20/10/03 09:19:47.63 Ug9HuAK2.net
>>872
〔定理２３.〕
f(x) が連続なる区間内の一点aは別として、
aの近傍では f(x) が微分可能で、
lim[x→a] f '(x) = L が存在するならば、
f '(a) = L.
すなわち a においても f(x) は微分可能で、
f '(x) は a において連続である。
[証] 平均値の定理によって
{f(x)-f(a)}/(x-a) = f '(ξ), (ξは aとx
の中間)
すなわち
f '(a) ≡ lim[x→a] {f(x)-f(a)}/(x-a)
= lim[x→a] f '(ξ)
= lim[ξ→a] f '(ξ)
= L. (←仮定により)
高木貞治「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
p.50 第2章 微分法、§18. 導関数の性質