20/08/31 14:36:14.17 6VPH5mpo.net
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n cos(mx) dx = ... の一般式を導出してみました。
単に驚きの共有といったところです。特に質問はありません。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
留数計算と極限操作をしてるだけですが、
ε極限の収束は確定してるので、相殺予定の発散項は無視して計算するのが肝です。
以前に計算した事のある式
∫[-∞,+∞] {sin(x)/x}^n dx
= 2nπ/(2n)!! Σ[k=0,⌊(n-1)/2⌋] C[n,k](-1)^k (n-2k)^{n-1}
これはもっと簡易化できるか？ nが非整数の場合はどうなのか？ を問うつもりだったのだけど、
Gradshtejn, Ryzhikov_Tablicy Integralov (※)の p.471 に cos(mx) 付きの公式(一部誤植あり)を見つけて
あらためて導出してみたわけです。 たぶんこれ以上は簡単にならないのでしょう。
※なんでも載ってる数学公式集だと 数学者(名前は忘れた)が twitterで言ってました。
ググれば pdf が転がってます。 ロシア語なので地の説明文は全然分からず、公式の探し方には苦労します。