20/09/05 00:58:11 r6wBA3+u.net
量子の世界では鳩ノ巣原理は成立しないという。
一つの巣箱に鳩を複数入れるのは動物虐待。
量子の世界は動物愛護の精神が活きているｗ
86:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/05 03:01:42 dUdze4CW.net
前>>82
>>83いい名前ですね。けど妻が潔癖症か否かにかかわらず、妻の名前を出す必要はないと考えます。すなわちあと3組の夫婦が夫婦別姓ではないと読みとれるからです。
87:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:57:04.32 BtVdvkls.net
定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。
定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。
定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。
88:１３２人目の素数さん
20/09/05 22:17:22.70 BtVdvkls.net
Rを木Tの任意のノードとする。
RからRを除くn-1個の各ノードへは一意的な道が存在する。
AをRとは異なる任意のノードとする。
R→…→A''→A'→Aという一意的な道が存在する。Aに辺A'-Aを対応させる写像φ : V(T) - {R} → E(T)を考える。
φは単射である。なぜなら、仮に、φ(A) = φ(B)となるような異なる2点A, Bが存在したとすると、
B = A'でなければならないが、道R→…→A''→A'→AのR→…→A''→A'がRからA' = Bへの一意的な道で
あるからφ(B) = φ(A') = A''-A' ≠ A'-A = φ(B)となって矛盾が発生するからである。
φは全射である。仮に、φ(A) = A'-AとなるようなノードA∈V(T) - {R}が存在しないような辺A'-Aが存在したとする。
RからA'、RからAへの一意的な道がそれぞれ存在する。これらの道には辺A'-Aは含まれていないことは明らかである。
RからA'への道、辺A'-A、AからRへの道を考えれば明らかなように、Tに閉路が存在することになってしまうが、これは
矛盾である。∴φは全射である。以上より、n-1 = #(V(T) - {R}) = #E(T)である。
>>85は多分このようなことを言いたいのだろうと推測しましたが、どなたか>>85の文章を解読できる方いますか？
89:１３２人目の素数さん
20/09/06 17:19:01.13 dWdn/pAd.net
図のように半径2cmの円が6個あります。
となり合う円はすべてぴったりとくっついているとします。
周りにひもをたるまないようにかけました。
このひもの長さを求めなさい。
URLﾘﾝｸ(sansuu.ciao.jp)
90:１３２人目の素数さん
20/09/06 17:49:26.79 isWRzmyD.net
404ertor
91:１３２人目の素数さん
20/09/06 18:25:52.96 4dMTEbEd.net
>>87
円に接触している部分の紐の長さ: 2π r ( r = 2 cm )
(「接触円の中心」から「紐の上の点」に向かうベクトルがどう動くか考えれば分かる)
接触していない部分の紐の長さ: 6 * 2r
(見れば明らか)
以下略
92:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/07 01:32:21 Rhh6ozKP.net
前>>84
>>87
4×6+2π×2=24+4π
=36.5663706144……(?)
93:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/07 01:36:40 Rhh6ozKP.net
前>>90
>>87
円環状に配置したときがもっとも陣地は広くなる。葡萄島のとき、一個一個となりあわせで陣地広げるばかいないだろ。
94:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/07 01:38:22 Rhh6ozKP.net
前>>91
>>87
答え書き忘れた。
∴約36.566cm
95:イナ
20/09/07 01:58:14.82 Rhh6ozKP.net
前>>92
>>87
もし５つの円が円環状に並び、そのうちの１つが外側のもっともほかの円と離れるように外接円を持つならば、
4π+12+4×4sin63°=28.1303967111……
∴約28.13cm
96:イナ
20/09/07 02:01:31.01 Rhh6ozKP.net
前>>93どうせなら4人ぐらいで葡萄島やる場合の面積出す問題のほうが面白そう。
97:１３２人目の素数さん
20/09/07 06:30:58.74 CMvmi5X2.net
これが中学入試の問題なんだよなぁ。
鎖の形よらないのには驚き。
同じ大きさのコインが10枚あり，9枚は鎖状につながって並んでいます。
図のように，コインCを9枚のコインのまわりをすべることなく回転させます。
ただし，その途中で9枚全部に接していきます。
一周してもとの位置にもどるまでに，コインCは何回転するでしょうか。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
98:１３２人目の素数さん
20/09/07 07:16:19.73 5r3avP6+.net
n枚の輪なら(1+n/3)回転か
99:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:09:37.18 fJGlZI/f.net
2+n/3じゃない？
100:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:19:34.65 UDU7Cw0X.net
>>95
>>86 の考え方にちょっと加えると解ける。 >>96 の2倍になる。
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
101:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:23:20.55 UDU7Cw0X.net
間違えた。
2 * ( 1 + (n*π/3) / 2π ) で >>97 が正しい。
102:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:46:55.46 5r3avP6+.net
あーそっか
全体としての1回転もあるから(1+π/3)+1か
103:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:47:53.47 5r3avP6+.net
>>100
ミス
(1+n/3)+1
104:イナ
20/09/07 10:53:37.38 Rhh6ozKP.net
前>>94
>>95
コインCは5回転して戻ってくる。
∴公転周期が2年なら10年かかる。
105:１３２人目の素数さん
20/09/07 13:24:09.45 bE/6WhUJ.net
ま、がんばれ
106:イナ
20/09/07 14:45:37.92 Rhh6ozKP.net
前>>102訂正。
公転→好転
107:１３２人目の素数さん
20/09/07 20:54:03 Lx7mxSXy.net
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
平面上のどの2本も平行でなく、かつどの3本の直線も一点で交わらないようなn本の直線によって決定される領域の個数を求めよ。
普通に解くのではなく、オイラーの公式を利用してください。
108:１３２人目の素数さん
20/09/08 02:30:38 kbnSLIZb.net
k本目の直線は既存の(k-1)本の直線と交わって、k個の区間に分かれる。
頂点が k-1個、面がk個増える。
v = n(n-1)/2, f = n(n+1)/2 +1
各直線は n-1本の直線により n個の区間に分かれる。辺は全部で
e = nn,
∴ v-e+f = 1, (オイラの定理)
109:１３２人目の素数さん
20/09/08 03:18:13.26 973PVe16.net
>>∴ v-e+f = 1, (オイラの定理)
そこの証明を与えてもしょうがない。
それを前提として
領域の数は幾つか、に答えよというのが問題の要求だから。
110:１３２人目の素数さん
20/09/08 05:13:57.52 GG08Xa93.net
>>102
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？
111:１３２人目の素数さん
20/09/08 06:34:41.36 T6m++LHC.net
>>108
いや、∴以降にミスがあるからいつもの芸風
蛇足の故事の好例とも言える
112:１３２人目の素数さん
20/09/08 11:03:27.39 dWTcoXOj.net
>>109
なるほど、自転と公転を入れ替えていたか、やはり、芸人の達人技だわｗ
113:１３２人目の素数さん
20/09/08 12:15:25.95 Notbor5C.net
自分で計算した答えがイナさんと一緒だと不安になるよね
114:１３２人目の素数さん
20/09/08 13:19:21.70 kbnSLIZb.net
云うまでもない
115:１３２人目の素数さん
20/09/08 14:05:16.14 kbnSLIZb.net
>>105
各直線は n-1本の他直線により n個の区間に分割される。
両端の半直線（「毛」と呼ぶ）を省いて n-2個の線分を残せば
閉グラフになり
v = n(n-1)/2,
e ' = n(n-2),
閉領域の個数はオイラーの定理により
f ' = e ' - v + 1 = (n-1)(n-2)/2,
また、半直線(毛)が2n本はえているから開領域の個数も2n。
よって
f = f ' + 2n = n(n+1)/2 + 1,
116:イナ
20/09/08 14:30:02.87 7aFL9ohG.net
前>>104
周期間違えて5年で帰ってきたりせんやろか。
117:イナ
20/09/08 14:33:23.02 7aFL9ohG.net
前>>114てかもう間違えてる余裕ないねん。
118:１３２人目の素数さん
20/09/09 11:45:42.65 g3fkRXpF.net
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
一見簡単そうに見えて、かなりの難問だと思った問題です：
3-正則グラフで1-因子を持たないグラフの例を示せ。
【注釈】
3-正則グラフとは、各点の次数が3であるようなグラフのことです。
1-因子とは各点の次数が1であるような全域部分グラフのことです。（完全マッチングをもつグラフのことです。）
119:１３２人目の素数さん
20/09/09 11:46:55.17 g3fkRXpF.net
訂正：
誤り：（完全マッチングをもつグラフのことです。）
正しい：（完全マッチングのことです。）
120:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:00:46.41 hzeH3t2o.net
k4は？
121:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:08:12 g3fkRXpF.net
>>118
K4は4-正則グラフです。
122:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/09 12:08:52 AqsC+8jW.net
前>>115前でいう婚活サイトってやつ。言葉にするとあまりに陳腐な物語だよね。
123:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:28:40.95 u2gPJGpS.net
なんで？
k4って各点から出てる分岐3でしょ？
124:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:30:23.45 g3fkRXpF.net
>>121
すみません。勘違いしていました。確かにK4は3-正則グラフですね。
でも、1-因子は明らかに持ちます。
125:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:47:45.98 470oWf8o.net
玉
126:3つのサクランボみたいなやつ。
127:１３２人目の素数さん
20/09/09 13:25:04 u2gPJGpS.net
持たない方か
128:１３２人目の素数さん
20/09/09 13:44:25.14 u2gPJGpS.net
┏┳┓
┣┫┣━A
┗┻┛
のコピー３つをAでつなぐ３つのふ房のうち２つはAとペアリングできない
Aとペアリングできない房は5頂点のグラフになるので内部で完全マッチングできない
129:１３２人目の素数さん
20/09/09 14:38:26.84 g3fkRXpF.net
>>125
正解です。
130:１３２人目の素数さん
20/09/11 02:15:15.67 V//8CgLy.net
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
2^n × 2^nのチェス盤から
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は
以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ
□
□□
131:１３２人目の素数さん
20/09/11 07:50:10.26 yotGmVhM.net
>>127
前スレで終わってる
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:964番)
132:１３２人目の素数さん
20/09/11 13:54:49.82 0C63YuRX.net
面白い問題見つけてきました。私も証明してみましたが、エレガントさに関しては模範解答に完敗してしまいました。
1から2nまでの整数のなかから任意にn+1個の数を選び出したとき、その中に一方が他方を割り切るような2整数が必ず存在することを示せ。
133:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:14:47.47 E85RL8Qh.net
1～2n の各数は、奇数または奇数と2の累乗の積として一通りに表わせる。
奇数は 1,3,5,････,2n-1 のn個だから、n組に分類される。
{1,2,4,8,････}
{3,6,12,････}
{5,10,････}
n+1個の数を選ぶと、ディリクレの部屋割り論法により、
2つは同じ組に属する。(終)
なお、n+1,n+2,････,2n のn個はすべて別の組に属する。
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坂井公氏のHP
下の方にある「数理的ヒラメキで解くパズル」
問題１ (b)
URLﾘﾝｸ(www13.plala.or.jp)
問題３ (2)
134:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:28:25.71 E85RL8Qh.net
貼り直し…
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
135:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:42:45.38 E85RL8Qh.net
>>128
追加問題
[前スレ.988] のように
短辺が 1, 2, …, 2^{n-1} であるn個のL形に分解して、
それを更に分解したものに限るか？
[前スレ.994]
136:１３２人目の素数さん
20/09/11 19:11:10.02 xcUymbow.net
難しいと思いますが、一応出題しておきます。
以下の図の5個の単位立方体を横に5個重ね合わせた立体をSとする。Sの5×1のサイズの4側面の各々に、重複することなくすべて異なる色が現れるようにできるか？
できるならばどのように5個の単位立方体を配置すればいいか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
137:イナ
20/09/11 22:03:01.35 AaAozqQu.net
前>>120
>>133
同じ色が並んじゃうよ。
せやて五色しかないんやで？
138:１３２人目の素数さん
20/09/12 02:08:31.43 egxGbF63.net
>>133
bとwは計7つ消えないといけないが1,2,4からは一個ずつしか消せないから3,5から4個消さないといけない
∴ 3:wgry、5:ygrwが残る
124からはw2個、bygrが一個ずつ消えるがygrは1,2,4から1個ずつしか消せない。
1,2,4からygrのいずれが消えるのかで6通りの可能性があるが、それぞれb,wが一個、二個と消えるのは1からywが消える場合のみ
∴1:bbrgが残る
ここで(i)2:bwyg, 4:bwryが残る、(ii)2:bbyr,4:wwgyが残る
のいずれか
(i)のとき
1がbb
139:が繋がっているので2,4で残るbもつながる 2:bwygとしてよく、yが重ならないことから4:ybwrときまる y,rから5:wrgyと決まるが、3の入れようがなく不適 (ii)のとき 4:wwgyとして良い wの位置で場合わけして3:grywか3:rywgのいずれかしかないときまるが前者だと5の入れようがなく不適 ∴3:rywg、5:ygrwときまる この時1:grbb、2:bbyrと1:gbbr、2:brybはいずれも条件を満たす この２つの解にD4(4次二面体群)を作用させた軌道の全体が解である
140:１３２人目の素数さん
20/09/12 10:48:35.31 VwuHp4I5.net
>>135
ちょっとその解答は難しくて読む気がしませんが、ロバースの本にある解答は、グラフを利用して解くというものです。
ただ、グラフを利用するのが本質的なのかどうかが分かりません。単に、立方体を頭の中でイメージして回転したりさせるよりも、
グラフ上で考えたほうがそのような作業が不要になるから楽に解が見つかるというだけのことかもしれません。
あとでロバースらの解答をアップロードします。
141:１３２人目の素数さん
20/09/12 11:55:28.38 VwuHp4I5.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
これが解答です。
コンピュータを利用した機械的で効率的な解法に結びつきますか？
142:イナ
20/09/12 12:23:00.20 x2Xdx0G9.net
前>>134
>>133
ルービックキューブが3個。
消しゴムだな。消しゴム2個だな。
143:１３２人目の素数さん
20/09/12 17:07:58.37 m5tE+1+v.net
>>128
□
□□
2x2の4マスだと欠損がどこにあっても
100%設置可能はすぐわかる
2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと
欠損で35マス、3の倍数にならないから
設置不可能になるのもわかる
同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは
欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能
か否かもわかりません(>_<)
144:１３２人目の素数さん
20/09/12 17:46:19.14 FxdbcPio.net
>>139
10*10は出来るね
□□
□■
■■
□□
□■
■■
□□
□■
□■■□■□□■□□
□□□□■■□■■□
10*10の一部であるこれがこのように敷き詰められるから残りの部分に欠損が来るようにすれば、それは8*8に1つの欠損がある盤ってことになるから敷き詰め可能
145:１３２人目の素数さん
20/09/12 19:58:47.31 VwuHp4I5.net
まだ問題の意味も理解していませんが、解答が4ページにわたっているため難問だと推測します。
ロバースの本にはa_n = ***であることを証明せよとなっていますが、ノーヒントで出題することにします。
n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_nを求めよ。
146:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:05:18.83 VwuHp4I5.net
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
の問題の中で一番難しい、とっておきの問題だと思います。
この問題の後は、簡単な事実の紹介だけでこの本は終わります。
147:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:09:58.27 VwuHp4I5.net
今まで一度も数学書を最後まで読めたことはないのですが、ロバースらの本が最初の本になりそうです。
>>141の解答さえ理解すれば最後まで間違いなく読めるからです。
148:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:16:13.37 VwuHp4I5.net
解答がない場合には、明日、a_n = ***を書き込みします。それ以後はa_n = ***であることを証明せよという問題に変わります。
149:１３２人目の素数さん
20/09/12 21:26:08.46 VwuHp4I5.net
>>142
問題を解くことを完全に放棄して解答を理解するだけでも大変です。
翻訳書ということもあって、何が言いたいのか理解するのに時間がかかります。
150:１３２人目の素数さん
20/09/12 21:35
151::56.27 ID:VwuHp4I5.net
152:１３２人目の素数さん
20/09/12 21:55:27.23 QuubaIz4.net
答えはまぁ2n-4何だろけどな
153:１３２人目の素数さん
20/09/12 22:05:11.02 VwuHp4I5.net
>>147
素晴らしい！よく分かりますね。
ということで予定より早めて問題を変更します：
n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_n = 2*n - 4であることを証明せよ。
154:１３２人目の素数さん
20/09/12 22:30:08.79 VwuHp4I5.net
>>148
今、この問題について調べたところ、1971年に証明されたとのことです。
155:１３２人目の素数さん
20/09/13 06:29:52.99 UZWmVIqP.net
a_(n+1)≦(a_n)+2はすぐ分かるからa_n≦2n-4は示せるけど、それが本当に最小かどうか示すのが難しそう
156:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:10:25.43 9e1zFJC9.net
>>150
ロバースの証明の「第1段」で、まさにその不等式からa_n ≦ 2*n-4を導いています。
a_n ≧ 2*n-4の部分が難しくてまだ理解できません。
157:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:23:50.28 tkLsIYig.net
>>141
各人を頂点とし、時刻tにi-jで通話がある時、i-j間にラベルtをつけた線を引いたグラフを考え、コレをGとする
時刻tの通話が終わった時点でvの獲得した情報をS(v,G,t)とする
nを頂点の数とし、辺の集合が2n-4未満の反例があるとして辺の数が最小となるもの(所謂最小反例)をとる
まず最小反例には二重辺がない事を示す
もしそうでないとしてvw間に二重辺があるとする
n=4なら辺の数が2n-4=4未満なら二重辺があると連結にすらならないのでありえない
そこで新しいグラフHをグラフGから頂点v,wを除き、新しい頂点xを追加し、辺は端点がv,wを含まないときはそのまま、いずれか一方のみがvかwのときはv,wに繋がってる端点をxに取り替え、両方ともv,wのときは完全に取り除く
コレで得られるHは頂点の数がn-1で辺が二個以上取り除かれている反例となり、nの最小性に矛盾
以上で二重辺がない事は示された
v-w1をラベル最小の辺としてv-w1、v-w2、‥v-wiをvに繋がっている辺全体としてラベルをt1<t2<‥<tiとする
この時新しいグラフHを頂点はvを取り除いたものとし、辺はvに繋がっているもの全部を取り除き、新たに辺w(ι-1)-wιを追加し、ラベルtιをのせる
このグラフはやはり反例を与えるのでnの最小性に反する
158:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:26:54.39 9e1zFJC9.net
n=4のときは、
{A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_4 ≦ 4
n=5のときには、n=4のときの前後に{A,E}を加えて、
{A1, A5}, {A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}, {A1, A5}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_6 ≦ 6
以下同様にして、n = k+1のときには、n = kのときの通話列の前後に{A1, A_{k+1}}を加えれば、
すべてのゴシップがすべての人に伝わります。
以上から、a_n ≦ 4+2*(n-4) = 2*n-4
159:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:41:23.53 9e1zFJC9.net
>>152
多分あっているんだろうと思いますが、ジャッジできません。
多分、ロバースらの解答と同じ解答なのだと思いますが、ロバースらの解答も>>152もよく分かりません。
160:イナ
20/09/13 12:00:56.88 iSkccoE8.net
前>>138
>>133
〼〼〼｜１｜２｜３｜４｜５
上の面｜ｂ｜ｙ｜ｗ｜ｇ｜ｒ
手前面｜ｙ｜ｒ｜ｇ｜ｂ｜ｗ
下の面｜ｇ｜ｂ｜ｒ｜ｗ｜ｙ
向こう｜ｗ｜ｂ｜ｙ｜ｒ｜ｇ
あれ?!
161:イナ
20/09/13 12:13:55.48 iSkccoE8.net
前>>155
あってる。
2のｂｂがとなりあうのは構わない。
1×5の面が4つとも五色に並んでる。
162:１３２人目の素数さん
20/09/13 13:08:16.25 9e1zFJC9.net
>>141の解答です：
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
補題6.2.1が分かりません。通話列Tがm-1人のすべての
163:情報をm-1人全員に伝えていることの理由が分かりません。 解説をお願いいたします。
164:１３２人目の素数さん
20/09/13 13:32:09.76 9e1zFJC9.net
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
>>141は1971年にR. Tijdemanにより証明されたそうです。
165:１３２人目の素数さん
20/09/13 14:54:46.96 Hz5TrQ09.net
>>133
プログラムで探索しました。
独立な配置法は下の4通りだと思われます。
[wgyb] [rbby] [yrgw] [bwrg] [gywr]
[wgyb] [bbry] [yrgw] [rwbg] [gywr]
[rgbb] [bbry] [gryw] [ywwg] [wygr]
[rgbb] [bbry] [yrgw] [wwyg] [gywr]
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
166:イナ
20/09/13 18:06:42.24 iSkccoE8.net
前>>156
>>159俺のは2行目のと同じですね。
167:１３２人目の素数さん
20/09/14 07:07:55.71 WYuH7ljf.net
問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
解答
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
168:１３２人目の素数さん
20/09/14 07:10:31.92 WYuH7ljf.net
ツイッターのグラフ界隈すごい
169:イナ
20/09/14 13:22:54.34 CGhI7R45.net
前>>160
>>161
マッチが1本から2本に増えただけやないか。
向き互い違いにして、しかも1本目ちっとも動いてへんし。
問題は1本動かせってなってるやん。
4本じゃないし。1本のマッチ動かして4本の残像を描けってこと？
170:１３２人目の素数さん
20/09/14 15:14:54.18 Q8DBoOQp.net
欠損がセンター4マスに集中している時は
面積四倍サイズのL字に依存しなくても
敷き詰められる
□□□□
□■■□
□■■□
□□□□
171:１３２人目の素数さん
20/09/14 17:06:04.60 9be1kXTR.net
－ y ＋ 1 ⇒ ｜y｜－ 1
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。
－ y ＋ 3/2 ⇒ ｜y｜－ 3/2
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。
ぜんぶで4本動かした。
172:１３２人目の素数さん
20/09/14 20:35:35.60 WYuH7ljf.net
ひらめき問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
173:１３２人目の素数さん
20/09/14 22:31:01.35 QeAeyuui.net
x^2/4+y^2/4+(1/2)xy sin135°
=(1/4)(x^2+y^2+√2)
=(1/4)(x^2+y^2-2xy cos135°)
=100/4
=25
174:イナ
20/09/15 00:46:32.75 6JJ/l/hr.net
前>>163
>>166
AB=x,CD=yとおくと、
x^2+(x+y√2)^2=100
2x^2+2xy√2+2y^2=100
x^2+xy√2+y^2=50――(イ)
△AED∽△BECで2△AED=△BECだから、
AD=5√2
△AED：△ECD=AE：EC=x：y√2
△AED：y^2/2=x：y√2
△AED=xy^2/2÷y√2=xy/2√2
△BEC=xy/√2
∴ABCDE=△ABE+△BEC+△ECD
=x^2/2+xy/√2+y^2/2
(イ)を代入し、
=25
175:１３２人目の素数さん
20/09/15 08:45:08.04 bL5lP9LW.net
>>108
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？
176:１３２人目の素数さん
20/09/15 08:57:15.28 2vjgri5j.net
受験問題で答えだけ出せばいい場合ならとりあえずズルして答え出すけど、
ひらめき問題って書かれてるってことは何か簡単にわかる方法があるってことなんかなあ
177:１３２人目の素数さん
20/09/15 12:26:56.14 1vng8haY.net
自分は△ABEを右上Dまでスライドさせて
その形を4枚合わせて一辺10の正方形を作りました
178:１３２人目の素数さん
20/09/15 12:44:45.17 WFCqKuEo.net
なるほどなあ
それは気づかん
179:イナ
20/09/15 13:23:31.83 6JJ/l/hr.net
前>>168
>>169たまたまだよ。
今回も、チェバとメネラウスで遊びたかったけど答えが出てしもて。
180:１３２人目の素数さん
20/09/15 17:40:51.35 nZqXnV7+.net
BCの中点をMとすると AM=DM=5, ∠AMD=90°
A,M,Dを頂点とする正方形の残りの頂点をFとすると
⊿ABM≡⊿AEF, ⊿CDM≡⊿EDF
それぞれについて, 左辺を切り取って右辺に重ねることにより
(5角形ABCDE)=(正方形AMDF)=5^2=25
これなら割と簡単に思いつくのでは？
181:１３２人目の素数さん
20/09/16 18:27:04.63 s4jUziKT.net
∠CBD = β,
BC = 2R,
とおく。題意より
β + γ = ∠BEC = ε,
⊿ABC = AB･AC/2 = RR sin(2γ),
⊿BCD = BD･CD/2 = RR sin(2β),
ΔABE = AB^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2γ)}/tan(ε),
ΔCDE = CD^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2β)}/tan(ε),
この4つを足して2で割ると
S = RR{cos(ε) - cos(2ε)cos(β-γ)}/sin(ε),
182:１３２人目の素数さん
20/09/16 18:29:38.65 s4jUziKT.net
∠ACB = γ,
∠CBD = β,
BC = 2R,
とおく。題意より
β + γ = ∠DEC = ε,
でした。
183:１３２人目の素数さん
20/09/18 16:18:37.84 /92QSSlA.net
BA,CDを延長して交点をFとし（Eは⊿FBCの垂心）,
線分AF上にAG=ABとなる点G, 線分DF上にDH=DCとなる点Hを取ると
⊿ABE≡⊿AGE
⊿DCE≡⊿DHE
⊿EBC≡⊿GEF≡⊿HFE
(5角形ABCDE) [上の3種のパーツ1つずつ]
=(4角形FBEC)/2 「(上の3種のパーツ2つずつ)/2」
=((EF*BC)/2)/2 [BC⊥EF]
=((10*10)/2)/2=25
184:イナ
20/09/18 20:07:07.19 nQky0mGA.net
前>>173
やっぱり>>168が面白い。まともに三角形の相似で立式したら答えが出てしまってなにも遊ばせてもらえないところが、してやられた感が半端なく、面白い。
185:１３２人目の素数さん
20/09/19 00:42:02.20 FCAmp7bW.net
点AとDの組合せは一意じゃないんだな。
186:１３２人目の素数さん
20/09/19 09:20:36.07 XX0XTsF5.net
司法試験予備試験より
〔第 27 問〕
地球の大きさは，紀元前３世紀頃にエラトステネスによって初めて求められた。次の文章を読み，エ
ラトステネスが求めた地球の大円の円周の長さは，実際の長さの何％に当たるか，最も近いものを，後
記１から５までの中から選びなさい。
当時，エジプトのアレクサンドリアに住んでいたエラトステネスは，夏至の日に太陽が頭の真上から
7.2 度南に傾いて南中することを知った。その南方に位置するシエネ（現在のアスワン）では，夏至の
日に太陽の光が天頂から深い井戸の底を明るく照らすことが知られていた。エラトステネスは，これら
に基づいて，地球が球形であること，地球と太陽の距離は極めて遠いことを仮定し，地球の大円の円周
の長さを求めた。なお，シエネはアレクサンドリアの 925 ㎞真南にあるとする。
１．85％
２．95％
３．105％
４．115％
５．125％
187:１３２人目の素数さん
20/09/19 10:13:48.38 CPYAbOkn.net
925km × 360°/7.2°=46250km=40000km×115.625%
188:１３２人目の素数さん
20/09/19 10:48:00.59 WZ3aCitP.net
>>181
結局、地球の大円周の長さを知っているかを問う問題だよね。
189:１３２人目の素数さん
20/09/19 13:58:22.30 2G9kqk3E
190:.net
191:イナ
20/09/19 15:00:21.95 b/MR+79v.net
前>>178
>>180
地球の半径をrとおくとその外周は2πr=925×(360°/7.2°)
=46250(km)
地球の外周は北極と南極を結ぶ方向だと赤道よりやや短くなる。おそらく地球の自転により遠心力がかかり赤道上ではやや膨らんでるんだ。
それはさておき南北方向だと地球の外周は40009kmとのこと。
46250/40009=1.155……
∴4番 115%
192:１３２人目の素数さん
20/09/19 19:09:28.94 0zHXJRh+.net
URLﾘﾝｸ(benesse.jp)
ベネッセ 教育情報サイト(HP)
> 高校理科
> 地学基礎
> 【地球の概観と構造】エラトステネスの方法について
193:１３２人目の素数さん
20/09/19 19:56:34.24 0zHXJRh+.net
アレキサンドリア 北緯 31.20194ﾟN 東経 29.91611ﾟE
アスワン 北緯 24.08889ﾟN 東経 32.89972ﾟE
差 ⊿θ = 7.11305° ⊿φ = 2.98361°
URLﾘﾝｸ(jpn.timegenie.com)
URLﾘﾝｸ(www.kyorikeisan.com)
最短距離 843 km (大圏コース)
URLﾘﾝｸ(www.ic.daito.ac.jp)
を用いて赤道半径Rを推定せよ。
エラトステネス「俺もそれが欲しかったんだが～～～。ぐやじ～～～」
194:１３２人目の素数さん
20/09/19 20:00:40.70 0zHXJRh+.net
平均緯度 θ = 27.645° として cosθ = 0.88584
2つの都市は
東西方向に 0.052074 R cosθ ≒ 0.04613 R
南北方向に 0.12415 R
離れているので距離は 0.1324 R
赤道半径 R = 843/0.1324 = 6367 (km)
赤道一周 2πR = 40005 (km)
195:１３２人目の素数さん
20/09/19 20:00:40.74 0zHXJRh+.net
平均緯度 θ = 27.645° として cosθ = 0.88584
2つの都市は
東西方向に 0.052074 R cosθ ≒ 0.04613 R
南北方向に 0.12415 R
離れているので距離は 0.1324 R
赤道半径 R = 843/0.1324 = 6367 (km)
赤道一周 2πR = 40005 (km)
196:１３２人目の素数さん
20/09/20 00:06:03.37 UrPOHew+.net
> ai=31.20194
> ak=29.91611
> bi=24.08889
> bk=32.89972
> u=pi/180
> A=c(cos(ai*u)*cos(ak*u),cos(ai*u)*sin(ak*u),sin(ai*u))
> B=c(cos(bi*u)*cos(bk*u),cos(bi*u)*sin(bk*u),sin(bi*u))
> AB=sqrt(sum((A-B)^2))
> d=843
> # asin(AB/2)*2*R=d
> R=d/(asin(AB/2)*2)
> R
[1] 6366.11
> 2*pi*R
[1] 39999.45
>
197:１３２人目の素数さん
20/09/20 01:02:51.95 6H8HV866.net
alexandria = (31.20194, 29.916)
aswan = (24.08889,32.89)
geodesic = 843
toPos (latD,londD) = let
[lat, lond] = map (*(pi/180)) [latD ,londD]
in [(cos lat)*(cos lond), (cos lat)*(sin lond), sin lat]
angle pA pB = let
dist = sqrt $ sum $ map (^2) $ zipWith (-) pA pB
in 2*(asin $ dist / 2)
main = do
print $ (geodesic /) $ angle
(toPos alexandria) (toPos aswan)
----
6368.58913787278
198:１３２人目の素数さん
20/09/20 01:07:30.16 6H8HV866.net
あ、データ入れ損ねた
6366.109509462394
ですな
199:イナ
20/09/20 02:04:35.22 49gX0At+.net
前>>184
>>186
南北方向に一周40009km
赤道上を一周40075km
半径の比は、極：赤道上＝40009：40075
843kmと2地点の緯度、2地点の経度により赤道半径は一意に決まる。
同じ北緯なら半径は同じなんだけど、
極と赤道で40075-40009=66(km)違う。
アレキサンドリアとアスワンでは緯度が違うから半径も違う。
アレキサンドリアの半径は北緯31.20194°だから、
40075-66×31.20194/90
アスワンの半径は北緯24.08889°だから、
40075-66×24.08889/90
おそらく球体上の正弦定理で、正確な値が出て、
40075kmに近い値になる。
200:１３２人目の素数さん
20/09/20 02:04:39.17 3qYR4XFp.net
実数 t の関数 F(t) を広義積分
F(t) := ∫[0,∞] cos(tx)/(1 + x^2) dx
によって定める。
F(t) = (π/2)*e^(-|t|)
となることを示せ。
201:１３２人目の素数さん
20/09/20 03:44:03.08 gg/g0yrZ.net
F(0) = ∫[0,∞] 1/(1+xx) dx = [ arctan(x) ](0,∞) = π/2,
t≠0 のとき
F "(t) - F(t) = 0,
F(t) = c1･e^t + c2･e^{-t},
202:１３２人目の素数さん
20/09/20 04:46:21.72 8kt/miKN.net
nを2以上の自然数とする
棒にランダムにn個の点を付ける(棒上一様分布)
それらの点を折る位置として、棒を折ったときに(n+1)角形を作ることが出来る確率を求めよ.
203:１３２人目の素数さん
20/09/20 06:04:26.39 gg/g0yrZ.net
赤道半径を R
極半径を 0.9966471893 R とする。
(扁平率 1/298.2572221)
緯度 31.20194ﾟN における断面の
半径r = 0.8545742 R,
赤道面からの距離 0.51758809 R,
緯度 24.08889ﾟN における断面の
半径r = 0.9124013 R,
赤道面からの距離 0.40792452 R,
2都市の距離 (大圏)
0.132420 R
R = 844.59 / 0.132420 = 6378.137 (km)
2πR = 40075.0167 (km)
204:１３２人目の素数さん
20/09/20 09:49:56.91 uENzqVui.net
>>195
n個の片方の端点からの距離をy1～ynとする
条件y1<y2<‥<ynを科しても確率は変わらない
n+1角形ができる条件はyn<1/2である
一方でn次元ユークリッド空間の領域xi>0,Σxi<1から一様に(xi)を選びy1～ynをyi=x1+～+xiと定めたとき、コレは測度空間の同型を与えるのでこちらで測ってよい
(xi)の中での全空間の方程式は
xi>0,Σxi<1
でありn+1角形ができない条件は
xi>0,Σxi<1/2
であるからn+1角形ができない確率は(1/2)^n
よって求める確率は1-(1/2)^n
205:１３２人目の素数さん
20/09/20 10:53:53.76 z/7h2q/b.net
>>196
楕円体上の測地線の長さはどうやって出したん？
206:１３２人目の素数さん
20/09/21 07:17:27.54 z8CeEVDW.net
測地線の長さ？
そのまま出したんぢゃ、このスレの趣旨にそぐわねゑ。
そこでまづ
楕円面Eの中心よりも 0.003118744609 R だけ南の点を中心とし、
半径が R' = 1.0007160850259 R である仮想球面Sを考える。
そうすれば、
EとSは、緯度 31.20194ﾟN と緯度 24.08889ﾟN で交わる。
仮想球面S上の測地線はもちろん大円だから、長さは
2R 'arcsin(直線距離/2R ')
アレキサンドリア と アスワン のの直線距離は
√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
= 0.1322268142 R
より測地線の長さ
0.1323231927 R
207:１３２人目の素数さん
20/09/21 07:27:36.29 z8CeEVDW.net
>>196
緯度 31.20194ﾟN における断面の
半径r = 0.854574209125 R,
赤道面からの距離 0.5175880864657 R,
緯度 24.08889ﾟN における断面の
半径r = 0.9124012924417 R,
赤道面からの距離 0.4079245187835 R,
赤道面からの距離の差
0.5175880864657 R - 0.4079245187835 R
= 0.1096635676822 R
赤道面に平行な距離は
0.0738771434106 R
∴ 直線距離は
√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
= 0.1322268142 R
208:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:14:28.96 GoLLVbkI.net
>>199
その仮想球面上の測地線と元の楕円体の測地線はズレない？
209:１３２人目の素数さん
20/09/21 17:57:03.15 9fuAtvOs.net
>>197
素晴らしい
正解です
210:１３２人目の素数さん
20/09/21 19:54:32.81 z8CeEVDW.net
>>201
211: 楕円面からちょとズレてる。そこで別法を････ 楕円面の中心 O(0,0,0) アレキサンドリア A(0.8534158039522 R, 0.0444808325706 R, 0.5175880864657 R) シエネ S (0.9124012924417 R, 0 R, 0.4079245187835 R) とすると、平面OASは z = 0.447088893133175･x + 3.05829092742856･y この平面と楕円面の交線 (大圏コース) に沿って移動すると 0.1323225665 R こっちは楕円面上だけど、測地線からズレてる。
212:１３２人目の素数さん
20/09/21 20:10:37.12 Lnon6Ca0.net
>>197
なるほど
213:１３２人目の素数さん
20/09/21 20:21:23.77 2/p0yy8m.net
まぁ実際回転楕円体上の測地線を明示的に求めるのは無理なんだろな
オイラーラグランジュ方程式立式するのだけでもなんか難しそう
立ててもどうせ解けないんだろうと思うと立式してみるのも億劫になる
いい勉強にはなりそうだけど
まだ計算機で近似解求めるアルゴリズム作る方がやる気出るかな
214:１３２人目の素数さん
20/09/21 21:23:07.96 z8CeEVDW.net
Oの 19.89 km ほど南にSの中心 O ' がある。
O ' から楕円面 (緯度 24.08889° ～ 31.20194° の帯) までの距離は
R ' ～ R ' + 0.00001012393 R
の範囲に収まっている。
仮想球面Sが最も深い所は、緯度27.6657742°で
0.00001012393 R ≒ 64.5 m
一方、直線ASの深さは
R ' - √{(R ')^2 - (直線距離/2)^2} = 0.0021863157 R ≒ 13.94462 km
215:１３２人目の素数さん
20/09/22 01:21:57.97 g+LmSvak.net
>>199 と >>203 の差は
0.1323231927 R - 0.1323225665 R
= 0.0000006262 R
≒ 3.994 (m)
かなり小さい････
216:１３２人目の素数さん
20/09/23 09:30:18.66 63e1O9oo.net
>>203 を改良･･･
0.13232408676 R
0.13232408676 R - 0.1323231927 R
= 0.00000089406 R
≒ 5.702 (m)
217:１３２人目の素数さん
20/09/23 11:06:04.31 nbEKtL7T.net
この作業意味あんの？
ホントに測地線距離求めたかったらまずもって測地線求めないと
楕円体上の2点について、それらを結ぶ測地線は一般に同一平面にのらんのでは？
218:１３２人目の素数さん
20/09/23 12:22:10.81 63e1O9oo.net
仰るとおり。
この場合は変分法で数値的に詰めるのが早いと思う。
219:イナ
20/09/23 16:04:39.24 Z/4t2uW4.net
前>>192
やっぱり現地を歩いて測らないと。
伊能忠敬のように。
220:１３２人目の素数さん
20/09/24 08:17:50.82 d8GDYCSX.net
>>195
>>197
最大の辺は yn の右とは限らず、左端でも途中でもよいので
n+1 通りを全体から引いて
1-(n+1)(1/2)^n
が正解かな
計算で出すなら、yn の座標を棒の中点を原点に置き直して
中点 → 右端：0 → 1/2
左端 → 中点：1/2 → 1
とすると、n個の点がつねに連続となって
全体は xi>0,Σ(i=1～n)xi<1
除く領域は xi>0,Σ(i=2～n)xi<=1/2
と数式を修正でき、等しい値が求まる
221:１３２人目の素数さん
20/09/26 07:14:47.78 s7k88pKY.net
>>211
一定の歩幅で歩き、歩数から距離を測る「歩測」の手法が採られた。
精度は劣るが簡便。
近距離では使えそうだが････
222:１３２人目の素数さん
20/09/26 07:32:59.84 s7k88pKY.net
では遠距離では？
夜は天体観測で その地の緯度と方位を導き出した。
星が空に最も高く上る子午線通過時の高度を観測した。
その星と天の北極のなす角（既知）を差し引いて、
各地の緯度を算出。
深川(江東区) － 青森(上北郡)野辺地
間の距離を 146.6275 里 (= 575.846 km),
両者の緯度の差を 5.2°とし、
緯度１°= 28.1976 里 (= 110.740 km)
とはじき出した。
毎日夕刊 6/18, 8/20
１里 = 3.927272727 km
223:１３２人目の素数さん
20/09/26 10:17:10.86 s7k88pKY.net
江東区 深川 (35.6767°N, 139.7970°E)
青森県 上北郡 野辺地町 (40.8667°N, 141.1333°E)
緯度の差 ⊿θ = 5.1900°,
緯度 35.6767ﾟN における断面の
半径r = 0.81324708609 R,
赤道面からの距離z = 0.57996746854 R,
緯度 40.8667ﾟN における断面の
半径r = 0.75732020773 R,
赤道面からの距離z = 0.65085419012 R,
⊿r = 0.81324708609 R - 0.75732020773 R
= 0.05592687836 R
⊿z = 0.65085419012 R - 0.57996746854 R
= 0.07088672158 R
∴ ⊿θ による直線距離は
L = √{(⊿r)^2 + (⊿z)^2}
= 0.09029254133 R
= 575.8982 km
= 146.641 里
半径 R'= 1.001279775462 R の仮想球面上の
大圏コースの距離
2R'arcsin(L/2R') = 0.09032316316 R
= 576.0935 km
= 146.690 里
これを緯度の差 ⊿θ = 5.1900°で割ると
緯度１°= 111.000 km
224:１３２人目の素数さん
20/09/26 11:11:50.59 s7k88pKY.net
三角測量でも局地的に正確な地図は作れる。
しかし、それらをつなぐ際に歪んでしまう。
大域的に正確な地図を作るには天体観測によって
補正するのが有効と言われていた。
長久保赤水（1717～1801）の地図は天文学を取り入れた
ことで、日本で初めて経線と緯度が書かれたのが特徴。
「改正日本輿地路程 全図」(1779)
は庶民に広く流通した。
しかし、他人のデータの寄せ集めなので、
肝心要の所が抜けたり、つながりが悪かったりで、
精度はあまり良くなかった。
それを見て、どこを直せば良いか考えたのが
御隠居の伊能忠敬（1745～1818）
「大日本沿海輿地全図」(1821)
日経夕刊 5/14
225:１３２人目の素数さん
20/09/27 13:02:08.71 N42SrDUa.net
緯度 1" の距離
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)緯度
1 rad あたりの距離
ds/dθ = R(1-ee) / [1 - ee(sinθ)^2]^{3/2},
楕円面 rr + zz/(1-ee) = RR,
r = R cosθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
z = R(1-ee)sinθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
赤道半径 R = 6378.137 (km)
離心率の2乗 ee = 0.006694380229
226:１３２人目の素数さん
20/09/27 13:33:57.15 N42SrDUa.net
1°の距離 ds/dθ
江東区 深川 110.953 (km/°)
青森県 上北郡 野辺地町 111.051 (km/°)
ds/dθ = 111.000 (km/°) となるのは
θ ≒ 38.186033°N
227:１３２人目の素数さん
20/09/28 18:24:35.10 9EdUIP0C.net
平面上に円のみ描かれている
コンパスによる作図のみでその円の中心を特定するにはどうしたらよいか？？
228:１３２人目の素数さん
20/09/28 19:16:30.40 ERZ/iLJA.net
へー
調べたら定規とコンパスで作図できる点はコンパスのみで作図できるという定理があるのか
229:１３２人目の素数さん
20/09/29 00:29:22.01 Q1LeNDVA.net
>>219
以下“作図可能”は“コンパスのみで作図可能”の意味とする
補題1
与えられた２点PQと自然数nに対し|RS|=n|PQ|となるRSを作図可能
∵) まずPQを一辺とする正三角形を作図し、その新たにできた辺を一辺とする正三角形を作図し‥とすれば良い
補題2
半径rの円と|PQ|=a<rである２点が与えられたとき、|RS|=a^2/rであるR,Sを作図可能である
∵) 円周上に3点R,X,Yを|RX|=|RY|=aであるようにとる
XYの中点をZ,RZを2:1に外
230:分する点をSとする これはX,Y中心の半径aの2円の交点のうちRでない方なので作図可能 容易にRS=a^2/rである事が確かめられる 主張 半径Rの円が与えられたとき|RS|=rであるR,Sをコンパスのみで作図可能である ∵) |PQ|=a<rである２点PQを任意に選ぶ 補題2により|XY|=a^2/rとなるように作図可能 自然数nをna^2/r>aとなるように選べば補題1により|ZW|=na^2/rとなるZ,Wが作戦可能 そこで再び補題2より|UV|=a^2/(na^2/r)=r/nとなるUVが作図可能 そこで再び補題1により|RS|=rとなるRSが作図可能
231:１３２人目の素数さん
20/09/29 03:00:45.10 qaL+uvMf.net
ツイッターで拾った問題です
三辺の長さがsin(π/7),sin(2π/7),sin(3π/7)である三角形の面積は√q(qはある有理数)となります
qを求めてください
232:１３２人目の素数さん
20/09/29 04:12:59.58 w8LGy5mW.net
a,b,cを3辺とする三角形の面積は
(1/4)√(-a^4-b^4-c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
一方でθ=π/7とおく
cosθ,cos2θ,cos3θは方程式
8x^4-8x^2+1=4x^3-3x
のx=1以外の3解だから
8x^3+4x^2-4x-1=0
の3解
sin^2(θ),sin^2(2θ),sin^2(3θ)は
-8(1-2x^2)^3-4(1-2x^2)^2+4(1-2x^2)+1
=64x^6-112x^4+56x^2-7=0
の3解でそれぞれa,b,cとすれば
a^4+b^4+c^4=21/4, a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=7/8
よって面積は
1/4√(-21/16+7/4)=(1/16)√7=√(7/256)
233:１３２人目の素数さん
20/09/29 04:30:42.90 w8LGy5mW.net
θ=π/7としてsinθ、sin2θ、sin3θ=sin4θの対角の大きさはθ、2θ、4θ
特に外接円の半径は1/2
よって面積は2R^2sinθsin2θsin4θ=(1/2)sinθsin2θsin4θ
f(x)=8x^3+4x^2-4x-1とおいて
7=f(1)=8(1-cosθ)(1-cos2θ)(1-cos4θ)
=64(sinθsin2θsin4θ)^2
∴ sinθsin2θsin4θ=(√7)/8
よって面積は(√7)/16=√(7/256)
234:イナ
20/09/29 11:31:08.11 h5tSBHnI.net
前>>211
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
235:１３２人目の素数さん
20/09/29 13:18:26.95 2o3yDcUF.net
正七角形と円周角を考慮すると
その三角形は複素平面で1/2,1/2ζ,1/2ζ^3と表せる
(ここでζ=exp(2πi/7)でありζ^7=1を満たす)
よってその面積Sは
S=1/2|Im(1/2ζ^3-1/2)(1/2ζ-1/2)*)
=1/8|Im(ζ^3-1)(ζ^6-1)|
=1/8|Im(ζ^2-ζ^3-ζ^6+1)
=1/8|(ζ^2-ζ^3-ζ^6-ζ^5+ζ^4+ζ)/(2i)|
ところで
(ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6)^2
=ζ^2+ζ^3-ζ^4+ζ^5-ζ^6-ζ^7
+ζ^3+ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7-ζ^1
-ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1+ζ^2
+ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2-ζ^3
-ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2+ζ^3+ζ^4
-ζ^7-ζ^1+ζ^2-ζ^3+ζ^4+ζ^5
=-6ζ^7+ζ+ζ^2+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^6=-7(ガウス和)
より
ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6は±i√7のいずれか(実際は+i√7)
よって
S=1/8|±√7/2|=√7/16、q=7/256
236:１３２人目の素数さん
20/09/29 15:29:08.58 /PIEwd8l.net
sin(7θ)/sinθ は θ = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7 で 0 だから,
sin(7θ)/sinθ
= -64Π[k=1,3] {sinθ - sin(kπ/7)}{sinθ + sin(kπ/7)}
= -64Π[k=1,3] {(sinθ)^2 - sin(kπ/7)^2}
ここで θ→0 とすれば
7 = {8 sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7)}^2,
∴ sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7) = (√7)/8,
なお、sin(7θ)/sinθ = U_6(cosθ) = -f(cosθ) f(-cosθ),
237:イナ
20/09/29 17:47:50.20 h5tSBHnI.net
前>>225
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
q=7.53654936671
∴√q=2.74527764838
238:イナ
20/09/29 17:50:13.63 h5tSBHnI.net
前>>228訂正。
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
∴q=7.53654936671
239:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:16:55.03 qaL+uvMf.net
ツイッターで拾った難問
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
240:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:20:05.70 qaL+uvMf.net
超難問
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
241:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:33:51.43 7o7qjIed.net
>>230
大先生曰く40°
242:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:41:33.14 8P7aC2kb.net
>>231
大先生曰くx=48°, y=48°
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
243:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:45:06.02 H0XxhsAZ.net
あれ？違った
どっちか0?
244:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:55:40.79 Vgysrc76.net
違った
24°？
245:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:01:15.22 qaL+uvMf.net
>>233
上左側の角度は5度ではなく3度です
246:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:17:57.21 aQanE+vW.net
81°っぽいけど大先生が断言してくれないorz
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
247:１３２人目の素数さん
20/09/29 23:13:34.89 lwPLpyVO.net
確認済み
x=81°
248:イナ
20/09/30 01:56:15.12 djx45CRe.net
前>>229
>>230
10°+30°=40°
∴a=40°
249:１３２人目の素数さん
20/09/30 08:34:49.73 b4OHFvZl.net
>>230
底辺を B(0,0) C(1,0) とする。
∠A = 60°, ∠B = 80°, ∠C = 40°
A (tan(40)/{tan(80)+tan(40)}, tan(80)tan(40)/{tan(80)+tan(40)})
= (0.12888640 , 0.73095110)
∠DBC = 30°, ∠DCB = 10°,
D (tan(10)/{tan(30)+tan(10)}, tan(30)tan(10)/{tan(30)+tan(10)})
= (0.23395556 , 0.13507430)
AC = 1.13715804
AD = 0.60506916
CD = 0.77786191
∠ACD = 30°
正弦定理から α = 40°
う～む
AB ⊥ CD を使うのかな？
250:１３２人目の素数さん
20/09/30 09:16:50.59 b4OHFvZl.net
>>231
底辺を A(0,0) B(1,0) とする。
∠A = 9°, ∠B = 75°, ∠C = 96° (=x+y),
C (tan(75)/{tan(9)+tan(75)}, tan(9)tan(75)/{tan(9)+tan(75)})
= ( 0.95928876 , 0.15193641 )
∠DAB = 3°, ∠DBA = 51°
D (tan(51)/{tan(3)+tan(51)}, tan(3)tan(51)/{tan(3)+tan(51)})
= ( 0.95928876 , 0.050274193 )
CD = 0.10166222
BC = 0.15729615
CD = 0.06469080
正弦定理から
y = ∠BCD = 15°
x = 96° - y = 81°
う～む
AB ⊥ CD を使うのかな？
251:イナ
20/09/30 10:01:48.91 djx45CRe.net
前>>239
>>231
x+y=96
x=72
y=24
252:１３２人目の素数さん
20/09/30 10:15:58.59 dwDIO/NM.net
xを決定する方程式は
sin(96-x)/(sin24 sin3) = sin(x)/(sin6 sin 51)
変形して
sin(96-x) sin6 sin51 = sin(x)sin24 sin3
変形すればtan(x)=...の形になるので(0,π)には唯一の解しかない
x=81のとき
LHS×4=cos198+cos120+cos48+cos30
RHS×4=cos162+cos144+cos30+cos13
∴ LHS×4-RHS×4 = cos48 + cos36 - cos12 - 1/2
cos12 = aとすればこの右辺の2倍は
16a^4+8a^3-16a^2-8a+1
一方でb=cos24+isin24の最小多項式は
(x^15-1)(x-1)/((x^3-1)(x^5-1))
=8(x^8+1)-4(x^7+x)-8(x^6+x^2)+4(x^5+x^3)+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4-8x^3-16x^2+8x+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4+8x^3-16x^2-8x+1
253:１３２人目の素数さん
20/09/30 10:37:06.86 Ddbm6WmX.net
よくよく考えたらx=81よりy=15を求めた方が楽だったのかな？
254:イナ
20/09/30 20:56:51.41 djx45CRe.net
前>>239
CDを延長したらなんでABと直交するんだろ？ 不思議。
AD上に点Eをとり点Eを頂角として△EACを底角６°の二等辺三角形にすることはできる。
∠BCE=90°
BDの延長線�
255:ｪACとの交点をFとして∠BFC=60° ∠ABC=75° だから∠BCE=90° ここまでできたんだけどな。
256:イナ
20/09/30 23:58:34.86 djx45CRe.net
前>>245
y=90-75=15
または75-60=15
こういう図が描けないかな。
257:
20/10/01 00:07:22.72 ELrCrtVw.net
前>>246
>>231初等幾何的に解いたほうが面白いと思う。
258:１３２人目の素数さん
20/10/01 00:24:55.42 y94TMgfI.net
>>243
cos48+cos36-cos12-1/2=0を示せば十分
からは
=-2sin30sin18+cos36-1/2
=-cos72+cos36-1/2‥①
ここで底辺1/2, 底角が72°の二等辺三角形の斜辺はcos36であるが、一方の底角の二等分線と対辺の交点で1/2とcos72に分かれるから
cos36=cos72+1/2‥②
①②より主張を得る
でもできるな
259:１３２人目の素数さん
20/10/01 03:07:07.69 n2o6aWK1.net
辺長が１の正５角形ABCDEを考える。
頂点Aから対辺CDに垂線AHを下すと
CH = DH = 1/2,
B,EからAHまでの距離は
cos(36),
cos(72) + 1/2,
と2通りに表わせるから
cos(36) = cos(72) + 1/2 … ②
でもできるな
260:１３２人目の素数さん
20/10/01 04:51:30.46 8IQBPdv4.net
同じ事やん
261:１３２人目の素数さん
20/10/01 07:16:33.66 n2o6aWK1.net
そりゃ、正5角形では辺・対角線の交角が36°の倍数だから…
θ = 72° とおくと
cos(48) + cos(36) - cos(12) - 1/2
= cos(120-θ) + cos(180-2θ) - cos(θ-60) - 1/2
= - cos(2θ) - cosθ - 1/2
= - {cos(-2θ) + cos(-θ) + cos(0) + cosθ + cos(2θ)}/2
= 0,
でもできるな
* {2(2xx-1) +2x +1}^2
= (4xx +2x -1)^2
= {T_5(x) -1} / (x-1),
x = cos(72) とおくと
(4xx +2x -1)^2 = {T_5(x) -1} / (x-1)
= {cos(360) -1} / {cos(72) -1}
= 0,
262:１３２人目の素数さん
20/10/01 08:54:00.32 n2o6aWK1.net
>>240
AC = sin(B)/sin(A),
CD = sinβ/sin(β+γ),
ここに α = ∠CAD,
β = ∠DBC = 30°, γ = ∠DCB = 10°,
正弦定理
sin(150-α)：sinα = AC：CD,
より
1/tanα = AC/(CD･sin(30)) - 1/tan(30),
α = 40°
>>241
BC = sin(A)/sin(C),
BD = sinα/sin(α+β),
ここに α = ∠DAB = 3°, β = ∠DBA = 51°,
正弦定理
sin(156-y)：sin(y) = BC：BD,
より
1/tan(y) = BC/(BD･sin(156)) + 1/tan(156),
y = 15°
x = 96°- y = 81°
263:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:08:44.59 MUVtJ7n/.net
>>231
暇つぶしにプログラム組んで計算させてみた。
# y=tan(A)(x-a1)+a2 ,y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates -> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(rad=bac,deg=bac*180/pi))
}
c=koten(0,0,9, 1,0,180-75)
d=koten(0,0,3, 1,0,180-51)
B=1+0i
C=c[1]+1i*c[2]
D=d[1]+1i*d[2]
BAC(D,C,B)
実行結果
> BAC(D,C,B)
rad deg
0.2617994 15.0000000
264:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:43:03.29 MUVtJ7n/.net
>230
> a=koten(0,0,80,1,0,180-40)
> d=koten(0,0,30,1,0,180-10)
> A=a[1]+1i*a[2]
> D=d[1]+1i*d[2]
> C=1+0i
> BAC(D,A,C)
rad deg
0.6981317 40.0000000
265:１３２人目の素数さん
20/10/01 13:39:44.47 bOWhBrvT.net
>>231
作図できれば角度は計測できるので
数値を変えても計算できるように関数化してみた。
f <- function(
# URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
DAB=3,
DAC=6,
DBA=51,
DBC=24){
# return the intersection point of two lines
# y=tan(A)(x-a1)+a2 & y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
if(tan(A)==tan(B)) return(NA)
else
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates of B,A,C-> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(degree=bac*180/pi))
}
A=0i
C=koten(0,0,DAB+DAC, 1,0,180-(DBA+DBC))
D=koten(0,0,DAB, 1,0,180-DBA)
B=c(1,0)
c(x=BAC(D,C,B),y=BAC(D,C,A))
}
f()
> f()
x.degree y.degree
15 81
266:イナ
20/10/01 21:28:55.31 TNhXD1Hp.net
前>>247
>>230
50°+30°=80°
10°+30°=40°
頂角=180°-(80°+40°)=60°
各頂点から三又の分岐点までの直線を対辺まで延長し、交点を結ぶと相似な三角形の組が3対でき、
適宜メネラウスの定理を使い、αを頂角とする二等辺三角形が示せれば底角70°,α=40°となるんじゃないかと。
267:１３２人目の素数さん
20/10/02 02:53:12.68 /iB13sh9.net
>>255（補足）
>230の方は数値を変えて
> f(10,30,30,50)
x.degree y.degree
20 40
268:１３２人目の素数さん
20/10/02 09:11:44.19 e7myMRCF.net
てす
やっとソフバンスマホ全規制消えた？
測地線の求め方検索してもうた
1975年ですでにミリ単位まで計算できたのね
269:イナ
20/10/02 16:58:44.93 1rBMW50x.net
前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？
270:イナ
20/10/02 16:58:45.07 1rBMW50x.net
前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？
271:１３２人目の素数さん
20/10/03 00:29:58.61 /MzJzb3g.net
sin(A+Δ)sin(A-B+90)sin(B-Δ)
=sin(Δ-A+B+X)sinΔsin(90-A+B-X)
が成り立つとき
sin(B+Δ)sin(B-A+90)sin(A-Δ)
=sin(Δ-B+A+X)sinΔsin(90-B+A-X)
も成り立つ
(AとBを入れ替えた等式が同値になる)
272:イナ
20/10/04 05:20:09.85 ymdCvHZo.net
前>>259-260
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin75°
BC=sin9°/sin75°
273:イナ
20/10/04 05:32:34.62 lOQ61Aun.net
前>>262訂正。
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin96°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
AC=sin75°/sin 96°=0.97124641577……
274:イナ
20/10/04 18:47:39.29 09dHyTRo.net
前>>263
sin51°sin6°siny=sin3°sin 24°sinx
=sin3°sin 24°sin(96°-y)
=sin3°sin 24°(sin96°cosy-cos96°siny)
275:イナ
20/10/05 00:15:57.70 qBI2thnr.net
sin ^2y=0.2113248654
siny=√0.211324865
y=27.36……
y≒27.37°
276:１３２人目の素数さん
20/10/05 07:43:20.22 DjDaF11t.net
>>264
正弦定理
sin(51)/AD = sin(3)/BD,
sin(6)/CD = sin(x)/AD,
sin(y)/BD = sin(24)/CD,
を辺々掛けたのでござるか。
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
ここで
sin(96) = cos(6), cos(96) = -sin(6),
だから
1/tan(y) = {sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}･tan(6)
= 2 + √3,
tan(y) = 2 - √3 = {1 - cos(30)}/sin(30) = tan(15),
y = 15°
277:１３２人目の素数さん
20/10/05 08:48:38.19 DjDaF11t.net
>>265
{sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)) + cos(96)}sin(y) = sin(96)cos(y),
sin(96) = cos(6), cos(96) = - sin(6) を入れて
{sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}sin(6)sin(y) = cos(6)cos(y),
すなわち
(2+√3) sin(y) = cos(y),
両辺を2乗して
(2+√3) sin(y)^2 = (2-√3) cos(y)^2,
移項して
(√3){sin(y)^2 + cos(y)^2} = 2{cos(y)^2 - sin(y)^2},
√3 = 2cos(2y),
2y = 30°
y = 15°
278:イナ
20/10/05 19:59:33.12 qBI2thnr.net
前>>265なるほど>>266そうするのか。
>>231
AB=1とすると、
△ABCにおいて正弦定理より、
AB/sin96°=BC/sin9°=CA/sin 75°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
CA=sin 75°/sin96°=0.97124641577……
△ABDにおいて正弦定理より、
AB/sin126°=BD/sin3°=AD/sin51°
BD=sin3°/sin126°=0.06469079958……
AD=sin51°/sin 126°=0.9606052368……
△ADCにおいて正弦定理より、
AD/sin(96°-y)=CD/sin6°
CD=ADsin6°/sin(96°-y)
=ADsin6°/(sin96° cosy-cos96° siny)
△BCDにおいて正弦定理より、
BD/siny=CD/sin24°
siny=BDsin24°/CD
=sin3°sin24°sin(96°-y)/sin126°ADsin6°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin126°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin51°sin6°
=sin3°sin24°(cos6°cosy+sin6°siny)/sin51°sin6°
=(sin3°sin24°cos6°/sin51°sin6°)cosy-(sin3°sin24°/sin51°)siny
(sin51°-sin3°sin24°)siny/sin51°=(sin3°sin24°cos6°/sin 51°)cosy
sin^2y=｛(sin3°sin 24°cos6°)^2+sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝/｛sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝
cos^2y=0.00624238744……/0.00669057069
=0.93301270238……
cosy=0.96592582654……
cos15°=0.96592582628……
ちょっと誤差があるけど、
y=15°
279:イナ
20/10/06 10:49:27.00 29WTz0Ux.net
前>>268
>>266-267は誤差がないっぽい。式変形で解いとるんだなぁ。
y=15°でぴったり決まっとんだなぁ。
280:１３２人目の素数さん
20/10/06 11:04:27.17 36hUS0F6.net
まぁホントはほとんどごまかしてるのが多いけどなww
281:１３２人目の素数さん
20/10/07 02:17:14.52 Lszlb2z1.net
一次方程式2+3=x×0を解きなさい。
282:イナ
20/10/08 03:09:25.41 PM1Dx4ug.net
前>>269
cosy=(√6+√2)/4
siny=(√6-√2)/4
とすると、
cos^2y=(8+4√3)/4^2=(2+√3)/4
sin^2y=(8-4√3)/4=(2-√3)/4
cos^2y-sin^2y=√3/2
(cosy+siny)(cosy-siny)=√3/2=cos30°=sin60°
283:イナ
20/10/08 03:16:57.66 PM1Dx4ug.net
前>>272つづき。
cos^2y-sin^2y=cos2yだから、
cos2y=√3/2=cos30°
2y=30°
∴y=15°
違うやん、仮定したで出ただけやん。
284:１３２人目の素数さん
20/10/09 23:06:43.31 V6dLSA61.net
立方体を対角線方向へ射影した図形は正六角形である
では4次元立方体を対角線方向へ射影した図形はどんな形になるか？
(ヒント:これは3次元図形でありwikiに名称のある多面体となる)
また、この多面体の体積は元の4次元立方体の超面(面といってもこれは立方体である！)の体積の何倍になるか？
285:１３２人目の素数さん
20/10/09 23:14:24.93 V6dLSA61.net
>>274
対角線方向へ射影という言い方がマズいですね
(一番長い)対角線に垂直な方向への射影です
286:１３２人目の素数さん
20/10/10 00:24:39.53 ypxIH+PT.net
四次元超立方体の16個の頂点は
(0,0,0,0),(1,0,0,0),‥,(1,1,1,1)
として良い
A=(1,0,0,0),B=(0,1,0,0),C=(0,0,1,0),D=(0,0,0,1)、
N=(1/2,1/2,1/2,1/2)
として超平面N・P=0への射影を考える
A～Dの射影をa～dとして
a=A-1/2N、b=B-1/2N
∴ |a|^2=3/4, a・b=-1/4
∴a,b,c,dは一辺の長さが√2の正四面体の頂点をなす
適当に回転させて
a(-1/2,1/2,1/2), b(1/2,-1/2,1/2), c(1/2,1/2,-1/2),
d(-1/2,-1/2,-1/2)
と座標をとりなおせは
a+b=(0,0,1),a+b+c=(1/2,1/2,1/2)
により求める図形は一辺の長さが1の立方体の各面に高さ1/2の四角錐を張り合わせたもの(名前知らん)
体積は1+1/6×6=2で元の超立方体の面の体積の2倍
287:１３２人目の素数さん
20/10/10 00:31:57.13 5lFT1DXK.net
>>276
はやい！正解です！
名称は菱形12面体と言うそうです
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
288:１３２人目の素数さん
20/10/10 02:50:42.25 68VlLUVE.net
形状はともかく
289:体積だけならすぐ求まるんだな d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい その内積は±1/√d 内積が+の面の影だけ考えればよい その数はdで総面積もd。 射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される ∴影の面積は√d
290:１３２人目の素数さん
20/10/10 18:46:55.57 5jdt9F4W.net
Z(>0)∋m，n m<n m≠1として
f(n，n)=f(n，1)=1
f(n，m)=m*f(n-1，m)+f(n-1，m-1)
で定義される関数fを求めよ。
291:１３２人目の素数さん
20/10/11 13:03:32.22 62L1pm5Q.net
第二種スターリング数
相異なるn個のものをm組に分ける方法の数
f(n,m) = (1/m!)Σ[L=0,m] (-1)^{m-L} C(m,L) L^n,
Σ[0≦m≦n] (m!/n!) f(n,m) x^n y^m = １/{1 - (e^x -1)y},
数セミ増刊：「数学100の問題」日本評論社 (1984)
p.58
292:１３２人目の素数さん
20/10/11 13:16:45.54 62L1pm5Q.net
Σ[0≦m≦n] (1/n!) f(n,m) x^n y^m = e^{(e^x -1)･y},
に修正…
293:１３２人目の素数さん
20/10/11 15:03:19.77 dbtP37+2.net
>>274
これ>>276を元に一般次元で考えると
まず(n+1)次元の単位ベクトルたちの影e0,e1,…,enが
n次元に重心原点で辺長√2の超四面体Δを作る
超立方体の影Sは射影の線形性によりeiたちを使って
S={Σαiei|0≦αi≦1(i=0～n)}
と書け、この影は順序組(eσ(1),eσ(2),…,eσ(n))ごとに
錐(0,eσ(1),eσ(1)+eσ(2),…,Σeσ(i))という(n+1)!個の基本領域に分割できる
この錐の体積は錐(0,eσ(1),eσ(2),…,eσ(i))の体積と同じであり、これは超四面体Δの1/(n+1)
よって影Sの体積はΔの体積のn!倍
一方で一辺が√2の超四面体の体積はCayley-Mengerを使って1/n!√(n+1)と計算出来るから
結局、影Sの体積が√(n+1)と分かる
(これ自体の計算は>>278の方法がはやい)
Δの重心から頂点までの距離は
|ei|=|(0,…,1,…,0)-1/(n+1)(1,…,1)|=√(n/(n+1))
となっているから
逆に重心から頂点までの距離が1の超四面体の体積は
1/n!√((n+1)^(n+1)/n^n)となり
さらにこの頂点ベクトルたちをfi(長さは1)とすると
S={Σαifi|0≦αi≦1(i=0～n)}という領域の体積は
√((n+1)^(n+1)/n^n)となる
とてもキレイな形だけど、これを直接計算する方法あるんだろうか
294:１３２人目の素数さん
20/10/11 20:31:30.89 62L1pm5Q.net
「菱形12面体」
12個の菱形はすべて合同で、鈍角は 109.47°(4面体角)
空間充填多面体である。
ある平面に投影すれば、平面充填多角形。
2種類の菱形になる。
太い方は 108°と 72°
細い方は 144°と 36°
周期性を持たないが、5回対称性があり
「ペンローズ(*)・タイル」と呼ばれる。
ある種の準結晶のモデルと考えられる。
* 今年のノーベル物理学賞（ブラックホールの関係で）
295:１３２人目の素数さん
20/10/11 21:26:31.60 dbtP37+2.net
ペンローズタイルが5次元の格子からの射影で得られる話はなんとなく見た覚えがあったけど菱形12面体タイルからも得られるのか
菱形12面体自体は数字5と無縁に見えるんだが・・・
ところで一般にn次元立方体の対角射影図形は(n-1)次元空間充填図形になる感じなのかな
296:１３２人目の素数さん
20/10/11 23:09:25.28 Yfcjor0U
297:.net
298:１３２人目の素数さん
20/10/11 23:30:46.52 V7pXTyKF.net
あ、間違えた
(p,q,r)と(s,t,u)はそれぞれx+y+z=3/2,x+y+z=a+b+c+3/2上としてよい
を追加
299:１３２人目の素数さん
20/10/12 01:44:46.84 aUylGcxN.net
>>283
それは 菱形12面体 (第2種) の方でござるよ。
投影図に5回軸が現れるなら、
各面 (合同な菱形) の対角線比は黄金比φ のはず。
鈍角は arccos(-1/√5) = 116.57°
次の5種類がある。
・菱形6面体 (尖った方)
・菱形6面体 (平たい方)
・菱形12面体 (第2種)
・菱形20面体
・菱形30面体
これらは空間充填多面体ではあるが、平行移動だけでは不可能で、
非周期的な充填となる。
その二次元投影図は ペンローズ・タイル と呼ばれ、3種類がある。
300:１３２人目の素数さん
20/10/12 12:24:31.68 w9M/ZM8H.net
>>285-286
ウソ書いた
訂正
記号はそのままで
X=∪[a+b+c≧0]Kabc、Y=∪[a+b+c<0]Kabc、F=∂X=∂Y
とおく
光線の方向ベクトルn=(1,1,1)としてX上の点からnの方向に向かった点はまたXの点である
実際(p,q,r)がKabcの点ならa=[p],b=[q],c=[r]であるから容易に示せる
したがってp∈Fの各点についてそれが余次元2以上の単体の点でない所謂一般の点のときp∈Kabc, a+b+cなるa,b,cが一意に決まる
何故ならばp∈Fが一般の点の時pを含む単体は高々２つであるが、pを含む単体がXの中に二つ以上あるとpはXの内点となりp∈∂Yに反する
以上により全ての光線lにおいてF∩Fが一般の点のときp∈KabcでXに含まれるものがただ一つ決まる
よって∪[～]Kabc∩F)の射影像はαを充満する
301:イナ
20/10/12 16:52:26.50 9H+YjmlO.net
前>>273
>>267
なんで{sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1}sin(6°)/cos(6°)=2+√3なの？
なんで？
302:イナ
20/10/12 16:59:06.11 9H+YjmlO.net
前>>289
>>267
(sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°)
=3.73205080757……
=2+√3
たしかに値は合致した。
けど式変形で示さないと、
Google検索でいちばん近い値が15°だと特定した俺のやり方と同じじゃないか。
303:267
20/10/12 19:49:41.47 aUylGcxN.net
もうバレてますが。>>270
304:１３２人目の素数さん
20/10/14 00:27:38.14 SCptDqCJ.net
>>290
2+√3=tan(75°) に注意すると、成立して欲しい式は
sin(51°)/{sin(3°)sin(24°)} = tan(75°)/tan(
305:6°) + 1 この式の 右辺-左辺 を 4 sin(6°)cos(75°)sin(3°)sin(24°) 倍すると 4 sin(3°)sin(24°){sin(75°) cos(6°)+sin(6°)cos(75°)} - 4 sin(51°)sin(6°)cos(75°) =4 sin(3°)sin(24°)sin(81°) - 4 sin(51°)sin(6°)sin(15°) =2sin(3°){cos(57°)-cos(105°)}-2sin(15°){cos(45°)-cos(57°)} =2sin(3°){sin(33°)+sin(15°)}-2sin(15°){sin(45°)-sin(33°)} =2sin(33°){sin(3°)+sin(15°)+2sin(15°){sin(3°)-sin(45°)} =4sin(33°)sin(9°)cos(6°)-4sin(15°)sin(21°)cos(24°) =2{cos(24°)-cos(42°)}cos(6°)-2{cos(6°)-cos(36°)}cos(24°) =-2cos(42°)cos(6°)+2cos(36°)cos(24°) =-cos(48°)-cos(36°)+cos(60°)+cos(12°) ={-cos(48°)+cos(12°)}-cos(36°)+cos(60°) =2sin(30°)sin(18°)-cos(36°)+cos(60°) =2*(1/2)*(√5-1)/4 - (√5+1)/4 + 1/2 =0 となることから、2+√3 が、厳密値であることが確認できます。
306:イナ
20/10/14 06:35:08.21 tOs5BhYQ.net
前>>290
>>292
tan75°=2+√3は、
1:2:√3の直角三角形の上に、
2辺が2で底角15°の二等辺三角形をくっつけて載せ、
確認できた。
51°+24°=75°が胡散臭いと思った。
図を正確に書くことでy=15°がわかりそうな気がした。
わかれば答案はこれでいい。
90°=51°+24°+y
∴y=15°
307:イナ
20/10/15 01:10:21.24 1MmX0f3j.net
前>>293
→ABと→CDが直交することがわかれば、
つまり→AB•→CD=0が示せれば、
y=90°-(51°+24°)=15°
正確な値が示せる。
308:イナ
20/10/15 23:04:12.36 1MmX0f3j.net
前>>294
B(0,0),C(c,0),AB=1とすると正弦定理より、
1/sin96°=AC/sin75°=c/sin9°
sin96°=cos6°だから1/cos6°=ACsin75°
Aから半直線BCに引いた垂線の足をHとすると、
AH=sin75°=(√6+√2)/4
BH=cos75°=(√6-√2)/4
ACsin6°=(√6+√2)/4
c+ACcos6°=(√6-√2)/4
(つづく)
309:イナ
20/10/15 23:24:09.77 1MmX0f3j.net
前>>295
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)
→CD=→CB+→BD=(-c,0)+……考え中。
→BA=((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)
310:１３２人目の素数さん
20/10/16 03:24:47.09 frRZu+3C.net
>>294
tan(3x)=tan(x)tan(60°-x)tan(60°+x)
tan(5y)=tan(y)tan(36°-y)tan(36°+y)tan(72°-y)tan(72°+y)
という公式があります。（wikiの「三角関数の公式の一覧」の最下部を参照して下さい）
x=9 → tan(27°)=tan(9°)tan(51°)tan(69°)
⇔ tan(9°)=tan(21°)tan(27°)tan(39°)
x=27 → tan(81°)=tan(27°)tan(33°)tan(87°)
⇔ tan(3°)=tan(9°)tan(27°)tan(33°)
y=3 → tan(15°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)tan(69°)tan(75°)
⇔ tan^2(15°)tan(21°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)
これらから、tan(15°)=tan(27°)tan(33°)tan(39°) が得らます。
逆数にして、両辺にtan(3°)を掛けると
tan(3°)tan(75°)= tan(3°)tan(63°)tan(57°) tan(51°)
tan(3°)tan(51°+24°)=tan(9°)tan(51°)=tan(3°+6°)tan(51°)
これは、例の図において、AB⊥CDであることを示しています。
311:イナ
20/10/16 16:11:44.31 +tbS89X7.net
前>>296
>>297これはWikipediaに載ってるから公式です、というだけで途中過程が示されないと示されたことにはならない。
図を描くと15°+12°=27°は出る。
BDの延長線がACと60°をなすのもわかる。
その公式が公式か否かじゃない、どう立式してるかちゃんと示しなさい。
このままじゃ認めません。
312:イナ
20/10/16 18:55:47.72 +tbS89X7.net
前>>298
ABとCDのなす角は、
51°+24°+y=75°+y
または180°-(75°+y)=105°-y
これらが等しいならy=15°と特定できる。
tan9°/tan3°=tan75°/tan51°なら、
双方の傾きの割合が等しいから、
底辺ABと支軸となる直線CDの延長線が直交することは、
公式かどうかはともかくとして理解できる。
313:１３２人目の素数さん
20/10/16 19:32:48.48 frRZu+3C.net
>>298
tan(a-x)tan(a+x)
=[sin(a-x)sin(a+x)]/[cos(a-x)cos(a+x)]
=[sin^2(a)cos^2(x)-cos^2(a)sin^2(x)]/[cos^2(a)cos^2(x)-sin^2(a)sin^2(x)]
=[sin^2(a){1-sin^2(x)}-cos^2(a)sin^2(x)]/[cos^2(a)cos^2(x)-sin^2(a){1-cos^2(x)}]
=[sin^2(a)-sin^2(x)]/[cos^2(x)-sin^2(a)] ・・・・ （※）
(※)に、a=π/3を代入し、tan(x)を掛けると、
tan(x)tan(π/3-x)tan(π/3+x)
=tan(x)[3/4-sin^2(x)]/[cos^2(x)-3/4]
=[3sin(x)-4sin^3(x)]/[4cos^3(x)-3cos(x)]
=sin(3x)/cos(3x)
=tan(3x)
(※)に、a=π/5、および、a=2π/5 を代入したもとtan(x)を掛けると
tan(x)tan(π/5-x)tan(π/5+x)tan(2π/5-x)tan(2π/5+x)
=tan(x)[(5-√5)-8sin^2(x)][(5+√5)-8sin^2(x)]/([8cos^2(x)-(5-√5)][8cos^2(x)-(5+√5)])
=tan(x)[64sin^4(x)-80sin^2(x)+20]/[64cos^4(x)-80cos^2(x)+20]
=sin(5x)/cos(5x)=tan(5x)
314:イナ
20/10/16 20:08:01.17 +tbS89X7.net
前>>299
tan75°=2+√3
は、辺の比が1:2:√3の直角三角形の上に、
底角15°の二等辺三角形をぴったりくっつけて載せることで理解できる。
あとはtan3°とtan9°とtan51°が少数じゃなく分数でわかれば、
ABとCDが直交するか否かが厳密にわかる。
315:１３２人目の素数さん
20/10/16 20:18:32.66 frRZu+3C.net
>>299
CからABに下ろした垂線の足をM
DからABに下ろした垂線の足をN
CM=AM*tan(3°+6°)=(BN+MN)*tan(51°+24°)
DN=(AM+MN)*tan(3°)=BN*tan(51°)
これらから、
(BN+MN)*tan(51°+24°)*(AM+MN)*tan(3°) = AM*tan(3°+6°)*BN*tan(51°)
ここで>>297の tan(3°)tan(51°+24°)=tan(3°+6°)tan(51°) を使うと、
(BN+MN)*(AM+MN) = AM*BN → MN = 0 → MとNは一致
>>301
tan(75°)=tan(30°+45°)=[tan(30°)+tan(45°)]/[1-tan(30°)tan(45°)]=(1+1/√3)/(1-1/√3)=2+√3
の方が簡明
tan3°等を、根号と四則演算で表現することは可能だが、複雑。
すでにいくつかの方法で、「厳密」に正しいことは確認されている事
316:１３２人目の素数さん
20/10/16 21:20:36.49 klDyTo/d.net
ここは解と係数やろ
317:イナ
20/10/16 22:57:05.60 +tbS89X7.net
前>>301
>>297そんなだれにも知られずに眠ってる式は、非公式って呼んでやってください。
なんとか式変形でy=15°を導くことがこの問題の答えだよ。
(2+√3)=tan9°/(tan3°)(tan51°)=tan(3×3°)/(tan3°)tan(3×17°)
tan75°/tan51°=tan9°/tan3°
tan3°/tan51°=tan(3°+6°)/tan(51°+24°)
AB⊥CD
51°+24°+y=90°
∴y=15°
318:１３２人目の素数さん
20/10/17 01:00:23.30 KOiY+jpE.net
まぁしかし>>297の公式を例え知らなかったとしても、こんな公式があるけど証明できる？って言われてこんな程度の公式の証明付けられないようじゃ見込みないけどな
319:イナ
20/10/17 16:07:12.60 Ta+1flWz.net
前>>304
BC/BD=AC/AD⇒AB⊥CD⇒y=15°
AB=1,BC=a,CA=b,B(0,0)とおくと、
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4),C((√6-√2)/4-cos6°,0)
AD,BD,CDの延長線とBC,CA,ABの交点をそれぞれE,F,Gとすると、
△ABEにおいて正弦定理よりAB/sin(180°-3°-51°-24°)=BE/sin3°
1/sin102°=BE/sin3°
1/sin78°=BE/sin3°
BE=sin3°/sin78°
△ABFにおいて正弦定理よりAB/sin120°=BC/sin9°=CA/sin75°
2AB/√3=a/sin9°=b/｛(√6+√2)/4｝
b=(√6+√2)2/4√3=(√6+√2)/2√3=(√6+√2)√3/6=(3√2+√6)/6
bsin6°=ABsin75°=(√6+√2)/4
sin6°=(√6+√2)/4b
4b=(6√2+2√6)/3
sin6°=3(√6+√2)/(6√2+2√6)
=3(√6+√2)(6√2-2√6)/(6√2+2√6)(6√2-2√6)
=3(√6+√2)2(3√2-√6)/(72-24)
=(√6+√2)(3√2-√6)/8
=(6√3-2√3)/8
=√3/2
=sin60°
おかしい。
320:イナ
20/10/17 19:50:15.21 Ta+1flWz.net
前>>306
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
tan75°=2+√3
tan3°,tan9°,tan51°が無理数の和の分数のような形で表せさえすれば、
AB⊥CDが示されると思う。
321:１３２人目の素数さん
20/10/17 20:52:50.31 +4r1lPR8.net
筋悪だがこの場合可能
やりたければやればいい
高校数学の範囲内で可能
実行するための公式はもう全部知ってるやろ
できるかできないかは素頭次第
322:イナ
20/10/18 05:34:44.99 WMegbn9I.net
前>>307
tan3°�
323:ｪ残りそう。
324:１３２人目の素数さん
20/10/18 07:28:12.02 Uh5VZ8SJ.net
１°ずつ角度を増やすと作図して計算した方が早いと思う。
当然ながらきりのいい数値にはならない。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> f(4,7,52,25)
x.degree y.degree
17.22932 74.77068
325:１３２人目の素数さん
20/10/18 09:37:35.96 RSixjSsN.net
>>310
作図なんかして近似出しても解いたうちになどはいらん
326:１３２人目の素数さん
20/10/18 11:27:28.83 Uh5VZ8SJ.net
>>311
座標の交点を連立方程式を解いて値をだすのだから、近似値というわけでもないぞ。