20/09/02 15:09:24.99 cs6TOlb7.net
>>52 熟読してるとこういうのパッと出て来るんですねえ。
後で気づきましたが、この式は Borwein(ボールウェイン)積分の n=1 ケースそのものです。
検索トップの "高校数学の美しい物語" だと sinc^1 に帰着させて証明してます。
逆に Borwein積分を既知とすると...
0 ≦ a ≦ b , b≠0 の時
∫ [-∞,+∞] sin(at)sin(bt) / t² dt
= b ∫[-∞,+∞] sin((a/b)*bt)sin(bt) / (bt)² d{bt}
= b ∫[-∞,+∞] sin((a/b)t)/t * sin(t)/t dt
= b * (a/b) ∫[-∞,+∞] sin((a/b)t)/((a/b)t) * sin(t)/t dt (a/b ≦ 1)
= a π ∵ Borwein積分(n=1)
一般に
0 ≦ aₖ , { Σ[k=1..n-1] aₖ } ≦ aₙ ≠ 0 の時
∫ [-∞,+∞] sin(a₁t)sin(a₂t)・・・sin(aₙt) / tⁿ dt
= aₙ^{n-1} ∫[-∞,+∞] { Π[k=1..n-1] sin((aₖ/aₙ) t) / t } sin(t)/t dt
= { Π[k=1..n-1] aₖ } π ∵ Borwein積分
が成り立ちます。