20/09/02 21:26:52.03 cs6TOlb7.net
"高校数学の美しい物語" にあるBorwein積分の証明を見てて気づいたこと。
sin(aₖx)/x = ∫[0,aₖ]dξₖ cos(ξₖx)
Π[k=1,n] cos(ξₖx) = 1/2ⁿ Σ[全ての±組み合わせ] e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)}
と
sinc(x)のフーリエ変換
∫[-∞,+∞]dx e^{im} sinc(x) = if(|m|≦1, π, 0) (本来の境界値 π/2 (|m|=1)は計算に寄与しないので無視)
より
∫[-∞,+∞]dx {Π[k=1,n] aₖ*sinc(aₖx)} sinc(x) = ...
= π/2ⁿ * Volume[ [-a₁,+a₁][-a₂,+a₂]...[-aₙ,+aₙ] ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
つまり、2つの超平面で角を削られた n次元直方体の超体積で表せます。
Borwein積分の条件 a₁+a₂+..+aₙ ≦ 1 は「削られない」条件て事ですね。
特に
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)^{n+1} = π/2ⁿ * Volume[ [-1,+1]ⁿ ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
です。
n=1, 2, 3 程度なら図形の切り貼りでも計算できます。
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)² = π/2 * (2 - 0) = π
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)³ = π/2² * (2² - 2*1/2) = 3π/4
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)⁴ = π/2³ * (2³ - 2* (2√2)²(√3 /2)(1/2) * √(3*2²/3²) /3 ) = 2π/3
>>55
Borwein積分みたいな式って結構昔から知られてるんですね。
もっと最近の話かと思ってました。