20/10/20 16:34:52.97 RKLwuGgK.net
tan(6°/2)=tan3°= t と置くと、
tan6°=tan(2*3°)=2t/(1-t^2)
tan9°= tan(3*3°)=t(3-t^2)/(1-3t^2)
tan51°= tan(45°+6°) = (1+tan6°)/(1-1*tan6°)=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t)
五倍角の公式 tan(5x)=[tan(x)(tan^4(x)-10tan^2(x)+5)]/[5tan^4(x)-10tan^2(x)+1] に注意して、
tan75°=1/tan15°=1/tan(5*3°)=[5t^4-10t^2+1]/[t(t^4-10t^2+5)]
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°)
=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t) * t(3-t^2)/(1-3t^2)-(5t^4-10t^2+1)/(t^4-10t^2+5)
=(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
ここで、t=tan3°=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
を代入するのも一案だが、[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] の最小多項式を求めるべく、Wolfram大先生にお願いすると、
x^8 - 16 x^7 - 60 x^6 + 16 x^5 + 134 x^4 + 16 x^3 - 60 x^2 - 16 x + 1
であることを教えてくれる。目的の式の、分子第二因子に一致していることを確認して、
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°) = 0 が結論できる。