20/10/11 15:03:19.77 dbtP37+2.net
>>274
これ>>276を元に一般次元で考えると
まず(n+1)次元の単位ベクトルたちの影e0,e1,…,enが
n次元に重心原点で辺長√2の超四面体Δを作る
超立方体の影Sは射影の線形性によりeiたちを使って
S={Σαiei|0≦αi≦1(i=0～n)}
と書け、この影は順序組(eσ(1),eσ(2),…,eσ(n))ごとに
錐(0,eσ(1),eσ(1)+eσ(2),…,Σeσ(i))という(n+1)!個の基本領域に分割できる
この錐の体積は錐(0,eσ(1),eσ(2),…,eσ(i))の体積と同じであり、これは超四面体Δの1/(n+1)
よって影Sの体積はΔの体積のn!倍
一方で一辺が√2の超四面体の体積はCayley-Mengerを使って1/n!√(n+1)と計算出来るから
結局、影Sの体積が√(n+1)と分かる
(これ自体の計算は>>278の方法がはやい)
Δの重心から頂点までの距離は
|ei|=|(0,…,1,…,0)-1/(n+1)(1,…,1)|=√(n/(n+1))
となっているから
逆に重心から頂点までの距離が1の超四面体の体積は
1/n!√((n+1)^(n+1)/n^n)となり
さらにこの頂点ベクトルたちをfi(長さは1)とすると
S={Σαifi|0≦αi≦1(i=0～n)}という領域の体積は
√((n+1)^(n+1)/n^n)となる
とてもキレイな形だけど、これを直接計算する方法あるんだろうか