20/10/21 06:48:24.68 J6fhidiZ.net
>>356
とても明快な幾何学的証明に驚きました
(自分が用意していたのは線形代数的な証明だったので)
キーとなる正20面体の"外部"対称性が30本の小辺(いわゆる辺)と30本の中辺の入れ替えとして見れることに気づかされました
369:イナ
20/10/21 13:55:16.53 Cobd5QkN.net
前>>336
>>329
立体を直角になっている辺で切り開けば、
展開図が書ける。
1:2:√5の三角形を斜辺の中点を通る垂線を軸として水平に180°回転させれば、
展開図は一辺3の正方形になると考えられる。
3×3=9
ただし正方形になると考えられるだけで、それは俺もそう思う。
1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。
370:１３２人目の素数さん
20/10/21 14:57:48.84 +/Q8vM4I.net
よーく考えてみよう
何より「示されていない」と感じるのは時に「ほとんど当たり前の事を自分が気づけていないだけ」という事がままある事を肝に銘じよう
371:１３２人目の素数さん
20/10/21 15:42:21.74 SASUmGNf.net
>>359
>>334 嫁
372:１３２人目の素数さん
20/10/21 15:57:08.55 3Ebsz0Oy.net
tan3° の件、
30+45-72 (これが一番簡単なのかも)を思いつかなかった方向で解いてみる。
正五角形の対角線より sin18= (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2), sin36=..., cos36=...
3 = (60-36)/2^3 なので
sin3 = √[(1-cos6)/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+cos12)/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos24)/2])/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos60cos36+sin60sin36)/2])/2])/2] {差公式}
tan3 = sin3/√[1-sin3^2] = ...
＊Wolfram Engine (Alphaではない) にて確認 ＊
s18 = (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2) ;
s36 = 2*s18 * Sqrt[1-s18^2];
c36 = Sqrt[1- s36^2] ;
s3 = Sqrt[(1-Sqrt[(1+Sqrt[(1+c36/2+s36 Sqrt[3]/2)/2])/2])/2] // FullSimplify;
t3 = s3/Sqrt[1-s3^2] // Simplify
=> 図 {根号で表せる事だけ分かれば良い}
t3 - (2+Sqrt[3]-Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) / (1+(2+Sqrt[3]) Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) // FullSimplify
=> 0 { >>325 に一致する}
Tan[3*Pi/180] - t3 // FullSimplify
=> 0 {厳密に成り立っている}
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
373:イナ
20/10/21 16:02:50.99 Cobd5QkN.net
前>>359
>>334も同じことだけど、1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。答えは3×3=9だから9だと思う。∴9が示されたことと同じ。
374:１３２人目の素数さん
20/10/21 16:33:46.35 976WfypM.net
>>363
わかんないんだったら方眼紙買ってこいよ
一辺3センチの正方形書いて正方形書いて>>334の方法できって三角形4つ作る
そしてセロテープ持ってきて考えろ
頭で分からんなら行動しろ
375:１３２人目の素数さん
20/10/21 16:33:51.68 SASUmGNf.net
>>334の説明に従って図を書き、(3,3)近辺を凝視せよ
376:イナ
20/10/21 16:52:29.68 Cobd5QkN.net
前>>363
>>364
図を描いて３つの最鋭角を足したら90°になると思う俺と同じレベルだと言ってる。
数式の変形で示すのは難しいからね。
377:イナ
20/10/21 17:15:42.48 Cobd5QkN.net
前>>366
題意の立体を３つの直角が集まった頂点から切り開けば、
一辺3の正方形になるように見える。
それは俺も同じ。
３つ鋭角を足して90°になると示した人はいない。
1:2:√5の直角三角形の2つの鋭角をてれこに置き換えて辺がちょうど直線になるように見えるから仕方ない。
378:１３２人目の素数さん
20/10/21 18:27:05.00 I/drMn5h.net
>>367
ホントバカだなぁ
いつまでもいつまでも
「四面体をまず持ってくる
合わせて正方形になる事を示そう」
と思ってるからドツボにハマってるんだよ
>>334さんは
「まず正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
と言ってるんだよ
「便所の落書きに書いてるようなやつはバカだから証明に抜けがあるに決まってる」とか思ってるからいつまで経っても賢くならんのだよ
379:１３２人目の素数さん
20/10/21 18:45:06.74 SASUmGNf.net
>>366
aを1:3:√10の三角形の最小角とすると、tan(a)=1/3
bを2:3:√13の三角形の最小角とすると、tan(b)=2/3
cを√5:√10:√13の三角形の最小角とすると、tan(c)=7/9
aとbの正接が、1/3、2/3であるのは、説明不要だと思われるが、
cの正接が7/9 であるのは、
cos(c)=(10+13-5)/(2*√10*√13))=9/√130
sin(c)=√(1-cos^2(c))=[√(130-81)]/√130=7/√130 から確認できる
tan(a)*tan(b)+tan(b)*tan(c)+tan(c)*tan(a)=2/9+14/27+7/27=1 となるが、
cos(a+b+c)=cos(a)cos(b)cos(c){1-tan(a)*tan(b)-tan(b)*tan(c)-tan(c)*tan(a)}=0
なので、a+b+c=π/2
>>数式の変形で示すのは難しいからね。
面倒かもしれないが、やるべき事はストレートで、全く難しくはない。
380:１３２人目の素数さん
20/10/21 20:21:27.33 FlPXfVj3.net
>>368をもっと噛み砕いて言うと
①一辺が３の正方形を書きます
②正方形を>>334のように４つに分けます
③正方形にできた３つの直角三角形は、三角錐の３つの面とそれぞれ合同である
何故なら二辺と挟む角がそれぞれ等しいから
④残りの三角形は、三角錘の残りの面と合同である
何故なら三辺がそれぞれ等しいから
⑤正方形を分けてできた４つの図形が、三角錐の４つの面とそれぞれ合同なのだから、
正方形の面積と三角錐の表面積は等しい(ＱＥＤ)
381:イナ
20/10/22 05:28:31.79 /jlHfG8P.net
前>>367
1:2:√5の直角三角形、斜辺そのままで鋭角てれこで。
こう書けばわかるかな。
382:１３２人目の素数さん
20/10/22 07:25:25.16 tdAvlc8z.net
>>350
別にπなど持ち出さなくても2進法で内部計算しているから、計算機だと簡単な計算すら近似だよ。
> options(digits=20) #20桁まで表示を指定
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978
> # 二進法できりのいい数字だと
> (1.125-1)*8
[1] 1
> # 小数20桁まで2進法で表示すると1.2は循環小数になる
> dec62(1.2,2,20)
1.00110011001100110011
> dec62(1.125,2,20)
1.00100000000000000000
他の言語でも似たような結果になる。
383:１３２人目の素数さん
20/10/22 08:32:36.87 rkuhQVqa.net
本題から逸れるけど、
「まず3x3の正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
も言えるかな？
⊿AOE ≡ ⊿EO'A より O' (-3/5, 6/5)
４面体の頂点Fから下した垂線の足をF'とする。
AC ⊥ BE, F' はBE上にある。
CE ⊥ AD, F' はAD上にある。
EA ⊥ CO' F' はCO' 上にある。
∴ F' は AD, BE, CO' の交点。
AD, BE, CO' は△ACEの3本の垂線だから
その交点は△ACEの垂心H。
F' ＝ H (3/7,12/7)
この条件と EF=1, AF=2, CF=3 をみたす点Fは
(3/7, 12/7, ±6/7) に限る。
384:１３２人目の素数さん
20/10/22 10:10:21.50 NqyXdK+1.net
>>373
違う
そうとしか思えないのは完全な学力不足
上の方でみんながやってる代数計算が一つも理解できてないやろ？
高校の時の教科書引っ張り出して整式の計算のとこ読み直せ
それがまさに誤差なしで代数計算する方法の基本
そのレベルで落ちこぼれてるんじゃこの先何やってもしれてる
385:１３２人目の素数さん
20/10/22 12:44:17.69 tdAvlc8z.net
>>372
Haskell でも (1.2-1)×5は１に等しいか計算させる
main = print $ (1.2-1)*5==1
を実行すると
False
が返ってくる。
main = print $ (1.125-1)*8 == 1
は
True
計算機での結果が近似値になるのは三角関数を扱うからでも無理数を扱うからでもなくて2進法で内部計算するから。
ガロアも無理数も関係ない話。
一生理解出来ないのは気の毒だから教えてあげた。
386:１３２人目の素数さん
20/10/22 12:44:38.55 rkuhQVqa.net
>>373
B (1+(6/√13), -4/√13)
D (-1, 2)
に変えてみた。他は同じ
A(1, 0) C(3, 3) E(0, 2) O'(-3/5, 6/5)
ED = EO' = 1,
AB = AO' = 2,
CB = CD = √17
このとき
EF=1, AF=2, CF=√17 をみたす点Fを求む。
387:１３２人目の素数さん
20/10/22 13:08:21.53 LUfmFVkl.net
>>375
アホか
有理数計算パッケージがはいつてるんやろが？
388:１３２人目の素数さん
20/10/22 13:32:36.72 LUfmFVkl.net
import Data.Ratio
main = do
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Double)
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Rational)
----
False
True
389:イナ
20/10/22 15:44:36.69 /jlHfG8P.net
前>>371
>>329
sin18.435°=1/√10=0.31622776601(正弦定理)
sin52.125°=0.789352……=9/√130=(10+13-5)/2×√10×√13(余弦定理)
sin19.44°=余弦定理より
390:１３２人目の素数さん
20/10/22 16:13:20.68 LUfmFVkl.net
また小数点小僧に戻ったか
391:イナ
20/10/22 22:22:01.57 QsDJ+zv1.net
前>>379つづき。いまだかつてまともに式と計算で示した人がいただろうか。いや俺しかいない。
>>329
1:3:√10の直角三角形について、
正弦定理より1/sinA=√10/sin90°
sin∠A=1/√10=0.31622776601
∠A≒18.435°
√5:√10:√13の三角形について、
余弦定理よりcos∠B=(10+13-5)/2×√10×√13=9/√130=0.78935221737……
∠B≒52.125°
2:3:√13の直角三角形について、
正弦定理より2/sin∠C=√13/sin90°
sin∠C=2/√13=0.55470019622……
∠C≒19.44°
∠A+∠B+∠C=18.435°+52.125°+19.44°=90°
∴示された。
392:１３２人目の素数さん
20/10/22 23:00:05.43 hN8MluaB.net
>>378
有理数が返ってくるとは限らないとき
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Double)
False
を Trueに修正しようとしてもエラーがでた。
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Rational)
Error(s):
393:１３２人目の素数さん
20/10/23 00:04:38.55 H+rnOKG/.net
>>382
だからそんな方法じゃ無理なんだよ
数学者の作ったHaskellですらまだ代数計算をさせるには自分で作らないとできない
例えばこう↓
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
つまりは結局数学本体ができない限りなんもできん
計算機はあくまで煩雑な計算を代わりにやってくれる道具にすぎん
本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
394:１３２人目の素数さん
20/10/23 04:39:42.77 fvHcCtrC.net
>>383
Mathematica見た時はびっくりしたわ。
395:１３２人目の素数さん
20/10/23 18:34:55.60 H+rnOKG/.net
自分ができん積分計算を大先生がいとも簡単にやってしまう時の敗北感はどうよww
396:イナ
20/10/24 17:38:14.52 ppZN3X44.net
前>>381
>>310
x+y=92°
y=27°とすると、
ABとCDのなす角は76°と104°。
もっとちいさいかな？
397:イナ
20/10/24 18:00:20.43 ppZN3X44.net
前>>386
>>310
y=11°とすると、
ABとCDの延長線の交点をHとすると、
∠AHC=92°
∠BHC=88°
△ABC∽△CBH
∴y=11°
398:１３２人目の素数さん
20/10/25 07:38:31.96 z8EAEWc5.net
>>383
>本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
そうとは限らない。
整数からみだとシミュレーションで一般式を予想して数学的帰納法で証明というのもある。
399:１３２人目の素数さん
20/10/25 09:25:33.29 7K4Es2e4.net
数学できないのレベルが突き抜けすぎてるんだよ
整式の割り算の理論すら理解できてないんじゃなんもできんわ
400:１３２人目の素数さん
20/10/25 10:36:24.68 T/xDoF2e.net
少し難しめの面積の問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
401:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:36:26.78 gAbSh86+.net
>>390
正方形の1辺をa,
正方形の辺を底辺としたときの左と上の三角形の高さをb,cとする
求める面積は S = aa/2 - ab/2 - ac/2 = a(a-b-c)/2
a,b,cの間に以下の関係がある
① (a-b)^2+cc = 3^2
② bb+cc = 7^2
③ bb+(a-c)^2 = 11^2
(①-2×②+③)/4 より (aa-ab-ac)/2 = (3^2-2×7^2+11^2)/4 = 8
左辺はSに等しいので S=8
402:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:46:39.75 cx0U6oD/.net
>>390
長さの与えられた3つの線分の交点をPとおく
図の正方形の頂点をそれぞれA,B,C,Dとおく
ただし AP=7, BP=3, DP=11 とし, 正方形の辺の長さをxとおく
∠PAD = α, ∠PAB = β とおくと, α+β = π/2 ...(1)
△APDに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(α) = 72 ...(2)
△APBに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(β) = -40 ...(3)
(1)と(3) より
a^2-14*a*sin(α) = -40 ...(4)
(2)と(4) から a^2を消去すると a = 8/(sin(α)-cos(α)9 ...(5)
(2)と(5) から 2sin(2α)+7cos(2α)+6 = 0 ...(6)
(cos(2α))^2 + (sin(2α))^2 = 1 と連立して符号を考慮すれば
cos(2α) = -2*(21+√17)/53 ...(7)
よって, cos(α) = (11-2√17)/106 ...(8)
これを(2)に代入して xの2次方程式を解けば
x = (77-14√17 + √(818253 - 2156√17))/106 ...(9)
ということで 求めたいの面積を構成する三角形の3辺の長さが判明した
つまり,さっき求めたxと 残り2辺の長さが 3, 11 ということである
あとは三角形3辺の長さから面積を求める公式を用いればよい
403:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:50:51.09 cx0U6oD/.net
>>391
素晴らしい解法
逆にいうと平方根の平方根の平方根のとんでもない式が 8 に簡約されるのか
404:１３２人目の素数さん
20/10/25 14:04:09.79 2hlYWElQ.net
正方形の左下の頂点を O (0,0) 右上の頂点を (a,a)
交点を P (x,y) とおく。三平方の定理より
x^2 + y^2 = 11^2,
x^2 + (a-y)^2 = 7^2,
(a-x)^2 + (a-y)^2 = 3^2,
辺々引いて
2ax - aa = 7^2 - 3^2,
2ay - aa = 11^2 - 7^2,
交点は
P (x,y) = ((aa +7^2 -3^2)/2a, (aa +11^2 -7^2)/2a)
S = {aa - ax - a(a-y)}/2
= a(y-x) /2
= (11^2 -2･7^2+ 3^2) /4
= 8,
なお
a = √(65+7√17) = 9.6882268439236921
x = 6.908474663930875
y = 8.559963657506098
405:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:22:32.49 xJue4N58.net
>>388
複数の変数を動かして極小値を求めるなんてのも
>本人ができもしない計算をやってくれる
実例
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:90番)
406:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:27:28.37 sB67qvKm.net
>>395
だからそれも数値解でしかない
しかも計算機は数値解でない厳密解も出せる
使ってる人間にその能力があるならね
407:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:53:26.68 xJue4N58.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
と座標上に作図して最小二乗法でx,y,zの値を計算機に探索させてみた。
[1] 6.908475
> (y=opt$par[2])
[1] 8.559964
> (z=opt$par[3])
[1] 9.688227
面積をヘロンの公式で出すと
> ABC2S(B,P,C)
[1] 8.000001
無思考で近似値が出せた。
408:１３２人目の素数さん
20/10/25 1
409:8:23:30.38 ID:sB67qvKm.net
410:１３２人目の素数さん
20/10/25 18:58:43.05 nqw34NGs.net
>>398
乱数発生させてシミュレーションプログラムを組むのも楽しいからね。
411:１３２人目の素数さん
20/10/25 19:32:49.02 p+IpfstF.net
プログラムによる数値計算の解答にそんなに意味あるのか疑問
412:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:11:38.23 +sNrb48x.net
正の整数 n と関数 f:Z→R について次のような条件を考える。
(A) 整数 x_1, …,x_n が (x_1)^3 +…+ (x_n)^3 = 0 を満たすならば f(x_1) +…+ f(x_n) = 0.
この時、各 n に対して条件(A)を満たす f 全体からなる集合 V_n は、
関数の加法やスカラー倍を値の加法やスカラー倍により定めることで、実数体上のベクトル空間をなす。
つまり関数 f,g:Z→R について (f+g)(x)=f(x)+g(x) と、実数αについて (αf)(x)=α(f(x)) と定める。
6 以上の整数 n について、ベクトル空間 V_n の次元を求めよ。
413:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:47:27.71 T/xDoF2e.net
>>401
ウェアリング使うとdimVn=1(n≧9)はすぐ分かるか
414:１３２人目の素数さん
20/10/25 22:54:02.14 T/xDoF2e.net
ウェアリング使わなくてもn≧9のときは恒等式
k^3=(k-1)^3+(k-2)^3+(k-6)^3-(k-5)^3-(k-4)^3+1^3+2^3+3^3
を使えばdimVn=1が示せそう
n=6,7,8のときもこういう恒等式を見つける感じか
実験的には
「3以上の任意の正整数kに対してk^3は6個以下の絶対値がk未満の三乗和でかける」
が成立しそうだからdimV7=dimV8=2
同様にdimV6=3が言えそう
415:
20/10/26 00:26:18.00 COijmoNX.net
前>>387
>>390
正方形の一辺をxとおき、頂点から3,7,11でつながる分岐点と辺のもっとも短い距離をaとすると、斜辺3の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(9-a^2)
斜辺7の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(49-a^2)
この辺はx-√(9-a^2)とも表されるから、
x-√(9-a^2)=√(49-a^2)
辺々二乗してx^2-2√(9-a^2)x+9-a^2=49-a^2
x^2-2√(9-a^2)x=40―1.
分岐点を含む一辺xの直角二等辺三角形において、分岐点から遠い側の辺まで距離は√(49-a^2)
ピタゴラスの定理より49-a^2+(x-a)^2=121
x^2-2ax=72
ここから1.を辺々引くと2√(9-a^2)x-2ax=32
x√(9-a^2)-ax=16
ax=x√(9-a^2)-16
求める面積はx^2/2-ax/2-x√(49-a^2)/2
ax=x√(9-a^2)-16を代入しx^2/2-x√(9-a^2)/2+8-x√(49-a^2)/2
√(9-a^2)+√(49-a^2)=xだからx^2/2-x√(9-a^2)/2-x√(49-a^2)/2=0
∴求める面積は8
できちゃったよ。完璧だよ。
416:１３２人目の素数さん
20/10/26 00:52:12.93 CzRFy8fL.net
>>390みたいな問題はなるべく図形的に解いてほしいんだけどな・・・
417:１３２人目の素数さん
20/10/26 06:56:06.35 /PPl0lvR.net
>>397
問題の数値を変えて最小二乗法でPCに探索させた値と厳密値を比較してみた。
> Fn(7,11,3)
近似値 厳密値
8.000001 8.000000
> Fn(3,4,5)
近似値 厳密値
5.75 5.75
> Fn(6,7,8)
近似値 厳密値
10.25 10.25
> Fn(7,8,9)
近似値 厳密値
11.75 11.75
わりと好成績。
418:１３２人目の素数さん
20/10/26 07:00:19.17 CzRFy8fL.net
>>403
ちょい改良
k^3=(k-1)^3+(k-3)^3-(k-5)^3-(k-7)^3+(k-8)^3+2^3+4^3
これでdimV8≦2
419:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:04:33.82 poLVk42H.net
>>403 >>407
n≧8 については正解でいいかな
お察しの通り、そんな感じでうまい具合に恒等式（や、必要であれば帰納法の使い方）を見つける問題です
420:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:11:51.40 +5erX0Ub.net
dim V8は1? 2?
421:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:14:40.34 poLVk42H.net
あ申し訳ない、下界がまだだったね
n≦8 については Vn を張る関数の組の明示と、証明もよろしく
422:１３２人目の素数さん
20/10/26 13:41:12.20 poLVk42H.net
まあいいやここは自分でやろう
n=8 の時 V_n の基底として
f(x)=x^3
g(x)=(x^3 mod 9)
をとることができる。
ただし(x mod 9)は x-y が9で割りきれ、かつ -4≦y≦4 を満たすような唯一の整数 y とする。
fが条件(A)を満たすこととf,gの一次独立性は明らか。
g が条件(A)を満たすことは以下ようにしてわかる。
もし (x_1)^3 +…+(x_8)^3 = 0 なら、f_2 の定義から
S := f_2(x_1) +…+ f_2(x_8) が9で割りきれることがわかる。
しかし実際のところ f_2(x) がとり得る値は 1,0,-1 しかないので -8≦S≦8.
ゆえに S=0 になるしかない。
423:１３２人目の素数さん
20/10/26 13:42:42.78 poLVk42H.net
>>411
ミスった、途中の f_2 は全て g に変換して読んでください
424:イナ
20/10/26 14:49:07.76 COijmoNX.net
前>>404
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin 92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17°=0.95630475596……
cos18°=0.95105651629……
cos17.23°=0.9551233988……
y≒17.23°
425:１３２人目の素数さん
20/10/26 21:00:26.36 CzRFy8fL.net
>>407
改良
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
これでdimV7≦2か
426:１３２人目の素数さん
20/10/26 23:59:59.26 CzRFy8fL.net
>>411
これは思いつかないな
自分は何となくf(2)の自由度があると思ってただけで
これでdimV6～V8≧2も分かるか
しかしこれをあっさり教えてくれたということはn=6のときもまだ山があるんだろうね
>>414
この方針ではこれ以上うまくいかないな
定数項がゼロになる非自明な関係式はないことが解と係数の関係から証明できてしまう
次元の上からの評価もきっと上手い他の方法があるんだろう
427:１３２人目の素数さん
20/10/27 00:55:41.64 Dq0YITit.net
dim V7=2 はいけてるやろ
まず3^3～12^3までの立方数は絶対値がそれ以下の立方数の6個以下の和で表さすことができる
main = print $ map(sum . (map (^3))) [
[1,1,1,2,2,2],
[-2,-2,-1,3,3,3],
[-3,2,2,2,4,4],
[-5,0,3,4,5,5],
[-6,-1,4,4,6,6],
[-4,-4,-2,6,6,6],
[-8,-5,-1,7,8,8],
[-9,-4,-2,7,9,9],
[-10,-7,6,9,9,10],
[-11,-1,0,9,10,11]]
----
[27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728]
よってf(3)～f(12)の値はf(1)とf(2)の値で決まる
さらにf(12)以降の値も>>414によりf(1)～f(12)の値できまるからf(1),f(2)の値で全て決まってしまう
もう残るはdim V6だけでしょ？
428:１３２人目の素数さん
20/10/27 01:03:26.25 Dq0YITit.net
あれ？>>414使えば
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
のk = 6のときと条件より
f(7) = f(5) + f(4) + f(-5) + f(-4) - f(1) + f(6)
以下同文だからf(3)～f(6)までがf(1),f(2)できまること確認すれば十分だった
429:イナ
20/10/27 07:20:53.68 0/ovOpqY.net
前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765°
430:イナ
20/10/27 07:20:53.68 0/ovOpqY.net
前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765°
431:１３２人目の素数さん
20/10/27 09:51:43.46 u6xdTAW5.net
>>417
n=7 も正解。お見事
さて n=6 はどうなる…
432:１３２人目の素数さん
20/10/27 10:14:27.93 ovdl5acI.net
基本戦略は同じだろうけど>>414みたいな(k-a)みたいな形は無理みたいだな
多分
(12k+r)^3=(10k+a)^3 + (9k+b)^3 - (k+c)^3 + d^3
がkについての恒等式になるようなa,b,c,dをr≡0～11 (mod 12)である12個組のrについて見つければ上から評価ができるんではないかと予想
433:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:24:06.44 L9jX0otm.net
>>416
すまん明言してなかったけどn≧7はよくてn=6は別の方法が必要そうだということが言いたかった
>>421
もちろんそれ系も試した
12^3=10^3+9^3-1^3
6^3=5^3+4^3+3^3
の4つ組の利用は出来ない、なぜなら
(Rk+r)^3=(Ak+a)^3+(Bk+b)^3±(Ck+c)^3+定数
が成立する条件の1つとして
RA(Ar-Ra)^2+RB(Br-Rb)^2-AB(Ba-Ab)^2=0
が出るけど、これから、ある素数pについて
p|Rかつp^2|Bかつp|Aでもp^2|Rでもないときp|r
が分かるので
R=12のときrは3の倍数
R=6のときrは2の倍数
でないとabcの整数解は存在しない
ちなみに
k^3=(k+a)^3+(k+b)^3+(k+c)^3-(k+d)^3-(k+e)^3
という形の恒等式が自明なものしかないことの証明は
このk^2,k^1,k^0の係数を比較すると
{a,b,c}と{0,d,e}の各和,2乗和,3乗和が等しい必要があり
これは{a,b,c}と{0,d,e}の基本対称式の一致を意味し
解と係数の関係から集合として{a,b,c}と{0,d,e}は一致する
(このとき恒等式は自明なものになる)
434:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:28:08.77 L9jX0otm.net
>>414
ちなみにこの形の完全な一般形は
(X+ab+cd)^3+(X+ad)^3+(X+bc)^3-(X+ad+bc)^3-(X+ab)^3-(X+cd)^3=3abcd(a-c)(b-d)
435:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:49:33.68 Dq0YITit.net
dim V6=∞だったりして
436:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:06:33.96 Dq0YITit.net
閃いた
(2x+1)^3-(2x-1)^3+(x-4)^3-(x+4)^3+5^3+1^3=0
437:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:26:04.75 L9jX0otm.net
奇数はそれでいけるな
4の倍数は
(4k)^3=(3k)^3+(3k)^3+(2k)^3+k^3+k^3
でいけるから
(4k+2)^3=(4k-2)^3+(k+32)^3-(k-32)^3-65520
あとは65520が立方数の和なら・・・
438:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:51:50.59 Dq0YITit.net
>>426
いや、4の倍数がいけてるなら4x+2は
(4x+2)^3-(4x-2)^3+(2x-8)^3-(2x+8)^3+10^3+2^3=0
でいいやん
439:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:58:47.81 L9jX0otm.net
>>427
そうじゃん！
あとはf(3)に対応するV6の基底のみか
440:１３２人目の素数さん
20/10/27 20:02:48.67 Dq0YITit.net
いや、とりあえずdim V6≦3が言えただけで3かどうかわからんやろ
スボラディックに出てくるリレーション全部合わせたら結局2次元でしたもありうる
441:１３２人目の素数さん
20/10/27 21:51:31.59 L9jX0otm.net
mod 63でやればいいのか
442:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:06:09.62 L9jX0otm.net
いやmod7でいいのか
V6の基底として
h(x)=(x^3 mod 7)
をとる
ただし0,±1から代表を選ぶ
もし (x_1)^3 +…+(x_6)^3 = 0 なら、hの定義から
h(x_1) +…+ h(x_6) が7で割りきれることがわかる。
しかし代表の取り方からこれはゼロでなければならない
443:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:16:04.23 Dq0YITit.net
>431
おぉそれでいけてるね
444:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:27:48.14 L9jX0otm.net
フタを開けてみれば>>411そのままだったわけだ
上から評価の恒等式も結局は>>425のようにシンプルな和差でやればよかったわけだし、いろいろ難しく考えすぎてしまった・・・
445:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:08:17.10 VQNToa0P.net
>>431
正解です。素晴らしい
ちょっと焦って序盤にヒント出しすぎたかな…
あとは n≦5 について考えるのもいいけれど、出題者は答えを持ってないので挑むなら気をつけて…
(n≦3 はフェルマーの最終定理からわりとすぐ答えは出るから実質 n=4,5 のみ)
446:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:12:00.23 Dq0YITit.net
イヤ、これくらいのヒントでちょうどいい
これより手間かかると考える気無くすよ
みんなで考えて2、3日で答えが出るくらいがちょうどいい
447:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:33:46.65 L9jX0otm.net
>>434
有名な問題なんですかね
出典あれば教えてください
448:１３２人目の素数さん
20/10/28 00:35:44.75 zKGHNosp.net
>>436
いや、先に問題を思いついてこねくりまわして結果が得られた部分だけ出題した感じだから
出典はないんだ、すまんな
ちょうどいい難易度になったなら良かった
449:１３２人目の素数さん
20/10/28 00:39:25.97 3BqdbK1h.net
すごいな
こんなにいい問題なかなか作れない
450:１３２人目の素数さん
20/10/28 13:32:21.86 P0pwA8LD.net
【たばこ】喫煙率 男女合わせて16.7％(男性27.1％ 女性7.6％) 調査開始以降最低に [ばーど★]
厚生労働省は去年11月、全国の20歳以上の男女およそ5700人を対象に、生活習慣などを調査しました。
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
対象となった５７００人の男女比を求めよ。
451:１３２人目の素数さん
20/10/28 17:15:42.38 P0pwA8LD.net
>>419
延々と計算を続けるイナ氏には脱帽。
452:１３２人目の素数さん
20/10/28 19:59:16.86 P0pwA8LD.net
>390を契機にこんな問題を考えてみた。
自作につき正解はもっておりませんのであしからず。
AB=l,BC=mの長さの長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積lmとPDの長さを求めよ。
453:イナ
20/10/28 21:51:45.24 D1fT77pb.net
前>>419
>>441
PD=√(18l+m)
初動捜査の結果だ。勢いで出した。あってるかはわからん。
454:１３２人目の素数さん
20/10/28 22:23:54.15 h08IxI/j.net
>>442
PD=√(PA^2-PB^2+PC^2)=√18だと思う。
面積はよくわからん。
455:１３２人目の素数さん
20/10/29 01:57:32.65 JZmjW2qA.net
A (0,0)
B (l,0)
C (l,m)
D (0,m)
P (x,y)
とおく。ただし
x = (l-7/l)/2, (√7 < l < 7)
y = (m-9/m)/2, (3 < m < 9)
x^2 + y^2 = PA^2 = 3^2,
PD = √{x^2 + (m-y)^2}
= (1/2)√{(l-7/l)^2 + (m+9/m)^2},
456:１３２人目の素数さん
20/10/29 08:51:37.36 qyMU3NEz.net
>>441
変数の数から一意には定まらないのでは？
457:１３２人目の素数さん
20/10/29 09:09:42.27 qyMU3NEz.net
問題改題
長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積の最大値と最小値を求めよ。
458:イナ
20/10/29 11:45:49.44 GxVEasCu.net
前>>446
>>442
最小値l=√(4^2-3^2)=√7
m=3+√(5^2-7)=3+3√2
lm=3(1+√2)√7
459:１３２人目の素数さん
20/10/29 12:02:09.48 JZmjW2qA.net
改題されたんぢゃ 生姜ねぇ…
l = (9+10√2)/√17 = 5.6127923
m = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174
のとき最大
lm = 3(5+4√2) = 31.970563
このとき
x = (l - 7/l)/2 = 9/√17 = 2.1828206
y = (m - 9/m)/2 = (6√2)/√17 = 2.057983
(l + 7/l)/2 = (10√2)/√17 = 3.4299717
(m + 9/m)/2 = 15/√17 = 3.6380344
PD = 3√2 = 4.2426407
∠PBA = ∠PDA = arcsin(3/√34) = 30.9637565°
∠PBC = ∠PDC = arccos(3/√34) = 59.0362435°
∠PAB = ∠PCB = arccos(3/√17) = 43.3138567°
∠PAD = ∠PCD = arcsin(3/√17) = 46.6861433°
∠APB + ∠CPD = ∠APD + ∠BPC = 180°
460:１３２人目の素数さん
20/10/29 14:39:04.74 z2jmRItd.net
>>446
a=3 ; b=4 ; c=5として
x<m, y<l
x^2 + (y-l)^2=a^2 (1)
x^2 + y^2 =b^2 (2)
(x-m)^2 + y^2=c^2 (3)
が成立するときのl*mの最大値を求める計算になるので
(1)-(2),(3)-(2)の連立方程式を解いて
lm=(y+sqrt(y^2+a^2-b^2))*(x+sqrt(x^2+c^2-b^2))
(2)からx=b*cosθ, y=b*sinθとおけるので
lm(θ) = (b*sin(θ)+sqrt((b*sin(θ))^2+a^2-b^2))*(b*cos(θ)+sqrt((b*cos(θ))^2+c^2-b^2))
この最大値を求めると
θが
[1] 1.03037
のとき
[1] 31.97056
461:１３２人目の素数さん
20/10/29 14:50:27.94 z2jmRItd.net
数値を変えて計算させてみた。
> f(3,4,5)
l m Area
1 5.612759 5.696051 31.97056
> f(4,5,6)
l m Area
1 7.042527 7.096993 49.98076
> f(5,6,7)
l m Area
1 8.465368 8.503645 71.98648
462:イナ
20/10/29 21:22:28.67 Isupb/V3.net
前>>447
>>446
点Pが長方形の上辺AD上に来たとき、
AP=3
AC=√(4^2-3^2=√7
PC=√(5^2-7)=√18=3√2
ABCDの面積lm=AC×AD=√7(3+3√2)
=3(1+√2)√7
=19.1622260935……
これが最小値か？
点PとADの距離をaとおくと、
点PとABの距離は√(9-a^2)
ピタゴラスの定理よりl-a=√｛4^2-(9-a^2)｝=√(7+a^2)
点PとCDの距離は√｛5^2-(7+a^2)｝=√(18-a^2)
lm=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=√(9a^2-a^4)+√(18a^2-a^4)+√(63+2a^2-4a^4)+√(126+11a^2-4a^4)
微分してlm'=0となるaの値を探る。
√(36a-4a^3)(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(18a-4a^3)
(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(63+4a-4a^3)=0
0＜a＜3より9-2a^2=0
a=3/√2=3√2/2
lm=｛3√2+√(7+9/2)｝｛√(9-9/2)+√(18-9/2)｝
=(3√2/2+√46/2)(3√2/2+3√6/2)
=3(√2+√46)(√2+√6)/4
=3(1+√23)(1+√3)/2
=23.7517592907……
これが最大値か？
だめか、31超えるのか。
63+4a-4a^3=0と63+11a-2a^3=0がまだ可能性ある。
463:イナ
20/10/29 21:27:33.85 Isupb/V3.net
前>>451一部とり下げ。
lm'=0にならないから違う。
464:イナ
20/10/29 23:33:44.00 Isupb/V3.net
前>>452
>>446
最小値=3(1+√2)√7=19.1622260935……
最大値は、
a+√(9+a^2)=√(9-a^2)+√(16-a^2)
a^2=328-√(328^2-65×1600)
=(328-√3584)/65
=(328-16√14)/65
a=√｛(328-16√14)/65｝
一辺=a+√(9+a^2)= √｛(328-16√14)/65｝+√｛9+ (328-16√14)/65｝=5.65390392093……
面積=31.9666295471……
465:１３２人目の素数さん
20/10/30 00:26:38.46 NYoUhiCM.net
>>448
偶然だろうけど、lとmはかなり近い。(～1.5%)
そこで l=m とおいてみると
l = m = √(17+4√14) = 5.653904
lm = 17+4√14 = 31.96663
x = (l-7/l)/2 = 2.2079107
y = (m-9/m)/2 = 2.0310417
466:１３２人目の素数さん
20/10/30 07:27:51.10 8gUrz52z.net
>>454
正方形が最大にはならないのは興味深いな。
PA=3,PB=4,PC=10として>449の式を使って計算させると
> f(3,4,10)
l m Area
1 6.602385 10.38634 68.5746
と出てきた。
ちなみに>449を図示すると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
467:１３２人目の素数さん
20/10/30 08:15:43.78 uKdmyEHD.net
(問題)
全係数が非ゼロの多項式を完全多項式と呼ぶことにする.
たとえば,x^2+x+1は完全多項式だが,x^2+1はそうでない.
次の条件を満たすような自然数nをすべて求めなさい.
[条件]
(x+3)(x-2) のn乗を展開＆整理したものは完全多項式ではない.
468:１３２人目の素数さん
20/10/30 08:46:50.45 8gUrz52z.net
Pを原点、Aを(3,0)とすると
原点を中心とする
半径４の円周上の点B、
半径５の円周上の点C
が∠ABC直角になるように動く時の面積の最大値の2倍を求めればいいことになる
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
469:１３２人目の素数さん
20/10/30 11:10:47.71 R1dQMz0s.net
>>456
コレはムズイ‥‥
470:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:09:58.13 NYoUhiCM.net
例)
n=1 x^2 + x - 6,
n=2 x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36,
n=3 x^6 + 3x^5 - 15x^4 - 35x^3 + 90x^2 + …
n=4 x^8 + 4x^7 - 18x^6 - 68x^5 + 145x^4 + …
n=5 x^10 + 5x^9 - 20x^8 - 110x^7 + 185x^6 + …
n=6 x^12 + 6x^11 - 21x^10 - 160x^9 + 195x^8 + …
n=7 x^14 + 7x^13 - 21x^12 - 217x^11 + 161x^10 + …
n=8 x^16 + 8x^15 - 20x^14 - 280x^13 + 70x^12 + …
n=9 x^18 + 9x^17 - 18x^16 - 348x^15 - 90x^14 + …
n=10 x^20 + 10x^19 - 15x^18 - 420x^17 - 330x^16 + …
n=11 x^22 + 11x^21 - 11x^20 - 495x^19 - 660x^18 + …
n=12 x^24 + 12x^23 - 6x^22 - 572x^21 - 1089x^20 + …
n=13 x^26 + 13x^25 - 650x^23 -1625x^22 + 15015x^21 + …
n=14 x^28 + 14x^27 + 7x^26 - 728x^25 - 2275x^24 + …
n=15 x^30 + 15x^29 + 15x^28 - 805x^27 - 3045x^26 + …
う～む、無いなぁ…
471:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:17:16.31 2ndAoMxV.net
>>459
n=13 で x^24 の項が消えてるじゃん
472:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:46:38.48 yGnWFiRo.net
とりあえずn≦200までで２つしかない
main = do
let x = P [0,1]
--print $ (x+1)^7
--print $ (x-1)^8
let cond (P cs) = (not . all (/=0)) cs
print $ map fst $ filter (cond.snd) $ take 200 $ [ (n,((x+3)*(x-2))^n) | n <-[1..]]
----
[13,38]
473:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:54:02.17 NYoUhiCM.net
(xx+x-6)^n = x^{2n} + n･x^{2n-1} + (n(n-13)/2)･x^{2n-2}
+ (n(n-1)(n-38)/6)･x^{2n-3} + (n(n-1)(nn-77n+582)/24)･x^{2n-4} + …… + (-6)^n
次のnは？
474:１３２人目の素数さん
20/10/30 17:13:59.13 NYoUhiCM.net
>>454
PC = √23 = 4.7958 とすれば
P(x,y)
x = (l-7/l)/2,
y = (m-7/m)/2,
l = m = (3+√23)/√2 = 5.512485 (正方形)
のとき最大
lm = 16 + 3√23 = 30.3875
このとき
x = y = 3/√2 = 2.12132
PD = PB = 4,
475:１３２人目の素数さん
20/10/30 17:16:18.88 yGnWFiRo.net
>>456
は答えあるんかな？
また「作ってみました」ってオチのやつじゃないの？
476:イナ
20/10/31 02:33:54.00 /HtleTZK.net
前>>453
>>446
分岐点と辺の最短距離をaとすると、
長方形の面積f(a)=a√(9-a^2)+√(81-a^4)+a√(16-a^2)+√(144+7a^2-a^4)
f'(a)の分子=(9-3a^2)√(9+a^2)(16-a^2)-2a^3√(16-a^2)+4(8-a^2)√(81-a^4)-a(2a^2-7)√(9-a^2)=0
477:１３２人目の素数さん
20/10/31 09:57:42.03 uynO3nT1.net
>>456 の出題者じゃないけど類題、というか弱い結果を与える問題
多項式 (x+3)(x-2) のn乗が完全多項式になるような n は無限に存在することを示せ
478:１３２人目の素数さん
20/10/31 10:11:18.50 WimbA5rt.net
>>462
おお
最高次数から4つ目以降は、多項式が
因数分解できなくなって
整数解なしになりそうですね
結局13と38だけっぽい
479:１３２人目の素数さん
20/10/31 10:21:53.24 uynO3nT1.net
(x+3)(x-2) のn乗の x^(n-m) の係数を P_m(n) とおけば
0≦k<[m/2] の時 P_m(k)=0 にはなるから、因数分解自体はできるね
それ以外に1次の因子で分解できないことが示せたらOKなんだろうけど、できるんかなあ…
480:１３２人目の素数さん
20/10/31 12:15:49.50 smGTd41z.net
完全多項式は数論の分野で考えることできる？
481:イナ
20/10/31 13:05:09.37 /HtleTZK.net
前>>465
>>448
(m-9/m)/2=6√2/√17はどうやって出したの？
ていうかこれはなに？ なんで必要な値なの？
ほんの少し横長な長方形が最大になる可能性があるのはわかる気がするけど、
9/mってなに？
482:１３２人目の素数さん
20/10/31 13:25:40.80 uynO3nT1.net
>>468 のヒントになっちゃうけど
有限体上の完全多項式とかならある程度興味の対象にできそうな気はしてるが
数学的に重要な概念というより、これ絡みで難しい問題が作りやすいみたいな感じじゃないかなあ
483:１３２人目の素数さん
20/10/31 14:46:48.28 EXs1ooZE.net
単に思いついたから書いただけでしょ？
484:１３２人目の素数さん
20/10/31 22:50:45.65 Ko+WsKhL.net
>>449
a=3 b=4 c=5
f(x) = (√(a^2-x^2)+√(b^2-x^2))*(x+√(x^2+c^2-b^2))
f'(x)=0 を解いて x = a*b/√(a^2+c^2)
f(a*b/√(a^2+c^2)) = b*√(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
fmax <- function(a,b,c) b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(4,5,6)
[1] 49.98076
> fmax(5,6,7)
[1] 71.98648
485:１３２人目の素数さん
20/10/31 23:01:55.52 Ko+WsKhL.net
>>450
a=3 b=4 c=5
# l
(a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
# m
(c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
# Area
b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
> (a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.612792
> # m
> (c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.696017
> # Area
> b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c # Area
[1] 31.97056
>448の値と一致
486:１３２人目の素数さん
20/10/31 23:45:29.71 Ko+WsKhL.net
>>453
最小となるときの図を描くと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
で味気ない結果。
487:１３２人目の素数さん
20/11/01 01:16:41.87 vPayCbtl.net
>>470
P(x,y) とおく。
7 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - x^2,
∴ x = (l-7/l)/2,
9 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - y^2,
∴ y = (m-9/m)/2,
lとmを関係づける、もう１つの条件がいる。 例えば
PA = 3, PB = 4, PC = 5,
PD = √(9+25-16) = 3√2,
など。
PA=3 の場合は
(l-7/l)^2 + (m-9/m)^2 = (2PA)^2 = 6^2, …… (1)
2(l-7/l)(1+7/l^2)dl + 2(m-9/m)(1+9/m^2)dm = d(PA^2) = 0,
これと面積最大条件
m･dl + l･dm = d(l･m) = 0,
(1/l)dl + (1/m)dm,
から
(l-7/l)(l+7/l) = (m-9/m)(m+9/m),
l^2 - (7/l)^2= m^2 - (9/m)^2, …… (2)
(1)(2)から l,m がきまる。
488:イナ
20/11/01 06:06:09.85 fkZrg8Hr.net
前>>470
>>476
7=PB^2-PA^2の7ってなに？
ピタゴラスの定理で(√7)^2ってこと？
489:１３２人目の素数さん
20/11/01 18:33:31.99 QDSLSe3f.net
正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=a,PB=b,PC=cのとき正方形の面積を求めよ。
答 (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 ))
490:１３２人目の素数さん
20/11/01 20:00:06.78 QDSLSe3f.net
491:arget="_blank" class="reply_link">>>478 検算 > ll <- function(a,b,c) (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 )) > ll(3,4,5) [1] 31.96663 >454のｌｍの値と一致しているので一般解でよさそう。
492:１３２人目の素数さん
20/11/01 20:41:48.37 vPayCbtl.net
b√2 = b' とおいて
lm = (1/2){aa + cc + √((a+b'+c)(a+b'-c)(a-b'+c)(-a+b'+c))}
= (1/2){aa + cc + 4S(a, b', c)}
でもいいかな?
S(a,b',c) は辺長が a, b', c である三角形の面積。
493:１３２人目の素数さん
20/11/01 21:26:23.58 X5qYnZ39.net
>>480
きれいな式になるんですね。
検算
> lm = function(a,b,c) {
+ b1=sqrt(2)*b
+ (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
+ }
> lm(3,4,5)
[1] 31.96663
494:１３２人目の素数さん
20/11/02 01:33:51.52 nV+GRV6y.net
〔問題〕
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))} = 2.9806212 のとき
∠PBA を求めよ。
495:イナ
20/11/02 02:42:12.88 n7YZSZPT.net
前>>477
長方形の面積が31.97を超えるとは思えない。
496:１３２人目の素数さん
20/11/02 06:54:48.73 NpzmGMHy.net
>>482
√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))}= 2.770217になるのですが。
497:１３２人目の素数さん
20/11/02 07:00:37.04 NpzmGMHy.net
>>482
PC=sqrt(3 + 2*sqrt(3) + sqrt(2*(sqrt(3)-1)))だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.8490976 48.6497102
正方形の面積
> lm(a,b,c)
[1] 7.086687
PC=2.9806212だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.7992808 45.7954192
> lm(a,b,c)
[1] 7.769885
作図してベクトルの内積にacosつかって角度を出した。
498:１３２人目の素数さん
20/11/02 10:06:29.68 9YQXYJyn.net
>>466 答え
(x+3)(x-2) を有限体F_5の多項式と見なせば、展開して x^2+x-1 となる。
これを二乗したら x^4+2x^3+4x^2+3x+1 となり、更にフロベニウス準同型を考えれば
(x^2+x-1)^(2*5^m) = x^(4*5^m) + 2x^(3*5^m) + 4x^(2*5^m) + 3x^(5^m) + 1
となることがわかる。
これより、(x^2+x-1) を 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗して得られる F_5 上の多項式は
定数から最高次までの係数が全て非0になることが導かれる。
これは有理数係数多項式 (x+3)(x-2) の 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗の、定数から最高次までの
各係数が5で割りきれないことを意味し、従ってこれは完全多項式となる。
499:１３２人目の素数さん
20/11/02 12:08:08.69 nV+GRV6y.net
>>484
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた…orz
500:１３２人目の素数さん
20/11/02 12:46:43.77 nV+GRV6y.net
>>485
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた...orz
下の方の面積は正解です。
l = m = (1+√3)/(√2) + √(√3 -1) = 2.78745133
さすが公式の威力…
※ 元の問題では PC=3 で (高校数学質問スレPart408．270)、その場合は
l-x = (4+√2)/l, y = (√2)/l, l = √(5+2√2) = 2.79793265
tan(∠PBA) = y/(l-x) = 1/(1+2√2),
∠PBA = 14.6388°
これと大差ないと思ったんだが…
501:１３２人目の素数さん
20/11/02 13:10:12.02 MUSdHq7X.net
>478の複雑な式からどうしたら>480のようなきれいな式を思いつくのかが不思議。
俺は>478を導出するだけでも一苦労したんだけど。
502:イナ
20/11/02 13:45:22.19 n7YZSZPT.net
前>>483
>>455
最大になるときＰはACよりD側にあるの？
B側にあるほうが大きくなりそうな気がしてPとABの距離をaとおいたところを、
D側にあるほうが大きくなると見てＰとADの距離をaとおきなおした。
ABCD=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=a√(9-a^2)+√(7+a^2)(9-a^2)+a√(18-a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)
ABCD'の分子=0よりa=3のときABCDは最小。
最大になるとき0＜a＜3√2/2
a^2=bとおいて(b^2-2b+63)(b-18)(b^2-11b+126)=0
0＜b＜9/2だからb^2-2b+63=(b-1)^2+62＞0
(b-18)(b^2-11b+126)=0
ここまでできた。
503:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:00:59.94 nV+GRV6y.net
>>476
PA=a, PB=b, PC=c のとき
PD = √(aa-bb+cc) = d,
{l - (bb-aa)/l}^2 + {m - (cc-bb)/m}^2 = (2a)^2, …… (1)
l^2 - ((bb-aa)/l)^2= m^2 - ((cc-bb)/m)^2, ……Max条件 (2)
(1) (2)から l,m を求めると
l = (ad+bc)/√(aa+cc),
m = (ab+cd)/√(aa+cc),
点Pの座標 (x,y) は
x = {l - (bb-aa)/l}/2 = ad/√(aa+cc),
y = {m - (cc-bb)/m}/2 = ab/√(aa+cc).
504:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:32:49.15 nV+GRV6y.net
>>490
ABCDの面積の最大値を求めるためにbで微分すると、
b(7+b) = (9-b)(18-b),
17b = 81,
b = 81/17,
a = 9/√17 = 2.1828206 ････ 点Pと辺ADの距離(x)
l = a + √(7+aa) = (9+10√2)/√17 = 5.6127923 … AB = CD
m = √(9-aa) + √(18-aa) = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174 … BC = DA
505:１３２人目の素数さん
20/11/02 18:39:47.18 nV+GRV6y.net
>>492
l(x) = x + √(7+xx),
m(x) = √(9-xx) + √(18-xx),
これより
l' /l = 1/√(7+xx)
m' /m = - x/√((9-xx)(18-xx))
Max.条件より
0 = S'(x)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m{1/√(7+xx) - x/√((9-xx)(18-xx))},
∴ xx (7+xx) = (9-xx) (18-xx),
∴ xx = 81/17,
�
506:� x = 9/√17 = 2.1828206
507:１３２人目の素数さん
20/11/02 19:12:19.62 nV+GRV6y.net
>>488
点P の座標は
x = √(√3 -1) = 0.855599677
y = (√3 -1)/(√2) = 0.517638090
508:１３２人目の素数さん
20/11/03 00:49:55.64 XCxGvOul.net
>>491
面積の最大値は
lm = (ad+bc)(ab+cd)/(aa+cc),
d = √(aa-bb+cc),
・l=m で最大となるのは
(a-c)(b-d) = 0,
(a-c)(aa-2bb+cc) = 0,
の場合。
509:１３２人目の素数さん
20/11/03 00:51:51.47 wXfSpeYU.net
自然数列は有限個の「公差が1より大きく、かつそれぞれの公差が異なる等差数列たち」で分解することは出来ないことを証明せよ
510:イナ
20/11/03 02:07:24.52 NMjSfbZM.net
前>>490
>>492
間違いなくこれが正解の正攻法だから、
もうちょい詳しく飛ばさずに書いて。
bで微分する前の式はどれ？
b(7+b)も(9-b)(18-b)も、
元は√b+√(7+b)と√(9-b)+√(18-b)のはず。
根号の和のかたちから、根号を外した積のかたちにするのは、
微分の一言だけではわかりかねます。飛躍してます。
説明不足で不正解とも言われかねません。
511:１３２人目の素数さん
20/11/03 03:20:06.65 MZbun6hF.net
恥ずかしながらググってしまった
ちょっと感心した
512:１３２人目の素数さん
20/11/03 09:19:33.13 XCxGvOul.net
>>497
l(b) = √b + √(7+b),
m(b) = √(9-b) + √(18-b),
S(b) = l(b)･m(b),
とおく。
l' /l = 1/{2√b･√(7+b)}
m' /m = - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}
ここで ' はbで微分することを示す。
面積最大条件：
0 = S'(b)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m･(1/{2√b･√(7+b) - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}),
∴ b(7+b) = (9-b)(18-b),
∴ b = 81/17,
∴ a = 9/√17 = 2.1828206
513:１３２人目の素数さん
20/11/03 09:41:39.03 XCxGvOul.net
>>480
PD = √(aa-bb+cc) = d,
を使えば
lm = (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 + (2ac)^2 - (aa+cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 - (aa-cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2ac)^2 - (bb-dd)^2]},
514:イナ
20/11/03 15:20:02.35 NMjSfbZM.net
前>>497
長方形ABCDの面積S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+√a(18-a^2)
a ^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(1/2)(1/√b)√(9-b)+√b(1/2)｛-1/√(9-b)｝+(1/2)｛-1/√(9-b)｝√(7+b)+√(9-b)(1/2)｛1/√(7+b)｝+(1/2)｛1/√(7+b)｝√(18-b)+√(7+b)(1/2)｛-1/√(18-b)｝+(1/2)(1/√b)√(18-b)+√b(1/2)｛-1/√(18-b)｝=0
√(9-b)/2√b-√b/2√(9-b)-√(7+b)/2√(9-b)+√(9-b)/2√(7+b)+√(18-b)/2√(7+b)-√(7+b)/2√(18-b)+√(18-b)/2√b-√b/2√(18-b)
(9-b-b)/2√b(9-b)-(7+b-9+b)/2√(9-b)(7+b)+(18-b-7-b)/2√(7+b)(18-b)+(18-b-b)/2√b(18-b)=0
通分して(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
ここまでできた。
515:イナ
20/11/03 18:02:59.86 zQLoxy/h.net
前>>501
>>499
とりあえずlとmは使わずに解いて。
答えは9/√17で納得のいく値だから、
途中を書いて。いじわるせんでさぁ。
516:１３２人目の素数さん
20/11/03 18:23:53.09 XCxGvOul.net
そう言われても…
l' = l/{2√b･√(7+b)}
m' = - m/{2√(9-b)･√(18-b)}
が出ればあとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ
517:イナ
20/11/03 19:13:36.22 zQLoxy/h.net
前>>501計算間違いか。微分のことは微分でする。lとmは使わずに。
S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
S'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√b(9-b)(7+b)+(11b+63)/2√(7+b)(18+b)+(-2b+18)/2√b(18-b)
518:イナ
20/11/03 19:47:55.09 zQLoxy/h.net
前>>504訂正。
(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
(9-2b)(7+b)√(9-b)(18-b)+(13-4b)(9-b)√b(7+b)+(18-2b)(9-b)(7+b)=0
まだ遠い。
b(7+b) = (9-b)(18-b)
519:１３２人目の素数さん
20/11/03 21:03:03.32 XCxGvOul.net
>>503
l' = {√b + √(7+b)} '
= 1/(2√b) + 1/(2√(7+b))
= {√(7+b) + √b} / {2√b･√(7+b)}
= l(b) / {2√b･√(7+b)},
m' = {√(9-b) + √(18-b)} '
= - 1/(2√(9-b)) - 1/(2√(18-b))
= - {√(18-b) + √(9-b)} / {2√(9-b)･√(18-b)}
= - m(b) / {2√(9-b)･√(18-b)}
あとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ
520:イナ
20/11/03 21:22:08.22 zQLoxy/h.net
前>>505
>>499
bで微分すると言った以上はbで微分して。
lとmは使わずに。
521:１３２人目の素数さん
20/11/04 00:26:51.82 aU0ymthI.net
S(b) のまま微分するのはお奨めしないが、やるとすれば
2S '(b) = (-2b+9)/√(b(9-b)) + (-2b+2)/√((7+b)(9-b)) + (-2b+11)/√((7+b)(18-b)) + (-2b+18)/√(b(18-b)),
ここで
(-2b+9)/√(b(9-b)) = {(9-b) - b}/√(b(9-b)) = √(9-b)/√b - (√b)/√(9-b),
(-2b+2)/√((7+b)(9-b)) = {(9-b) - (7+b)}/√((7+b)(9-b)) = √(9-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(9-b),
(-2b+11)/√((7+b)(18-b)) = {(18-b) - (7+b)}/√((7+b)(18-b)) = √(18-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(18-b),
(-2b+18)/√(b(18-b)) = {(18-b) - b}/√(b(18-b)) = √(18-b)/√b - (√b)/√(18-b),
だから
2S '(b) = {1/√b + 1/√(7+b)}{√(9-b) + √(18-b)} - {√b + √(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}
= {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√((9-b)(18-b)) - {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√(b(7+b))
= {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}{√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b))},
√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b)) = 0,
移項して2乗する。
522:イナ
20/11/05 11:27:18.53 GSpbgzRF.net
前>>507
>>508
b=81/17になった。
S(b=81/17)=(54√2+120+50√10+45√5)/17=26.7708514332……
最大じゃない。
523:１３２人目の素数さん
20/11/05 17:39:16.63 oCSwH2P1.net
b = 81/17 のとき
l = √b + √(7+b) = (9+10√2)/(√17),
m = √(9-b) + √(18-b) = 3(2√2 + 5)/(√17) ≠ (6√2 + 5√5)/(√17),
S = l･m = 3(5+4√2) = 31.97056275
どこから √5 が出てきたかな？？
524:イナ
20/11/05 23:26:02.04 GSpbgzRF.net
前>>509できたわ。計算が難しい。符号がとくに間違いがち。
lとmは使わずに微分のことは微分で解くべきだと思う。
>>446
長方形ABCD=S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+a√(18-a^2)
a^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√(9-b)(7+b)+(-2b+11)/2√(7+b)(18-b)+(-2b+18)/2√b(18-b)=0
2S'(b)=√(9-b)/√b-√b/√(9-b)-√(7+b)/√(9-b)+√(9-b)/√(7+b)
+√(18-b)/√(7+b)-√(7+b)/√(18-b)+√(18-b)/√b-√b/√(18-b)
=｛1/√b+1/√(7+b)｝｛√(9-b)+√(18-b)｝-｛1/√(9-b)+1/√(18-b)｝｛√b+√(7+b)｝=0
1/√b(7+b)=1/√(9-b)(18-b)
b(7+b)=(9-b)(18-b)
7b=-27b+162
34b=162
17b=81
b=81/17
S(b=81/17)=√81(153-81)/17+√(153-81)(119+81)/17+√(119+81)(306-81)/17+√81(306-81)/17
17S=54√2+120+150√2+135
=255+204√2
S=15+12√2
=31.9705627485……
最大値31.97超えた。
525:１３２人目の素数さん
20/11/09 02:33:19.39 R32B64bf.net
2つ以上の開円盤の直和の閉包は閉円盤になりえるか？
526:１３２人目の素数さん
20/11/09 10:23:51.04 9qqabWlE.net
開円盤を可算無限個使っていいなら可能
527:イナ
20/11/09 10:55:50.14 uFJa4wsX.net
前>>511
>>512
葡萄島を円でやると考えると可能だと思う。
ある程度ジャンケンに勝つことが必要。
528:１３２人目の素数さん
20/11/09 11:52:04.13 fXWJE+oy.net
互いにdisjointな開円盤の集合全体は包含関係で帰納的順序集合
極大元取れば‥
ホントは選択公理いらんけど
529:１３２人目の素数さん
20/11/09 17:05:37.20 R32B64bf.net
>>515
正解です
正確には背理法で、Bを与えられた開球として、Dをその閉包とする。D内の開円盤直和の極大元の閉包MがもしDでないとすると、
B\Mが空でない開集合になって、開球を中に入れることが出来るので極大性に矛盾です。
ちなみにこの主張はルベーグ測度の回転不変性の別証明とかにも役立ちます
530:１３２人目の素数さん
20/11/09 17:31:58.41 9jQyXKTk.net
某パズル本より
3次元ユークリッド空間は互いにdisjointな円周の和で表される事を示せ
531:１３２人目の素数さん
20/11/10 22:24:01.47 Rbias3xO.net
六角形ABCDEFの辺の長さが全て1とする。
∠A=∠C=∠E=90度のとき、この六角形の面積を求めなさい。
532:１３２人目の素数さん
20/11/10 22:59:26.33 TGDxz2PN.net
1/2×3+1/2×√2^2×√3/2
=3/2+√3/2
533:イナ
20/11/11 01:01:25.07 +Tz1CUay.net
前>>514
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)√2
=3/2+√6/4
534:イナ
20/11/11 01:05:31.65 +Tz1CUay.net
前>>520訂正。
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)(√2)^2
=3/2+√3/2
535:１３２人目の素数さん
20/11/11 05:47:06.97 8K
536:5dFo08.net
537:１３２人目の素数さん
20/11/11 05:47:52.89 zit2pxrS.net
>>521
正解です
538:１３２人目の素数さん
20/11/11 09:43:40.39 8Lfl0aYp.net
>>522
例えば閉円盤Dの内点の点のうちx座標もy座標系も有理数である点の全体を並べたものp1,p2,‥を“具体的に”与えておく(それが可能なのはゲーデルの定理)
ただしp1は中心でないとする
piの部分列qiと開円盤の列U1,U2,‥を帰納的に以下のように定める
まずq1=p1とし、U1は中心がq1で半径がdist(q1, ∂D)の開円盤とする
Unまで定まった時q(n+1)はp(n+1)移行の点で∪[i≦n]Uiの閉法Fに属さない一番最初の点piをq(n+1)とし中心がq(n+1),半径がdist(q(n+1),F)の開円盤をU(n+1)とする
コレで完成
この作業を“具体的に”行うプログラムなども作ろうと思えば作れる(ゲーデルの定理)
539:１３２人目の素数さん
20/11/11 16:28:29.41 8K5dFo08.net
>>524
おーありがとうございます！
なるほど有理点に端から円を乗せていって隙間に埋めていく感じでいいのか
540:１３２人目の素数さん
20/11/12 16:21:18.59 cvoD8SLE.net
>>481
b√2 = b' とおいて
辺長が a,b',c である三角形の頂角をα, β', γ とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+45°の三角形の対辺は l.
二辺が c,a で挟角が β'+90°の三角形の対辺は l√2,
二辺が a,b で挟角がγ+45°の三角形の対辺は l.
ここに l = √{(aa+cc+4S)/2}, S = S(a,b',c)
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
辺長 l,l,ｌ√2 の直角二等辺三角形を作れる。
541:１３２人目の素数さん
20/11/12 17:56:49.81 cvoD8SLE.net
>>481
つまり
∠APB = γ + 45°
∠BPC = α + 45°
∠CPA = β' + 90°
542:１３２人目の素数さん
20/11/13 04:18:56.34 M5JR9HFw.net
>>478
チョト一般化してみた。
〔類題〕
⊿ABC (∠A, ∠B, ∠C は所与) の内部の点をPとして
PA=a, PB=b, PC=c のとき、
⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。
543:１３２人目の素数さん
20/11/13 04:48:33.06 M5JR9HFw.net
辺長が a ' = a･sin(A), b ' = b･sin(B), c ' = c･sin(C) である三角形の
頂角を α, β, γ 面積を S ' = S(a ', b ', c ') とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は 2R sin(A)
二辺が c,a で挟角が β+B の三角形の対辺は 2R sin(B),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は 2R sin(C),
ここに
(2R)^2 = {sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc + 4S’}/{sin(A)sin(B)sin(C)},
S ' = S(a', b', c')
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
題意の条件をみたす⊿ABCを作れる。
A=45°, B=90°, C=45° の場合が >>478
544:１３２人目の素数さん
20/11/13 05:12:43.77 M5JR9HFw.net
(補足)
(対辺)^2 = aa + cc - 2ac cos(β+B)
= aa + cc - 2ac cosβ cos(B) + 2ac sinβ sin(B),
の計算はチョト面倒だが
第二余弦定理から
2ac cosβ = {(a')^2 + (c')^2 - (b')^2}/{sin(A)sin(C)}
= {sin(A)/sin(C)}aa + {sin(C)/sin(A)}cc - {sin(B)^2/sin(A)sin(C)}bb,
正弦定理・第一余弦定理から
1 - cos(B)sin(A) /sin(C) = sin(B)cos(A) /sin(C),
1 - cos(B)sin(C) /sin(A) = sin(B)cos(C) /sin(A),
また
2ac sinβ = 4S '/{sin(A)sin(C)}
これらより
(対辺) = ････ = 2R sin(B),
545:１３２人目の素数さん
20/11/13 21:10:19.16 NrPxV/d3.net
Xを証明が既に得られている数学の問題文の集合とする。
f:X→Rを
f(問題)=その問題の証明にかかった時間
g:X→Rを
g(問題)=日本語にした際の問題文の長さ
とする
inf{ g(問題)/f(問題) | 問題∈X }
を求めよ.
546:１３２人目の素数さん
20/11/13 21:58:42.32 llLnhFxV.net
長さ÷時間だから速度ということは分かった
547:１３２人目の素数さん
20/11/14 02:23:37.86 MWjdA7m9.net
>>528-529
A = B = C = 60° (正三角形) の場合が
[エレ解スレ３．807-812]
URLﾘﾝｸ(www.web-nippyo.jp) 出題1
548:１３２人目の素数さん
20/11/14 05:29:26.73 ypdHm6Ty.net
>>531
円積問題(解決まで約2000年)が有力候補だな
549:１３２人目の素数さん
20/11/14 06:10:08.48 MWjdA7m9.net
やっと解決したらしい…
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:41番)-42
550:１３２人目の素数さん
20/11/14 07:12:35.53 edma1lsq.net
>>528
問題が三角形の面積や辺の長さでなく外接円の半径にしているのは
何か意味があるんでしょうか？
551:１３２人目の素数さん
20/11/14 19:35:27.73 MWjdA7m9.net
なるほど。面積の方がシンプルですね。
s = (1/2)(2R)^2 sin(A)sin(B)sin(C)
= (1/2){sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc} + 2S',
S' = S(a' ,b', c')
552:１３２人目の素数さん
20/11/15 01:28:39.98 bIiJMX9f.net
>>528
具体的な数値にしてPを探索させて面積を出すプログラム作ってみた。
⊿ABC (∠A＝50°, ∠B＝70°) の内部の点をPとしてPA=2 PB=3, PC=4 のとき、⊿ABCの面積を求めよ。
プログラム解（適当に選んだ数字なので厳密解はきれいな値にならないと思う）
> DV2A(50,70,2,3,4)
[1] 10.129
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
A=45, B=90°で a=3 ,b=4, c=5のとき長方形の面積は三角形の2倍なので
> DV2A(45,90,3,4,5)*2
[1] 31.966
これは>481と一致。
553:１３２人目の素数さん
20/11/15 05:36:18.89 WOfFn0Se.net
Excel解
s(50,70; 2,3,4) = 10.1292395794765
S' = S(2sin(50), 3sin(70), 2√3) = 2.1170290447659
s(45,90; 3,4,5) * 2 = 31.966629547096
S' = S(3/√2, 4, 5/√2) = 3.74165738677394
554:１３２人目の素数さん
20/11/15 10:25:17.29 bIiJMX9f.net
>>539
厳密解での検算ありがとうございます。
プログラムはバグなく動作している模様でほっとしました。
555:１３２人目の素数さん
20/11/15 12:24:36.12 bIiJMX9f.net
>>518
図示できないと気持ちが悪いので作図してみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
作図できたら計測できるので面積を計算。
> with(vtx,ABC2S(A,F,B)+ABC2S(C,D,B)+ABC2S(E,F,D)+ABC2S(B,D,F))
[1] 2.366025
>521を少数表示すると、
> 3/2+sqrt(3)/2
[1] 2.366025
御明算！
556:１３２人目の素数さん
20/11/15 14:56:02.68 bIiJMX9f.net
>>541
少し一般化しても、たいして面白くないな。
六角形AB,CD,EFの辺の長さをn,BC,DE,FAの長さをm、
∠A=degA° ∠C=degC° ∠E=degE°、とする。
m=1,n=2, degA=60,degC=90,degE=120のとき
この六角形の面積を求めなさい。
作図するプログラムを書くのが面白かっただけ。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> Hexagon(1,2,60,90,120)
[1] 4.652337
557:１３２人目の素数さん
20/11/15 21:47:54.81 WOfFn0Se.net
s(m,n; A,C,E) = ⊿FAB + ⊿BCD + ⊿DEF + ⊿BDF
= (1/2)mn{sin(A)+sin(C)+sin(E)} + ⊿BDF
第二余弦定理より
BD^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(C),
DF^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(E),
FB^2 = m^2 + n^2 - 2mn･cos(A),
⊿BDF = S(BD,DF,FB)
= (1/4)√{4(mm+nn
558:)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)] - (mm+nn + 2mn[cos(A)+cos(C)+cos(E)])^2} cos(A)+cos(C)+cos(E)=0 のときは ⊿BDF = (1/4)√{3(mm+nn)^2 + (4mn)^2[cos(A)cos(C)+cos(C)cos(E)+cos(E)cos(A)]} 例) mm+nn = 5, 2mn = 4, cos(A) + cos(C) + cos(E) = 0, FB = √3, BD = √5, DF = √7, ⊿FAB = ⊿DEF = (1/2)√3, ⊿BCD = 1, ⊿BDF = (1/4)√59, s(1,2; 60,90,120) = 1 ⊹ √3 + (1/4)√59 = 4.652337244536
559:１３２人目の素数さん
20/11/16 02:40:50.30 oxgHln+T.net
ふふっ
560:１３２人目の素数さん
20/11/16 13:50:44.64 GXTWSjGe.net
>>543
厳密解の計算ありがとうございました。
プログラムでの数値解と合致して安心できます。
561:１３２人目の素数さん
20/11/17 07:44:51.47 aIh1q7HC.net
むこうのスレで盛り上がってますね。（イナさん他）
ヘロンの公式までは高校数学ですかね
562:１３２人目の素数さん
20/11/17 11:11:36.61 UJMPy762.net
>>546
投稿した図は、数値計算に基づいて作図したと記載したら
イナ大先生から、
即、
> 図よりc=4.9
> θ=11°
というレスが返ってきて笑ってしまった。
道楽が楽しめるイナ大先生のユーモアに脱帽。
563:１３２人目の素数さん
20/11/17 12:47:17.66 9jF91gIY.net
おんなじレベルですがな
564:１３２人目の素数さん
20/11/17 16:56:36.98 qf0NSDpi.net
>>548
大先生の足もとにも及びませんが。
565:１３２人目の素数さん
20/11/18 03:16:06.92 cUg20R0f.net
>>517
某パズル本の解答によるヒントです
・まず任意の球面Sから任意の２点p,qを選ぶときS＼{p,q}は円周で分割できる事を示す
・よってr>0に対して原点中心、半径rの球面Srから２点pr,qrを選ぶとき、R^3＼∪{pr,qr}は円周で分割できる
・そこで∪{pr,qr}∪{0}がうまく円周で分割できるように{pr,qr}を選べないか？
著者によるとこれ以外にも方法はいくつか見つかっているそうな
566:１３２人目の素数さん
20/11/18 06:43:48.98 l55DpzKJ.net
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
の季節だな
567:１３２人目の素数さん
20/11/18 07:27:19.43 l55DpzKJ.net
>>538-539 (上)
ついでながら、AB^2 = x とおくと
正弦定理より
BC^2 = pp x,
CA^2 = qq x,
ここに
p = sin(50)/sin(60) = sin(50)･2/√3,
q = sin(70)/sin(60) = sin(70)･2/√3,
x を求める式は (イナ氏)
sqrt((49-p*p*x)*(p*p*x-1)) + sqrt((36-q*q*x)*(q*q*x-4)) + sqrt((25-x)*(x-1)) - sqrt(3)*p*q*x = 0, where p= 0.884551930891917861607228426181188396289151, q=1.085063575132498257126257622997857631052135
計算結果
x = 24.372365795851178986638086448179657137312
AB = √x = 4.9368376311006197590325370488442433561053
[高校数学の質問スレ４０８．487,527,533,554]
568:１３２人目の素数さん
20/11/18 13:36:59.97 pyiUjxd3.net
正方形の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、切り口の長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？
569:１３２人目の素数さん
20/11/18 15:06:04.41 cUg20R0f.net
とりあえず最小かどうか知らんけど
θ=1.32664437942827
のとき
一辺のcot(θ)倍したとこから半径1/sin(θ)の円で分割したら長さが1.367191623529913700になった
570:１３２人目の素数さん
20/11/18 20:56:48.96 l55DpzKJ.net
とりあえず最小かどうか知らんけど、
正方形を2つ並べて長方形にする。〔シュタイナーの対称化〕
A(-1,0) B(1,0) C(1,1) D(-1,1)
2点 A, B を通り、x軸との間の面積が１となる、最短の閉曲線を求めよう。
x軸の下に∇形を追加しても同じであろう。
たとえば、半径 1/(sinα), 中心角 2α の円弧としてみよう。
面積条件から
α = 1.206005571956762671263241
弧の長さ(の半分)は
α/(sinα) = 1.290952256413885894632407
571:１３２人目の素数さん
20/11/18 21:23:56.06 OG1a85++.net
あれ？
同じ事やってんのに答え違う？
計算間違えたかな？
572:１３２人目の素数さん
20/11/18 21:26:21.04 OG1a85++.net
しまった
x(sin(x))^2-1/tan(x) = 1
解いてもらってた
x(1/sin(x))^2-1/tan(x) = 1
だorz
573:１３２人目の素数さん
20/11/18 22:41:18.73 UMtJV7+X.net
拘束条件付きの変分として解いてみたら円弧が必要条件として出るからそれで良さそう
574:１３２人目の素数さん
20/11/19 00:12:30.28 oEgPdY6X.net
そうそう
で境界とは直交するも出るしね
575:１３２人目の素数さん
20/11/19 02:13:19.72 Y/3QL/xP.net
自由端における横断性条件というやつか
ところで正方形の頂点から隣の頂点へのパスで面積を半分にする場合はどうだろう？
この場合、途中が円弧で最初と最後は辺上2線分ということになりそうだけど円の直径が決定できない
線分と円弧が接する場合つまり直径1の円弧で渡るときが最小になりそうな感じはあるが…
576:１３２人目の素数さん
20/11/19 02:17:11.84 Y/3QL/xP.net
>>560
あ、これは終点も決めた別問題としての疑問です
577:１３２人目の素数さん
20/11/19 08:31:01.68 Clp5hM1J.net
>>529
計算しない方法
辺長が B'C'=a･sin(A), C'A'=b･sin(B), A'B'=c･sin(C) である三角形の
頂角を ∠A'=α, ∠B'=β, ∠C'=γ とする。
辺C'A'に
辺長が b･sin(A), b･sin(B), b･sin(C) である三角形を貼り付け、
⊿C'A'D'とすれば
A'D' = b･sin(C), B'A' = c･sin(C), ∠B'A'D' = α+A,
B'C' = a･sin(A), C'D' = b･sin(A), ∠B'C'D' = γ+C,
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は x = B'D'/sin(C),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は z = B'D'/sin(A),
よって
x/sin(A) = z/sin(C) (= 2R)
他も同様。
578:１３２人目の素数さん
20/11/19 11:04:26.49 oEgPdY6X.net
>>560
固定端の方での条件が変わるだけで端じゃないとこの極小条件変わんないんだからやはり円弧やね
579:１３２人目の素数さん
20/11/19 15:08:18.05 mNTWgEkR.net
>>555
円弧であることを前提にして
作図して
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
θをOPの偏角として円弧OQの長さをプログラムで数値積分でグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
円弧の最小値を与える偏角(radian)
$minimum
[1] -0.3647908
円弧の最小値
$objective
[1] 1.290952
>555の値とほぼ一致した。
580:１３２人目の素数さん
20/11/19 15:19:21.52 mNTWgEkR.net
>>564
尚、最短の円弧をあたえる円の半径は
[1] 1.070436
581:１３２人目の素数さん
20/11/19 20:44:16.39 Ixq1hZFp.net
>>565
円の中心Pの座標（rcosθ,rsinθ)を計算すると
c(r0*cos(opt$minimum),r0*sin(opt$minimum))
[1] 1.0000000 -0.3818823
Pは辺CAの延長上にある。
582:１３２人目の素数さん
20/11/20 18:55:31.74 cSiT/Vzf.net
この問題、両側 or 片側固定の境界条件なら解分かるけど
例えば正方形の頂点からスタートして正方形の中心を通る曲線で分割とかの「途中の点を通る」拘束条件にするとどうなるんだろ
直感的には中心まで真っ直ぐで後は円弧っぽけど
583:１３２人目の素数さん
20/11/20 19:12:03.37 jclUA5Gk.net
>>567
中心まで直線で行ったらその後も直線になりそうに思う
584:んだが それと両側固定もそんなに明らかなのか 隣り合う頂点を始点終点にした場合は結局どうするのが正解？
585:１３２人目の素数さん
20/11/20 19:53:36.12 i1M1sn8i.net
まぁ当たり前なわけはないがオイラーラグランジュ方程式はそこまで難しいわけではない
最小値が存在すれば円弧はまぁ素人でもできる
最小値が存在するのはかなりムズイ
昔類題やった時勉強したけどソボレフ空間とか使わないと難しい
同じ人の出題じゃないのかな
586:１３２人目の素数さん
20/11/20 20:08:10.47 i1M1sn8i.net
>>568
勘で1/2辺に沿って進んで真横に切ってまた辺に沿って1/2降りる2とかかな？
587:１３２人目の素数さん
20/11/20 20:18:32.13 jclUA5Gk.net
>>570
それよりは円弧で橋架ける方が短いよ
少し計算してみたけど水平に架ける場合やはり円弧は直径1のときが最短っぽい
斜めに架けるとかもありえるからまだ正解が分からん
588:１３２人目の素数さん
20/11/20 21:42:15.33 i1M1sn8i.net
>>570
どんな円弧？
589:１３２人目の素数さん
20/11/20 22:05:02.68 jclUA5Gk.net
直径1の半円で2頂点をつなぐと面積が不足するから、その分を長方形で補う
つまりその分の高さ(1/2-π/8)だけ橋ゲタを履かす
全長は2×(1/2-π/8)+π/2=1+π/4となって2より少し短い
590:１３２人目の素数さん
20/11/20 22:20:41.97 i1M1sn8i.net
>>573
おお、なるほど、
というか覚え間違えてた
何個か前の面白い問題スレだったと思うんだけど周を動くのも可だけどその場合は内点部分の長さをL1,周の部分の長さをL2とした時のL1+cL2の最小値を求める問題としたときの解は入射角θを”法線から測る時”sinθ=cになるんだった
今回の場合c=1だからθ=π/2、すなわち辺に接するように入射させるんだった
591:１３２人目の素数さん
20/11/21 07:27:30.46 H/DINlZq.net
〔553 の類題〕
長方形（横1/2, 縦１) の紙を頂点から切り始め、面積を二等分するとき、
切る長さを出来るだけ短くするにはどうしたらよいか？
592:１３２人目の素数さん
20/11/21 09:34:46.03 un9wjhiW.net
それは正方形と同じ方法になるだけでしょ
593:１３２人目の素数さん
20/11/21 11:00:46.80 jgHJD2sZ.net
長辺に着地するのか
短辺に着地するのか
どちらでもいいのか
それを問題にしてるんじゃないか
594:１３２人目の素数さん
20/11/21 11:04:14.52 49X12uFs.net
まぁ結局
・辺との入射角は法線から測って0°、すなわち垂直にぶつかる
・途中は円弧
を満たす事が必要なのは変わらんからなぁ
595:
20/11/22 00:04:26.84 LY03uZ2u.net
前>>521
できるだけ早く対角線に折り目をつけ、
まっすぐに切ることだ。
∴示された。
596:１３２人目の素数さん
20/11/22 11:37:57.15 psTx8iPs.net
すごく細長い長方形の場合、短編に着地するよりも長辺に着地した方が短くなるのは明らかだと思うけど、その場合、最小値無しにならないかな？
頂点から長辺のどこかを結ぶ線で最小となるのは長辺に沿って進んで途中から円弧を描いて反対側の頂点へ着地する場合だと思うけど、それは頂点から切り始めるという題意に合わない
頂点から長辺のすぐ近くに沿って切り進んで途中から円弧ということにすると、長辺に近ければ近いほど線長は短くなると思うけど最小値は無しとなる
長辺が短辺のπ/2倍より長くなるとこの状況になるのかな？
なので>>575は解無し？
597:１３２人目の素数さん
20/11/22 13:38:11.53 dR0FbWeM.net
>>580
確かに紙を切るという設定だとそういう可能性は出てくる
>>573で考えてたときはその設定はなしで考えてたからなぁ
紙を切る設定なら573も解なしか
598:１３２人目の素数さん
20/11/22 13:53:40.09 dR0FbWeM.net
動ける範囲が定められてるときの変分問題の一般論ってあるんかな
常に境界線上の線分と自由な場合の変分解を区分的につなげた形になるとも思えないし
599:１３２人目の素数さん
20/11/22 14:19:26.55 UEZXcvK/.net
多分最小値はある
でもそれはソボレフ空間の理論とか使わないと難しい
汎関数の凸性とか使う方法とかもあった
600:１３２人目の素数さん
20/11/23 09:50:48.23 KVxJxW/3.net
>>575
長方形 (横a, 縦1) の紙の場合
・0<a≦2/π のとき
長さ (1/2 - πa/4) の線分と 半径a の(1/4)円
・2/π≦a≦1 のとき
半径 a/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = 1/a,
・1≦a≦π/2 のとき
半径 1/sin(x), 中心角x の円弧
ただし x/(sin(x)^2) - 1/tan(x) = a,
・π/2≦a のとき
長さ (1/2a - π/4) の線分と 半径1の(1/4)円
601:イナ
20/11/25 04:58:07.33 0hT/Zr9q.net
前>>579
放物線で斜向かいの辺に、
零戦が空母の甲板の手前から3/4の位置に垂直にぶつかるように、
突っこめば真っ二つじゃないのか。
それか対数曲線とかか？
602:イナ
20/11/25 05:18:08.14 0hT/Zr9q.net
前>>585
零戦の軌道を放物線として真横から見たとき、
正方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこんだ場合、
放物線の内側の面積は正方形の領空のうち2/3だから、
(3/4)(2/3)=1/2
∴あってる。
奥行きが高さの2倍ある領空を零戦が飛んで空母の甲板に垂直に突っこむ場合も同じく、
長方形の領空のうち手前から3/4の地点の空母の甲板に垂直に突っこめば、
領空の面積は、軌道の上と下の面積がちょうど同じになる。
603:イナ
20/11/25 05:57:07.41 0hT/Zr9q.net
前>>586
y=1-ax^2
0=1-a(3/4)^2
9a/16=1
a=16/9
y=1-16x^2/9