 1951, Jean-Pierre Serre showed that homotopy groups of spheres are all finite except for those of the form πn(Sn) or π4n?1(S2n) (for positive n), when the group is the product of the infinite cyclic group with a finite abelian group (Serre 1951). In particular the homotopy groups are determined by their p-components for all primes p. The 2-components are hardest to calculate, and in several ways behave differently from the p-components for odd primes.
In the same paper, Serre found the first place that p-torsion occurs in the homotopy groups of n dimensional spheres, by showing that πn+k(Sn) has no p-torsion if k < 2p ? 3, and has a unique subgroup of order p if n ? 3 and k = 2p ? 3.
つづく
145:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:24:01.93 k0Z0EEBv.net
>>130
つづき
Furthermore, the stable range can be extended in this case: if n is odd then the double suspension from πk(Sn)
146:to πk+2(Sn+2) is an isomorphism of p-components if k < p(n + 1) ? 3, and an epimorphism if equality holds (Serre 1952). The p-torsion of the intermediate group πk+1(Sn+1) can be strictly larger. Computational methods ・"The method of killing homotopy groups", due to Cartan and Serre (1952a, 1952b) involves repeatedly using the Hurewicz theorem to compute the first non-trivial homotopy group and then killing (eliminating) it with a fibration involving an Eilenberg?MacLane space. ・The Serre spectral sequence was used by Serre to prove some of the results mentioned previously. He used the fact that taking the loop space of a well behaved space shifts all the homotopy groups down by 1, so the nth homotopy group of a space X is the first homotopy group of its (n?1)-fold repeated loop space, which is equal to the first homology group of the (n?1)-fold loop space by the Hurewicz theorem. This reduces the calculation of homotopy groups of X to the calculation of homology groups of its repeated loop spaces. The Serre spectral sequence relates the homology of a space to that of its loop space, so can sometimes be used to calculate the homology of loop spaces. The Serre spectral sequence tends to have many non-zero differentials, which are hard to control, and too many ambiguities appear for higher homotopy groups. Consequently, it has been superseded by more powerful spectral sequences with fewer non-zero differentials, which give more information. （日本語ページ無いが、英文ページがある（＾＾；） https://en.wikipedia.org/wiki/Hiroshi_Toda Hiroshi Toda Hiroshi Toda (戸田 宏, Toda Hiroshi, born 1928) is a Japanese mathematician, who specializes in stable and unstable homotopy theory. つづく
147:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:25:03.24 k0Z0EEBv.net
>>131
つづき
He started publishing in 1952. Many of his early papers are concerned with the study of Whitehead products and their behaviour under suspension and more generally with the (unstable) homotopy groups of spheres. In a 1957 paper he showed the first non-existence result for the Hopf invariant 1 problem. This period of his work culminated in his book Composition methods in homotopy groups of spheres (1962). Here he uses as important tools the Toda bracket (which he calls the toric construction) and the Toda fibration, among others, to compute the first 20 nontrivial homotopy groups for each sphere.
（Ishikawa, Goo は、北大か。URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp) 幾何学者石川剛郎の公式ホームページへようこそ！ ）
URLﾘﾝｸ(mathgenealogy.org)
Hiroshi Toda
Name School Year Descendants
Ishikawa, Goo 1985 7
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cobordism
In mathematics, cobordism is a fundamental equivalence relation on the class of compact manifolds of the same dimension, set up using the concept of the boundary (French bord, giving cobordism) of a manifold. Two manifolds of the same dimension are cobordant if their disjoint union is the boundary of a compact manifold one dimension higher.
The boundary of an (n + 1)-dimensional manifold W is an n-dimensional manifold ∂W that is closed, i.e., with empty boundary. In general, a closed manifold need not be a boundary: cobordism theory is the study of the difference between all closed manifolds and those that are boundaries. The theory was originally developed by Rene Thom for smooth manifolds (i.e., differentiable), but there are now also versions for piecewise linear and topological manifolds.
つづく
148:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:25:33.48 k0Z0EEBv.net
>>132
つづき
4 History
History
Cobordism had its roots in the (failed) attempt by Henri Poincare in 1895 to define homology purely in terms of manifolds (Dieudonne 1989, p. 289). Poincare simultaneously defined both homology and cobordism, which are not the same, in general. See Cobordism as an extraordinary cohomology theory for the relationship between bordism and homology.
Bordism was explicitly introduced by Lev Pontryagin in geometric work on manifolds. It came to prominence when Rene Thom showed that cobordism groups could be computed by means of homotopy theory, via the Thom complex construction. Cobordism theory became part of the apparatus of extraordinary cohomology theory, alongside K-theory. It performed an important role, historically speaking, in developments in topology in the 1950s and early 1960s, in particular in the Hirzebruch?Riemann?Roch theorem, and in the first proofs of the Atiyah?Singer index theorem.
In the 1980s the category with compact manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms played a basic role in the Atiyah?Segal axioms for topological quantum field theory, which is an important part of quantum topology.
つづく
149:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:26:12.38 k0Z0EEBv.net
>>133
つづき
Categorical aspects
Cobordisms are objects of study in their own right, apart from cobordism classes. Cobordisms form a category whose objects are closed manifolds and whose morphisms are cobordisms. Roughly speaking, composition is given by gluing together cobordisms end-to-end: the composition of (W; M, N) and (W′; N, P) is defined by gluing the right end of the first to the left end of the second, yielding (W′ ∪N W; M, P). A cobordism is a kind of cospan:[3] M → W ← N. The category is a dagger compact category.
A topological quantum field theory is a monoidal functor from a category of cobordisms to a category of vector spaces. That is, it is a functor whose value on a disjoint union of manifolds is equivalent to the tensor product of its values on each of the constituent manifolds.
In low dimensions, the bordism question is relatively trivial, but the category of cobordism is not. For instance, the disk bounding the circle corresponds to a null-ary operation, while the cylinder corresponds to a 1-ary operation and the pair of pants to a binary operation.
つづく
150:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:26:31.13 k0Z0EEBv.net
>>134
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ホモトピー群
ファイブレーションの長完全列
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション（英語版）とする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質（英語版）を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn?1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例： ホップ・ファイブレーション（英語版）。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列
? → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn?1(S1) → ?
と、n ? 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ? 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。
つづく
151:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 17:26:53.76 k0Z0EEBv.net
>>135
つづき
計算の手法
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト?ファン・カンペ
152:ンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理（英語版）とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。 球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。 (引用終り) 以上
153:１３２人目の素数さん
20/09/03 19:41:30.92 jFhKC8Ah.net
>>126-136
🐎🦌が分りもせんことコピペして発●
154:１３２人目の素数さん
20/09/03 19:43:02.13 jFhKC8Ah.net
セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
155:１３２人目の素数さん
20/09/03 19:55:55.12 jFhKC8Ah.net
>>135
「例： ホップ・ファイブレーション。
B を S2 とし E を S3 とする。
p をホップ・ファイブレーションとする。
ファイバーは S1 である。
長完全列
… → π_n(S1) → π_n(S3) → π_n(S2) → π_n-1(S1) → …
と、n>=2 のとき π_n(S1) = 0 であることから、
n>=3 のとき π_n(S3) = π_n(S2) であることが分かる。
とくに、π_3(S2) = π_3(S3) = Z である。」
🐎🦌は一回も読みもせずにコピペｗ
3次元球面のHopf fibrationの作り方
C^2(=R^4)の単位球面S^3と、複素直線（＝実平面）czの交わりを考える
交わりは円であり、直線の傾きが異なれば円同士は共通の点を持たない
傾きのパラメータは∞も含めればS^2に対応するから
S^3を、底空間S^2 ファイバーS^1 のファイバー空間とすることができる
（実際にはファイバー束でもある）
実は同じ理屈で
S^1を、底空間S^1、ファイバーS^0＝{-1,1} のファイバー空間
（実平面R^2の中のS^１と実直線cxの交わり）
S^7を、底空間S^4、ファイバーS^3のファイバー空間
（四元数平面H^2の中のS^7と四元数直線ｃhの交わり）
も考えられる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
156:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 21:12:58.00 IXkbS7e9.net
>>138
>セールのスペクトル系列に層は必要ない（層を使ってもいいけれども）
文盲かよ（下記）
”the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves”
を見落としたか
あるいは、意図してスルーしたのかな？
(>>127より)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Leray spectral sequence
History and connection to other spectral sequences
Earlier (1948/9) the implications for fiber bundles were extracted in a form formally identical to that of the Serre spectral sequence, which makes no use of sheaves.
(引用終り)
必死の論点ずらし、ご苦労さん
（>>126より）
>セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
>「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
>あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
違うだろ
”Serre spectral sequence”つまり、スペクトル系列に力点がある
(引用終り)
ということ
つまり、「セールのスペクトル系列に層は必要かどうか」ではなく
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
は、”球面のホモトピー群”だからの受賞ではなく
”Serre spectral sequence”という手法が、当時として斬新だった
そして、その斬新さは、21世紀のいまでも、ほとんど失われていないのです。偉大なり、Jean-Pierre Serre！！（＾＾
（そのことは、”URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) ”
”URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) ”
”URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ホモトピー群”を読めば分かる
ホモトピー群「球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。
S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列（英語版）はまさにこの目的のために構成されたのである。」ということなのです）
157:粋蕎
20/09/03 22:30:53.33 vYrXB61b.net
文章が謂わんとする大義に目が眩み論点を見失いよった、過失レベルに｡
争点すり替えと言われても争点すり替え呼ばわりに対する罪を指摘し返せないレベルの過失｡
層の要否に瀬田氏と魔王の両者の頭脳評価進退が掛かる争点だったのに
争点の叩き台であったネタ元話題の話題の中の最たる大義（無論、ネタ元同一ながら別争点）に逃げよった｡
丸でアインシュタインのノーベル賞受賞ネタ元（ブラウン運動がどうしたこうした）の話をしとる所に
瀬田氏が勝手に相対論（ノーベル賞受賞論文と同様、アインシュタインの三本ほぼ同時デビュー論文）の話をするが如く｡
瀬田氏は数学の理論を弁論するのではなく、数学の政治を弁論する様じゃ｡
竜巻扇風脚の科学を語る場に、場を弁えず昇龍拳の科学を語る愚｡
158:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:49:09.03 IXkbS7e9.net
>>128 補足
>Sharpe, Eric (2003). Lectures on D-branes and Sheaves (pages 18?19), arXiv:hep-th/0307245
下記
”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
”3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.”
へー、”Fourier-Mukai”ね。そうなのかぁ～！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves
Eric Sharpe
Department of Mathematics
1409 W. Green St., MC-382
University of Illinois
Urbana, IL 61801
These notes are a writeup of lectures given at the twelfth Oporto meeting on “Geometry,
Topology, and Physics,” and at the Adelaide workshop “Strings and Mathematics 2003,”
primarily geared towards a physics audience. We review current work relating boundary
states in the open string B model on Calabi-Yau manifolds to sheaves. Such relationships
provide us with a mechanism for counting open string states in situations where the physical
spectrum calculation is essentially intractable - after translating to mathematics, such calculations become easy.
We describe several different approaches to these models, and also describe how these models are changed by varying physical circumstances - flat
B field backgrounds, orbifolds, and nonzero Higgs vevs. We also discuss mathematical interpretations
of operator products, and how such mathematical interpretations can be checked physically.
One of the motivations for this work is to understand the precise physical relationship between boundary states in the open string B model and derived categories in mathematics,
and we outline what is currently known of the relationship.
July 2003
つづく
159:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:50:21.11 IXkbS7e9.net
>>142
つづき
Contents
1 Introduction 5
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups 8
2.1 Complexes and exact sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Sheaf cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Ext groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Introduction
Using sheaves as a mathematical tool to model D-branes on large-radius Calabi-Yau manifolds was first suggested many years ago by J. Harvey and G. Moore in [1]. Since then, it
has become popular to assume that such a model is a reasonable one, and furthermore to
assume that sheaves can be used to calculate physical properties such as, for example:
1. Open string spectra between D-branes, which are believed to be counted by Ext groups.
2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.
3. T-duality, which is believed to be described by a Fourier-Mukai transformation.
Another motivation comes from understanding mirror symmetry. Before D-branes
were popularized, Kontsevich [2] proposed an understanding of mirror symmetry involving
mathematical objects known as derived categories (collections of complexes of sheaves, for
the moment). At the time, the physical meaning of this proposal was far from clear.
Using sheaves as a tool to describe D-branes was progress towards
160:understanding the physical meaning of Kontsevich’s proposal, but only a first step. つづく
161:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:50:55.20 IXkbS7e9.net
>>143
つづき
Another important physical step was Sen’s work (see e.g. [3]) on brane/antibrane annihilation, which helped suggest
a physical meaning for the objects in derived categories: they should be complexes of alternating branes and antibranes. This proposal first appeared in print in [4], which helped motivate the suggestion by using properties of Fourier-Mukai transforms modelling T-duality
to suggest that such brane/antibrane complexes were required. (See also [5] for earlier work
suggesting a different physical meaning of derived categories, in a very different context.)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold (a notion with obvious applications to modelling D-branes), and other more abstract
settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map
つづく
162:現代数学の系譜 雑談
20/09/03 23:51:21.43 IXkbS7e9.net
>>144
つづき
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
2.3 Sheaf cohomology
略
(引用終り)
以上
163:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/04 07:37:00 dmgJxCEv.net
>>140
>偉大なり、Jean-Pierre Serre！！
追加
「現代幾何学の流れ」2007日本評論社の
P72 加藤文元氏がセール氏のFACについて、書いていたので、調べてみた
下記の”Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳）”中の層の定義が、古風で丁寧です。一見の価値あり（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jean-Pierre_Serre
Algebraic geometry
In the 1950s and 1960s, a fruitful collaboration between Serre and the two-years-younger Alexander Grothendieck led to important foundational work, much of it motivated by the Weil conjectures. Two major foundational papers by Serre were Faisceaux Algebrique
164:s Coherents (FAC, 1955),[3] on coherent cohomology, and Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique (GAGA, 1956).[4] https://mathoverflow.net/questions/14404/serres-fac-in-english Serre's FAC in English edited May 4 '10 at 8:59 Anweshi 100% http://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf Coherent Algebraic Sheaves （fac 英訳） Jean-Pierre Serre Translated by Piotr Achinger and Lukasz Krupa （参考） http://achinger.impan.pl/fac/fac.tar.gz 49 pointing you to a (in my novice opinion) good translation of GAGA here by my former office mate Trevor. Hailong Dao https://web.archive.org/web/20180728222951/http://ms.mcmaster.ca/~arnoldt/Serre-GAGA.dvi 9 There is another translation by Andy McLennan that comes with a lot of background material, the actual translation starts at page 235. I'm not really competent to make any comparisons. http://cupid.economics.uq.edu.au/mclennan/Algebra/fac_trans.pdf リンク切れみたいだが answered Sep 3 '16 at 12:54 https://ncatlab.org/nlab/show/FAC nLab
165:現代数学の系譜 雑談
20/09/04 10:51:51.25 WA43t50K.net
>>128 補足
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Grothendieck spectral sequence
>In mathematics, in the field of homological algebra, the Grothendieck spectral sequence, introduced by Alexander Grothendieck in his Tohoku paper, is a spectral sequence that computes the derived functors of the composition of two functors G・F, from knowledge of the derived functors of F and G.
下記に英訳がある
ここの層の定義は、大分現代風
というか、みんなこれに右にならえかもね（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)
英訳
Some aspects of homological algebra Alexandre Grothendieck1
1The essential content of Chapters 1, 2, and 4, and part of Chapter 3 was developed in the spring
of 1955 during a seminar in homological algebra at the University of Kansas. Received March 1,1957.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Grothendieck's Tohoku paper
The article "Sur quelques points d'algebre homologique" by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal. It has revolutionized the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
つづく
166:現代数学の系譜 雑談
20/09/04 10:52:16.49 WA43t50K.net
>>147
つづき
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it. His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7] David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept (needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8] The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9] In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12] In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13] The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
(引用終り)
以上
167:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:16:20.61 YJxrx+O5.net
>>142 追加
下記は、物理屋さんに、層の講義をしているので、分り易い
層が抽象的で分かり難いと思う方、一読の価値がある
（物理の話”Higgs vevs”とかは、飛ばしながらね）
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P8
2 Overview of mathematics of sheaves and Ext groups
2.1 Complexes and exact sequences
The language of complexes and exact sequences, standard in algebraic topology, will be used
throughout these lectures. However, many physicists do not know this language, so in this
introductory section we shall review these concepts.
A complex of groups, rings, modules, sheaves, etc is a collection An of groups, rings, etc,
with maps φn : An → An+1 satisfying the important property that φn+1 ◯φn = 0. Complexes
are typically denoted as follows:
An exact sequence is a special kind of complex, namely one in which the image of each
map is the same as the kernel of the next map, not just a subset. This is a stronger statement
than merely φn+1 ◯ φn = 0. For example, for the complex
Aφ-→ B -→ 0
to be exact implies that φ is surjective (onto): the kernel of the right map is all of B, since
the right map sends all of B to zero, yet since the complex is exact, the kernel of each map
equals the image of the previous map, so the image of φ is all of B, hence φ is surjective.
Similarly, for the complex
0 -→ A φ -→ B
to be exact implies that φ is injective (one-to-one): the image of the left map is zero, but
since the complex is exact, the image of each map equals the kernel of the next, so the kernel
of φ is zero, hence φ is injective.
つづく
168:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:17:29.55 YJxrx+O5.net
>>149
つづき
Short exact sequences are three-element exact sequences of the form
0 -→ A φ1 -→ B φ2 -→ C -→ 0
From the discussion above, we see that φ1 is injective and φ2 is surjective,
and the image of φ1 equals the kernel of φ2.
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
One definition of a sheaf on a space X is as a mechanism for associating a set, or group,
or ring, or module, or even a category, to every open set on X. For simplicity, we will focus
on sheaves of abelian groups, but the definitions extend in a straightforward way to other
cases. Now, let S be such a sheaf. The abelian group S(U) assigned to an open set U is
known as the (set of) sections of the sheaf over U. Now, not any collection of sections over
open sets will do: in order to be a sheaf, a number of properties must be satisfied. First,
for every inclusion V ⊆ U, we need to specify a restriction map ρU,V : S(U) → S(V ), such
that for any triple inclusion W ⊆ V ⊆ U, the restriction from U to W is the same as the
composition of the restrictions from U to V and then from V to W:
ρU,W = ρV,W ◯ ρU,V
and such that the restriction map associated to the identity U ⊆ U is the identity map
S(U) → S(U). We shall usually denote the restriction map with a vertical bar, as |V , in the
usual way. A collection of sets {S(U)} together with restriction maps gives us a presheaf of sets.
つづく
169:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:18:25.15 YJxrx+O5.net
>>150
つづき
To get a sheaf of sets, we must impose what are called the “gluing” conditions:
1. For any pair of intersecting open sets U, V , and sections σ ∈ S(U), τ ∈ S(V ) such
that σ|U∩V = τU∩V
there exists a section ρ ∈ S(U ∪ V ) such that ρ|U = σ and ρ|V = τ . In other words, sections glue together in the obvious way.
2. If σ ∈ S(U ∪ V ) and σ|U = σ|V = 0 then σ = 0.
One of the most basic examples of a sheaf is the sheaf of sections of a vector bundle.
Given a vector bundle on a space, we can associate to any open set U the group of sections of
the bundle over that open set. In fact, technically there are several ways to get a sheaf from
a vector bundle ? we could associate smooth sections, or we could associate holomorphic
sections if the vector bundle has a complex structure, or instead of creating a sheaf of sets,
we could create a sheaf of modules, which is the more usual construction. For the purposes
of these physics lectures, these distinctions will largely be irrelevant. Technically, we will
almost always be interested in sheaves of modules of holomorphic sections, but will speak
loosely of other cases.
Sheaves have a property known as being “locally free” if they come from holomorphic
vector bundles, in the fashion above. For most of these notes, we shall ignore the distinction between locally-free sheaves and holomorphic vector bundles, and will use the terms interchangeably.
We should also mention some notation that will be used throughout these notes.
A holomorphic line bundle with first Chern
170: class c1 on a given space will typically be denoted O(c1). This notation makes most sense on projective spaces, where the first Chern class is simply an integer, so that O(n) denotes a holomorphic line bundle of first Chern class n. つづく
171:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:19:29.38 YJxrx+O5.net
>>151
つづき
Another easy example of a sheaf is the skyscraper sheaf. Let X be a space, and p be a
point on that space. Now, associate sections S(U) to open sets as follows:
・ If U contains p, then S(U) = C.
・ If U does not contain p, then S(U) = {0}.
It is easy to check that this is a sheaf. Moreover, the support of the sheaf S (meaning, the
subset of X over which the sheaf is nonzero) is only the point p.
Skyscraper sheaves are the simplest examples of “vector bundles on submanifolds” alluded to earlier.
Given a continuous map i : Y → X and a sheaf S on Y , we can form a sheaf denoted
i*S on X, defined as follows: i*S(U) ≡ S(i-1(U)).
For example, given a vector bundle E (or rather, the associated sheaf) on a submanifold
S of a manifold X, with inclusion map i : S → X, we can form the sheaf i*E on X. It is easy
to check that i*E only has support on S ? if an open set in X does not intersect S, then there
are no sections associated to that open set. The sheaf i*E is the more precise meaning of the
phrase “vector bundle on a submanifold,” and is an example of what is known technically
as a torsion sheaf. Notice that a skyscraper sheaf can also be put in the form i*E, where
i : p → X and E is the rank one line bundle on the point p, and so skyscraper sheaves are
also examples of torsion sheaves.
In particular, later we shall study the extent to which we can describe a D-brane on a
complex submanifold S with holomorphic vector bundle E by the sheaf i*E, for example by
comparing open string spectra to Ext groups (which will be discussed momentarily).
Another example of a sheaf is the sheaf of maps into Z, that assigns, to every open set
U, the set of continuous maps U → Z. This sheaf comes up in considerations of cohomology,
but is less useful for modelling D-branes.
つづく
172:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:20:28.67 YJxrx+O5.net
>>152
つづき
There are many more kinds of sheaves, more than we shall be able to discuss here.
Another way to describe sheaves is in terms of modules over coordinate rings ([12, section
5.3], [13, section II.5]), which often gives results not of forms previously discussed.
For example, sheaves on C^2 can be built by specifying C[x, y]-modules. The trivial line bundle on C^2
is described by the C[x, y] module given by C[x, y] itself.
The skyscraper sheaf supported at the origin corresponds to the C[x, y]-module
C[x, y]/(x, y)
where (x, y) denotes the ideal of the ring C[x, y] generated by x and y.
The sheaf corresponding to the trivial line bundle over the subvariety x = 0 is described by the C[x, y]-module
C[x, y]/(x).
A more interesting family of sheaves supported over the origin of C^2
is described by the one-parameter-family of C[x, y]-modules given by
C[x, y]/(x2, y - αx)
for some complex number α. These are not vector bundles over their supports in any sense,
making their physical interpretation somewhat confusing.
We shall see in section 10 that these sheaves model pairs of D0 branes, sitting at the origin of C^2, with nilpotent Higgs vevs.
A word on notation. Sections of a sheaf are often denoted with Γ, i.e. the sections of a
sheaf S over U are sometimes denoted Γ(U, S).
Some basic references on sheaves are [12, section 0.3], [14, section 2], and [15, section II.10].
つづく
173:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:20:50.35 YJxrx+O5.net
>>153
つづき
P12
2.3 Sheaf cohomology
One can define cohomology groups with coefficients in sheaves, just as one can define cohomology with coefficients in R and Z. Such cohomology groups are called sheaf cohomology.
Sheaf cohomology groups commonly arise in physics when counting vertex operators in string
compactifications. See for example [17] for a discussion of how sheaf cohomology counts spectra in heterotic compactifications, and [18] for a discussion of how sheaf cohomology counts
spectra in
174:the B model topological field theory, for just two examples. Sheaf cohomology will play an important role in understanding open string spectra also, so we shall take a few minutes to review it. In principle sheaf cohomology of degree n is defined as n-cochains, closed with respect to a coboundary operator, modulo exact cochains. Let us describe what that means more precisely, then work through some applications. Then, sheaf cohomology is defined as δ-closed cochains, modulo δ-exact cochains. (Strictly speaking, we should take a direct limit over open covers in order to obtain sheaf cohomology, but for our purposes that technicality will be irrelevant.) The resulting cohomology groups are denoted Hn(X, S), where n is called the degree. To help clarify the meaning of sheaf cohomology, let us take a moment to verify the following claim: line bundles are classified by degree 1 sheaf cohomology. Consider the sheaf C∞(U(1)) of smooth maps into U(1), or, alternatively, the sheaf O* of nowhere-zero holomorphic functions. A degree one element of sheaf cohomology is a collection of either smooth U(1)-valued maps or nowhere-zero holomorphic functions, defined on overlaps of elements of a good open cover. Let such a collection of functions on overlaps be denoted gαβ. Then, the condition of δ-closedness implies that the gαβ close on triple overlaps: gαβgβγgγα = 1. つづく
175:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:21:37.88 YJxrx+O5.net
>>154
つづき
For most of this paper, we shall only be interested in sheaf cohomology on complex
manifolds with coefficients in holomorphic sheaves. However, there are some amusing games
one can play with more general sheaves, which we wish to take a moment to describe.
In general, any map of sheaves S → T induces a map between sheaf cohomology groups
Hn(X, S) → Hn(X, T ), and also, a short exact sequence of sheaves
0 -→ S -→ T -→ U -→ 0
induces a long exact sequence of sheaf cohomology groups
・ ・ ・ -→ Hn(X, S) -→ Hn(X, T ) -→ Hn(X, U) -→ Hn+1(X, S) -→ ・ ・ ・
Using this fact we can quickly derive the topological classification of principal U(1) bundles
by first Chern classes, as follows. There is a short exact sequence of sheaves
0 -→ Z -→ C∞(R) -→ C∞(U(1)) -→ 0
which induces a long exact sequence as above.
However, Hn(X, C∞(R)) = 0 for n > 0, so,
for example, we find immediately that
H1(X, C∞(U(1))) ~= H2(X,Z).
As we have already seen, the group on the left classifies principal U(1) bundles,
and their images in H2(X,Z) under the induced map in the long exact sequence are just their first
Chern classes. Another relationship that can be immediately derived from the associated
long exact sequence is that
H2(X, C∞(U(1))) ~= H3(X,Z)
which will play an important role when we discuss B fields.
つづく
176:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 08:21:56.27 YJxrx+O5.net
>>155
つづき
Just as ordinary cohomology of a space can be realized by differential forms for special
coeffients (i.e., R coefficients), sheaf cohomology can be realized in terms of differential forms
when the coefficients are locally-free sheaves ? holomorphic vector bundles. In particular, if
E is a holomorphic vector bundle, then Hn
(X, E) is the same as ∂-closed (0, n)-differential
forms valued in the bundle E, modulo ∂-exact differential forms.
Here are some useful facts for calculating sheaf cohomology on complex manifolds, for
coefficients in holomorphic sheaves:
(引用終り)
以上
177:１３２人目の素数さん
20/09/05 08:23:02 Svsyj+D0.net
岡潔と連接性
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
178:１３２人目の素数さん
20/09/05 11:48:22 mUiKRCVR.net
ペタペタコピペすることに何の意味が有るのか？
畜生はそういうことが考えられない
179:１３２人目の素数さん
20/09/05 14:33:46 Svsyj+D0.net
自分で考えられない人が他人の文章をコピペで剽窃して誤魔化す
そういうことでしょう
180:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:42:23.33 YJxrx+O5.net
>>142 補足
>”2. Boundary-boundary OPE’s, which are believed to be given by Yoneda pairings of Ext groups.”
>？ Yoneda、Who？ あの米田？（＾＾
米田信夫 でした by チコちゃん（＾＾
”Yoneda pairing”とか、”Yoneda product”とか、結構普通みたいだね
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Artin?Verdier duality
(抜粋)
In mathematics, Artin?Verdier duality is a duality theorem for constructible abelian sheaves over the spectrum of a ring of algebraic numbers, introduced by Michael Artin and Jean-Louis Verdier (1964), that generalizes Tate duality.
It shows that, as far as etale (or flat) cohomology is concerned, the ring of integers in a number field behaves like a 3-dimensional mathematical object.
Statement
Let X be the spectrum of the ring of integers in a totally imaginary number field K, and F a constructible etale abelian sheaf on X. Then the Yoneda pairing
H^{r}(X,F)times Ext^{3-r}(F,mathbb {G} _{m}) → H^{3}(X,mathbb {G} _{m})=mathbb {Q} /mathbb {Z}
is a non-degenerate pairing of finite abelian groups, for every integer r.
つづく
181:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:42:58.23 YJxrx+O5.net
>>160
つづき
上記”Yoneda pairing”にリンクが張ってあって、下記に飛ぶ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Yoneda product
(抜粋)
In algebra, the Yoneda product (named after Nobuo Yoneda) is the pairing between Ext groups of modules:
Ext^n (M,N)◯x Ext^{m}(L,M) → Ext^{n+m}(L,N)
induced by
Hom (N,M)◯x Hom (M,L) → Hom (N,L),f◯x g → g ・ f.
Specifically, for an element xi ∈ Ext^n (M,N), thought of as an extension
xi :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → M → 0,
and similarly
ρ :0 → M → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m}(L,M)
we form the Yoneda (cup) product
xi smile ρ :0 → N → E_{0} → ・・・ → E_{n-1} → F_{0} → ・・・ → F_{m-1} → L → 0 ∈ Ext^{m+n}(L,N).
Note that the middle map E_{n-1} → F_{0}} E_{n-1} → F_{0}} factors through the given maps to M.
We extend this definition to include m,n=0} m,n=0} using the usual functoriality of the Ext^{*}(_,_) groups.
Contents
1 Applications
1.1 Ext Algebras
1.2 Grothendieck duality
1.3 Deformation theory
2 See Also
3 References
4 External links
つづく
182:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:43:20.77 YJxrx+O5.net
>>161
つづき
References
Altman; Kleiman. Grothendieck Duality. p. 5.
Illusie, Luc. "Complexe cotangent; application a la theorie des deformations" (PDF). p. 163.
May, J. Peter. "Notes on Tor and Ext" (PDF).
External links
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Universality of Ext functor using Yoneda extensions asked Feb 8 '13 at 2:27 Arkandias
(抜粋)
Let C be an abelian category (possibly without enough injective nor projective).
(i) Let A,B∈C. When are the Extn(A,B) (defined using Yoneda extensions) sets ?
つづく
183:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:43:38.09 YJxrx+O5.net
>>162
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Nobuo Yoneda
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
米田信夫
(抜粋)
米田 信夫（よねだ のぶお、1930年3月28日 - 1996年4月22日）
1961年東京大学で理学博士号を取得した。博士論文の題は「On ext and exact sequences」[1]。
圏論における米田の補題に名を残している[2]。
脚注
1^ CiNii 博士論文
2^ しかしながら、現在につながる形で最初に用いたのはグロタンディークである。
URLﾘﾝｸ(www.numdam.org)
A.Grothendieck (1958-1960), Technique de descente et theoremes d'existence en geometrie algebriques. II. Le theoreme d'existence en theorie formelle des modules.、
URLﾘﾝｸ(encyclopediaofmath.org)
Encyclopedia of Mathematics :
184: Grothendieck functor (抜粋) Comments In the English literature, the Grothendieck functor is commonly called the Yoneda embedding or the Yoneda?Grothendieck embedding. つづく
185:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:44:33.04 YJxrx+O5.net
>>163
つづき
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
The Yoneda pairing, hypercohomology, and cup product asked Mar 11 at 10:41 Svinto
(抜粋)
Let F and G be coherent analytic sheaves on Pn. Let F・ be a locally free resolution of F. In Principles of Algebraic Geometry by Griffiths and Harris, Extp(F,G) is defined as the hypercohomology of the complex Hom(F・,G), i.e., the cohomology of the complex ◯+p=k+ｌCk(U,Hom(Fｌ,G)), see pages 705 and 446. Here C・(U,Hom(Fｌ,G)) denotes the ?ech complex with respect to some affine open cover U of Pn.
If I understand correctly, the Yoneda pairing
Extp(F,G)×Extq(G,H)→Extp+q(F,H)
should then be induced by the cup product in ?ech cohomology. However, I fail to see precisely how this works out.
つづく
186:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 16:44:55.06 YJxrx+O5.net
>>164
つづき
URLﾘﾝｸ(math.uchicago.edu)
SERRE DUALITY AND APPLICATIONS JUN HOU FUNG Date: September 15, 2013
(抜粋)
Abstract. We carefully develop the theory of Serre duality and dualizing
sheaves. We differ from the approach in [12] in that the use of spectral sequences and the Yoneda pairing are emphasized to put the proofs in a more systematic framework.
2.3. The Yoneda pairing 10
2.3. The Yoneda pairing. The statement of theorem 2.1 refers to the Yoneda
pairing which we describe here, using the language of abelian categories and derived
functors. Recall, an object I in an abelian category C is injective if Hom(?, I) is
exact. The category C has enough injectives if every object is isomorphic to a
subobject of an injective object.
Theorem/Definition 2.12 (Yoneda-Cartier). Let C and D be abelian categories
and suppose C has enough injectives. Let F : C → D be an additive, left-exact
functor. Then for any two objects A, B in C, there exist δ-functorial (i.e., functorial
in A and B and compatible with connecting morphisms) pairings
RpF(A) × ExtqC(A, B) → Rp+qF(B)
for all nonnegative integers p and q.
(引用終り)
以上
187:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 17:15:31 YJxrx+O5.net
（>>108-109 再録）
神脳 河野玄斗 数学勉強法：”理解”がキーワード
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
河野玄斗
URLﾘﾝｸ(kosodatedoctor.)ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報
188:が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。 (8)独学の意識を持つ 教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。 おサルは、そういう勉強をしてこなかったみたいだな グロタンディークのまね、抽象的な数学を抽象的なまま考えようとした、身の程知らず たかが、小学生で遠山先生の「数学入門」程度を読んだ程度で、舞い上がるサル それが、数学落ちこぼれの原因ですよ（＾＾； (引用終り) 補足： いま、コピペしているのは、神脳 河野玄斗 数学勉強法の 「→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する」の部分です ”→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる”が出来れば良いが なかなかそこまで行かない。でも、オチコボレのばかサルよりましかもよｗｗｗ
189:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 17:24:37.36 YJxrx+O5.net
＜オチコボレのばかサル＞
１．時枝でも間違いを犯し
（参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番) 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
２．IUT でも、自分が理解できないくせに、IUTアンチでIUTをディスりまくり、間違いを犯す大失敗 （IUTは正しいよ（＾＾ ）
（参考）Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)
３．この「純粋・応用数学（含むガロア理論）4 」スレでも、人の揚げ足を取りに来て、自分が連続失言して、大失敗
（例えば、”例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもんで唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”とか、大爆笑。自然数は群ではない（＾＾ ）
190:１３２人目の素数さん
20/09/05 18:40:40.31 Svsyj+D0.net
>>166-167
何をぶつぶつ、独り言をいってるんですかね
サルなんて、ここにはいませんよ
191:１３２人目の素数さん
20/09/05 18:51:07.19 Svsyj+D0.net
１．数学セミナー201511月号の記事「箱入り無数目」は正しいですよ
２．望月新一のABC予想の証明は、まだ十分ではないですね
３．自然数の全体は群ではないですね 整数と書くつもりで間違ったんでしょう
ただ正則行列と書くべきところを、正方行列と間違える人はいないと思いますが
192:１３２人目の素数さん
20/09/05 19:00:46.98 Svsyj+D0.net
>>166
＞教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。
独学の怖いところは誰も間違いを指摘してくれず
二つ三つと間違い続けて全然誤った結果に至っても
全然気づかず受け入れてしまう点ですね
全ての正方行列が逆行列を持つなんて、
大学で線形代数の講義を聞いていたら
誤りだと気付くんですがね
教科書の定義を全く読まずに
計算式だけ丸暗記して
しかも実際の計算は全くしないと
ウソを正しいと誤解しますね
逆行列のない正方行列なんて幾らでもできますからね
ついでにいうと全ての固有値が０となる行列で
零行列でない行列というのも幾らでもありますね
あ、いま、ビクッってしました？
もしかして全ての固有値が０なら零行列だと思ってました？
いるんですよね 何の根拠もなくそう思い込む人が
論理抜きで直感で思い込む癖のある人は独学に最も向きませんよ
193:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:05:23
194: ID:YJxrx+O5.net
195:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:05:43 YJxrx+O5.net
>>171
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
定義
捩れは群の元と環上の加群の元とに対してそれぞれ定義される。任意のアーベル群は整数環 Z の上の加群と見ることができ、この場合は 2つの捩れの考え方は一致する。
群に対して
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、gm = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 gm は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という[1]。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる[2]。このとき A/T は捩れのない群である。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[注 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。
加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。
（注 1^ すべての 0 ≠ s ∈ R に対して rs ≠ 0 ≠ sr が成り立つような元 r ∈ R を正則元という。）
（注 2^ 整域（零因子が 0 のみの可換環）では、全ての非零元が正則であるので、整域上の加群の捩れ元は、整域の非零元により零化される元であり、これ
196:を捩れ元の定義として使っている著者もいる。しかしこの定義は、一般の環の上ではうまくいかない（例えば後述の捩れがない加群は、零因子を持つ環上零加群しか存在しなくなってしまう）。） つづく
197:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:06:41 YJxrx+O5.net
>>172
つづき
環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
群に対して
・任意の有限群は周期的で有限生成である。バーンサイドの問題（英語版）＊）は、逆に、任意の有限生成の周期群は必ず有限であるかという問題である。（答えは、たとえ周期が固定されていても、一般には否定的である。）
・mod 1 での有理数からなるアーベル群 Q/Z は周期的である。類似して、一変数多項式環 R = K[t] 上の加群 K(t)/K[t] は pure torsion である。これらの例を次のように一般化することができる。R が可換整域で Q がその分数体であれば、Q/R は捩れ R-加群である。
・加法群 R/Z の捩れ部分群は Q/Z であり、一方、加法群 R や Z は捩れがない。捩れのないアーベル群（英語版）の部分群による商が捩れなしであるのは、ちょうど、その部分群がpure subgroup（英語版）であるときである。
つづく
198:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:07:02 YJxrx+O5.net
>>173
つづき
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
ホモロジー代数における捩れ
捩れの概念はホモロジー代数において重要な役割を果たす。M と N を可換環 R 上の加群とすると、Tor函手は R-加群 TorRi(M, N) の族を与える。R-加群 M の S-捩れ tS(M) は、標準的に TorR1(M, RS/R) と同型となる。この函手を表す記号 Tor はこの代数的な捩れとの関係を反映している。非可換環の場合でも S が右支配的集合である限りは、同じ結果が成り立つ。
アーベル多様体
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
アーベル多様体の捩れ元は、捩れ点、あるいは、古い用語では、分割点と呼ばれる。楕円曲線上では、捩れ元は分割多項式（英語版）(division polynomials)の項として計算される。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
複素数体上の楕円曲線の 4-捩れ部分群
(引用終り)
以上
199:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:50:43 YJxrx+O5.net
(再録)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:37番)
200:0 必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ >>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです 私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな 群は基本的に非可換だよ」と書いた （補足説明も、>>134-136に書いてある） おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾ （”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。 >>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です）） ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い 普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです） で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです 逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません 群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160） やれやれですなｗ（＾＾； (引用終り) ＜補足＞ これ 「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな 群は基本的に非可換だよ」 ↓ もっと簡単にして 「折角だから書いておくと、行列とか多元数あたりな・・ とでも書いておけば、意図はずっと明確になったろう 念頭にあったのは、行列による群の表現理論です つづく
201:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/09/05 22:51:07 YJxrx+O5.net
>>175
つづき
行列の積は、基本は非可換だからね
そして、群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
（逆元の存在要請から、零因子は除かれるし、正則行列に限られる）
だが、チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、専門用語”正則行列”は避けた。ここは日本数学会でなく、５ｃｈだから、ここの日常会話ではこれで十分だ
が、アホが揚げ足とりに来て、行列の零因子と逆行列の関係が理解できていない赤っ恥を露呈。笑えたな
面白いな、アホなおサルさん
以上
202:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 23:08:01.32 YJxrx+O5.net
>>91
(引用開始)
>>81
>フィールズ賞 1954年
>セール：Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
ああ、あんた全然わかってないな
セールのフィールズ賞の主たる受賞理由は
Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences.
「球体のホモトピー群について、特にスペクトル系列の方法を用いて大きな成果をあげた。」
だよ
あんたが球面のホモトピー群の意義を理解できないだけｗ
(引用終り)
(>>81より）
再録
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
フィールズ賞
(抜粋)
1954年（アムステルダム）
小平邦彦（Kunihiko Kodaira, 1915年 - 1997年）日本の旗 日本
「 Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kahlerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds. 」
ジャン=ピエール・セール（Jean-Pierre Serre, 1926年 - ）フランスの旗 フランス
「 Achieved major results on the homotopy groups of spheres, especially in his use of the method of spectral sequences. Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.
(引用終り)
この話も、おサルが人の揚げ足を取ろうと、仕掛けてきて、自分の常識の無さを露呈の赤っ恥ｗ（＾＾
笑える
フィールズ賞で、”球面のホモトピー群”と”スペクトル系列”と、どちらが重視されたのか？ 分からない？ 常識が欠けているな
そもそも、”especially ”って書いてあるし
後に”Reformulated and extended some of the main results of complex variable theory in terms of sheaves.”とある
”スペクトル系列”と”sheaves”との繋がりが、見えないとしたら、常識が欠けているな
つづく
203:現代数学の系譜 雑談
20/09/05 23:08:24.26 YJxrx+O5.net
>>177
つづき
（下記の通りですよ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Jean-Pierre Serre
(抜粋)
Career
From a very young age he was an outstanding figure in the school of Henri Cartan,[2] working on algebraic topology, several complex variables and then commutative algebra and algebraic geometry, where he introduced sheaf theory and homological algebra techniques. Serre's thesis concerned the Leray?Serre spectral sequence associated to a fibration. Together with Cartan, Serre established the technique of using Eilenberg?MacLane spaces for computing homotopy groups of spheres, which at that time was one of the major problems in topology.
In his speech at the Fields Medal award ceremony in 1954, Hermann Weyl gave high praise to Serre, and also made the point that the award was for the first time awarded to a non-analyst. Serre subsequently changed his research focus.
(引用終り)
以上
204:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:38:40 JRBNrvaF.net
>>175
>私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
>群は基本的に非可換だよ」と書いた
>（補足説明も、>>134-136に書いてある）
>おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
>（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
そのような言い訳が通用しないことは、他ならぬあなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されていることからも明らかですねー
205:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:40:45 JRBNrvaF.net
>>167
>１．時枝でも間違いを犯し
> （参考）現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番) 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
間違いを犯しているのはあなたですねー
そのスレに指摘してあげましたからよく読んで理解して下さいねー
206:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:32:07 rCjTzdM1.net
>>175
☆＞群の例で、非可換のものを挙げてくれ
★＞正方行列とか多元数あたりな
群の定義
０．演算で閉じている。
１．演算が結合法則を満たす。
２．単位元が存在する。
３．逆元が存在する
群であると言い切った時点で、上記の４条件を満たさなければなりません
したがって、
★＞これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐ
という言い訳は一切通用しませんよ
★＞（行列による）「群の表現」の話もしている
★＞（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
正則行列全体による群は部分群ではありません
群の部分集合が、もとの群の演算で群を成す時、部分群といいます
この場合、行列の積の演算は共通ですが、
そもそも元の集合である「正方行列の全体」が群でないのでダメ
★＞逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。
「普通、デフォルト」は誤り
「必ず満たすべき制約条件」が正しい
かならずいうべきこと
いわないのは詐欺
★＞群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
「仮定」ではなく「前提」
群だと言い切ったら、前提を満たしていることを証明する義務を負う 当たり前ですね
したがって、正方行列（の全体）が群だと言い切った瞬間
「いかなる正方行列にも逆行列が存在する」
と証明する義務を負う
あなたは果たせませんでしたが
★＞群の表現論で使うnxn行列で、
★＞わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、
★＞ド素人ｗ
群の表現は、「正則行列全体の群」への準同型写像
決して「正方行列全体の群」ではありませんよ
それをご存じないあなたこそド素人
まあ、大学に入れなかったそうですから致し方ないですね
大学で線形代数を学んだ人なら、いくら成績が悪くても
・正則行列でない正方行列が存在すること、
・非正則行列の行列式が０となること
くらいは覚えていますから
それが大学卒業の最低限の資格ですよ
207:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:36:49 rCjTzdM1.net
>>181
★＞”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、
★＞ 行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”
高校では行列式って教えないんでしたっけ？
じゃあ、大学行ってないあなたが全く知らなくても仕方ないですね
道理で行列式といわれてもキョトンとするわけですね
しかし、行列式くらい覚えておきましょうね
行列式
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
工学部卒で、群の定義知らなくても問題ないですが
行列式知らないなんて言ったら、大恥かきますよ
208:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:49:58 rCjTzdM1.net
>>176
＞群だから、結合則や積ghに対する積hgの要請から、
＞行列は必然正方行列にならざるを得ないのです
それは必要条件ですね
つまり
「行列の集合が群となる場合、
その集合の要素は正方行列である必要がある」
しかし上記は十分条件ではありません
十分条件を示してはじめて群であると示せたことになります
＞（逆元の存在要請から、・・・正則行列に限られる）
存在「要請」なら、要請に答えましょうね
つまり、あなたは
「正則行列の積は正則行列であること」
を示す必要があります
しかし、あなたはそもそも何が正則行列か
分かっていないから示しようがない
＞チラと”行列”だけでは、不親切と思ったので、正方行列にした
不親切、ではなく、不十分です
そして正方行列と言い直しても、まだ不十分です
＞ゆとり世代の読者が存在することに配慮して、
＞専門用語”正則行列”は避けた
避けた？違うでしょう？
あなた自身がゆとり世代で、
「正則行列」を知らなかったんでしょう？
群の例を挙げるんだから
当然、正則行列という必要がある
正則行列と云う言葉を知らなかったとしても
例えば行列式が０でない行列という必要があった
ランクｎのｎ×ｎ行列でもKer M={0}の行列Mでも
なんでも結構ですが
＞ここは５ｃｈだから、
＞ここの日常会話ではこれで十分だ
全く誤りですね
５ｃｈの数学板だろうと
日本数学会の全国大会だろうと
国際数学者会議の講演だろうと
ステートメントは正確に述べ切る必要がある
それができない人は・・・数学は無理ですよ
間違い続けるだけですから
「正方行列から零因子を除けば体になる」
とか
209:１３２人目の素数さん
20/09/06 07:56:10 rCjTzdM1.net
>>179
＞あなたの引用にて尽く「正則行列」や「可逆行列」と記されている
ええ、正方行列＝可逆行列、でないことは
理工系学生の一般常識ですから
行列式を知らない、なんて理工系ならあり得ませんからね
◆yH25M02vWFhPは、まず行列式と外積くらい覚えましょう
工学部でも確実に役に立ちますからね
210:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:01:51 rCjTzdM1.net
>>177-178
あなたには理解できないでしょうが
スペクトル系列に層は必要ありません
代数幾何で層は不可欠でしょうけどね
211:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:04:38 rCjTzdM1.net
そもそも行列式も知らない人には
代数幾何どころか代数も無理
終結式とか知らないでしょ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
212:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:11:54 rCjTzdM1.net
遠山啓の「数学入門」（上）で、グラスマン代数使って
行列式の定義をしているのは
「こんなことはいくらなんでもわかるだろう
順序を交換すれば符号が逆転する、っていうだけだから」
と考えたからだろう
213:１３２人目の素数さん
20/09/06 08:20:35 rCjTzdM1.net
行列式を知らないってことは、ヤコビアンも知らないってこと？
ってことは、ｎ変数の逆関数定理も、一般の陰関数定理も知らないってこと？
そんなの、ま�
214:ｷます理工系ではあり得ないなぁ ヤコビ行列 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97 そういえば、学生の頃、この曲の替え歌が流行りました https://www.youtube.com/watch?v=o-7QeOuNMIs ♪ヤコビア～ン
215:現代数学の系譜 雑談
20/09/06 10:53:17.48 P1Kztm36.net
>>149-150 補足
再録
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Lectures on D-branes and Sheaves 2003
Eric Sharpe
(抜粋)
P9
2.2 Sheaves
Nowadays most physicists are familiar with bundles, and the important role they have played
in gauge theories. But, what is a sheaf? One motivation for sheaves is as the mathematical
machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.
(引用終り)
なるほど、21世紀では、層は
”One motivation for sheaves is as the mathematical machinery needed to make sense of, for example, a vector bundle living only over a submanifold
(a notion with obvious applications to modelling D-branes),
and other more abstract settings where bundles are no longer a sensible concept.”
ってこと
層の概念がいろんなところへ取り込まれた
秋月の本とか、もう古くなっています
層とファイバー束とを、全く別もの扱いしていますが、生まれは別でも、結構関連するようになっています
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ファイバー束
(抜粋)
ファイバー束（ファイバーそく、英: fiber bundle, fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
一点 p 上のファイバー Fp
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
U上に制限した座標束。この画像ではまばらだが、本当はどの点の上にもファイバーがあり、隙間無く並んでいる。
つづく