20/10/01 11:08:44.59 MUVtJ7n/.net
>>231
暇つぶしにプログラム組んで計算させてみた。
# y=tan(A)(x-a1)+a2 ,y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates -> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(rad=bac,deg=bac*180/pi))
}
c=koten(0,0,9, 1,0,180-75)
d=koten(0,0,3, 1,0,180-51)
B=1+0i
C=c[1]+1i*c[2]
D=d[1]+1i*d[2]
BAC(D,C,B)
実行結果
> BAC(D,C,B)
rad deg
0.2617994 15.0000000
264:１３２人目の素数さん
20/10/01 11:43:03.29 MUVtJ7n/.net
>230
> a=koten(0,0,80,1,0,180-40)
> d=koten(0,0,30,1,0,180-10)
> A=a[1]+1i*a[2]
> D=d[1]+1i*d[2]
> C=1+0i
> BAC(D,A,C)
rad deg
0.6981317 40.0000000
265:１３２人目の素数さん
20/10/01 13:39:44.47 bOWhBrvT.net
>>231
作図できれば角度は計測できるので
数値を変えても計算できるように関数化してみた。
f <- function(
# URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
DAB=3,
DAC=6,
DBA=51,
DBC=24){
# return the intersection point of two lines
# y=tan(A)(x-a1)+a2 & y=tan(B)(x-b1)+b2
koten <- function(a1,a2,a,b1,b2,b){
A=a*pi/180
B=b*pi/180
if(tan(A)==tan(B)) return(NA)
else
x = (a1* tan(A) - a2 - b1 *tan(B) + b2)/(tan(A) - tan(B))
y = (a1* tan(A)* tan(B) - b1 *tan(A)* tan(B) + b2 *tan(A) - a2* tan(B))/(tan(A) - tan(B))
c(x,y)
}
# coordinates of B,A,C-> angle BAC
BAC <- function(B,A,C){
if(is.complex(B)|is.complex(A)|is.complex(C)){
a=c(Re(A),Im(A)); b=c(Re(B),Im(B)); c=c(Re(C),Im(C))
}else{a=A;b=B;c=C}
ab=b-a
ac=c-a
dot=sum(ab*ac)
bac=acos(dot/sqrt(sum(ab^2))/sqrt(sum(ac^2)))
return(c(degree=bac*180/pi))
}
A=0i
C=koten(0,0,DAB+DAC, 1,0,180-(DBA+DBC))
D=koten(0,0,DAB, 1,0,180-DBA)
B=c(1,0)
c(x=BAC(D,C,B),y=BAC(D,C,A))
}
f()
> f()
x.degree y.degree
15 81
266:イナ
20/10/01 21:28:55.31 TNhXD1Hp.net
前>>247
>>230
50°+30°=80°
10°+30°=40°
頂角=180°-(80°+40°)=60°
各頂点から三又の分岐点までの直線を対辺まで延長し、交点を結ぶと相似な三角形の組が3対でき、
適宜メネラウスの定理を使い、αを頂角とする二等辺三角形が示せれば底角70°,α=40°となるんじゃないかと。
267:１３２人目の素数さん
20/10/02 02:53:12.68 /iB13sh9.net
>>255（補足）
>230の方は数値を変えて
> f(10,30,30,50)
x.degree y.degree
20 40
268:１３２人目の素数さん
20/10/02 09:11:44.19 e7myMRCF.net
てす
やっとソフバンスマホ全規制消えた？
測地線の求め方検索してもうた
1975年ですでにミリ単位まで計算できたのね
269:イナ
20/10/02 16:58:44.93 1rBMW50x.net
前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？
270:イナ
20/10/02 16:58:45.07 1rBMW50x.net
前>>256
>>231
x+y=180-24-51-3-6
=96
y=x/5とするとx+x/5=96
x/5=16=y
これではだめなの？
271:１３２人目の素数さん
20/10/03 00:29:58.61 /MzJzb3g.net
sin(A+Δ)sin(A-B+90)sin(B-Δ)
=sin(Δ-A+B+X)sinΔsin(90-A+B-X)
が成り立つとき
sin(B+Δ)sin(B-A+90)sin(A-Δ)
=sin(Δ-B+A+X)sinΔsin(90-B+A-X)
も成り立つ
(AとBを入れ替えた等式が同値になる)
272:イナ
20/10/04 05:20:09.85 ymdCvHZo.net
前>>259-260
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin75°
BC=sin9°/sin75°
273:イナ
20/10/04 05:32:34.62 lOQ61Aun.net
前>>262訂正。
>>231
AB=1とすると、
正弦定理より、
BC/sin9°=1/sin96°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
AC=sin75°/sin 96°=0.97124641577……
274:イナ
20/10/04 18:47:39.29 09dHyTRo.net
前>>263
sin51°sin6°siny=sin3°sin 24°sinx
=sin3°sin 24°sin(96°-y)
=sin3°sin 24°(sin96°cosy-cos96°siny)
275:イナ
20/10/05 00:15:57.70 qBI2thnr.net
sin ^2y=0.2113248654
siny=√0.211324865
y=27.36……
y≒27.37°
276:１３２人目の素数さん
20/10/05 07:43:20.22 DjDaF11t.net
>>264
正弦定理
sin(51)/AD = sin(3)/BD,
sin(6)/CD = sin(x)/AD,
sin(y)/BD = sin(24)/CD,
を辺々掛けたのでござるか。
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
ここで
sin(96) = cos(6), cos(96) = -sin(6),
だから
1/tan(y) = {sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}･tan(6)
= 2 + √3,
tan(y) = 2 - √3 = {1 - cos(30)}/sin(30) = tan(15),
y = 15°
277:１３２人目の素数さん
20/10/05 08:48:38.19 DjDaF11t.net
>>265
{sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)) + cos(96)}sin(y) = sin(96)cos(y),
sin(96) = cos(6), cos(96) = - sin(6) を入れて
{sin(51)/(sin(3)sin(24)) - 1}sin(6)sin(y) = cos(6)cos(y),
すなわち
(2+√3) sin(y) = cos(y),
両辺を2乗して
(2+√3) sin(y)^2 = (2-√3) cos(y)^2,
移項して
(√3){sin(y)^2 + cos(y)^2} = 2{cos(y)^2 - sin(y)^2},
√3 = 2cos(2y),
2y = 30°
y = 15°
278:イナ
20/10/05 19:59:33.12 qBI2thnr.net
前>>265なるほど>>266そうするのか。
>>231
AB=1とすると、
△ABCにおいて正弦定理より、
AB/sin96°=BC/sin9°=CA/sin 75°
BC=sin9°/sin96°=0.1572961498……
CA=sin 75°/sin96°=0.97124641577……
△ABDにおいて正弦定理より、
AB/sin126°=BD/sin3°=AD/sin51°
BD=sin3°/sin126°=0.06469079958……
AD=sin51°/sin 126°=0.9606052368……
△ADCにおいて正弦定理より、
AD/sin(96°-y)=CD/sin6°
CD=ADsin6°/sin(96°-y)
=ADsin6°/(sin96° cosy-cos96° siny)
△BCDにおいて正弦定理より、
BD/siny=CD/sin24°
siny=BDsin24°/CD
=sin3°sin24°sin(96°-y)/sin126°ADsin6°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin126°
=sin3°sin24°(sin96°cosy-cos96°siny)/sin51°sin6°
=sin3°sin24°(cos6°cosy+sin6°siny)/sin51°sin6°
=(sin3°sin24°cos6°/sin51°sin6°)cosy-(sin3°sin24°/sin51°)siny
(sin51°-sin3°sin24°)siny/sin51°=(sin3°sin24°cos6°/sin 51°)cosy
sin^2y=｛(sin3°sin 24°cos6°)^2+sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝/｛sin^2(6°)(sin51°-sin3°sin 24°)^2｝
cos^2y=0.00624238744……/0.00669057069
=0.93301270238……
cosy=0.96592582654……
cos15°=0.96592582628……
ちょっと誤差があるけど、
y=15°
279:イナ
20/10/06 10:49:27.00 29WTz0Ux.net
前>>268
>>266-267は誤差がないっぽい。式変形で解いとるんだなぁ。
y=15°でぴったり決まっとんだなぁ。
280:１３２人目の素数さん
20/10/06 11:04:27.17 36hUS0F6.net
まぁホントはほとんどごまかしてるのが多いけどなww
281:１３２人目の素数さん
20/10/07 02:17:14.52 Lszlb2z1.net
一次方程式2+3=x×0を解きなさい。
282:イナ
20/10/08 03:09:25.41 PM1Dx4ug.net
前>>269
cosy=(√6+√2)/4
siny=(√6-√2)/4
とすると、
cos^2y=(8+4√3)/4^2=(2+√3)/4
sin^2y=(8-4√3)/4=(2-√3)/4
cos^2y-sin^2y=√3/2
(cosy+siny)(cosy-siny)=√3/2=cos30°=sin60°
283:イナ
20/10/08 03:16:57.66 PM1Dx4ug.net
前>>272つづき。
cos^2y-sin^2y=cos2yだから、
cos2y=√3/2=cos30°
2y=30°
∴y=15°
違うやん、仮定したで出ただけやん。
284:１３２人目の素数さん
20/10/09 23:06:43.31 V6dLSA61.net
立方体を対角線方向へ射影した図形は正六角形である
では4次元立方体を対角線方向へ射影した図形はどんな形になるか？
(ヒント:これは3次元図形でありwikiに名称のある多面体となる)
また、この多面体の体積は元の4次元立方体の超面(面といってもこれは立方体である！)の体積の何倍になるか？
285:１３２人目の素数さん
20/10/09 23:14:24.93 V6dLSA61.net
>>274
対角線方向へ射影という言い方がマズいですね
(一番長い)対角線に垂直な方向への射影です
286:１３２人目の素数さん
20/10/10 00:24:39.53 ypxIH+PT.net
四次元超立方体の16個の頂点は
(0,0,0,0),(1,0,0,0),‥,(1,1,1,1)
として良い
A=(1,0,0,0),B=(0,1,0,0),C=(0,0,1,0),D=(0,0,0,1)、
N=(1/2,1/2,1/2,1/2)
として超平面N・P=0への射影を考える
A～Dの射影をa～dとして
a=A-1/2N、b=B-1/2N
∴ |a|^2=3/4, a・b=-1/4
∴a,b,c,dは一辺の長さが√2の正四面体の頂点をなす
適当に回転させて
a(-1/2,1/2,1/2), b(1/2,-1/2,1/2), c(1/2,1/2,-1/2),
d(-1/2,-1/2,-1/2)
と座標をとりなおせは
a+b=(0,0,1),a+b+c=(1/2,1/2,1/2)
により求める図形は一辺の長さが1の立方体の各面に高さ1/2の四角錐を張り合わせたもの(名前知らん)
体積は1+1/6×6=2で元の超立方体の面の体積の2倍
287:１３２人目の素数さん
20/10/10 00:31:57.13 5lFT1DXK.net
>>276
はやい！正解です！
名称は菱形12面体と言うそうです
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
288:１３２人目の素数さん
20/10/10 02:50:42.25 68VlLUVE.net
形状はともかく
289:体積だけならすぐ求まるんだな d次元の超立方体の各面の法線ベクトルは(±1,0,‥0) (の並び替え)としてよく、最長の対角線と同じ向きの単位ベクトルは(1/√d,‥1/√d)としてよい その内積は±1/√d 内積が+の面の影だけ考えればよい その数はdで総面積もd。 射影する方向の方向ベクトルと面の法線ベクトルの内積がすべて1/√dだから面積は1/√d倍される ∴影の面積は√d
290:１３２人目の素数さん
20/10/10 18:46:55.57 5jdt9F4W.net
Z(>0)∋m，n m<n m≠1として
f(n，n)=f(n，1)=1
f(n，m)=m*f(n-1，m)+f(n-1，m-1)
で定義される関数fを求めよ。
291:１３２人目の素数さん
20/10/11 13:03:32.22 62L1pm5Q.net
第二種スターリング数
相異なるn個のものをm組に分ける方法の数
f(n,m) = (1/m!)Σ[L=0,m] (-1)^{m-L} C(m,L) L^n,
Σ[0≦m≦n] (m!/n!) f(n,m) x^n y^m = １/{1 - (e^x -1)y},
数セミ増刊：「数学100の問題」日本評論社 (1984)
p.58
292:１３２人目の素数さん
20/10/11 13:16:45.54 62L1pm5Q.net
Σ[0≦m≦n] (1/n!) f(n,m) x^n y^m = e^{(e^x -1)･y},
に修正…
293:１３２人目の素数さん
20/10/11 15:03:19.77 dbtP37+2.net
>>274
これ>>276を元に一般次元で考えると
まず(n+1)次元の単位ベクトルたちの影e0,e1,…,enが
n次元に重心原点で辺長√2の超四面体Δを作る
超立方体の影Sは射影の線形性によりeiたちを使って
S={Σαiei|0≦αi≦1(i=0～n)}
と書け、この影は順序組(eσ(1),eσ(2),…,eσ(n))ごとに
錐(0,eσ(1),eσ(1)+eσ(2),…,Σeσ(i))という(n+1)!個の基本領域に分割できる
この錐の体積は錐(0,eσ(1),eσ(2),…,eσ(i))の体積と同じであり、これは超四面体Δの1/(n+1)
よって影Sの体積はΔの体積のn!倍
一方で一辺が√2の超四面体の体積はCayley-Mengerを使って1/n!√(n+1)と計算出来るから
結局、影Sの体積が√(n+1)と分かる
(これ自体の計算は>>278の方法がはやい)
Δの重心から頂点までの距離は
|ei|=|(0,…,1,…,0)-1/(n+1)(1,…,1)|=√(n/(n+1))
となっているから
逆に重心から頂点までの距離が1の超四面体の体積は
1/n!√((n+1)^(n+1)/n^n)となり
さらにこの頂点ベクトルたちをfi(長さは1)とすると
S={Σαifi|0≦αi≦1(i=0～n)}という領域の体積は
√((n+1)^(n+1)/n^n)となる
とてもキレイな形だけど、これを直接計算する方法あるんだろうか
294:１３２人目の素数さん
20/10/11 20:31:30.89 62L1pm5Q.net
「菱形12面体」
12個の菱形はすべて合同で、鈍角は 109.47°(4面体角)
空間充填多面体である。
ある平面に投影すれば、平面充填多角形。
2種類の菱形になる。
太い方は 108°と 72°
細い方は 144°と 36°
周期性を持たないが、5回対称性があり
「ペンローズ(*)・タイル」と呼ばれる。
ある種の準結晶のモデルと考えられる。
* 今年のノーベル物理学賞（ブラックホールの関係で）
295:１３２人目の素数さん
20/10/11 21:26:31.60 dbtP37+2.net
ペンローズタイルが5次元の格子からの射影で得られる話はなんとなく見た覚えがあったけど菱形12面体タイルからも得られるのか
菱形12面体自体は数字5と無縁に見えるんだが・・・
ところで一般にn次元立方体の対角射影図形は(n-1)次元空間充填図形になる感じなのかな
296:１３２人目の素数さん
20/10/11 23:09:25.28 Yfcjor0U
297:.net
298:１３２人目の素数さん
20/10/11 23:30:46.52 V7pXTyKF.net
あ、間違えた
(p,q,r)と(s,t,u)はそれぞれx+y+z=3/2,x+y+z=a+b+c+3/2上としてよい
を追加
299:１３２人目の素数さん
20/10/12 01:44:46.84 aUylGcxN.net
>>283
それは 菱形12面体 (第2種) の方でござるよ。
投影図に5回軸が現れるなら、
各面 (合同な菱形) の対角線比は黄金比φ のはず。
鈍角は arccos(-1/√5) = 116.57°
次の5種類がある。
・菱形6面体 (尖った方)
・菱形6面体 (平たい方)
・菱形12面体 (第2種)
・菱形20面体
・菱形30面体
これらは空間充填多面体ではあるが、平行移動だけでは不可能で、
非周期的な充填となる。
その二次元投影図は ペンローズ・タイル と呼ばれ、3種類がある。
300:１３２人目の素数さん
20/10/12 12:24:31.68 w9M/ZM8H.net
>>285-286
ウソ書いた
訂正
記号はそのままで
X=∪[a+b+c≧0]Kabc、Y=∪[a+b+c<0]Kabc、F=∂X=∂Y
とおく
光線の方向ベクトルn=(1,1,1)としてX上の点からnの方向に向かった点はまたXの点である
実際(p,q,r)がKabcの点ならa=[p],b=[q],c=[r]であるから容易に示せる
したがってp∈Fの各点についてそれが余次元2以上の単体の点でない所謂一般の点のときp∈Kabc, a+b+cなるa,b,cが一意に決まる
何故ならばp∈Fが一般の点の時pを含む単体は高々２つであるが、pを含む単体がXの中に二つ以上あるとpはXの内点となりp∈∂Yに反する
以上により全ての光線lにおいてF∩Fが一般の点のときp∈KabcでXに含まれるものがただ一つ決まる
よって∪[～]Kabc∩F)の射影像はαを充満する
301:イナ
20/10/12 16:52:26.50 9H+YjmlO.net
前>>273
>>267
なんで{sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1}sin(6°)/cos(6°)=2+√3なの？
なんで？
302:イナ
20/10/12 16:59:06.11 9H+YjmlO.net
前>>289
>>267
(sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°)
=3.73205080757……
=2+√3
たしかに値は合致した。
けど式変形で示さないと、
Google検索でいちばん近い値が15°だと特定した俺のやり方と同じじゃないか。
303:267
20/10/12 19:49:41.47 aUylGcxN.net
もうバレてますが。>>270
304:１３２人目の素数さん
20/10/14 00:27:38.14 SCptDqCJ.net
>>290
2+√3=tan(75°) に注意すると、成立して欲しい式は
sin(51°)/{sin(3°)sin(24°)} = tan(75°)/tan(
305:6°) + 1 この式の 右辺-左辺 を 4 sin(6°)cos(75°)sin(3°)sin(24°) 倍すると 4 sin(3°)sin(24°){sin(75°) cos(6°)+sin(6°)cos(75°)} - 4 sin(51°)sin(6°)cos(75°) =4 sin(3°)sin(24°)sin(81°) - 4 sin(51°)sin(6°)sin(15°) =2sin(3°){cos(57°)-cos(105°)}-2sin(15°){cos(45°)-cos(57°)} =2sin(3°){sin(33°)+sin(15°)}-2sin(15°){sin(45°)-sin(33°)} =2sin(33°){sin(3°)+sin(15°)+2sin(15°){sin(3°)-sin(45°)} =4sin(33°)sin(9°)cos(6°)-4sin(15°)sin(21°)cos(24°) =2{cos(24°)-cos(42°)}cos(6°)-2{cos(6°)-cos(36°)}cos(24°) =-2cos(42°)cos(6°)+2cos(36°)cos(24°) =-cos(48°)-cos(36°)+cos(60°)+cos(12°) ={-cos(48°)+cos(12°)}-cos(36°)+cos(60°) =2sin(30°)sin(18°)-cos(36°)+cos(60°) =2*(1/2)*(√5-1)/4 - (√5+1)/4 + 1/2 =0 となることから、2+√3 が、厳密値であることが確認できます。
306:イナ
20/10/14 06:35:08.21 tOs5BhYQ.net
前>>290
>>292
tan75°=2+√3は、
1:2:√3の直角三角形の上に、
2辺が2で底角15°の二等辺三角形をくっつけて載せ、
確認できた。
51°+24°=75°が胡散臭いと思った。
図を正確に書くことでy=15°がわかりそうな気がした。
わかれば答案はこれでいい。
90°=51°+24°+y
∴y=15°
307:イナ
20/10/15 01:10:21.24 1MmX0f3j.net
前>>293
→ABと→CDが直交することがわかれば、
つまり→AB•→CD=0が示せれば、
y=90°-(51°+24°)=15°
正確な値が示せる。
308:イナ
20/10/15 23:04:12.36 1MmX0f3j.net
前>>294
B(0,0),C(c,0),AB=1とすると正弦定理より、
1/sin96°=AC/sin75°=c/sin9°
sin96°=cos6°だから1/cos6°=ACsin75°
Aから半直線BCに引いた垂線の足をHとすると、
AH=sin75°=(√6+√2)/4
BH=cos75°=(√6-√2)/4
ACsin6°=(√6+√2)/4
c+ACcos6°=(√6-√2)/4
(つづく)
309:イナ
20/10/15 23:24:09.77 1MmX0f3j.net
前>>295
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)
→CD=→CB+→BD=(-c,0)+……考え中。
→BA=((√6-√2)/4,(√6+√2)/4)
310:１３２人目の素数さん
20/10/16 03:24:47.09 frRZu+3C.net
>>294
tan(3x)=tan(x)tan(60°-x)tan(60°+x)
tan(5y)=tan(y)tan(36°-y)tan(36°+y)tan(72°-y)tan(72°+y)
という公式があります。（wikiの「三角関数の公式の一覧」の最下部を参照して下さい）
x=9 → tan(27°)=tan(9°)tan(51°)tan(69°)
⇔ tan(9°)=tan(21°)tan(27°)tan(39°)
x=27 → tan(81°)=tan(27°)tan(33°)tan(87°)
⇔ tan(3°)=tan(9°)tan(27°)tan(33°)
y=3 → tan(15°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)tan(69°)tan(75°)
⇔ tan^2(15°)tan(21°)=tan(3°)tan(33°)tan(39°)
これらから、tan(15°)=tan(27°)tan(33°)tan(39°) が得らます。
逆数にして、両辺にtan(3°)を掛けると
tan(3°)tan(75°)= tan(3°)tan(63°)tan(57°) tan(51°)
tan(3°)tan(51°+24°)=tan(9°)tan(51°)=tan(3°+6°)tan(51°)
これは、例の図において、AB⊥CDであることを示しています。
311:イナ
20/10/16 16:11:44.31 +tbS89X7.net
前>>296
>>297これはWikipediaに載ってるから公式です、というだけで途中過程が示されないと示されたことにはならない。
図を描くと15°+12°=27°は出る。
BDの延長線がACと60°をなすのもわかる。
その公式が公式か否かじゃない、どう立式してるかちゃんと示しなさい。
このままじゃ認めません。
312:イナ
20/10/16 18:55:47.72 +tbS89X7.net
前>>298
ABとCDのなす角は、
51°+24°+y=75°+y
または180°-(75°+y)=105°-y
これらが等しいならy=15°と特定できる。
tan9°/tan3°=tan75°/tan51°なら、
双方の傾きの割合が等しいから、
底辺ABと支軸となる直線CDの延長線が直交することは、
公式かどうかはともかくとして理解できる。
313:１３２人目の素数さん
20/10/16 19:32:48.48 frRZu+3C.net
>>298
tan(a-x)tan(a+x)
=[sin(a-x)sin(a+x)]/[cos(a-x)cos(a+x)]
=[sin^2(a)cos^2(x)-cos^2(a)sin^2(x)]/[cos^2(a)cos^2(x)-sin^2(a)sin^2(x)]
=[sin^2(a){1-sin^2(x)}-cos^2(a)sin^2(x)]/[cos^2(a)cos^2(x)-sin^2(a){1-cos^2(x)}]
=[sin^2(a)-sin^2(x)]/[cos^2(x)-sin^2(a)] ・・・・ （※）
(※)に、a=π/3を代入し、tan(x)を掛けると、
tan(x)tan(π/3-x)tan(π/3+x)
=tan(x)[3/4-sin^2(x)]/[cos^2(x)-3/4]
=[3sin(x)-4sin^3(x)]/[4cos^3(x)-3cos(x)]
=sin(3x)/cos(3x)
=tan(3x)
(※)に、a=π/5、および、a=2π/5 を代入したもとtan(x)を掛けると
tan(x)tan(π/5-x)tan(π/5+x)tan(2π/5-x)tan(2π/5+x)
=tan(x)[(5-√5)-8sin^2(x)][(5+√5)-8sin^2(x)]/([8cos^2(x)-(5-√5)][8cos^2(x)-(5+√5)])
=tan(x)[64sin^4(x)-80sin^2(x)+20]/[64cos^4(x)-80cos^2(x)+20]
=sin(5x)/cos(5x)=tan(5x)
314:イナ
20/10/16 20:08:01.17 +tbS89X7.net
前>>299
tan75°=2+√3
は、辺の比が1:2:√3の直角三角形の上に、
底角15°の二等辺三角形をぴったりくっつけて載せることで理解できる。
あとはtan3°とtan9°とtan51°が少数じゃなく分数でわかれば、
ABとCDが直交するか否かが厳密にわかる。
315:１３２人目の素数さん
20/10/16 20:18:32.66 frRZu+3C.net
>>299
CからABに下ろした垂線の足をM
DからABに下ろした垂線の足をN
CM=AM*tan(3°+6°)=(BN+MN)*tan(51°+24°)
DN=(AM+MN)*tan(3°)=BN*tan(51°)
これらから、
(BN+MN)*tan(51°+24°)*(AM+MN)*tan(3°) = AM*tan(3°+6°)*BN*tan(51°)
ここで>>297の tan(3°)tan(51°+24°)=tan(3°+6°)tan(51°) を使うと、
(BN+MN)*(AM+MN) = AM*BN → MN = 0 → MとNは一致
>>301
tan(75°)=tan(30°+45°)=[tan(30°)+tan(45°)]/[1-tan(30°)tan(45°)]=(1+1/√3)/(1-1/√3)=2+√3
の方が簡明
tan3°等を、根号と四則演算で表現することは可能だが、複雑。
すでにいくつかの方法で、「厳密」に正しいことは確認されている事
316:１３２人目の素数さん
20/10/16 21:20:36.49 klDyTo/d.net
ここは解と係数やろ
317:イナ
20/10/16 22:57:05.60 +tbS89X7.net
前>>301
>>297そんなだれにも知られずに眠ってる式は、非公式って呼んでやってください。
なんとか式変形でy=15°を導くことがこの問題の答えだよ。
(2+√3)=tan9°/(tan3°)(tan51°)=tan(3×3°)/(tan3°)tan(3×17°)
tan75°/tan51°=tan9°/tan3°
tan3°/tan51°=tan(3°+6°)/tan(51°+24°)
AB⊥CD
51°+24°+y=90°
∴y=15°
318:１３２人目の素数さん
20/10/17 01:00:23.30 KOiY+jpE.net
まぁしかし>>297の公式を例え知らなかったとしても、こんな公式があるけど証明できる？って言われてこんな程度の公式の証明付けられないようじゃ見込みないけどな
319:イナ
20/10/17 16:07:12.60 Ta+1flWz.net
前>>304
BC/BD=AC/AD⇒AB⊥CD⇒y=15°
AB=1,BC=a,CA=b,B(0,0)とおくと、
A((√6-√2)/4,(√6+√2)/4),C((√6-√2)/4-cos6°,0)
AD,BD,CDの延長線とBC,CA,ABの交点をそれぞれE,F,Gとすると、
△ABEにおいて正弦定理よりAB/sin(180°-3°-51°-24°)=BE/sin3°
1/sin102°=BE/sin3°
1/sin78°=BE/sin3°
BE=sin3°/sin78°
△ABFにおいて正弦定理よりAB/sin120°=BC/sin9°=CA/sin75°
2AB/√3=a/sin9°=b/｛(√6+√2)/4｝
b=(√6+√2)2/4√3=(√6+√2)/2√3=(√6+√2)√3/6=(3√2+√6)/6
bsin6°=ABsin75°=(√6+√2)/4
sin6°=(√6+√2)/4b
4b=(6√2+2√6)/3
sin6°=3(√6+√2)/(6√2+2√6)
=3(√6+√2)(6√2-2√6)/(6√2+2√6)(6√2-2√6)
=3(√6+√2)2(3√2-√6)/(72-24)
=(√6+√2)(3√2-√6)/8
=(6√3-2√3)/8
=√3/2
=sin60°
おかしい。
320:イナ
20/10/17 19:50:15.21 Ta+1flWz.net
前>>306
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
tan75°=2+√3
tan3°,tan9°,tan51°が無理数の和の分数のような形で表せさえすれば、
AB⊥CDが示されると思う。
321:１３２人目の素数さん
20/10/17 20:52:50.31 +4r1lPR8.net
筋悪だがこの場合可能
やりたければやればいい
高校数学の範囲内で可能
実行するための公式はもう全部知ってるやろ
できるかできないかは素頭次第
322:イナ
20/10/18 05:34:44.99 WMegbn9I.net
前>>307
tan3°�
323:ｪ残りそう。
324:１３２人目の素数さん
20/10/18 07:28:12.02 Uh5VZ8SJ.net
１°ずつ角度を増やすと作図して計算した方が早いと思う。
当然ながらきりのいい数値にはならない。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> f(4,7,52,25)
x.degree y.degree
17.22932 74.77068
325:１３２人目の素数さん
20/10/18 09:37:35.96 RSixjSsN.net
>>310
作図なんかして近似出しても解いたうちになどはいらん
326:１３２人目の素数さん
20/10/18 11:27:28.83 Uh5VZ8SJ.net
>>311
座標の交点を連立方程式を解いて値をだすのだから、近似値というわけでもないぞ。
327:１３２人目の素数さん
20/10/18 14:05:51.20 RSixjSsN.net
>>312
一部の代数系処理をしてくれる処理系ならともかくRではデフォルトは数値計算のみ
例え15.00000と表示されたとしても15°と結論できない
328:１３２人目の素数さん
20/10/18 17:00:56.66 XtR5eflC.net
>>313
ベクトルの内積からacos使って角度を出すから
どの言語を使っても半端な角度なら近似値しかえられないと思うんだが？
329:１３２人目の素数さん
20/10/18 17:22:26.71 XFc8e1MH.net
>>314
と思ってるからダメなんだよ
計算機で出来ることの知識がイナとたいして変わらん
何のために三角比というものが導入されたのか、何で高校の数学の時間に“整式の割り算”なるものを習ったのか意味がわかってない
少なくともこのスレのレス読めばある程度はわかるだろうに
330:１３２人目の素数さん
20/10/18 17:51:53.81 XtR5eflC.net
>>315
では>310を近似値でなくて御解答くださいな。
331:１３２人目の素数さん
20/10/18 18:08:26.53 RSixjSsN.net
>>316
それが代数的な解がないと結論付けるための理論なんだよ
それがわかってないからそういう妙チキリンなレスつけるんだよ
332:１３２人目の素数さん
20/10/18 19:49:02.53 jMWQwtg3.net
なんだ近似解しか出せないじゃん。
333:１３２人目の素数さん
20/10/18 19:56:50.58 /kBBPumO.net
計算機でも近似解の出し方しか知らないにんげんはもちろん近似解しか出せないけどちゃんと高2で習う整式の割り算の理論がわかってる人間は厳密解が計算可能である場合には厳密回が出せる
しかしそれだけではアルゴリズムとはいえない
その段階では機能的枚挙可能recursively enurrmatative)でしかない
アルゴリズム(=帰納的recursive)と言えるためには代数的には解けない場合には代数的に解けない判定を下しせないといけない
そこまで理解するのは大学でガロア理論を勉強しないとわからない
しかしそこまでの高級な話ではない
厳密解答が出せる場合に厳密解をだす(高校数学の範囲)すらクリアできてない
334:イナ
20/10/18 21:52:25.45 WMegbn9I.net
前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。
335:１３２人目の素数さん
20/10/18 22:09:07.09 RSixjSsN.net
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
がわかってるだけまだイナの方がわかってるんだよな
336:イナ
20/10/18 22:21:43.96 WMegbn9I.net
前>>309
tan51°/tan75°=0.33088969582
tan3°/tan9°=0.33088969582
Google検索で傾きの比が一致したんだからy=15°の厳密値が明らかになった。
今は答案として式変形で示す必要があるって段階です。
tan75°=2+√3
tan51°=tan(60°-9°)=(tan60°-tan9°)/(1+tan60°tan9°)=(√3-tan9°)/(1+√3tan9°)
tan9°=｛3tan3°-tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)｝だから代入して、
tan51°=｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝
ここまでできた。
337:１３２人目の素数さん
20/10/18 23:21:43.94 ynlduUUl.net
>>322
そのままでは、袋小路
tan(3°)は、ただの記号としてしか使われていない。
2-√3=tan(15°)=tan(5*3°)だから、
例えば、「tan(5x)=2-√3 を満たすtan(x)の一つが、tan(3°)」という事に相当する条件が
どこかで使われなければ、道は開けない。
338:１３２人目の素数さん
20/10/18 23:43:45.15 RSixjSsN.net
イナの求めてる解答は
tan3°= ((1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))/(-(-1/8 sqrt(3) (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(1/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2) - (1/8 (sqrt(5) - 1) - 1/4 sqrt(3/2 (5 + sqrt(5))))/sqrt(2))
を利用して証明したいんだろう
コレ自体は高校数学の範囲内でもちろん導ける
しかしこの式をイナが導き出した式に代入して等しいことを確認するのは原理的にはできてもとてもやる気起こらないけどな
そして何よりこのような実の冪根の形で三角比が表示できる方が特例で普通は不可能、例えば中学お受験レベルでも時々出てくるtan10°とかは不可能
なのでこういう方針に頼ってる限り所詮は頭打ち
結局>>323さんの言う通り高2の整式の処理で習う技術を使えるようにならない限りお受験レベルの数学ですら解けるようにはならない
339:１３２人目の素数さん
20/10/19 03:03:50.40 xhmKrYit.net
tan(3°)の値を直に使うのなら
tan(3°)=tan(75°-72°)
=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]
=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
がおすすめ
340:イナ
20/10/19 13:50:55.46 p8xYs2Sf.net
前>>322
1辺1の正五角形の対角線をxとすると、
(1/x)×2+(1/x)^2=x
2x+1=x^3
x^3-2x-1=0
(x+1)(x^2-x-1)=0
x^2-x-1=0
x=(1+√5)/2
tan72°=√｛(2x)^2-1｝
=√(4x^2-1)
=√(4x+4-1)
=√(4x+3)
=√(2+2√5+3)
=√(5+2√5)
341:イナ
20/10/19 16:52:33.29 p8xYs2Sf.net
前>>322
tan9°/tan3°=｛3-tan^2(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝
tan75°/tan51°=(2+√3)｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝/｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝より、
(tan9°)(tan51°)/tan3°
=｛3-tan^2(3°)｝｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1-3tan^2(3°)+3√3tan3°-√3tan^3(3°)｝^2
=3｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝-tan^2(3°) ｛√3-3√3tan^2(3°)-3tan(3°)+tan^3(3°)｝/｛1+9tan^4(3°)+27tan^2(3°)+9tan^2(3°)+tan^6(3°)-18tan^2(3°)+18√3tan^3(3°)-6tan^4(3°)+2√3tan^3(3°)｝
=｛3√3-9√3tan^2(3°)-9tan(3°)+3tan^3(3°)-√3tan^2(3°)+3√3tan^4(3°)+3tan^3(3°)-tan^5(3°)｝/｛1+18tan^2(3°)+20√3tan^3(3°)+3tan^4(3°)+tan^6(3°)｝
=｛3√3-9tan(3°)-10√3tan^2(3°)+6tan^3(3°)+3√3tan^4(3°)-tan^5(3°)｝/｛1+18tan^2(3°)+20√3tan^3(3°)+3tan^4(3°)+tan^6(3°)｝
ここまでできた。
2+√3になりそうじゃない？
それとも限りなく近い近似値なのかなぁ？
計算機で誤差が0になるぐらいの。
342:１３２人目の素数さん
20/10/19 19:55:19.00 SUYlaqNJ.net
連立方程式で交点の座標を出して
角度を計算すべき二辺のベクトルを決定して
内積と逆余弦を使って角度を算出するのがなんで近似なんだよ？
343:１３２人目の素数さん
20/10/19 22:29:49.43 txEjL/Ce.net
ひらめき問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
344:１３２人目の素数さん
20/10/19 22:53:46.24 5vOEwIuq.net
四平方の定理
345:１３２人目の素数さん
20/10/19 22:54:31.27 ULMv/p28.net
>>328
通常のプログラミング言語の標準ライブラリは近似解しか出せません
その事がわからないのがあなたの限界です
おそらく一生理解出来ないでしょう
346:１３２人目の素数さん
20/10/19 23:30:38.96 3+L3rH7O.net
(1/2×1×2) + (1/2×1×3) +(1/2×2×3)
+ √((1/2×1×2)^2 + (1/2×1×3)^2 +(1/2×2×3)^2)
= 9
か
数値がキレイに出るのが中々秀逸やな
347:１３２人目の素数さん
20/10/19 23:40:26.39 txEjL/Ce.net
ひらめき問題なのでルートは使わずに解けます
348:１３２人目の素数さん
20/10/20 00:18:23.69 RKLwuGgK.net
O(0,0),A(1,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3),E(0,2) を順に結び、そして、
AとC,CとE,EとAを結ぶと、この立体の展開図に必要な三角形が
全てこの3×3の領域に現れる。
(展開図にするには、三角形OAEを切り取って、AとEを入れ替えるように、裏返す必要がある)
349:１３２人目の素数さん
2020/10/
350:20(火) 02:45:38.15 ID:5n1rUan4.net
351:イナ
20/10/20 05:04:08.63 9uqXOPZr.net
前>>327
>>329
見えてる側が5.5
見えてない面が3辺√5,√10,√13
ヘロンの公式s=(√5+√10+√13)/2
Ｓ=√ [(√5+√10+√13)/2｛(√5+√10+√13)/2-√5｝｛(√5+√10+√13)/2-√10｝｛(√5+√10+√13)/2-√13｝]
352:１３２人目の素数さん
20/10/20 06:06:19.28 Kr5yeHia.net
>>329の四面体に内接する球の半径を求めよ
353:１３２人目の素数さん
20/10/20 06:34:48.97 VeZlfMCW.net
>>337
体積=1/3(内接球の半径)×表面積を使うと
半径=1/3ですかね
354:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:13:45.44 ZP+A1//W.net
R^6内の12個の点
(±1,0,0,0,0,0)
(0,±1,0,0,0,0)
…
(0,0,0,0,0,±1)
をある3次元部分空間H⊂R^6へ射影すると
これらの像が正20面体の頂点を成した
この時、Hの直交補空間Vへ射影しても
これらの像が正20面体の頂点を成すことを示せ
355:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:23:41.83 RJ4ycraz.net
>328は手計算でもできるだろ？
三角関数だらけの式になるだろうけど。
こういう問題をプログラムで解かせても近似解にはならんね。
手作業を代行させているだけだから。
問題 ： 「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」という命題と同値な命題はどれか？
1 : シリツ医 ならば (裏口 ならば 馬鹿 である)
2 : 馬鹿 ならば (シリツ医 ならば 裏口 である)
3 : 馬鹿 ならば (裏口 ならば シリツ医 である)
4 : 裏口 ならば (シリツ医 ならば 馬鹿 である)
5 : 裏口 ならば (馬鹿 ならば シリツ医 である)
"
356:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:44:52.27 J8I4fsGY.net
問題： （シリツ医 ∩ 馬鹿) → 裏口
右端を見れば分かる。
問題 ⇔ ２
１ ⇔ ４
３ ⇔ ５
357:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:50:33.45 ZP+A1//W.net
>>339
Hは原点を含む部分空間です
358:１３２人目の素数さん
20/10/20 07:53:18.27 RJ4ycraz.net
>>341
真偽表使ったプログラム解も同じ答を返すから近似解でないのが確認できた。
359:１３２人目の素数さん
20/10/20 08:34:22.18 GfHdj4W8.net
>>340
他所から駅弁医学部入ってくるマザコン受験小僧のほうが地域医療の敵だろ。
360:１３２人目の素数さん
20/10/20 08:39:12.42 dz4y26zC.net
>>341
お前がこの話理解できないのはそもそも「計算機がどうやってatanなるものを計算してるのか」がわかってないからだよ
それはそもそもの基本的な数学に対する理解が大学教養レベルにすら到達してないからだ
自分の考えが正しいのかどうか実験してみてうまくいくかどうかでしかわからない、確かめられないお前にはもう一生無理だ
諦めろ
361:１３２人目の素数さん
20/10/20 09:43:10.98 8/QyytZ/.net
>>345
atanはatanで表示すればいいじゃん。
少数や分数表示しようとするから近似値になる。
362:１３２人目の素数さん
20/10/20 09:57:52.13 8/QyytZ/.net
>>341
A:「(シリツ医 かつ 馬鹿) ならば 裏口 である」
E:「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」
が同値なのを真偽表確認
シリツ医 馬鹿 裏口 A⇒E E⇒A
1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE
3 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE
5 TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE
6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE
7 TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE
8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
363:１３２人目の素数さん
20/10/20 10:08:29.36 y9gm4KH4.net
もちろんatan(4/3)とか出てきたらほっとけばいい
それ以上簡明な表示もないしな
しかしこの問題は例えば>>266の方針で
1/tan(y) = sin(51)sin(6)/(sin(3)sin(24)sin(96))
+ cos(96)/sin(96),
まで出したあとそこからどうやってtany=2-√3を出すのか、どうやってy=π/12を出すのかと言う話
>
364:(sin(51°)/(sin(3°)sin(24°)) - 1)sin(6°)/cos(6°) > =3.73205080757…… > =2+√3 > たしかに値は合致した。 らしい しかし「だからy=15」などとは言えないと言う話 こんな「近似解の計算がそこそこ合うからコレが答え」など数学的には通用しない じゃあこの話計算機ではできないのかと言うとそんなことはない 今イナが手計算でやってるような近似値計算では無い厳密な式変形による計算を計算機にやってもらえはいいだけの話 そしてWolfram大先生やMathematicaはもとよりMaxima、Maple、Sagemathなら標準ライブラリでできる 何故ならその作業自体は高校2年で習う“整式の計算”やるだけだからだ 結局“数値計算”とそう言う“代数計算”の差がわからないのは高2で習ってないといけなかった話を理解し損なってるからだ 結局「計算機に代わりにやってもらう」というのは「原理的には何万年かかってもいいなら手計算でやる方法が理解できてる」事が大前提 いくら計算機のプログラムの組み方覚えても、その計算機に何をやって貰えばいいのかの根本の数学ができてない
365:341
20/10/20 10:34:18.86 J8I4fsGY.net
>>345
「シリツ医、馬鹿、裏口」の問題を、真偽表使ったプログラムで計算したんだろうけど。
計算機が atan なるものを計算してるとは思えんが…
366:１３２人目の素数さん
20/10/20 10:43:40.53 y9gm4KH4.net
>>349
もちろん数値計算しかできない言語ならatanの近似値しか出せない
しかし大学でガロア理論まで勉強した人間なら答えがπ×有理数になる場合にはその旨判定して答えを表示させる事ができる
しかしそれは彼が使ってるRがダメなわけじゃない
Qiitaかなんかの人気投票で4位かなんかになった実績あるプログラミング言語である事は間違いない
彼がこの話についていけてないのは彼本人の学力のなさが根本
しかもガロア理論云々のレベルがわからないんじゃなくて高2レベルの「答えが有理数×πになる場合、それを計算機に確認させるにはどうすればいいのか」と言う数2レベルの話がわかってないからどうしようもない
367:１３２人目の素数さん
20/10/20 10:50:42.92 RJ4ycraz.net
>>341
A:「(シリツ医 かつ 馬鹿) ならば 裏口 である」
E:「シリツ医 ならば (馬鹿 ならば 裏口 である)」
命題AとEが同値なのを真偽表で確認
シリツ医 馬鹿 裏口 A E
1 TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
2 FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE
3 TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE
4 FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE
5 TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE
6 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE
7 TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE
8 FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
368:１３２人目の素数さん
20/10/20 16:34:52.97 RKLwuGgK.net
tan(6°/2)=tan3°= t と置くと、
tan6°=tan(2*3°)=2t/(1-t^2)
tan9°= tan(3*3°)=t(3-t^2)/(1-3t^2)
tan51°= tan(45°+6°) = (1+tan6°)/(1-1*tan6°)=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t)
五倍角の公式 tan(5x)=[tan(x)(tan^4(x)-10tan^2(x)+5)]/[5tan^4(x)-10tan^2(x)+1] に注意して、
tan75°=1/tan15°=1/tan(5*3°)=[5t^4-10t^2+1]/[t(t^4-10t^2+5)]
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°)
=(1-t^2+2t)/(1-t^2-2t) * t(3-t^2)/(1-3t^2)-(5t^4-10t^2+1)/(t^4-10t^2+5)
=(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
ここで、t=tan3°=[tan(75°)-tan(72°)]/[1+tan(75°)tan(72°)]=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)]
を代入するのも一案だが、[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] の最小多項式を求めるべく、Wolfram大先生にお願いすると、
x^8 - 16 x^7 - 60 x^6 + 16 x^5 + 134 x^4 + 16 x^3 - 60 x^2 - 16 x + 1
であることを教えてくれる。目的の式の、分子第二因子に一致していることを確認して、
tan(51°)tan(9°)-tan(3°)tan(75°) = 0 が結論できる。
369:１３２人目の素数さん
20/10/20 16:40:17.59 RKLwuGgK.net
誤: =(t-1)(t^3-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
正: =(t-1)(t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)/[(t^4-10t^2+5)(3t^2-1)(t^2+2t-1)]
370:１３２人目の素数さん
20/10/20 21:26:15.39 RKLwuGgK.net
少し補足
352 は t=tan3°=[2+√3-√(5+2√5)]/[1+(2+√3)√(5+2√5)] と表せることを
前面に持ってきた解法だが、必ずしも、その必要は無い。
3° とは、どのような角度か と考えると、 15倍して、タンジェントを取ると、1 になる角度の一つと答えられる。
つまり、tan(15x)=1 を満たすもの。(tan(3x)≠1、tan(5x)≠1 であることにも注意)
5倍角の公式と、3倍角の公式を組み合わせて、15倍角の公式を作ると、tan(x)=tとして、
tan(15x)=A/B ただし、
A=t(t^2-3)(t^12-102t^10+1059t^8-1828t^6+951t^4-150t^2+5)
B=(3t^2-1)(5t^12-150t^10+951t^8-1828t^6+1059t^4-102t^2+1)
方程式 tan(15x)=1 は、方程式 A=B となり、整理すると、
(t+1)(t^2-4t+1)(t^4+4t^3-14t^2+4t+1)(t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1)=0
となります。tan(3x)≠1、tan(5x)≠1、tan(x)≠-1 を考慮すると、結局
t=tan3°は、t^8-16t^7-60t^6+16t^5+134t^4+16t^3-60t^2-16t+1 = 0 を満たす、と結論でき、
>>352 の後半を 上に置き換えることができます。
371:１３２人目の素数さん
20/10/20 22:50:20.09 ZP+A1//W.net
>>339
これは今日が2020年10月20日なので出題してみました
正20面体の面白い特徴だと思います
是非みなさん挑戦してみて下さい
372:１３２人目の素数さん
20/10/21 02:29:08.91 v9BryjWz.net
>>355
補題
三次元空間上の相異なる12点が次の性質を満たすとき、それは正20面体の頂点をなす
・a^2=b^2+c^2,b>cとなる定数a,b,cが存在し
d(P,Q)=aとなる組が6組、d(P,Q)=bなる組が30組、d(P,Q)=cとなる組が30組ある
・d(P,Q)=d(P,R)=a→Q=R
・d(P,Q)=aのときd(P,R)=b⇔d(Q,R)=c
∵) まずd(N,S)=aとなるN,Sを選ぶ
条件より全ての点はNSを直径とする球上に並ぶ
NS以外の10点はd(R,S)=aとなる組で5組に分かれてそれぞれにd(N,P)=b,d(N,Q)=cとなるPがひとつずつ出てくるから同じ経度に５点ずつがくる
同じ経度に並ぶ同一円上にはの５点は異なる２点間の距離がb
またはcのどちらかしかとれないので正五角形の頂点をなすことが容易にわかる
以下は容易□
主張を示そう
A1～A6が1次独立としてBi=-Aiとする
Ai、Biの元の超平面への射影像をPi,Qi、直交空間への射影をRi,Siとする
いずれの超平面も原点を通過するとしてよい
元像全体の重心は原点だから像の重心も原点である
よってPi,Qiの中点は原点であり正20面体の対頂点をなす
d(Pi,Qi)=u,一辺の長さをw,v=√(u^2-w^2)とおく
この時異なる頂点間の距離はd(X,Y)=uとなるものが6組、=v,=wとなるものが30組ずつある
まず直交補空間への12個の射影Ri,Sj全体が互いに異なる事を示す
いずれかの２点が一致すると元の超平面への射影は2か、√2のいずれかでなければならない
2であるとするとu=2であり、元の空間は全てのベクトルAiBiを含む事になり矛盾する
√2とするとv,wのいずれかが√2となる
d(Pi,Pj)=√2、(resp. d(Pi,Qj)=√2)の時AiAj、(resp. AiBj)は元の超平面上となり、そのような組が30組もある事はありえない
以上によりRi,Sjは全て相異なる
d(Ri,Si)=√(4-u^2)、その他の２点の距離はb=√(2-w^2),c=√(2-v^2)とおくときa～cとRi,Sjの全体は補題の条件を満たす□
373:１３２人目の素数さん
20/10/21 05:22:19.62 1nQNErnA.net
正20面体
v=12, e=30, f=20,
a： 6本 外接球の直径 6本
b： 30本
c： 30本 稜 (辺)
a = 2cos(18ﾟ) c = √(2+φ) c = 1.902113 c,
b = 2cos(36ﾟ) c = φ c = 1.618034 c,
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 黄金比
374:１３２人目の素数さん
20/10/21 06:48:24.68 J6fhidiZ.net
>>356
とても明快な幾何学的証明�
375:ﾉ驚きました (自分が用意していたのは線形代数的な証明だったので) キーとなる正20面体の"外部"対称性が30本の小辺(いわゆる辺)と30本の中辺の入れ替えとして見れることに気づかされました
376:イナ
20/10/21 13:55:16.53 Cobd5QkN.net
前>>336
>>329
立体を直角になっている辺で切り開けば、
展開図が書ける。
1:2:√5の三角形を斜辺の中点を通る垂線を軸として水平に180°回転させれば、
展開図は一辺3の正方形になると考えられる。
3×3=9
ただし正方形になると考えられるだけで、それは俺もそう思う。
1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。
377:１３２人目の素数さん
20/10/21 14:57:48.84 +/Q8vM4I.net
よーく考えてみよう
何より「示されていない」と感じるのは時に「ほとんど当たり前の事を自分が気づけていないだけ」という事がままある事を肝に銘じよう
378:１３２人目の素数さん
20/10/21 15:42:21.74 SASUmGNf.net
>>359
>>334 嫁
379:１３２人目の素数さん
20/10/21 15:57:08.55 3Ebsz0Oy.net
tan3° の件、
30+45-72 (これが一番簡単なのかも)を思いつかなかった方向で解いてみる。
正五角形の対角線より sin18= (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2), sin36=..., cos36=...
3 = (60-36)/2^3 なので
sin3 = √[(1-cos6)/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+cos12)/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos24)/2])/2])/2] {倍角公式}
= √[(1-√[(1+√[(1+cos60cos36+sin60sin36)/2])/2])/2] {差公式}
tan3 = sin3/√[1-sin3^2] = ...
＊Wolfram Engine (Alphaではない) にて確認 ＊
s18 = (1/2) / ((1+Sqrt[5])/2) ;
s36 = 2*s18 * Sqrt[1-s18^2];
c36 = Sqrt[1- s36^2] ;
s3 = Sqrt[(1-Sqrt[(1+Sqrt[(1+c36/2+s36 Sqrt[3]/2)/2])/2])/2] // FullSimplify;
t3 = s3/Sqrt[1-s3^2] // Simplify
=> 図 {根号で表せる事だけ分かれば良い}
t3 - (2+Sqrt[3]-Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) / (1+(2+Sqrt[3]) Sqrt[5+2 Sqrt[5]]) // FullSimplify
=> 0 { >>325 に一致する}
Tan[3*Pi/180] - t3 // FullSimplify
=> 0 {厳密に成り立っている}
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
380:イナ
20/10/21 16:02:50.99 Cobd5QkN.net
前>>359
>>334も同じことだけど、1:3:√10の三角形における最鋭角と√5:√10:√13の三角形における最鋭角と2:3:√13の三角形における最鋭角の和が90°であることは示されてない。答えは3×3=9だから9だと思う。∴9が示されたことと同じ。
381:１３２人目の素数さん
20/10/21 16:33:46.35 976WfypM.net
>>363
わかんないんだったら方眼紙買ってこいよ
一辺3センチの正方形書いて正方形書いて>>334の方法できって三角形4つ作る
そしてセロテープ持ってきて考えろ
頭で分からんなら行動しろ
382:１３２人目の素数さん
20/10/21 16:33:51.68 SASUmGNf.net
>>334の説明に従って図を書き、(3,3)近辺を凝視せよ
383:イナ
20/10/21 16:52:29.68 Cobd5QkN.net
前>>363
>>364
図を描いて３つの最鋭角を足したら90°になると思う俺と同じレベルだと言ってる。
数式の変形で示すのは難しいからね。
384:イナ
20/10/21 17:15:42.48 Cobd5QkN.net
前>>366
題意の立体を３つの直角が集まった頂点から切り開けば、
一辺3の正方形になるように見える。
それは俺も同じ。
３つ鋭角を足して90°になると示した人はいない。
1:2:√5の直角三角形の2つの鋭角をてれこに置き換えて辺がちょうど直線になるように見えるから仕方ない。
385:１３２人目の素数さん
20/10/21 18:27:05.00 I/drMn5h.net
>>367
ホントバカだなぁ
いつまでもいつまでも
「四面体をまず持ってくる
合わせて正方形になる事を示そう」
と思ってるからドツボにハ�
386:}ってるんだよ >>334さんは 「まず正方形持ってくる ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」 と言ってるんだよ 「便所の落書きに書いてるようなやつはバカだから証明に抜けがあるに決まってる」とか思ってるからいつまで経っても賢くならんのだよ
387:１３２人目の素数さん
20/10/21 18:45:06.74 SASUmGNf.net
>>366
aを1:3:√10の三角形の最小角とすると、tan(a)=1/3
bを2:3:√13の三角形の最小角とすると、tan(b)=2/3
cを√5:√10:√13の三角形の最小角とすると、tan(c)=7/9
aとbの正接が、1/3、2/3であるのは、説明不要だと思われるが、
cの正接が7/9 であるのは、
cos(c)=(10+13-5)/(2*√10*√13))=9/√130
sin(c)=√(1-cos^2(c))=[√(130-81)]/√130=7/√130 から確認できる
tan(a)*tan(b)+tan(b)*tan(c)+tan(c)*tan(a)=2/9+14/27+7/27=1 となるが、
cos(a+b+c)=cos(a)cos(b)cos(c){1-tan(a)*tan(b)-tan(b)*tan(c)-tan(c)*tan(a)}=0
なので、a+b+c=π/2
>>数式の変形で示すのは難しいからね。
面倒かもしれないが、やるべき事はストレートで、全く難しくはない。
388:１３２人目の素数さん
20/10/21 20:21:27.33 FlPXfVj3.net
>>368をもっと噛み砕いて言うと
①一辺が３の正方形を書きます
②正方形を>>334のように４つに分けます
③正方形にできた３つの直角三角形は、三角錐の３つの面とそれぞれ合同である
何故なら二辺と挟む角がそれぞれ等しいから
④残りの三角形は、三角錘の残りの面と合同である
何故なら三辺がそれぞれ等しいから
⑤正方形を分けてできた４つの図形が、三角錐の４つの面とそれぞれ合同なのだから、
正方形の面積と三角錐の表面積は等しい(ＱＥＤ)
389:イナ
20/10/22 05:28:31.79 /jlHfG8P.net
前>>367
1:2:√5の直角三角形、斜辺そのままで鋭角てれこで。
こう書けばわかるかな。
390:１３２人目の素数さん
20/10/22 07:25:25.16 tdAvlc8z.net
>>350
別にπなど持ち出さなくても2進法で内部計算しているから、計算機だと簡単な計算すら近似だよ。
> options(digits=20) #20桁まで表示を指定
> (1.2-1)*5
[1] 0.99999999999999978
> # 二進法できりのいい数字だと
> (1.125-1)*8
[1] 1
> # 小数20桁まで2進法で表示すると1.2は循環小数になる
> dec62(1.2,2,20)
1.00110011001100110011
> dec62(1.125,2,20)
1.00100000000000000000
他の言語でも似たような結果になる。
391:１３２人目の素数さん
20/10/22 08:32:36.87 rkuhQVqa.net
本題から逸れるけど、
「まず3x3の正方形持ってくる
ちょこっと切り貼りすれば問題の四面体が作れるからOK」
も言えるかな？
⊿AOE ≡ ⊿EO'A より O' (-3/5, 6/5)
４面体の頂点Fから下した垂線の足をF'とする。
AC ⊥ BE, F' はBE上にある。
CE ⊥ AD, F' はAD上にある。
EA ⊥ CO' F' はCO' 上にある。
∴ F' は AD, BE, CO' の交点。
AD, BE, CO' は△ACEの3本の垂線だから
その交点は△ACEの垂心H。
F' ＝ H (3/7,12/7)
この条件と EF=1, AF=2, CF=3 をみたす点Fは
(3/7, 12/7, ±6/7) に限る。
392:１３２人目の素数さん
20/10/22 10:10:21.50 NqyXdK+1.net
>>373
違う
そうとしか思えないのは完全な学力不足
上の方でみんながやってる代数計算が一つも理解できてないやろ？
高校の時の教科書引っ張り出して整式の計算のとこ読み直せ
それがまさに誤差なしで代数計算する方法の基本
そのレベルで落ちこぼれてるんじゃこの先何やってもしれてる
393:１３２人目の素数さん
20/10/22 12:44:17.69 tdAvlc8z.net
>>372
Haskell でも (1.2-1)×5は１に等しいか計算させる
main = print
394: $ (1.2-1)*5==1 を実行すると False が返ってくる。 main = print $ (1.125-1)*8 == 1 は True 計算機での結果が近似値になるのは三角関数を扱うからでも無理数を扱うからでもなくて2進法で内部計算するから。 ガロアも無理数も関係ない話。 一生理解出来ないのは気の毒だから教えてあげた。
395:１３２人目の素数さん
20/10/22 12:44:38.55 rkuhQVqa.net
>>373
B (1+(6/√13), -4/√13)
D (-1, 2)
に変えてみた。他は同じ
A(1, 0) C(3, 3) E(0, 2) O'(-3/5, 6/5)
ED = EO' = 1,
AB = AO' = 2,
CB = CD = √17
このとき
EF=1, AF=2, CF=√17 をみたす点Fを求む。
396:１３２人目の素数さん
20/10/22 13:08:21.53 LUfmFVkl.net
>>375
アホか
有理数計算パッケージがはいつてるんやろが？
397:１３２人目の素数さん
20/10/22 13:32:36.72 LUfmFVkl.net
import Data.Ratio
main = do
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Double)
print $ (1.2-1)*5 == (1 :: Rational)
----
False
True
398:イナ
20/10/22 15:44:36.69 /jlHfG8P.net
前>>371
>>329
sin18.435°=1/√10=0.31622776601(正弦定理)
sin52.125°=0.789352……=9/√130=(10+13-5)/2×√10×√13(余弦定理)
sin19.44°=余弦定理より
399:１３２人目の素数さん
20/10/22 16:13:20.68 LUfmFVkl.net
また小数点小僧に戻ったか
400:イナ
20/10/22 22:22:01.57 QsDJ+zv1.net
前>>379つづき。いまだかつてまともに式と計算で示した人がいただろうか。いや俺しかいない。
>>329
1:3:√10の直角三角形について、
正弦定理より1/sinA=√10/sin90°
sin∠A=1/√10=0.31622776601
∠A≒18.435°
√5:√10:√13の三角形について、
余弦定理よりcos∠B=(10+13-5)/2×√10×√13=9/√130=0.78935221737……
∠B≒52.125°
2:3:√13の直角三角形について、
正弦定理より2/sin∠C=√13/sin90°
sin∠C=2/√13=0.55470019622……
∠C≒19.44°
∠A+∠B+∠C=18.435°+52.125°+19.44°=90°
∴示された。
401:１３２人目の素数さん
20/10/22 23:00:05.43 hN8MluaB.net
>>378
有理数が返ってくるとは限らないとき
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Double)
False
を Trueに修正しようとしてもエラーがでた。
main = do
print $ sin(pi/6) == (0.5::Rational)
Error(s):
402:１３２人目の素数さん
20/10/23 00:04:38.55 H+rnOKG/.net
>>382
だからそんな方法じゃ無理なんだよ
数学者の作ったHaskellですらまだ代数計算をさせるには自分で作らないとできない
例えばこう↓
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
つまりは結局数学本体ができない限りなんもできん
計算機はあくまで煩雑な計算を代わりにやってくれる道具にすぎん
本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
403:１３２人目の素数さん
20/10/23 04:39:42.77 fvHcCtrC.net
>>383
Mathematica見た時はびっくりしたわ。
404:１３２人目の素数さん
20/10/23 18:34:55.60 H+rnOKG/.net
自分ができん積分計算を大先生がいとも簡単にやってしまう時の敗北感はどうよww
405:イナ
20/10/24 17:38:14.52 ppZN3X44.net
前>>381
>>310
x+y=92°
y=27°とすると、
ABとCDのなす角は76°と104°。
もっとちいさいかな？
406:イナ
20/10/24 18:00:20.43 ppZN3X44.net
前>>386
>>310
y=11°とすると、
ABとCDの延長線の交点をHとすると、
∠AHC=92°
∠BHC=88°
△ABC∽△CBH
∴y=11°
407:１３２人目の素数さん
20/10/25 07:38:31.96 z8EAEWc5.net
>>383
>本人ができもしない計算をやってくれるわけないやろ？
そうとは限らない。
整数からみだとシミュレーションで一般式を予想して数学的帰納法で証明というのもある。
408:１３２人目の素数さん
20/10/25 09:25:33.29 7K4Es2e4.net
数学できないのレベルが突き抜けすぎてるんだよ
整式の割り算の理論すら理解できてないんじゃなんもできんわ
409:
410:１３２人目の素数さん
20/10/25 10:36:24.68 T/xDoF2e.net
少し難しめの面積の問題
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
411:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:36:26.78 gAbSh86+.net
>>390
正方形の1辺をa,
正方形の辺を底辺としたときの左と上の三角形の高さをb,cとする
求める面積は S = aa/2 - ab/2 - ac/2 = a(a-b-c)/2
a,b,cの間に以下の関係がある
① (a-b)^2+cc = 3^2
② bb+cc = 7^2
③ bb+(a-c)^2 = 11^2
(①-2×②+③)/4 より (aa-ab-ac)/2 = (3^2-2×7^2+11^2)/4 = 8
左辺はSに等しいので S=8
412:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:46:39.75 cx0U6oD/.net
>>390
長さの与えられた3つの線分の交点をPとおく
図の正方形の頂点をそれぞれA,B,C,Dとおく
ただし AP=7, BP=3, DP=11 とし, 正方形の辺の長さをxとおく
∠PAD = α, ∠PAB = β とおくと, α+β = π/2 ...(1)
△APDに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(α) = 72 ...(2)
△APBに対して余弦定理を用いて整理すると
a^2+49-14a*cos(β) = -40 ...(3)
(1)と(3) より
a^2-14*a*sin(α) = -40 ...(4)
(2)と(4) から a^2を消去すると a = 8/(sin(α)-cos(α)9 ...(5)
(2)と(5) から 2sin(2α)+7cos(2α)+6 = 0 ...(6)
(cos(2α))^2 + (sin(2α))^2 = 1 と連立して符号を考慮すれば
cos(2α) = -2*(21+√17)/53 ...(7)
よって, cos(α) = (11-2√17)/106 ...(8)
これを(2)に代入して xの2次方程式を解けば
x = (77-14√17 + √(818253 - 2156√17))/106 ...(9)
ということで 求めたいの面積を構成する三角形の3辺の長さが判明した
つまり,さっき求めたxと 残り2辺の長さが 3, 11 ということである
あとは三角形3辺の長さから面積を求める公式を用いればよい
413:１３２人目の素数さん
20/10/25 13:50:51.09 cx0U6oD/.net
>>391
素晴らしい解法
逆にいうと平方根の平方根の平方根のとんでもない式が 8 に簡約されるのか
414:１３２人目の素数さん
20/10/25 14:04:09.79 2hlYWElQ.net
正方形の左下の頂点を O (0,0) 右上の頂点を (a,a)
交点を P (x,y) とおく。三平方の定理より
x^2 + y^2 = 11^2,
x^2 + (a-y)^2 = 7^2,
(a-x)^2 + (a-y)^2 = 3^2,
辺々引いて
2ax - aa = 7^2 - 3^2,
2ay - aa = 11^2 - 7^2,
交点は
P (x,y) = ((aa +7^2 -3^2)/2a, (aa +11^2 -7^2)/2a)
S = {aa - ax - a(a-y)}/2
= a(y-x) /2
= (11^2 -2･7^2+ 3^2) /4
= 8,
なお
a = √(65+7√17) = 9.6882268439236921
x = 6.908474663930875
y = 8.559963657506098
415:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:22:32.49 xJue4N58.net
>>388
複数の変数を動かして極小値を求めるなんてのも
>本人ができもしない計算をやってくれる
実例
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:90番)
416:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:27:28.37 sB67qvKm.net
>>395
だからそれも数値解でしかない
しかも計算機は数値解でない厳密解も出せる
使ってる人間にその能力があるならね
417:１３２人目の素数さん
20/10/25 17:53:26.68 xJue4N58.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
と座標上に作図して最小二乗法でx,y,zの値を計算機に探索させてみた。
[1] 6.908475
> (y=opt$par[2])
[1] 8.559964
> (z=opt$par[3])
[1] 9.688227
面積をヘロンの公式で出すと
> ABC2S(B,P,C)
[1] 8.000001
無思考で近似値が出せた。
418:１３２人目の素数さん
20/10/25 18:23:30.38 sB67qvKm.net
>>397
面倒くさいから考えないんじゃなくて元々考える能力ないんだろうがね？
計算機に近似解しか出す方法しか発見されてないもんだいならともかく厳密解出す方法も見つかってる問題でなにやってんだか
そもそもお前さんのコーディング能力なんかまだまだ初心者レベルだよ
よくそんなもん恥ずかしげもなくボンボンうぷできるな
419:１３２人目の素数さん
20/10/25 18:58:43.05 nqw34NGs.net
>>398
乱数発生させてシミュレーションプログラムを組むのも楽しいからね。
420:１３２人目の素数さん
20/10/25 19:32:49.02 p+IpfstF.net
プログラムによる数値計算の解答にそんなに意味あるのか疑問
421:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:11:38.23 +sNrb48x.net
正の整数 n と関数 f:Z→R について次のような条件を考える。
(A) 整数 x_1, …,x_n が (x_1)^3 +…+ (x_n)^3 = 0 を満たすならば f(x_1) +…+ f(x_n) = 0.
この時、各 n に対して条件(A)を満たす f 全体からなる集合 V_n は、
関数の加法やスカラー倍を値の加法やスカラー倍により定めることで、実数体上のベクトル空間をなす。
つまり関数 f,g:Z→R について (f+g)(x)=f(x)+g(x) と、実数αについて (αf)(x)=α(f(x)) と定める。
6 以上の整数 n について、ベクトル空間 V_n の次元を求めよ。
422:１３２人目の素数さん
20/10/25 20:47:27.71 T/xDoF2e.net
>>401
ウェアリング使うとdimVn=1(n≧9)はすぐ分かるか
423:１３２人目の素数さん
20/10/25 22:54:02.14 T/xDoF2e.net
ウェアリング使わなくてもn≧9のときは恒等式
k^3=(k-1)^3+(k-2)^3+(k-6)^3-(k-5)^3-(k-4)^3+1^3+2^3+3^3
を使えばdimVn=1が示せそう
n=6,7,8のときもこういう恒等式を見つける感じか
実験的には
「3以上の任意の正整数kに対してk^3は6個以下の絶対値がk未満の三乗和でかける」
が成立しそうだからdimV7=dimV8=2
同様にdimV6=3が言えそう
424:
20/10/26 00:26:18.00 COijmoNX.net
前>>387
>>390
正方形の一辺をxとおき、頂点から3,7,11でつながる分岐点と辺のもっとも短い距離をaとすると、斜辺3の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(9-a^2)
斜辺7の直角三角形のもう一つの辺はピタゴラスの定理より√(49-a^2)
この辺はx-√(9-a^2)とも表されるから、
x-√(9-a^2)=√(49-a^2)
辺々二乗してx^2-2√(9-a^2)x+9-a^2=49-a^2
x^2-2√(9-a^2)x=40―1.
分岐点を含む一辺xの直角二等辺三角形において、分岐点から遠い側の辺まで距離は√(49-a^2)
ピタゴラスの定理より49-a^2+(x-a)^2=121
x^2-2ax=72
ここから1.を辺々引くと2√(9-a^2)x-2ax=32
x√(9-a^2)-ax=16
ax=x√(9-a^2)-16
求める面積はx^2/2-ax/2-x√(49-a^2)/2
ax=x√(9-a^2)-16を代入しx^2/2-x√(9-a^2)/2+8-x√(49-a^2)/2
√(9-a^2)+√(49-a^2)=xだからx^2/2-x√(9-a^2)/2-x√(49-a^2)/2=0
∴求める面積は8
できちゃったよ。完璧だよ。
425:１３２人目の素数さん
20/10/26 00:52:12.93 CzRFy8fL.net
>>390みたいな問題はなるべく図形的に解いてほしいんだけどな・・・
426:１３２人目の素数さん
20/10/26 06:56:06.35 /PPl0lvR.net
>>397
問題の数値を変えて最小二乗法でPCに探索させた値と厳密値を比較してみた。
> Fn(7,11,3)
近似値 厳密値
8.000001 8.000000
> Fn(3,4,5)
近似値 厳密値
5.75 5.75
> Fn(6,7,8)
近似値 厳密値
10.25 10.25
> Fn(7,8,9)
近似値 厳密値
11.75 11.75
わりと好成績。
427:１３２人目の素数さん
20/10/26 07:00:19.17 CzRFy8fL.net
>>403
ちょい改良
k^3=(k-1)^3+(k-3)^3-(k-5)^3-(k-7)^3+(k-8)^3+2^3+4^3
これでdimV8≦2
428:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:04:33.82 poLVk42H.net
>>403 >>407
n≧8 については正解でいいかな
お察しの通り、そんな感じでうまい具合に恒等式（や、必要であれば帰納法の使い方）を見つける問題です
429:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:11:51.40 +5erX0Ub.net
dim V8は1? 2?
430:１３２人目の素数さん
20/10/26 11:14:40.34 poLVk42H.net
あ申し訳ない、下界がまだだったね
n≦8 については Vn を張る関数の組の明示と、証明もよろしく
431:１３２人目の素数さん
20/10/26 13:41:12.20 poLVk42H.net
まあいいやここは自分でやろう
n=8 の時 V_n の基底として
f(x)=x^3
g(x)=(x^3 mod 9)
をとることができる。
ただし(x mod 9)は x-y が9で割りきれ、かつ -4≦y≦4 を満たすような唯一の整数 y とする。
fが条件(A)を満たすこととf,gの一次独立性は明らか。
g が条件(A)を満たすことは以下ようにしてわかる。
もし (x_1)^3 +…+(x_8)^3 = 0 なら、f_2 の定義から
S := f_2(x_1) +…+ f_2(x_8) が9で割りきれることがわかる。
しかし実際のところ f_2(x) がとり得る値は 1,0,-1 しかないので -8≦S≦8.
ゆえに S=0 になるしかない。
432:１３２人目の素数さん
20/10/26 13:42:42.78 poLVk42H.net
>>411
ミスった、途中の f_2 は全て g に変換して読んでください
433:イナ
20/10/26 14:49:07.76 COijmoNX.net
前>>404
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin 92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17°=0.95630475596……
cos18°=0.95105651629……
cos17.23°=0.9551233988……
y≒17.23°
434:１３２人目の素数さん
20/10/26 21:00:26.36 CzRFy8fL.net
>>407
改良
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
これでdimV7≦2か
435:１３２人目の素数さん
20/10/26 23:59:59.26 CzRFy8fL.net
>>411
これは思いつかないな
自分は何となくf(2)の自由度があると思ってただけで
これでdimV6～V8≧2も分かるか
しかしこれをあっさり教えてくれたということはn=6のときもまだ山があるんだろうね
>>414
この方針ではこれ以上うまくいかないな
定数項がゼロになる非自明な関係式はないことが解と係数の関係から証明できてしまう
次元の上からの評価もきっと上手い他の方法があるんだろう
436:１３２人目の素数さん
20/10/27 00:55:41.64 Dq0YITit.net
dim V7=2 はいけてるやろ
まず3^3～12^3までの立方数は絶対値がそれ以下の立方数の6個以下の和で表さすことができる
main = print $ map(sum . (map (^3))) [
[1,1,1,2,2,2],
[-2,-2,-1,3,3,3],
[-3,2,2,2,4,4],
[-5,0,3,4,5,5],
[-6,-1,4,4,6,6],
[-4,-4,-2,6,6,6],
[-8,-5,-1,7,8,8],
[-9,-4,-2,7,9,9],
[-10,-7,6,9,9,10],
[-11,-1,0,9,10,11]]
----
[27,64,125,216,343,512,729,1000,1331,1728]
よってf(3)～f(12)の値はf(1)とf(2)の値で決まる
さらにf(12)以降の値も>>414によりf(1)～f(12)の値できまるからf(1),f(2)の値で全て決まってしまう
もう残るはdim V6だけでしょ？
437:１３２人目の素数さん
20/10/27 01:03:26.25 Dq0YITit.net
あれ？>>414使えば
k^3=(k-2)^3+(k-3)^3+(k-12)^3-(k-11)^3-(k-6)^3+6^3
のk = 6のときと条件より
f(7) = f(5) + f(4) + f(-5) + f(-4) - f(1) + f(6)
以下同文だからf(3)～f(6)までがf(1),f(2)できまること確認すれば十分だった
438:イナ
20/10/27 07:20:53.68 0/ovOpqY.net
前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765°
439:イナ
20/10/27 07:20:53.68 0/ovOpqY.net
前>>413
>>310
正弦定理よりcos^2y=(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2/｛(sin25°sin 92°sin4°)^2+(sin 56°sin11°-cos25°sin92°sin4°)^2
cosy=0.95512691226……
cos17.229320376°=0.95512691226……
cos17.229320377°=0.95512691226……
y≒17.2293203765°
440:１３２人目の素数さん
20/10/27 09:51:43.46 u6xdTAW5.net
>>417
n=7 も正解。お見事
さて n=6 はどうなる…
441:１３２人目の素数さん
20/10/27 10:14:27.93 ovdl5acI.net
基本戦略は同じだろうけど>>414みたいな(k-a)みたいな形は無理みたいだな
多分
(12k+r)^3=(10k+a)^3 + (9k+b)^3 - (k+c)^3 + d^3
がkについての恒等式になるようなa,b,c,dをr≡0～11 (mod 12)である12個組のrについて見つければ上から評価ができるんではないかと予想
442:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:24:06.44 L9jX0otm.net
>>416
すまん明言してなかったけどn≧7はよくてn=6は別の方法が必要そうだということが言いたかった
>>421
もちろんそれ系も試した
12^3=10^3+9^3-1^3
6^3=5^3+4^3+3^3
の4つ組の利用は出来ない、なぜなら
(Rk+r)^3=(Ak+a)^3+(Bk+b)^3±(Ck+c)^3+定数
が成立する条件の1つとして
RA(Ar-Ra)^2+RB(Br-Rb)^2-AB(Ba-Ab)^2=0
が出るけど、これから、ある素数pについて
p|Rかつp^2|Bかつp|Aでもp^2|Rでもないときp|r
が分かるので
R=12のときrは3の倍数
R=6のときrは2の倍数
でないとabcの整数解は存在しない
ちなみに
k^3=(k+a)^3+(k+b)^3+(k+c)^3-(k+d)^3-(k+e)^3
という形の恒等式が自明なものしかないことの証明は
このk^2,k^1,k^0の係数を比較すると
{a,b,c}と{0,d,e}の各和,2乗和,3乗和が等しい必要があり
これは{a,b,c}と{0,d,e}の基本対称式の一致を意味し
解と係数の関係から集合として{a,b,c}と{0,d,e}は一致する
(このとき恒等式は自明なものになる)
443:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:28:08.77 L9jX0otm.net
>>414
ちなみにこの形の完全な一般形は
(X+ab+cd)^3+(X+ad)^3+(X+bc)^3-(X+ad+bc)^3-(X+ab)^3-(X+cd)^3=3abcd(a-c)(b-d)
444:１３２人目の素数さん
20/10/27 18:49:33.68 Dq0YITit.net
dim V6=∞だったりして
445:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:06:33.96 Dq0YITit.net
閃いた
(2x+1)^3-(2x-1)^3+(x-4)^3-(x+4)^3+5^3+1^3=0
446:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:26:04.75 L9jX0otm.net
奇数はそれでいけるな
4の倍数は
(4k)^3=(3k)^3+(3k)^3+(2k)^3+k^3+k^3
でいけるから
(4k+2)^3=(4k-2)^3+(k+32)^3-(k-32)^3-65520
あとは65520が立方数の和なら・・・
447:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:51:50.59 Dq0YITit.net
>>426
いや、4の倍数がいけてるなら4x+2は
(4x+2)^3-(4x-2)^3+(2x-8)^3-(2x+8)^3+10^3+2^3=0
でいいやん
448:１３２人目の素数さん
20/10/27 19:58:47.81 L9jX0otm.net
>>427
そうじゃん！
あとはf(3)に対応するV6の基底のみか
449:１３２人目の素数さん
20/10/27 20:02:48.67 Dq0YITit.net
いや、とりあえずdim V6≦3が言えただけで3かどうかわからんやろ
スボラディックに出てくるリレーション全部合わせたら結局2次元でしたもありうる
450:１３２人目の素数さん
20/10/27 21:51:31.59 L9jX0otm.net
mod 63でやればいいのか
451:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:06:09.62 L9jX0otm.net
いやmod7でいいのか
V6の基底として
h(x)=(x^3 mod 7)
をとる
ただし0,±1から代表を選ぶ
もし (x_1)^3 +…+(x_6)^3 = 0 なら、hの定義から
h(x_1) +…+ h(x_6) が7で割りきれることがわかる。
しかし代表の取り方からこれはゼロでなければならない
452:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:16:04.23 Dq0YITit.net
>431
おぉそれでいけてるね
453:１３２人目の素数さん
20/10/27 22:27:48.14 L9jX0otm.net
フタを開けてみれば>>411そのままだったわけだ
上から評価の恒等式も結局は>>425のようにシンプルな和差でやればよかったわけだし、いろいろ難しく考えすぎてしまった・・・
454:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:08:17.10 VQNToa0P.net
>>431
正解です。素晴らしい
ちょっと焦って序盤にヒント出しすぎたかな…
あとは n≦5 について考えるのもいいけれど、出題者は答えを持ってないので挑むなら気をつけて…
(
455:n≦3 はフェルマーの最終定理からわりとすぐ答えは出るから実質 n=4,5 のみ)
456:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:12:00.23 Dq0YITit.net
イヤ、これくらいのヒントでちょうどいい
これより手間かかると考える気無くすよ
みんなで考えて2、3日で答えが出るくらいがちょうどいい
457:１３２人目の素数さん
20/10/27 23:33:46.65 L9jX0otm.net
>>434
有名な問題なんですかね
出典あれば教えてください
458:１３２人目の素数さん
20/10/28 00:35:44.75 zKGHNosp.net
>>436
いや、先に問題を思いついてこねくりまわして結果が得られた部分だけ出題した感じだから
出典はないんだ、すまんな
ちょうどいい難易度になったなら良かった
459:１３２人目の素数さん
20/10/28 00:39:25.97 3BqdbK1h.net
すごいな
こんなにいい問題なかなか作れない
460:１３２人目の素数さん
20/10/28 13:32:21.86 P0pwA8LD.net
【たばこ】喫煙率 男女合わせて16.7％(男性27.1％ 女性7.6％) 調査開始以降最低に [ばーど★]
厚生労働省は去年11月、全国の20歳以上の男女およそ5700人を対象に、生活習慣などを調査しました。
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
対象となった５７００人の男女比を求めよ。
461:１３２人目の素数さん
20/10/28 17:15:42.38 P0pwA8LD.net
>>419
延々と計算を続けるイナ氏には脱帽。
462:１３２人目の素数さん
20/10/28 19:59:16.86 P0pwA8LD.net
>390を契機にこんな問題を考えてみた。
自作につき正解はもっておりませんのであしからず。
AB=l,BC=mの長さの長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積lmとPDの長さを求めよ。
463:イナ
20/10/28 21:51:45.24 D1fT77pb.net
前>>419
>>441
PD=√(18l+m)
初動捜査の結果だ。勢いで出した。あってるかはわからん。
464:１３２人目の素数さん
20/10/28 22:23:54.15 h08IxI/j.net
>>442
PD=√(PA^2-PB^2+PC^2)=√18だと思う。
面積はよくわからん。
465:１３２人目の素数さん
20/10/29 01:57:32.65 JZmjW2qA.net
A (0,0)
B (l,0)
C (l,m)
D (0,m)
P (x,y)
とおく。ただし
x = (l-7/l)/2, (√7 < l < 7)
y = (m-9/m)/2, (3 < m < 9)
x^2 + y^2 = PA^2 = 3^2,
PD = √{x^2 + (m-y)^2}
= (1/2)√{(l-7/l)^2 + (m+9/m)^2},
466:１３２人目の素数さん
20/10/29 08:51:37.36 qyMU3NEz.net
>>441
変数の数から一意には定まらないのでは？
467:１３２人目の素数さん
20/10/29 09:09:42.27 qyMU3NEz.net
問題改題
長方形ABCDの内部の点をPとして
PA=3,PB=4,PC=5のとき長方形の面積の最大値と最小値を求めよ。
468:イナ
20/10/29 11:45:49.44 GxVEasCu.net
前>>446
>>442
最小値l=√(4^2-3^2)=√7
m=3+√(5^2-7)=3+3√2
lm=3(1+√2)√7
469:１３２人目の素数さん
20/10/29 12:02:09.48 JZmjW2qA.net
改題されたんぢゃ 生姜ねぇ…
l = (9+10√2)/√17 = 5.6127923
m = 3(5+2√2)/√17 = 5.6960174
のとき最大
lm = 3(5+4√2) = 31.970563
このとき
x = (l - 7/l)/2 = 9/√17 = 2.1828206
y = (m - 9/m)/2 = (6√2)/√17 = 2.057983
(l + 7/l)/2 = (10√2)/√17 = 3.4299717
(m + 9/m)/2 = 15/√17 = 3.6380344
PD = 3√2 = 4.2426407
∠PBA = ∠PDA = arcsin(3/√34) = 30.9637565°
∠PBC = ∠PDC = arccos(3/√34) = 59.0362435°
∠PAB = ∠PCB = arccos(3/√17) = 43.3138567°
∠PAD = ∠PCD = arcsin(3/√17) = 46.6861433°
∠APB + ∠CPD = ∠APD + ∠BPC = 180°
470:１３２人目の素数さん
20/10/29 14:39:04.74 z2jmRItd.net
>>446
a=3 ; b=4 ; c=5として
x<m, y<l
x^2 + (y-l)^2=a^2 (1)
x^2 + y^2 =b^2 (2)
(x-m)^2 + y^2=c^2 (3)
が成立するときのl*mの最大値を求める計算になるので
(1)-(2),(3)-(2)の連立方程式を解いて
lm=(y+sqrt(y^2+a^2-b^2))*(x+sqrt(x^2+c^2-b^2))
(2)からx=b*cosθ, y=b*sinθとおけるので
lm(θ) = (b*sin(θ)+sqrt((b*sin(θ))^2+a^2-b^2))*(b*cos(θ)+sqrt((b*cos(θ))^2+c^2-b^2))
この最大値を求めると
θが
[1] 1.03037
のとき
[1] 31.97056
471:１３２人目の素数さん
20/10/29 14:50:27.94 z2jmRItd.net
数値を変えて計算させてみた。
> f(3,4,5)
l m Area
1 5.612759 5.696051 31.97056
> f(4,5,6)
l m Area
1 7.042527 7.096993 49.98076
> f(5,6,7)
l m Area
1 8.465368 8.503645 71.98648
472:イナ
20/10/29 21:22:28.67 Isupb/V3.net
前>>447
>>446
点Pが長方形の上辺AD上に来たとき、
AP=3
AC=√(4^2-3^2=√7
PC=√(5^2-7)=√18=3√2
ABCDの面積lm=AC×AD=√7(3+3√2)
=3(1+√2)√7
=19.1622260935……
これが最小値か？
点PとADの距離をaとおくと、
点PとABの距離は√(9-a^2)
ピタゴラスの定理よりl-a=√｛4^2-(9-a^2)｝=√(7+a^2)
点PとCDの距離は√｛5^2-(7+a^2)｝=√(18-a^2)
lm=｛a+√(7+a^2)｝｛√(9-a^2)+√(18-a^2)｝
=√(9a^2-a^4)+√(18a^2-a^4)+√(63+2a^2-4a^4)+√(126+11a^2-4a^4)
微分してlm'=0となるaの値を探る。
√(36a-4a^3)(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(18a-4a^3)
(63+4a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(126+22a-4a^3)+√(36a-4a^3)(18a-4a^3)(63+4a-4a^3)=0
0＜a＜3より9-2a^2=0
a=3/√2=3√2/2
lm=｛3√2+√(7+9/2)｝｛√(9-9/2)+√(18-9/2)｝
=(3√2/2+√46/2)(3√2/2+3√6/2)
=3(√2+√46)(√2+√6)/4
=3(1+√23)(1+√3)/2
=23.7517592907……
これが最大値か？
だめか、31超えるのか。
63+4a-4a^3=0と63+11a-2a^3=0がまだ可能性ある。
473:イナ
20/10/29 21:27:33.85 Isupb/V3.net
前>>451一部とり下げ。
lm'=0にならないから違う。
474:イナ
20/10/29 23:33:44.00 Isupb/V3.net
前>>452
>>446
最小値=3(1+√2)√7=19.1622260935……
最大値は、
a+√(9+a^2)=√(9-a^2)+√(16-a^2)
a^2=328-√(328^2-65×1600)
=(328-√3584)/65
=(328-16√14)/65
a=√｛(328-16√14)/65｝
一辺=a+√(9+a^2)= √｛(328-16√14)/65｝+√｛9+ (328-16√14)/65｝=5.65390392093……
面積=31.9666295471……