20/10/29 23:33:44.00 Isupb/V3.net
前>>452
>>446
最小値=3(1+√2)√7=19.1622260935……
最大値は、
a+√(9+a^2)=√(9-a^2)+√(16-a^2)
a^2=328-√(328^2-65×1600)
=(328-√3584)/65
=(328-16√14)/65
a=√｛(328-16√14)/65｝
一辺=a+√(9+a^2)= √｛(328-16√14)/65｝+√｛9+ (328-16√14)/65｝=5.65390392093……
面積=31.9666295471……
475:１３２人目の素数さん
20/10/30 00:26:38.46 NYoUhiCM.net
>>448
偶然だろうけど、lとmはかなり近い。(～1.5%)
そこで l=m とおいてみると
l = m = √(17+4√14) = 5.653904
lm = 17+4√14 = 31.96663
x = (l-7/l)/2 = 2.2079107
y = (m-9/m)/2 = 2.0310417
476:１３２人目の素数さん
20/10/30 07:27:51.10 8gUrz52z.net
>>454
正方形が最大にはならないのは興味深いな。
PA=3,PB=4,PC=10として>449の式を使って計算させると
> f(3,4,10)
l m Area
1 6.602385 10.38634 68.5746
と出てきた。
ちなみに>449を図示すると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
477:１３２人目の素数さん
20/10/30 08:15:43.78 uKdmyEHD.net
(問題)
全係数が非ゼロの多項式を完全多項式と呼ぶことにする.
たとえば,x^2+x+1は完全多項式だが,x^2+1はそうでない.
次の条件を満たすような自然数nをすべて求めなさい.
[条件]
(x+3)(x-2) のn乗を展開＆整理したものは完全多項式ではない.
478:１３２人目の素数さん
20/10/30 08:46:50.45 8gUrz52z.net
Pを原点、Aを(3,0)とすると
原点を中心とする
半径４の円周上の点B、
半径５の円周上の点C
が∠ABC直角になるように動く時の面積の最大値の2倍を求めればいいことになる
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
479:１３２人目の素数さん
20/10/30 11:10:47.71 R1dQMz0s.net
>>456
コレはムズイ‥‥
480:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:09:58.13 NYoUhiCM.net
例)
n=1 x^2 + x - 6,
n=2 x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36,
n=3 x^6 + 3x^5 - 15x^4 - 35x^3 + 90x^2 + …
n=4 x^8 + 4x^7 - 18x^6 - 68x^5 + 145x^4 + …
n=5 x^10 + 5x^9 - 20x^8 - 110x^7 + 185x^6 + …
n=6 x^12 + 6x^11 - 21x^10 - 160x^9 + 195x^8 + …
n=7 x^14 + 7x^13 - 21x^12 - 217x^11 + 161x^10 + …
n=8 x^16 + 8x^15 - 20x^14 - 280x^13 + 70x^12 + …
n=9 x^18 + 9x^17 - 18x^16 - 348x^15 - 90x^14 + …
n=10 x^20 + 10x^19 - 15x^18 - 420x^17 - 330x^16 + …
n=11 x^22 + 11x^21 - 11x^20 - 495x^19 - 660x^18 + …
n=12 x^24 + 12x^23 - 6x^22 - 572x^21 - 1089x^20 + …
n=13 x^26 + 13x^25 - 650x^23 -1625x^22 + 15015x^21 + …
n=14 x^28 + 14x^27 + 7x^26 - 728x^25 - 2275x^24 + …
n=15 x^30 + 15x^29 + 15x^28 - 805x^27 - 3045x^26 + …
う～む、無いなぁ…
481:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:17:16.31 2ndAoMxV.net
>>459
n=13 で x^24 の項が消えてるじゃん
482:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:46:38.48 yGnWFiRo.net
とりあえずn≦200までで２つしかない
main = do
let x = P [0,1]
--print $ (x+1)^7
--print $ (x-1)^8
let cond (P cs) = (not . all (/=0)) cs
print $ map fst $ filter (cond.snd) $ take 200 $ [ (n,((x+3)*(x-2))^n) | n <-[1..]]
----
[13,38]
483:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:54:02.17 NYoUhiCM.net
(xx+x-6)^n = x^{2n} + n･x^{2n-1} + (n(n-13)/2)･x^{2n-2}
+ (n(n-1)(n-38)/6)･x^{2n-3} + (n(n-1)(nn-77n+582)/24)･x^{2n-4} + …… + (-6)^n
次のnは？
484:１３２人目の素数さん
20/10/30 17:13:59.13 NYoUhiCM.net
>>454
PC = √23 = 4.7958 とすれば
P(x,y)
x = (l-7/l)/2,
y = (m-7/m)/2,
l = m = (3+√23)/√2 = 5.512485 (正方形)
のとき最大
lm = 16 + 3√23 = 30.3875
このとき
x = y = 3/√2 = 2.12132
PD = PB = 4,
485:１３２人目の素数さん
20/10/30 17:16:18.88 yGnWFiRo.net
>>456
は答えあるんかな？
また「作ってみました」ってオチのやつじゃないの？
486:イナ
20/10/31 02:33:54.00 /HtleTZK.net
前>>453
>>446
分岐点と辺の最短距離をaとすると、
長方形の面積f(a)=a√(9-a^2)+√(81-a^4)+a√(16-a^2)+√(144+7a^2-a^4)
f'(a)の分子=(9-3a^2)√(9+a^2)(16-a^2)-2a^3√(16-a^2)+4(8-a^2)√(81-a^4)-a(2a^2-7)√(9-a^2)=0
487:１３２人目の素数さん
20/10/31 09:57:42.03 uynO3nT1.net
>>456 の出題者じゃないけど類題、というか弱い結果を与える問題
多項式 (x+3)(x-2) のn乗が完全多項式になるような n は無限に存在することを示せ
488:１３２人目の素数さん
20/10/31 10:11:18.50 WimbA5rt.net
>>462
おお
最高次数から4つ目以降は、多項式が
因数分解できなくなって
整数解なしになりそうですね
結局13と38だけっぽい
489:１３２人目の素数さん
20/10/31 10:21:53.24 uynO3nT1.net
(x+3)(x-2) のn乗の x^(n-m) の係数を P_m(n) とおけば
0≦k<[m/2] の時 P_m(k)=0 にはなるから、因数分解自体はできるね
それ以外に1次の因子で分解できないことが示せたらOKなんだろうけど、できるんかなあ…
490:１３２人目の素数さん
20/10/31 12:15:49.50 smGTd41z.net
完全多項式は数論の分野で考えることできる？
491:イナ
20/10/31 13:05:09.37 /HtleTZK.net
前>>465
>>448
(m-9/m)/2=6√2/√17はどうやって出したの？
ていうかこれはなに？ �
492:ﾈんで必要な値なの？ ほんの少し横長な長方形が最大になる可能性があるのはわかる気がするけど、 9/mってなに？
493:１３２人目の素数さん
20/10/31 13:25:40.80 uynO3nT1.net
>>468 のヒントになっちゃうけど
有限体上の完全多項式とかならある程度興味の対象にできそうな気はしてるが
数学的に重要な概念というより、これ絡みで難しい問題が作りやすいみたいな感じじゃないかなあ
494:１３２人目の素数さん
20/10/31 14:46:48.28 EXs1ooZE.net
単に思いついたから書いただけでしょ？
495:１３２人目の素数さん
20/10/31 22:50:45.65 Ko+WsKhL.net
>>449
a=3 b=4 c=5
f(x) = (√(a^2-x^2)+√(b^2-x^2))*(x+√(x^2+c^2-b^2))
f'(x)=0 を解いて x = a*b/√(a^2+c^2)
f(a*b/√(a^2+c^2)) = b*√(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
fmax <- function(a,b,c) b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(4,5,6)
[1] 49.98076
> fmax(5,6,7)
[1] 71.98648
496:１３２人目の素数さん
20/10/31 23:01:55.52 Ko+WsKhL.net
>>450
a=3 b=4 c=5
# l
(a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
# m
(c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
# Area
b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
> (a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.612792
> # m
> (c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.696017
> # Area
> b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c # Area
[1] 31.97056
>448の値と一致
497:１３２人目の素数さん
20/10/31 23:45:29.71 Ko+WsKhL.net
>>453
最小となるときの図を描くと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
で味気ない結果。
498:１３２人目の素数さん
20/11/01 01:16:41.87 vPayCbtl.net
>>470
P(x,y) とおく。
7 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - x^2,
∴ x = (l-7/l)/2,
9 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - y^2,
∴ y = (m-9/m)/2,
lとmを関係づける、もう１つの条件がいる。 例えば
PA = 3, PB = 4, PC = 5,
PD = √(9+25-16) = 3√2,
など。
PA=3 の場合は
(l-7/l)^2 + (m-9/m)^2 = (2PA)^2 = 6^2, …… (1)
2(l-7/l)(1+7/l^2)dl + 2(m-9/m)(1+9/m^2)dm = d(PA^2) = 0,
これと面積最大条件
m･dl + l･dm = d(l･m) = 0,
(1/l)dl + (1/m)dm,
から
(l-7/l)(l+7/l) = (m-9/m)(m+9/m),
l^2 - (7/l)^2= m^2 - (9/m)^2, …… (2)
(1)(2)から l,m がきまる。
499:イナ
20/11/01 06:06:09.85 fkZrg8Hr.net
前>>470
>>476
7=PB^2-PA^2の7ってなに？
ピタゴラスの定理で(√7)^2ってこと？
500:１３２人目の素数さん
20/11/01 18:33:31.99 QDSLSe3f.net
正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=a,PB=b,PC=cのとき正方形の面積を求めよ。
答 (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 ))
501:１３２人目の素数さん
20/11/01 20:00:06.78 QDSLSe3f.net
>>478
検算
> ll <- function(a,b,c) (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 ))
> ll(3,4,5)
[1] 31.96663
>454のｌｍの値と一致しているので一般解でよさそう。
502:１３２人目の素数さん
20/11/01 20:41:48.37 vPayCbtl.net
b√2 = b' とおいて
lm = (1/2){aa + cc + √((a+b'+c)(a+b'-c)(a-b'+c)(-a+b'+c))}
= (1/2){aa + cc + 4S(a, b', c)}
でもいいかな?
S(a,b',c) は辺長が a, b', c である三角形の面積。
503:１３２人目の素数さん
20/11/01 21:26:23.58 X5qYnZ39.net
>>480
きれいな式になるんですね。
検算
> lm = function(a,b,c) {
+ b1=sqrt(2)*b
+ (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
+ }
> lm(3,4,5)
[1] 31.96663
504:１３２人目の素数さん
20/11/02 01:33:51.52 nV+GRV6y.net
〔問題〕
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))} = 2.9806212 のとき
∠PBA を求めよ。
505:イナ
20/11/02 02:42:12.88 n7YZSZPT.net
前>>477
長方形の面積が31.97を超えるとは思えない。
506:１３２人目の素数さん
20/11/02 06:54:48.73 NpzmGMHy.net
>>482
√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))}= 2.770217になるので
507:すが。
508:１３２人目の素数さん
20/11/02 07:00:37.04 NpzmGMHy.net
>>482
PC=sqrt(3 + 2*sqrt(3) + sqrt(2*(sqrt(3)-1)))だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.8490976 48.6497102
正方形の面積
> lm(a,b,c)
[1] 7.086687
PC=2.9806212だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.7992808 45.7954192
> lm(a,b,c)
[1] 7.769885
作図してベクトルの内積にacosつかって角度を出した。
509:１３２人目の素数さん
20/11/02 10:06:29.68 9YQXYJyn.net
>>466 答え
(x+3)(x-2) を有限体F_5の多項式と見なせば、展開して x^2+x-1 となる。
これを二乗したら x^4+2x^3+4x^2+3x+1 となり、更にフロベニウス準同型を考えれば
(x^2+x-1)^(2*5^m) = x^(4*5^m) + 2x^(3*5^m) + 4x^(2*5^m) + 3x^(5^m) + 1
となることがわかる。
これより、(x^2+x-1) を 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗して得られる F_5 上の多項式は
定数から最高次までの係数が全て非0になることが導かれる。
これは有理数係数多項式 (x+3)(x-2) の 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗の、定数から最高次までの
各係数が5で割りきれないことを意味し、従ってこれは完全多項式となる。
510:１３２人目の素数さん
20/11/02 12:08:08.69 nV+GRV6y.net
>>484
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた…orz
511:１３２人目の素数さん
20/11/02 12:46:43.77 nV+GRV6y.net
>>485
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた...orz
下の方の面積は正解です。
l = m = (1+√3)/(√2) + √(√3 -1) = 2.78745133
さすが公式の威力…
※ 元の問題では PC=3 で (高校数学質問スレPart408．270)、その場合は
l-x = (4+√2)/l, y = (√2)/l, l = √(5+2√2) = 2.79793265
tan(∠PBA) = y/(l-x) = 1/(1+2√2),
∠PBA = 14.6388°
これと大差ないと思ったんだが…
512:１３２人目の素数さん
20/11/02 13:10:12.02 MUSdHq7X.net
>478の複雑な式からどうしたら>480のようなきれいな式を思いつくのかが不思議。
俺は>478を導出するだけでも一苦労したんだけど。
513:イナ
20/11/02 13:45:22.19 n7YZSZPT.net
前>>483
>>455
最大になるときＰはACよりD側にあるの？
B側にあるほうが大きくなりそうな気がしてPとABの距離をaとおいたところを、
D側にあるほうが大きくなると見てＰとADの距離をaとおきなおした。
ABCD=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=a√(9-a^2)+√(7+a^2)(9-a^2)+a√(18-a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)
ABCD'の分子=0よりa=3のときABCDは最小。
最大になるとき0＜a＜3√2/2
a^2=bとおいて(b^2-2b+63)(b-18)(b^2-11b+126)=0
0＜b＜9/2だからb^2-2b+63=(b-1)^2+62＞0
(b-18)(b^2-11b+126)=0
ここまでできた。
514:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:00:59.94 nV+GRV6y.net
>>476
PA=a, PB=b, PC=c のとき
PD = √(aa-bb+cc) = d,
{l - (bb-aa)/l}^2 + {m - (cc-bb)/m}^2 = (2a)^2, …… (1)
l^2 - ((bb-aa)/l)^2= m^2 - ((cc-bb)/m)^2, ……Max条件 (2)
(1) (2)から l,m を求めると
l = (ad+bc)/√(aa+cc),
m = (ab+cd)/√(aa+cc),
点Pの座標 (x,y) は
x = {l - (bb-aa)/l}/2 = ad/√(aa+cc),
y = {m - (cc-bb)/m}/2 = ab/√(aa+cc).
515:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:32:49.15 nV+GRV6y.net
>>490
ABCDの面積の最大値を求めるためにbで微分すると、
b(7+b) = (9-b)(18-b),
17b = 81,
b = 81/17,
a = 9/√17 = 2.1828206 ････ 点Pと辺ADの距離(x)
l = a + √(7+aa) = (9+10√2)/√17 = 5.6127923 … AB = CD
m = √(9-aa) + √(18-aa) = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174 … BC = DA
516:１３２人目の素数さん
20/11/02 18:39:47.18 nV+GRV6y.net
>>492
l(x) = x + √(7+xx),
m(x) = √(9-xx) + √(18-xx),
これより
l' /l = 1/√(7+xx)
m' /m = - x/√((9-xx)(18-xx))
Max.条件より
0 = S'(x)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m{1/√(7+xx) - x/√((9-xx)(18-xx))},
∴ xx (7+xx) = (9-xx) (18-xx),
∴ xx = 81/17,
�
517:� x = 9/√17 = 2.1828206
518:１３２人目の素数さん
20/11/02 19:12:19.62 nV+GRV6y.net
>>488
点P の座標は
x = √(√3 -1) = 0.855599677
y = (√3 -1)/(√2) = 0.517638090
519:１３２人目の素数さん
20/11/03 00:49:55.64 XCxGvOul.net
>>491
面積の最大値は
lm = (ad+bc)(ab+cd)/(aa+cc),
d = √(aa-bb+cc),
・l=m で最大となるのは
(a-c)(b-d) = 0,
(a-c)(aa-2bb+cc) = 0,
の場合。
520:１３２人目の素数さん
20/11/03 00:51:51.47 wXfSpeYU.net
自然数列は有限個の「公差が1より大きく、かつそれぞれの公差が異なる等差数列たち」で分解することは出来ないことを証明せよ
521:イナ
20/11/03 02:07:24.52 NMjSfbZM.net
前>>490
>>492
間違いなくこれが正解の正攻法だから、
もうちょい詳しく飛ばさずに書いて。
bで微分する前の式はどれ？
b(7+b)も(9-b)(18-b)も、
元は√b+√(7+b)と√(9-b)+√(18-b)のはず。
根号の和のかたちから、根号を外した積のかたちにするのは、
微分の一言だけではわかりかねます。飛躍してます。
説明不足で不正解とも言われかねません。
522:１３２人目の素数さん
20/11/03 03:20:06.65 MZbun6hF.net
恥ずかしながらググってしまった
ちょっと感心した
523:１３２人目の素数さん
20/11/03 09:19:33.13 XCxGvOul.net
>>497
l(b) = √b + √(7+b),
m(b) = √(9-b) + √(18-b),
S(b) = l(b)･m(b),
とおく。
l' /l = 1/{2√b･√(7+b)}
m' /m = - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}
ここで ' はbで微分することを示す。
面積最大条件：
0 = S'(b)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m･(1/{2√b･√(7+b) - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}),
∴ b(7+b) = (9-b)(18-b),
∴ b = 81/17,
∴ a = 9/√17 = 2.1828206
524:１３２人目の素数さん
20/11/03 09:41:39.03 XCxGvOul.net
>>480
PD = √(aa-bb+cc) = d,
を使えば
lm = (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 + (2ac)^2 - (aa+cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 - (aa-cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2ac)^2 - (bb-dd)^2]},
525:イナ
20/11/03 15:20:02.35 NMjSfbZM.net
前>>497
長方形ABCDの面積S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+√a(18-a^2)
a ^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(1/2)(1/√b)√(9-b)+√b(1/2)｛-1/√(9-b)｝+(1/2)｛-1/√(9-b)｝√(7+b)+√(9-b)(1/2)｛1/√(7+b)｝+(1/2)｛1/√(7+b)｝√(18-b)+√(7+b)(1/2)｛-1/√(18-b)｝+(1/2)(1/√b)√(18-b)+√b(1/2)｛-1/√(18-b)｝=0
√(9-b)/2√b-√b/2√(9-b)-√(7+b)/2√(9-b)+√(9-b)/2√(7+b)+√(18-b)/2√(7+b)-√(7+b)/2√(18-b)+√(18-b)/2√b-√b/2√(18-b)
(9-b-b)/2√b(9-b)-(7+b-9+b)/2√(9-b)(7+b)+(18-b-7-b)/2√(7+b)(18-b)+(18-b-b)/2√b(18-b)=0
通分して(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
ここまでできた。
526:イナ
20/11/03 18:02:59.86 zQLoxy/h.net
前>>501
>>499
とりあえずlとmは使わずに解いて。
答えは9/√17で納得のいく値だから、
途中を書いて。いじわるせんでさぁ。
527:１３２人目の素数さん
20/11/03 18:23:53.09 XCxGvOul.net
そう言われても…
l' = l/{2√b･√(7+b)}
m' = - m/{2√(9-b)･√(18-b)}
が出ればあとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ
528:イナ
20/11/03 19:13:36.22 zQLoxy/h.net
前>>501計算間違いか。微分のことは微分でする。lとmは使わずに。
S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
S'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√b(9-b)(7+b)+(11b+63)/2√(7+b)(18+b)+(-2b+18)/2√b(18-b)
529:イナ
20/11/03 19:47:55.09 zQLoxy/h.net
前>>504訂正。
(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
(9-2b)(7+b)√(9-b)(18-b)+(13-4b)(9-b)√b(7+b)+(18-2b)(9-b)(7+b)=0
まだ遠い。
b(7+b) = (9-b)(18-b)
530:１３２人目の素数さん
20/11/03 21:03:03.32 XCxGvOul.net
>>503
l' = {√b + √(7+b)} '
= 1/(2√b) + 1/(2√(7+b))
= {√(7+b) + √b} / {2√b･√(7+b)}
= l(b) / {2√b･√(7+b)},
m' = {√(9-b) + √(18-b)} '
= - 1/(2√(9-b)) - 1/(2√(18-b))
= - {√(18-b) + √(9-b)} / {2√(9-b)･√(18-b)}
= - m(b) / {2√(9-b)･√(18-b)}
あとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ
531:イナ
20/11/03 21:22:08.22 zQLoxy/h.net
前>>505
>>499
bで微分すると言った以上はbで微分して。
lとmは使わずに。
532:１３２人目の素数さん
20/11/04 00:26:51.82 aU0ymthI.net
S(b) のまま微分するのはお奨めしないが、やるとすれば
2S '(b) = (-2b+9)/√(b(9-b)) + (-2b+2)/√((7+b)(9-b)) + (-2b+11)/√((7+b)(
533:18-b)) + (-2b+18)/√(b(18-b)), ここで (-2b+9)/√(b(9-b)) = {(9-b) - b}/√(b(9-b)) = √(9-b)/√b - (√b)/√(9-b), (-2b+2)/√((7+b)(9-b)) = {(9-b) - (7+b)}/√((7+b)(9-b)) = √(9-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(9-b), (-2b+11)/√((7+b)(18-b)) = {(18-b) - (7+b)}/√((7+b)(18-b)) = √(18-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(18-b), (-2b+18)/√(b(18-b)) = {(18-b) - b}/√(b(18-b)) = √(18-b)/√b - (√b)/√(18-b), だから 2S '(b) = {1/√b + 1/√(7+b)}{√(9-b) + √(18-b)} - {√b + √(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)} = {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√((9-b)(18-b)) - {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√(b(7+b)) = {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}{√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b))}, √((9-b)(18-b)) - √(b(7+b)) = 0, 移項して2乗する。
534:イナ
20/11/05 11:27:18.53 GSpbgzRF.net
前>>507
>>508
b=81/17になった。
S(b=81/17)=(54√2+120+50√10+45√5)/17=26.7708514332……
最大じゃない。
535:１３２人目の素数さん
20/11/05 17:39:16.63 oCSwH2P1.net
b = 81/17 のとき
l = √b + √(7+b) = (9+10√2)/(√17),
m = √(9-b) + √(18-b) = 3(2√2 + 5)/(√17) ≠ (6√2 + 5√5)/(√17),
S = l･m = 3(5+4√2) = 31.97056275
どこから √5 が出てきたかな？？
536:イナ
20/11/05 23:26:02.04 GSpbgzRF.net
前>>509できたわ。計算が難しい。符号がとくに間違いがち。
lとmは使わずに微分のことは微分で解くべきだと思う。
>>446
長方形ABCD=S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+a√(18-a^2)
a^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√(9-b)(7+b)+(-2b+11)/2√(7+b)(18-b)+(-2b+18)/2√b(18-b)=0
2S'(b)=√(9-b)/√b-√b/√(9-b)-√(7+b)/√(9-b)+√(9-b)/√(7+b)
+√(18-b)/√(7+b)-√(7+b)/√(18-b)+√(18-b)/√b-√b/√(18-b)
=｛1/√b+1/√(7+b)｝｛√(9-b)+√(18-b)｝-｛1/√(9-b)+1/√(18-b)｝｛√b+√(7+b)｝=0
1/√b(7+b)=1/√(9-b)(18-b)
b(7+b)=(9-b)(18-b)
7b=-27b+162
34b=162
17b=81
b=81/17
S(b=81/17)=√81(153-81)/17+√(153-81)(119+81)/17+√(119+81)(306-81)/17+√81(306-81)/17
17S=54√2+120+150√2+135
=255+204√2
S=15+12√2
=31.9705627485……
最大値31.97超えた。
537:１３２人目の素数さん
20/11/09 02:33:19.39 R32B64bf.net
2つ以上の開円盤の直和の閉包は閉円盤になりえるか？
538:１３２人目の素数さん
20/11/09 10:23:51.04 9qqabWlE.net
開円盤を可算無限個使っていいなら可能
539:イナ
20/11/09 10:55:50.14 uFJa4wsX.net
前>>511
>>512
葡萄島を円でやると考えると可能だと思う。
ある程度ジャンケンに勝つことが必要。
540:１３２人目の素数さん
20/11/09 11:52:04.13 fXWJE+oy.net
互いにdisjointな開円盤の集合全体は包含関係で帰納的順序集合
極大元取れば‥
ホントは選択公理いらんけど
541:１３２人目の素数さん
20/11/09 17:05:37.20 R32B64bf.net
>>515
正解です
正確には背理法で、Bを与えられた開球として、Dをその閉包とする。D内の開円盤直和の極大元の閉包MがもしDでないとすると、
B\Mが空でない開集合になって、開球を中に入れることが出来るので極大性に矛盾です。
ちなみにこの主張はルベーグ測度の回転不変性の別証明とかにも役立ちます
542:１３２人目の素数さん
20/11/09 17:31:58.41 9jQyXKTk.net
某パズル本より
3次元ユークリッド空間は互いにdisjointな円周の和で表される事を示せ
543:１３２人目の素数さん
20/11/10 22:24:01.47 Rbias3xO.net
六角形ABCDEFの辺の長さが全て1とする。
∠A=∠C=∠E=90度のとき、この六角形の面積を求めなさい。
544:１３２人目の素数さん
20/11/10 22:59:26.33 TGDxz2PN.net
1/2×3+1/2×√2^2×√3/2
=3/2+√3/2
545:イナ
20/11/11 01:01:25.07 +Tz1CUay.net
前>>514
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)√2
=3/2+√6/4
546:イナ
20/11/11 01:05:31.65 +Tz1CUay.net
前>>520訂正。
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)(√2)^2
=3/2+√3/2
547:１３２人目の素数さん
20/11/11 05:47:06.97 8K5dFo08.net
>>512
これってZornとか使わずに具体的な構成って出来るの？
548:１３２人目の素数さん
20/11/11 05:47:52.89 zit2pxrS.net
>>521
正解です
549:１３２人目の素数さん
20/11/11 09:43:40.39 8Lfl0aYp.net
>>522
例えば閉円盤Dの内点の点のうちx座標もy座標系も有理数である点の全体を並べたものp1,p2,‥を“具体的に”与えておく(それが可能なのはゲーデルの定理)
ただしp1は中心でないとする
piの部分列qiと開円盤の列U1,U2,‥を帰納的に以下のように定める
まずq1=p1とし、U1は中心がq1で半径がdist(q1, ∂D)の開円盤とする
Unまで定まった時q(n+1)はp(n+1)移行の点で∪[i≦n]Uiの閉法Fに属さない一番最初の点piをq(n+1)とし中心がq(n+1),半径がdist(q(n+1),F)の開円盤をU(n+1)とする
コレで完成
この作業を“具体的に”行うプログラムなども作ろうと思えば作れる(ゲーデルの定理)
550:１３２人目の素数さん
20/11/11 16:28:29.41 8K5dFo08.net
>>524
おーありがとうございます！
なるほど有理点に端から円を乗せていって隙間に埋めていく感じでいいのか
551:１３２人目の素数さん
20/11/12 16:21:18.59 cvoD8SLE.net
>>481
b√2 = b' とおいて
辺長が a,b',c である三角形の頂角をα, β', γ とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+45°の三角形の対辺は l.
二辺が c,a で挟角が β'+90°の三角形の対辺は l√2,
二辺が a,b で挟角がγ+45°の三角形の対辺は l.
ここに l = √{(aa+cc+4S)/2}, S = S(a,b',c)
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
辺長 l,l,ｌ√2 の直角二等辺三角形を作れる。
552:１３２人目の素数さん
20/11/12 17:56:49.81 cvoD8SLE.net
>>481
つまり
∠APB = γ + 45°
∠BPC = α + 45°
∠CPA = β' + 90°
553:１３２人目の素数さん
20/11/13 04:18:56.34 M5JR9HFw.net
>>478
チョト一般化してみた。
〔類題〕
⊿ABC (∠A, ∠B, ∠C は所与) の内部の点をPとして
PA=a, PB=b, PC=c のとき、
⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。
554:１３２人目の素数さん
20/11/13 04:48:33.06 M5JR9HFw.net
辺長が a ' = a･sin(A), b ' = b･sin(B), c ' = c･sin(C) である三角形の
頂角を α, β, γ 面積を S ' = S(a ', b ', c ') とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は 2R sin(A)
二辺が c,a で挟角が β+B の三角形の対辺は 2R sin(B),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は 2R sin(C),
ここに
(2R)^2 = {sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc + 4S’}/{sin(A)sin(B)sin(C)},
S ' = S(a', b', c')
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
題意の条件をみたす⊿ABCを作れる。
A=45°, B=90°, C=45° の場合が >>478
555:１３２人目の素数さん
20/11/13 05:12:43.77 M5JR9HFw.net
(補足)
(対辺)^2 = aa + cc - 2ac cos(β+B)
= aa + cc - 2ac cosβ cos(B) + 2ac sinβ sin(B),
の計算はチョト面倒だが
第二余弦定理から
2ac cosβ = {(a')^2 + (c')^2 - (b')^2}/{sin(A)sin(C)}
= {sin(A)/sin(C)}aa + {sin(C)/sin(A)}cc - {sin(B)^2/sin(A)sin(C)}bb,
正弦定理・第一余弦定理から
1 - cos(B)sin(A) /sin(C) = sin(B)cos(A) /sin(C),
1 - cos(B)sin(C) /sin(A) = sin(B)cos(C) /sin(A),
また
2ac sinβ = 4S '/{sin(A)sin(C)}
これらより
(対辺) = ････ = 2R sin(B),
556:１３２人目の素数さん
20/11/13 21:10:19.16 NrPxV/d3.net
Xを証明が既に得られている数学の問題文の集合とする。
f:X→Rを
f(問題)=その問題の証明にかかった時間
g:X→Rを
g(問題)=日本語にした際の問題文の長さ
とする
inf{ g(問題)/f(問題) |
557: 問題∈X } を求めよ.
558:１３２人目の素数さん
20/11/13 21:58:42.32 llLnhFxV.net
長さ÷時間だから速度ということは分かった
559:１３２人目の素数さん
20/11/14 02:23:37.86 MWjdA7m9.net
>>528-529
A = B = C = 60° (正三角形) の場合が
[エレ解スレ３．807-812]
URLﾘﾝｸ(www.web-nippyo.jp) 出題1
560:１３２人目の素数さん
20/11/14 05:29:26.73 ypdHm6Ty.net
>>531
円積問題(解決まで約2000年)が有力候補だな
561:１３２人目の素数さん
20/11/14 06:10:08.48 MWjdA7m9.net
やっと解決したらしい…
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:41番)-42
562:１３２人目の素数さん
20/11/14 07:12:35.53 edma1lsq.net
>>528
問題が三角形の面積や辺の長さでなく外接円の半径にしているのは
何か意味があるんでしょうか？
563:１３２人目の素数さん
20/11/14 19:35:27.73 MWjdA7m9.net
なるほど。面積の方がシンプルですね。
s = (1/2)(2R)^2 sin(A)sin(B)sin(C)
= (1/2){sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc} + 2S',
S' = S(a' ,b', c')
564:１３２人目の素数さん
20/11/15 01:28:39.98 bIiJMX9f.net
>>528
具体的な数値にしてPを探索させて面積を出すプログラム作ってみた。
⊿ABC (∠A＝50°, ∠B＝70°) の内部の点をPとしてPA=2 PB=3, PC=4 のとき、⊿ABCの面積を求めよ。
プログラム解（適当に選んだ数字なので厳密解はきれいな値にならないと思う）
> DV2A(50,70,2,3,4)
[1] 10.129
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
A=45, B=90°で a=3 ,b=4, c=5のとき長方形の面積は三角形の2倍なので
> DV2A(45,90,3,4,5)*2
[1] 31.966
これは>481と一致。
565:１３２人目の素数さん
20/11/15 05:36:18.89 WOfFn0Se.net
Excel解
s(50,70; 2,3,4) = 10.1292395794765
S' = S(2sin(50), 3sin(70), 2√3) = 2.1170290447659
s(45,90; 3,4,5) * 2 = 31.966629547096
S' = S(3/√2, 4, 5/√2) = 3.74165738677394
566:１３２人目の素数さん
20/11/15 10:25:17.29 bIiJMX9f.net
>>539
厳密解での検算ありがとうございます。
プログラムはバグなく動作している模様でほ
567:っとしました。
568:１３２人目の素数さん
20/11/15 12:24:36.12 bIiJMX9f.net
>>518
図示できないと気持ちが悪いので作図してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
作図できたら計測できるので面積を計算。
> with(vtx,ABC2S(A,F,B)+ABC2S(C,D,B)+ABC2S(E,F,D)+ABC2S(B,D,F))
[1] 2.366025
>521を少数表示すると、
> 3/2+sqrt(3)/2
[1] 2.366025
御明算！
569:１３２人目の素数さん
20/11/15 14:56:02.68 bIiJMX9f.net
>>541
少し一般化しても、たいして面白くないな。
六角形AB,CD,EFの辺の長さをn,BC,DE,FAの長さをm、
∠A=degA° ∠C=degC° ∠E=degE°、とする。
m=1,n=2, degA=60,degC=90,degE=120のとき
この六角形の面積を求めなさい。
作図するプログラムを書くのが面白かっただけ。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> Hexagon(1,2,60,90,120)
[1] 4.652337
570:１３２人目の素数さん
20/11/15 21:47:54.81 WOfFn0Se.net
s(m,n; A,C,E) = ⊿FAB + ⊿BCD + ⊿DEF + ⊿BDF
= (1/2)mn{sin(A)+sin(C)+sin(E)} + ⊿BDF
第二余弦定理より
BD^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(C),
DF^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(E),
FB^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(A),
⊿BDF = S(BD,DF,FB)
= (1/4)√{4(mm+nn
571:)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)] - (mm+nn + 2mn[cos(A)+cos(C)+cos(E)])^2} cos(A)+cos(C)+cos(E)=0 のときは ⊿BDF = (1/4)√{3(mm+nn)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)]} 例) mm+nn = 5, 2mn = 4, cos(A) + cos(C) + cos(E) = 0, FB = √3, BD = √5, DF = √7, ⊿FAB = ⊿DEF = (1/2)√3, ⊿BCD = 1, ⊿BDF = (1/4)√59, s(1,2; 60,90,120) = 1 ⊹ √3 + (1/4)√59 = 4.652337244536
572:１３２人目の素数さん
20/11/16 02:40:50.30 oxgHln+T.net
ふふっ
573:１３２人目の素数さん
20/11/16 13:50:44.64 GXTWSjGe.net
>>543
厳密解の計算ありがとうございました。
プログラムでの数値解と合致して安心できます。
574:１３２人目の素数さん
20/11/17 07:44:51.47 aIh1q7HC.net
むこうのスレで盛り上がってますね。（イナさん他）
ヘロンの公式までは高校数学ですかね
575:１３２人目の素数さん
20/11/17 11:11:36.61 UJMPy762.net
>>546
投稿した図は、数値計算に基づいて作図したと記載したら
イナ大先生から、
即、
> 図よりc=4.9
> θ=11°
というレスが返ってきて笑ってしまった。
道楽が楽しめるイナ大先生のユーモアに脱帽。
576:１３２人目の素数さん
20/11/17 12:47:17.66 9jF91gIY.net
おんなじレベルですがな
577:１３２人目の素数さん
20/11/17 16:56:36.98 qf0NSDpi.net
>>548
大先生の足もとにも及びませんが。
578:１３２人目の素数さん
20/11/18 03:16:06.92 cUg20R0f.net
>>517
某パズル本の解答によるヒントです
・まず任意の球面Sから任意の２点p,qを選ぶときS＼{p,q}は円周で分割できる事を示す
・よってr>0に対して原点中心、半径rの球面Srから２点pr,qrを選ぶとき、R^3＼∪{pr,qr}は円周で分割できる
・そこで∪{pr,qr}∪{0}がうまく円周で分割できるように{pr,qr}を選べないか？
著者によるとこれ以外にも方法はいくつか見つかっているそうな
579:１３２人目の素数さん
20/11/18 06:43:48.98 l55DpzKJ.net
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
の季節だな
580:１３２人目の素数さん
20/11/18 07:27:19.43 l55DpzKJ.net
>>538-539 (上)
ついでながら、AB^2 = x とおくと
正弦定理より
BC^2 = pp x,
CA^2 = qq x,
ここに
p = sin(50)/sin(60) = sin(50)･2/√3,
q = sin(70)/sin(60) = sin(70)･2/√3,
x を求める式は (イナ氏)
sqrt((49-p*p*x)*(p*p*x-1)) + sqrt((36-q*q*x)*(q*q*x-4)) + sqrt((25-x)*(x-1)) - sqrt(3)*p*q*x = 0, where p= 0.884551930891917861607228426181188396289151, q=1.085063575132498257126257622997857631052135
計算結果
x = 24.372365795851178986638086448179657137312
AB = √x = 4.9368376311006197590325370488442433561053
[高校数学の質問スレ４０８．487,527,533,554]
581:１３２人目の素数さん
20/11/18 13:36:59.97 pyiUjxd3.net
正方形の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、切り口の長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？
582:１３２人目の素数さん
20/11/18 15:06:04.41 cUg20R0f.net
とりあえず最小かどうか知らんけど
θ=1.32664437942827
のとき
一辺のcot(θ)倍したとこから半径1/sin(θ)の円で分割したら長さが1.367191623529913700になった
583:１３２人目の素数さん
20/11/18 20:56:48.96 l55DpzKJ.net
とりあえず最小かどうか知らんけど、
正方形を2つ並べて長方形にする。〔シュタイナーの対称化〕
A(-1,0) B(1,0) C(1,1) D(-1,1)
2点 A, B を通り、x軸との間の面積が１となる、最短の閉曲線を求めよう。
x軸の下に∇形を追加しても同じであろう。
たとえば、半径 1/(sinα), 中心角 2α の円弧としてみよう。
面積条件から
α = 1.206005571956762671263241
弧の長さ(の半分)は
α/(sinα) = 1.290952256413885894632407
584:１３２人目の素数さん
20/11/18 21:23:56.06 OG1a85++.net
あれ？
同じ事やってんのに答え違う？
計算間違えたかな？
585:１３２人目の素数さん
20/11/18 21:26:21.04 OG1a85++.net
しまった
x(sin(x))^2-1/tan(x) = 1
解いてもらってた
x(1/sin(x))^2-1/tan(x) = 1
だorz
586:１３２人目の素数さん
20/11/18 22:41:18.73 UMtJV7+X.net
拘束条件付きの変分として解いてみたら円弧が必要条件として出るからそれで良さそう
587:１３２人目の素数さん
20/11/19 00:12:30.28 oEgPdY6X.net
そうそう
で境界とは直交するも出るしね
588:１３２人目の素数さん
20/11/19 02:13:19.72 Y/3QL/xP.net
自由端における横断性条件というやつか
ところで正方形の頂点から隣の頂点へのパスで面積を半分にする場合はどうだろう？
この場合、途中が円弧で最初と最後は辺上2線分ということになりそうだけど円の直径が決定できない
線分と円弧が接する場合つまり直径1の円弧で渡るときが最小になりそうな感じはあるが…
589:１３２人目の素数さん
20/11/19 02:17:11.84 Y/3QL/xP.net
>>560
あ、これは終点も決めた別問題としての疑問です
590:１３２人目の素数さん
20/11/19 08:31:01.68 Clp5hM1J.net
>>529
計算しない方法
辺長が B'C'=a･sin(A), C'A'=b･sin(B), A'B'=c･sin(C) である三角形の
頂角を ∠A'=α, ∠B'=β, ∠C'=γ とする。
辺C'A'に
辺長が b･sin(A), b･sin(B), b･sin(C) である三角形を貼り付け、
⊿C'A'D'とすれば
A'D' = b･sin(C), B'A' = c･sin(C), ∠B'A'D' = α+A,
B'C' = a･sin(A), C'D' = b･sin(A), ∠B'C'D' = γ+C,
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は x = B'D'/sin(C),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は z = B'D'/sin(A),
よって
x/sin(A) = z/sin(C) (= 2R)
他も同様。
591:１３２人目の素数さん
20/11/19 11:04:26.49 oEgPdY6X.net
>>560
固定端の方での条件が変わるだけで端じゃないとこの極小条件変わんないんだからやはり円弧やね
592:１３２人目の素数さん
20/11/19 15:08:18.05 mNTWgEkR.net
>>555
円弧であることを前提にして
作図して
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
θをOPの偏角として円弧OQの長さをプログラムで数値積分でグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
円弧の最小値を与える偏角(radian)
$minimum
[1] -0.3647908
円弧の最小値
$objective
[1] 1.290952
>555の値とほぼ一致した。
593:１３２人目の素数さん
20/11/19 15:19:21.52 mNTWgEkR.net
>>564
尚、最短の円弧をあたえる円の半径は
[1] 1.070436
594:１３２人目の素数さん
20/11/19 20:44:16.39 Ixq1hZFp.net
>>565
円の中心Pの座標（rcosθ,rsinθ)を計算すると
c(r0*cos(opt$minimum),r0*sin(opt$minimum))
[1] 1.0000000 -0.3818823
Pは辺CAの延長上にある。
595:１３２人目の素数さん
20/11/20 18:55:31.74 cSiT/Vzf.net
この問題、両側 or 片側固定の境界条件なら解分かるけど
例えば正方形の頂点からスタートして正方形の中心を通る曲線で分割とかの「途中の点を通る」拘束条件にするとどうなるんだろ
直感的には中心まで真っ直ぐで後は円弧っぽけど
596:１３２人目の素数さん
20/11/20 19:12:03.37 jclUA5Gk.net
>>567
中心まで直線で行ったらその後も直線になりそうに思う
597:んだが それと両側固定もそんなに明らかなのか 隣り合う頂点を始点終点にした場合は結局どうするのが正解？
598:１３２人目の素数さん
20/11/20 19:53:36.12 i1M1sn8i.net
まぁ当たり前なわけはないがオイラーラグランジュ方程式はそこまで難しいわけではない
最小値が存在すれば円弧はまぁ素人でもできる
最小値が存在するのはかなりムズイ
昔類題やった時勉強したけどソボレフ空間とか使わないと難しい
同じ人の出題じゃないのかな
599:１３２人目の素数さん
20/11/20 20:08:10.47 i1M1sn8i.net
>>568
勘で1/2辺に沿って進んで真横に切ってまた辺に沿って1/2降りる2とかかな？
600:１３２人目の素数さん
20/11/20 20:18:32.13 jclUA5Gk.net
>>570
それよりは円弧で橋架ける方が短いよ
少し計算してみたけど水平に架ける場合やはり円弧は直径1のときが最短っぽい
斜めに架けるとかもありえるからまだ正解が分からん
601:１３２人目の素数さん
20/11/20 21:42:15.33 i1M1sn8i.net
>>570
どんな円弧？
602:１３２人目の素数さん
20/11/20 22:05:02.68 jclUA5Gk.net
直径1の半円で2頂点をつなぐと面積が不足するから、その分を長方形で補う
つまりその分の高さ(1/2-π/8)だけ橋ゲタを履かす
全長は2×(1/2-π/8)+π/2=1+π/4となって2より少し短い
603:１３２人目の素数さん
20/11/20 22:20:41.97 i1M1sn8i.net
>>573
おお、なるほど、
というか覚え間違えてた
何個か前の面白い問題スレだったと思うんだけど周を動くのも可だけどその場合は内点部分の長さをL1,周の部分の長さをL2とした時のL1+cL2の最小値を求める問題としたときの解は入射角θを”法線から測る時”sinθ=cになるんだった
今回の場合c=1だからθ=π/2、すなわち辺に接するように入射させるんだった
604:１３２人目の素数さん
20/11/21 07:27:30.46 H/DINlZq.net
〔553 の類題〕
長方形（横1/2, 縦１) の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、
切る長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？
605:１３２人目の素数さん
20/11/21 09:34:46.03 un9wjhiW.net
それは正方形と同じ方法になるだけでしょ
606:１３２人目の素数さん
20/11/21 11:00:46.80 jgHJD2sZ.net
長辺に着地するのか
短辺に着地するのか
どちらでもいいのか
それを問題にしてるんじゃないか
607:１３２人目の素数さん
20/11/21 11:04:14.52 49X12uFs.net
まぁ結局
・辺との入射角は法線から測って0°、すなわち垂直にぶつかる
・途中は円弧
を満たす事が必要なのは変わらんからなぁ
608:
20/11/22 00:04:26.84 LY03uZ2u.net
前>>521
できるだけ早く対角線に折り目をつけ、
まっすぐに切ることだ。
∴示された。
609:１３２人目の素数さん
20/11/22 11:37:57.15 psTx8iPs.net
すごく細長い長方形の場合、短編に着地するよりも長辺に着地した方が短くなるのは明らかだと思うけど、その場合、最小値無しにならないかな？
頂点から長辺のどこかを結ぶ線で最小となるのは長辺に沿って進んで途中から円弧を描いて反対側の頂点へ着地する場合だと思うけど、それは頂点から切り始めるという題意に合わない
頂点から長辺のすぐ近くに沿って切り進んで途中から円弧ということにすると、長辺に近ければ近いほど線長は短くなると思うけど最小値は無しとなる
長辺が短辺のπ/2倍より長くなるとこの状況になるのかな？
なので>>575は解無し？
610:１３２人目の素数さん
20/11/22 13:38:11.53 dR0FbWeM.net
>>580
確かに紙を切るという設定だとそういう可能性は出てくる
>>573で考えてたときはその設定はなしで考えてたからなぁ
紙を切る設定なら573も解なしか
611:１３２人目の素数さん
20/11/22 13:53:40.09 dR0FbWeM.net
動ける範囲が定められてるときの変分問題の一般論って�
612:るんかな 常に境界線上の線分と自由な場合の変分解を区分的につなげた形になるとも思えないし
613:１３２人目の素数さん
20/11/22 14:19:26.55 UEZXcvK/.net
多分最小値はある
でもそれはソボレフ空間の理論とか使わないと難しい
汎関数の凸性とか使う方法とかもあった
614:１３２人目の素数さん
20/11/23 09:50:48.23 KVxJxW/3.net
>>575
長方形 (横a, 縦1) の紙の場合
・0<a≦2/π のとき
長さ (1/2 - πa/4) の線分と 半径a の(1/4)円
・2/π≦a≦1 のとき
半径 a/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = 1/a,
・1≦a≦π/2 のとき
半径 1/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = a,
・π/2≦a のとき
長さ (1/2a - π/4) の線分と 半径1の(1/4)円
615:イナ
20/11/25 04:58:07.33 0hT/Zr9q.net
前>>579
放物線で斜向かいの辺に、
零戦が空母の甲板の手前から3/4の位置に垂直にぶつかるように、
突っこめば真っ二つじゃないのか。
それか対数曲線とかか？
616:イナ
20/11/25 05:18:08.14 0hT/Zr9q.net
前>>585
零戦の軌道を放物線として真横から見たとき、
正方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこんだ場合、
放物線の内側の面積は正方形の領空のうち2/3だから、
(3/4)(2/3)=1/2
∴あってる。
奥行きが高さの2倍ある領空を零戦が飛んで空母の甲板に垂直に突っこむ場合も同じく、
長方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこめば、
領空の面積は、軌道の上と下の面積がちょうど同じになる。
617:イナ
20/11/25 05:57:07.41 0hT/Zr9q.net
前>>586
y=1-ax^2
0=1-a(3/4)^2
9a/16=1
a=16/9
y=1-16x^2/9
618:イナ
20/11/25 06:29:38.59 0hT/Zr9q.net
前>>587
放物線じゃないのかな？
最短軌道だよね。
√2=1.41421356……
1.39ぐらいだろうか。
619:イナ
20/11/25 06:50:29.00 0hT/Zr9q.net
前>>588
y'=-32x/9
長さL=∫[t=0→3/4]√(1+1024t^2/81)dt
こうか？
620:１３２人目の素数さん
20/11/25 15:10:12.13 7bKycbl4.net
>>589
それだと長さが1.308…で
変分解である>>555の円弧1.29…より少し長くなってしまう
621:１３２人目の素数さん
20/11/25 15:15:29.60 7bKycbl4.net
平面上にN個の点がある
ちょうど2個の点を通る直線は3本だけ引けた
Nの値は3以外にもありえるだろうか？
622:１３２人目の素数さん
20/11/25 15:21:44.73 7bKycbl4.net
>>591
訂正
なるべくNで大きいものを求めてください
623:１３２人目の素数さん
20/11/25 15:27:29.84 uNm3BuF0.net
0<a≦1 とする。
放物線を
y = (3/4aa)(a^2 - x^2),
とすれば
y ' = - (3/2aa)x,
L(a) = ∫[0,a] √{1 + (y ')^2} dx
= (3/4)√{1+(2a/3)^2} + (aa/3)arcsinh(3/2a)
= (3/4)√{1+(2a/3)^2} + (aa/3)log((3/2a) + √{1+(3/2a)^2})
=================================
a 放物線 円弧(+線分)
--------------------------------------------------------
0.0 0.75 0.50 + 50.0%
0.1 0.76301 0.57854 + 31.9%
0.2 0.79280 0.65708 + 20.7%
0.3 0.83423 0.73562 + 13.4%
0.4 0.88459 0.81416 + 8.65%
0.5 0.94211 0.89270 + 5.53%
0.6 1.00544 0.97124 + 3.52%
2/π 1.02989 1.00 + 2.99%
0.7 1.07359 1.04982 + 2.26%
0.8 1.14574 1.12899 + 1.48%
0.9 1.22127 1.20928 + 0.99%
1.0 1.29964 1.29095 + 0.67%
==================================
624:１３２人目の素数さん
20/11/25 15:29:51.67 jV4HyexX.net
4点でもあり得ることはすぐにわかるな
5点以上って可能なんだろうか？
625:１３２人目の素数さん
20/11/25 15:52:40.65 uNm3BuF0.net
⊿の3頂点と、2辺上に各1点とか
626:１３２人目の素数さん
20/11/25 16:01:26.47 2qKqSe/3.net
あかんやろ
627:１３２人目の素数さん
20/11/25 16:13:12.93 uNm3BuF0.net
あかんわ、ゴメソ。
N=7
⊿の3頂点A,B,C、内部の点X、AXとBCの交点L、BXとCAの交点M、CXとABの交点N
628:１３２人目の素数さん
20/11/25 16:45:35.40 wlrbB5+9.net
だね
3点 ABC (AB, BC, CA)
4点 ABCL (AB, AC, AL)
6点 ABCLMX (AB, LM, CX)
7点 ABCLMNX (LM, MN, NL)
これで全部かな
629:イナ
20/11/25 19:19:23.63 0hT/Zr9q.net
前>>589
>>553
円弧の中心を正方形の左下頂点の左方aの位置にとると、
円の半径は√(1+a^2)
扇形の中心角をθとすると、
正方形の面積の半分は扇形から直角三角形を引いて、
π(1+a^2)θ/2π-a/2=1/2
(1+a^2)θ=1+a
θ=(1+a)/(1+a^2)
sinθ=1/√(1+a^2)
cosθ=a/√(1+a^2)
630:イナ
20/11/25 19:40:44.46 0hT/Zr9q.net
前>>599
求める円弧の長さLは、
2π√(1+a^2)(θ/2π)=θ√(1+a^2)
a=1/tanθを代入しL=θ√(1+1/tan^2θ)
=θcosθ/tanθ
=θ(1-sin^2θ)/sinθ
微分して=0を与えるθが、
おそらくLに極値を与え、
それが最小値なんじゃないか？
631:１３２人目の素数さん
20/11/26 11:45:09.82 5V7Nv7L6.net
>>593
0<a≦1 とする。
双曲線函数を
y = {cosh(ka) - cosh(kx)}/k,
(k は等面積条件で決める。)
とすれば
y '= - sinh(kx)
l(a) = ∫[0,a] √{1+(y')^2} dx = sinh(ka)/k,
=========================================
a 放物線 cosh 円弧(+線分)
-----------------------------------------
0.0 0.75 0.53 0.5 + 6.0 %
0.1 0.76301 0.667650 0.57854 +15.4 %
0.2 0.79280 0.730424 0.65708 +11.2 %
0.3 0.83423 0.791905 0.73562 + 7.65%
0.4 0.88459 0.855342 0.81416 + 5.06%
0.5 0.94211 0.921616 0.89270 + 3.24%
0.6 1.00544 0.990922 0.97124 + 2.03%
2/π 1.02989 1.017050 1.0 + 1.70%
0.7 1.07359 1.063184 1.04982 + 1.27%
0.8 1.14574 1.138208 1.12899 + 0.82%
0.9 1.22127 1.215752 1.20928 + 0.54%
1.0 1.29964 1.295561 1.29095 + 0.36%
=========================================
632:１３２人目の素数さん
20/11/26 12:06:46.07 SiwqdSFh.net
区間 (－1,1) で連続な関数全体で任意の自然数nにおいてx,x^2,…x^nは一次独立であることを示せ
633:１３２人目の素数さん
20/11/26 12:29:52.68 PSX4Fzx4.net
>>602
x,x^2,…x^nの線形和をf(x)として、
f(1/2n)=f(2/2n)=...=f(n/2n)=0
の解はヴァンデルモンドの行列式使えばf(x)=0しかない。
634:１３２人目の素数さん
20/11/26 12:56:36.47 SiwqdSFh.net
>>603
ヴァンデルモンドの行列式が出てくるとはおどろきでした。もう少し詳しく説明してほしいです。
635:１３２人目の素数さん
20/11/26 13:03:26.33 PSX4Fzx4.net
>>604
> >>603
> ヴァンデルモンドの行列式が出てくるとはおどろきでした。もう少し詳しく説明してほしいです。
f(x)の係数を未知数とする方程式f(1/2n)=f(2/2n)=...=f(n/2n)=0
の係数行列を見れば良い。
1/2n,...,n/2nに意味はない。0でない相異なるn点で良い。
636:１３２人目の素数さん
20/11/26 13:40:07.52 SiwqdSFh.net
>>605
理解できました。ありがとうございます。
637:１３２人目の素数さん
20/11/26 13:40:19.81 SiwqdSFh.net
実ベクトル空間Vのベクトルuに対してW={au;a∈R}がVの部分空間であることを示せ
638:１３２人目の素数さん
20/11/26 14:03:21.75 DoF4kOeD.net
>>598
俺の頭では図示しないと、理解がすすまんので図示してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
639:１３２人目の素数さん
20/11/26 14:11:59.66 DoF4kOeD.net
>>608
N=6 の 図
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
640:１３２人目の素数さん
20/11/26 14:40:06.80 DoF4kOeD.net
>>598
５点のときに成立する配置が存在しないのが驚き
641:１３２人目の素数さん
20/11/26 14:52:52.47 DoF4kOeD.net
>>610
自己レス
N=５はこれでいいのでは？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
642:１３２人目の素数さん
20/11/26 14:55:12.90 DoF4kOeD.net
>>611
やっぱり、駄目だ、４本になった。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
周回遅れの理解、スマソ
643:１３２人目の素数さん
20/11/26 16:54:48.02 oAfQX+/B.net
N≧8は存在しないでしょうか？
644:１３２人目の素数さん
20/11/27 02:57:49.92 lVrNlUma.net
球体と三角錐の共通点は何か？
645:１３２人目の素数さん
20/11/27 08:34:08.76 anGa5WFp.net
>>614
体積を持つこと
646:１３２人目の素数さん
20/11/27 08:34:21.21 anGa5WFp.net
漢字であること
647:１３２人目の素数さん
20/11/27 08:34:31.54 anGa5WFp.net
日本語であること
648:１３２人目の素数さん
20/11/27 08:35:34.97 anGa5WFp.net
ここはイナ大先生の名答を期待したいところだな。
649:１３２人目の素数さん
20/11/27 14:28:33.01 s+i/izSm.net
>>598
しかしこれ証明ってどうやったらいいんだろうなあ
650:１３２人目の素数さん
20/11/27 14:33:58.07 anGa5WFp.net
>>613
7個の配置図で得られた交点上に点を選ぶとして
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
P,Q,Rのいずれか１個、いずれか２個、 ３つ全部
のどの場合も条件を満たさないから、８個以上は無理なのではないだろうか？
でも、五個はだめでも６，７個は可能だったから根拠薄弱だろうな。
651:１３２人目の素数さん
20/11/27 14:57:38.67 anGa5WFp.net
失敗作の例示
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
できたか？とおもったら４本めがあった ：（
652:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:10:06.47 lVrNlUma.net
>>614-617
もういい、
このスレつまんない、
かえる
653:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:15:47.39 lVrNlUma.net
>>614の正解は
「表面積 = 最も広い断面 4枚分」
が成立するという点でした。
頂点の数が4つの三角錐 と 頂点の数が非常に多い球体
この2つはまったく別物に見えますが
割と似ているんですねぇ
N角錐の頂点の数を無限大へ近づけているだけで
654:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:21:14.58 lVrNlUma.net
実際には、正N角形で錐の立体が
存在しえないのもあるんでしょうけど、
ここでは観念上で存在するとします。
三角錐から、Nを増やしていくと
Nを3,4,5,6,7,…
三角錐 → 球体 になるっていう。
表面積 = 断面 x 4
655:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:28:24.08 s+i/izSm.net
平面上のN個の点のうちちょうど二点を通る直線が一つも存在しない場合に
全ての点が同一直線上にある、ってことさえ、示すのはだいぶ難しそうな予感…
656:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:39:12.95 lVrNlUma.net
問題っていうか、ただの定義の
確認のデモンストレーションみたいでゴメンね。
一応確認したいんだけどさ。
「正N角形のみで構成される立体」 のうち、
その表面積が (最大の) 断面 x 4枚分
となるような立体で実在するのは
三角錐 および 球体 この2つだけ…
という考えは正しいよね？ 例外とか存在せんよな？
657:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:43:44.88 lVrNlUma.net
>>615-617
体積 → 漢字 → 日本語
と煽り方が上がっていくのが
くそムカつく… （ '‘ω‘）
球体でぶん殴ってあと、三角錐の頂点を突き刺したい
658:１３２人目の素数さん
20/11/27 15:48:07.68 lVrNlUma.net
流れを戻します。
問題 1.
「正N角形のみで構成される立体」 のうち、
その表面積が (最大の) 断面 x 4枚分
となるような立体を考える。
この時、実在するのは 三角錐 および 球体 この2つだけである。
これは真であるか、偽であるか？証明せよ。(Aランク大 2020 前期)
659:１３２人目の素数さん
20/11/27 16:28:55.65 dnbNOOjK.net
最大の断面？
正N角形で構成される球体？
660:１３２人目の素数さん
20/11/27 16:58:40.35 ABm1i9Wb.net
三角錐ってだけじゃ最大の断面と表面積の比率は決定しないよなあ
正四面体と言うならそうかもしれんが
661:１３２人目の素数さん
20/11/27 18:00:55.78 lVrNlUma.net
>>630
それが言いたかった！
立体のうち、表面積が断面(のうちもっとも面積の大きいもの) の
4倍になるのは 球 と 正四面体だけ！！
>>629
言葉がおかしかったな、ごめん。
でも伝わるからいいだろ。
この反例があるなら、挙げてみそみそ。
662:１３２人目の素数さん
20/11/27 18:05:00.66 oHOj+u2n.net
そんなもん4面の面積全部等しい四面体全部そやろ
663:１３２人目の素数さん
20/11/27 18:08:25.34 lVrNlUma.net
>>632
全部ってなんやねん。
球 と 正四面体 しかないやろ。
それ以外の四面体を挙げてみろや。
664:１３２人目の素数さん
20/11/27 18:17:52.31 dnbNOOjK.net
正四面体の最大の断面？
665:１３２人目の素数さん
20/11/27 18:22:35.97 KUuytrL5.net
辺の長さが全て等しい多角形において、隣り合う二つの角度が無理数° ならば、それらとは別の角度で少なくとも一つは無理数° であることを示せ.
666:１３２人目の素数さん
20/11/27 19:07:10.11 2bWaPxGP.net
>>633
等面四面体
全ての面が合同なやつ
面積だけ一致させたいならもっとあるんじゃない？
667:１３２人目の素数さん
20/11/27 19:41:39.13 s+i/izSm.net
1+e^(iπq_1)+e^(iπq_2)+…+e^(iπq_n)=0 かつ
q_k(k=1,…,n-1)が有理数、q_nが実数であれば
e^(iπq_n) は代数的数。よってq_nも有理数。
668:１３２人目の素数さん
20/11/27 20:50:20.02 xfjb/py5.net
>>625
J.J.シルヴェスターの問題 (T.ガライの定理,1933)
L.M.ケリーが簡明な証明を与えた。(1948)
点の数がN個の場合は、
最小の距離を与える (点, 直線) の組があることを用いる。
(点の数Nが無数の場合は、答が否定的である。)
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.142-143
669:１３２人目の素数さん
20/11/27 21:05:11.83 s+i/izSm.net
>>638
キーワードで探したらIntegersの記事にあったわ…サンクス
670:１３２人目の素数さん
20/11/27 23:59:29.94 J5II8kz3.net
>>637
すみません
＞e^(iπq_n) は代数的数。よってq_nも有理数。
これはどうしてでしょうか。
671:１３２人目の素数さん
20/11/27 23:59:42.54 xfjb/py5.net
URLﾘﾝｸ(integers.)ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/2016/01/23/054621
でござるか。
元の問題
J.J.Sylvester: The educational times, ４６, No.363, p.156 (1893)
"Mathematical question 11851"
672:１３２人目の素数さん
20/11/28 00:05:32.67 FagdS+YP.net
>>613
N≧8 の例は存在しないことが知られています。
・2点のみを通る直線の数 ≧ 3n/7.
L.M.Kelly and W.O.J.Moser: Canadian J. Math., １０, p.210-219 (1958)
"On the number ordinary lines determined by ｎ points"
nがじゅうぶん大きいとき、
・2点のみを通る直線の数 ≧ n/2.
B.Green and T.Tao: Discrete & computational geometry, ５０, No.2, p.409-468 (2013)
"On sets defininng few ordinary lines"
673:１３２人目の素数さん
20/11/28 00:11:20.92 sFoLJd4j.net
元ネタはそういうことなんだけど、この問題自体はもう少し地道に示せます
674:１３２人目の素数さん
20/11/28 07:33:04.29 b4rrMqsW.net
>>627
問：氷が溶けたら何になるか？
答：春になる。
というのに感動するのが風情というもの。
675:１３２人目の素数さん
20/11/28 08:25:38.31 b4rrMqsW.net
>>634
表面を断面の一部と考えるかどうかだなぁ。
676:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:46:32.21 a7jcvtWG.net
まぁどのみち四面体で無限にあるんだから多面体ならなおさらやろ
677:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:53:08.44 HAQHnaPd
678:.net
679:１３２人目の素数さん
20/11/28 12:15:57.37 ognz0kLw.net
>>647
なるほど
680:１３２人目の素数さん
20/11/28 12:53:02.77 FagdS+YP.net
>>632 と >>636 は同じもの。
〔定理4〕
四面体 ABCD で次の2つの条件は同値である。
1．4つの面の面積がすべて等しい。
2．4つの面はすべて合同である。
http://ａｏｚｏｒａｇａｋｕｅｎ．ｓａｋｕｒａ.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/simentai/node8.html
681:１３２人目の素数さん
20/11/28 13:40:24.70 FagdS+YP.net
>>638
・例1
m, n は整数とする。
(2m, ±1) と (n, 0) とからなる集合
・例2
4点 A, B, C, D は有理点 (デカルト座標が有理数) で、
一直線上になく、D は ⊿ABC の内部にあるとする。
その2点を結ぶ線分(6本)上のすべての有理点の集合
682:１３２人目の素数さん
20/11/28 20:55:35.00 FagdS+YP.net
>>601
0<a≦1 とする。
対数余弦函数を
y = {log(cos(k'x)) - log(cos(k'a))}/k',
(k' は等面積条件で決める。)
とすれば
y '= - tan(k'x)
L(a) = ∫[0,a] √{1+(y')^2} dx
= ∫[0,a] 1/cos(k'x) dx
= {log[1+sin(k'a)] - log[1-sin(k'a)]}/(2k'),
===================================================
a 放物線 cosh log(cos) 円弧(+線分)
---------------------------------------------------
0.0 0.75 0.53 0.50 0.50
0.1 0.76301 0.667650 0.58835 0.57854 + 1.70%
0.2 0.79280 0.730424 0.67351 0.65708 + 2.50%
0.3 0.83423 0.791905 0.75300 0.73562 + 2.36%
0.4 0.88459 0.855342 0.82888 0.81416 + 1.81%
0.5 0.94211 0.921616 0.90352 0.89270 + 1.21%
0.6 1.00544 0.990922 0.97844 0.97124 + 0.74%
2/π 1.02989 1.017050 1.00613 1.00 + 0.61%
0.7 1.07359 1.063184 1.05449 1.04982 + 0.44%
0.8 1.14574 1.138208 1.13208 1.12899 + 0.27%
0.9 1.22127 1.215752 1.21138 1.20928 + 0.17%
1.0 1.29964 1.295561 1.29240 1.29095 + 0.11%
===================================================
683:１３２人目の素数さん
20/11/28 22:24:53.95 B2JX1lft.net
>>649
ごめん、ワイがアホだったわ。
正四面体は三角形4枚で組み立てる
あの立体しか存在しないと思ってた…。
せっかく、イキって球体との共通点とか言い出したのに…
アタシっていつもこう。
684:１３２人目の素数さん
20/11/28 22:31:27.68 a7jcvtWG.net
気にすんな
誰にでもある
685:１３２人目の素数さん
20/11/28 22:35:10.17 B2JX1lft.net
おぅ、サンキューな
お前もがんばれよ
686:１３２人目の素数さん
20/11/29 02:33:09.10 qGWGKYzn.net
>>635
ヒントおながいします
687:１３２人目の素数さん
20/11/29 08:51:09.55 flhbNyW5.net
>>655
ヒントはクロネッカーです
688:１３２人目の素数さん
20/11/29 08:52:09.09 qGWGKYzn.net
>>656
青春の夢の方？
689:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:03:14.29 flhbNyW5.net
>>657
「ある代数的数の共役元のノルムが全て1なら、その代数的数は1のべき根」
これを使います
690:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:04:56.93 flhbNyW5.net
>>658
ごめん代数的数→代数的整数です
691:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:10:32.97 qGWGKYzn.net
ρが1の冪根、aiが1または0、α=Σaiρ^iにおいて|α|=1のとき、任意の共役元βにおいて|β|=1か？
なのか‥‥
692:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:13:56.79 flhbNyW5.net
>>660
その通りです
693:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:15:54.92 qGWGKYzn.net
アレ？
でもそれはなんか当たり前？
(Σaiρ^i)(Σaiρ^(-i))=1なら任意のρの共役ζに対して(Σaiζ^i)(Σaiζ^(-i))=1は自明？
694:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:27:12.44 flhbNyW5.net
>>662
あーなるほどa_i=0の項をワザと付けることでρ=exp(2π√(-1)/n)として、i=0,1,...,n-1として取り尽くせるのか
それならたしかにρ→ζとしてもどこかのiに移るので大丈夫ですね
695:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:27:56.11 flhbNyW5.net
素晴らしい
696:１３２人目の素数さん
20/11/29 09:59:54.52 qGWGKYzn.net
なるほど解決
定理
αが0でない代数的整数、αの任意の共役元βについて|β|≦1のときαは1の冪根
∵) αiを共役の全体としてfn(x)=Π(x-αi^n)とおく
fn(x)は整数係数で係数の大きさは有界
∴ あるlにおいてfn(x)=fl(x)となるnが無限に存在
各nについて置換πnが存在してαi^n=απn(i)^lとなる
πm=πnとなる相異なるm,nがとれてこの時αi^m=αi^n□
いい勉強になった
面白い
697:１３２人目の素数さん
20/11/29 11:08:31.26 YjdJo8qZ.net
----------------------------------
a k (>>601) k ' (>>651)
----------------------------------
0.0
0.1 39.711536350 15.706022968
0.2 15.660233370 7.801745640
0.3 8.798366127 5.091883738
0.4 5.733746213 3.692957976
0.5 4.060380000 2.832843577
0.6 3.034300825 2.251082005
2/π 2.755015295 2.082988243
0.7 2.355461203 1.833574003
0.8 1.881497086 1.521675470
0.9 1.536949312 1.281802519
1.0 1.278464543 1.093178199
----------------------------------
698:１３２人目の素数さん
20/11/29 18:26:05.42 SLuk3JQq.net
すいません、俺も答え知らないので教えてください。
ある囲碁ＡＩはバージョンが上がるたびにひとつ前のバージョンに60%の確率で勝つ。
この時、バージョン1とバージョンnのプログラムが対戦した時に
バージョンnのプログラムは何%の確率で勝つと考えるのが妥当か？
多分単純に0.6^(n-1)ではないと思ってます。
699:１３２人目の素数さん
20/11/29 18:29:45.52 SLuk3JQq.net
0.6^(n-1)が違うのは当たり前か。すいません。
1-(0.4^(n-1))も違うと思ってます。
700:１３２人目の素数さん
20/11/29 18:36:37.20 SLuk3JQq.net
なぜ違うと思うかというとひとつ前のバージョンとの勝率が50%の時に、
つじつまが合わなくなると思うからです。
50%の時は何世代たっても50%になるはず。
701:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:12:46.49 o+8HESRK.net
グーはチョキに100%の勝率で勝つ
パーはグーに100%の勝率で勝つ
なのでパーはチョキに100%の勝率で勝つ(?)
702:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:23:01.20 SLuk3JQq.net
相性のようなものは考えず、強さは一つのパラメータで表されると仮定してください。
703:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:34:23.23 o+8HESRK.net
だったらそれぞれに強さとなる実数値を割り振って
勝率とは2実数を比べたときの割合としてみるとか？
704:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:41:40.71 o+8HESRK.net
ver.1の強さをaとすると
ver.2の強さは1.5aになる(1.5a/(a+1.5a)=0.6)
ver.3の強さは1.5×1.5a
…
ver.nの強さは1.5^(n-1)a
よって
ver.1に対するver.nの勝率は1.5^(n-1)a/(a+1.5^(n-1)a)
=1.5^(n-1)/(1+1.5^(n-1))
705:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:46:35.82 SLuk3JQq.net
バージョン1の強さを4とするとバージョン2の強さは勝率4:6より6
バージョン3の強さをxと置くとバージョン2との勝率4:6より4:6=6:x
これよりx=9
バージョン1とバージョン3が対戦すると4:9となりバージョン3が勝つ確率は4/13
みたいな感じですかね。
これは確かにかなり正しそうに見えます。
706:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:47:42.89 2XJgjWe6.net
>>667
1.5^n/(1+1.5^n)
707:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:49:58.21 2XJgjWe6.net
オッズで考えたけど
nじゃなくてn-1だな。
708:１３２人目の素数さん
20/11/29 20:50:32.15 2XJgjWe6.net
オッズで考えたけど
nじゃなくてn-1だな。
709:１３２人目の素数さん
20/11/29 21:02:07.91 2XJgjWe6.net
>>675
nをバージョン差とすればその式でいいな。
710:１３２人目の素数さん
20/11/29 21:04:21.03 2XJgjWe6.net
10バージョンが違えば新しいバージョンの勝率は
1.5^10/(1+1.5^10)
711:１３２人目の素数さん
20/11/29 21:10:28.84 SLuk3JQq.net
ありがとうございます。
腑に落ちました。
712:１３２人目の素数さん
20/11/29 21:26:59.06 iUQ4BkRA.net
五目並べやポーカーなら
この考えでいけそうですね。
将棋だと戦法や相性の違いのため、
バージョン7がバージョン6には有利なのに、
なぜかバージョン5が苦手で負けまくったりしそう。
713:１３２人目の素数さん
20/11/29 22:33:24.79 2XJgjWe6.net
>>679
おまけ
ヴァージョンが0.1刻みに上がっていって
そのヴァージョンアップでオッズが1.5の10乗根(10^0.1=exp(log(1.5)/10)=1.0438)ずつ上がるとする。
ver3.3とver4.8を対決させると新しい方が勝つ確率は
oz=1.5^0.1
v1=3.3
v2=4.8
v=(v2-v1)/0.1
oz^v/(1+oz^v)
> oz^v/(1+oz^v)
[1] 0.6475296
714:１３２人目の素数さん
20/11/29 22:54:07.43 2XJgjWe6.net
>>682
蛇足
ver 1.23 とver 4.56の勝率は
x=4.56 - 1.23
oz=1.5^0.01
v=x/0.01
oz^v/(1+oz^v)
> x=4.56 - 1.23
> oz=1.5^0.01
> v=x/0.01
> oz^v/(1+oz^v)
[1] 0.7941621
715:１３２人目の素数さん
20/11/29 23:10:56.78 2XJgjWe6.net
>>683
version差と勝率をグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
勝率0.9を得るためにはvesionの差が5.42以上必要と計算できた。
716:１３２人目の素数さん
20/11/30 00:24:48.70 70dpF9Yt.net
1^3=+0!/(0!0!0!)
1^3-1^3=0
1^3-2^3+1^3=-3!/(1!1!1!)
1^3-3^3+3^3-1^3=0
1^3-4^3+6^3-4^3+1^3=+6!/(2!2!2!)
1^3-5^3+10^3-10^3+5^3-1^3=0
1^3-6^3+15^3-20^3+15^3-6^3+1^3=-9!/(3!3!3!)
…
why?
717:１３２人目の素数さん
20/11/30 01:05:36.07 dZDHA6pK.net
このスレはレベル差がすごいな
718:１３２人目の素数さん
20/11/30 01:27:17.68 VvYWr3/m.net
>>686
わかる
だって俺も
同じこと 思った
719:１３２人目の素数さん
20/11/30 01:48:20.86 UIa0x67K.net
より大きい整数を提示したプレイヤーが勝つというルールのゲームにおいて、
あるAIはバージョンnの時に 5n, 5n+6, 5n+12, 5n+18, 5n+24 のいずれかを等確率で出す。
この時、このAIのバージョンnに対するバージョンn+1の勝率は 3/5 であるが、
バージョンnに対するバージョンn+2の勝率は 19/25.
異なるバージョン間の勝率の関係なんてゲームによってそれぞれな気がするけどねえ
720:１３２人目の素数さん
20/11/30 02:15:33.02 dZDHA6pK.net
数学の問題にすらなってないよな
721:１３２人目の素数さん
20/11/30 03:38:57.20 VvYWr3/m.net
実際にあるゲーム、遊技の技量を
1変数だけで表現したとする。
この時、
「任意の版において、
その版がそれよりも旧い版よりも必ずも強い」
が成立するのってどの程度のゲームまでだろ？
プレイに相性が存在しないようなゲーム
・五目並べやポーカー、麻雀… 多分、いける
・チェス…戦法や相性ってどのくらいあるんだろ。
・ポケモン、将棋…構成、戦法で相性があるから
技量を1変数では表現不可能、一見して明らかに不可能。
722:１３２人目の素数さん
20/11/30 03:40:00.89 VvYWr3/m.net
・動物しょうぎ …
「飛車角を使う技量a」、
「その他の駒を使う技量b」
の2変数で割といけるか？
a_1+b_1 : a_2 + b_2 = (4:6)
どっかの高専の課題でありそう。
723:１３２人目の素数さん
20/11/30 06:26:13.94 hqZHcnoe.net
>>667
一般には、勝率をどのような関数にするかで
答えが大きく異なる
将棋の棋士やAIに使われるレーティングの
システムでは、強さの指標である
レーティング差 x に対して、勝率の推定値が
p(x)＝1/(1+e^(-ax))
で求められる。a は定数で、
x＝400 のとき e^(-ax)＝0.1
となるように定める
この場合は、ある勝率 1/(1+t) に対して
k倍のレーティング差の勝率は 1/(1+t^k)
設問では、1世代で60％だから
t＝2/3, k＝n-1 とおいて
n 番目の勝率は 1/(1+(2/3)^(n-1))
724:イナ
20/11/30 10:29:35.34 5OLgkRtM.net
前>>600
>>692
60%って分数で表すと3/5じゃないの？
725:１３２人目の素数さん
20/11/30 11:19:48.95 ThW7QjY8.net
>>693
0.6/(1-0.6)でオッズは1.5
新バージョンが勝つ確率が1.5倍。
726:１３２人目の素数さん
20/11/30 13:49:48.67 UIa0x67K.net
>>690
つまりこうか？
『特定のゲームのあらゆる戦術sに対してある実数f(s)を定めて、
任意の戦術s_1,s_2で手合いをした時の勝率を、
fの値が大きい方が高くなるようにすることは可能か？』
もしそういう問いなら答えは実質的にNoだろうね
実質的にというのは、おそらく定数関数しかないんじゃないかってこと
3×3の○×ゲームを例にとると
s_1=(空きマスがある一番上の行のうち、一番左の空きマスを選択する)
s_2=(空きマスがある一番右の列のうち、一番上の空きマスを選択する)
s_3=(空きマスがある一番下の行のうち、一番右の空きマスを選択する)
s_4=(空きマスがある一番左の列のうち、一番下の空きマスを選択する)
と定めればf(s_1)≦f(s_2)≦f(s_3)≦f(s_4)≦f(s_1)
から全ての値が等しくなければならない
こういう感じのn-すくみは、
どんなに戦術が高度になっても多分存在すると思う
727:１３２人目の素数さん
20/11/30 14:16:02.65 dZDHA6pK.net
そう、“強さ”なんてものがあるパラメータ一個や2個で解析できるわけがない
こんなもん答えの出しようもない
728:１３２人目の素数さん
20/11/30 17:41:47.14 OPG0PNpf.net
厳密さを追求するだけが数学じゃないでしょ。
モデルを単純化して考えるのも数学じゃよくある話なんでは？
729:１３２人目の素数さん
20/11/30 17:57:19.29 i/lW+l0P.net
>>697
この問題のヤバイところは、まともなモデル化のもとでは
まず間違いなく「NO」というツマラナイ結果しか出て来なそうなところ。
やるだけ時間の無駄。
730:１３２人目の素数さん
20/11/30 18:30:03.11 Jl3CpvQN.net
勝率はレイティング(技量)の差xで決まる、と考えるんですね。
f(0) = 1/2,
単調増加
f(x)→1 (x→∞)
731:１３２人目の素数さん
20/11/30 19:21:36.28 wS8dpDB/.net
自問自答
問題
"
Aの通算成績はBを相手にしたときに80勝20負、Cを相手にしたときに30勝20敗である。
BとCが戦ったときの勝率はいくらと推定できるか？
"
答（正しいかどうかわからん）
BA=20/80 # Bの対Aオッズ
CA=20/30 # Cの対Aオッズ
BC=BA/CA # Bの対Cオッズ？
BC/(1+BC)# オッズ確率変換
> BC/(1+BC) # オッズ確率変換
[1] 0.2727273
であってる？
732:１３２人目の素数さん
20/11/30 19:51:13.32 dZDHA6pK.net
>>700
あってない
733:１３２人目の素数さん
20/11/30 20:22:07.49 wS8dpDB/.net
>>701
では、正解をお願いします。
734:１３２人目の素数さん
20/11/30 20:28:40.49 wS8dpDB/.net
>>700
Bの強さはAの1/4
Cの強さはAの2/3
なので
Bの強さはCの(1/4)÷(2/3)=3/8
と考えたのだが間違っているかなぁ？
735:１３２人目の素数さん
20/11/30 20:47:50.74 OPG0PNpf.net
ん、わからん。どこが合ってないんだ？
736:１３２人目の素数さん
20/11/30 22:23:22.02 wS8dpDB/.net
>>700
二項分布に従う乱数を発生させてBの対C勝率を出してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
厳密解（解析解）の出し方は知らん
737:１３２人目の素数さん
20/11/30 22:29:07.92 MjyGoqnO.net
プログラムおじさん
738:１３２人目の素数さん
20/11/30 22:52:25.66 P8+sH4AJ.net
>>705
同じ勝率でも試合数が増えると信頼区間幅がぐっと狭くなるなぁ。
800勝200敗、300勝200敗で描画してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
信頼区間は乱数発生させてのプログラム解。
厳密解（解析解）の出し方は知らん。
739:１３２人目の素数さん
20/11/30 23:08:33.75 9+P8z5FS.net
凸閉曲線を二つの平行線で挟むとき、平行線間の距離の最大値を「長径」、最小値を「短径」と定義する
このとき、(凸閉曲線が囲む
740:領域の面積)÷(長径×短径)の最大値、最小値を求めよ
741:１３２人目の素数さん
20/11/30 23:17:25.67 5+HmvmiJ.net
そのモデル化がどんなゲームに対してどのくらい妥当なのかがわからないと
どうも実のない議論に感じてしまうよ
例えば反射神経の早さとか筋力を競うゲームであれば
AがBに8割勝ってBもCに8割勝てば
CはAにほとんど全く勝てないであろう状況が想像つくと思う
（>>688のAIバージョンが5違えば勝負が一方的になるみたいにね）
要はある特定の値が高いことが全てなんだから
つまり二者の勝率が値の比で表せるようなそういうモデル化が
正しくないゲームだっていくらでも存在するんだからさ
正しいとまでは言わなくともせめて妥当とくらいは言えるような
現実的なゲームは一個でも提示できるのかい
（まあ存在しないとは思ってないけど、
あまりに一般的な話をしたそうにしてるから
その辺の話をするための準備はどのくらいあるんだろうってね…）
742:１３２人目の素数さん
20/11/30 23:39:39.15 70dpF9Yt.net
>>685
パスカルの三角形を三乗して交代和をとると偶数の段で中央三項係数が出るということです
だれか証明してみて下さい
743:１３２人目の素数さん
20/11/30 23:43:35.02 dZDHA6pK.net
>>710
diksonの定理だったかな？
744:１３２人目の素数さん
20/11/30 23:45:54.81 dZDHA6pK.net
>>711
綴が違った
Dixon's identity
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
745:１３２人目の素数さん
20/12/01 04:06:38.27 W941J9/Q.net
>>695
指摘ありがとう！
>>696
じゃ、何個あればできるんですか？
>>698
つまらないのは問いではなく、
あなたの心です。
746:１３２人目の素数さん
20/12/01 04:11:40.17 W941J9/Q.net
将棋やチェスのAIで
大会に出場するような物。
あれは最新版ではなく、
AI同士でぶつけた時に、
もっとも勝率が良かった1つの版が
社の代表に選ばれてるんだろうな。
747:１３２人目の素数さん
20/12/01 06:01:40.65 IkU8i7gr.net
nを正の平方数とする。
n以上の自然数2つ（同じものでもよい）の積として表せるような自然数のうち、小さい方からn番目のものを、nを用いて表せ。
例、n=4のとき
1番目…4×4=16
2番目…4×5=20
3番目…4×6=24
4番目…5×5=25←答え
748:１３２人目の素数さん
20/12/01 07:17:41.21 19K2764n.net
>>708
なんとなく円がMaxで正三角形がMinっぽいな
証明方法は全然わからんが
749:１３２人目の素数さん
20/12/01 07:51:25.37 ns8gQZSc.net
>>709
疫病の流行モデルでもSIR,Reed-Frost,K値など色々ある。
まあ、そのものがゲームだと思えばダトウセイガーということもない。
コインの表の出る確率がきっちり1/2というのは現実的なダトウセイがないとかいう不毛な議論になる。
750:１３２人目の素数さん
20/12/01 07:56:57.12 ns8gQZSc.net
>>708
長径か短径かどちらかが定数という条件はないのですか？