20/12/08 15:57:22.58 em4cCnZq.net
>>888 (追加)
h = 1/(2r) - (π/4)r = 0.043966738206885
d = 2r = (√3)R = 1.54077053317192
934:１３２人目の素数さん
20/12/08 18:01:34.95 4aN8y6Kd.net
>>886
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図で、緑＋青＝１ 赤＝２の面積条件を使ってどうやって変数を減らせばいいんだろう？
935:１３２人目の素数さん
20/12/08 18:24:54.42 tMfiCqSd.net
>>885
ありがとう、元気でたわ。
おまえも頑張れよ。
936:１３２人目の素数さん
20/12/08 18:26:05.18 gbWiWLFJ.net
２つの3分岐の巾、左の円弧、中隔の円弧、右の円弧を未知パラメータとして4つ
左の面積＝1、右の面積＝2、２組の円弧の公差のなす角＝120°で4
937:つまぁやりようは色々あるな
938:イナ
20/12/08 20:11:35.63 7xtyXwoj.net
前>>887
360°-120°-90°×2=60°より、
∠OBA=60°だから正弦定理より、
a/sin60°=r/sinφ=R/sinθ
=2a/√3
共有部の円弧はOAをr:Rに分割するから、
境界線と円弧の中心を結ぶ直線の交点の座標は、
(ra/(r+R),0)
共有部の円弧の中心はもっと左じゃないのかな？
2つのシャボン玉の共通接線の交点じゃないのかなぁ？
939:イナ
20/12/08 20:31:07.08 7xtyXwoj.net
前>>893
θ+φ=120°なんで1文字減ります。
940:１３２人目の素数さん
20/12/09 07:33:03.22 9+kMqia0.net
>>880
こうやって書くと対称的じゃないけど展開して整理すると
Σsgn(σ)(aσ0・aσ1)(aσ1・aσ2)(aσ2・aσ3)(aσ3・aσ4)(aσ4・aσ0)=0
と対称的な形に書けるんだな
(この和だと反転と巡回の対称性で同じ項が10項ずつ出てくるので実際は10で割ったもの)
941:１３２人目の素数さん
20/12/09 07:41:28.82 9+kMqia0.net
絵的には5点をつなぐループが12個
奇数になる項がちょうど1つだけしか出てこなかったのが不思議だったけど、この絵で見ると
奇数になる項は星形ループに対応してるわけか
942:１３２人目の素数さん
20/12/09 08:48:28.21 9+kMqia0.net
上の形の直接証明も簡単か
aiの第n(=0,1)成分をai(n)として
Σ[n0～n4=0,1]det[ai(n(j-1))ai(n(j))]
となるけど、組(n(j-1),n(j))は(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)の4パターンしかないからどこか2列は同じになる
943:１３２人目の素数さん
20/12/09 09:20:09.99 2/EUeYGR.net
>>890
120°を使わずに算出したい。
r とs が決まれば面積１からｃの座標が確定。
円Cと円Oの交点Bの座標も確定。
Bを円Aが通ることからaはRで表せる。
面積２を満たすようなRを求めれば
３つの円弧の和がrとsの関数で表せる。
これをプログラムで数値解を出そうとしたがエラーがでて挫折。
944:１３２人目の素数さん
20/12/09 09:32:35.37 VNBWy9zn.net
>>897
Σsgn(σ)～～ は導出できたけどこの証明は気づかなかった…
なるほど展開したらよかったのか
945:１３２人目の素数さん
20/12/09 09:41:58.60 9+kMqia0.net
>>899
ちなみにどうやって導出しました？
コンセプチュアルな方法があるんでしょうか
946:１３２人目の素数さん
20/12/09 10:49:34.24 VNBWy9zn.net
>>900
導出はだいぶ昔にやったものだからあまり覚えてないけど、
多分似たような方法だった気がする
違うものを想定してたのは式の値が恒等的に0になる証明の方で
（と言っても897と本質的に同じかもしれないけど）
･合計10個の実変数のどれに着目しても高々二次式であること
･その実変数以外を固定した時に、その二次以下の式は少なくとも３つの零点を持つこと
を示す流れだった
この問題も言わば、その式を見つけてもらうことを主眼に置いて考えたものだから
>>895 とかで考察してくれたこと以外の深い意味はないんだ、すまない
947:イナ
20/12/09 15:52:14.75 cykkV0Yr.net
前>>894
c=s-ar/(r+R)
948:イナ
20/12/09 16:25:37.61 cykkV0Yr.net
前>>902
正弦定理よりR/sinθ=r/sin(2π/3-θ)=2a/√3
加法定理よりsin(2π/3-θ)=sin(2π/3)cosθ-cos(2π/3)sinθ
=(√3/2)cosθ-sinθ/2
rsinθ=R√3cosθ/2-Rsinθ/2
(R√3/2)cosθ=(R/2+r)sinθ
(3R^2/4)cos^2θ=(R^2/4+Rr+r^2)sin^2θ
(3R^2/4)sin^2θ+(R^2/4+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
(R^2+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
sinθ=R√3/2√(R^2+Rr+r^2)=R√3/2a
a=√(R^2+Rr+r^2)
949:１３２人目の素数さん
20/12/09 17:18:16.66 bQDpTMuw.net
大学レベルの問題ばかり�
950:ﾅ ついていけなくて震える。 せめて大学への数学レベルにしてクレメンザ
951:１３２人目の素数さん
20/12/09 18:09:23.49 nSTBriB8.net
>>894
「Lが最小」という条件から
cosω + cosα = -1
ぢゃね？
952:１３２人目の素数さん
20/12/09 18:27:21.09 nSTBriB8.net
>>872
cosω + cosα = -1,
を使って再計算すると
ω = 1.91200296852839
α = 2.29879315245870
d = 1.26284488887041
r = d/(2sinω) = 0.670049754175156
R = d/(2sinα) = 0.845833935444669
∂O = (1 + ω/sinω)d = 3.82511912695964
∂A = (1 + α/sinα)d = 5.15163940670520
L = ∂O + ∂A - d
= (1 + ω/sinω + α/sinα)d
= 7.71391364479443
953:１３２人目の素数さん
20/12/09 19:45:02.50 nSTBriB8.net
>>905
(略証)
L = {1 + (ω/sinω) + (α/sinα)}d,
面積条件
S_o = f(ω)(d/2)^2 = 1,
S_a = f(α)(d/2)^2 = 2,
があるので ω,α もdの陰関数。
⊿ω･d = -2f(ω)/f '(ω)⊿d,
⊿α･d = -2f(α)/f '(α)⊿d,
よって
⊿L = {1 + (ω/sinω) + (α/sinα)}⊿d
+ {(ω/sinω) '・⊿ω + (α/sinα) '・⊿α}d
= {1 + (ω/sinω) - (ω/sinω) '・f(ω)/f'(ω)
+ (α/sinα) - (α/sinα) '・f(α)/f'(α)}⊿d
= (1 + cosω + cosα)⊿d,
∵ f(θ) = (θ-sinθcosθ)/(sinθ)^2 より
(θ/sinθ) - 2(θ/sinθ) '･f(θ)/f '(θ) = cosθ,
954:イナ
20/12/09 20:43:06.07 cykkV0Yr.net
前>>903
緑=πr^2-r^2θ+rcosθsinθ
青=s^2ω-(c+rcosθ)sinθ
緑+青=πr^2-r^2θ+s^2ω-csinθ=1
赤=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ=2
正弦定理よりRsin(2π/3-θ)=rsinθ
加法定理よりRsin(2π/3)cosθ-Rcos(2π/3)sinθ=rsinθ
(R√3/2)cosθ=(R/2+r)sinθ
(3R^2/4)sin^2θ+(R/2+r)^2sin^2θ=3R^2/4
(R^2+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
sinθ=R√3/2√(R^2+Rr+r^2)
ここまでできた。
955:１３２人目の素数さん
20/12/10 13:47:56.84 NebNW4pF.net
>>898
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
のrとsから３本の円弧の和を算出する関数がようやく完成。
こんな感じ
> fn(r=0.6,s=3)
[1] 7.77771791
> fn(r=0.65,s=2.25)
[1] 7.706045503
> fn(r=0.67,s=2.5)
[1] 7.706645357
最小値となるｒ，ｓを入力すると
> fn(r= 0.66017210648907, s=2.89088405538017)
[1] 7.704867748
それらしい、近似値が得られた。
956:１３２人目の素数さん
20/12/10 14:37:05.95 NebNW4pF.net
>>893
関数が完成したので、最小値をとるときの図を作成してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
957:１３２人目の素数さん
20/12/10 15:16:57.72 NebNW4pF.net
>>910
最小値をとるときの座標(複素数表示）
> (Graph())
$A
[1] 0.7765166+0i
$B
[1] 0.1975789+0.6299125i
$C
[1] -2.623843+0i
角度を座標から計算すると
> Angle(C,B,O)[2]
deg
59.99991
> Angle(O,B,A)[2]
deg
59.99998
> Angle(C,B,A)[2]
deg
119.9999
120°の近似する値が得られた。
境界は円弧であることを前提にすると最小値となる場合の角度が120°になるのが（近似的に）実感できた。
958:１３２人目の素数さん
20/12/10 15:49:40.74 NebNW4pF.net
>>910
青の円弧がかなり線分に近いので線分で計算したときの最小値が円弧での最小値に近似したのだなぁと勝手に納得。
959:イナ
20/12/10 16:25:36.96 zKFlA30/.net
前>>908
2(緑+青)=赤より、
2(πr^2-r^2θ+s^2ω-csinθ)
=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ
π(2r^2-R^2/3)-(2r^2+R^2)θ+R｛cos(2π/3)cosθ+sin(2π/3)sinθ｝｛sin(2π/3)cosθ-cos(2π/3)sinθ｝
+3s^2ω=3csinθ+csinθcosθ
境界線の長さL=2πr(2π-2θ)/2π+2πs(2ω/2π)+2πR(2π-4π/3+2θ)/2π
=2πr-2rθ+2ωs+2πR/3+2Rθ
ssinω=rsinθ=Rsin(2π/3-θ)=(R√3/2)cosθ-sinθ/2
だいぶいったな。
960:イナ
20/12/10 16:45:37.90 zKFlA30/.net
前>>913
rsinθ=(R√3/2)cosθ-sinθ/2
(r+1/2)sinθ=(R√3/2)cosθ
(3R^2/4)cos^2θ+(r+1/2)^2cos^2θ=r+1/2
cosθ=r√(r^2+Rr+R^2)/(r+R)
これを代入したら解けたりしないか？
ドラえもんがドラえもんのポケットに入るみたいなことか？
961:１３２人目の素数さん
20/12/10 18:12:50.33 z9njGJo2.net
>>910
3次元の場合(
962:面積を体積に、長さを表面積にした場合) これの回転体みたいになるんかな？
963:イナ
20/12/10 18:14:49.40 ooCB14CZ.net
前>>915訂正。
(3R^2/4)cos^2θ+(r+1/2)^2cos^2θ=(r+1/2)^2
cosθ=r√(r^2+Rr+R^2)/(r+R)を代入すると、
3r^2R^2(r^2+Rr+R^2)+4r^2(4r^2+4r+1)(r^2+Rr+R^2)=(4r^2+4r+1)(r^2+2Rr+R^2)
964:イナ
20/12/10 18:17:15.16 ooCB14CZ.net
前>>914アンカー訂正。
(3R^2/4)cos^2θ+(r+1/2)^2cos^2θ=(r+1/2)^2
cosθ=r√(r^2+Rr+R^2)/(r+R)を代入すると、
3r^2R^2(r^2+Rr+R^2)+4r^2(4r^2+4r+1)(r^2+Rr+R^2)=(4r^2+4r+1)(r^2+2Rr+R^2)
965:１３２人目の素数さん
20/12/10 21:36:02.49 Whv7aYu3.net
>>915
とりあえず、回転させたときの体積と表面積を出してみた。（数値積分法による近似解）
> green = function(x) sqrt(r^2-x^2) # 円Oの方程式
> blue = function(x) sqrt(s^2-(x-c)^2) # 円Cの方程式
> red = function(x) sqrt(R^2-(x-a)^2) # 円Aの方程式
>
> VGB=integral(function(x) pi*green(x)^2, -r,b0) # volume green&blue
> VR=integral(function(x) pi*red(x)^2, b0,a+R) # volume red
> VGB+VR
[1] 3.304685217
>
> AG=integral(function(x) 2*pi*green(x), -r,b0) # area green
> AB=integral(function(x) 2*pi*blue(x),b0,c+s) # area blue
> AR=integral(function(x) 2*pi*red(x)^2, c+s,a+R) # area red
> AG+AR
[1] 7.64711703
> AG+AB+AR
[1] 7.830843082
966:１３２人目の素数さん
20/12/10 21:50:59.93 Whv7aYu3.net
>>918（訂正）
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> green = function(x) sqrt(r^2-x^2) # 円Oの方程式
> blue = function(x) sqrt(s^2-(x-c)^2) # 円Cの方程式
> red = function(x) sqrt(R^2-(x-a)^2) # 円Aの方程式
>
> VG = integral(function(x) pi*green(x)^2, -r,b0) # volume green
> VB = integral(function(x) pi*blue(x)^2, b0,c+s) # volume green
> VR = integral(function(x) pi*red(x)^2, b0,a+R) - VB # volume red
> c(VG,VB,VR)
[1] 0.86504771150 0.04346965773 2.39616784810
>
> AG = integral(function(x) 2*pi*green(x), -r,b0) # area green
> AB = integral(function(x) 2*pi*blue(x),b0,c+s) # area blue
> AR = integral(function(x) 2*pi*red(x)^2, c+s,a+R) # area red
> c(AG,AB,AR)
[1] 2.957868072 0.183726052 4.689248957
967:イナ
20/12/10 21:51:17.06 ooCB14CZ.net
前>>917
>>905-906
どこをω,αとおいたか、
cosを足して-1とはどういうことなのか書いてください。
直交するベクトルの内積が-1という意味ですか？
968:１３２人目の素数さん
20/12/10 22:05:23.27 Whv7aYu3.net
>>919
体積１と体積２のシャボン玉を癒合させたら、この値の比例計算（体積比が面積比になるから、2/3乗して）
表面積、境界面積は
[1] 14.5977886361 0.3507196325
になったけど、この計算でいいのかなぁ？
969:１３２人目の素数さん
20/12/10 22:35:13.86 w89uOlyn.net
プログラムおじさんまた来てるよ...
970:１３２人目の素数さん
20/12/10 23:00:54.78 Whv7aYu3.net
>>922
作図できたら数値解は出せるからね。
971:１３２人目の素数さん
20/12/10 23:11:16.86 IK7YBTaQ.net
>>922
PDやな
もうほっとくしかないやろ
972:１３２人目の素数さん
20/12/11 00:23:01.95 J0wklMMW.net
>>919（再度訂正）
面積の方に体積計算が混ざっていた
> green = function(x) sqrt(r^2-x^2) # Circle O
> blue = function(x) sqrt(s^2-(x-c)^2) # Circle C
> red = function(x) sqrt(R^2-(x-a)^2) # Circle A
>
> VG = integral(function(x) pi*green(x)^2, -r,b0) # volume green
> VB = integral(function(x) pi*blue(x)^2, b0,c+s) # volume blue
> VR = integral(function(x) pi*red(x)^2, b0,a+R) - VB # volume red
> c(VG,VB,VR)
[1] 0.86504771150 0.04346965773 2.39616784810
> VG+VB+VR # total volume
[1] 3.304685217
>
> AG = integral(function(x) 2*pi*green(x), -r,b0) # area green
> AB = integral(function(x) 2*pi*blue(x), b0,c+s) # area blue
> AR = integral(function(x) 2*pi*red(x), c+s,a+R) # area red
> c(AG,AB,AR)
[1] 2.957868072 0.183726052 6.178974742
> AG+AR # surface area
[1] 9.136842814
> AB # border area
[1] 0.183726052
973:１３２人目の素数さん
20/12/11 04:26:59.26 WsMd5vUs.net
>>924
さっさとNGしてスッキリ
974:１３２人目の素数さん
20/12/11 07:46:35.11 J0wklMMW.net
>>922
普通プログラム使って作図するだろ。
色塗りもできるし。
誰も作図してアップロードしないね。
975:１３２人目の素数さん
20/12/11 07:54:27.29 qoZl2JS2.net
>>926
高木クラスやね
もうこのクラスのPDだと社会でやってけてないやろ
976:１３２人目の素数さん
20/12/11 11:34:15.93 J0wklMMW.net
>>908
青=s^2ω-(c+rcosθ)sinθ
これ間違ってない？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
の図で
cがCのx座標だとすると負の値だし、まあ、cはCOの長さとするにしても
扇形の面積から引いている三角形BCDの面積が底辺(CO+OD)×sinθになっている
高さはsinθじゃなくてr*
977:sinθだと思う。
978:１３２人目の素数さん
20/12/11 12:53:21.25 Ox1FVvVB.net
平面上の話はもう分かった、
次はこれを三次元空間にして
計算結果を図示しろ。
979:１３２人目の素数さん
20/12/11 12:55:57.44 Ox1FVvVB.net
>>930
これが出来ない奴は
うちの研究室には要らない
分かったか、おめぇら（ '‘ω‘）
980:イナ
20/12/11 14:24:16.98 eNot1/W1.net
>>929ご指摘ありがとう。
まだだれも平面上の計算過程を示さないんで、やってみる。
cは座標ではなく長さとして、
緑=πr^2-r^2θ+rcosθsinθ
青=s^2ω-(c+rcosθ)rsinθ
緑+青=πr^2-r^2θ+(1-r)rcosθsinθ+s^2ω-crsinθ=1
赤=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ=2
正弦定理よりRsin(2π/3-θ)=rsinθ
加法定理よりRsin(2π/3)cosθ-Rcos(2π/3)sinθ=rsinθ
(R√3/2)cosθ=(R/2+r)sinθ
(3R^2/4)sin^2θ+(R/2+r)^2sin^2θ=3R^2/4
(R^2+Rr+r^2)sin^2θ=3R^2/4
sinθ=R√3/2√(R^2+Rr+r^2)
2(緑+青)=赤より、
2(πr^2-r^2θ+(1-r)rcosθsinθ+s^2ω-crsinθ)=πR^2-R^2(2π/3-θ)+Rcos(2π/3-θ)sin(2π/3-θ)-s^2ω+csinθ+csinθcosθ
=πR^2-2πR^2/3+πR^2θ+rcos(2π/3-θ)sinθ-s^2ω+csinθ+csinθcosθ
2πr^2-2r^2θ+2(1-r)rcosθsinθ+2s^2ω-2crsinθ-πR^2+2πR^2/3-πR^2θ-rcos(2π/3-θ)sinθ+s^2ω-csinθ-csinθcosθ=0
2πr^2-2r^2θ+(2-2r^2-c)cosθsinθ+3s^2ω-(2r+1)csinθ-πR^2+2πR^2/3-πR^2θ-rcos(2π/3-θ)sinθ=0
ここまでできた。
981:イナ
20/12/11 16:25:26.81 eNot1/W1.net
前>>932
2πr^2-2r^2θ+(2+r/2-2r^2-c)cosθsinθ+3s^2ω-(2r+1)csinθ-(r√3/2)sin^2θ
=4πr^2sin^2θ/(9cos^2θ+3sin^2θ-6cosθsinθ√3)
ssinω=rsinθで4文字を3文字に減らせる。
Lの式を微分するのかな？
982:１３２人目の素数さん
20/12/11 16:51:36.86 Ox1FVvVB.net
>>930-931
翻訳すると
「これって三次元空間でも
同じ切り口で解けますか？
計算量はどのていど増加しますか？」
って事だ。
質問したいけど、素直に質問すると
ナメられるからな、あえて、こういうキツい言い方をしてる。
983:１３２人目の素数さん
20/12/11 16:59:14.92 J0wklMMW.net
>>933
∠CBO＝６０°を使っていいなら
θ=ω+π/3で変数が減らせるのでは
984:１３２人目の素数さん
20/12/11 17:11:08.77 J0wklMMW.net
>>933
>929の図で
BD=s*sin(ω)=r*sin(θ)=R*sin(β)
s*sin(ω)=r*sin(ω+pi/3)
s*sin(ω)=R*sin(ω+2/3*pi)
∴
r=s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)
R=s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)
で変数が減らせると思う。
985:イナ
20/12/11 20:06:42.61 eNot1/W1.net
前>>933ちょっと走ってきたらやっぱり共有部は線分のほうがいいと思った。
だれかが言ってたよね、最短距離は線分じゃないかって。
>>786
正弦定理よりrsinθ=Rsin(2π/3-θ)
加法定理よりrsinθ=R(cosθ√3-sinθ)/2
R=2rsinθ/(cosθ√3-sinθ)
緑=2πr^2(2π-2θ)/2π+rcosθsinθ=1
2πr^2-2r^2θ+rcosθsinθ=1
辺々2倍すると、
4πr^2-4r^2θ+2rcosθsinθ=2
青+赤=2πR^2(2π/3+2θ)/2π+rsinθRcos(2π/3-θ)=2
Rを代入して消すと、
4r^2sin^2θ(2π/3+2θ)/(cosθ√3-sinθ)^2+rsinθ×2rsinθ×cos(2π/3-θ)/(cosθ√3-sinθ)=2
rとθの異なる2つの方程式が出た。
連立方程式を解けばrとθが決まるら。
986:１３２人目の素数さん
20/12/11 20:57:55.07 1IpR5R7B.net
三次元空間のしゃぼん玉の挙動は平均曲率一定とかだったような気がする
合体するしゃぼん玉が二つであれば、まあどうせ
ある直線を軸に回転対称になるだろうからまだやりやすいと思うけど
三つ以上は多分わりと闇なんだろうな…
987:１３２人目の素数さん
20/12/11 21:03:34.27 Ox1FVvVB.net
>>938 サンクス！
おら、稲作 >>934 に答えろや。
988:１３２人目の素数さん
20/12/11 21:54:26.08 IP/hdbfr.net
>>936
s と ωの連立方程式にして、最小二乗法でプログラムで緑＋青＝１，赤＝２となる値を探索させて三円弧の和を出してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
f <- function(s,ω){
BD=s*sin(ω)
r=BD/sin(ω+pi/3)
R=BD/sin(ω+2/3*pi)
BLUE=s^2*ω - s*cos(ω)*BD
θ=ω+pi/3
α=pi-θ
GREEN=r^2*α + r*cos(θ)*BD
β=θ+pi/3
RED=R^2*β + R*cos(pi-β)*BD - BLUE
(GREEN+BLUE-1)^2 + (RED-2)^2 # least square method
}
opt=optim(c(2.5,0.5),function(x) f(x[1],x[2]),
989:method='N') s=opt$par[1] ω=opt$par[2] BD=s*sin(ω) r=BD/sin(ω+pi/3) R=BD/sin(ω+2/3*pi) L=2*s*ω + 2*r*(pi-θ) + 2*R*β L > opt$par # s と ωの値 [1] 2.8904097003 0.2197361056 > L [1] 7.706524803 共有部分が線分のときの値>862の7.714より小さい。
990:イナ
20/12/11 22:47:58.36 eNot1/W1.net
前>>937
>>786
4πr^2-4r^2θ+2rcosθsinθ=4r^2sin^2θ(2π/3+2θ)/(cosθ√3-sinθ)^2+rsinθ×2rsinθ×cos(2π/3-θ)/(cosθ√3-sinθ)=2
一つ目の二次方程式から、
解の公式よりr=[-cosθsinθ+√｛cos^2θsin^2θ+8(π-θ)｝]/4(π-θ)
二つ目の二次方程式に代入してrを消してθを出すのか？
991:
20/12/12 00:39:03.28 0j501Dv1.net
前>>941
>>786
正弦定理よりrsinθ=Rsin(2π/3-θ)
加法定理よりrsinθ=R(cosθ√3-sinθ)/2
R=2rsinθ/(cosθ√3-sinθ)
緑=πr^2(2π-2θ)/2π+rcosθrsinθ=1
πr^2-r^2θ+r^2cosθsinθ=1
r=1/√(π-θ-cosθsinθ)
辺々2倍すると、
2πr^2-2r^2θ+2rcosθsinθ=2
赤=πR^2(2π/3+2θ)/2π+rsinθRcos(2π/3-θ)=2
Rを代入して消すと、
4r^2sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-
sinθ)^2+rsinθ×2rsinθ×cos(2π/3-θ)/(cosθ√3-sinθ)=2
4r^2sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-
sinθ)^2+2r^2sin^2θ｛(-√3/2)cosθ+(1/2)sinθ｝/(cosθ√3-sinθ)=2
4r^2sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-sinθ)^2-r^2sin^2θ=2
r^2=1/(π-θ-cosθsinθ)を代入すると、
4sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-sinθ)^2(π-θ-cosθsinθ)-sin^2θ/(π-θ-cosθsinθ)=2
4sin^2θ(π/3+θ)/(cosθ√3-sinθ)^2-sin^2θ=2(π-θ-cosθsinθ)
どうすりゃθが決まるかな？
θが決まればrが決まる。
θとrが決まればRが決まる。
境界線の長さは2πr-2rθ+2rsinθ+(2π/3+2θ)R
=2πr-2rθ+2rsinθ+(2π/3+2θ)2rsinθ/(cosθ√3-sinθ)
992:１３２人目の素数さん
20/12/12 04:47:35.92 tBcxLPLm.net
>>801 と >>940 の変数の対応は
α α=π-θ
β β
γ ω
d 2･BD
r_a r
r_b R
R s
L L
かな？
あと少し頑張れば一致しそうだけど…
993:１３２人目の素数さん
20/12/12 07:22:22.55 m4D75whP.net
>>940
ｓとωだけの連立方程式にしたら
s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω)+(s*sin(ω)/sin(ω+pi/3))^2*(pi-ω-pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)*cos(θ)*s*sin(ω)=1
(s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi))^2*(ω+2*pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)*cos(pi-(ω+2*pi/3))*s*sin(ω) - (s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω))=2
になった。
994:１３２人目の素数さん
20/12/12 07:32:36.91 m4D75whP.net
>>944
θが代入消去されていなかったので修正
s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω)+(s*sin(ω)/sin(ω+pi/3))^2*(pi-ω-pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)*cos(ω+pi/3)*s*sin(ω)=1
(s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi))^2*(ω+2*pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)*cos(pi-(ω+2*pi/3))*s*sin(ω) - (s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω))=2
995:１３２人目の素数さん
20/12/12 08:27:20.40 m4D75whP.net
>>940
最小二乗法じゃなくて、二次方程式の解の公式から
s=1/sqrt(ω-cos(ω)*sin(ω)+(sin(ω)/sin(ω+pi/3))^2*(2/3*pi-ω)+sin(ω)/sin(ω+pi/3)*cos(ω+pi/3)*sin(ω))
として
これを赤の面積の計算式に代入
(s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi))^2*(ω+2*pi/3) + s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)*cos(pi-(ω+2*pi/3))*s*sin(ω) - (s^2*ω - s*cos(ω)*s*sin(ω))=2
一変数になったのでNewton-Raphson法で計算すると
> ω
[1] 0.21965843313038105
このとき
> s
[1] 2.8908840553803468
> BD=s*sin(ω)
> r=s*sin(ω)/sin(ω+pi/3)
> R=s*sin(ω)/sin(ω+2/3*pi)
> θ=ω+pi/3
> α=pi-θ
> β=θ+pi/3
> 2*s*ω + 2*r*(pi-θ) + 2*R*β
[1] 7.7048793147709809
やっと>801に辿りつけました。
996:１３２人目の素数さん
20/12/12 13:29:25.25 xixiDIl1.net
関数化できたので、
暇つぶしに、
赤の面積を変化させたときの３円弧の和をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
３円弧の和が10になるのは赤の面積が
> uniroot(function(x) Area2L(x)-10,c(2,10))$root
[1] 4.3944
のとき。
997:１３２人目の素数さん
20/12/12 15:28:41.76 SOV95EJY.net
次のべき級数が表す関数を求めよ。
1. (n=1→∞) nx^n
2. (n=1→∞) x^n/n
998:１３２人目の素数さん
20/12/12 15:41:55.90 i112Cyw5.net
x/(1-x)^2
-log(1-x)
999:１３２人目の素数さん
20/12/12 15:51:44.74 tBcxLPLm.net
>>946
おめでとうございます！
ω= 0.219658433130380823869031210227865511015886011600894
s = 2.890884055380349526169413032955250548001032854116709
L = 7.704879314770980144746397654607571423614259038122890
1000:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:25:32.64 tBcxLPLm.net
>>948 (1)
|x| <1 のとき
(1-x)^2 Σ(n=1→∞) n x^n
= Σ(n=1→∞) n(x^n - 2x^{n+1} + x^{n+2})
= Σ(n=1→∞) n x^n - 2Σ(n=2→∞) (n-1) x^n + Σ(n=3→∞) (n-2) x^n
= (x + 2x^2) - 2(x^2) + Σ(n=3→∞) {n - 2(n-1) + (n-2)} x^n
= x,
|x|≧1 のときは 発散
1001:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:38:46.91 183gCCkw.net
プログラムおじさん＝医者コンプのウリュウの爺さん
ここでもバカ露呈してたか笑
1002:１３２人目の素数さん
20/12/12 16:47:36.08 SOV95EJY.net
>>951
場合分けをした理由を教えて欲しいです。
1003:１３２人目の素数さん
20/12/12 18:43:50.46 SOV95EJY.net
>>951
すみません、当たり前のことでした。2番わかります？？
1004:１３２人目の素数さん
20/12/12 18:50:56.51 SOV95EJY.net
積分して終わりでいいんですかね、、
1005:１３２人目の素数さん
20/12/12 18:56:23.80 z0hGglqF.net
>>954
宿題を出すな
スレチ
1006:１３２人目の素数さん
20/12/12 19:32:31.70 9/7k5fDz.net
100円やるから問いてやれよ
1007:１３２人目の素数さん
20/12/12 19:46:17.44 xixiDIl1.net
>>954
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)テイラー展開
に答が載っているよ
1008:１３２人目の素数さん
20/12/12 20:03:45.42 z0hGglqF.net
アマギフ1000円くれたら解くわ
1009:１３２人目の素数さん
20/12/14 09:52:11.80 JlZQiolB.net
>>952
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板)
本人降臨しましたw
1010:１３２人目の素数さん
20/12/14 10:03:04.71 ggTV7MCT.net
>>960
コレwwww
完全に同一人物wwww
1011:イナ
20/12/15 21:32:54.34 j/4tfn5H.net
前>>942
>>786
コンピューターで答えは出せても意味がない。
数学で解いて途中過程を示さないと。
1012:１３２人目の素数さん
20/12/16 09:25:27.72 9peauMpa.net
>>962
自作パソコンみたいなもんだな。
ここのモジュールの内部動作はよく知らんが組み合わせたらなんとかなる。
電卓の内部計算処理がわかってないと電卓使った計算は意味がない?
1013:１３２人目の素数さん
20/12/16 15:37:45.34 jF7yngMh.net
シャボン玉が無限個(同じ体積を持つシャボン玉で3次元空間を充填したとき、一個あたりのシャボン玉の表面積の最小値)のときは未解決問題なのか...
面白いな
1014:１３２人目の素数さん
20/12/16 15:45:07.58 jF7yngMh.net
>>964
今のところウィア＝フェラン構造なるものが最小らしい
1015:１３２人目の素数さん
20/12/16 17:07:42.66 qVLxQ+sV.net
>>964
平面での解を回転させるだけじゃだめなのかな？
1016:１３２人目の素数さん
20/12/16 17:10:08.77 qVLxQ+sV.net
>>962
>946の連立方程式を解けばいいと途中過程は既出。
それ以上は手計算では数値がだせないんじゃないの？
1017:１３２人目の素数さん
20/12/16 20:29:45.69 AnWwQ3td.net
そもそも空間内になると面の構成要素が球面になるのも難しい気がする
少なくとも平面の場合の証明をそのまま3次元に持っていくのはオレの知ってる証明では無理
平面の場合はいかなる境界条件の元でも構成される曲線は円弧になるが空間だとそれが成立しない
適当に針金曲げてシャボンの膜作ったら必ずしも球面とか定曲率曲名とかになるわけではない
2次元から3次元に上がるだけで手も足も出なくなる
1018:１３２人目の素数さん
20/12/16 21:35:16.76 BK7wD62w.net
同じ切り口で3次元でも
解けるっていったくせに！
ウソつき！！
1019:１３２人目の素数さん
20/12/16 21:45:38.77 AnWwQ3td.net
まぁ三次元になっても問題を>>885のように分解した時メチャクチャ難しくなるのは第二層
第一層と第三層はほとんど変わらない
プカプカ浮かんでるシャボン玉見てると答えは多分球面なんだろうし研究者レベルが読むような文献を当たれば玉2個くっついてるタイプは解けてるらしいね
上の方のレス信じると <
1020:１３２人目の素数さん
20/12/16 22:20:16.07 DDdGRYFi.net
ベクトル空間VからWへの線型写像全体の集合をUとするときVが5次元、Wが3次元のときUの次元を求めよ。
1021:１３２人目の素数さん
20/12/16 23:03:25.56 AnWwQ3td.net
15次元
1022:１３２人目の素数さん
20/12/16 23:30:23.53 BK7wD62w.net
8次元
1023:１３２人目の素数さん
20/12/16 23:50:32.20 AnWwQ3td.net
Hom(1次元,n次元)=n次元
1024:イナ
20/12/17 05:13:17.95 QV4wKvGU.net
前>>962
sとωじゃない。
rとθだ。
境界線を最小にするrとθを求めて最小値を手計算だ。
1025:１３２人目の素数さん
20/12/17 07:48:48.44 69E2ZXH6.net
>>975
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
の図に従って変数を置き換えるだけだろ？
1026:１３２人目の素数さん
20/12/17 10:01:14.93 2MnZZK7i.net
これってエントロピーとかの問題になりそう
1027:１３２人目の素数さん
20/12/17 20:40:00.59 mck/zAkh.net
>>970
> プカプカ浮かんでるシャボン玉見てると答えは多分球面なんだろうし
体積保存平均曲率流方程式の定常解の話のはずだから、針金で境界条件を与えるとかじゃなければ、
曲面は平均曲率一定曲面になる。しかし、それにしても球面以外の曲面が候補に出てくる。
軸対称のものだけ考えるとかなら球面だろうが。
1028:１３２人目の素数さん
20/12/21 01:11:33.64 inkeixQ5.net
あれ。
1029:１３２人目の素数さん
20/12/21 01:11:54.19 inkeixQ5.net
何でも無いッス
しつれい
1030:１３２人目の素数さん
20/12/21 01:42:27.35 inkeixQ5.net
>>971-974
つまり何次元や？
1031:１３２人目の素数さん
20/12/21 02:23:23.86 0ZGHnX7m.net
Hom(U⊕V,W) ≅ Hom(U,W)⊕Hom(V,W)
Hom(U,V⊕W) ≅ Hom(U,V)⊕Hom(U,W)
as vector sp.
∴Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R⊕R⊕R)
≅Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R)⊕Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R)⊕Hom(R⊕R⊕R⊕R⊕R,R)
≅ Hom(R,R)⊕‥(15 times)
≅ R⊕‥(15 times)
1032:イナ
20/12/22 22:53:12.33 skBdmmjJ.net
前>>975
>>786
緑+青=1より、
r=(sinθ-cosθ√3)/√｛(π+cosθsinθ)(sinθ-cosθ√3)^2+3θsin^2θ+2θsinθcosθ√3-3θcos^2θ-2sin^2θ(sinθ-cosθ√3)｝
赤=r^2sin^2θ｛(π/3+θ)/sin^2(θ-π/3)+cos(2π/3-θ)/sin(2π/3-θ)-(θ-π/3)/sin^2(θ-π/3)+cos(θ-π/3)/sin(θ-π/3)｝=2
rを代入すると、
(sinθ-cosθ√3)^2sin^2θ/｛(π+cosθsinθ)(sinθ-cosθ√3)^2+3θsin^2θ+2θsinθcosθ√3-3θcos^2θ-2sin^2θ(sinθ-cosθ√3)｝=2
境界線の和集合L=2(π-θ)r+4(4π-3θ)rsinθ/3(sinθ-cosθ√3)+4(π+3θ)rsinθ/3(sinθ+cosθ√3)
=｛6(π-θ)(sin^2θ-3cos^2θ)+4(4π-3θ)sinθ(sinθ+cosθ√3)+4(π+3θ)sinθ(sinθ-cosθ√3)｝/3(sinθ+cosθ√3)√｛(π+cosθsinθ)(sinθ-cosθ√3)^2+3θsin ^2θ+2θsinθcosθ√3-3θcos^2θ-2sin^2θ(sinθ-cosθ√3)
赤=2の式で変数はθのみ。
Lの式に代入すると、
微分しなくても決まる？
1033:１３２人目の素数さん
20/12/23 07:42:41.42 oXXbLUxQ.net
U,Wを有限次元ベクトル空間とし,TをUからWへの線形写像とする。U,Wのそれぞれの基底をうまく選ぶと、 Tの表現行列Aをa1,1=a2,2=⋯=as,s=1で、それ以外の成分が 0というかたちに出来ることを証明せよ。
1034:１３２人目の素数さん
20/12/23 08:01:20.46 3nVhUn9o.net
>>971 >>982
中学・高校で出てくるような関数はどうなるの？
y = f(x) = x^2-1
この場合、x軸は1次元、y軸も1次元。
よって、 1次元 * 1次元 = 1次元
中学・高校の数学で出てくる関数、
線形写像f 全体の集合は…1次元…
という計算で合ってる？？
1035:１３２人目の素数さん
20/12/23 08:22:02.03 Np4GaYAi.net
>>984
rankT=sとしたとき、Tを左変形と右変形でそのようなAの形に出来る
このとき左変形と右変形に対応する行列でU,Wの基底を変換すれば良い
>>985
1次元(x軸)から1次元(y軸)への線形写像は1次元だね
そのような線形写像は比例y=axの形のみで、この比例定数aがちょうどその1次元に対応している
ところで、y=x^2-1という関数は線形写像ではない
(線形とは限らない)関数全体の空間は無限次元になってしまう
ていうか、ここは宿題をきくスレ
1036:ではないんだがな…
1037:１３２人目の素数さん
20/12/23 08:29:00.11 Np4GaYAi.net
次スレ
面白い問題おしえて～な 34問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1038:１３２人目の素数さん
20/12/23 08:46:38.52 3nVhUn9o.net
>>986
ありがとう。
線形っていうの忘れてた。
俺ちゃんのは宿題じゃ無いっス、
好奇心で聞いただけッス。
1039:１３２人目の素数さん
20/12/23 10:50:25.85 bCC2Jtma.net
nを正の整数とする。
2n個の一変数実関数 f_i, g_i : R→R (i=1,2,…,n) を用いて、全ての実数 x,y について
|x-y| = Σ_(i=1,n) f_i(x)g_i(y)
を成り立たせることは可能か。
1040:１３２人目の素数さん
20/12/23 12:30:30.60 eZbRWE5X.net
>>989
不可能
∵) 可能であるとする
g1≠0としてよいからg1(y1)≠0となるy1がとれる
m=n+1としてy1～ymが相異なるように任意に選ぶ
この時c1～cmをΣ[j] cj gi(yj) =0 (∀i)ととれる
このときΣ[j] |x-yj| cj =0が任意のxについて成立するがコレは不可能である
実際eを十分小さくとりh(x)=x-y1 (if |x-y1|<e), 0(otherwise)で定めるとき
0=∫Σ[j] |x-yj| cj h(x)dx = (2/3)e^3 c1
となるがコレはc1≠0に矛盾
1041:１３２人目の素数さん
20/12/23 15:14:44.03 bCC2Jtma.net
>>990
ん？c1≠0 ってどうやって導かれるの？
c1～cmを決めた段階では、各cjについて非0の制限はかかってないように見えるけど…
もし定数の仮定でちゃんと書いてないのがあれば書いてほしい
1042:１３２人目の素数さん
20/12/23 16:36:08.26 eZbRWE5X.net
>>991
めんどくさいので不正解でいいです
1043:１３２人目の素数さん
20/12/23 20:39:55.39 Np4GaYAi.net
最初のg1(y1)≠0の仮定は必要なくて
n+1個のn次元ベクトルg(yj)=(g1(yj),g2(yj),…,gn(yj))たちは一次従属だから非自明な関係式cjg(yj)=0が取れて
一方で|x-yj|たちは関数として独立だから矛盾
でいいのでは
1044:１３２人目の素数さん
20/12/23 23:37:44.66 Np4GaYAi.net
64個の小立方体からなる4×4×4立方体を平面で切る
(i)
平面2枚では全ての小立方体を切断出来ないことを示せ
(ii)
平面3枚なら全ての小立方体を切断出来ることを示せ
1045:１３２人目の素数さん
20/12/23 23:45:23.97 eZbRWE5X.net
>>994
かするのあり？
1046:１３２人目の素数さん
20/12/23 23:49:55.26 Np4GaYAi.net
かするのはなし
切断とは小立方体が平面によって2つに分割されることとする
1047:１３２人目の素数さん
20/12/24 06:20:20.65 apKxtrOw.net
>>978
よどみに浮ぶうたかたは、かつ消えかつ結びて、久しくとゞまりたるためしなし。
(鴨 長明「方丈記」第一段)
1048:１３２人目の素数さん
20/12/24 14:08:20.34 a9l4wl7r.net
>>993
正解です
一瞬|x-yj|が独立なのは何でだっけって考えたけど
ただひとつの微分不可能点を持つことを考えればまあ明らかでいいのかな
想定解はこんな感じ
もし |x-y| が可能なら |x-y|+x-y も可能。
|x-y|+x-y = Σ_(k=1,…,n) f_k(x)g_k(y) と表せたとする。
(n+1)次正方行列
( |i-j|+i-j )_(i=1,2,…,n+1)_(j=0,1,…,n)
は下三角行列で対角成分が全て1だから可逆。
一方で各kについて ( f_k(i)g_k(j) )_(i=1,…,n+1)_(j=0,…,n) のrankは1だから、
k=1,…,n で足し合わせても rankはn以下で可逆にはならず矛盾。
1049:１３２人目の素数さん
20/12/24 14:31:38.23 a9l4wl7r.net
>>994
(i)
可能であると仮定する。
2x2x2の小立方体の集まりを中立方体と名づけると、
4x4x4の大立方体は2x2x2に並んだ8つの中立方体に分割することができる。
しかし、一つの平面が2x2x2に並んだ8つの小立方体を通過することは不可能だから、
どの中立方体も二つの平面両方が通過しなければならない。
しかし、一つの平面が2x2x2に並んだ8つの中立方体を通過することは不可能だから、矛盾。
(ii)
まず三本の直線で4x4に並んだ16個の正方形を全て通過することは可能。
下の図で一本目が"1"を全て、二本目が"2"を全て、三本目が"3"を全て通過するようにすれば良い。
[3][3][1][1]
[1][1][1][2]
[1][2][2][2]
[2][2][3][3]
4x4x4に並んだ64個の立方体の場合は、上の図をxy平面として
三本の直線をz軸と平行に拡張して平面にすれば良い。
1050:１３２人目の素数さん
20/12/24 15:18:30.43 AIrJ4PNW.net
>>998
独立の証明はまさにそれを考えました
微分可能性の局所性と和に関する性質ですね
>>999
正解です！
用意していた答えも全く同じです
1051:1001
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