20/10/10 02:50:42.25 68VlLUVE.net
形状はともかく体積だけならすぐ求まるんだな
d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい
その内積は±1/√d
内積が+の面の影だけ考えればよい
その数はdで総面積もd。
射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される
∴影の面積は√d
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形状はともかく体積だけならすぐ求まるんだな
d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい
その内積は±1/√d
内積が+の面の影だけ考えればよい
その数はdで総面積もd。
射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される
∴影の面積は√d