20/09/22 06:50:26.93 g+LmSvak.net
>>697
sin(x) をガウスの誤差関数で近似すると
sin(x) ≦ exp{-(1/2)(π/2 -x)^2} (0≦x≦π)
なので
a_m = ∫[0,π/2] sin(x)^{2m} dx
< ∫[0,π/2] e^{-m(π/2 -x)^2} dx
< ∫[-∞,π/2] e^{-m(π/2 -x)^2} dx
= √(π/4m)
→ 0 (m→∞)
〔補題〕
sin(x)･exp{(1/2)(π/2 -x)^2} ≦ 0, (0≦x≦π)
(略証)
0<t≦π/2 では
cot(t) - (π/2 -t) = tan(π/2 -t) - (π/2 -t)
≧ 0 (0<t≦π/2)
≦ 0 (π/2≦t<π)
tで積分して (π/2～x)
log(sin(x)) + (1/2)(π/2 -x)^2 ≦ 0,
exp をとる。(終)