20/10/18 17:51:53.81 XtR5eflC.net
>>315
では>310を近似値でなくて御解答くださいな。
326:１３２人目の素数さん
20/10/18 18:08:26.53 RSixjSsN.net
>>316
それが代数的な解がないと結論付けるための理論なんだよ
それがわかってないからそういう妙チキリンなレスつけるんだよ
327:１３２人目の素数さん
20/10/18 19:49:02.53 jMWQwtg3.net
なんだ近似解しか出せないじゃん。
328:１３２人目の素数さん
20/10/18 19:56:50.58 /kBBPumO.net
計算機でも近似解の出し方しか知らないにんげんはもちろん近似解しか出せないけどちゃんと高2で習う整式の割り算の理論がわかってる人間は厳密解が計算可能である場合には厳密回が出せる
しかしそれだけではアルゴリズムとはいえない
その段階では機能的枚挙可能recursively enurrmatative)でしかない
アルゴリズム(=帰納的recursive)と言えるためには代数的には解けない場合には代数的に解けない判定を下しせないといけない
そこまで理解するのは大学でガロア理論を勉強しないとわからない
しかしそこまでの高級な話ではない
厳密解答が出せる場合に厳密解をだす(高校数学の範囲)すらクリアできてない
329:イナ
20/10/18 21:52:25.45 WMegbn9I.net
前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。
330:１３２人目の素数さん
20/10/18 22:09:07.09 RSixjSsN.net
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
がわかってるだけまだイナの方がわかってるんだよな
331:イナ
20/10/18 22:21:43.96 WMegbn9I.net
前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。
332:１３２人目の素数さん
20/10/18 23:21:43.94 ynlduUUl.net
>>322
そのままでは、袋小路
tan(3°)は、ただの記号としてしか使われていない。
2-√3=tan(15°)=tan(5*3°)だから、
例えば、「tan(5x)=2-√3 を満たすtan(x)の一つが、tan(3°)」という事に相当する条件が
どこかで使われなければ、道は開けない。
333:１３２人目の素数さん
20/10/18 23:43:45.15 RSixjSsN.net
イナの求めてる解答は
tan3°= ((1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))/(-(-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))
を利用して証明したいんだろう
コレ自体は高校数学の範囲内でもちろん導ける
しかしこの式をイナが導き出した式に代入して等しいことを確認するのは原理的にはできてもとてもやる気起こらないけどな
そして何よりこのような実の冪根の形で三角比が表示できる方が特例で普通は不可能、例えば中学お受験レベルでも時々出てくるtan10°とかは不可能
なのでこういう方針に頼ってる限り所詮は頭打ち
結局>>323さんの言う通り高2の整式の処理で習う技術を使えるようにならない限りお受験レベルの数学ですら解けるようにはならない
334:１３２人目の素数さん
20/10/19 03:03:50.40 xhmKrYit.net
tan(3°)の値を直に使うのなら
tan(3°)=tan(75°-72°)
=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]
=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
がおすすめ
335:イナ
20/10/19 13:50:55.46 p8xYs2Sf.net
前>>322
1辺1の正五角形の対角線をxとすると、
(1/x)×2+(1/x)^2=x
2x+1=x^3
x^3-2x-1=0
(x+1)(x^2-x-1)=0
x^2-x-1=0
x=(1+√5)/2
tan72°=√｛(2x)^2-1｝
=√(4x^2-1)
=√(4x+4-1)
=√(4x+3)
=√(2+2√5+3)
=√(5+2√5)
336:イナ
20/10/19 16:52:33.29 p8xYs2Sf.net
前>>322
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝より、
(tan9°)(tan51°)/tan3°
=｛3-tan^2(3°)｝｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝^2
=3｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝-tan^2(3°) ｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1+9tan^4(3°)+27tan^2(3°)+9tan^2(3°)+tan^6(3°)-18tan^2(3°)+18√3tan^3(3°)-6tan^4(3°)+2√3tan^3(3°)｝
=｛3√3-9√3tan^2(3°)-9tan(3°)+3tan^3(3°)-√3tan^2(3°)+3√3tan^4(3°)+3tan^3(3°)-tan^5(3°)｝/｛1+18tan^2(3°)+20√3tan^3(3°)+3tan^4(3°)+tan^6(3°)｝
=｛3√3-9tan(3°)-10√3tan^2(3°)+6tan^3(3°)+3√3tan^4(3°)-tan^5(3°)｝/｛1+18tan^2(3°)+20√3tan^3(3°)+3tan^4(3°)+tan^6(3°)｝
ここまでできた。
2+√3になりそうじゃない？
それとも限りなく近い近似値なのかなぁ？
計算機で誤差が0になるぐらいの。
337:１３２人目の素数さん
20/10/19 19:55:19.00 SUYlaqNJ.net
連立方程式で交点の座標を出して
角度を計算すべき二辺のベクトルを決定して
内積と逆余弦を使って角度を算出するのがなんで近似なんだよ？
338:１３２人目の素数さん
20/10/19 22:29:49.43 txEjL/Ce.net
ひらめき問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
339:１３２人目の素数さん
20/10/19 22:53:46.24 5vOEwIuq.net
四平方の定理
340:１３２人目の素数さん
20/10/19 22:54:31.27 ULMv/p28.net
>>328
通常のプログラミング言語の標準ライブラリは近似解しか出せません
その事がわからないのがあなたの限界です
おそらく一生理解出来ないでしょう
341:１３２人目の素数さん
20/10/19 23:30:38.96 3+L3rH7O.net
(1/2×1×2) + (1/2×1×3) +(1/2×2×3)
+ √((1/2×1×2)^2 + (1/2×1×3)^2 +(1/2×2×3)^2)
= 9
か
数値がキレイに出るのが中々秀逸やな
342:１３２人目の素数さん
20/10/19 23:40:26.39 txEjL/Ce.net
ひらめき問題なのでルートは使わずに解けます
343:１３２人目の素数さん
20/10/20 00:18:23.69 RKLwuGgK.net
O(0,0),A(1,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3),E(0,2) を順に結び、そして、
AとC,CとE,EとAを結ぶと、この立体の展開図に必要な三角形が
全てこの3×3の領域に現れる。
(展開図にするには、三角形OAEを切り取って、AとEを入れ替えるように、裏返す必要がある)
344:１３２人目の素数さん
2020/10/
345:20(火) 02:45:38.15 ID:5n1rUan4.net
346:イナ
20/10/20 05:04:08.63 9uqXOPZr.net
前>>327
>>329
見えてる側が5.5
見えてない面が3辺√5,√10,√13
ヘロンの公式s=(√5+√10+√13)/2
Ｓ=√ [(√5+√10+√13)/2｛(√5+√10+√13)/2-√5｝｛(√5+√10+√13)/2-√10｝｛(√5+√10+√13)/2-√13｝]
347:１３２人目の素数さん
20/10/20 06:06:19.28 Kr5yeHia.net
>>329の四面体に内接する球の半径を求めよ
348:１３２人目の素数さん
20/10/20 06:34:48.97 VeZlfMCW.net
>>337
体積=1/3(内接球の半径)×表面積を使うと
半径=1/3ですかね
349:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:13:45.44 ZP+A1//W.net
R^6内の12個の点
(±1,0,0,0,0,0)
(0,±1,0,0,0,0)
…
(0,0,0,0,0,±1)
をある3次元部分空間H⊂R^6へ射影すると
これらの像が正20面体の頂点を成した
この時、Hの直交補空間Vへ射影しても
これらの像が正20面体の頂点を成すことを示せ
350:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:23:41.83 RJ4ycraz.net
>328は手計算でもできるだろ？
三角関数だらけの式になるだろうけど。
こういう問題をプログラムで解かせても近似解にはならんね。
手作業を代行させているだけだから。
問題 ： 「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」という命題と同値な命題はどれか？
1 : シリツ医 ならば (裏口 ならば 馬鹿 である)
2 : 馬鹿 ならば (シリツ医 ならば 裏口 である)
3 : 馬鹿 ならば (裏口 ならば シリツ医 である)
4 : 裏口 ならば (シリツ医 ならば 馬鹿 である)
5 : 裏口 ならば (馬鹿 ならば シリツ医 である)
"
351:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:44:52.27 J8I4fsGY.net
問題： （シリツ医 ∩ 馬鹿) → 裏口
右端を見れば分かる。
問題 ⇔ ２
１ ⇔ ４
３ ⇔ ５
352:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:50:33.45 ZP+A1//W.net
>>339
Hは原点を含む部分空間です
353:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:53:18.27 RJ4ycraz.net
>>341
真偽表使ったプログラム解も同じ答を返すから近似解でないのが確認できた。
354:１３２人目の素数さん
20/10/20 08:34:22.18 GfHdj4W8.net
>>340
他所から駅弁医学部入ってくるマザコン受験小僧のほうが地域医療の敵だろ。
355:１３２人目の素数さん
20/10/20 08:39:12.42 dz4y26zC.net
>>341
お前がこの話理解できないのはそもそも「計算機がどうやってatanなるものを計算してるのか」がわかってないからだよ
それはそもそもの基本的な数学に対する理解が大学教養レベルにすら到達してないからだ
自分の考えが正しいのかどうか実験してみてうまくいくかどうかでしかわからない、確かめられないお前にはもう一生無理だ
諦めろ
356:１３２人目の素数さん
20/10/20 09:43:10.98 8/QyytZ/.net
>>345
atanはatanで表示すればいいじゃん。
少数や分数表示しようとするから近似値になる。
357:１３２人目の素数さん
20/10/20 09:57:52.13 8/QyytZ/.net
>>341
A:「(シリツ医 かつ 馬鹿) ならば 裏口 である」
E:「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」
が同値なのを真偽表確認
シリツ医 馬鹿 裏口 A⇒E E⇒A
1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE
3 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE
5 TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE
6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE
7 TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE
8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
358:１３２人目の素数さん
20/10/20 10:08:29.36 y9gm4KH4.net
もちろんatan(4/3)とか出てきたらほっとけばいい
それ以上簡明な表示もないしな
しかしこの問題は例えば>>266の方針で
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
まで出したあとそこからどうやってtany=2-√3を出すのか、どうやってy=π/12を出すのかと言う話
> (sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°)
> =3.73205080757……
> =2+√3
> たしかに値は合致した。
らしい
しかし「だからy=15」などとは言えないと言う話
こんな「近似解の計算がそこそこ合うからコレが答え」など数学的には通用しない
じゃあこの話計算機ではできないのかと言うとそんなことはない
今イナが手計算でやってるような近似値計算では無い厳密な式変形による計算を計算機にやってもらえはいいだけの話
そしてWolfram大先生やMathematicaはもとよりMaxima、Maple、Sagemathなら標準ライブラリでできる
何故ならその作業自体は高校2年で習う“整式の計算”やるだけだからだ
結局“数値計算”とそう言う“代数計算”の差がわからないのは高2で習ってないといけなかった話を理解し損なってるからだ
結局「計算機に代わりにやってもらう」というのは「原理的には何万年かかってもいいなら手計算でやる方法が理解できてる」事が大前提
いくら計算機のプログラムの組み方覚えても、その計算機に何をやって貰えばいいのかの根本の数学ができてない
359:341
20/10/20 10:34:18.86 J8I4fsGY.net
>>345
「シリツ医、馬鹿、裏口」の問題を、真偽表使ったプログラムで計算したんだろうけど。
計算機が atan なるものを計算してるとは思えんが…
360:１３２人目の素数さん
20/10/20 10:43:40.53 y9gm4KH4.net
>>349
もちろん数値計算しかできない言語ならatanの近似値しか出せない
しかし大学でガロア理論まで勉強した人間なら答えがπ×有理数になる場合にはその旨判定して答えを表示させる事ができる
しかしそれは彼が使ってるRがダメなわけじゃない
Qiitaかなんかの人気投票で4位かなんかになった実績あるプログラミング言語である事は間違いない
彼がこの話についていけてないのは彼本人の学力のなさが根本
しかもガロア理論云々のレベルがわからないんじゃなくて高2レベルの「答えが有理数×πになる場合、それを計算機に確認させるにはどうすればいいのか」と言う数2レベルの話がわかってないからどうしようもない
361:１３２人目の素数さん
20/10/20 10:50:42.92 RJ4ycraz.net
>>341
A:「(シリツ医 かつ 馬鹿) ならば 裏口 である」
E:「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」
命題AとEが同値なのを真偽表で確認
シリツ医 馬鹿 裏口 A E
1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE
3 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE
5 TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE
6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE
7 TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE
8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
362:１３２人目の素数さん
20/10/20 16:34:52.97 RKLwuGgK.net
tan(6°/2)=tan3°= t と置くと、
tan6°=tan(2*3°)=2t/(1-t^2)
tan9°= tan(3*3°)=t(3-t^2)/(1-3t^2)
tan51°= tan(45°+6°) = (1+tan6°)/(1-1*tan6°)=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t)
五倍角の公式 tan(5x)=[tan(x)(tan^4(x)-10tan^2(x)+5)]/[5tan^4(x)-10tan^2(x)+1] に注意して、
tan75°=1/tan15°=1/tan(5*3°)=[5t^4-10t^2+1]/[t(t^4-10t^2+5)]
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°)
=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t) * t(3-t^2)/(1-3t^2)-(5t^4-10t^2+1)/(t^4-10t^2+5)
=(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
ここで、t=tan3°=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
を代入するのも一案だが、[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] の最小多項式を求めるべく、Wolfram大先生にお願いすると、
x^8 - 16 x^7 - 60 x^6 + 16 x^5 + 134 x^4 + 16 x^3 - 60 x^2 - 16 x + 1
であることを教えてくれる。目的の式の、分子第二因子に一致していることを確認して、
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°) = 0 が結論できる。
363:１３２人目の素数さん
20/10/20 16:40:17.59 RKLwuGgK.net
誤: =(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
正: =(t-1)(t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
364:１３２人目の素数さん
20/10/20 21:26:15.39 RKLwuGgK.net
少し補足
352 は t=tan3°=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] と表せることを
前面に持ってきた解法だが、必ずしも、その必要は無い。
3° とは、どのような角度か と考えると、 15倍して、タンジェントを取ると、1 になる角度の一つと答えられる。
つまり、tan(15x)=1 を満たすもの。(tan(3x)≠1、tan(5x)≠1 であることにも注意)
5倍角の公式と、3倍角の公式を組み合わせて、15倍角の公式を作ると、tan(x)=tとして、
tan(15x)=A/B ただし、
A=t(t^2-3)(t^12-102t^10+1059t^8-1828t^6+951t^4-150t^2+5)
B=(3t^2-1)(5t^12-150t^10+951t^8-1828t^6+1059t^4-102t^2+1)
方程式 tan(15x)=1 は、方程式 A=B となり、整理すると、
(t+1)(t^2-4t+1)(t^4+4t^3-14t^2+4t+1)(t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)=0
となります。tan(3x)≠1、tan(5x)≠1、tan(x)≠-1 を考慮すると、結局
t=tan3°は、t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1 = 0 を満たす、と結論でき、
>>352 の後半を 上に置き換えることができます。
365:１３２人目の素数さん
20/10/20 22:50:20.09 ZP+A1//W.net
>>339
これは今日が2020年10月20日なので出題してみました
正20面体の面白い特徴だと思います
是非みなさん挑戦してみて下さい
366:１３２人目の素数さん
20/10/21 02:29:08.91 v9BryjWz.net
>>355
補題
三次元空間上の相異なる12点が次の性質を満たすとき、それは正20面体の頂点をなす
・a^2=b^2+c^2,b>cとなる定数a,b,cが存在し
d(P,Q)=aとなる組が6組、d(P,Q)=bなる組が30組、d(P,Q)=cとなる組が30組ある
・d(P,Q)=d(P,R)=a→Q=R
・d(P,Q)=aのときd(P,R)=b⇔d(Q,R)=c
∵) まずd(N,S)=aとなるN,Sを選ぶ
条件より全ての点はNSを直径とする球上に並ぶ
NS以外の10点はd(R,S)=aとなる組で5組に分かれてそれぞれにd(N,P)=b,d(N,Q)=cとなるPがひとつずつ出てくるから同じ経度に５点ずつがくる
同じ経度に並ぶ同一円上にはの５点は異なる２点間の距離がb
またはcのどちらかしかとれないので正五角形の頂点をなすことが容易にわかる
以下は容易□
主張を示そう
A1～A6が1次独立としてBi=-Aiとする
Ai、Biの元の超平面への射影像をPi,Qi、直交空間への射影をRi,Siとする
いずれの超平面も原点を通過するとしてよい
元像全体の重心は原点だから像の重心も原点である
よってPi,Qiの中点は原点であり正20面体の対頂点をなす
d(Pi,Qi)=u,一辺の長さをw,v=√(u^2-w^2)とおく
この時異なる頂点間の距離はd(X,Y)=uとなるものが6組、=v,=wとなるものが30組ずつある
まず直交補空間への12個の射影Ri,Sj全体が互いに異なる事を示す
いずれかの２点が一致すると元の超平面への射影は2か、√2のいずれかでなければならない
2であるとするとu=2であり、元の空間は全てのベクトルAiBiを含む事になり矛盾する
√2とするとv,wのいずれかが√2となる
d(Pi,Pj)=√2、(resp. d(Pi,Qj)=√2)の時AiAj、(resp. AiBj)は元の超平面上となり、そのような組が30組もある事はありえない
以上によりRi,Sjは全て相異なる
d(Ri,Si)=√(4-u^2)、その他の２点の距離はb=√(2-w^2),c=√(2-v^2)とおくときa～cとRi,Sjの全体は補題の条件を満たす□
367:１３２人目の素数さん
20/10/21 05:22:19.62 1nQNErnA.net
正20面体
v=12, e=30, f=20,
a： 6本 外接球の直径 6本
b： 30本
c： 30本 稜 (辺)
a = 2cos(18ﾟ) c = √(2+φ) c = 1.902113 c,
b = 2cos(36ﾟ) c = φ c = 1.618034 c,
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 黄金比
368:１３２人目の素数さん
20/10/21 06:48:24.68 J6fhidiZ.net
>>356
とても明快な幾何学的証明に驚きました
(自分が用意していたのは線形代数的な証明だったので)
キーとなる正20面体の"外部"対称性が30本の小辺(いわゆる辺)と30本の中辺の入れ替えとして見れることに気づかされました
369:イナ
20/10/21 13:55:16.53 Cobd5QkN.net
前>>336
>>329
立体を直角になっている辺で切り開けば、
展開図が書ける。
1:2:√5の三角形を斜辺の中点を通る垂線を軸として水平に180°回転させれば、
展開図は一辺3の正方形になると考えられる。
3×3=9
ただし正方形になると考えられるだけで、それは俺もそう思う。
1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。
370:１３２人目の素数さん
20/10/21 14:57:48.84 +/Q8vM4I.net
よーく考えてみよう
何より「示されていない」と感じるのは時に「ほとんど当たり前の事を自分が気づけていないだけ」という事がままある事を肝に銘じよう
371:１３２人目の素数さん
20/10/21 15:42:21.74 SASUmGNf.net
>>359
>>334 嫁
372:１３２人目の素数さん
20/10/21 15:57:08.55 3Ebsz0Oy.net
tan3° の件、
30+45-72 (これが一番簡単なのかも)を思いつかなかった方向で解いてみる。
正五角形の対角線より sin18= (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2), sin36=..., cos36=...
3 = (60-36)/2^3 なので
sin3 = √[(1-cos6)/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+cos12)/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos24)/2])/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos60cos36+sin60sin36)/2])/2])/2] {差公式}
tan3 = sin3/√[1-sin3^2] = ...
＊Wolfram Engine (Alphaではない) にて確認 ＊
s18 = (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2) ;
s36 = 2*s18 * Sqrt[1-s18^2];
c36 = Sqrt[1- s36^2] ;
s3 = Sqrt[(1-Sqrt[(1+Sqrt[(1+c36/2+s36 Sqrt[3]/2)/2])/2])/2] // FullSimplify;
t3 = s3/Sqrt[1-s3^2] // Simplify
=> 図 {根号で表せる事だけ分かれば良い}
t3 - (2+Sqrt[3]-Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) / (1+(2+Sqrt[3]) Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) // FullSimplify
=> 0 { >>325 に一致する}
Tan[3*Pi/180] - t3 // FullSimplify
=> 0 {厳密に成り立っている}
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
373:イナ
20/10/21 16:02:50.99 Cobd5QkN.net
前>>359
>>334も同じことだけど、1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。答えは3×3=9だから9だと思う。∴9が示されたことと同じ。
374:１３２人目の素数さん
20/10/21 16:33:46.35 976WfypM.net
>>363
わかんないんだったら方眼紙買ってこいよ
一辺3センチの正方形書いて正方形書いて>>334の方法できって三角形4つ作る
そしてセロテープ持ってきて考えろ
頭で分からんなら行動しろ
375:１３２人目の素数さん
20/10/21 16:33:51.68 SASUmGNf.net
>>334の説明に従って図を書き、(3,3)近辺を凝視せよ
376:イナ
20/10/21 16:52:29.68 Cobd5QkN.net
前>>363
>>364
図を描いて３つの最鋭角を足したら90°になると思う俺と同じレベルだと言ってる。
数式の変形で示すのは難しいからね。
377:イナ
20/10/21 17:15:42.48 Cobd5QkN.net
前>>366
題意の立体を３つの直角が集まった頂点から切り開けば、
一辺3の正方形になるように見える。
それは俺も同じ。
３つ鋭角を足して90°になると示した人はいない。
1:2:√5の直角三角形の2つの鋭角をてれこに置き換えて辺がちょうど直線になるように見えるから仕方ない。
378:１３２人目の素数さん
20/10/21 18:27:05.00 I/drMn5h.net
>>367
ホントバカだなぁ
いつまでもいつまでも
「四面体をまず持ってくる
合わせて正方形になる事を示そう」
と思ってるからドツボにハマってるんだよ
>>334さんは
「まず正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
と言ってるんだよ
「便所の落書きに書いてるようなやつはバカだから証明に抜けがあるに決まってる」とか思ってるからいつまで経っても賢くならんのだよ
379:１３２人目の素数さん
20/10/21 18:45:06.74 SASUmGNf.net
>>366
aを1:3:√10の三角形の最小角とすると、tan(a)=1/3
bを2:3:√13の三角形の最小角とすると、tan(b)=2/3
cを√5:√10:√13の三角形の最小角とすると、tan(c)=7/9
aとbの正接が、1/3、2/3であるのは、説明不要だと思われるが、
cの正接が7/9 であるのは、
cos(c)=(10+13-5)/(2*√10*√13))=9/√130
sin(c)=√(1-cos^2(c))=[√(130-81)]/√130=7/√130 から確認できる
tan(a)*tan(b)+tan(b)*tan(c)+tan(c)*tan(a)=2/9+14/27+7/27=1 となるが、
cos(a+b+c)=cos(a)cos(b)cos(c){1-tan(a)*tan(b)-tan(b)*tan(c)-tan(c)*tan(a)}=0
なので、a+b+c=π/2
>>数式の変形で示すのは難しいからね。
面倒かもしれないが、やるべき事はストレートで、全く難しくはない。
380:１３２人目の素数さん
20/10/21 20:21:27.33 FlPXfVj3.net
>>368をもっと噛み砕いて言うと
①一辺が３の正方形を書きます
②正方形を>>334のように４つに分けます
③正方形にできた３つの直角三角形は、三角錐の３つの面とそれぞれ合同である
何故なら二辺と挟む角がそれぞれ等しいから
④残りの三角形は、三角錘の残りの面と合同である
何故なら三辺がそれぞれ等しいから
⑤正方形を分けてできた４つの図形が、三角錐の４つの面とそれぞれ合同なのだから、
正方形の面積と三角錐の表面積は等しい(ＱＥＤ)
381:イナ
20/10/22 05:28:31.79 /jlHfG8P.net
前>>367
1:2:√5の直角三角形、斜辺そのままで鋭角てれこで。
こう書けばわかるかな。
382:１３２人目の素数さん
20/10/22 07:25:25.16 tdAvlc8z.net
>>350
別にπなど持ち出さなくても2進法で内部計算しているから、計算機だと簡単な計算すら近似だよ。
> options(digits=20) #20桁まで表示を指定
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978
> # 二進法できりのいい数字だと
> (1.125-1)*8
[1] 1
> # 小数20桁まで2進法で表示すると1.2は循環小数になる
> dec62(1.2,2,20)
1.00110011001100110011
> dec62(1.125,2,20)
1.00100000000000000000
他の言語でも似たような結果になる。
383:１３２人目の素数さん
20/10/22 08:32:36.87 rkuhQVqa.net
本題から逸れるけど、
「まず3x3の正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
も言えるかな？
⊿AOE ≡ ⊿EO'A より O' (-3/5, 6/5)
４面体の頂点Fから下した垂線の足をF'とする。
AC ⊥ BE, F' はBE上にある。
CE ⊥ AD, F' はAD上にある。
EA ⊥ CO' F' はCO' 上にある。
∴ F' は AD, BE, CO' の交点。
AD, BE, CO' は△ACEの3本の垂線だから
その交点は△ACEの垂心H。
F' ＝ H (3/7,12/7)
この条件と EF=1, AF=2, CF=3 をみたす点Fは
(3/7, 12/7, ±6/7) に限る。
384:１３２人目の素数さん
20/10/22 10:10:21.50 NqyXdK+1.net
>>373
違う
そうとしか思えないのは完全な学力不足
上の方でみんながやってる代数計算が一つも理解できてないやろ？
高校の時の教科書引っ張り出して整式の計算のとこ読み直せ
それがまさに誤差なしで代数計算する方法の基本
そのレベルで落ちこぼれてるんじゃこの先何やってもしれてる
385:１３２人目の素数さん
20/10/22 12:44:17.69 tdAvlc8z.net
>>372
Haskell でも (1.2-1)×5は１に等しいか計算させる
main = print $ (1.2-1)*5==1
を実行すると
False
が返ってくる。
main = print $ (1.125-1)*8 == 1
は
True
計算機での結果が近似値になるのは三角関数を扱うからでも無理数を扱うからでもなくて2進法で内部計算するから。
ガロアも無理数も関係ない話。
一生理解出来ないのは気の毒だから教えてあげた。
386:１３２人目の素数さん
20/10/22 12:44:38.55 rkuhQVqa.net
>>373
B (1+(6/√13), -4/√13)
D (-1, 2)
に変えてみた。他は同じ
A(1, 0) C(3, 3) E(0, 2) O'(-3/5, 6/5)
ED = EO' = 1,
AB = AO' = 2,
CB = CD = √17
このとき
EF=1, AF=2, CF=√17 をみたす点Fを求む。
387:１３２人目の素数さん
20/10/22 13:08:21.53 LUfmFVkl.net
>>375
アホか
有理数計算パッケージがはいつてるんやろが？
388:１３２人目の素数さん
20/10/22 13:32:36.72 LUfmFVkl.net
import Data.Ratio
main = do
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Double)
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Rational)
----
False
True
389:イナ
20/10/22 15:44:36.69 /jlHfG8P.net
前>>371
>>329
sin18.435°=1/√10=0.31622776601(正弦定理)
sin52.125°=0.789352……=9/√130=(10+13-5)/2×√10×√13(余弦定理)
sin19.44°=余弦定理より
390:１３２人目の素数さん
20/10/22 16:13:20.68 LUfmFVkl.net
また小数点小僧に戻ったか
391:イナ
20/10/22 22:22:01.57 QsDJ+zv1.net
前>>379つづき。いまだかつてまともに式と計算で示した人がいただろうか。いや俺しかいない。
>>329
1:3:√10の直角三角形について、
正弦定理より1/sinA=√10/sin90°
sin∠A=1/√10=0.31622776601
∠A≒18.435°
√5:√10:√13の三角形について、
余弦定理よりcos∠B=(10+13-5)/2×√10×√13=9/√130=0.78935221737……
∠B≒52.125°
2:3:√13の直角三角形について、
正弦定理より2/sin∠C=√13/sin90°
sin∠C=2/√13=0.55470019622……
∠C≒19.44°
∠A+∠B+∠C=18.435°+52.125°+19.44°=90°
∴示された。
392:１３２人目の素数さん
20/10/22 23:00:05.43 hN8MluaB.net
>>378
有理数が返ってくるとは限らないとき
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Double)
False
を Trueに修正しようとしてもエラーがでた。
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Rational)
Error(s):
393:１３２人目の素数さん
20/10/23 00:04:38.55 H+rnOKG/.net
>>382
だからそんな方法じゃ無理なんだよ
数学者の作ったHaskellですらまだ代数計算をさせるには自分で作らないとできない
例えばこう↓
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
つまりは結局数学本体ができない限りなんもできん
計算機はあくまで煩雑な計算を代わりにやってくれる道具にすぎん
本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
394:１３２人目の素数さん
20/10/23 04:39:42.77 fvHcCtrC.net
>>383
Mathematica見た時はびっくりしたわ。
395:１３２人目の素数さん
20/10/23 18:34:55.60 H+rnOKG/.net
自分ができん積分計算を大先生がいとも簡単にやってしまう時の敗北感はどうよww
396:イナ
20/10/24 17:38:14.52 ppZN3X44.net
前>>381
>>310
x+y=92°
y=27°とすると、
ABとCDのなす角は76°と104°。
もっとちいさいかな？
397:イナ
20/10/24 18:00:20.43 ppZN3X44.net
前>>386
>>310
y=11°とすると、
ABとCDの延長線の交点をHとすると、
∠AHC=92°
∠BHC=88°
△ABC∽△CBH
∴y=11°
398:１３２人目の素数さん
20/10/25 07:38:31.96 z8EAEWc5.net
>>383
>本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
そうとは限らない。
整数からみだとシミュレーションで一般式を予想して数学的帰納法で証明というのもある。
399:１３２人目の素数さん
20/10/25 09:25:33.29 7K4Es2e4.net
数学できないのレベルが突き抜けすぎてるんだよ
整式の割り算の理論すら理解できてないんじゃなんもできんわ
400:１３２人目の素数さん
20/10/25 10:36:24.68 T/xDoF2e.net
少し難しめの面積の問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
401:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:36:26.78 gAbSh86+.net
>>390
正方形の1辺をa,
正方形の辺を底辺としたときの左と上の三角形の高さをb,cとする
求める面積は S = aa/2 - ab/2 - ac/2 = a(a-b-c)/2
a,b,cの間に以下の関係がある
① (a-b)^2+cc = 3^2
② bb+cc = 7^2
③ bb+(a-c)^2 = 11^2
(①-2×②+③)/4 より (aa-ab-ac)/2 = (3^2-2×7^2+11^2)/4 = 8
左辺はSに等しいので S=8
402:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:46:39.75 cx0U6oD/.net
>>390
長さの与えられた3つの線分の交点をPとおく
図の正方形の頂点をそれぞれA,B,C,Dとおく
ただし AP=7, BP=3, DP=11 とし, 正方形の辺の長さをxとおく
∠PAD = α, ∠PAB = β とおくと, α+β = π/2 ...(1)
△APDに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(α) = 72 ...(2)
△APBに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(β) = -40 ...(3)
(1)と(3) より
a^2-14*a*sin(α) = -40 ...(4)
(2)と(4) から a^2を消去すると a = 8/(sin(α)-cos(α)9 ...(5)
(2)と(5) から 2sin(2α)+7cos(2α)+6 = 0 ...(6)
(cos(2α))^2 + (sin(2α))^2 = 1 と連立して符号を考慮すれば
cos(2α) = -2*(21+√17)/53 ...(7)
よって, cos(α) = (11-2√17)/106 ...(8)
これを(2)に代入して xの2次方程式を解けば
x = (77-14√17 + √(818253 - 2156√17))/106 ...(9)
ということで 求めたいの面積を構成する三角形の3辺の長さが判明した
つまり,さっき求めたxと 残り2辺の長さが 3, 11 ということである
あとは三角形3辺の長さから面積を求める公式を用いればよい
403:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:50:51.09 cx0U6oD/.net
>>391
素晴らしい解法
逆にいうと平方根の平方根の平方根のとんでもない式が 8 に簡約されるのか
404:１３２人目の素数さん
20/10/25 14:04:09.79 2hlYWElQ.net
正方形の左下の頂点を O (0,0) 右上の頂点を (a,a)
交点を P (x,y) とおく。三平方の定理より
x^2 + y^2 = 11^2,
x^2 + (a-y)^2 = 7^2,
(a-x)^2 + (a-y)^2 = 3^2,
辺々引いて
2ax - aa = 7^2 - 3^2,
2ay - aa = 11^2 - 7^2,
交点は
P (x,y) = ((aa +7^2 -3^2)/2a, (aa +11^2 -7^2)/2a)
S = {aa - ax - a(a-y)}/2
= a(y-x) /2
= (11^2 -2･7^2+ 3^2) /4
= 8,
なお
a = √(65+7√17) = 9.6882268439236921
x = 6.908474663930875
y = 8.559963657506098
405:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:22:32.49 xJue4N58.net
>>388
複数の変数を動かして極小値を求めるなんてのも
>本人ができもしない計算をやってくれる
実例
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:90番)
406:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:27:28.37 sB67qvKm.net
>>395
だからそれも数値解でしかない
しかも計算機は数値解でない厳密解も出せる
使ってる人間にその能力があるならね
407:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:53:26.68 xJue4N58.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
と座標上に作図して最小二乗法でx,y,zの値を計算機に探索させてみた。
[1] 6.908475
> (y=opt$par[2])
[1] 8.559964
> (z=opt$par[3])
[1] 9.688227
面積をヘロンの公式で出すと
> ABC2S(B,P,C)
[1] 8.000001
無思考で近似値が出せた。
408:１３２人目の素数さん
20/10/25 1
409:8:23:30.38 ID:sB67qvKm.net
410:１３２人目の素数さん
20/10/25 18:58:43.05 nqw34NGs.net
>>398
乱数発生させてシミュレーションプログラムを組むのも楽しいからね。
411:１３２人目の素数さん
20/10/25 19:32:49.02 p+IpfstF.net
プログラムによる数値計算の解答にそんなに意味あるのか疑問
412:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:11:38.23 +sNrb48x.net
正の整数 n と関数 f:Z→R について次のような条件を考える。
(A) 整数 x_1, …,x_n が (x_1)^3 +…+ (x_n)^3 = 0 を満たすならば f(x_1) +…+ f(x_n) = 0.
この時、各 n に対して条件(A)を満たす f 全体からなる集合 V_n は、
関数の加法やスカラー倍を値の加法やスカラー倍により定めることで、実数体上のベクトル空間をなす。
つまり関数 f,g:Z→R について (f+g)(x)=f(x)+g(x) と、実数αについて (αf)(x)=α(f(x)) と定める。
6 以上の整数 n について、ベクトル空間 V_n の次元を求めよ。
413:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:47:27.71 T/xDoF2e.net
>>401
ウェアリング使うとdimVn=1(n≧9)はすぐ分かるか
414:１３２人目の素数さん
20/10/25 22:54:02.14 T/xDoF2e.net
ウェアリング使わなくてもn≧9のときは恒等式
k^3=(k-1)^3+(k-2)^3+(k-6)^3-(k-5)^3-(k-4)^3+1^3+2^3+3^3
を使えばdimVn=1が示せそう
n=6,7,8のときもこういう恒等式を見つける感じか
実験的には
「3以上の任意の正整数kに対してk^3は6個以下の絶対値がk未満の三乗和でかける」
が成立しそうだからdimV7=dimV8=2
同様にdimV6=3が言えそう
415:
20/10/26 00:26:18.00 COijmoNX.net
前>>387
>>390
正方形の一辺をxとおき、頂点から3,7,11でつながる分岐点と辺のもっとも短い距離をaとすると、斜辺3の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(9-a^2)
斜辺7の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(49-a^2)
この辺はx-√(9-a^2)とも表されるから、
x-√(9-a^2)=√(49-a^2)
辺々二乗してx^2-2√(9-a^2)x+9-a^2=49-a^2
x^2-2√(9-a^2)x=40―1.
分岐点を含む一辺xの直角二等辺三角形において、分岐点から遠い側の辺まで距離は√(49-a^2)
ピタゴラスの定理より49-a^2+(x-a)^2=121
x^2-2ax=72
ここから1.を辺々引くと2√(9-a^2)x-2ax=32
x√(9-a^2)-ax=16
ax=x√(9-a^2)-16
求める面積はx^2/2-ax/2-x√(49-a^2)/2
ax=x√(9-a^2)-16を代入しx^2/2-x√(9-a^2)/2+8-x√(49-a^2)/2
√(9-a^2)+√(49-a^2)=xだからx^2/2-x√(9-a^2)/2-x√(49-a^2)/2=0
∴求める面積は8
できちゃったよ。完璧だよ。
416:１３２人目の素数さん
20/10/26 00:52:12.93 CzRFy8fL.net
>>390みたいな問題はなるべく図形的に解いてほしいんだけどな・・・
417:１３２人目の素数さん
20/10/26 06:56:06.35 /PPl0lvR.net
>>397
問題の数値を変えて最小二乗法でPCに探索させた値と厳密値を比較してみた。
> Fn(7,11,3)
近似値 厳密値
8.000001 8.000000
> Fn(3,4,5)
近似値 厳密値
5.75 5.75
> Fn(6,7,8)
近似値 厳密値
10.25 10.25
> Fn(7,8,9)
近似値 厳密値
11.75 11.75
わりと好成績。
418:１３２人目の素数さん
20/10/26 07:00:19.17 CzRFy8fL.net
>>403
ちょい改良
k^3=(k-1)^3+(k-3)^3-(k-5)^3-(k-7)^3+(k-8)^3+2^3+4^3
これでdimV8≦2
419:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:04:33.82 poLVk42H.net
>>403 >>407
n≧8 については正解でいいかな
お察しの通り、そんな感じでうまい具合に恒等式（や、必要であれば帰納法の使い方）を見つける問題です
420:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:11:51.40 +5erX0Ub.net
dim V8は1? 2?
421:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:14:40.34 poLVk42H.net
あ申し訳ない、下界がまだだったね
n≦8 については Vn を張る関数の組の明示と、証明もよろしく
422:１３２人目の素数さん
20/10/26 13:41:12.20 poLVk42H.net
まあいいやここは自分でやろう
n=8 の時 V_n の基底として
f(x)=x^3
g(x)=(x^3 mod 9)
をとることができる。
ただし(x mod 9)は x-y が9で割りきれ、かつ -4≦y≦4 を満たすような唯一の整数 y とする。
fが条件(A)を満たすこととf,gの一次独立性は明らか。
g が条件(A)を満たすことは以下ようにしてわかる。
もし (x_1)^3 +…+(x_8)^3 = 0 なら、f_2 の定義から
S := f_2(x_1) +…+ f_2(x_8) が9で割りきれることがわかる。
しかし実際のところ f_2(x) がとり得る値は 1,0,-1 しかないので -8≦S≦8.
ゆえに S=0 になるしかない。
423:１３２人目の素数さん
20/10/26 13:42:42.78 poLVk42H.net
>>411
ミスった、途中の f_2 は全て g に変換して読んでください
424:イナ
20/10/26 14:49:07.76 COijmoNX.net
前>>404
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin 92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17°=0.95630475596……
cos18°=0.95105651629……
cos17.23°=0.9551233988……
y≒17.23°
425:１３２人目の素数さん
20/10/26 21:00:26.36 CzRFy8fL.net
>>407
改良
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
これでdimV7≦2か
426:１３２人目の素数さん
20/10/26 23:59:59.26 CzRFy8fL.net
>>411
これは思いつかないな
自分は何となくf(2)の自由度があると思ってただけで
これでdimV6～V8≧2も分かるか
しかしこれをあっさり教えてくれたということはn=6のときもまだ山があるんだろうね
>>414
この方針ではこれ以上うまくいかないな
定数項がゼロになる非自明な関係式はないことが解と係数の関係から証明できてしまう
次元の上からの評価もきっと上手い他の方法があるんだろう
427:１３２人目の素数さん
20/10/27 00:55:41.64 Dq0YITit.net
dim V7=2 はいけてるやろ
まず3^3～12^3までの立方数は絶対値がそれ以下の立方数の6個以下の和で表さすことができる
main = print $ map(sum . (map (^3))) [
[1,1,1,2,2,2],
[-2,-2,-1,3,3,3],
[-3,2,2,2,4,4],
[-5,0,3,4,5,5],
[-6,-1,4,4,6,6],
[-4,-4,-2,6,6,6],
[-8,-5,-1,7,8,8],
[-9,-4,-2,7,9,9],
[-10,-7,6,9,9,10],
[-11,-1,0,9,10,11]]
----
[27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728]
よってf(3)～f(12)の値はf(1)とf(2)の値で決まる
さらにf(12)以降の値も>>414によりf(1)～f(12)の値できまるからf(1),f(2)の値で全て決まってしまう
もう残るはdim V6だけでしょ？
428:１３２人目の素数さん
20/10/27 01:03:26.25 Dq0YITit.net
あれ？>>414使えば
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
のk = 6のときと条件より
f(7) = f(5) + f(4) + f(-5) + f(-4) - f(1) + f(6)
以下同文だからf(3)～f(6)までがf(1),f(2)できまること確認すれば十分だった
429:イナ
20/10/27 07:20:53.68 0/ovOpqY.net
前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765°
430:イナ
20/10/27 07:20:53.68 0/ovOpqY.net
前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765°
431:１３２人目の素数さん
20/10/27 09:51:43.46 u6xdTAW5.net
>>417
n=7 も正解。お見事
さて n=6 はどうなる…
432:１３２人目の素数さん
20/10/27 10:14:27.93 ovdl5acI.net
基本戦略は同じだろうけど>>414みたいな(k-a)みたいな形は無理みたいだな
多分
(12k+r)^3=(10k+a)^3 + (9k+b)^3 - (k+c)^3 + d^3
がkについての恒等式になるようなa,b,c,dをr≡0～11 (mod 12)である12個組のrについて見つければ上から評価ができるんではないかと予想
433:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:24:06.44 L9jX0otm.net
>>416
すまん明言してなかったけどn≧7はよくてn=6は別の方法が必要そうだということが言いたかった
>>421
もちろんそれ系も試した
12^3=10^3+9^3-1^3
6^3=5^3+4^3+3^3
の4つ組の利用は出来ない、なぜなら
(Rk+r)^3=(Ak+a)^3+(Bk+b)^3±(Ck+c)^3+定数
が成立する条件の1つとして
RA(Ar-Ra)^2+RB(Br-Rb)^2-AB(Ba-Ab)^2=0
が出るけど、これから、ある素数pについて
p|Rかつp^2|Bかつp|Aでもp^2|Rでもないときp|r
が分かるので
R=12のときrは3の倍数
R=6のときrは2の倍数
でないとabcの整数解は存在しない
ちなみに
k^3=(k+a)^3+(k+b)^3+(k+c)^3-(k+d)^3-(k+e)^3
という形の恒等式が自明なものしかないことの証明は
このk^2,k^1,k^0の係数を比較すると
{a,b,c}と{0,d,e}の各和,2乗和,3乗和が等しい必要があり
これは{a,b,c}と{0,d,e}の基本対称式の一致を意味し
解と係数の関係から集合として{a,b,c}と{0,d,e}は一致する
(このとき恒等式は自明なものになる)
434:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:28:08.77 L9jX0otm.net
>>414
ちなみにこの形の完全な一般形は
(X+ab+cd)^3+(X+ad)^3+(X+bc)^3-(X+ad+bc)^3-(X+ab)^3-(X+cd)^3=3abcd(a-c)(b-d)
435:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:49:33.68 Dq0YITit.net
dim V6=∞だったりして
436:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:06:33.96 Dq0YITit.net
閃いた
(2x+1)^3-(2x-1)^3+(x-4)^3-(x+4)^3+5^3+1^3=0
437:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:26:04.75 L9jX0otm.net
奇数はそれでいけるな
4の倍数は
(4k)^3=(3k)^3+(3k)^3+(2k)^3+k^3+k^3
でいけるから
(4k+2)^3=(4k-2)^3+(k+32)^3-(k-32)^3-65520
あとは65520が立方数の和なら・・・
438:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:51:50.59 Dq0YITit.net
>>426
いや、4の倍数がいけてるなら4x+2は
(4x+2)^3-(4x-2)^3+(2x-8)^3-(2x+8)^3+10^3+2^3=0
でいいやん
439:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:58:47.81 L9jX0otm.net
>>427
そうじゃん！
あとはf(3)に対応するV6の基底のみか
440:１３２人目の素数さん
20/10/27 20:02:48.67 Dq0YITit.net
いや、とりあえずdim V6≦3が言えただけで3かどうかわからんやろ
スボラディックに出てくるリレーション全部合わせたら結局2次元でしたもありうる
441:１３２人目の素数さん
20/10/27 21:51:31.59 L9jX0otm.net
mod 63でやればいいのか
442:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:06:09.62 L9jX0otm.net
いやmod7でいいのか
V6の基底として
h(x)=(x^3 mod 7)
をとる
ただし0,±1から代表を選ぶ
もし (x_1)^3 +…+(x_6)^3 = 0 なら、hの定義から
h(x_1) +…+ h(x_6) が7で割りきれることがわかる。
しかし代表の取り方からこれはゼロでなければならない
443:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:16:04.23 Dq0YITit.net
>431
おぉそれでいけてるね
444:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:27:48.14 L9jX0otm.net
フタを開けてみれば>>411そのままだったわけだ
上から評価の恒等式も結局は>>425のようにシンプルな和差でやればよかったわけだし、いろいろ難しく考えすぎてしまった・・・
445:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:08:17.10 VQNToa0P.net
>>431
正解です。素晴らしい
ちょっと焦って序盤にヒント出しすぎたかな…
あとは n≦5 について考えるのもいいけれど、出題者は答えを持ってないので挑むなら気をつけて…
(n≦3 はフェルマーの最終定理からわりとすぐ答えは出るから実質 n=4,5 のみ)
446:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:12:00.23 Dq0YITit.net
イヤ、これくらいのヒントでちょうどいい
これより手間かかると考える気無くすよ
みんなで考えて2、3日で答えが出るくらいがちょうどいい
447:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:33:46.65 L9jX0otm.net
>>434
有名な問題なんですかね
出典あれば教えてください
448:１３２人目の素数さん
20/10/28 00:35:44.75 zKGHNosp.net
>>436
いや、先に問題を思いついてこねくりまわして結果が得られた部分だけ出題した感じだから
出典はないんだ、すまんな
ちょうどいい難易度になったなら良かった
449:１３２人目の素数さん
20/10/28 00:39:25.97 3BqdbK1h.net
すごいな
こんなにいい問題なかなか作れない
450:１３２人目の素数さん
20/10/28 13:32:21.86 P0pwA8LD.net
【たばこ】喫煙率 男女合わせて16.7％(男性27.1％ 女性7.6％) 調査開始以降最低に [ばーど★]
厚生労働省は去年11月、全国の20歳以上の男女およそ5700人を対象に、生活習慣などを調査しました。
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
対象となった５７００人の男女比を求めよ。
451:１３２人目の素数さん
20/10/28 17:15:42.38 P0pwA8LD.net
>>419
延々と計算を続けるイナ氏には脱帽。
452:１３２人目の素数さん
20/10/28 19:59:16.86 P0pwA8LD.net
>390を契機にこんな問題を考えてみた。
自作につき正解はもっておりませんのであしからず。
AB=l,BC=mの長さの長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積lmとPDの長さを求めよ。
453:イナ
20/10/28 21:51:45.24 D1fT77pb.net
前>>419
>>441
PD=√(18l+m)
初動捜査の結果だ。勢いで出した。あってるかはわからん。
454:１３２人目の素数さん
20/10/28 22:23:54.15 h08IxI/j.net
>>442
PD=√(PA^2-PB^2+PC^2)=√18だと思う。
面積はよくわからん。
455:１３２人目の素数さん
20/10/29 01:57:32.65 JZmjW2qA.net
A (0,0)
B (l,0)
C (l,m)
D (0,m)
P (x,y)
とおく。ただし
x = (l-7/l)/2, (√7 < l < 7)
y = (m-9/m)/2, (3 < m < 9)
x^2 + y^2 = PA^2 = 3^2,
PD = √{x^2 + (m-y)^2}
= (1/2)√{(l-7/l)^2 + (m+9/m)^2},
456:１３２人目の素数さん
20/10/29 08:51:37.36 qyMU3NEz.net
>>441
変数の数から一意には定まらないのでは？
457:１３２人目の素数さん
20/10/29 09:09:42.27 qyMU3NEz.net
問題改題
長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積の最大値と最小値を求めよ。
458:イナ
20/10/29 11:45:49.44 GxVEasCu.net
前>>446
>>442
最小値l=√(4^2-3^2)=√7
m=3+√(5^2-7)=3+3√2
lm=3(1+√2)√7
459:１３２人目の素数さん
20/10/29 12:02:09.48 JZmjW2qA.net
改題されたんぢゃ 生姜ねぇ…
l = (9+10√2)/√17 = 5.6127923
m = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174
のとき最大
lm = 3(5+4√2) = 31.970563
このとき
x = (l - 7/l)/2 = 9/√17 = 2.1828206
y = (m - 9/m)/2 = (6√2)/√17 = 2.057983
(l + 7/l)/2 = (10√2)/√17 = 3.4299717
(m + 9/m)/2 = 15/√17 = 3.6380344
PD = 3√2 = 4.2426407
∠PBA = ∠PDA = arcsin(3/√34) = 30.9637565°
∠PBC = ∠PDC = arccos(3/√34) = 59.0362435°
∠PAB = ∠PCB = arccos(3/√17) = 43.3138567°
∠PAD = ∠PCD = arcsin(3/√17) = 46.6861433°
∠APB + ∠CPD = ∠APD + ∠BPC = 180°
460:１３２人目の素数さん
20/10/29 14:39:04.74 z2jmRItd.net
>>446
a=3 ; b=4 ; c=5として
x<m, y<l
x^2 + (y-l)^2=a^2 (1)
x^2 + y^2 =b^2 (2)
(x-m)^2 + y^2=c^2 (3)
が成立するときのl*mの最大値を求める計算になるので
(1)-(2),(3)-(2)の連立方程式を解いて
lm=(y+sqrt(y^2+a^2-b^2))*(x+sqrt(x^2+c^2-b^2))
(2)からx=b*cosθ, y=b*sinθとおけるので
lm(θ) = (b*sin(θ)+sqrt((b*sin(θ))^2+a^2-b^2))*(b*cos(θ)+sqrt((b*cos(θ))^2+c^2-b^2))
この最大値を求めると
θが
[1] 1.03037
のとき
[1] 31.97056
461:１３２人目の素数さん
20/10/29 14:50:27.94 z2jmRItd.net
数値を変えて計算させてみた。
> f(3,4,5)
l m Area
1 5.612759 5.696051 31.97056
> f(4,5,6)
l m Area
1 7.042527 7.096993 49.98076
> f(5,6,7)
l m Area
1 8.465368 8.503645 71.98648
462:イナ
20/10/29 21:22:28.67 Isupb/V3.net
前>>447
>>446
点Pが長方形の上辺AD上に来たとき、
AP=3
AC=√(4^2-3^2=√7
PC=√(5^2-7)=√18=3√2
ABCDの面積lm=AC×AD=√7(3+3√2)
=3(1+√2)√7
=19.1622260935……
これが最小値か？
点PとADの距離をaとおくと、
点PとABの距離は√(9-a^2)
ピタゴラスの定理よりl-a=√｛4^2-(9-a^2)｝=√(7+a^2)
点PとCDの距離は√｛5^2-(7+a^2)｝=√(18-a^2)
lm=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=√(9a^2-a^4)+√(18a^2-a^4)+√(63+2a^2-4a^4)+√(126+11a^2-4a^4)
微分してlm'=0となるaの値を探る。
√(36a-4a^3)(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(18a-4a^3)
(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(63+4a-4a^3)=0
0＜a＜3より9-2a^2=0
a=3/√2=3√2/2
lm=｛3√2+√(7+9/2)｝｛√(9-9/2)+√(18-9/2)｝
=(3√2/2+√46/2)(3√2/2+3√6/2)
=3(√2+√46)(√2+√6)/4
=3(1+√23)(1+√3)/2
=23.7517592907……
これが最大値か？
だめか、31超えるのか。
63+4a-4a^3=0と63+11a-2a^3=0がまだ可能性ある。
463:イナ
20/10/29 21:27:33.85 Isupb/V3.net
前>>451一部とり下げ。
lm'=0にならないから違う。
464:イナ
20/10/29 23:33:44.00 Isupb/V3.net
前>>452
>>446
最小値=3(1+√2)√7=19.1622260935……
最大値は、
a+√(9+a^2)=√(9-a^2)+√(16-a^2)
a^2=328-√(328^2-65×1600)
=(328-√3584)/65
=(328-16√14)/65
a=√｛(328-16√14)/65｝
一辺=a+√(9+a^2)= √｛(328-16√14)/65｝+√｛9+ (328-16√14)/65｝=5.65390392093……
面積=31.9666295471……
465:１３２人目の素数さん
20/10/30 00:26:38.46 NYoUhiCM.net
>>448
偶然だろうけど、lとmはかなり近い。(～1.5%)
そこで l=m とおいてみると
l = m = √(17+4√14) = 5.653904
lm = 17+4√14 = 31.96663
x = (l-7/l)/2 = 2.2079107
y = (m-9/m)/2 = 2.0310417
466:１３２人目の素数さん
20/10/30 07:27:51.10 8gUrz52z.net
>>454
正方形が最大にはならないのは興味深いな。
PA=3,PB=4,PC=10として>449の式を使って計算させると
> f(3,4,10)
l m Area
1 6.602385 10.38634 68.5746
と出てきた。
ちなみに>449を図示すると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
467:１３２人目の素数さん
20/10/30 08:15:43.78 uKdmyEHD.net
(問題)
全係数が非ゼロの多項式を完全多項式と呼ぶことにする.
たとえば,x^2+x+1は完全多項式だが,x^2+1はそうでない.
次の条件を満たすような自然数nをすべて求めなさい.
[条件]
(x+3)(x-2) のn乗を展開＆整理したものは完全多項式ではない.
468:１３２人目の素数さん
20/10/30 08:46:50.45 8gUrz52z.net
Pを原点、Aを(3,0)とすると
原点を中心とする
半径４の円周上の点B、
半径５の円周上の点C
が∠ABC直角になるように動く時の面積の最大値の2倍を求めればいいことになる
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
469:１３２人目の素数さん
20/10/30 11:10:47.71 R1dQMz0s.net
>>456
コレはムズイ‥‥
470:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:09:58.13 NYoUhiCM.net
例)
n=1 x^2 + x - 6,
n=2 x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36,
n=3 x^6 + 3x^5 - 15x^4 - 35x^3 + 90x^2 + …
n=4 x^8 + 4x^7 - 18x^6 - 68x^5 + 145x^4 + …
n=5 x^10 + 5x^9 - 20x^8 - 110x^7 + 185x^6 + …
n=6 x^12 + 6x^11 - 21x^10 - 160x^9 + 195x^8 + …
n=7 x^14 + 7x^13 - 21x^12 - 217x^11 + 161x^10 + …
n=8 x^16 + 8x^15 - 20x^14 - 280x^13 + 70x^12 + …
n=9 x^18 + 9x^17 - 18x^16 - 348x^15 - 90x^14 + …
n=10 x^20 + 10x^19 - 15x^18 - 420x^17 - 330x^16 + …
n=11 x^22 + 11x^21 - 11x^20 - 495x^19 - 660x^18 + …
n=12 x^24 + 12x^23 - 6x^22 - 572x^21 - 1089x^20 + …
n=13 x^26 + 13x^25 - 650x^23 -1625x^22 + 15015x^21 + …
n=14 x^28 + 14x^27 + 7x^26 - 728x^25 - 2275x^24 + …
n=15 x^30 + 15x^29 + 15x^28 - 805x^27 - 3045x^26 + …
う～む、無いなぁ…
471:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:17:16.31 2ndAoMxV.net
>>459
n=13 で x^24 の項が消えてるじゃん
472:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:46:38.48 yGnWFiRo.net
とりあえずn≦200までで２つしかない
main = do
let x = P [0,1]
--print $ (x+1)^7
--print $ (x-1)^8
let cond (P cs) = (not . all (/=0)) cs
print $ map fst $ filter (cond.snd) $ take 200 $ [ (n,((x+3)*(x-2))^n) | n <-[1..]]
----
[13,38]
473:１３２人目の素数さん
20/10/30 15:54:02.17 NYoUhiCM.net
(xx+x-6)^n = x^{2n} + n･x^{2n-1} + (n(n-13)/2)･x^{2n-2}
+ (n(n-1)(n-38)/6)･x^{2n-3} + (n(n-1)(nn-77n+582)/24)･x^{2n-4} + …… + (-6)^n
次のnは？
474:１３２人目の素数さん
20/10/30 17:13:59.13 NYoUhiCM.net
>>454
PC = √23 = 4.7958 とすれば
P(x,y)
x = (l-7/l)/2,
y = (m-7/m)/2,
l = m = (3+√23)/√2 = 5.512485 (正方形)
のとき最大
lm = 16 + 3√23 = 30.3875
このとき
x = y = 3/√2 = 2.12132
PD = PB = 4,
475:１３２人目の素数さん
20/10/30 17:16:18.88 yGnWFiRo.net
>>456
は答えあるんかな？
また「作ってみました」ってオチのやつじゃないの？
476:イナ
20/10/31 02:33:54.00 /HtleTZK.net
前>>453
>>446
分岐点と辺の最短距離をaとすると、
長方形の面積f(a)=a√(9-a^2)+√(81-a^4)+a√(16-a^2)+√(144+7a^2-a^4)
f'(a)の分子=(9-3a^2)√(9+a^2)(16-a^2)-2a^3√(16-a^2)+4(8-a^2)√(81-a^4)-a(2a^2-7)√(9-a^2)=0
477:１３２人目の素数さん
20/10/31 09:57:42.03 uynO3nT1.net
>>456 の出題者じゃないけど類題、というか弱い結果を与える問題
多項式 (x+3)(x-2) のn乗が完全多項式になるような n は無限に存在することを示せ
478:１３２人目の素数さん
20/10/31 10:11:18.50 WimbA5rt.net
>>462
おお
最高次数から4つ目以降は、多項式が
因数分解できなくなって
整数解なしになりそうですね
結局13と38だけっぽい
479:１３２人目の素数さん
20/10/31 10:21:53.24 uynO3nT1.net
(x+3)(x-2) のn乗の x^(n-m) の係数を P_m(n) とおけば
0≦k<[m/2] の時 P_m(k)=0 にはなるから、因数分解自体はできるね
それ以外に1次の因子で分解できないことが示せたらOKなんだろうけど、できるんかなあ…
480:１３２人目の素数さん
20/10/31 12:15:49.50 smGTd41z.net
完全多項式は数論の分野で考えることできる？
481:イナ
20/10/31 13:05:09.37 /HtleTZK.net
前>>465
>>448
(m-9/m)/2=6√2/√17はどうやって出したの？
ていうかこれはなに？ なんで必要な値なの？
ほんの少し横長な長方形が最大になる可能性があるのはわかる気がするけど、
9/mってなに？
482:１３２人目の素数さん
20/10/31 13:25:40.80 uynO3nT1.net
>>468 のヒントになっちゃうけど
有限体上の完全多項式とかならある程度興味の対象にできそうな気はしてるが
数学的に重要な概念というより、これ絡みで難しい問題が作りやすいみたいな感じじゃないかなあ
483:１３２人目の素数さん
20/10/31 14:46:48.28 EXs1ooZE.net
単に思いついたから書いただけでしょ？
484:１３２人目の素数さん
20/10/31 22:50:45.65 Ko+WsKhL.net
>>449
a=3 b=4 c=5
f(x) = (√(a^2-x^2)+√(b^2-x^2))*(x+√(x^2+c^2-b^2))
f'(x)=0 を解いて x = a*b/√(a^2+c^2)
f(a*b/√(a^2+c^2)) = b*√(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
fmax <- function(a,b,c) b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(3,4,5)
[1] 31.97056
> fmax(4,5,6)
[1] 49.98076
> fmax(5,6,7)
[1] 71.98648
485:１３２人目の素数さん
20/10/31 23:01:55.52 Ko+WsKhL.net
>>450
a=3 b=4 c=5
# l
(a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
# m
(c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
# Area
b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c
検算
> (a*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + b*c)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.612792
> # m
> (c*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*b)/sqrt(a^2 + c^2)
[1] 5.696017
> # Area
> b*sqrt(a^2 - b^2 + c^2) + a*c # Area
[1] 31.97056
>448の値と一致
486:１３２人目の素数さん
20/10/31 23:45:29.71 Ko+WsKhL.net
>>453
最小となるときの図を描くと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
で味気ない結果。
487:１３２人目の素数さん
20/11/01 01:16:41.87 vPayCbtl.net
>>470
P(x,y) とおく。
7 = PB^2 - PA^2 = (l-x)^2 - x^2,
∴ x = (l-7/l)/2,
9 = PC^2 - PB^2 = (m-y)^2 - y^2,
∴ y = (m-9/m)/2,
lとmを関係づける、もう１つの条件がいる。 例えば
PA = 3, PB = 4, PC = 5,
PD = √(9+25-16) = 3√2,
など。
PA=3 の場合は
(l-7/l)^2 + (m-9/m)^2 = (2PA)^2 = 6^2, …… (1)
2(l-7/l)(1+7/l^2)dl + 2(m-9/m)(1+9/m^2)dm = d(PA^2) = 0,
これと面積最大条件
m･dl + l･dm = d(l･m) = 0,
(1/l)dl + (1/m)dm,
から
(l-7/l)(l+7/l) = (m-9/m)(m+9/m),
l^2 - (7/l)^2= m^2 - (9/m)^2, …… (2)
(1)(2)から l,m がきまる。
488:イナ
20/11/01 06:06:09.85 fkZrg8Hr.net
前>>470
>>476
7=PB^2-PA^2の7ってなに？
ピタゴラスの定理で(√7)^2ってこと？
489:１３２人目の素数さん
20/11/01 18:33:31.99 QDSLSe3f.net
正方形ABCDの内部の点をPとしてPA=a,PB=b,PC=cのとき正方形の面積を求めよ。
答 (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 ))
490:１３２人目の素数さん
20/11/01 20:00:06.78 QDSLSe3f.net
491:arget="_blank" class="reply_link">>>478 検算 > ll <- function(a,b,c) (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt(-a^4 + 2*a^2*(2*b^2+c^2)-(c^2-2*b^2)^2 )) > ll(3,4,5) [1] 31.96663 >454のｌｍの値と一致しているので一般解でよさそう。
492:１３２人目の素数さん
20/11/01 20:41:48.37 vPayCbtl.net
b√2 = b' とおいて
lm = (1/2){aa + cc + √((a+b'+c)(a+b'-c)(a-b'+c)(-a+b'+c))}
= (1/2){aa + cc + 4S(a, b', c)}
でもいいかな?
S(a,b',c) は辺長が a, b', c である三角形の面積。
493:１３２人目の素数さん
20/11/01 21:26:23.58 X5qYnZ39.net
>>480
きれいな式になるんですね。
検算
> lm = function(a,b,c) {
+ b1=sqrt(2)*b
+ (1/2)*(a^2 + c^2 + sqrt((a+b1+c)*(a+b1-c)*(a-b1+c)*(-a+b1+c)))
+ }
> lm(3,4,5)
[1] 31.96663
494:１３２人目の素数さん
20/11/02 01:33:51.52 nV+GRV6y.net
〔問題〕
正方形ABCDの内部の点をPとして PA=1, PB=2, PC=√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))} = 2.9806212 のとき
∠PBA を求めよ。
495:イナ
20/11/02 02:42:12.88 n7YZSZPT.net
前>>477
長方形の面積が31.97を超えるとは思えない。
496:１３２人目の素数さん
20/11/02 06:54:48.73 NpzmGMHy.net
>>482
√{3 + 2√3 + √(2(√3-1))}= 2.770217になるのですが。
497:１３２人目の素数さん
20/11/02 07:00:37.04 NpzmGMHy.net
>>482
PC=sqrt(3 + 2*sqrt(3) + sqrt(2*(sqrt(3)-1)))だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.8490976 48.6497102
正方形の面積
> lm(a,b,c)
[1] 7.086687
PC=2.9806212だと
> BAC(P,A,B)
rad deg
0.7992808 45.7954192
> lm(a,b,c)
[1] 7.769885
作図してベクトルの内積にacosつかって角度を出した。
498:１３２人目の素数さん
20/11/02 10:06:29.68 9YQXYJyn.net
>>466 答え
(x+3)(x-2) を有限体F_5の多項式と見なせば、展開して x^2+x-1 となる。
これを二乗したら x^4+2x^3+4x^2+3x+1 となり、更にフロベニウス準同型を考えれば
(x^2+x-1)^(2*5^m) = x^(4*5^m) + 2x^(3*5^m) + 4x^(2*5^m) + 3x^(5^m) + 1
となることがわかる。
これより、(x^2+x-1) を 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗して得られる F_5 上の多項式は
定数から最高次までの係数が全て非0になることが導かれる。
これは有理数係数多項式 (x+3)(x-2) の 2*(1+5^1+5^2+…+5^m) 乗の、定数から最高次までの
各係数が5で割りきれないことを意味し、従ってこれは完全多項式となる。
499:１３２人目の素数さん
20/11/02 12:08:08.69 nV+GRV6y.net
>>484
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた…orz
500:１３２人目の素数さん
20/11/02 12:46:43.77 nV+GRV6y.net
>>485
ｽﾏｿ.
PC = √{3 + 2√3 + ２√(2(√3-1))} = 2.9806212
だた...orz
下の方の面積は正解です。
l = m = (1+√3)/(√2) + √(√3 -1) = 2.78745133
さすが公式の威力…
※ 元の問題では PC=3 で (高校数学質問スレPart408．270)、その場合は
l-x = (4+√2)/l, y = (√2)/l, l = √(5+2√2) = 2.79793265
tan(∠PBA) = y/(l-x) = 1/(1+2√2),
∠PBA = 14.6388°
これと大差ないと思ったんだが…
501:１３２人目の素数さん
20/11/02 13:10:12.02 MUSdHq7X.net
>478の複雑な式からどうしたら>480のようなきれいな式を思いつくのかが不思議。
俺は>478を導出するだけでも一苦労したんだけど。
502:イナ
20/11/02 13:45:22.19 n7YZSZPT.net
前>>483
>>455
最大になるときＰはACよりD側にあるの？
B側にあるほうが大きくなりそうな気がしてPとABの距離をaとおいたところを、
D側にあるほうが大きくなると見てＰとADの距離をaとおきなおした。
ABCD=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=a√(9-a^2)+√(7+a^2)(9-a^2)+a√(18-a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)
ABCD'の分子=0よりa=3のときABCDは最小。
最大になるとき0＜a＜3√2/2
a^2=bとおいて(b^2-2b+63)(b-18)(b^2-11b+126)=0
0＜b＜9/2だからb^2-2b+63=(b-1)^2+62＞0
(b-18)(b^2-11b+126)=0
ここまでできた。
503:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:00:59.94 nV+GRV6y.net
>>476
PA=a, PB=b, PC=c のとき
PD = √(aa-bb+cc) = d,
{l - (bb-aa)/l}^2 + {m - (cc-bb)/m}^2 = (2a)^2, …… (1)
l^2 - ((bb-aa)/l)^2= m^2 - ((cc-bb)/m)^2, ……Max条件 (2)
(1) (2)から l,m を求めると
l = (ad+bc)/√(aa+cc),
m = (ab+cd)/√(aa+cc),
点Pの座標 (x,y) は
x = {l - (bb-aa)/l}/2 = ad/√(aa+cc),
y = {m - (cc-bb)/m}/2 = ab/√(aa+cc).
504:１３２人目の素数さん
20/11/02 17:32:49.15 nV+GRV6y.net
>>490
ABCDの面積の最大値を求めるためにbで微分すると、
b(7+b) = (9-b)(18-b),
17b = 81,
b = 81/17,
a = 9/√17 = 2.1828206 ････ 点Pと辺ADの距離(x)
l = a + √(7+aa) = (9+10√2)/√17 = 5.6127923 … AB = CD
m = √(9-aa) + √(18-aa) = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174 … BC = DA
505:１３２人目の素数さん
20/11/02 18:39:47.18 nV+GRV6y.net
>>492
l(x) = x + √(7+xx),
m(x) = √(9-xx) + √(18-xx),
これより
l' /l = 1/√(7+xx)
m' /m = - x/√((9-xx)(18-xx))
Max.条件より
0 = S'(x)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m{1/√(7+xx) - x/√((9-xx)(18-xx))},
∴ xx (7+xx) = (9-xx) (18-xx),
∴ xx = 81/17,
�
506:� x = 9/√17 = 2.1828206
507:１３２人目の素数さん
20/11/02 19:12:19.62 nV+GRV6y.net
>>488
点P の座標は
x = √(√3 -1) = 0.855599677
y = (√3 -1)/(√2) = 0.517638090
508:１３２人目の素数さん
20/11/03 00:49:55.64 XCxGvOul.net
>>491
面積の最大値は
lm = (ad+bc)(ab+cd)/(aa+cc),
d = √(aa-bb+cc),
・l=m で最大となるのは
(a-c)(b-d) = 0,
(a-c)(aa-2bb+cc) = 0,
の場合。
509:１３２人目の素数さん
20/11/03 00:51:51.47 wXfSpeYU.net
自然数列は有限個の「公差が1より大きく、かつそれぞれの公差が異なる等差数列たち」で分解することは出来ないことを証明せよ
510:イナ
20/11/03 02:07:24.52 NMjSfbZM.net
前>>490
>>492
間違いなくこれが正解の正攻法だから、
もうちょい詳しく飛ばさずに書いて。
bで微分する前の式はどれ？
b(7+b)も(9-b)(18-b)も、
元は√b+√(7+b)と√(9-b)+√(18-b)のはず。
根号の和のかたちから、根号を外した積のかたちにするのは、
微分の一言だけではわかりかねます。飛躍してます。
説明不足で不正解とも言われかねません。
511:１３２人目の素数さん
20/11/03 03:20:06.65 MZbun6hF.net
恥ずかしながらググってしまった
ちょっと感心した
512:１３２人目の素数さん
20/11/03 09:19:33.13 XCxGvOul.net
>>497
l(b) = √b + √(7+b),
m(b) = √(9-b) + √(18-b),
S(b) = l(b)･m(b),
とおく。
l' /l = 1/{2√b･√(7+b)}
m' /m = - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}
ここで ' はbで微分することを示す。
面積最大条件：
0 = S'(b)
= (l･m)'
= l'･m + l･m'
= l･m(l' /l + m' /m)
= l･m･(1/{2√b･√(7+b) - 1/{2√(9-b)･√(18-b)}),
∴ b(7+b) = (9-b)(18-b),
∴ b = 81/17,
∴ a = 9/√17 = 2.1828206
513:１３２人目の素数さん
20/11/03 09:41:39.03 XCxGvOul.net
>>480
PD = √(aa-bb+cc) = d,
を使えば
lm = (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 + (2ac)^2 - (aa+cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2bd)^2 - (aa-cc)^2]}
= (1/2) {(aa+cc) + √[(2ac)^2 - (bb-dd)^2]},
514:イナ
20/11/03 15:20:02.35 NMjSfbZM.net
前>>497
長方形ABCDの面積S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+√a(18-a^2)
a ^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(1/2)(1/√b)√(9-b)+√b(1/2)｛-1/√(9-b)｝+(1/2)｛-1/√(9-b)｝√(7+b)+√(9-b)(1/2)｛1/√(7+b)｝+(1/2)｛1/√(7+b)｝√(18-b)+√(7+b)(1/2)｛-1/√(18-b)｝+(1/2)(1/√b)√(18-b)+√b(1/2)｛-1/√(18-b)｝=0
√(9-b)/2√b-√b/2√(9-b)-√(7+b)/2√(9-b)+√(9-b)/2√(7+b)+√(18-b)/2√(7+b)-√(7+b)/2√(18-b)+√(18-b)/2√b-√b/2√(18-b)
(9-b-b)/2√b(9-b)-(7+b-9+b)/2√(9-b)(7+b)+(18-b-7-b)/2√(7+b)(18-b)+(18-b-b)/2√b(18-b)=0
通分して(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
ここまでできた。
515:イナ
20/11/03 18:02:59.86 zQLoxy/h.net
前>>501
>>499
とりあえずlとmは使わずに解いて。
答えは9/√17で納得のいく値だから、
途中を書いて。いじわるせんでさぁ。
516:１３２人目の素数さん
20/11/03 18:23:53.09 XCxGvOul.net
そう言われても…
l' = l/{2√b･√(7+b)}
m' = - m/{2√(9-b)･√(18-b)}
が出ればあとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ
517:イナ
20/11/03 19:13:36.22 zQLoxy/h.net
前>>501計算間違いか。微分のことは微分でする。lとmは使わずに。
S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
S'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√b(9-b)(7+b)+(11b+63)/2√(7+b)(18+b)+(-2b+18)/2√b(18-b)
518:イナ
20/11/03 19:47:55.09 zQLoxy/h.net
前>>504訂正。
(9-2b)√(7+b)(18-b)+(2-2b)√b(9-b)+(11-2b)√b(9-b)+(18-2b)√(9-b)(7+b)=0
(9-2b)(7+b)√(9-b)(18-b)+(13-4b)(9-b)√b(7+b)+(18-2b)(9-b)(7+b)=0
まだ遠い。
b(7+b) = (9-b)(18-b)
519:１３２人目の素数さん
20/11/03 21:03:03.32 XCxGvOul.net
>>503
l' = {√b + √(7+b)} '
= 1/(2√b) + 1/(2√(7+b))
= {√(7+b) + √b} / {2√b･√(7+b)}
= l(b) / {2√b･√(7+b)},
m' = {√(9-b) + √(18-b)} '
= - 1/(2√(9-b)) - 1/(2√(18-b))
= - {√(18-b) + √(9-b)} / {2√(9-b)･√(18-b)}
= - m(b) / {2√(9-b)･√(18-b)}
あとは
l'/l + m'/m = 0
に入れるだけ
520:イナ
20/11/03 21:22:08.22 zQLoxy/h.net
前>>505
>>499
bで微分すると言った以上はbで微分して。
lとmは使わずに。
521:１３２人目の素数さん
20/11/04 00:26:51.82 aU0ymthI.net
S(b) のまま微分するのはお奨めしないが、やるとすれば
2S '(b) = (-2b+9)/√(b(9-b)) + (-2b+2)/√((7+b)(9-b)) + (-2b+11)/√((7+b)(18-b)) + (-2b+18)/√(b(18-b)),
ここで
(-2b+9)/√(b(9-b)) = {(9-b) - b}/√(b(9-b)) = √(9-b)/√b - (√b)/√(9-b),
(-2b+2)/√((7+b)(9-b)) = {(9-b) - (7+b)}/√((7+b)(9-b)) = √(9-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(9-b),
(-2b+11)/√((7+b)(18-b)) = {(18-b) - (7+b)}/√((7+b)(18-b)) = √(18-b)/√(7+b) - √(7+b)/√(18-b),
(-2b+18)/√(b(18-b)) = {(18-b) - b}/√(b(18-b)) = √(18-b)/√b - (√b)/√(18-b),
だから
2S '(b) = {1/√b + 1/√(7+b)}{√(9-b) + √(18-b)} - {√b + √(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}
= {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√((9-b)(18-b)) - {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}√(b(7+b))
= {1/√b + 1/√(7+b)}{1/√(9-b) + 1/√(18-b)}{√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b))},
√((9-b)(18-b)) - √(b(7+b)) = 0,
移項して2乗する。
522:イナ
20/11/05 11:27:18.53 GSpbgzRF.net
前>>507
>>508
b=81/17になった。
S(b=81/17)=(54√2+120+50√10+45√5)/17=26.7708514332……
最大じゃない。
523:１３２人目の素数さん
20/11/05 17:39:16.63 oCSwH2P1.net
b = 81/17 のとき
l = √b + √(7+b) = (9+10√2)/(√17),
m = √(9-b) + √(18-b) = 3(2√2 + 5)/(√17) ≠ (6√2 + 5√5)/(√17),
S = l･m = 3(5+4√2) = 31.97056275
どこから √5 が出てきたかな？？
524:イナ
20/11/05 23:26:02.04 GSpbgzRF.net
前>>509できたわ。計算が難しい。符号がとくに間違いがち。
lとmは使わずに微分のことは微分で解くべきだと思う。
>>446
長方形ABCD=S(a)=a√(9-a^2)+√(9-a^2)(7+a^2)+√(7+a^2)(18-a^2)+a√(18-a^2)
a^2=bとおくとS(a)=S(b)=√b(9-b)+√(9-b)(7+b)+√(7+b)(18-b)+√b(18-b)
微分してS'(b)=(-2b+9)/2√b(9-b)+(-2b+2)/2√(9-b)(7+b)+(-2b+11)/2√(7+b)(18-b)+(-2b+18)/2√b(18-b)=0
2S'(b)=√(9-b)/√b-√b/√(9-b)-√(7+b)/√(9-b)+√(9-b)/√(7+b)
+√(18-b)/√(7+b)-√(7+b)/√(18-b)+√(18-b)/√b-√b/√(18-b)
=｛1/√b+1/√(7+b)｝｛√(9-b)+√(18-b)｝-｛1/√(9-b)+1/√(18-b)｝｛√b+√(7+b)｝=0
1/√b(7+b)=1/√(9-b)(18-b)
b(7+b)=(9-b)(18-b)
7b=-27b+162
34b=162
17b=81
b=81/17
S(b=81/17)=√81(153-81)/17+√(153-81)(119+81)/17+√(119+81)(306-81)/17+√81(306-81)/17
17S=54√2+120+150√2+135
=255+204√2
S=15+12√2
=31.9705627485……
最大値31.97超えた。
525:１３２人目の素数さん
20/11/09 02:33:19.39 R32B64bf.net
2つ以上の開円盤の直和の閉包は閉円盤になりえるか？
526:１３２人目の素数さん
20/11/09 10:23:51.04 9qqabWlE.net
開円盤を可算無限個使っていいなら可能
527:イナ
20/11/09 10:55:50.14 uFJa4wsX.net
前>>511
>>512
葡萄島を円でやると考えると可能だと思う。
ある程度ジャンケンに勝つことが必要。
528:１３２人目の素数さん
20/11/09 11:52:04.13 fXWJE+oy.net
互いにdisjointな開円盤の集合全体は包含関係で帰納的順序集合
極大元取れば‥
ホントは選択公理いらんけど
529:１３２人目の素数さん
20/11/09 17:05:37.20 R32B64bf.net
>>515
正解です
正確には背理法で、Bを与えられた開球として、Dをその閉包とする。D内の開円盤直和の極大元の閉包MがもしDでないとすると、
B\Mが空でない開集合になって、開球を中に入れることが出来るので極大性に矛盾です。
ちなみにこの主張はルベーグ測度の回転不変性の別証明とかにも役立ちます
530:１３２人目の素数さん
20/11/09 17:31:58.41 9jQyXKTk.net
某パズル本より
3次元ユークリッド空間は互いにdisjointな円周の和で表される事を示せ
531:１３２人目の素数さん
20/11/10 22:24:01.47 Rbias3xO.net
六角形ABCDEFの辺の長さが全て1とする。
∠A=∠C=∠E=90度のとき、この六角形の面積を求めなさい。
532:１３２人目の素数さん
20/11/10 22:59:26.33 TGDxz2PN.net
1/2×3+1/2×√2^2×√3/2
=3/2+√3/2
533:イナ
20/11/11 01:01:25.07 +Tz1CUay.net
前>>514
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)√2
=3/2+√6/4
534:イナ
20/11/11 01:05:31.65 +Tz1CUay.net
前>>520訂正。
>>518
六角形ABCDEF=△ABF+△BCD+△DEF+△BDF
=3△ABF+△BDF
=3/2+(√3/4)(√2)^2
=3/2+√3/2
535:１３２人目の素数さん
20/11/11 05:47:06.97 8K
536:5dFo08.net
537:１３２人目の素数さん
20/11/11 05:47:52.89 zit2pxrS.net
>>521
正解です
538:１３２人目の素数さん
20/11/11 09:43:40.39 8Lfl0aYp.net
>>522
例えば閉円盤Dの内点の点のうちx座標もy座標系も有理数である点の全体を並べたものp1,p2,‥を“具体的に”与えておく(それが可能なのはゲーデルの定理)
ただしp1は中心でないとする
piの部分列qiと開円盤の列U1,U2,‥を帰納的に以下のように定める
まずq1=p1とし、U1は中心がq1で半径がdist(q1, ∂D)の開円盤とする
Unまで定まった時q(n+1)はp(n+1)移行の点で∪[i≦n]Uiの閉法Fに属さない一番最初の点piをq(n+1)とし中心がq(n+1),半径がdist(q(n+1),F)の開円盤をU(n+1)とする
コレで完成
この作業を“具体的に”行うプログラムなども作ろうと思えば作れる(ゲーデルの定理)
539:１３２人目の素数さん
20/11/11 16:28:29.41 8K5dFo08.net
>>524
おーありがとうございます！
なるほど有理点に端から円を乗せていって隙間に埋めていく感じでいいのか
540:１３２人目の素数さん
20/11/12 16:21:18.59 cvoD8SLE.net
>>481
b√2 = b' とおいて
辺長が a,b',c である三角形の頂角をα, β', γ とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+45°の三角形の対辺は l.
二辺が c,a で挟角が β'+90°の三角形の対辺は l√2,
二辺が a,b で挟角がγ+45°の三角形の対辺は l.
ここに l = √{(aa+cc+4S)/2}, S = S(a,b',c)
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
辺長 l,l,ｌ√2 の直角二等辺三角形を作れる。
541:１３２人目の素数さん
20/11/12 17:56:49.81 cvoD8SLE.net
>>481
つまり
∠APB = γ + 45°
∠BPC = α + 45°
∠CPA = β' + 90°
542:１３２人目の素数さん
20/11/13 04:18:56.34 M5JR9HFw.net
>>478
チョト一般化してみた。
〔類題〕
⊿ABC (∠A, ∠B, ∠C は所与) の内部の点をPとして
PA=a, PB=b, PC=c のとき、
⊿ABCの外接円の半径Rを求めよ。
543:１３２人目の素数さん
20/11/13 04:48:33.06 M5JR9HFw.net
辺長が a ' = a･sin(A), b ' = b･sin(B), c ' = c･sin(C) である三角形の
頂角を α, β, γ 面積を S ' = S(a ', b ', c ') とする。
第二余弦定理を使って
二辺が b,c で挟角が α+A の三角形の対辺は 2R sin(A)
二辺が c,a で挟角が β+B の三角形の対辺は 2R sin(B),
二辺が a,b で挟角が γ+C の三角形の対辺は 2R sin(C),
ここに
(2R)^2 = {sin(A)cos(A)aa + sin(B)cos(B)bb + sin(C)cos(C)cc + 4S’}/{sin(A)sin(B)sin(C)},
S ' = S(a', b', c')
上記の3つの角の合計は 360°だから
これらの三角形を組合せて
題意の条件をみたす⊿ABCを作れる。
A=45°, B=90°, C=45° の場合が >>478