20/09/02 02:29:54 cs6TOlb7.net
昔のメモから見つけた積分ネタをもう一つ
∫ [0,∞] ( sin(x)-cos(x) ) log(x) /√x dx = π^{3/2}/√2
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
わりと短いのに中々エグい変化球で攻めています。
自分でも覚えていないのですが、どこかの拾いネタを整理して書き留めたのでしょう。
そしてやはりWolfram先生は答えを知っています。でもステップ解説はありません。
Integrate[ (Sin[x]-Cos[x]) Log[x]/Sqrt[x], {x, 0,+∞} ] ⇒ π^{3/2}/√2 ≒ 3.9374
同値変形の式に対しては...
Integrate[ Sqrt[2] x E^(x/2) Sin[E^x -π/4], {x, -∞,+∞} ] ⇒ ≒ 3.49091
数値積分計算を出して終わりです。しかも少数一桁すら合ってません。計算時間制限が短い無料枠の限界です。
まぁ sinの位相変動が激しすぎる、しかも振幅が無限発散て... 。むしろ、よく収束させたなと褒めるべきでしょうか。
同じ式を Wolfram Engine(無料, 要インストール)で評価すると長考の末に正解を吐き出します。
48:１３２人目の素数さん
20/09/02 02:38:20 tYairTYr.net
覚えてないならメモ役に立ってないじゃん
ネタ元書いとけよ
49:１３２人目の素数さん
20/09/02 02:45:01 cs6TOlb7.net
役に立つかどうかで数学やってんのお？
50:１３２人目の素数さん
20/09/02 02:48:11 tYairTYr.net
ここは自由帳じゃないぞ
51:１３２人目の素数さん
20/09/02 02:55:52 cs6TOlb7.net
自分みたい道楽者は 式の過程が追えればそれでいいですが、
本を書くような人はネタ元を気にした方がいいかもしれませんね。
52:１３２人目の素数さん
20/09/02 11:44:45 1pAmelOb.net
>>46
∫[-∞,∞] {1-cos(2αx)}/(2xx) dx = π|α|,
sinの半角公式を用いて
∫[-∞,∞] {sin(αx)/x}^2 dx = π|α| ････ (10)
これを使えば
sin(ax)sin(bx)
= {cos((a-b)x) - cos((a+b)x)}/2 (積和公式)
= {1 - cos((a+b)x)}/2 - {1 - cos((a-b)x}/2
= {sin((a+b)x/2)}^2 - {sin((a-b)x/2}^2 (半角公式)
∫[-∞,∞] sin(ax)sin(bx)dx
= π(a+b)/2 - π|a-b|/2
= π min{a,b}
高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章 §48．p.169 (10)
53:１３２人目の素数さん
20/09/02 15:09:24.99 cs6TOlb7.net
>>52 熟読してるとこういうのパッと出て来るんですねえ。
後で気づきましたが、この式は Borwein(ボールウェイン)積分の n=1 ケースそのものです。
検索トップの "高校数学の美しい物語" だと sinc^1 に帰着させて証明してます。
逆に Borwein積分を既知とすると...
0 ≦ a ≦ b , b≠0 の時
∫ [-∞,+∞] sin(at)sin(bt) / t² dt
= b ∫[-∞,+∞] sin((a/b)*bt)sin(bt) / (bt)² d{bt}
= b ∫[-∞,+∞] sin((a/b)t)/t * sin(t)/t dt
= b * (a/b) ∫[-∞,+∞] sin((a/b)t)/((a/b)t) * sin(t)/t dt (a/b ≦ 1)
= a π ∵ Borwein積分(n=1)
一般に
0 ≦ aₖ , { Σ[k=1..n-1] aₖ } ≦ aₙ ≠ 0 の時
∫ [-∞,+∞] sin(a₁t)sin(a₂t)・・・sin(aₙt) / tⁿ dt
= aₙ^{n-1} ∫[-∞,+∞] { Π[k=1..n-1] sin((aₖ/aₙ) t) / t } sin(t)/t dt
= { Π[k=1..n-1] aₖ } π ∵ Borwein積分
が成り立ちます。
54:１３２人目の素数さん
20/09/02 16:26:05.32 pYwI/orc.net
>>47
∫ [0,∞] ( sin(x)-cos(x) ) log(x) /√x dx
はt^qのLaplace変換
∫ [0,∞] x^q e^(-sx)dx = Γ(q+1)/s^(q+1)
の両辺qで微分してq=-1/2、s=iの実部と虚部出しても出せるな
Γ'(1/2) (=√π(-γ-log4))とか出てくるけど消えるし
55:１３２人目の素数さん
20/09/02 21:06:20 1pAmelOb.net
>>53
0 < aₙ が断トツで大きく、
(Σ[k=1,n-1] |aₖ|) + (Σ[k=1,m] |bₖ|) < aₙ の時
∫ [-∞,+∞] sin(a₁t) sin(a₂t) ････ sin(aₙt)
* cos(b₁t) cos(b₂t) ････ cos(bₙt) / tⁿ dt
= (aₙ)^{n-1} ∫[-∞,+∞] {Π[k=1..n-1] sin((aₖ/aₙ) t)/t} * sin(t)/t dt
= {Π[k=1,n-1] aₖ}π, ( |aₖ| < aₙ)
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221 (1956)
p.254 (上)
56:１３２人目の素数さん
20/09/02 21:26:52.03 cs6TOlb7.net
"高校数学の美しい物語" にあるBorwein積分の証明を見てて気づいたこと。
sin(aₖx)/x = ∫[0,aₖ]dξₖ cos(ξₖx)
Π[k=1,n] cos(ξₖx) = 1/2ⁿ Σ[全ての±組み合わせ] e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)}
と
sinc(x)のフーリエ変換
∫[-∞,+∞]dx e^{im} sinc(x) = if(|m|≦1, π, 0) (本来の境界値 π/2 (|m|=1)は計算に寄与しないので無視)
より
∫[-∞,+∞]dx {Π[k=1,n] aₖ*sinc(aₖx)} sinc(x) = ...
= π/2ⁿ * Volume[ [-a₁,+a₁][-a₂,+a₂]...[-aₙ,+aₙ] ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
つまり、2つの超平面で角を削られた n次元直方体の超体積で表せます。
Borwein積分の条件 a₁+a₂+..+aₙ ≦ 1 は「削られない」条件て事ですね。
特に
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)^{n+1} = π/2ⁿ * Volume[ [-1,+1]ⁿ ∩ {(x₁,x₂,..,xₙ) ; |x₁+x₂+..+xₙ| ≦ 1} ]
です。
n=1, 2, 3 程度なら図形の切り貼りでも計算できます。
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)² = π/2 * (2 - 0) = π
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)³ = π/2² * (2² - 2*1/2) = 3π/4
∫[-∞,+∞]dx sinc(x)⁴ = π/2³ * (2³ - 2* (2√2)²(√3 /2)(1/2) * √(3*2²/3²) /3 ) = 2π/3
>>55
Borwein積分みたいな式って結構昔から知られてるんですね。
もっと最近の話かと思ってました。
57:１３２人目の素数さん
20/09/02 21:44:23.83 gOJqVuG1.net
アレ？ホント？
“直方体”を超平面“Σxi=0”出切った面積にならない？
58:１３２人目の素数さん
20/09/02 22:23:02.57 cs6TOlb7.net
>>55
cos(b₁t) cos(b₂t) ････ cos(bₙt) が寄与しない理由を考えてみました。
sin(aₖt)cos(bₖt) = 1/2 *{ sin((aₖ+bₖ)t) + sin((aₖ-bₖ)t) }
と
Σ[k=1,n-1] |aₖ±bₖ| ≦ Σ[k=1,n-1] |aₖ|+|bₖ| ≦ aₙ
より
与式 = 1/2 * { (a₁+b₁)*... + (a₁-b₁)*... } = a₁ * ...
なるほど、うまくできてるものですね。
59:１３２人目の素数さん
20/09/02 22:32:04.20 cs6TOlb7.net
>>57
e^{i(±ξ₁±ξ₂±...±ξₙ)x}
これが例えば ξ₁ にだけ負符号が付いてるケースを考えます
∫ [0,a₁] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ ∫ dx e^{ i(-ξ₁+ξ₂+...+ξₙ)x } sinc(x)
= ∫ [0,a₁] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ If( | -ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 ) {∵ sincのフーリエ変換 }
= ∫ [-a₁, 0] dξ₁ ∫ [0,a₂] dξ₂ ... ∫ [0,aₙ] dξₙ If( | +ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 )
このようにプラマイの組み合わせ毎にn次元空間の各象限が対応し、
それぞれに共通の条件 | +ξ₁+ξ₂+...+ξₙ | ≦ 1 が課されます。
総和で ∫ [-a₁, +a₁] dξ₁ ∫ [-a₂,+a₂] dξ₂ ... ∫ [-aₙ, +aₙ] dξₙ If( |+ξ₁+ξ₂+...+ξₙ |≦ 1, π, 0 ) = π * Volume[～]
を計算せよ。 という話になります。
60:１３２人目の素数さん
20/09/02 23:11:30.17 h0vLgnmW.net
>>59
あれ？
だってsinc(x)のフーリエ変換が rect(t)でしょ？
定数は無視して
じゃあ(sinc(x))^3のフーリエ変換はrect*rect*rect(x)でその値は
rect*rect*rect(x) = ∫ rect(s)rect(t)rect(x-s-t) dsdt
で特にx=0の時は∫[|s|≦1,|t|≦1,|-s-t|≦1] 1dsdtになると思うんだけど
61:１３２人目の素数さん
20/09/02 23:18:57.80 h0vLgnmW.net
>>59
あ、わかった、ゴメン、その通りだ
>>60のnotationで-s-t=uとおいて(s,t,u)の空間では綺麗な正六角形だけど積分するために一文字消して射影することになるけど、その射影した像は“角を落とした直方体”になるな
吊ってくる
62:１３２人目の素数さん
20/09/03 01:27:03.12 PGJ1gE8Y.net
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = 0 (|m|≧n)
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x} cos(mx) dx = π, (|m|<1)
π/2, (|m|=1)
これをディリクレの不連続因子と云うらしい。
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^2 cos(mx) dx = π(2-|m|)/2, (|m|≦2)
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^3 cos(mx) dx = π(3-m^2)/4, (|m|≦1)
= π(3-|m|)^2 /8, (1≦|m|≦3)
63:１３２人目の素数さん
20/09/03 01:58:26.65 DCvAA1JD.net
結局convolutionが平行移動と可換、すなわちPを平行移動作用素とする時P(f*g)=(Pf)*g=f*(Pg)と(定数倍無視して)Hをヘビサイド関数とする時sinc(x)のフーリエ変換がH(t+1)-H(t-1)と二つのヘビサイド関数の平行移動の差でかける事を認めればPをt軸方向へ-1の平行移動、Qをその逆写像として(sinc(x))^3のフーリエ変換はH*H*H=H(t)(1/2)t^2により(定数倍無視して)
(PH(t)-QH(t))*(PH(t)-QH(t))*(PH(t)-QH(t))
=(PPP-3PPQ+3PQQ-QQQ)H*H*H
=(1/2)(H(t+3)H(t+3)^2-3H(t+1)(t+1)^2
. +3H(t-1)(t-1)^2-H(t-3)(t-3)^2))
になる
64:１３２人目の素数さん
20/09/03 21:03:21.15 PGJ1gE8Y.net
>>62
n=1 のときは
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x} cos(mx) dx = 0 (|m|>1)
|m|=1 では0でない。
65:１３２人目の素数さん
20/09/04 02:46:56.22 43QR7q9z.net
恵羅夫妻は同伴で最近パーティに出席し、そこには他の3組の夫婦が同伴で出席していた。いろいろな人々の間で握手が交わされた。
どの人も自分の同伴者とは握手をせず、どの人も同じ人と2度以上は握手をせず、また当然だが、誰も自分自身とは握手をしなかった。
握手をしたあと、恵羅氏は彼の妻を含めた各人に、他と何回握手を交わしたかと尋ねた。驚いたことには、どの人も異なる回数を答えた。
さて、恵羅夫人は何回握手をしただろうか。
66:１３２人目の素数さん
20/09/04 05:02:58.72 +w/3BM6R.net
>>65
合計8人いる
自分と、自分のパートナーとは握手しないので、握手の最大回数は6回。最小回数は0回。
恵羅氏は7人に尋ねて、全て異なる回答を得たので、0回から6回までという回答が1回ずつあった。
恵羅氏を除いた握手の合計回数は6+5+4+3+2+1+0=21。全員の握手合計回数は偶数で無ければならないので、
恵羅氏の握手の回数は、1,3,5のいずれか。1あるいは5の場合、矛盾が発生するので、恵羅氏の握手の回数は3
さて、どこかに、6回の人Aがいる。その人とのパートナーaが必然的に0回。
1回と答えた人は、必然的に、Aとだけ握手した人bだ。そしてそのパートナーが5人と握手した人Bとなる。
2回と答えた人は、必然的に、AとBとだけ握手した人cだ。そしてそのパートナーが4人と握手した人Cとなる。
回答を得た7人のうち、6人つまり、AaBｂCcと命名した人物の握手回数は確定したが、
この中に「3人と握手した」と回答した人はいないし、その人のパートナーも現れていない。
従って、恵羅氏および、恵羅夫人は、二人とも3人と握手したと結論できる。
67:１３２人目の素数さん
20/09/04 06:26:27.94 43QR7q9z.net
>>66
こういう解答ってOKなんですかね？
問題に欠陥がある場合には対応できないですよね。
68:１３２人目の素数さん
20/09/04 08:15:10.89 huVAl7qX.net
前提条件を満たす解を下から組み上げていったら
a. 具体的な唯一解が得られた。 → 問題に欠陥なし
b. 解は存在しないか 複数ある事が分かった。 → 問題に欠陥あり
c. 途中で進め方が分からなくなった。 → 君(or 人類)にはまだ早すぎた問題だった
やろう
69:と思えば全パターンを場合分けできるような問題で c はありえんでしょ。
70:１３２人目の素数さん
20/09/04 10:17:00 iXqYmnLf.net
結局最初の方のロジックで押し切ればいいんだな
対角は□は確定してる(自分とは握手してない)
6人と0人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□
◯□
◯□
◯□
◯□
◯□
5人1人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□
◯□◯□
◯□◯□
◯□◯□
4人2人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□□□◯◯
◯□◯□□□□□
◯□◯□◯□
◯□◯□◯□
3人と答えた人がいる
□□◯◯◯◯◯◯
□□□□□□□□
◯□□□◯◯◯◯
◯□□□□□□□
◯□◯□□□◯◯
◯□◯□□□□□
◯□◯□◯□□□
◯□◯□◯□□□
71:１３２人目の素数さん
20/09/04 10:53:54.94 4rR4gXNg.net
合計8人いる。
自分や自分のパートナーとは握手しないので、握手の
最大回数は6回。最小回数は0回。
イナ氏は7人に尋ねて、全て異なる回答を得た。
0回の人、････、6回の人が1人(～2人)いる。
6回の人Aは、{A自身、Aのパートナーa} を除く6人全員と握手した。
a以外の人は1回以上握手したので、0回はaのみ。
6回の人が2人いたら、0回の人がイナい。(矛盾)
5回の人Bは、{B自身、Bのパートナーb、a} を除く5人と握手した。
a,b以外の人は2回以上握手したので、1回はbのみ。
5回の人が2人いたら、1回の人がイナい。(矛盾)
4回の人Cは、{C自身、Cのパートナーc、a、b} を除く4人と握手した。
a,b,c以外の人は3回以上握手したので、2回はcのみ。
4回の人が2人いたら、2回の人がイナい。(矛盾)
3回の人Dは、{D自身、Dのパートナーd、a、b、c} を除く3人と握手した。
残るD,dのペアは3回ずつ。
題意により、イナ氏はD、dのいずれか。
(問題)
ｉの握手回数を n_i とする。
ｉとｊが握手 ⇔ n_i + n_j ≧ 7,
72:１３２人目の素数さん
20/09/04 10:57:15.58 N1Sjkz3M.net
よくよく考えたら「自分の伴侶とは握手しなかった」という条件はほとんど使ってなくて「全員と握手したと答えた人はいなかった」で確定するな
73:１３２人目の素数さん
20/09/04 11:28:46.65 a8/P402N.net
>>70
エラ夫妻かと思ったら人気者のイナ氏夫妻がモデルだったのか？
74:１３２人目の素数さん
20/09/04 11:32:06.80 4rR4gXNg.net
(問題)
ｉの握手回数を n_i とする。
ｉとｊがパートナー ⇔ n_i + n_j = 6,
75:１３２人目の素数さん
20/09/04 11:43:37 N1Sjkz3M.net
ni=0,6の時は明らか、nj=0,6も同じく
∴夫婦3組の場合に還元される
以下ry
76:１３２人目の素数さん
20/09/04 14:03:28.35 a8/P402N.net
>>68
> n=8
> (co=combn(n,2)) # 8人から2人選ぶ
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3
[2,] 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 4 5
[,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26] [,27] [,28]
[1,] 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7
[2,] 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8
> (pair=co[,-c(1,14,23,28)]) #(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)は除外して24通り
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3
[2,] 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 5 6 7
[,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24]
[1,] 3 4 4 4 4 5 5 6 6
[2,] 8 5 6 7 8 7 8 7 8
2^24=16777216通りの組み合わせ
77:１３２人目の素数さん
20/09/04 14:37:39.32 a8/P402N.net
>>75
2^24=16777216通りの組み合わせを総当りで求めたら４８通りが該当。
1,2がイナ夫妻の握手した人数
> SHAKES
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 3 3 0 6 1 5 2 4
[2,] 3 3 0 6 2 4 1 5
[3,] 3 3 1 5 2 4 0 6
...
..
[46,] 3 3 5 1 4 2 6 0
[47,] 3 3 6 0 4 2 5 1
[48,] 3 3 6 0 5 1 4 2
78:１３２人目の素数さん
20/09/04 18:11:05.32 gPAmKfac.net
１，２をイナ夫妻として握手した数が
[1,] 3 3 0 6 1 5 2 4
になる場合、どういう組み合わせになるかを図示してみた。
○が握手した組み合わせ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
79:１３２人目の素数さん
20/09/04 21:55:58 43QR7q9z.net
ちょっと簡単かもしれませんが。
人々のどんな集団にも、知り合いの人数が同数であるような2人がいることを証明せよ。
80:１３２人目の素数さん
20/09/04 22:16:48 3BRT5UXt.net
>>2
なんでもかんでも期待値って高校生までにしないか？
81:１３２人目の素数さん
20/09/04 23:42:57.39 4rR4gXNg.net
>>77
3 3 0 6 1 5 2 4
-------------------------------------
4 ○ ○ × ○ × ○ ＼／ C
2 × × × ○ × ○ ／＼ c
5 ○ ○ × ○ ＼／ ○ ○ B
1 × × × ○ ／＼ × × b
6 ○ ○ ＼／ ○ ○ ○ ○ A
0 × × ／＼ × × × × a
3 ＼／ × ○ × ○ × ○ D
3 ／＼ × ○ × ○ × ○ d
-------------------------------------
d D a A b B c C
82:１３２人目の素数さん
20/09/04 23:52:37 m8WbeDcC.net
>>7
83:8 n人の集団で可能な知り合いの人数は0～(n-1)人のnパターンだけど知り合いが0人の人と(n-1)人の人は同時に存在しないので、実際はn-1パターン 鳩ノ巣原理で同じ知り合いの人数の人がいる
84: 【大吉】
20/09/05 00:29:48 dUdze4CW.net
前>>27
>>70
4人のご夫人のうち少なくとも1人が潔癖症であったなら、パートナーである某氏はだれとも握手ができない。恵羅氏以外の7人が7様の答えをしたわけで、ある夫婦2人がともに0人というのはおかしい。つまりどちらかがうそを吐いている。うそを吐いてまでして2人の潔癖を守ったのだ。ああ、なんということだ。
また逢いたい。イナ氏はそう思た思う。
うーぬ。
―戻ってこいやああああ!!!
85:１３２人目の素数さん
20/09/05 00:58:11 r6wBA3+u.net
量子の世界では鳩ノ巣原理は成立しないという。
一つの巣箱に鳩を複数入れるのは動物虐待。
量子の世界は動物愛護の精神が活きているｗ
86:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/05 03:01:42 dUdze4CW.net
前>>82
>>83いい名前ですね。けど妻が潔癖症か否かにかかわらず、妻の名前を出す必要はないと考えます。すなわちあと3組の夫婦が夫婦別姓ではないと読みとれるからです。
87:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:57:04.32 BtVdvkls.net
定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。
定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。
定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。
88:１３２人目の素数さん
20/09/05 22:17:22.70 BtVdvkls.net
Rを木Tの任意のノードとする。
RからRを除くn-1個の各ノードへは一意的な道が存在する。
AをRとは異なる任意のノードとする。
R→…→A''→A'→Aという一意的な道が存在する。Aに辺A'-Aを対応させる写像φ : V(T) - {R} → E(T)を考える。
φは単射である。なぜなら、仮に、φ(A) = φ(B)となるような異なる2点A, Bが存在したとすると、
B = A'でなければならないが、道R→…→A''→A'→AのR→…→A''→A'がRからA' = Bへの一意的な道で
あるからφ(B) = φ(A') = A''-A' ≠ A'-A = φ(B)となって矛盾が発生するからである。
φは全射である。仮に、φ(A) = A'-AとなるようなノードA∈V(T) - {R}が存在しないような辺A'-Aが存在したとする。
RからA'、RからAへの一意的な道がそれぞれ存在する。これらの道には辺A'-Aは含まれていないことは明らかである。
RからA'への道、辺A'-A、AからRへの道を考えれば明らかなように、Tに閉路が存在することになってしまうが、これは
矛盾である。∴φは全射である。以上より、n-1 = #(V(T) - {R}) = #E(T)である。
>>85は多分このようなことを言いたいのだろうと推測しましたが、どなたか>>85の文章を解読
89:できる方いますか？
90:１３２人目の素数さん
20/09/06 17:19:01.13 dWdn/pAd.net
図のように半径2cmの円が6個あります。
となり合う円はすべてぴったりとくっついているとします。
周りにひもをたるまないようにかけました。
このひもの長さを求めなさい。
URLﾘﾝｸ(sansuu.ciao.jp)
91:１３２人目の素数さん
20/09/06 17:49:26.79 isWRzmyD.net
404ertor
92:１３２人目の素数さん
20/09/06 18:25:52.96 4dMTEbEd.net
>>87
円に接触している部分の紐の長さ: 2π r ( r = 2 cm )
(「接触円の中心」から「紐の上の点」に向かうベクトルがどう動くか考えれば分かる)
接触していない部分の紐の長さ: 6 * 2r
(見れば明らか)
以下略
93:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/07 01:32:21 Rhh6ozKP.net
前>>84
>>87
4×6+2π×2=24+4π
=36.5663706144……(?)
94:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/07 01:36:40 Rhh6ozKP.net
前>>90
>>87
円環状に配置したときがもっとも陣地は広くなる。葡萄島のとき、一個一個となりあわせで陣地広げるばかいないだろ。
95:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/07 01:38:22 Rhh6ozKP.net
前>>91
>>87
答え書き忘れた。
∴約36.566cm
96:イナ
20/09/07 01:58:14.82 Rhh6ozKP.net
前>>92
>>87
もし５つの円が円環状に並び、そのうちの１つが外側のもっともほかの円と離れるように外接円を持つならば、
4π+12+4×4sin63°=28.1303967111……
∴約28.13cm
97:イナ
20/09/07 02:01:31.01 Rhh6ozKP.net
前>>93どうせなら4人ぐらいで葡萄島やる場合の面積出す問題のほうが面白そう。
98:１３２人目の素数さん
20/09/07 06:30:58.74 CMvmi5X2.net
これが中学入試の問題なんだよなぁ。
鎖の形よらないのには驚き。
同じ大きさのコインが10枚あり，9枚は鎖状につながって並んでいます。
図のように，コインCを9枚のコインのまわりをすべることなく回転させます。
ただし，その途中で9枚全部に接していきます。
一周してもとの位置にもどるまでに，コインCは何回転するでしょうか。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
99:１３２人目の素数さん
20/09/07 07:16:19.73 5r3avP6+.net
n枚の輪なら(1+n/3)回転か
100:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:09:37.18 fJGlZI/f.net
2+n/3じゃない？
101:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:19:34.65 UDU7Cw0X.net
>>95
>>86 の考え方にちょっと加えると解ける。 >>96 の2倍になる。
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
102:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:23:20.55 UDU7Cw0X.net
間違えた。
2 * ( 1 + (n*π/3) / 2π ) で >>97 が正しい。
103:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:46:55.46 5r3avP6+.net
あーそっか
全体としての1回転もあるから(1+π/3)+1か
104:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:47:53.47 5r3avP6+.net
>>100
ミス
(1+n/3)+1
105:イナ
20/09/07 10:53:37.38 Rhh6ozKP.net
前>>94
>>95
コインCは5回転して戻ってくる。
∴公転周期が2年なら10年かかる。
106:１３２人目の素数さん
20/09/07 13:24:09.45 bE/6WhUJ.net
ま、がんばれ
107:イナ
20/09/07 14:45:37.92 Rhh6ozKP.net
前>>102訂正。
公転→好転
108:１３２人目の素数さん
20/09/07 20:54:03 Lx7mxSXy.net
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター
109:・フランクル翻案) 136p．2090円 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320013407 平面上のどの2本も平行でなく、かつどの3本の直線も一点で交わらないようなn本の直線によって決定される領域の個数を求めよ。 普通に解くのではなく、オイラーの公式を利用してください。
110:１３２人目の素数さん
20/09/08 02:30:38 kbnSLIZb.net
k本目の直線は既存の(k-1)本の直線と交わって、k個の区間に分かれる。
頂点が k-1個、面がk個増える。
v = n(n-1)/2, f = n(n+1)/2 +1
各直線は n-1本の直線により n個の区間に分かれる。辺は全部で
e = nn,
∴ v-e+f = 1, (オイラの定理)
111:１３２人目の素数さん
20/09/08 03:18:13.26 973PVe16.net
>>∴ v-e+f = 1, (オイラの定理)
そこの証明を与えてもしょうがない。
それを前提として
領域の数は幾つか、に答えよというのが問題の要求だから。
112:１３２人目の素数さん
20/09/08 05:13:57.52 GG08Xa93.net
>>102
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？
113:１３２人目の素数さん
20/09/08 06:34:41.36 T6m++LHC.net
>>108
いや、∴以降にミスがあるからいつもの芸風
蛇足の故事の好例とも言える
114:１３２人目の素数さん
20/09/08 11:03:27.39 dWTcoXOj.net
>>109
なるほど、自転と公転を入れ替えていたか、やはり、芸人の達人技だわｗ
115:１３２人目の素数さん
20/09/08 12:15:25.95 Notbor5C.net
自分で計算した答えがイナさんと一緒だと不安になるよね
116:１３２人目の素数さん
20/09/08 13:19:21.70 kbnSLIZb.net
云うまでもない
117:１３２人目の素数さん
20/09/08 14:05:16.14 kbnSLIZb.net
>>105
各直線は n-1本の他直線により n個の区間に分割される。
両端の半直線（「毛」と呼ぶ）を省いて n-2個の線分を残せば
閉グラフになり
v = n(n-1)/2,
e ' = n(n-2),
閉領域の個数はオイラーの定理により
f ' = e ' - v + 1 = (n-1)(n-2)/2,
また、半直線(毛)が2n本はえているから開領域の個数も2n。
よって
f = f ' + 2n = n(n+1)/2 + 1,
118:イナ
20/09/08 14:30:02.87 7aFL9ohG.net
前>>104
周期間違えて5年で帰ってきたりせんやろか。
119:イナ
20/09/08 14:33:23.02 7aFL9ohG.net
前>>114てかもう間違えてる余裕ないねん。
120:１３２人目の素数さん
20/09/09 11:45:42.65 g3fkRXpF.net
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
一見簡単そうに見えて、かなりの難問だと思った問題です：
3-正則グラフで1-因子を持たないグラフの例を示せ。
【注釈】
3-正則グラフとは、各点の次数が3であるようなグラフのことです。
1-因子とは各点の次数が1であるような全域部分グラフのことです。（完全マッチングをもつグラフのことです。）
121:１３２人目の素数さん
20/09/09 11:46:55.17 g3fkRXpF.net
訂正：
誤り：（完全マッチングをもつグラフのことです。）
正しい：（完全マッチングのことです。）
122:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:00:46.41 hzeH3t2o.net
k4は？
123:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:08:12 g3fkRXpF.net
>>118
K4は4-正則グラフです。
124:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/09/09 12:08:52 AqsC+8jW.net
前>>115前でいう婚活サイトってやつ。言葉にするとあまりに陳腐な物語だよね。
125:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:28:40.95 u2gPJGpS.net
なんで？
k4って各点から出てる分岐3でしょ？
126:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:30:23.45 g3fkRXpF.net
>>121
すみません。勘違いしていました。確かにK4は3-正則グラフですね。
でも、1-因子は明らかに持ちます。
127:１３２人目の素数さん
20/09/09 12:47:45.98 470oWf8o.net
玉3つのサクランボみたいなやつ。
128:１３２人目の素数さん
20/09/09 13:25:04 u2gPJGpS.net
持たない方か
129:１３２人目の素数さん
20/09/09 13:44:25.14 u2gPJGpS.net
┏┳┓
┣┫┣━A
┗┻┛
のコピー３つをAでつなぐ３つのふ房のうち２つはAとペアリングできない
Aとペアリングできない房は5頂点のグラフになるので内部で完全マッチングできない
130:１３２人目の素数さん
20/09/09 14:38:26.84 g3fkRXpF.net
>>125
正解です。
131:１３２人目の素数さん
20/09/11 02:15:15.67 V//8CgLy.net
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
2^n × 2^nのチェス盤から
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は
以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ
□
□□
132:１３２人目の素数さん
20/09/11 07:50:10.26 yotGmVhM.net
>>127
前スレで終わってる
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:964番)
133:１３２人目の素数さん
20/09/11 13:54:49.82 0C63YuRX.net
面白い問題見つけてきました。私も証明してみましたが、エレガントさに関しては模範解答に完敗してしまいました。
1から2nまでの整数のなかから任意にn+1個の数を選び出したとき、その中に一方が他方を割り切るような2整数が必ず存在することを示せ。
134:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:14:47.47 E85RL8Qh.net
1～2n の各数は、奇数または奇数と2の累乗の積として一通りに表わせる。
奇数は 1,3,5,････,2n-1 のn個だから、n組に分類される。
{1,2,4,8,････}
{3,6,12,････}
{5,10,････}
n+1個の数を選ぶと、ディリクレの部屋割り論法により、
2つは同じ組に属する。(終)
なお、n+1,n+2,････,2n のn個はすべて別の組に属する。
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
坂井公氏のHP
下の方にある「数理的ヒラメキで解くパズル」
問題１ (b)
URLﾘﾝｸ(www13.plala.or.jp)
問題３ (2)
135:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:28:25.71 E85RL8Qh.net
貼り直し…
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
136:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:42:45.38 E85RL8Qh.net
>>128
追加問題
[前スレ.988] のように
短辺が 1, 2, …, 2^{n-1} であるn個のL形に分解して、
それを更に分解したものに限るか？
[前スレ.994]
137:１３２人目の素数さん
20/09/11 19:11:10.02 xcUymbow.net
難しいと思いますが、一応出題しておきます。
以下の図の5個の単位立方体を横に5個重ね合わせた立体をSとする。Sの5×1のサイズの4側面の各々に、重複することなくすべて異なる色が現れるようにできるか？
できるならばどのように5個の単位立方体を配置すればいいか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
138:イナ
20/09/11 22:03:01.35 AaAozqQu.net
前>>120
>>133
同じ色が並んじゃうよ。
せやて五色しかないんやで？
139:１３２人目の素数さん
20/09/12 02:08:31.43 egxGbF63.net
>>133
bとwは計7つ消えないといけないが1,2,4からは一個ずつしか消せないから3,5から4個消さないといけない
∴ 3:wgry、5:ygrwが残る
124からはw2個、bygrが一個ずつ消えるがygrは1,2,4から1個ずつしか消せない。
1,2,4からygrのいずれが消えるのかで6通りの可能性があるが、それぞれb,wが一個、二個と消えるのは1からywが消える場合のみ
∴1:bbrgが残る
ここで(i)2:bwyg, 4:bwryが残る、(ii)2:bbyr,4:wwgyが残る
のいずれか
(i)のとき
1がbb
140:が繋がっているので2,4で残るbもつながる 2:bwygとしてよく、yが重ならないことから4:ybwrときまる y,rから5:wrgyと決まるが、3の入れようがなく不適 (ii)のとき 4:wwgyとして良い wの位置で場合わけして3:grywか3:rywgのいずれかしかないときまるが前者だと5の入れようがなく不適 ∴3:rywg、5:ygrwときまる この時1:grbb、2:bbyrと1:gbbr、2:brybはいずれも条件を満たす この２つの解にD4(4次二面体群)を作用させた軌道の全体が解である
141:１３２人目の素数さん
20/09/12 10:48:35.31 VwuHp4I5.net
>>135
ちょっとその解答は難しくて読む気がしませんが、ロバースの本にある解答は、グラフを利用して解くというものです。
ただ、グラフを利用するのが本質的なのかどうかが分かりません。単に、立方体を頭の中でイメージして回転したりさせるよりも、
グラフ上で考えたほうがそのような作業が不要になるから楽に解が見つかるというだけのことかもしれません。
あとでロバースらの解答をアップロードします。
142:１３２人目の素数さん
20/09/12 11:55:28.38 VwuHp4I5.net
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
これが解答です。
コンピュータを利用した機械的で効率的な解法に結びつきますか？
143:イナ
20/09/12 12:23:00.20 x2Xdx0G9.net
前>>134
>>133
ルービックキューブが3個。
消しゴムだな。消しゴム2個だな。
144:１３２人目の素数さん
20/09/12 17:07:58.37 m5tE+1+v.net
>>128
□
□□
2x2の4マスだと欠損がどこにあっても
100%設置可能はすぐわかる
2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと
欠損で35マス、3の倍数にならないから
設置不可能になるのもわかる
同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは
欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能
か否かもわかりません(>_<)
145:１３２人目の素数さん
20/09/12 17:46:19.14 FxdbcPio.net
>>139
10*10は出来るね
□□
□■
■■
□□
□■
■■
□□
□■
□■■□■□□■□□
□□□□■■□■■□
10*10の一部であるこれがこのように敷き詰められるから残りの部分に欠損が来るようにすれば、それは8*8に1つの欠損がある盤ってことになるから敷き詰め可能
146:１３２人目の素数さん
20/09/12 19:58:47.31 VwuHp4I5.net
まだ問題の意味も理解していませんが、解答が4ページにわたっているため難問だと推測します。
ロバースの本にはa_n = ***であることを証明せよとなっていますが、ノーヒントで出題することにします。
n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_nを求めよ。
147:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:05:18.83 VwuHp4I5.net
ラスロウ・ロバース他『入門 組合せ論』共立出版 (1985)
（秋山 仁＋ピーター・フランクル翻案) 136p．2090円
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
の問題の中で一番難しい、とっておきの問題だと思います。
この問題の後は、簡単な事実の紹介だけでこの本は終わります。
148:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:09:58.27 VwuHp4I5.net
今まで一度も数学書を最後まで読めたことはないのですが、ロバースらの本が最初の本になりそうです。
>>141の解答さえ理解すれば最後まで間違いなく読めるからです。
149:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:16:13.37 VwuHp4I5.net
解答がない場合には、明日、a_n = ***を書き込みします。それ以後はa_n = ***であることを証明せよという問題に変わります。
150:１３２人目の素数さん
20/09/12 21:26:08.46 VwuHp4I5.net
>>142
問題を解くことを完全に放棄して解答を理解するだけでも大変です。
翻訳書ということもあって、何が言いたいのか理解するのに時間がかかります。
151:１３２人目の素数さん
20/09/12 21:35:56.27 VwuHp4I5.net
>>142
解答の中に、読者自身検証せよという箇所を見つけてしまいました。
152:１３２人目の素数さん
20/09/12 21:55:27.23 QuubaIz4.net
答えはまぁ2n-4何だろけどな
153:１３２人目の素数さん
20/09/12 22:05:11.02 VwuHp4I5.net
>>147
素晴らしい！よく分かりますね。
ということで予定より早めて問題を変更します：
n≧4とする。
電話を通して、n人の人々の間でゴシップが広がるとする。n人の各自が、他人の知らない独自の情報をもっている。AとBの間の1回の通話で、
Aは自分の聞いたすべてのゴシップをBに伝え、Bも自分の聞いたすべてのゴシップをAに伝える。n人の人々の間で、すべてのゴシップが、すべての
人々に伝わるのに必要な最少通話数をa_nで表す。a_n = 2*n - 4であることを証明せよ。
154:１３２人目の素数さん
20/09/12 22:30:08.79 VwuHp4I5.net
>>148
今、この問題について調べたところ、1971年に証明されたとのことです。
155:１３２人目の素数さん
20/09/13 06:29:52.99 UZWmVIqP.net
a_(n+1)≦(a_n)+2はすぐ分かるからa_n≦2n-4は示せるけど、それが本当に最小かどうか示すのが難しそう
156:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:10:25.43 9e1zFJC9.net
>>150
ロバースの証明の「第1段」で、まさにその不等式からa_n ≦ 2*n-4を導いています。
a_n ≧ 2*n-4の部分が難しくてまだ理解できません。
157:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:23:50.28 tkLsIYig.net
>>141
各人を頂点とし、時刻tにi-jで通話がある時、i-j間にラベルtをつけた線を引いたグラフを考え、コレをGとする
時刻tの通話が終わった時点でvの獲得した情報をS(v,G,t)とする
nを頂点の数とし、辺の集合が2n-4未満の反例があるとして辺の数が最小となるもの(所謂最小反例)をとる
まず最小反例には二重辺がない事を示す
もしそうでないとしてvw間に二重辺があるとする
n=4なら辺の数が2n-4=4未満なら二重辺があると連結にすらならないのでありえない
そこで新しいグラフHをグラフGから頂点v,wを除き、新しい頂点xを追加し、辺は端点がv,wを含まないときはそのまま、いずれか一方のみがvかwのときはv,wに繋がってる端点をxに取り替え、両方ともv,wのときは完全に取り除く
コレで得られるHは頂点の数がn-1で辺が二個以上取り除かれている反例となり、nの最小性に矛盾
以上で二重辺がない事は示された
v-w1をラベル最小の辺としてv-w1、v-w2、‥v-wiをvに繋がっている辺全体としてラベルをt1<t2<‥<tiとする
この時新しいグラフHを頂点はvを取り除いたものとし、辺はvに繋がっているもの全部を取り除き、新たに辺w(ι-1)-wιを追加し、ラベルtιをのせる
このグラフはやはり反例を与えるのでnの最小性に反する
158:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:26:54.39 9e1zFJC9.net
n=4のときは、
{A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_4 ≦ 4
n=5のときには、n=4のときの前後に{A,E}を加えて、
{A1, A5}, {A1,A2}, {A3,A4}, {A1,A3}, {A2,A4}, {A1, A5}という通話列ですべてのゴシップがすべての人に伝わります。
a_6 ≦ 6
以下同様にして、n = k+1のときには、n = kのときの通話列の前後に{A1, A_{k+1}}を加えれば、
すべてのゴシップがすべての人に伝わります。
以上から、a_n ≦ 4+2*(n-4) = 2*n-4
159:１３２人目の素数さん
20/09/13 11:41:23.53 9e1zFJC9.net
>>152
多分あっているんだろうと思いますが、ジャッジできません。
多分、ロバースらの解答と同じ解答なのだと思いますが、ロバースらの解答も>>152もよく分かりません。
160:イナ
20/09/13 12:00:56.88 iSkccoE8.net
前>>138
>>133
〼〼〼｜１｜２｜３｜４｜５
上の面｜ｂ｜ｙ｜ｗ｜ｇ｜ｒ
手前面｜ｙ｜ｒ｜ｇ｜ｂ｜ｗ
下の面｜ｇ｜ｂ｜ｒ｜ｗ｜ｙ
向こう｜ｗ｜ｂ｜ｙ｜ｒ｜ｇ
あれ?!
161:イナ
20/09/13 12:13:55.48 iSkccoE8.net
前>>155
あってる。
2のｂｂがとなりあうのは構わない。
1×5の面が4つとも五色に並んでる。
162:１３２人目の素数さん
20/09/13 13:08:16.25 9e1zFJC9.net
>>141の解答です：
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
補題6.2.1が分かりません。通話列Tがm-1人のすべての情報をm-1人全員に伝えていることの理由が分かりません。
解説をお願いいたします。
163:１３２人目の素数さん
20/09/13 13:32:09.76 9e1zFJC9.net
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
>>141は1971年にR. Tijdemanにより証明されたそうです。
164:１３２人目の素数さん
20/09/13 14:54:46.96 Hz5TrQ09.net
>>133
プログラムで探索しました。
独立な配置法は下の4通りだと思われます。
[wgyb] [rbby] [yrgw] [bwrg] [gywr]
[wgyb] [bbry] [yrgw] [rwbg] [gywr]
[rgbb] [bbry] [gryw] [ywwg] [wygr]
[rgbb] [bbry] [yrgw] [wwyg] [gywr]
URLﾘﾝｸ(codepad.org)
165:イナ
20/09/13 18:06:42.24 iSkccoE8.net
前>>156
>>159俺のは2行目のと同じですね。
166:１３２人目の素数さん
20/09/14 07:07:55.71 WYuH7ljf.net
問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
解答
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
167:１３２人目の素数さん
20/09/14 07:10:31.92 WYuH7ljf.net
ツイッターのグラフ界隈すごい
168:イナ
20/09/14 13:22:54.34 CGhI7R45.net
前>>160
>>161
マッチが1本から2本に増えただけやないか。
向き互い違いにして、しかも1本目ちっとも動いてへんし。
問題は1本動かせってなってるやん。
4本じゃないし。1本のマッチ動かして4本の残像を描けってこと？
169:１３２人目の素数さん
20/09/14 15:14:54.18 Q8DBoOQp.net
欠損がセンター4マスに集中している時は
面積四倍サイズのL字に依存しなくても
敷き詰められる
□□□□
□■■□
□■■□
□□□□
170:１３２人目の素数さん
20/09/14 17:06:04.60 9be1kXTR.net
－ y ＋ 1 ⇒ ｜y｜－ 1
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。
－ y ＋ 3/2 ⇒ ｜y｜－ 3/2
先頭の横棒を縦にし、＋の縦棒を前にずらした。
ぜんぶで4本動かした。
171:１３２人目の素数さん
20/09/14 20:35:35.60 WYuH7ljf.net
ひらめき問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
172:１３２人目の素数さん
20/09/14 22:31:01.35 QeAeyuui.net
x^2/4+y^2/4+(1/2)xy sin135°
=(1/4)(x^2+y^2+√2)
=(1/4)(x^2+y^2-2xy cos135°)
=100/4
=25
173:イナ
20/09/15 00:46:32.75 6JJ/l/hr.net
前>>163
>>166
AB=x,CD=yとおくと、
x^2+(x+y√2)^2=100
2x^2+2xy√2+2y^2=100
x^2+xy√2+y^2=50――(イ)
△AED∽△BECで2△AED=△BECだから、
AD=5√2
△AED：△ECD=AE：EC=x：y√2
△AED：y^2/2=x：y√2
△AED=xy^2/2÷y√2=xy/2√2
△BEC=xy/√2
∴ABCDE=△ABE+△BEC+△ECD
=x^2/2+xy/√2+y^2/2
(イ)を代入し、
=25
174:１３２人目の素数さん
20/09/15 08:45:08.04 bL5lP9LW.net
>>108
イナ先生が速攻で正解を返してくるなんて芸風を変えたの？
175:１３２人目の素数さん
20/09/15 08:57:15.28 2vjgri5j.net
受験問題で答えだけ出せばいい場合ならとりあえずズルして答え出すけど、
ひらめき問題って書かれてるってことは何か簡単にわかる方法があるってことなんかなあ
176:１３２人目の素数さん
20/09/15 12:26:56.14 1vng8haY.net
自分は△ABEを右上Dまでスライドさせて
その形を4枚合わせて一辺10の正方形を作りました
177:１３２人目の素数さん
20/09/15 12:44:45.17 WFCqKuEo.net
なるほどなあ
それは気づかん
178:イナ
20/09/15 13:23:31.83 6JJ/l/hr.net
前>>168
>>169たまたまだよ。
今回も、チェバとメネラウスで遊びたかったけど答えが出てしもて。
179:１３２人目の素数さん
20/09/15 17:40:51.35 nZqXnV7+.net
BCの中点をMとすると AM=DM=5, ∠AMD=90°
A,M,Dを頂点とする正方形の残りの頂点をFとすると
⊿ABM≡⊿AEF, ⊿CDM≡⊿EDF
それぞれについて, 左辺を切り取って右辺に重ねることにより
(5角形ABCDE)=(正方形AMDF)=5^2=25
これなら割と簡単に思いつくのでは？
180:１３２人目の素数さん
20/09/16 18:27:04.63 s4jUziKT.net
∠CBD = β,
BC = 2R,
とおく。題意より
β + γ = ∠BEC = ε,
⊿ABC = AB･AC/2 = RR sin(2γ),
⊿BCD = BD･CD/2 = RR sin(2β),
ΔABE = AB^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2γ)}/tan(ε),
ΔCDE = CD^2 /(2tan(ε)) = RR{1-cos(2β)}/tan(ε),
この4つを足して2で割ると
S = RR{cos(ε) - cos(2ε)cos(β-γ)}/sin(ε),
181:１３２人目の素数さん
20/09/16 18:29:38.65 s4jUziKT.net
∠ACB = γ,
∠CBD = β,
BC = 2R,
とおく。題意より
β + γ = ∠DEC = ε,
でした。
182:１３２人目の素数さん
20/09/18 16:18:37.84 /92QSSlA.net
BA,CDを延長して交点をFとし（Eは⊿FBCの垂心）,
線分AF上にAG=ABとなる点G, 線分DF上にDH=DCとなる点Hを取ると
⊿ABE≡⊿AGE
⊿DCE≡⊿DHE
⊿EBC≡⊿GEF≡⊿HFE
(5角形ABCDE) [上の3種のパーツ1つずつ]
=(4角形FBEC)/2 「(上の3種のパーツ2つずつ)/2」
=((EF*BC)/2)/2 [BC⊥EF]
=((10*10)/2)/2=25
183:イナ
20/09/18 20:07:07.19 nQky0mGA.net
前>>173
やっぱり>>168が面白い。まともに三角形の相似で立式したら答えが出てしまってなにも遊ばせてもらえないところが、してやられた感が半端なく、面白い。
184:１３２人目の素数さん
20/09/19 00:42:02.20 FCAmp7bW.net
点AとDの組合せは一意じゃないんだな。
185:１３２人目の素数さん
20/09/19 09:20:36.07 XX0XTsF5.net
司法試験予備試験より
〔第 27 問〕
地球の大きさは，紀元前３世紀頃にエラトステネスによって初めて求められた。次の文章を読み，エ
ラトステネスが求めた地球の大円の円周の長さは，実際の長さの何％に当たるか，最も近いものを，後
記１から５までの中から選びなさい。
当時，エジプトのアレクサンドリアに住んでいたエラトステネスは，夏至の日に太陽が頭の真上から
7.2 度南に傾いて南中することを知った。その南方に位置するシエネ（現在のアスワン）では，夏至の
日に太陽の光が天頂から深い井戸の底を明るく照らすことが知られていた。エラトステネスは，これら
に基づいて，地球が球形であること，地球と太陽の距離は極めて遠いことを仮定し，地球の大円の円周
の長さを求めた。なお，シエネはアレクサンドリアの 925 ㎞真南にあるとする。
１．85％
２．95％
３．105％
４．115％
５．125％
186:１３２人目の素数さん
20/09/19 10:13:48.38 CPYAbOkn.net
925km × 360°/7.2°=46250km=40000km×115.625%
187:１３２人目の素数さん
20/09/19 10:48:00.59 WZ3aCitP.net
>>181
結局、地球の大円周の長さを知っているかを問う問題だよね。
188:１３２人目の素数さん
20/09/19 13:58:22.30 2G9kqk3E.net
法関係だし、メートル法の歴史についての知識を問う試験でね？
189:イナ
20/09/19 15:00:21.95 b/MR+79v.net
前>>178
>>180
地球の半径をrとおくとその外周は2πr=925×(360°/7.2°)
=46250(km)
地球の外周は北極と南極を結ぶ方向だと赤道よりやや短くなる。おそらく地球の自転により遠心力がかかり赤道上ではやや膨らんでるんだ。
それはさておき南北方向だと地球の外周は40009kmとのこと。
46250/40009=1.155……
∴4番 115%
190:１３２人目の素数さん
20/09/19 19:09:28.94 0zHXJRh+.net
URLﾘﾝｸ(benesse.jp)
ベネッセ 教育情報サイト(HP)
> 高校理科
> 地学基礎
> 【地球の概観と構造】エラトステネスの方法について
191:１３２人目の素数さん
20/09/19 19:56:34.24 0zHXJRh+.net
アレキサンドリア 北緯 31.20194ﾟN 東経 29.91611ﾟE
アスワン 北緯 24.08889ﾟN 東経 32.89972ﾟE
差 ⊿θ = 7.11305° ⊿φ = 2.98361°
URLﾘﾝｸ(jpn.timegenie.com)
URLﾘﾝｸ(www.kyorikeisan.com)
最短距離 843 km (大圏コース)
URLﾘﾝｸ(www.ic.daito.ac.jp)
を用いて赤道半径Rを推定せよ。
エラトステネス「俺もそれが欲しかったんだが～～～。ぐやじ～～～」
192:１３２人目の素数さん
20/09/19 20:00:40.70 0zHXJRh+.net
平均緯度 θ = 27.645° として cosθ = 0.88584
2つの都市は
東西方向に 0.052074 R cosθ ≒ 0.04613 R
南北方向に 0.12415 R
離れているので距離は 0.1324 R
赤道半径 R = 843/0.1324 = 6367 (km)
赤道一周 2πR = 40005 (km)
193:１３２人目の素数さん
20/09/19 20:00:40.74 0zHXJRh+.net
平均緯度 θ = 27.645° として cosθ = 0.88584
2つの都市は
東西方向に 0.052074 R cosθ ≒ 0.04613 R
南北方向に 0.12415 R
離れているので距離は 0.1324 R
赤道半径 R = 843/0.1324 = 6367 (km)
赤道一周 2πR = 40005 (km)
194:１３２人目の素数さん
20/09/20 00:06:03.37 UrPOHew+.net
> ai=31.20194
> ak=29.91611
> bi=24.08889
> bk=32.89972
> u=pi/180
> A=c(cos(ai*u)*cos(ak*u),cos(ai*u)*sin(ak*u),sin(ai*u))
> B=c(cos(bi*u)*cos(bk*u),cos(bi*u)*sin(bk*u),sin(bi*u))
> AB=sqrt(sum((A-B)^2))
> d=843
> # asin(AB/2)*2*R=d
> R=d/(asin(AB/2)*2)
> R
[1] 6366.11
> 2*pi*R
[1] 39999.45
>
195:１３２人目の素数さん
20/09/20 01:02:51.95 6H8HV866.net
alexandria = (31.20194, 29.916)
aswan = (24.08889,32.89)
geodesic = 843
toPos (latD,londD) = let
[lat, lond] = map (*(pi/180)) [latD ,londD]
in [(cos lat)*(cos lond), (cos lat)*(sin lond), sin lat]
angle pA pB = let
dist = sqrt $ sum $ map (^2) $ zipWith (-) pA pB
in 2*(asin $ dist / 2)
main = do
print $ (geodesic /) $ angle
(toPos alexandria) (toPos aswan)
----
6368.58913787278
196:１３２人目の素数さん
20/09/20 01:07:30.16 6H8HV866.net
あ、データ入れ損ねた
6366.109509462394
ですな
197:イナ
20/09/20 02:04:35.22 49gX0At+.net
前>>184
>>186
南北方向に一周40009km
赤道上を一周40075km
半径の比は、極：赤道上＝40009：40075
843kmと2地点の緯度、2地点の経度により赤道半径は一意に決まる。
同じ北緯なら半径は
198:同じなんだけど、 極と赤道で40075-40009=66(km)違う。 アレキサンドリアとアスワンでは緯度が違うから半径も違う。 アレキサンドリアの半径は北緯31.20194°だから、 40075-66×31.20194/90 アスワンの半径は北緯24.08889°だから、 40075-66×24.08889/90 おそらく球体上の正弦定理で、正確な値が出て、 40075kmに近い値になる。
199:１３２人目の素数さん
20/09/20 02:04:39.17 3qYR4XFp.net
実数 t の関数 F(t) を広義積分
F(t) := ∫[0,∞] cos(tx)/(1 + x^2) dx
によって定める。
F(t) = (π/2)*e^(-|t|)
となることを示せ。
200:１３２人目の素数さん
20/09/20 03:44:03.08 gg/g0yrZ.net
F(0) = ∫[0,∞] 1/(1+xx) dx = [ arctan(x) ](0,∞) = π/2,
t≠0 のとき
F "(t) - F(t) = 0,
F(t) = c1･e^t + c2･e^{-t},
201:１３２人目の素数さん
20/09/20 04:46:21.72 8kt/miKN.net
nを2以上の自然数とする
棒にランダムにn個の点を付ける(棒上一様分布)
それらの点を折る位置として、棒を折ったときに(n+1)角形を作ることが出来る確率を求めよ.
202:１３２人目の素数さん
20/09/20 06:04:26.39 gg/g0yrZ.net
赤道半径を R
極半径を 0.9966471893 R とする。
(扁平率 1/298.2572221)
緯度 31.20194ﾟN における断面の
半径r = 0.8545742 R,
赤道面からの距離 0.51758809 R,
緯度 24.08889ﾟN における断面の
半径r = 0.9124013 R,
赤道面からの距離 0.40792452 R,
2都市の距離 (大圏)
0.132420 R
R = 844.59 / 0.132420 = 6378.137 (km)
2πR = 40075.0167 (km)
203:１３２人目の素数さん
20/09/20 09:49:56.91 uENzqVui.net
>>195
n個の片方の端点からの距離をy1～ynとする
条件y1<y2<‥<ynを科しても確率は変わらない
n+1角形ができる条件はyn<1/2である
一方でn次元ユークリッド空間の領域xi>0,Σxi<1から一様に(xi)を選びy1～ynをyi=x1+～+xiと定めたとき、コレは測度空間の同型を与えるのでこちらで測ってよい
(xi)の中での全空間の方程式は
xi>0,Σxi<1
でありn+1角形ができない条件は
xi>0,Σxi<1/2
であるからn+1角形ができない確率は(1/2)^n
よって求める確率は1-(1/2)^n
204:１３２人目の素数さん
20/09/20 10:53:53.76 z/7h2q/b.net
>>196
楕円体上の測地線の長さはどうやって出したん？
205:１３２人目の素数さん
20/09/21 07:17:27.54 z8CeEVDW.net
測地線の長さ？
そのまま出したんぢゃ、このスレの趣旨にそぐわねゑ。
そこでまづ
楕円面Eの中心よりも 0.003118744609 R だけ南の点を中心とし、
半径が R' = 1.0007160850259 R である仮想球面Sを考える。
そうすれば、
EとSは、緯度 31.20194ﾟN と緯度 24.08889ﾟN で交わる。
仮想球面S上の測地線はもちろん大円だから、長さは
2R 'arcsin(直線距離/2R ')
アレキサンドリア と アスワン のの直線距離は
√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
= 0.1322268142 R
より測地線の長さ
0.1323231927 R
206:１３２人目の素数さん
20/09/21 07:27:36.29 z8CeEVDW.net
>>196
緯度 31.20194ﾟN における断面の
半径r = 0.854574209125 R,
赤道面からの距離 0.5175880864657 R,
緯度 24.08889ﾟN における断面の
半径r = 0.9124012924417 R,
赤道面からの距離 0.4079245187835 R,
赤道面からの距離の差
0.5175880864657 R - 0.4079245187835 R
= 0.1096635676822 R
赤道面に平行な距離は
0.0738771434106 R
∴ 直線距離は
√{(0.0738771434106 R)^2 + (0.109663567682 R)^2}
= 0.1322268142 R
207:１３２人目の素数さん
20/09/21 08:14:28.96 GoLLVbkI.net
>>199
その仮想球面上の測地線と元の楕円体の測地線はズレない？
208:１３２人目の素数さん
20/09/21 17:57:03.15 9fuAtvOs.net
>>197
素晴らしい
正解です
209:１３２人目の素数さん
20/09/21 19:54:32.81 z8CeEVDW.net
>>201
楕円面からちょとズレてる。そこで別法を････
楕円面の中心 O(0,0,0)
アレキサンドリア A(0.8534158039522 R, 0.0444808325706 R, 0.5175880864657 R)
シエネ S (0.9124012924417 R, 0 R, 0.4079245187835 R)
とすると、平面OASは
z = 0.447088893133175･x + 3.05829092742856･y
この平面と楕円面の交線 (大圏コース) に沿って移動すると
0.1323225665 R
こっちは楕円面上だけど、測地線からズレてる。
210:１３２人目の素数さん
20/09/21 20:10:37.12 Lnon6Ca0.net
>>197
なるほど
211:１３２人目の素数さん
20/09/21 20:21:23.77 2/p0yy8m.net
まぁ実際回転楕円体上の測地線を明示的に求めるのは無理なんだろな
オイラーラグランジュ方程式立式するのだけでもなんか難しそう
立ててもどうせ解けないんだろうと思うと立式してみるのも億劫になる
いい勉強にはなりそうだけど
まだ計算機で近似解求めるアルゴリズム作る方がやる気出るかな
212:１３２人目の素数さん
20/09/21 21:23:07.96 z8CeEVDW.net
Oの 19.89 km ほど南にSの中心 O ' がある。
O ' から楕円面 (緯度 24.08889° ～ 31.20194° の帯) までの距離は
R ' ～ R ' + 0.00001012393 R
の範囲に収まっている。
仮想球面Sが最も深い所は、緯度27.6657742°で
0.00001012393 R ≒ 64.5 m
一方、直線ASの深さは
R ' - √{(R ')^2 - (直線距離/2)^2} = 0.0021863157 R ≒ 13.94462 km
213:１３２人目の素数さん
20/09/22 01:21:57.97 g+LmSvak.net
>>199 と >>203 の差は
0.1323231927 R - 0.1323225665 R
= 0.0000006262 R
≒ 3.994 (m)
かなり小さい････
214:１３２人目の素数さん
20/09/23 09:30:18.66 63e1O9oo.net
>>203 を改良･･･
0.13232408676 R
0.13232408676 R - 0.1323231927 R
= 0.00000089406 R
≒ 5.702 (m)
215:１３２人目の素数さん
20/09/23 11:06:04.31 nbEKtL7T.net
この作業意味あんの？
ホントに測地線距離求めたかったらまずもって測地線求めないと
楕円体上の2点について、それらを結ぶ測地線は一般に同一平面にのらんのでは？
216:１３２人目の素数さん
20/09/23 12:22:10.81 63e1O9oo.net
仰るとおり。
この場合は変分法で数値的に詰めるのが早いと思う。
217:イナ
20/09/23 16:04:39.24 Z/4t2uW4.net
前>>192
やっぱり現地を歩いて測らないと。
伊能忠敬のように。
218:１３２人目の素数さん
20/09/24 08:17:50.82 d8GDYCSX.net
>>195
>>197
最大の辺は yn の右とは限らず、左端でも途中でもよいので
n+1 通りを全体から引いて
1-(n+1)(1/2)^n
が正解かな
計算で出すなら、yn の座標を棒の中点を原点に置き直して
中点 → 右端：0 → 1/2
左端 → 中点：1/2 → 1
とすると、n個の点がつねに連続となって
全体は xi>0,Σ(i=1～n)xi<1
除く領域は xi>0,Σ(i=2～n)xi<=1/2
と数式を修正でき、等しい値が求まる
219:１３２人目の素数さん
20/09/26 07:14:47.78 s7k88pKY.net
>>211
一定の歩幅で歩き、歩数から距離を測る「歩測」の手法が採られた。
精度は劣るが簡便。
近距離では使えそうだが････
220:１３２人目の素数さん
20/09/26 07:32:59.84 s7k88pKY.net
では遠距離では？
夜は天体観測で その地の緯度と方位を導き出した。
星が空に最も高く上る子午線通過時の高度を観測した。
その星と天の北極のなす角（既知）を差し引いて、
各地の緯度を算出。
深川(江東区) － 青森(上北郡)野辺地
間の距離を 146.6275 里 (= 575.846 km),
両者の緯度の差を 5.2°とし、
緯度１°= 28.1976 里 (= 110.740 km)
とはじき出した。
毎日夕刊 6/18, 8/20
１里 = 3.927272727 km
221:１３２人目の素数さん
20/09/26 10:17:10.86 s7k88pKY.net
江東区 深川 (35.6767°N, 139.7970°E)
青森県 上北郡 野辺地町 (40.8667°N, 141.1333°E)
緯度の差 ⊿θ = 5.1900°,
緯度 35.6767ﾟN における断面の
半径r = 0.81324708609 R,
赤道面からの距離z = 0.57996746854 R,
緯度 40.8667ﾟN における断面の
半径r = 0.75732020773 R,
赤道面からの距離z = 0.65085419012 R,
⊿r = 0.81324708609 R - 0.75732020773 R
= 0.05592687836 R
⊿z = 0.65085419012 R - 0.57996746854 R
= 0.07088672158 R
∴ ⊿θ による直線距離は
L = √{(⊿r)^2 + (⊿z)^2}
= 0.09029254133 R
= 575.8982 km
= 146.641 里
半径 R'= 1.001279775462 R の仮想球面上の
大圏コースの距離
2R'arcsin(L/2R') = 0.09032316316 R
= 576.0935 km
= 146.690 里
これを緯度の差 ⊿θ = 5.1900°で割ると
緯度１°= 111.000 km
222:１３２人目の素数さん
20/09/26 11:11:50.59 s7k88pKY.net
三角測量でも局地的に正確な地図は作れる。
しかし、それらをつなぐ際に歪んでしまう。
大域的に正確な地図を作るには天体観測によって
補正するのが有効と言われていた。
長久保赤水（1717～1801）の地図は天文学を取り入れた
ことで、日本で初めて経線と緯度が書かれたのが特徴。
「改正日本輿地路程 全図」(1779)
は庶民に広く流通した。
しかし、他人のデータの寄せ集めなので、
肝心要の所が抜けたり、つながりが悪かったりで、
精度はあまり良くなかった。
それを見て、どこを直せば良いか考えたのが
御隠居の伊能忠敬（1745～1818）
「大日本沿海輿地全図」(1821)
日経夕刊 5/14
223:１３２人目の素数さん
20/09/27 13:02:08.71 N42SrDUa.net
緯度 1" の距離
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)緯度
1 rad あたりの距離
ds/dθ = R(1-ee) / [1 - ee(sinθ)^2]^{3/2},
楕円面 rr + zz/(1-ee) = RR,
r = R cosθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
z = R(1-ee)sinθ / √[1 - ee(sinθ)^2],
赤道半径 R = 6378.137 (km)
離心率の2乗 ee = 0.006694380229
224:１３２人目の素数さん
20/09/27 13:33:57.15 N42SrDUa.net
1°の距離 ds/dθ
江東区 深川 110.953 (km/°)
青森県 上北郡 野辺地町 111.051 (km/°)
ds/dθ = 111.000 (km/°) となるのは
θ ≒ 38.186033°N
225:１３２人目の素数さん
20/09/28 18:24:35.10 9EdUIP0C.net
平面上に円のみ描かれている
コンパスによる作図のみでその円の中心を特定するにはどうしたらよいか？？
226:１３２人目の素数さん
20/09/28 19:16:30.40 ERZ/iLJA.net
へー
調べたら定規とコンパスで作図できる点はコンパスのみで作図できるという定理があるのか
227:１３２人目の素数さん
20/09/29 00:29:22.01 Q1LeNDVA.net
>>219
以下“作図可能”は“コンパスのみで作図可能”の意味とする
補題1
与えられた２点PQと自然数nに対し|RS|=n|PQ|となるRSを作図可能
∵) まずPQを一辺とする正三角形を作図し、その新たにできた辺を一辺とする正三角形を作図し‥とすれば良い
補題2
半径rの円と|PQ|=a<rである２点が与えられたとき、|RS|=a^2/rであるR,Sを作図可能である
∵) 円周上に3点R,X,Yを|RX|=|RY|=aであるようにとる
XYの中点をZ,RZを2:1に外分する点をSとする
これはX,Y中心の半径aの2円の交点のうちRでない方なので作図可能
容易にRS=a^2/rである事が確かめられる
主張
半径Rの円が与えられたとき|RS|=rであるR,Sをコンパスのみで作図可能である
∵) |PQ|=a<rである２点PQを任意に選ぶ
補題2により|XY|=a^2/rとなるように作図可能
自然数nをna^2/r>aとなるように選べば補題1により|ZW|=na^2/rとなるZ,Wが作戦可能
そこで再び補題2より|UV|=a^2/(na^2/r)=r/nとなるUVが作図可能
そこで再び補題1により|RS|=rとなるRSが作図可能
228:１３２人目の素数さん
20/09/29 03:00:45.10 qaL+uvMf.net
ツイッターで拾った問題です
三辺の長さがsin(π/7),sin(2π/7),sin(3π/7)である三角形の面積は√q(qはある有理数)となります
qを求めてください
229:１３２人目の素数さん
20/09/29 04:12:59.58 w8LGy5mW.net
a,b,cを3辺とする三角形の面積は
(1/4)√(-a^4-b^4-c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
一方でθ=π/7とおく
cosθ,cos2θ,cos3θは方程式
8x^4-8x^2+1=4x^3-3x
のx=1以外の3解だから
8x^3+4x^2-4x-1=0
の3解
sin^2(θ),sin^2(2θ),sin^2(3θ)は
-8(1-2x^2)^3-4(1-2x^2)^2+4(1-2x^2)+1
=64x^6-112x^4+56x^2-7=0
の3解でそれぞれa,b,cとすれば
a^4+b^4+c^4=21/4, a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=7/8
よって面積は
1/4√(-21/16+7/4)=(1/16)√7=√(7/256)
230:１３２人目の素数さん
20/09/29 04:30:42.90 w8LGy5mW.net
θ=π/7としてsinθ、sin2θ、sin3θ=sin4θの対角の大きさはθ、2θ、4θ
特に外接円の半径は1/2
よって面積は2R^2sinθsin2θsin4θ=(1/2)sinθsin2θsin4θ
f(x)=8x^3+4x^2-4x-1とおいて
7=f(1)=8(1-cosθ)(1-cos2θ)(1-cos4θ)
=64(sinθsin2θsin4θ)^2
∴ sinθsin2θsin4θ=(√7)/8
よって面積は(√7)/16=√(7/256)
231:イナ
20/09/29 11:31:08.11 h5tSBHnI.net
前>>211
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
232:１３２人目の素数さん
20/09/29 13:18:26.95 2o3yDcUF.net
正七角形と円周角を考慮すると
その三角形は複素平面で1/2,1/2ζ,1/2ζ^3と表せる
(ここでζ=exp(2πi/7)でありζ^7=1を満たす)
よってその面積Sは
S=1/2|Im(1/2ζ^3-1/2)(1/2ζ-1/2)*)
=1/8|Im(ζ^3-1)(ζ^6-1)|
=1/8|Im(ζ^2-ζ^3-ζ^6+1)
=1/8|(ζ^2-ζ^3-ζ^6-ζ^5+ζ^4+ζ)/(2i)|
ところで
(ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6)^2
=ζ^2+ζ^3-ζ^4+ζ^5-ζ^6-ζ^7
+ζ^3+ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7-ζ^1
-ζ^4-ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1+ζ^2
+ζ^5+ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2-ζ^3
-ζ^6-ζ^7+ζ^1-ζ^2+ζ^3+ζ^4
-ζ^7-ζ^1+ζ^2-ζ^3+ζ^4+ζ^5
=-6ζ^7+ζ+ζ^2+ζ^3+ζ^4+ζ^5+ζ^6=-7(ガウス和)
より
ζ+ζ^2-ζ^3+ζ^4-ζ^5-ζ^6は±i√7のいずれか(実際は+i√7)
よって
S=1/8|±√7/2|=√7/16、q=7/256
233:１３２人目の素数さん
20/09/29 15:29:08.58 /PIEwd8l.net
sin(7θ)/sinθ は θ = ±π/7, ±2π/7, ±3π/7 で 0 だから,
sin(7θ)/sinθ
= -64Π[k=1,3] {sinθ - sin(kπ/7)}{sinθ + sin(kπ/7)}
= -64Π[k=1,3] {(sinθ)^2 - sin(kπ/7)^2}
ここで θ→0 とすれば
7 = {8 sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7)}^2,
∴ sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7) = (√7)/8,
なお、sin(7θ)/sinθ = U_6(cosθ) = -f(cosθ) f(-cosθ),
234:イナ
20/09/29 17:47:50.20 h5tSBHnI.net
前>>225
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
q=7.53654936671
∴√q=2.74527764838
235:イナ
20/09/29 17:50:13.63 h5tSBHnI.net
前>>228訂正。
>>222
ヘロンの公式より、
√q=√s(s-a)(s-b)(s-c)
s=sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-a=s-sin(π/7)=sin(2π/7)+sin(3π/7)
s-b=s-sin(2π/7)=sin(3π/7)+sin(π/7)
s-c=s-sin(3π/7)=sin(π/7)+sin(2π/7)
s(s-a)=｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝^2
=3.84843290557
(s-b)(s-c)=sin^2(π/7)+｛sin(2π/7)+sin(3π/7)｝sin(π/7)+sin(2π/7)sin(3π/7)
=0.43388373911+0.76222933488+0.76222933488
=1.95834240888
∴q=7.53654936671
236:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:16:55.03 qaL+uvMf.net
ツイッターで拾った難問
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
237:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:20:05.70 qaL+uvMf.net
超難問
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
238:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:33:51.43 7o7qjIed.net
>>230
大先生曰く40°
239:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:41:33.14 8P7aC2kb.net
>>231
大先生曰くx=48°, y=48°
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
240:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:45:06.02 H0XxhsAZ.net
あれ？違った
どっちか0?
241:１３２人目の素数さん
20/09/29 21:55:40.79 Vgysrc76.net
違った
24°？
242:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:01:15.22 qaL+uvMf.net
>>233
上左側の角度は5度ではなく3度です
243:１３２人目の素数さん
20/09/29 22:17:57.21 aQanE+vW.net
81°っぽいけど大先生が断言してくれないorz
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
244:１３２人目の素数さん
20/09/29 23:13:34.89 lwPLpyVO.net
確認済み
x=81°
245:イナ
20/09/30 01:56:15.12 djx45CRe.net
前>>229
>>230
10°+30°=40°
∴a=40°
246:１３２人目の素数さん
20/09/30 08:34:49.73 b4OHFvZl.net
>>230
底辺を B(0,0) C(1,0) とする。
∠A = 60°, ∠B = 80°, ∠C = 40°
A (tan(40)/{tan(80)+tan(40)}, tan(80)tan(40)/{tan(80)+tan(40)})
= (0.12888640 , 0.73095110)
∠DBC = 30°, ∠DCB = 10°,
D (tan(10)/{tan(30)+tan(10)}, tan(30)tan(10)/{tan(30)+tan(10)})
= (0.23395556 , 0.13507430)
AC = 1.13715804
AD = 0.60506916
CD = 0.77786191
∠ACD = 30°
正弦定理から α = 40°
う～む
AB ⊥ CD を使うのかな？
247:１３２人目の素数さん
20/09/30 09:16:50.59 b4OHFvZl.net
>>231
底辺を A(0,0) B(1,0) とする。
∠A = 9°, ∠B = 75°, ∠C = 96° (=x+y),
C (tan(75)/{tan(9)+tan(75)}, tan(9)tan(75)/{tan(9)+tan(75)})
= ( 0.95928876 , 0.15193641 )
∠DAB = 3°, ∠DBA = 51°
D (tan(51)/{tan(3)+tan(51)}, tan(3)tan(51)/{tan(3)+tan(51)})
= ( 0.95928876 , 0.050274193 )
CD = 0.10166222
BC = 0.15729615
CD = 0.06469080
正弦定理から
y = ∠BCD = 15°
x = 96° - y = 81°
う～む
AB ⊥ CD を使うのかな？
248:イナ
20/09/30 10:01:48.91 djx45CRe.net
前>>239
>>231
x+y=96
x=72
y=24
249:１３２人目の素数さん
20/09/30 10:15:58.59 dwDIO/NM.net
xを決定する方程式は
sin(96-x)/(sin24 sin3) = sin(x)/(sin6 sin 51)
変形して
sin(96-x) sin6 sin51 = sin(x)sin24 sin3
変形すればtan(x)=...の形になるので(0,π)には唯一の解しかない
x=81のとき
LHS×4=cos198+cos120+cos48+cos30
RHS×4=cos162+cos144+cos30+cos13
∴ LHS×4-RHS×4 = cos48 + cos36 - cos12 - 1/2
cos12 = aとすればこの右辺の2倍は
16a^4+8a^3-16a^2-8a+1
一方でb=cos24+isin24の最小多項式は
(x^15-1)(x-1)/((x^3-1)(x^5-1))
=8(x^8+1)-4(x^7+x)-8(x^6+x^2)+4(x^5+x^3)+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4-8x^3-16x^2+8x+1
だからcos24の最小多項式は
16x^4+8x^3-16x^2-8x+1
250:１３２人目の素数さん
20/09/30 10:37:06.86 Ddbm6WmX.net
よくよく考えたらx=81よりy=15を求めた方が楽だったのかな？
251:イナ
20/09/30 20:56:51.41 djx45CRe.net
前>>239
CDを延長したらなんでABと直交するんだろ？ 不思議。
AD上に点Eをとり点Eを頂角として△EACを底角６°の二等辺三角形にすることはできる。
∠BCE=90°
BDの延長線がACとの交点をFとして∠BFC=60°
∠ABC=75°
だから∠BCE=90°
ここまでできたんだけどな。
252:イナ
20/09/30 23:58:34.86 djx45CRe.net
前>>245
y=90-75=15
または75-60=15
こういう図が描けないかな。
253:
20/10/01 00:07:22.72 ELrCrtVw.net
前>>246
>>231初等幾何的に解いたほうが面白いと思う。
254:１３２人目の素数さん
20/10/01 00:24:55.42 y94TMgfI.net
>>243
cos48+cos36-cos12-1/2=0を示せば十分
からは
=-2sin30sin18+cos36-1/2
=-cos72+cos36-1/2‥①
ここで底辺1/2, 底角が72°の二等辺三角形の斜辺はcos36であるが、一方の底角の二等分線と対辺の交点で1/2とcos72に分かれるから
cos36=cos72+1/2‥②
①②より主張を得る
でもできるな
255:１３２人目の素数さん
20/10/01 03:07:07.69 n2o6aWK1.net
辺長が１の正５角形ABCDEを考える。
頂点Aから対辺CDに垂線AHを下すと
CH = DH = 1/2,
B,EからAHまでの距離は
cos(36),
cos(72) + 1/2,
と2通りに表わせるから
cos(36) = cos(72) + 1/2 … ②
でもできるな
256:１３２人目の素数さん
20/10/01 04:51:30.46 8IQBPdv4.net
同じ事やん
257:１３２人目の素数さん
20/10/01 07:16:33.66 n2o6aWK1.net
そりゃ、正5角形では辺・対角線の交角が36°の倍数だから…
θ = 72° とおくと
cos(48) + cos(36) - cos(12) - 1/2
= cos(120-θ) + cos(180-2θ) - cos(θ-60) - 1/2
= - cos(2θ) - cosθ - 1/2
= - {cos(-2θ) + cos(-θ) + cos(0) + cosθ + cos(2θ)}/2
= 0,
でもできるな
* {2(2xx-1) +2x +1}^2
= (4xx +2x -1)^2
= {T_5(x) -1} / (x-1),
x = cos(72) とおくと
(4xx +2x -1)^2 = {T_5(x) -1} / (x-1)
= {cos(360) -1} / {cos(72) -1}
= 0,
258:１３２人目の素数さん
20/10/01 08:54:00.32 n2o6aWK1.net
>>240
AC = sin(B)/sin(A),
CD = sinβ/sin(β+γ),
ここに α = ∠CAD,
β = ∠DBC = 30°, γ = ∠DCB = 10°,
正弦定理
sin(150-α)：sinα = AC：CD,
より
1/tanα = AC/(CD･sin(30)) - 1/tan(30),
α = 40°
>>241
BC = sin(A)/sin(C),
BD = sinα/sin(α+β),
ここに α = ∠DAB = 3°, β = ∠DBA = 51°,
正弦定理
sin(156-y)：sin(y) = BC：BD,
より
1/tan(y) = BC/(BD･sin(156)) + 1/tan(156),
y = 15°
x = 96°- y = 81°
259:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:08:44.59 MUVtJ7n/.net
>>231
暇つぶしにプログラム組んで計算させてみた。
# y=tan(A)(x-a1)+a2 ,y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates -> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(rad=bac,deg=bac*180/pi))
}
c=koten(0,0,9, 1,0,180-75)
d=koten(0,0,3, 1,0,180-51)
B=1+0i
C=c[1]+1i*c[2]
D=d[1]+1i*d[2]
BAC(D,C,B)
実行結果
> BAC(D,C,B)
rad deg
0.2617994 15.0000000
260:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:43:03.29 MUVtJ7n/.net
>230
> a=koten(0,0,80,1,0,180-40)
> d=koten(0,0,30,1,0,180-10)
> A=a[1]+1i*a[2]
> D=d[1]+1i*d[2]
> C=1+0i
> BAC(D,A,C)
rad deg
0.6981317 40.0000000
261:１３２人目の素数さん
20/10/01 13
262::39:44.47 ID:bOWhBrvT.net
263:イナ
20/10/01 21:28:55.31 TNhXD1Hp.net
前>>247
>>230
50°+30°=80°
10°+30°=40°
頂角=180°-(80°+40°)=60°
各頂点から三又の分岐点までの直線を対辺まで延長し、交点を結ぶと相似な三角形の組が3対でき、
適宜メネラウスの定理を使い、αを頂角とする二等辺三角形が示せれば底角70°,α=40°となるんじゃないかと。
264:１３２人目の素数さん
20/10/02 02:53:12.68 /iB13sh9.net
>>255（補足）
>230の方は数値を変えて
> f(10,30,30,50)
x.degree y.degree
20 40
265:１３２人目の素数さん
20/10/02 09:11:44.19 e7myMRCF.net
てす
やっとソフバンスマホ全規制消えた？
測地線の求め方検索してもうた
1975年ですでにミリ単位まで計算できたのね
266:イナ
20/10/02 16:58:44.93 1rBMW50x.net
前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？
267:イナ
20/10/02 16:58:45.07 1rBMW50x.net
前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？
268:１３２人目の素数さん
20/10/03 00:29:58.61 /MzJzb3g.net
sin(A+Δ)sin(A-B+90)sin(B-Δ)
=sin(Δ-A+B+X)sinΔsin(90-A+B-X)
が成り立つとき
sin(B+Δ)sin(B-A+90)sin(A-Δ)
=sin(Δ-B+A+X)sinΔsin(90-B+A-X)
も成り立つ
(AとBを入れ替えた等式が同値になる)
269:イナ
20/10/04 05:20:09.85 ymdCvHZo.net
前>>259-260
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin75°
BC=sin9°/sin75°
270:イナ
20/10/04 05:32:34.62 lOQ61Aun.net
前>>262訂正。
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin96°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
AC=sin75°/sin 96°=0.97124641577……
271:イナ
20/10/04 18:47:39.29 09dHyTRo.net
前>>263
sin51°sin6°siny=sin3°sin 24°sinx
=sin3°sin 24°sin(96°-y)
=sin3°sin 24°(sin96°cosy-cos96°siny)
272:イナ
20/10/05 00:15:57.70 qBI2thnr.net
sin ^2y=0.2113248654
siny=√0.211324865
y=27.36……
y≒27.37°
273:１３２人目の素数さん
20/10/05 07:43:20.22 DjDaF11t.net
>>264
正弦定理
sin(51)/AD = sin(3)/BD,
sin(6)/CD = sin(x)/AD,
sin(y)/BD = sin(24)/CD,
を辺々掛けたのでござるか。
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
ここで
sin(96) = cos(6), cos(96) = -sin(6),
だから
1/tan(y) = {sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}･tan(6)
= 2 + √3,
tan(y) = 2 - √3 = {1 - cos(30)}/sin(30) = tan(15),
y = 15°
274:１３２人目の素数さん
20/10/05 08:48:38.19 DjDaF11t.net
>>265
{sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)) + cos(96)}sin(y) = sin(96)cos(y),
sin(96) = cos(6), cos(96) = - sin(6) を入れて
{sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}sin(6)sin(y) = cos(6)cos(y),
すなわち
(2+√3) sin(y) = cos(y),
両辺を2乗して
(2+√3) sin(y)^2 = (2-√3) cos(y)^2,
移項して
(√3){sin(y)^2 + cos(y)^2} = 2{cos(y)^2 - sin(y)^2},
√3 = 2cos(2y),
2y = 30°
y = 15°
275:イナ
20/10/05 19:59:33.12 qBI2thnr.net
前>>265なるほど>>266そうするのか。 >>231 AB=1とすると、 △ABCにおいて正弦定理より、 AB/sin96°=BC/sin9°=CA/sin 75° BC=sin9°/sin96°=0.1572961498…… CA=sin 75°/sin96°=0.97124641577…… △ABDにおいて正弦定理より、 AB/sin126°=BD/sin3°=AD/sin51° BD=sin3°/sin126°=0.06469079958…… AD=sin51°/sin 126°=0.9606052368…… △ADCにおいて正弦定理より、 AD/sin(96°-y)=CD/sin6° CD=ADsin6°/sin(96°-y) =ADsin6°/(sin96° cosy-cos96° siny) △BCDにおいて正弦定理より、 BD/siny=CD/sin24° siny=BDsin24°/CD =sin3°sin24°sin(96°-y)/sin126°ADsin6° =sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin126° =sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin51°sin6° =sin3°sin24°(cos6°cosy+sin6°siny)/sin51°sin6° =(sin3°sin24°cos6°/sin51°sin6°)cosy-(sin3°sin24°/sin51°)siny (sin51°-sin3°sin24°)siny/sin51°=(sin3°sin24°cos6°/sin 51°)cosy sin^2y=｛(sin3°sin 24°cos6°)^2+sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝/｛sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝ cos^2y=0.00624238744……/0.00669057069 =0.93301270238…… cosy=0.96592582654…… cos15°=0.96592582628…… ちょっと誤差があるけど、 y=15°
277:イナ
20/10/06 10:49:27.00 29WTz0Ux.net
前>>268
>>266-267は誤差がないっぽい。式変形で解いとるんだなぁ。
y=15°でぴったり決まっとんだなぁ。
278:１３２人目の素数さん
20/10/06 11:04:27.17 36hUS0F6.net
まぁホントはほとんどごまかしてるのが多いけどなww
279:１３２人目の素数さん
20/10/07 02:17:14.52 Lszlb2z1.net
一次方程式2+3=x×0を解きなさい。
280:イナ
20/10/08 03:09:25.41 PM1Dx4ug.net
前>>269
cosy=(√6+√2)/4
siny=(√6-√2)/4
とすると、
cos^2y=(8+4√3)/4^2=(2+√3)/4
sin^2y=(8-4√3)/4=(2-√3)/4
cos^2y-sin^2y=√3/2
(cosy+siny)(cosy-siny)=√3/2=cos30°=sin60°
281:イナ
20/10/08 03:16:57.66 PM1Dx4ug.net
前>>272つづき。
cos^2y-sin^2y=cos2yだから、
cos2y=√3/2=cos30°
2y=30°
∴y=15°
違うやん、仮定したで出ただけやん。
282:１３２人目の素数さん
20/10/09 23:06:43.31 V6dLSA61.net
立方体を対角線方向へ射影した図形は正六角形である
では4次元立方体を対角線方向へ射影した図形はどんな形になるか？
(ヒント:これは3次元図形でありwikiに名称のある多面体となる)
また、この多面体の体積は元の4次元立方体の超面(面といってもこれは立方体である！)の体積の何倍になるか？
283:１３２人目の素数さん
20/10/09 23:14:24.93 V6dLSA61.net
>>274
対角線方向へ射影という言い方がマズいですね
(一番長い)対角線に垂直な方向への射影です
284:１３２人目の素数さん
20/10/10 00:24:39.53 ypxIH+PT.net
四次元超立方体の16個の頂点は
(0,0,0,0),(1,0,0,0),‥,(1,1,1,1)
として良い
A=(1,0,0,0),B=(0,1,0,0),C=(0,0,1,0),D=(0,0,0,1)、
N=(1/2,1/2,1/2,1/2)
として超平面N・P=0への射影を考える
A～Dの射影をa～dとして
a=A-1/2N、b=B-1/2N
∴ |a|^2=3/4, a・b=-1/4
∴a,b,c,dは一辺の長さが√2の正四面体の頂点をなす
適当に回転させて
a(-1/2,1/2,1/2), b(1/2,-1/2,1/2), c(1/2,1/2,-1/2),
d(-1/2,-1/2,-1/2)
と座標をとりなおせは
a+b=(0,0,1),a+b+c=(1/2,1/2,1/2)
により求める図形は一辺の長さが1の立方体の各面に高さ1/2の四角錐を張り合わせたもの(名前知らん)
体積は1+1/6×6=2で元の超立方体の面の体積の2倍
285:１３２人目の素数さん
20/10/10 00:31:57.13 5lFT1DXK.net
>>276
はやい！正解です！
名称は菱形12面体と言うそうです
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
286:１３２人目の素数さん
20/10/10 02:50:42.25 68VlLUVE.net
形状はともかく
287:体積だけならすぐ求まるんだな d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい その内積は±1/√d 内積が+の面の影だけ考えればよい その数はdで総面積もd。 射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される ∴影の面積は√d
288:１３２人目の素数さん
20/10/10 18:46:55.57 5jdt9F4W.net
Z(>0)∋m，n m<n m≠1として
f(n，n)=f(n，1)=1
f(n，m)=m*f(n-1，m)+f(n-1，m-1)
で定義される関数fを求めよ。
289:１３２人目の素数さん
20/10/11 13:03:32.22 62L1pm5Q.net
第二種スターリング数
相異なるn個のものをm組に分ける方法の数
f(n,m) = (1/m!)Σ[L=0,m] (-1)^{m-L} C(m,L) L^n,
Σ[0≦m≦n] (m!/n!) f(n,m) x^n y^m = １/{1 - (e^x -1)y},
数セミ増刊：「数学100の問題」日本評論社 (1984)
p.58