20/09/05 16:38:49.29 liKukSbn.net
>>902
>>903の訂正
必ず17回当たるということなら無限に必要
当たり回数の期待値が17回を超えるのは17÷0.0833÷2=102.04……なので103回以上だから309万コイン必要
951:１３２人目の素数さん
20/09/05 16:41:24.92 r6wBA3+u.net
>>902
(17/0.083)*30000=6144578
952:１３２人目の素数さん
20/09/05 16:45:03.05
953:r6wBA3+u.net
954:１３２人目の素数さん
20/09/05 17:10:36 r6wBA3+u.net
>>905
0.0833だったので、17回成功するまでに必要なコインの期待値は
p=0.0833
s=17 # 成功数
s*(1-p)/p # 成功数ｓになるまでの失敗数の期待値
s*(1-p)/p + s # = s/p 成功数と失敗数の合計
s/p
s/p*30000 # 6122449
955:１３２人目の素数さん
20/09/05 17:21:16.20 r6wBA3+u.net
１０万回シミュレーションして平均値（期待値の近似値）を出してみた
sim <- function(p=0.0833,s=17){
Su=0 # 成功数
i=0 # 試行数
while(Su<17){
Su=Su+rbinom(1,1,p)
i=i+1
}
return(i)
}
mean(replicate(1e5,sim()))*30000
> mean(replicate(1e5,sim()))*30000
[1] 6117982
956:１３２人目の素数さん
20/09/05 17:57:06.61 8Trxkoe5.net
すげー！皆さんありがとうございました！
957:１３２人目の素数さん
20/09/05 19:13:46.27 sjSgt5Lc.net
17回成功に到達するのがn回目の抽選である確率は
q_n = C(n-1,17-1)･p^17･(1-p)^(n-17) (n≧17)
= 0 (n<17)
Σ[n=17,∞] q_n = 1,
E[n] = Σ[n=17,∞] n･q_n = 17/p = 204.08163265
Σ[n=17,199] q_n = 0.4935182680
Σ[n=17,200] q_n = 0.5020417085
Σ[n=17,204] q_n = 0.5357946506
Σ[n=17,205] q_n = 0.5441305558
median ～ 199.76
200回抽選するとして 600万コイン必要
958:１３２人目の素数さん
20/09/05 19:18:57.28 BtVdvkls.net
定理4.4.2の証明中の「つまり、どの辺も1度だけ使われる。」の言っていることが分かりません。
解説をお願いします。
定理4.4.1
木のどの2点もちょうど1本の道で連結している。
定理4.4.2
どんな位数nの木もn-1本の辺をもつ。
証明：
電話のネットワークを例にとって証明しよう。ある町で事件が起こり、他の町にメッセージを電話で送ろうとしたとする。
まず、その町の人は直接回線がつながっている町で電話する。電話を受けた町は直接つながっている町へ電話する。
電話を受けた町は、直接つながっている町でまだ電話を受けていない町へ電話する。…、グラフは連結なのでメッセージは
どの町へも伝わる。定理4.4.1より、どの町も事件のあった町とは1通りの道で結ばれている。つまり、どの辺も1度だけ
使われる。したがって、電話の回数は辺の本数と1対1に対応する。電話をかけないときに事件を知っている町はその町1つ
だけで、1回電話するたびに事件を知る町が１つずつ増える。したがって、点（町）の個数は辺（交信）の本数よりもちょう
ど１つ多い。
959:１３２人目の素数さん
20/09/05 19:46:45.28 +r0gmxeD.net
ワイ数学科、数学が分からな
ｽﾚﾘﾝｸ(livejupiter板)
960:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:07:20.57 lbP0o9nI.net
>>901
それホントに答え持ってんの？
答えない自作問題かどうかわからないと考える気にならん
961:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:41:15.76 BtVdvkls.net
>>911
ちなみに、英語で出版されている同著者らによる本の該当箇所には以下のように書かれています：
Theorem 8.2.3 Every tree on n nodes has n - 1 edges.
8.2.2 Let G be a tree, which we consider as the network of roads in a medieval
country, with castles as nodes. The king lives at node r. On a c
962:ertain day, the lord of each castle sets out to visit the king. Argue carefully that soon after they have left their castles, there will be exactly one lord on each edge. Give a proof of Theorem 8.2.3 based on this. 8.2.2. Any edge has only one lord, since if there were two, they would have to start from different ends, and they would have then two ways to get to the king: either continuing as they started, or waiting for the other and walking together. Similarly, an edge with no lord would have to lead to two different ways of walking.
963:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:42:15.03 BtVdvkls.net
>>911
は秋山仁・ピーター・フランクルによるハンガリー語からの翻訳です。
964:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:49:22.46 BtVdvkls.net
>>911
ルートノードRから各ノード（例えばAとする）への一意的な道R→…→B→AとB→Aが一対一に対応するということを言おうとしているようにもかすかながら思えますが、
何を言っているのか正確には分かりません。
965:１３２人目の素数さん
20/09/05 20:53:02.21 sjSgt5Lc.net
>>910
スターリングの公式で
log(q_n) = log(C(n-1,16)) + 17･log(p) + (n-17)･log(1-p)
= log(1-p)･n + 16･log(n) + 17･log(p/(1-p)) - log(16!) - 136/n - 748/nn - ････
= log(1-p)･n + 16･log(n) - 71.4435 - 136/n - 748/nn - 18496/(3n^3) - ････
nで微分すると
(d/dn){log(q_n)} = log(1-p) + 16/n + 136/nn +1496/n^3 + 18496/n^4 + ････
n = 192.576 で最大(ピーク)となる。 q_n = 0.00863234
966:１３２人目の素数さん
20/09/05 21:47:12.18 Wa2CzuyX.net
>>913
当然、どの小問も結論は正しいです。
（2）が難しくて分かりません
（3）は正三角形に限りなく近い例を構成すれば良いので（2）が解決すれば難しくはないと思います
（1）は素数乗なので何とかなりそうです
967:１３２人目の素数さん
20/09/05 22:01:13 BtVdvkls.net
Rを木Tの任意のノードとする。
RからRを除くn-1個の各ノードへは一意的な道が存在する。
AをRとは異なる任意のノードとする。
R→…→A''→A'→Aという一意的な道が存在する。Aに辺A'-Aを対応させる写像φ : V(T) - {R} → E(T)を考える。
φは単射である。なぜなら、仮に、φ(A) = φ(B)となるような異なる2点A, Bが存在したとすると、
B = A'でなければならないが、道R→…→A''→A'→AのR→…→A''→A'がRからA' = Bへの一意的な道で
あるからφ(B) = φ(A') = A''-A' ≠ A'-A = φ(B)となって矛盾が発生するからである。
φは全射である。仮に、φ(A) = A'-AとなるようなノードA∈V(T) - {R}が存在しないような辺A'-Aが存在したとする。
RからA'、RからAへの一意的な道がそれぞれ存在する。これらの道には辺A'-Aは含まれていないことは明らかである。
RからA'への道、辺A'-A、AからRへの道を考えれば明らかなように、Tに閉路が存在することになってしまうが、これは
矛盾である。∴φは全射である。以上より、n-1 = #(V(T) - {R}) = #E(T)である。
968:１３２人目の素数さん
20/09/05 22:01:30 lbP0o9nI.net
>>918
いや、だから何をもって結論は正しいと言ってるの？
969:１３２人目の素数さん
20/09/05 22:07:00 BtVdvkls.net
>>911は多分>>919のようなことを言いたいのだろうと推測しましたが、どなたか>>911の文章を解読できる方いますか？
970:１３２人目の素数さん
20/09/06 00:10:11.22 nVWP7zTC.net
>>916
どのnodeにも領主の城があり（一つだけ領主ではなく王の城がある）
ある時一斉に、しかも同時に領主達が王の城を目指して旅を始める瞬間を考え�
971:諱B 動き始めた瞬間、領主達が進む王の城に向かう道の上にいる領主の人数はキッチリ一人であり また領主がいない道は存在しない。 だから道の数と王以外の領主の数は一致する。 一度だけ使われる、というのはそういう意味。
972:１３２人目の素数さん
20/09/06 05:55:19.05 Tact+p1h.net
>>902
応用問題
成功確率8.33%のベルヌーイ試行を17回成功させるのに必要な試行回数の９５％信頼区間は何回から何回か？
973:１３２人目の素数さん
20/09/06 09:27:29 tN16f4S+.net
> # 分位数でのＣＩ
> qnbinom(0.025,17,0.0833)+17 ; qnbinom(0.975,17,0.0833)+17
[1] 123
[1] 307
> # Highest Probability Density IntervalでのＣＩ
> HDInterval::hdi(qnbinom,size=17,prob=0.0833)+17
lower upper
115 297
attr(,"credMass")
[1] 0.95
974:１３２人目の素数さん
20/09/06 09:31:01 tN16f4S+.net
>>924
１０万回のシミュレーション結果と照合
> sim <- function(p=0.0833,s=17){
+ Su=0 # 成功数
+ i=0 # 試行数
+ while(Su<17){
+ Su=Su+rbinom(1,1,p)
+ i=i+1
+ }
+ return(i)
+ }
> re=replicate(1e5,sim())
> quantile(re,c(0.025,0.975))
2.5% 97.5%
122 308
> HDInterval::hdi(re)
lower upper
115 297
attr(,"credMass")
[1] 0.95
975:１３２人目の素数さん
20/09/06 11:52:02 QyIpy/LY.net
>>901
誰も解けませんか？
教授とに出された問題ですが
976:１３２人目の素数さん
20/09/06 14:53:42.83 HYDaJwjZ.net
>>901
(1)
p=2のとき
α[2] = {(m+ki)/|m+ki|}^2 = {(mm-kk)+(2mk)i}/|m+ki|^2,
題意より (m,k)は自然数だから mk≧1,
α[2] は実数でない。
pが奇数のとき
Re{ (m+ki)^p } = mΣ[j=0,(p-1)/2] C(p,2j) m^(p-1-2j) (-kk)^j
は mの倍数。
一方 題意より (m,k) は互いに素だから
|m+ki|^{2p} = (mm+kk)^p ≡ k^{2p} ≠ 0 (mod m)
∴ |m+ki|^p はmの倍数ではない。
したがって
α[p] = {(m+ki)/|m+ki|}^p ≠ ±1.
977:１３２人目の素数さん
20/09/06 19:26:53.94 HYDaJwjZ.net
>>923
n = 122.025 までに17回達成する確率が 2.5%
n = 306.839 まで17回未達の確率が 2.5%
∴ 求める区間は
122.025 < n < 306.839
(参考)
18/p = 216.086
相加平均 214.432
E[n] = 17/p = 204.816 (p=0.0833)
メジアン 199.76
相乗平均 193.499
16/p = 192.077
Σ[n=17,121] q_n = 0.02322393181
Σ[n=17,122] q_n = 0.02495533764
Σ[n=17,123] q_n = 0.02678209166
Σ[n=17,306] q_n = 0.97420660647
Σ[n=17,307] q_n = 0.97514963127
Σ[n=17,308] q_n = 0.97606163314
978:１３２人目の素数さん
20/09/06 20:05:45 isWRzmyD.net
>>926
できた
979:１３２人目の素数さん
20/09/07 01:58:33 X63VHU9J.net
>>930
あ、ダメだ
間違ってる
予想としてはワイルの一様分布定理の素数版
αを無理数、0<a<b<1とするとき
lim #{ p ≦ x | p/α - [p/α] ∈ (a,b)}/(x/log(x)) = b-a
が成立しそうな気はするんだけど
それには
Σ[p≦x] exp(2πi/α p)/p = o(x/log(x))
が示せれば十分
自分が示せたと思ったのは
Σ[p≦x] exp(2πi/α log(p))/p = o(x/log(x))
だった
980:１３２人目の素数さん
20/09/07 02:03:56 X63VHU9J.net
訂正
Σ[p≦x] exp(2πi/α p) = o(x/log(x))
が示せれば十分
自分が示せたと思ったのは
Σ[p≦x] exp(2πi/α log(p)) = o(x/log(x))
まぁ要するに対数ζのs=1+2πi/αのところだけどlog(p)といういらん因子がある
981:１３２人目の素数さん
20/09/07 02:10:14.10 I+kGemqZ.net
あ、イヤ、いいのかな？
いわば「log(p)の“modα”の類」が一様に分布するからどのみち無限にあるからいいのか
982:１３２人目の素数さん
20/09/07 07:15:28.29 x5YdqZiz.net
行列Aを以下で定める。
[a b]
[c d]
a^2+c^2=1,b^2+d^2=1
この行列Aと列ベクトルv=(x,y)^Tによる連立方程式Av=0が|x|≦1かつ|y|≦1の実数解を持つとき、自然数nに対してA^nをnで表せ。
（※記号『^T』で行ベクトル(a,b)の転置を表す）
983:１３２人目の素数さん
20/09/07 07:24:10.99 5r3avP6+.net
vの条件が謎だな
常に(x,y)=(0,0)を解に持つし、それを除いて考えても解の定数倍も解だから常に絶対値を1以下に出来るのでは
984:１３２人目の素数さん
20/09/07 08:32:01 mXO8E5CX.net
メネラウスの定理とチェバの定理は同値な双対定理とみなせないのですか？
985:１３２人目の素数さん
20/09/07 09:17:34.74 a7ODoCed.net
射影幾何学
986:１３２人目の素数さん
20/09/07 10:38:45 c1fkzuff.net
高卒で数学?までなら大体の入試問題を解けます
今から1年でどれくらいの数学を身につけることが可能ですか
土日に8時間、平日3時間を予定しています
初等微積分、線形代数、微分方程式、複素関数論、確率統計、を考えています
987:１３２人目の素数さん
20/09/07 12:38:30 ejy1pQjv.net
入試用勉強の悪影響からどれだけ抜けられるかで決まる
小学生の素直さがあれば楽勝なんだけどな
988:１３２人目の素数さん
20/09/07 13:25:50.73 bE/6WhUJ.net
>>937
そんな無駄な質問する前に勉強したら？
いやならやめれば？
989:１３２人目の素数さん
20/09/07 14:57:12.89 Lx7mxSXy.net
グラフGには2つの異なる閉路が存在していて、そのどちらの閉路も辺aを含むとする。
また一方の閉路は辺bを含むが他方の閉路は辺bを含まないとする。
このとき、グラフGから辺bを除去したグラフG'には閉路が存在することを証明せよ。
990:１３２人目の素数さん
20/09/07 15:03:54.05 Lx7mxSXy.net
>>940
間違えました。訂正します。
グラフGには2つの異なる閉路が存在していて、そのどちらの閉路も辺aを含むとする。
また一方の閉路は辺bを含むが他方の閉路は辺bを含まないとする。
このとき、グラフGから辺aを除去したグラフG'には閉路が存在することを証明せよ。
991:１３２人目の素数さん
20/09/07 15:41:00.01 /YNSU6EH.net
>>941
Gからbの内部を抜いたグラフをG"としてMayer-Vietoris列
0→H1(pt∪pt)→H1(G")+H1(b)→H1G)
. →H0(pt∪pt)→H0(G")+H0(b)→H0(G)
からβ1(G)=β1((G")+1でG"は少なくともひとつの閉路を持つからβ1(G")≧1
∴ β1(G)≧2
同様にしてβ1(G)=β1(G')+1であるからβ1(G')≧1
992:１３２人目の素数さん
20/09/07 15:41:03.65 c1fkzuff.net
>>939
えっ
何かお気に障りましたか？
そのレスは時間の無駄ですよね（笑）
勉強法の質問はダメでしたか
993:１３２人目の素数さん
20/09/07 19:24:53.45 aYAtIge6.net
>>937
大学の講義は、1単位あたり45時間の学習が目安である。建前かもしれないが。なので大体1.5週間で1単位の勉強量。
大学のカリキュラムを参考に、単位数を、初等微積分4、線形代数4、微分方程式2、複素関数論2、確率統計2とすると、14単位なので21週間。
演習も考えるともっと時間かかるし、サクサク勉強できれば短縮出来る。
994:１３２人目の素数さん
20/09/07 19:28:02.41 0mPqgBlS.net
>>933
Cayley-Hamilton の定理より
AA - (a+d)A + |A|E = O,
ここに |A| = ad - bc,
∴ n≧1 のとき
A^n = t_n A - t_{n-1}|A|E,
ここに
t_0 = 0
t_1 = 1,
t_2 = a+d,
････
漸化式
t_{n+1} = (a+d)t_n - |A|t_{n-1},
995:１３２人目の素数さん
20/09/08 02:59:47.54 P6Fyzolp.net
>>939
勉強の悪影響がある以上
その答は良くない
996:１３２人目の素数さん
20/09/08 09:57:50.36 uFw/N5vZ.net
位数5の完全グラフK_5が平面的なグラフではないことの証明ですが、以下のように考えました。
模範解答と違うのですが、どこかおかしいところはありますか？
K_5が平面に辺が交差することなく描けたと仮定する。
n = 5, e = 10であるから、オイラーの公式より領域の数f = e - 5 + 2 = 7である。
一方、一番外側の領域を除く他の領域は三角形のはずであるから、Binomial(5, 3) = 10個の3角形領域のうち、少なくとも9個は
一番外側の領域ではない。f = 7 < 9だからこれは矛盾である。
997:１３２人目の素数さん
20/09/08 10:07:31.90 kbnSLIZb.net
>>945
特性根をα≠βとおくと
t_n = (α^n - β^n)/(α-β),
これは αとβの対称多項式だから、
基本対称式 α+β=a+d, αβ=|A| の多項式。
998:１３２人目の素数さん
20/09/08 10:45:22.40 uFw/N5vZ.net
「位数vの平面グラフは最大何本の辺をもつことができるか？」という問題の答えに以下のような記述があります。
「Gを平面性を保つ範囲では、これ以上辺を加えることができないグラフとする。このとき、Gのどの領域も３辺だけで囲まれている」
Gの一番外側の領域も３辺で囲まれていることはどうやって分かるのでしょうか？
999:１３２人目の素数さん
20/09/08 11:18:25.92 kbnSLIZb.net
>>917
ピーク付近では
μ = 192.57637716855732
σ = 45.975784
q_max = 0.008632336568
log(q_n) = log(q_max) - (n-μ)^2 /(2σ^2) + 8.583E-7･(n-μ)^3 - 4E-9･(n-μ)^4 + …
>>928
122.025 = μ - 1.75204σ
306.839 = μ + 2.48528σ
かなり非対称である。対数正規分布に近いのかも。
1000:１３２人目の素数さん
20/09/08 11:50:06.71 dWTcoXOj.net
>>950
普通に負の二項分布
1001:１３２人目の素数さん
20/09/08 12:59:09 kbnSLIZb.net
ピーク位置 n=192.576 >>917 と
95%CIの下限・上限の相乗平均 n=193.499 >>928
が近いことから、対数正規分布に近いと推測される。
μ_g = log(μ) = 5.2604928395496
σ_g = 0.2387405
q_max = 0.008632336568
log(q_n) = log(q_max) - {log(n/μ)}^2 /{2(σ_g)^2}
- 2.64254{log(n/μ)}^3 - 0.697889{log(n/μ)}^4
- 0.139578{log(n/μ)}^5 - …
95%CIの下限・上限は
log(122.025) = μ_g - 1.91114σ_g,
log(306.839) = μ_g + 1.95120σ_g,
これは正規分布の場合 (μ±1.960σ) に近い。
対数正規分布を仮定したときの 95% CI は
μ_g - 1.960σ_g = log(120.611)
μ_g + 1.960σ_g = log(307.481)
1002:１３２人目の素数さん
20/09/08 14:08:39.26 xIu482fc.net
>>947
グラフの周長が3のサイクルが三角形の領域を作るとは限らない
ex K5から一辺除いたグラフは球面グラフであるが、周長3のサイクルは7個あるが、平面グラフの三角形領域は6個しかできない
1003:１３２人目の素数さん
20/09/08 17:50:18.73 UIkXrCax.net
n次元空間に原点Oを置き、n個のベクトル
↑OA_1=(1,0,0,...,0,0)
↑OA_2=(0,1,0,...,0,0)
...
↑OA_n=(0,0,0,...,0,1)
によって張られる直交座標系(x_1,x_2,...,x_n)を考えます。（数学的に正しくない表現ですいません）
このとき原点からのユークリッド距離がちょうどr(r>0)である点の集合は
(x_1)^2+(x_2)^2+...+(x_n)^2=r^2…(ア)
で表される全体だと思うのですが、
①(ア)で正しいでしょうか
②(ア)はなんと表現すればいいでしょうか。超曲面、超立体、言い方が分かりません
③(ア)をrとn-1個の角で極座標表示することは可能でしょうか
よろしくお願いします
1004:１３２人目の素数さん
20/09/08 18:07:07.44 LG0EoGAt.net
>>954
超球面じゃないの？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
1005:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:38:11 P6Fyzolp.net
極座標は
x_1 = r cosθ_1, x_2 = r sinθ_1 cosθ_2, x_3 = r sinθ_1 sinθ_2 cosθ_3, …
x_(n-1) = r sinθ_1 sinθ_2 … sinθ_(n-2) cosθ_(n-1)
x_n = r sinθ_1 sinθ_2 … sinθ_(n-2) sinθ_(n-1)
とすりゃいいのさ
1006:１３２人目の素数さん
20/09/08 20:54:12 P6Fyzolp.net
極座標の解説：
まず x_1 座標と残りの n-1 次元超平面を考えて x_1 座標とベクトルの角をθ_1とすれば
x_1 成分は r cosθ_1 で n-1 次元成分は r sinθ_1
同様に x_2 座標と残りの n-2 次元を考えて… と言う感じに角θを定義して行く
1007:１３２人目の素数さん
20/09/09 01:02:25 yGOW4YIU.net
最近どつかのスレでπ(x;4,1)とπ(x;4,3) (4で割って1余るx以下の素数の数と3のそれ)で増大速度に差があるって話がでてた記憶あるんですけどどこでしたっけ？
1008:１３２人目の素数さん
20/09/09 01:28:58.83 YDbS9Hgz.net
あんまり超は使わないなあ
n次元多様体とか
n次元球面とか
n次元立方体とか
1009:１３２人目の素数さん
20/09/09 06:03:09.03 hDTCHuTp.net
実数xについての関数f_[k](x)を、
f_[1](x) = x^2+x
f_[n+1](x)=log{f_[n](e^x)}
と帰納的に定義する。
このとき極限 lim[n→+∞] f_[n](0) および lim[n→+∞] f_[n](1) を求めよ。
1010:１３２人目の素数さん
20/09/09 07:21:45.83 YiV+7X+C.net
>>958
これのことか？
>>245
1011:１３２人目の素数さん
20/09/09 07:50:38.92 Ek7L/Az6.net
>>961
それです
ありが㌧
1012:１３２人目の素数さん
20/09/09 16:03:10.42 9PTvu2Ea.net
f_1(x) = x^3 - 3x
f_(n+1)(x) = {f_n(x)}^3 - 3{f_n(x)}
とする。
nを3以上の整数とするとき、xの方程式f_n(x)=0の実数解の個数をnで表せ。
1013:１３２人目の素数さん
20/09/09 18:13:32.20 ayHPVyw3.net
>>963
実解の個数を a[n] とする。
y=x^3 - 3x と y=x のグラフを描くと
有限回の繰り返し写像で0になりうる点は -2 < x < +2 かつ x≠±1 の範囲に存在していて、
この範囲にある1点の逆像は 重複無しの3点となる事が分かる。
よって 0点の逆像を n 回繰り返し求めれば...
a[n] = 1 * 3 * ... * 3 = 3^n となる。
1014:１３２人目の素数さん
20/09/09 18:22:09.85 ayHPVyw3.net
こんなのグラフを描けば分かるっしょ？
これを教科書的な厳密さで示すのは面倒かもしれない。
1015:１３２人目の素数さん
20/09/09 18:42:34.71 QiJM7dSD.net
>>965
東大の入試問題でやや難しいとされた問題です
誘導の（1）（2）を消して、この（3）部分だけにしたら、どういう解答を作ればいいか分かりませんでした
ありがとうございました
論述を頑張ってみます
1016:１３２人目の素数さん
20/09/09 18:49:34.11 6JSXIidK.net
x=2cosθとおいて3倍角かな
1017:１３２人目の素数さん
20/09/09 19:18:01 ayHPVyw3.net
>>966
誘導の（1）（2） はどうなってるのか教えてくれ。
1018:１３２人目の素数さん
20/09/09 20:40:14.85 2WpbIfaQ.net
>>963
f_(n+1)(x) = f_1(f_n(x))
だから、 f_n(x) の性質は f_1(x) の性質によって決まる
x > 2 なら f_1(x) > 2 であり、 x < -2 なら f_1(x) < -2
また、 x が -2 → 2 と動くとき、 f_1(x) の値は -2 → 2 → -2 → 2 と動くから、
帰納的に
f_n(x) の値が単調に -2 → 2 となる x の範囲において、 f_(n+1)(x) の値は -2 → 2 → -2 → 2 と動く
ことがわかる
2 → -2 のときも同様
よって、 f_n(x) の値が単調に変動する x の範囲において、 f_(n+1)(x) は 3 回 0 になる
そのような範囲は f_n(x) に対して、帰納的に、
1019:3^n 個あることがわかる
1020:１３２人目の素数さん
20/09/09 20:42:45.51 ftv13/pr.net
>>968
この第4問（1）（2）です
単なる実験の問題で、（3）を帰納法で解けという誘導だと思います
ただしあることに気がつかないと帰納法が機能しない意地悪な問題で、それでやや難だと大数で見たことがあります
URLﾘﾝｸ(www.riruraru.com)
1021:１３２人目の素数さん
20/09/09 21:34:23.30 ayHPVyw3.net
>>970
なるほどありがとう。 てか問の文で 3^n まで提示してるとか甘やかしすぎなんじゃ....
しかも解答例は面倒臭く考えすぎだと思う。そりゃ「やや難しい」になるわけだ。
出題側は >>964 をもっと丁寧に書けくらいの気持ちだと思う。
あんまり詳しくないけど東大数学の "難問" て、こんなもんじゃないでしょ。
1022:１３２人目の素数さん
20/09/09 21:37:35.86 ayHPVyw3.net
すまん、解答例よく見ると簡潔でそんな変な解答でもなかった。
1023:１３２人目の素数さん
20/09/09 22:20:18 Ncax73dV.net
あるサイトが参加者にポイントを配るとします。
ポイントはランダムな量がランダムなタイミングで掲載され、取得は早いもの勝ちです。
参加者はページをリフレッシュして掲載されているポイントをクリックして獲得します。
サイト管理者はトラフィック量を増加させたくないので、参加者それぞれに
キャッシュを設け、60秒毎に情報を更新します。
キャッシュの更新が60秒毎なのは全参加者に共通ですが、バラバラのタイミングで
更新されます。（つまりある参加者のキャッシュでは掲載されているポイントが
別の参加者のキャッシュでは未掲載ということがある）
参加者は60秒間に2回だけリフレッシュすることが許可されています。
ポイントの配布は永久に続くものとします。
この時参加者にとってもっとも期待値が高くなる戦略を教えてください。
1024:１３２人目の素数さん
20/09/09 22:23:25 Ncax73dV.net
追記
参加者はポイント掲載のタイミングも、自分のキャッシュが更新されるタイミングも分からないものとします。
1025:１３２人目の素数さん
20/09/10 16:21:04.46 Gfqgi8U+.net
>>673
要はキャッシュクリアのタイミングをどれだけ効率よく推定するか？でいい？
最初のフェーズでは1/2分間隔でリフレッシュする。
例えばn,n+1/2分のタイミング
すると最初のページ更新のときに自分のキャッシュクリアのタイミングが[n,n+1/2]なのか[n+1/2,n+1]なのかがわかる
前者の場合
今度はnとn+1/4でキャッシュクリアする
するとn,n+1/4]なのか[n+1/4,n+1/2]なのかがわかる
一般にk回目のページ更新のときに[n+a,n+a+1/2^k]に絞られるから次のフェーズではn+a,n+a+1/2^(k+1)でリフレッシュする
細かいチューニングでさらに良くできるかもしれないけど大筋コレがベストな伊予柑
1026:１３２人目の素数さん
20/09/10 22:53:17.09 wl4xf8iO.net
誰か教えてください。
積分の問題で、
0から∞まで積分で
e^（-st）tdt
なのですが、回答が
1／s^2
です。どなたか教えていただけませんか、、、。
1027:１３２人目の素数さん
20/09/10 23:28:33 YO1J0dXF.net
>>976
∫fg' = fg - ∫f'g を用いる
この場合 fにあたるのがt, gにあたるのがe^(-st)
1028:１３２人目の素数さん
20/09/11 00:43:45.47 V//8CgLy.net
0 < m < n であるような
定数 m,n があるとする
関数の集合 A があるとして、n 個の任意の
異なる入力 x1,x2,...,xn について、
少なくとも m 個の等式 A(xk) = yk が真となるように、n 組の数字 y1,y2,...,yn を計算できるだろうか？
1029:１３２人目の素数さん
20/09/11 07:23:45.69 FXcn8PzE.net
xyz空間に�
1030:ｼ径1の円が2020個配置されており、どの2つの円もちょうど2点で交わっている。 これら2020個の円の位置関係を述べよ。
1031:１３２人目の素数さん
20/09/11 07:58:16.82 +0o5IpbM.net
それだけで位置関係決まらんだろ
一つの円を少しだけずらしながらコピーするように配置すれば条件を満たすんだから、一点を固定してその充分近い近傍に残り2019個の点を取りさえすれば位置関係は自由じゃ？
それとも中心位置の距離の上限を調べろという糞問題かな
1032:１３２人目の素数さん
20/09/11 08:05:33.28 yotGmVhM.net
中心位置の距離って最大値無しじゃないか？
1033:１３２人目の素数さん
20/09/11 08:29:21.92 hs1QHGjt.net
>>980で終わってるな
問いでは3次元空間に2次元図形の円を配置していることに注意して
すべての円は同一平面または
（半径が円と同じかより大きい）同一球面上にある
とすればよい
1034:１３２人目の素数さん
20/09/11 08:42:58.37 hs1QHGjt.net
円の中心の分布の条件は
任意の2点の距離＜元の円の直径
なので、分布は1点を中心とする円とは限らず
ルーローの三角形のような定幅図形でもよい
等号は含まないので、最大値はなし
1035:１３２人目の素数さん
20/09/11 08:59:33.10 aUr/mGiS.net
距離2未満の2点とってその2点通るようにクルクル回すのもあるね
1036:１３２人目の素数さん
20/09/11 09:07:54.34 hs1QHGjt.net
>>973
キャッシュは普通、ユーザが使うブラウザやアプリに持たせるもの
サーバが全ユーザ分のキャッシュを保持するのは非現実的だが…
問題の通りの条件で、かつ1分ごとのページの更新が判別できるなら
戦略はおおむね>>975でOK
アクセス1分に2回の条件が毎分0秒にリセットと決まっているなら
分割探索で前半が確定すれば、最後の結果と次回の1回目の結果も60秒未満で
比較可能となるので、次回は前半を3分割、後半を2分割とできる
分割数は2の累乗より大きくでき、1、2、5、13、…と
フィボナッチ数を1つ飛ばしにした値になる
分割のタイミングは、黄金比 φ＝1.618… を用いて
2分割は φ：1、3分割は φ：φ：1 とすれば最適化できる
1037:１３２人目の素数さん
20/09/11 09:18:53.15 hs1QHGjt.net
>>985の続き
>>974で更新時刻は判別不可とあるが、現実的には
「配布中」⇔「配布されていません」
の画面の違いが長期的にみると出現するので利用できる
この場合は、断続的に2分探索を行うので>>975がそのまま使える
これを無視して、画面の更新を戦略に使わないとすれば
1分2回のアクセスをランダムに割り振るのが最善
キャッシュがランダムではなく、最初のアクセスから60秒であれば
ユーザも60秒ごとにアクセスするのが最善
早いもの勝ちのポイントサイトというと
ガッチャモールのローソン無料商品券配布祭りとかがあったな
1038:１３２人目の素数さん
20/09/11 09:20:41.28 hs1QHGjt.net
>>984
異なる2点とは書いてないので、確かにそれもありですねー
1039:イナ
20/09/11 12:14:17.73 AaAozqQu.net
前>>890
>>979
蜘蛛は蜘蛛の巣に捕まったコガネムシを任意の2点を固定してクルクルクルクル高速で回してコガネムシを身動きとれないストレスにより弱らせる。
1040:イナ
20/09/11 12:16:58.95 AaAozqQu.net
前>>988訂正。
>>979
蜘蛛は蜘蛛の巣に捕まったコガネムシを任意の2点を固定してクルクルクルクル高速で回して身動きとれないストレスによりあるいは毒を注入して弱らせる。
1041:１３２人目の素数さん
20/09/11 12:35:07.25 x
1042:cUymbow.net
1043:１３２人目の素数さん
20/09/11 12:48:40.71 bm+WDsM1.net
>>2因子分解可能とは？
ググっても出てこないけど？
グラフ理論みたいなマイナーな話ふりたいならグクっても出てこないような単語は載せんとダメだよ
1044:１３２人目の素数さん
20/09/11 14:53:03.63 E85RL8Qh.net
(1) 同一平面上にあり、
どの2つの円の中心の距離dも 0<d<2, >>980
(2) 同一球面上にあり、(半径R≧1)
どの2つの円の中心を球の中心から見た角θも >>982
0 < R sin(θ/2) < 1,
(3) z軸上の2点 (0,0,c) (0,0,-c) を通るように回す。0<c≦1.
{x cosφ + y sinφ ± √(1-cc)}^2 + zz = 1, >>984
y/x = tanφ,
1045:１３２人目の素数さん
20/09/11 15:04:40.34 E85RL8Qh.net
>>979
いまのところ
(1) 同一平面上にあり、
どの2つの円の中心間距離dも 0<d<2, >>980
(2) 同一球面上にあり (半径R≧1)
どの2つの円の中心を球の中心から見た角θも >>982
0 < R sin(θ/2) < 1,
(3) z軸上の2点 (0,0,c) (0,0,-c) を通り、0<c≦1.
{x cosφ + y sinφ ± √(1-cc))}^2 + zz = 1, >>984
- x sinφ + y cosφ = 0, 0≦φ<2π
1046:１３２人目の素数さん
20/09/11 16:57:55.55 E85RL8Qh.net
連投ｽﾏｿ
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1047:１３２人目の素数さん
20/09/11 19:54:26.90 QjMckGWj.net
面積1の閉領域Dの周上または内部の点P(x,y)に対して点Q(x+y,xy)を考えます。
Pが動くとき、Qの存在領域の面積はDの何倍から何倍の間にあるでしょうか。
よろしくお願いします。
1048:１３２人目の素数さん
20/09/11 22:03:59.50 SzpHTH85.net
>>995
x+y=u
x-y=v
とおいて
x+y=u
xy=(u^2-v^2/4
uv平面上の面積2の図形が変換
w=(u^2-v)^2/4
によってuw平面上の領域として移される場合の面積の値域と考えればよい
∴ 0～∞
1049:１３２人目の素数さん
20/09/12 08:32:45.01 zrYwMlIY.net
>>996
x+yとxyが有限の値になるので、てっきり有限の定数a,bでa倍～b倍と表せると思っていました。
xy平面の単位円をこのように変換して面積を求める入試問題から、一般化を考えました。
しかし例えば「この変換で面積k倍になる元の領域全体はどのような集合か」でも、要素のパターンが無数にあって決定しきれない感じてしょうか
ありがとうございました
1050:１３２人目の素数さん
20/09/12 15:47:07.57 n7twx+Wx.net
k≧1 の例ですが
正方形 (面積１)
(x,y) = (k,0) (k+1,0) (k,1) (k+1,1)
は四角形 (面積ｋ)
(x+y, xy) = (k,0) (k+1,0) (k+1,k) (k+2,k+1)
に移るので、上限は無いようです。
下限は有るかも？
1051:１３２人目の素数さん
20/09/12 16:39:36.66 n7twx+Wx.net
k=1/6 の例ですが
a≧0 として
正方形 (面積１)
(x,y) = (a,a) (a+1,a) (a,a+1) (a+1,a+1)
は放物線とその接線の隙間 (面積 1/6)
a(u-a) ≦ v ≦ (u/2)^2, (2a≦u≦2a+1)
(a+1)(u-a-1) ≦ v ≦ (u/2)^2, (2a+1≦u≦2a+2)
に移る。
(u, v) = (x+y, xy) とした。
1052:１３２人目の素数さん
20/09/13 12:45:55.03 aLRApFcX.net
k>0 の例ですが
b>a≧2k として
斜め長方形 (面積１)
(a-2k, a+2k) (a+2k, a-2k) (b-2k, b+2k) (b+2k, b-2k)
ただし k = 1/{8(b-a)},
は2本の放物線の間 (面積ｋ)
v = (u/2)^2,
v = (u/2)^2 - (2k)^2,
2a≦u≦2b,
に移る。
b-a → ∞ のとき k → 0
∴下限も無い。
>>996 が正解。
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