20/08/19 12:30:21 Fkw4mj3H.net
>>122
あえて平方剰余を使わない解法を考えてみた
背理法で、 3 の倍数でない整数 a, b に対し、
a^2 + b^2 = c^2
を満たす整数 c が存在すると仮定して矛盾を導く。
a, b, c の最大公約数を d とすると、 a = dA, b = dB, c = dC となる整数 A, B, C が存在し、
A^2 + B^2 = C^2 かつ A, B, C の最大公約数は 1
が成り立つ。このとき、 A か B の少なくとも一方は奇数である。
対称性から、 A が奇数であると仮定しても一般性を失わない。
A^2 = (C+B)(C-B)
において、 A が奇数ならば C+B と C-B は互いに素である。
（なぜなら、もし C+B と C-B の両方を割り切る素数 p が存在すれば、
上の式より p は奇数 A を割り切るので p ≠ 2 である。すると、
(C+B) + (C-B) = 2C
(C+B) - (C-B) = 2B
より、 p は B と C も割り切るが、これは A, B, C の最大公約数が 1 であることに矛盾する。）
したがって C+B と C-B はどちらも平方数であるので、
C+B = m^2
C-B = n^2
となる整数 m, n が存在する。このとき、
A^2 = (mn)^2
となるので、背理法の仮定より m, n はどちらも 3 の倍数でない。すると、
2B = m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)
は 3 の倍数となる。
しかし、背理法の仮定より B は 3 の倍数でないので矛盾する。