22/12/23 14:18:49.51 MJ5/prm9.net
じゃあ、まさかの長方形？
あるいは、三角だったりする？
216:１３２人目の素数さん
22/12/25 10:36:40.13 sFYqOF1a.net
構成可能な実数の集合をR^{*} としてやれば、R^{*}はRの真部分集合であって
可算な集合になる。
R^{*} に対してカントールの対角線論法を適用すると、矛盾が生じる。
なぜならば、対角線論法は、実数が無限に並んだ表に対して、その
小数点以下の対角線上にある数字を並べて「構成した」数ｘは
その表には含まれないという。しかし、一方でその数ｘは
構成的実数を元にして（小数点以下の数字を並べるという操作で）「構成された」
実数だから、それもまた1つのR^{*}の元であるはずなのに、どういうわけか
可算集合であるR^{*}の要素を並べた表には含まれていない、
ということになるのだ。
どこかなにかがおかしいでは無いか？
217:１３２人目の素数さん
22/12/25 11:05:12.87 yvz2bvhB.net
そうか
218:、対角線があるから正方形だね
219:１３２人目の素数さん
22/12/26 02:28:50.59 SO0v4DPk.net
カントールの対角線論法に対する疑念としての追加。
Rを実数の集合とするとき、Rの部分集合として（0,1）区間のものを
とってきて、それが可算であると仮定して, r_1, r_2, r_3, .... と並べる
ことができたとする。しかし、各実数ｒ_kを小数展開したとして、
などとさらっと述べているが、どんな実数も小数展開
（小数点以下の任意の桁の数字）を与えることが出来るかどうかは怪しい気がする。
つまり、小数展開を与えれば実数が定まるというのは良いが、
その逆ははたして常に成立するのだろうか？
構成可能な実数に限定すればそのことは真なのだが。
表に出てくる実数r_kのそれぞれについて、小数点以下第ｋ桁目の数字を集めて
実数ｘの小数表現を作るという作業の際に、r_kの第ｋ桁目の数字を取り出す
方法がなければ、実数ｘを作れない（構成できない）だろう。
実数ｘが作れないとなると、対角線論法による背理法の矛盾にまで到達しない
ことになる。
220:１３２人目の素数さん
22/12/26 23:47:41.63 SO0v4DPk.net
たとえば、実数ｓとして、たとえばその二進展開を
ｓの小数点以下第ｋ桁目がｋが素数なら1、合成数なら0というルールで決めれば、
任意の第ｋ桁目が0か1かはまあ原理的には有限の手間で求まる。
しかし、ｓの第ｋ桁目がゲーデル数がｋに対応する命題が真なら1、偽なら0という
ルールで決めたときには、そのような実数ｓの小数点以下第ｋ桁目の数は
確定しているはずだとはいえども、それを求める手段を構成できないので、
ｓの第ｋ桁目を求められないから、対角線論法を実際に行って
対角線上に並んだ数字と一致しない数字を並べた小数展開の実数aを作る、
と述べているステップが実行不能になるはずだ。
221:１３２人目の素数さん
22/12/26 23:56:17.51 HkZ4QHvB.net
計算量の話と対角線論法は別の話
222:１３２人目の素数さん
22/12/27 02:39:15.77 1pC7mOOV.net
>> 212
実数を無限の長さまで小数展開してから対角線論法に持っていくのが原因なので
小数展開は有限な桁数までしか行わないようにすればいいのです。
例えば
命題) 以下の(1) - (3) を認めれば、実数全体の集合は可算(可付番) な集合ではない。
(1) 実数全体集合には、通常の大小関係が定義される。
(2) 整数は10進展開可能
(3) カントールの区間縮小法は成立する。
補題 任意の実数αと任意の正整数 k に対して、α を小数第 k 位まで表現することができる。
補題の証明は略
命題の証明
実数全体の集合が可算(可付番) な集合と仮定して矛盾を導く。
実数全体の集合が可算なので、α_1, α_2, ... と並べることができる。
b_0 を 0 として、任意の正整数 k に対して、
b_k を以下のように定める。
・ α_k の小数第 k 桁目の値が 9 と異なっていれば、b_k = 1, 9 と等しいならば b_k = 2とする。
β_k = b_0 . b_1 ・・・ b_k とおき、区間 I_k = [β_k, β_k + 10^k] とおけば、
I_1 ⊃ I_2 ⊃ ・・・
かつ
|I_k| -> 0 (k->∞)
なので、(3) のカントールの区間縮小法より、
ある実数βがただ一つ決まり、任意のk に対して、β∈ I_k。
βは実数なので、β = α_N となる正整数 N が存在する。
ここでα_N とβの小数第 N 位の値をそれぞれ a_N, b_N とすると、
b_N の定義より a_N と b_N は異なる。
さて、a_0 と b_0, a_1 と b_1, ..., a_N と b_N を比較して、
a_0 = b_0, ..., a_{k-1} = b_{k-1}, a_k != b_k とする。
a_N と b_N は異なるので、必ず k は存在する。
もし、a_k > b_k ならば
b_0 . b_1 b_2 ・・・ b_{k-1} b_k <= β < b_0 . b_1 b_2 ・・・ b_{k-1} a_k <= α_N
となって、α_N = β に反する。
同様にして b_k > a_k の場合も矛盾となる。
以上のことから、実数全体の集合は可算(可付番) な集合ではない。
223:１３２人目の素数さん
22/12/27 07:46:49.94 54Cbbi6K.net
＞補題 任意の実数αと任意の正整数 k に対して、
＞α を小数第 k 位まで表現することができる。
任意の実数として、整数部は0で、小数第ｋ桁目が
ゲーデル数ｋの命題が真なら1、偽なら0である二進展開を持つものを選ぶと、
計算量云々ではなくて、第ｋ桁目を決定できる如何なる「算法」も存在しない。
つまり任意に与えたｋに対してそのような実数を小数第ｋ位まで表現することは
構成的には「不可能」なんだよ。カントールの対角論法の証明では、
対角線上の数字を並べて「構成した」実数が表に現れないので矛盾を引き起こす
などといっているが、そのような「構成」をすることはできない。
だからおそらく、選択公理を密輸しているのじゃないかと思うのだよ。
224:１３２人目の素数さん
22/12/27 08:38:20.03 LoNJljOz.net
>>216
もう一度言う
計算量理論と対角線論法は別物だ
225:１３２人目の素数さん
22/12/27 10:39:57.65 54Cbbi6K.net
計算の量ではない、計算不能（計算するアルゴリズム＝手続が存在しない）
といっているのだ。
226:１３２人目の素数さん
22/12/27 11:24:54.59 oI4o94U4.net
その「実数」を使えば「実数」+1も計算できないから足し算もできなくなるな
227:１３２人目の素数さん
22/12/27 12:19:17.77 t0ThWf4M.net
>>218
計算量理論は計算の量の理論ではない
228:１３２人目の素数さん
22/12/28 13:47:42.46 N+ICku3d.net
>>208
それ以前に「2^n行n列」の間違いだった。
正方行列の、いずれの行にも含まれない行ベクトルは対角線論法で求めることができるが、正方行列じゃないからおかしい。
無論、論理学的に「対角線論法はおかしい」＝「実数は可算」となるわけではないが。
あと、視点を変えると2^√2のような演算は代数的に閉じていない（超越数）から「冪」であること自体が不加算かもしれん。
229:１３２人目の素数さん
22/12/28 14:06:11.57 A4nmu6e9.net
正方形じゃないと、長方形だったりすると、対角線がずれるんだよ
230:１３２人目の素数さん
22/12/28 14:19:42.42 j/v0ecos.net
>>221
行列といっている時点でおかしい
線形性は仮定されていない
231:１３２人目の素数さん
22/12/28 16:05:08.16 sGlyuMan.net
1番目は1じゃない、2番目は2じゃない、…って完全順列を思い出させるな。無論並び替えではないので順列とは違うが、要素がn!個ですら対角線論法はダメダメだ。
232:１３２人目の素数さん
22/12/31 19:29:22.76 jrZLF4aQ.net
カステラ1番、電話は2番、三時のおやつは文明堂♪
233:１３２人目の素数さん
23/01/13 11:51:44.49 eAeW6niR.net
0.99999…、2進法の0.1111…は無ということだけど、白玉を0、黒玉を1とすると
全部白玉(0.000…＝0)は有で全部黒玉（0.1111…、10進でいう0.9999…）はダメという
ことになってしまう。
数直線の1のすぐ左側の数を、超越数0.99999…としてはどうだろうか。1と0.9999…の中間数は当然
存在せず、隙間がないから実数の稠密性が担保できる。
234:１３２人目の素数さん
23/01/17 12:35:31.30 U98YHn1v.net
電話は1番、カステラ2番、3時のおやつは文明堂♪
と謡って首に
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