20/10/08 20:08:38.14 1utOTGD3.net
>>964
(2)が高校数学の範囲内では無理だった. なんか簡単な方法あるの？
範囲外だが有名定理を使っていいなら (2)もできた :
(1)はよくある問題
log_2(3) ＞1 を有理数と仮定すると
2^(p/q) = 3 を満たす互いに素な正の整数p,qの組が取れる
よって, 2^p = 3^q を得るが左辺と右辺はパリティを異にする整数である
これは矛盾であるから log_2(3) は有理数である
■
(2) (log_2(3))^2 を有理数と仮定する.
このとき, log_2(3) = √(p/q) を満たす素な正の整数p,qの組が取れる.
β=√(p/q) とおけば 2^β = 3 であり, (1)よりβは無理数である.
あとは次のゲルフォント＝シュナイダーの定理から従う:
「αを0, 1 以外の代数�