20/08/11 09:02:29 dwVOjOlW.net
>>261
積分したら、 16 (2-√2)が答だな。
273:１３２人目の素数さん
20/08/11 09:15:20 dlrqXygC.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
274:１３２人目の素数さん
20/08/11 09:27:59.56 RcW8WFhM.net
頼みます
ある集団の身長の平均は170cm,分散は64で、正規分布に従う。
(a) この集団の中から無作為に1人取り出した時、その人の身長が182cm
以上である確率はいくつか。小数点以下第4位まで答えよ。
(b) この集団には身長が168cm 以上 182cm以下の人は約何%いるか。小数
点第1位まで答えなさい。
(C) 遊園地のある乗り物は身長が一定以上でないと乗れない。この集団の
98%以上が乗れるとき、身長制限は何cmか。小数点以下は切り上げて
答えよ。
275:１３２人目の素数さん
20/08/11 09:37:58.41 dlrqXygC.net
z×√64)+170
(1) z≧(180-170)/√64 の面積を読む
(2) z≧(168-170)/√64 ≦ z ≦ (182-170)/√64 の面積を読む
(3) z≧(x - 170)/√64 の面積が0.02となる x を求める
276:１３２人目の素数さん
20/08/11 09:52:31.23 sLooAqcf.net
>>258
(ds/dθ)^2 = r^2 + (dr/dθ)^2
= 16{(1+cosθ)^2 +(sinθ)^2}
= 32(1+cosθ)
= 64{cos(θ/2)}^2,
|ds/dθ| = √{r^2 + (dr/dθ)^2}
= 8|cos(θ/2)|,
L = ∫[π/2, 3π/2] |ds/dθ| dθ
= 8∫[π/2, 3π/2] |cos(θ/2)| dθ
= 16∫[π/2, π] cos(θ/2) dθ
= 16 [ 2sin(θ/2) ](π/2, π)
= 16(2-√2) >>262
= 9.372583 >>263
277:１３２人目の素数さん
20/08/11 10:18:35.86 JqZPCil+.net
>>264
Rが使えるなら
(a)pnorm(182,170,8,lower=FALSE)
(b)pnorm(182,170,8)-pnorm(168,170,8)
(c)qnorm(0.98,170,8,lower=FALSE)
278:１３２人目の素数さん
20/08/11 10:31:02.56 RcW8WFhM.net
>>267
使えないです…
279:１３２人目の素数さん
20/08/11 10:38:55 dlrqXygC.net
(a) URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
(b) URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
(c) URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
280:１３２人目の素数さん
20/08/11 10:40:25 JqZPCil+.net
>>268
無料だし、今後も役立つから使えるようになるといいぞ。
>18みたいな遊びにも使えて楽しい。
処理速度に難があるけど。
281:１３２人目の素数さん
20/08/11 10:47:37 JqZPCil+.net
宿題を丸投げしているような気がしたから、あえて少数表示せずにレスした。
282:１３２人目の素数さん
20/08/11 15:47:14 cs2e13nz.net
87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
規則性を見つけてくれ～(^_^)ﾉ
283:１３２人目の素数さん
20/08/11 17:31:59 JqZPCil+.net
>>210
10時間後の濃度って
50*(0.9^10)%でいいのかな？
284:１３２人目の素数さん
20/08/11 17:48:36 cs2e13nz.net
>>272 は
nを1～44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？
285:１３２人目の素数さん
20/08/11 18:12:30 RcW8WFhM.net
2. 事象 A と事象 Bが起こる確率はP(A) = 0.6, P(B) = 0.7 である。条件
付確率 Pa(B) = 0.8であるという。Pb(A) を求めよ。
事象 A と事象 Bが起こる確率は P(A) = 0.8, P(B) = 0.7 である。P(A∪B) = 0.94がわかっている。このとき事象 A と事象Bが独立であるか
否かを説明しなさい。
答を教えて頂けたら幸いです
286:イナ
20/08/11 18:24:13.41 bhFNgAX+.net
前>>240
>>213
△abe=台形aecdだから、
ad+ec=beすなわち5+3=8
be+ec=8+3=11
∴be=8
287:イナ
20/08/11 18:24:13.57 bhFNgAX+.net
前>>240
>>213
△abe=台形aecdだから、
ad+ec=beすなわち5+3=8
be+ec=8+3=11
∴be=8
288:１３２人目の素数さん
20/08/11 18:52:04 gJ/LiAH4.net
>>274
k - | k - n |
289:１３２人目の素数さん
20/08/11 18:52:11 RoFM6jYQ.net
ある鉱石に含まれる鉄分含有率 (%) を調べたところ，次のデータを得た
7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5
鉄分含有率は正規分布に従うとする．そのとき，以下の問いに答えよ
1. 標本平均 x の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
2. （不偏）標本分散 s2 の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
3. （不偏）標本標準偏差 s の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 7
4. 自由度 7 のティー分布の両側 0.1 点 t7 (0.1) の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.8595, (2) 1.8946, (3) 2.3060, (4) 2.3646, (5) 3.4995
5. 母平均 µ の 90% 信頼区間をを以下の中から選択せよ
(1) [5.685135,8.314865], (2) [5.660315,8.339685], (3) [5.369412,8.630588],
(4) [5.327975,8.672025], (5) [4.52548,9.47452]
１番は3.5
２番は4
３番は2になりました
４番以降がわからないです
290:１３２人目の素数さん
20/08/11 19:30:15 M3m7YlSp.net
出来そうでできません。
n番目の素数は2^nより小さいことを証明せよ。
291:１３２人目の素数さん
20/08/11 19:37:23 FoWZrPf+.net
>>280
ベルトラン=チェビシェフの定理を使えば
p_n≦2^nならば
2^n<p≦2^(n+1)なる素数p�
292:ｪ1つは存在するので p_(n+1)≦2^(n+1)もわかり 帰納法で示せたことになる
293:１３２人目の素数さん
20/08/11 20:25:09.38 7zYwSct8.net
>>274
数列:
a(n) = {
i = ceil( (-3 + sqrt(8*n+9))/2 ) ; \\ row
j = n - (i-1)*(i+2)/2; \\ column
return( -1 + min( i- (2<j)*(j-2) , j ) )
}
a(1)～a(65)
0, 0,
0, 1, 0,
0, 1, 1, 0,
0, 1, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 0,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0,
(i<j の時に改行)
294:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:13:15 cs2e13nz.net
プログラムコードじゃなくて
wolfram 入力可能な数式化したい
295:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:47:48.94 3FSqzbPO.net
>>281
証明を与えていただきありがとうございます。
証明する事柄が自明にしか見えないので、高校数学程度の知識で示せると直感的に考えたのですが、そうでもないのでしょうか。
296:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:52:05.06 cs2e13nz.net
17 11
15 10 5
13 8 4 1
Table[2n-1+C(0,(21mod n)-1),{n,1,9}]
nが小さい時の式はつくれる
nが大きくなると破綻する
297:１３２人目の素数さん
20/08/11 22:06:22 dwVOjOlW.net
>>279
R使って
x=c(7.5, 5.5, 4, 7, 8.5, 5, 9, 9.5)
mean(x)
var(x)
sd(x)
qt(1-0.1/2,df=7)
t.test(x,conf.level = 0.9)
で終了。
298:１３２人目の素数さん
20/08/11 22:34:35.71 dwVOjOlW.net
>>282
慣れた言語に移植して続きを出力してみました。
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
あっているかな？
299:１３２人目の素数さん
20/08/11 22:36:23.41 FoWZrPf+.net
>>284
素数に関することは自明そうでも難しいことが多いと思う
これに関しては何か上手い別の方法で示せるかもしれないけどね
300:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:32:05 cs2e13nz.net
>>282 は総和が95
>>287 は総和が715 ならあっている
301:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:33:42.39 cs2e13nz.net
総和を出力する関数
(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48
302:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:55:56.61 JqZPCil+.net
>>289
>287の総和
> sum(unlist(d))
[1] 715
303:１３２人目の素数さん
20/08/12 06:15:40 hrLsE2UP.net
f(x) = 1+a*sin(x)+b*cos(x)に対し、
g(x) = ∫[0,x] (x-t)f(t) dt
とおく。
このとき任意の実数x,yについて
g(x+y)+g(x-y) ≧ 2g(x)
が成り立つような実数a,bが満たす条件を求めよ。
304:１３２人目の素数さん
20/08/12 07:13:59 VuTZnt5m.net
>>292
要は常に下に凸ってことだから恒等的に g''(x)≧0 となるようにすればいいんじゃね？
305:１３２人目の素数さん
20/08/12 07:20:50 KrQ981jo.net
>>113
これみてこんな問題を思いついた。
カージオイドr=1+cosθ
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
で囲まれた面をｙ軸の周りに回転させてできる立体の体積をVとする。直線x=aを軸に回転させてできる立体の体積がV/2であるようなaの値はいくらか？
306:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:05:22 KS7jLU54.net
くだらねぇ問題はここへ書け
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
307:１３２人目の素数さん
20/08/12 10:18:33 mYtbyTE6.net
体積問題は単純な計算問題にしかならないんで
丁寧に式変形しても 外野から「Wolfram先生に頼ったんだろw」とケチを付けられて終わる。
体積半分条件も大抵は数値計算に帰着するしかないんで数学的な面白みは薄い。
308:１３２人目の素数さん
20/08/12 11:04:37 StcyJuzq.net
積分問題は積分可能性がかなりアルゴリズム化されてるから、ほとんどのケースで手計算でやる意味はあんまりないと言えばないからな
積分がexplicitにできるかどうか不明であるケースはかなり少なくなってきてる
まぁ素人が適当に作った問題なんか高校生でもできるか、explicitには計算不能のどっちかにしかならない
309:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/08/12 12:13:37 VaAaef6o.net
前>>277
>>294左←審判が白の選手を殴って制したのはわかる。
青の選手を蹴ったのは青の選手がなにか暴言を吐いたんだろうか？
310:１３２人目の素数さん
20/08/12 13:30:09.82 erjZX/DD.net
>>286
Rって何ですか？
311:１３２人目の素数さん
20/08/12 13:48:26 /JkmxmVW.net
>>294
Vを計算（数値積分）
> (vb - vg)*2
[1] 24.90338
312:１３２人目の素数さん
20/08/12 13:49:03 /JkmxmVW.net
>>299
【R言語】統計解析フリーソフトＲ 第6章【GNU R】 [無断転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
313:１３２人目の素数さん
20/08/12 14:25:59.44 v8BOhpZv.net
nを自然数の定数とする。
xy平面において、極方程式r=1+(2^n)*cosθで表される曲線をCとする。
C上の格子点の個数をnで表せ。
314:１３２人目の素数さん
20/08/12 16:19:43 4CGeuIwp.net
双曲線→pell方程式
315:１３２人目の素数さん
20/08/12 16:52:51.95 erjZX/DD.net
>>301
Rの使い方がわかりません
316:１３２人目の素数さん
20/08/12 19:47:46 UO/+XUZI.net
あの普通の中学生が質問しても大丈夫ですか？
317:１３２人目の素数さん
20/08/12 19:55:00.44 UO/+XUZI.net
3axy-2axをカッコで括るとき
ax(3y-2)とa(3y-2)xはどっちが正しいのですか？
あとカッコの外に出した文字はカッコの前後どちらに付けるのか決まりがあるんでしょうか？
318:１３２人目の素数さん
20/08/12 20:20:31 cTcYq99x.net
ついにそこに気がついてしまったか
319:１３２人目の素数さん
20/08/12 20:48:52 KrQ981jo.net
>>302
とりあえず、作図（n=3）のとき。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
320:１３２人目の素数さん
20/08/12 20:50:08 KrQ981jo.net
>>306
どっちも正しい。好みの問題。
321:１３２人目の素数さん
20/08/12 21:26:32.17 2FGhPbsd.net
abc順なら左だな
322:１３２人目の素数さん
20/08/12 21:59:52.63 so8oBh6O.net
>>282 の演算子を取り除いて
数式に変換してくれ～(^_^)ﾉ
323:１３２人目の素数さん
20/08/12 23:02:10.56 mYtbyTE6.net
>>311
これくらい推測できるだろ...と思ったが一応書いとく。
sqrt(x) = √x
ceil(x) = ⌈ x ⌉ ( ceiling function, 天井関数 )
min(x, y) = if (x ≦ y) then x else y
(x<y) = if (x < y) then 1 else 0
324:１３２人目の素数さん
20/08/12 23:06:26.50 mYtbyTE6.net
最後のは ブール値である False, True と 0, 1 を区別しない言語に特有の記法
そうでない言語も多い。
325:１３２人目の素数さん
20/08/12 23:40:33 fvT6HFIC.net
幅10cmの正五角形の中心点から頂点までの長さは何cm何mmですか？
326:１３２人目の素数さん
20/08/12 23:42:06.54 FTjTXnav.net
>>302
ｎによらず５個かなぁ？
327:１３２人目の素数さん
20/08/12 23:54:57.67 FTjTXnav.net
>>314
幅って下図の２と６を結ぶ長さのこと？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
328:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:10:25.20 J8kLqyHu.net
a n i = div (n-(abs $ n-2*i)) 2
329: main = do mapM_ print $ take 10 $ [[a n i|i<-[0..n]] | n<-[0..]] [0] [0,0] [0,1,0] [0,1,1,0] [0,1,2,1,0] [0,1,2,2,1,0] [0,1,2,3,2,1,0] [0,1,2,3,3,2,1,0] [0,1,2,3,4,3,2,1,0] [0,1,2,3,4,4,3,2,1,0]
330:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:11:22.16 sbSWJEQc.net
>>312
wolfram で出力可能な数式化という意味
331:314
20/08/13 00:15:05.17 TlrHhfr6.net
>>316
それは正七角形ですね
正五角形の
赤線1本の長さです。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
332:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:17:01.64 QfGUoldM.net
知らんがな。
333:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:17:37.06 QfGUoldM.net
今のは >>318 宛て
334:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:17:37.58 gpqh/Hd2.net
>>316
正五角形だった。
複素平面に作図して計測
p=ngon(5)
o=mean(p[1:5]);pt(o)
seg(o,p[1]);seg(p[2],p[4])
10*abs(o-p[1])/abs(p[2]-p[4])
[1] 5.257311
約５ｃｍ２６mm
335:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:29:57.96 sbSWJEQc.net
sqrtとceilingはwolframで出力できる
columnは無理
336:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:31:12.37 gpqh/Hd2.net
>>322
半径１の円に内接する５角形の対角線の長さは２sin（２π/５）
対角線の長さが１０なら、半径は
> 10 / ( 2*sin(2*pi/5))
[1] 5.257311
337:１３２人目の素数さん
20/08/13 00:35:08.93 QfGUoldM.net
>>323 row と column は ただのコメント文っす
338:１３２人目の素数さん
20/08/13 01:22:21.90 LK1yH0ga.net
ある三角形の内心I、傍心I‘として
線分II’の中点が線分II‘と三角形の外接円との交点になるのは何故ですか？
339:１３２人目の素数さん
20/08/13 02:24:57.15 sbSWJEQc.net
>>312
◆sqrtとceilはwolfram形式にできた
Table[n-(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)-1)*(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)+2)/2,{n,1,40}]
式の判定部分をwolfram入力形式に変形してくれ～(^_^)ﾉ
return(-1+min(i-(2<j)*(j-2),j))
340:１３２人目の素数さん
20/08/13 03:02:40 J8kLqyHu.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
341:１３２人目の素数さん
20/08/13 05:08:13.32 u/9qiVMd.net
>>327
そのキモいAAを消したら変形したるわw
342:１３２人目の素数さん
20/08/13 05:14:24.98 GNxQ5zOj.net
>>326
内心 傍心 外接円 でgoogle先生にお願いしたら一番上に知恵袋の解答が出てきた。
343:１３２人目の素数さん
20/08/13 10:36:05 I56KrEx3.net
(x-y)e^(-x^2-y^2)の極値って求められますか？
∂xf=∂yf=0の(x,y)がうまくいかなかったのですが
344:１３２人目の素数さん
20/08/13 11:14:17 LP9xEpjl.net
積分するのが難しい関数はあるのに微分するのが難しい関数がないのはなぜ？
345:１３２人目の素数さん
20/08/13 11:24:01 slZE0Odt.net
どなたか
>>9の答えを教えて下さい
346:１３２人目の素数さん
20/08/13 11:36:34 PnmzX1Dd.net
>>9
1-3-1なら先攻勝ちやろ？
347:１３２人目の素数さん
20/08/13 12:39:48 GNxQ5zOj.net
>>9
素直に読んだら後攻必勝ではないから、(1)が証明できるためには相当ひねくれた無茶苦茶なルール解釈が必要となる。
例えば
＞まずS君がサイコロを振り、駒Xを動かす（先攻）。
＞続けてT君がサイコロを振り、駒Yを動かす（後攻）。
の部分について、サイコロを“何回”振ると書いていないので3の倍数が出てしまったら連続で何回でも振りなおすと解釈すると
先攻は絶対に勝利しない、後攻が勝つことはある、永久に勝利者が現れないこともあるのでこの状態を後攻必勝と表現できなく
348:もない。 この解釈だと(2)はp=(1/2)^nとなるのでn=1のときの|p-(1/2)|=0が最小である。
349:女子中学生
20/08/13 13:45:04 c43mBXX1.net
>>309
ありがとうございます！
夏休み明けにテストがあったんで不安でしたが
やれる気がして来ました！
350:１３２人目の素数さん
20/08/13 13:55:48 LK1yH0ga.net
>>330
自分の検索能力カスすぎて草
351:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/08/13 14:17:47 bwxcosiq.net
前>>277
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
以下再検討。
y^2-5^2=｛x-√(x^2-5^2)｝^2
125-50√5+25-25=x^2-2x√(x^2-25)+x^2-25
125-50√5=2x^2-2x√(x^2-25)-25
x^2-x√(x^2-25)-75+25√2=0
352:１３２人目の素数さん
20/08/13 15:02:01 OcaeKpVf.net
tを実数とし、f(t)=sin(t)+cos(t)+√2とする。
（1）f(t)≧0 を示せ。
（2）xy平面において、極方程式f(r)=sinθcosθにより定まる曲線をCとする。C上を点A(a,b)が動くとき、g(a)=(a+1)(b+1)を最大にするAの位置を求めよ。
(3)g(a)を最大にするaをpとおくとき、定積分∫[0,p] e^(-x^2) dxは有理数か。
353:１３２人目の素数さん
20/08/13 15:15:38.10 Uuox2URt.net
Table[Floor[Abs[n-(Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)^2/2]-1/2-Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)/2])]],{n,1,100}]
{0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2,
1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4,
3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2,
1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4}
354:１３２人目の素数さん
20/08/13 15:16:05.98 kJ12I9TU.net
yz=2wx
zx=2wy
xy=2wz
x^2+y^2+z^2=1
w,x,y,zの実数解は？
355:１３２人目の素数さん
20/08/13 15:32:26 EuD8qnzl.net
>>339
a,bは非有界
356:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/08/13 15:51:46 bwxcosiq.net
前>>338
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
(5√5-5)^2/4=x^2-(10-x)^2
150-50√5=4(20x-100)
75-25√5=40x-200
40x=275-25√5
8x=55-5√5
x=(55-5√5)/8
=5.47745751406……
∴約5cm5mm
357:１３２人目の素数さん
20/08/13 15:53:01 EuD8qnzl.net
>>541
x=0のときy=0 or z=0
(x,y)=(0,0)なら(z,w)=(±1,0)
xyz≠0のときw≠0
x,y,z,wのうち負であるものは偶数個であり
(x,y,z,w), (-x,-y,-z,-w),
(-x,-y,z,w), (-x,y,-z,w), (-x,y,z,-w),
(x,y,-z,-w), (x,-y,z,-w), (x,-y,-z,w),
のいずれかは全て正
よってx,y,z,w>0の場合を考えれば良い
xy/z=zx/y=yz/xよりx^2=y^2=z^2
∴ x=y=z=2w=1/√3
以下ry
358:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:22:12.12 kJ12I9TU.net
>>344
解は8通り？
359:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:29:36.62 sbSWJEQc.net
>>340
数えはじめの修正が必要
87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
惜しい(^_^)ﾉ
360:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:54:10.76 Vk3erFID.net
xy平面上に、一辺の長さが2√3の△ABCと動点Pがある。
tをt>2√3の実数とする。
（1）動点PがPB+PC=tを満たしながら平面上を動く。Pの描く軌跡と辺ABが交点を持つときの、tの取りうる値の上限を求めよ。
以下
361:、tは（1）の上限を超えないとする。 （2）（1）において、Pの描く軌跡と辺ABの交点をTとする。BTをtで表せ。 （3）（1）において、Pの描く軌跡上でAから最も近い点をSとする。ASをtで表せ。 （4）点Pは以下の条件を満たす。 ・PA+PB+PC=r, r>0 ・Pの描く軌跡は△ABCの内部にある rの取りうる値の範囲を求めよ。
362:１３２人目の素数さん
20/08/13 17:16:23.55 aEgkMNEo.net
>>343
> 次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
> (5√5-5)^2/4=x^2-(10-x)^2
10-xって何？
363:１３２人目の素数さん
20/08/13 17:24:59.62 KCc316ag.net
>>314
正五角形の
外接円の半径と1辺の長さの比はかなりややこしい
対角線と1辺の長さの比はいわゆる黄金比
いずれもググると見つかるからそこから外接円の半径と対角線の比を求めて計算したほうが早い
イナはすぐに思い込みで適当やことをやって間違えるから信用しちゃダメだよ
364:１３２人目の素数さん
20/08/13 18:35:45 Vk3erFID.net
nを1以上の整数とする。
(n^2+1)(5n^2+9)は平方数でないことを示せ。
365:１３２人目の素数さん
20/08/13 18:49:12 KhggCoPs.net
>>331
∂f/∂x = {1-2x(x-y)}e^(-xx-yy)
∂f/∂y = {-1-2y(x-y)}e^(-xx-yy)
これらを0とおくと
x+y = 0,
(x,y) = (1/2,-1/2) (-1/2,1/2)
あるいは 軸を45°回して
u = (x+y)/√2,
v = (x-y)/√2,
とおくと
f = (√2)e^(-uu)・v･e^(-vv) = g(u)・h(v),
g '(u) = -2(√2)u e^(-uu),
h'(v) = (1-2vv)e^(-vv),
(u,v) = (0,±1/√2)
∴ (x,y) = (1/2,-1/2) (-1/2,1/2)
366:１３２人目の素数さん
20/08/13 19:10:08.66 Uuox2URt.net
>>346
じゃ、これとの和と言うことで
Table[{n,89-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)},{n,1,44}]
367:１３２人目の素数さん
20/08/13 19:15:33.71 KhggCoPs.net
>>345
(w,x,y,z) = (0,±1,0,0) (0,0,±1,0) (0,0,0,±1) … 6
(±1/(2√3), ±1/√3, ±1/√3, ±1/√3) … 8 {(2w)xyz = 1/9}
計 14とおり
368:１３２人目の素数さん
20/08/13 19:35:33.47 GNxQ5zOj.net
>>347
(1)2√3<t<4√3
(2)BT=xとする。△BCTで余弦定理
(t-x)^2=(2√3)^2+x^2-4(√3)xcos60°
x=(t^2-12)/(2t-2√3)
(3)AS=3-√{(t^2/4)-3}
369:１３２人目の素数さん
20/08/13 19:43:32.85 ErCiafhA.net
I=[-a,a]としてf,f'がI上連続であるとき
∫_[-a,a]xf(x)dx = (2/3)a^3 f'(b)
となるb∈Iが存在することを示して下さい
370:１３２人目の素数さん
20/08/13 21:08:29 xAD4HTpt.net
>>350
a[n] = (n^2 + 1)
b[n] = (5n^2 + 9)
と置く。 a[n]b[n] が平方数でないことを示せばよい。
a[n] と b[n] の最大公約数 gcd(a[n], b[n]) を考える。
-5a[n] + b[n] = 4
より、 gcd(a[n], b[n]) は 4 の約数である。
a[n] が 4 で割り切れることはないので、 gcd(a[n], b[n]) は 1 か 2 のいずれかである。
したがって a[n] と b[n] の偶奇を調べれば、
n が偶数のとき、 gcd(a[n], b[n]) = 1
n が奇数のとき、 gcd(a[n], b[n]) = 2
となることがわかる。
以下、 a[n]b[n] が平方数でないことを n の偶奇に分けて示す。
【 n が偶数のとき】 gcd(a[n], b[n]) = 1 より、
もし a[n]b[n] が平方数ならば、 a[n] および b[n] も平方数である。
しかし、 n > 0 のとき n^2 < a[n] < (n+1)^2 より a[n] は平方数ではないので矛盾する。
【 n が奇数のとき】 gcd(a[n], b[n]) = 2 より、
もし a[n]b[n] が平方数ならば、 a[n]/2 および b[n]/2 も平方数である。
ここで n = 2k - 1 と置くと、 b[n] = 20k^2 - 20k + 14 より
b[n]/2 = 10k^2 - 10k + 7
となる。
すると b[n]/2 を 5 で割った余りは 2 となるが、平方数を 5 で割った余りは 2 にはならないので矛盾する。
371:１３２人目の素数さん
20/08/13 21:18:53.58 lLMkMecQ.net
ある工場で生産される精密部品を 25 個無作為抽出して長さを測ったら，平均値 x は x = 30 (mm) であった．�
372:ﾟ去の製造データの蓄積により, 製品の長さは標準偏差が 4 mmの正規分布に 従うことが分かっている． 区間の幅を 2.0=2×1.0 以下としたい．少なくとも何個の標本が必要か 61.46334 という値が出たとき答えは61ことしませんよね？ 62個としますよね？
373:１３２人目の素数さん
20/08/13 21:28:09.71 xh5b0X6b.net
n^2+1=Nとおけば
N(5N+4)が平方数でないことを示せば良い
Nは平方数ではなく、非平方因子は5N+4の素因子にもなる必要があるからそれは2のみである
ところがN=2k^2とおいて代入すると5k^2+2が平方数であることになり矛盾
374:イナ
20/08/13 23:24:00.80 bwxcosiq.net
前>>343訂正。
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
あとは計算。
5.2ぐらいかな？
375:イナ
20/08/14 00:05:37.30 KtYwWebs.net
前>>359
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]+x^2-｛(5√5-5)/2｝^2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
2x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]-75/2+25√5/2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
376:イナ
20/08/14 00:05:37.95 KtYwWebs.net
前>>359
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]+x^2-｛(5√5-5)/2｝^2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
2x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]-75/2+25√5/2=[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
377:１３２人目の素数さん
20/08/14 00:33:38.07 OvK50PPf.net
最後のイコールが意味不明すぎて急にどうした？って感じです
どんな計算？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
378:１３２人目の素数さん
20/08/14 00:40:23 CE6P3k1H.net
とりあえずe^(ix)=cosx+isinxを使ってみようか
379:１３２人目の素数さん
20/08/14 00:49:27.96 uDoX/Qiy.net
>>362
e^(iπ)=-1で計算するだけでは
nが奇数のときはeのとこ全部1になって-2と打ち消す
nが偶数のときはeのとこ全部-1になって-2と合わせて-4が出てくる
380:１３２人目の素数さん
20/08/14 01:02:33.93 OvK50PPf.net
>>364
それを知りませんでした
これもオイラーの公式なんですね…
ありがとうございました
381:１３２人目の素数さん
20/08/14 01:16:44.25 vL2Z3oJP.net
>>365 e^(iπ)+ 1 = 0はオイラーの等式っていう有名な等式なんですよ。
382:１３２人目の素数さん
20/08/14 03:29:53.35 Vqud894y.net
僕はまた、人類の至宝かと思ってたよ^^
383:１３２人目の素数さん
20/08/14 04:09:09.55 N0QFEg7X.net
iを虚数単位とする。数列{a[n]}は
a[1]=1,a[2]=i
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす。
また数列{b[n]}を
b[n]=a[n+1]/a[n]
で定める。
複素平面上で、b[x]が表す点をP[x]とする。j,k,lを相異なる自然数とし、3点P[j],P[k],P[l]が三角形となる場合を考える。
その面積S[j,k,l]について以下の問に答えよ。
（1）△P[j]P[k]P[l]の辺の長さをa,b,c(a≦b≦c)とするとき、ab/S[j,k,l]を求めよ。
（2）S[j,k,l]の取りうる値の範囲を求めよ。
384:１３２人目の素数さん
20/08/14 04:21:39.18 tUmyx/yQ.net
∫sin(x^k)dx[0→∞]は収束するか発散するか考察せよ。なおkは実数定数。
385:１３２人目の素数さん
20/08/14 04:43:27 Vqud894y.net
∫[0,∞] sin(x^k) dx = sign(k) ∫[0,∞] sin(y) (1/k)y^(1/k-1) dy
|k|>1 のとき収束 Γ(1+1/k) sin(π/2|k|),
|k|≦1 のとき発散
386:１３２人目の素数さん
20/08/14 04:51:06 Vqud894y.net
>>355
平均値の定理より
f(x) - f(-x) = 2x f '(ξ) (-x<ξ<x)
∫[-a,a] xf(x) dx = ∫[0,a] x{f(x) - f(-x)} dx
= ∫[0,a] 2xx f '(ξ) dx (-x<ξ<x)
= ∫[0,a] 2xx dx f '(b)
= (2/3)a^3 f '(b).
387:１３２人目の素数さん
20/08/14 05:01:20 tUmyx/yQ.net
>>370
signとはなんですか？？
388:１３２人目の素数さん
20/08/14 05:33:55.50 Vqud894y.net
>>368
題意より
a[n] = F[n-2] + F[n-1]ｉ,
| a[n] |^2 = F[2n-3],
b[n] = a[n+1]/a[n]
= (F[n-1] + F[n]ｉ) / (F[n-2] + F[n-1]ｉ)
= {F[n-1](F[n-2]+F[n]) - (-1)^n･ｉ} / | a[n] |^2,
389:
390:１３２人目の素数さん
20/08/14 05:36:20.87 GJ+vKVSe.net
>>357
61個は必要だけど十分じゃないから62個だな。
391:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/08/14 09:42:06 KtYwWebs.net
前>>360-361
｛(5√5-5)/2)^2+(9.51056516295)^2｝/2=50
どういうことや？
392:１３２人目の素数さん
20/08/14 10:08:25 cIdouH6q.net
>>349
プログラムで作図して計測して検証してみました。
> DOPs(5,T) # 五角形の1辺と対角線の長さ(外接円の半径=1)
$side
[1] 1.175570504584946
$diagonal
[1] 1.902113032590307
> DOPs(5)$diagonal/DOPs(5)$side # 対角線/辺長
[1] 1.618033988749895
> (1+sqrt(5))/2 # 黄金比
[1] 1.618033988749895
393:１３２人目の素数さん
20/08/14 10:16:33 cIdouH6q.net
>>376
# 対角線/辺長
> (2*sin(2*pi/5)) / (2*sin(pi/5))
[1] 1.618033988749895
> (1+sqrt(5))/2 # 黄金比
[1] 1.618033988749895
394:１３２人目の素数さん
20/08/14 10:29:48 Y2RmGzuY.net
>>352
出力が全然合わない
やはり難易度が違う
395:１３２人目の素数さん
20/08/14 10:30:46 cIdouH6q.net
>>345
-1,0,1で81通りを探索させたら、
w x y z
0 0 0 -1
0 0 -1 0
0 -1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6通りがひっかかった。
396:１３２人目の素数さん
20/08/14 10:55:19 Y2RmGzuY.net
Table[{n,41-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)},{n,1,20}]
nを変化させると
まったく対応できない
397:１３２人目の素数さん
20/08/14 12:17:51 8Is1Irgf.net
>>371
ξ の値は当然 x に依存するわけですが、そのあたりはどうやって処理しているんでしょうか？
ξ = ξ(x)
398:１３２人目の素数さん
20/08/14 12:26:07 O2eyEomh.net
>>314
こういうのは丁寧に図を書いて平行線やら対称性を見ていけば解ける。
相似三角形より x/1 = 1/(x-1)
xx -x -1 = 0 ∴ x = ( 1 + √5 )/2 {黄金比}
sin(α/2) = (1/2) / x = ... = ( -1 + √5)/ 4
cos(α/2) = √(1- sin(α/2)^2 ) = ... = √(10 + 2√5) /4
x/2 = r * cos(α/2)
∴ r / x = 1/2cos(α/2) = ... = √{(5 - √5)/ 10} = 0.5257..
よって 10cm * r/x ≒ 5cm 3mm
右図は 検算?用に GeoGebraで描いた。
399:１３２人目の素数さん
20/08/14 12:27:24 O2eyEomh.net
図が付いてなかった
sssp://o.5ch.net/1p4c8.png
400:１３２人目の素数さん
20/08/14 12:48:55 GJ+vKVSe.net
座標上に作図して頂点の座標を計算で出せばどの対角線の長さも計算できる。
最も原始的だが汎用のある方法。
手計算だと大変だが一度、プログラムを組めば何角形になっても使える。
例：外接円の半径が1の正17角形の一辺の長さと対角線の長さを全て求めよ。
401:１３２人目の素数さん
20/08/14 13:00:56 O2eyEomh.net
正n角形に 一般化するとこうなる
半径: r = 1
最大幅: w=|e^{i2π/n *⌊n/2⌋} - 1| {複素座標で描いた}
r/w = 1/√( {1-cos(2π⌊n/2⌋/n)}^2 + sin(2π⌊n/2⌋/n)^2 ) = 1/√( 2 -2cos(2π⌊n/2⌋/n) )
nが偶数 ⇒ r/w = 1/√( 2 -2cos(π) ) = 1/2
nが奇数 ⇒ r/w = 1/√( 2 -2cos(π - π/n) ) = 1/√( 2 +2cos(π/n) ) = 1/2cos(π/2n)
402:１３２人目の素数さん
20/08/14 13:13:05.60 SqBzt3dT.net
>>378
0 0 0 1 2 ...
みたいな数が並んでいるものが、何度も現れているので、それが目的かと思い、それを表現する式を >>340 で書いた
すると、>>346 で修正が必要と指摘され、87 71 85 70 55.... こそが目的で、惜しいと言われた。
そこで、>>352 で「修正」に当たる部分を表現した。
本当は、合わせた式にしたかったが、Wolframが「長すぎる」ことが原因だと思うが、理解してくれなかったから、
補正部分のみを書いた。改めて書く。
Table[Floor[Abs[n-(Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)^2/2]-1/2-Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)/2])]],{n,1,44}]
{0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0}
と
Table[89-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2),{n,1,44}]
{87, 71, 85, 69, 55, 83, 67, 53, 41, 81, 65, 51, 39, 29, 79, 63, 49, 37, 27, 19, 77, 61, 47, 35, 25, 17, 11, 75, 59, 45, 33, 23, 15, 9, 5, 73, 57, 43, 31, 21, 13, 7, 3, 1}
の和
難易度は、そんなに高くない。面倒くさいだけ。
87 71 85 70 ...に当たる数字が、何段目の何列目の数字か、そしてそれが第何項に当たるかを求め、それら組み合わせて、
上のように分離された数を表す式を出すだけ。
例えば、一番左の数字は、1,3,6,10,...と三角数に当たる項数だけが来ているが、このようなものに注目して、逆算すればよい。
403:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:05:44 TtI/FrBY.net
iを虚数単位とする。数列{a[n]}は
a[1]=1,a[2]=i
a[n+2]=a[n+1]+a[n]
を満たす。
また数列{b[n]}を
b[n]=a[n+1]/a[n]
で定める。
複素平面上で、複素数b[x]が表す点をP[x]とする。
（1）j,kを相異なる自然数とする。j,kを変化させるとき、線分P[j]P[k]の長さには最大値が存在することを示し、その値を求めよ。
（2）j<kとする。（1）の最大値を与える自然数の組(j,k)を全て決定せよ。
404:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:07:30 8Is1Irgf.net
(1) 方程式 y^2 = x + √(x+1) の整数解 (x, y) を全て求めよ。
(2) (1)の一般化として、方程式
y^2 = x + √(x+n)
を考える。
任意の整数 n に対し、少なくとも一つは整数解 (x, y) が存在することを示せ。
また、整数解 (x, y) が無数に存在するような整数 n は存在するか？
405:１３２人目の素数さん
20/08/14 16:06:11.69 FzzoPIpn.net
>>388
(x,y) = (n^2-n,n)
406:１３２人目の素数さん
20/08/14 16:10:19.09 uDoX/Qiy.net
>>389
それn<0のときはダメじゃね
>>388
とりあえず(1)だけ
√(x+1)が整数なのでx=m^2-1(m∈Z)と書ける
y=|m|-k(k∈Z)とおいて代入すると
|m|=(k^2+1)/(2k+1)∈N、2k+1>0を得る
4|m|-2k+1=5/(2k+1)∈Zより
k=0,2の可能性しかない
このとき、それぞれ(x,y)=(0,1),(0,-1)でこれで全て
407:１３２人目の素数さん
20/08/14 16:20:48.02 uDoX/Qiy.net
(2)の後半
√(x+n)が整数なのでx=m^2-n(m∈Z)と書ける
y=|m|-k(k∈Z)とおいて代入すると
|m|=(k^2+n)/(2k+1)∈Zを得る
4|m|-2k+1=(4n+1)/(2k+1)∈Zより
2k+1は4n+1の約数でなければならず
kは有限個の可能性しかない
よって(x,y)も有限個の可能性しかない
408:１３２人目の素数さん
20/08/14 16:38:00.88 uDoX/Qiy.net
(2)の前半
n≧0のとき(x,y)=(n^2-n,±n)
n≦-1のとき(x,y)=(n^2+n+1,±n)
を解として持つ
409:１３２人目の素数さん
20/08/14 17:08:26.58 QALWwjXy.net
>>387
b1=i , b[n+1]=1+1/b[n]
(1)
n≧2のとき常に -π/4≦arg(1/b[n])≦π/4 かつ |1/b[n]|≦1 が成り立つ。
この扇形領域内の2点間の距離は√2が上限であるので、3以上の任意のj,kに対して|1/b[j-1]-1/b[k-1]|≦√2
ここで P[j]P[k]=|b[j]-b[k]|=|1/b[j-1]-1/b[k-1]| であるから P[1]P[2]=√5 が最大である。
(2) (j,k)=(1,2)
410:388
20/08/14 17:47:11.36 8Is1Irgf.net
>>390-392
ありがとうございます
やはり方程式 E[n] : y^2 = x + √(x+n) の整数解は有限個なんですね
整数 n に対し、>>392の整数解
> n≧0のとき(x,y)=(n^2-n,±n)
> n≦-1のとき(x,y)=(n^2+n+1,±n)
を方程式 E[n] の「自明な解」と呼び、
もし他の整数解をもつならば「非自明な解をもつ」と呼ぶことにします
例えば、>>388の(1)より、 E[1] は非自明な解をもたないことがわかります
一方、 E[2] は非自明な解 (x, y) = (-1, 0) をもちます
そこで次の問題を提出します
整数 n に対し、方程式
E[n] : y^2 = x + √(x+n)
が非自明な解 (x, y) をもつような n を全て決定せよ。
また、もし可能ならばそれらの解を全て求めよ。
411:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:01:52.67 VS4CapnK.net
>>351
上の議論でx+y=0とそこから2通りの解が出る過程がわからないです…
412:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:15:19
413:uDoX/Qiy.net
414:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:27:05 cVTIbRA2.net
>>393
ありがとうございます
n=1,2,3...ですべてのP[n]が同一円周上にあることを発見できたので、まず円の直径を求めて、次にP[i]P[j]が直径の長さと等しくなるi,jを探そうとしました
そこで行き詰まったのですが、i=1,j=2だけだということで、読み返してもう一度解き直してみます
415:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:37:47.62 8Is1Irgf.net
>>396
確かにそうですね
その言い換えで考えると、問題は
n=f(x,y)=(y^2-x)^2-x
が（ y の符号の違いを除いて） 2 通り以上の (x, y) で表せる n はどのような数か？
ということになります
例えば、
1 = f(0, ±1)
2 = f(2, ±2) = f(-1, 0)
もう少し自明でない例を挙げると、
方程式 E[11] は (x, y) = (-2, ±1), (5, ±3), (110, ±11) を解にもつので、
11 = f(-2, ±1) = f(5, ±3) = f(110, ±11)
という 3 通りの表示をもつことがわかります
このような非自明な表示をもつ n はどのような数か？ということが知りたいです
416:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:02:53.40 8Is1Irgf.net
>>398
どうやらこの言い換えは不完全なようです
(x, y) = (5, ±1) は E[11] の解ではありませんが、
11 = f(5, ±1)
と書けるので
何か条件が抜け落ちてしまったようです
417:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:50:36 uDoX/Qiy.net
>>399
y^2-x≧0という条件がいる
>>398
元の証明に戻れば
|m|=(k^2+n)/(2k+1)∈Z
4|m|-2k+1=(4n+1)/(2k+1)∈Z
で、自明解とは2k+1=±1のときだから
非自明解を持つのは4n+1が(±素数)の形のとき、と言えそう
418:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:51:44 uDoX/Qiy.net
>>400
訂正
非自明解を持つのは4n+1が合成数のとき、か
419:１３２人目の素数さん
20/08/14 20:22:13 oMJDqT0U.net
f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2が
条件x^3+y^3-3xy=0のもとで最小値が存在することを示してそれを求めよという問題なのですが
未定乗数法を使うのは分かるのですが最小値の存在をどう示したらいいのか分かりません
条件が有界閉集合なら存在するみたいな感じですか？そもそも条件が有界閉集合なのかもわからず…
どなたかお願いします
420:１３２人目の素数さん
20/08/14 21:09:34.70 CE6P3k1H.net
あらかじめ最小値をとることがわかってなくとも、未定乗数法で最小値の候補を出して後から縁付きヘッセ行列を確認すればおk
421:１３２人目の素数さん
20/08/14 22:25:20.25 8Is1Irgf.net
>>400-401
> y^2-x≧0という条件がいる
なるほど
そうすると、整数 n, x, y に対し、
(x, y) が E[n] の解 ⇔ n = f(x, y) かつ y^2 ≧ x
となりますね
非自明な解をもつ場合よりも、非自明な解をもたない場合のほうが面白いかもしれません
上の同値から、特に y ≧ 0 の場合に限れば
E[n] は非自明な解をもたない ⇔ n = f(x, y) かつ y^2 ≧ x となる (x, y) は一組しかない
となります
>非自明解を持つのは4n+1が合成数のとき、か
なるほど！ |4n+1| が合成数ならば、
4n+1 = pq, |p| > 1, |q| > 1 かつ p+q-2 ≧ 0
となるように p, q を選び、 2k+1 = p によって整数 k を定めると、
|m| = (p+q-2)/4 ≧ 0 であり、このとき
y = (q-p)/4 ≠ ±n
であるので、これによって非自明な解が得られますね
逆に、 |4n+1| が素数ならば、 |2k+1| = 1, |4n+1| より k = 0, -1, 2n, -(2n+1)
に限られるので、>>391の式から自明な解に限られることもわかりますね
以上より、整数 n, x, y および y ≧ 0 において、
E[n] は非自明な解をもたない ⇔ n = f(x, y) かつ y^2 ≧ x となる (x, y) は一組しかない
⇔ |4n+1| が素数
が成り立つ。
また、 |4n+1| が合成数のとき、
非自明な解は |4n+1| の素因数分解によって定まることもわかる。
（ n < 0 のときは符号の制限に注意が必要）
422:１３２人目の素数さん
20/08/14 23:17:27.92 DH/eJ8n6.net
高校範囲での極限の難問とのことですが、初期条件の黒板の枚数・位置に関わらず1に収束するという結論が理解できずにいます。
時刻t=nでの黒板の枚数は計算できず、評価の仕方も分かりません。
よろしくお願いします。
【問題】
平面が合同な正三角形の板で隙間なく敷き詰められている。どの板も白色である。
時刻t=1において、1つの板を黒く塗る。
その後、各時刻t=2,3,...において、その時刻に存在する黒い板と辺を共有する白い板をすべて黒く塗る。時刻t=nにおける黒い板の枚数をa[n]とおく。
さて、時刻t=1において、平面上の任意のk枚(k≧2)の板を黒く塗り、上記と同様の操作で板を塗っていくことを考える。
t=1での板の塗り方（位置）によって、kが同じでも時刻t=nにおける黒い板の枚数は変化する。その最小値をm[n,k]、その最大値をM[n,k]とする。
このとき以下の極限がいずれも1に収束することを証明せよ。
lim[n→∞] m[n,k]/a[n]
lim[n→∞] M[n,k]/a[n]
423:351
20/08/14 23:41:48.86 Vqud894y.net
>>395
e^(-xx-yy) > 0 だから
1 - 2x(x-y) = 0, … (1)
-1 -2y(x-y) = 0, … (2)
(1)*y - (2)*x より
y + x = 0, … (3)
これを (1) に入れて
1 -2x･2x = 0,
x = ±1/2,
(3)を(2)に入れて
-1 -2y(-2y) = -1 + (2y)^2 = 0,
y = 干1/2,
このうち (3) を満たす組合せは
f(-1/2,1/2) = -e^(-1/2) = -1/√e = -0.60653 (最小)
f(1/2,-1/2) = e^(-1/2) = 1/√e = 0.60653 (最大)
の2つだけ。
424:１３２人目の素数さん
20/08/14 23:56:00.30 Vqud894y.net
なお、最大値・最小値だけでよければ
f(x,y)^2 = e^(-2uu) (2vv)/e^(2vv) ≦ 1/e,
e^(-2uu) ≦ 1, (等号は u=0)
e^(2vv) ≧ e(2vv), (等号は 2vv=1)
425:１３２人目の素数さん
20/08/15 00:14:18.17 3iIf4ygs.net
>>405
とりあえず a[n] = 1 + 3n(n-1)/2 かな？
1 ≦ m[n,k]/a[n] ≦ M[n,k]/a[n]
だから、 lim[n→∞] M[n,k]/a[n] = 1 を示せば十分だということはわかる
直観的には、どんな初期条件であっても n が十分大きくなれば
黒い板は全部繋がってしまうから a[n] と M[n, k] は大差なくなる
ってことなんだろうか
426:１３２人目の素数さん
20/08/15 00:26:37.14 3iIf4ygs.net
>>408
あれ、違うかな？
>平面が合同な正三角形の板で隙間なく敷き詰められている。
>黒い板と辺を共有する白い板をすべて黒く塗る。
と書いてあるからアイゼンシュタイン整数みたいに敷き詰められていると想定したけど、
こういうふうに敷き詰められている可能性もあるな
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
この場合はどうやって塗っていくんだろ
もしこの場合は横にしか塗ってはいけないルールなら、
縦に k 個置けば明らかに M[n, k] = ka[n] だが
少しでも辺が触れていたら塗っていくルールなのかな
427:
20/08/15 00:27:33.54 +S/JbsGk.net
前>>375
>>314
黄金比を既知としたら解いたことにならない。
対角線が一辺に対して黄金比であることは未知として解かないとなんにもなんないだろうが。
そんな答案不正解だからな。
428:１３２人目の素数さん
20/08/15 00:34:01.80 M0oPDaM8.net
>>405
何かが変だな
初期配置を固定したどんな２つの面積比も極限的には一致するだろうけど、各n時刻で最大値をとってきて比べてしまったら極限は変わってくる
特に最小配置と最大配置の比はkになって一致しない
429:１３２人目の素数さん
20/08/15 00:55:55.27 /A9LjrPH.net
問題自体がお
430:かしいようですみません。問題の元となった原題を張ります。東大後期1997の第1問です。 この通りに文章で表現できたつもりが、浅はかでした。 正三角形での敷き詰めを文章で表現するのが難しいと思いました。 http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=1997&v3=2&v4=1&y=1997&n=7
431:１３２人目の素数さん
20/08/15 01:06:17.30 M0oPDaM8.net
>>412
おいおい、話が全然違うやんけ
これなら十分大きなNをとれば
どんなk個の初期配置も単一配置のNステップ後の状態に覆われてる
よってa_n<b_n<a_(n+N)
a_n=1+3n(n+1)/2だから
a_n/b_n→1が挟み討ちの定理からわかる
432:１３２人目の素数さん
20/08/15 01:20:08.38 3iIf4ygs.net
>>412
>>405とは全く別の問題でワロタ
433:１３２人目の素数さん
20/08/15 08:01:12 XjtIPB57.net
等式
n^k+1=2^n
を満たす1以上の整数(n,k)をすべて求めよ。
434:イナ
20/08/15 09:57:27.69 +S/JbsGk.net
前>>410
>>314
求める長さをxcmとし、
正五角形の一辺の長さをycmとおくと、
対角線が10cmで、ほかの対角線によって10:y:10に分割され、この3つのパーツ10+y+10のうち10+yが一辺の長さと等しい。
∵一つの対角線と一つの辺が平行だから。
10(10+y)/(10+y+10)=y
100+10y=20y+y^2
y^2+10y-100=0
y=5√5-5
次に正五角形の中心と頂点を斜辺xとする直角三角形においてピタゴラスの定理より、
x+√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=√[10^2-｛(5√5-5)/2｝^2]
x^2+2x√[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]+x^2-｛(5√5-5)/2｝^2=10^2-｛(5√5-5)/2｝^2
2x^2+2x √[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=100
x^2+x √[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=50
x^2[x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]=(50-x^2)^2
100x^2-｛(5√5-5)/2｝^2]x^2=2500
｛40-(√5-1)^2｝x^2=1000
(34+2√5)x^2=1000
(17+√5)x^2=500
(289-5)x^2=500(17-√5)
71x^2=125(17-√5)
71x^2=5^2(105-5√5)
x=5√｛5(17-√5)/71｝
=5.09831717999……
5.1もないね。妥当な値だ。
435:イナ
20/08/15 10:01:59.39 +S/JbsGk.net
前>>416
>>314
∴約5cm1mm
436:１３２人目の素数さん
20/08/15 10:06:49.26 icX1mGke.net
>>415
n^k が奇数だから n は奇数。
k≧2 のとき {左辺}≡2 (mod 4)
n≧2 のとき {右辺}≡0 (mod 4)
したがって k=1 または n=1
n=1のとき任意のkについて成り立つ。
k=1 かつ n≧2 のとき
2^n=(1+1)^n=Σ[r=0~n]nCr>n+1 であるから成り立たない。
437:１３２人目の素数さん
20/08/15 10:20:30.84 icX1mGke.net
>>418
思いっきり間違えていますね。忘れてください。
438:１３２人目の素数さん
20/08/15 10:52:56.25 b0vYiwvB.net
s_p := n (if p = 0)
s_p := Σ_{k=1}^{n-1} k^p (if p ≧ 1)
s_pがnの多項式になることって自明ですか？自明じゃないですか？
ちなみに次数はp+1次になります。
439:１３２人目の素数さん
20/08/15 11:01:46.09 b0vYiwvB.net
自明であるようなそうじゃないような気がするので質問しました。
5秒でs_pがnの多項式か否か答えないといけないとするとnの多項式になると答えます。
440:１３２人目の素数さん
20/08/15 11:02:51.74 b0vYiwvB.net
p = 2の場合でいえば、
1^2 + 2^2 + … + (n - 1)^2がnの多項式かどうかということになります。
441:１３２人目の素数さん
20/08/15 11:03:53.33 b0vYiwvB.net
もちろん、これは(1/2)*(n-1)*nなので多項式（2次）です。
442:１３２人目の素数さん
20/08/15 11:12:17.41 VHOC4kxf.net
>>403
未定乗数法を使うには条件が正則でなければいけないみたいですがこれが正則であるかはどう示したら良いのでしょうか
443:１３２人目の素数さん
20/08/15 11:42:57.59 3iIf4ygs.net
>>420
ファウルハーバーの公式
444:１３２人目の素数さん
20/08/15 12:19:23 c5SrH6ui.net
鋭角三角形△ABCに内接する3つの異なる正方形と、その内部領域D1,D2,D3を考える。
ここで△ABCに正方形Sが内接するとは、Sの一辺が△ABCのいずれか一辺に含まれ、その辺上にない2頂点が残りの二辺上にあることを指す。
D1∩D2∩D3は空でないことを示せ。
445:１３２人目の素数さん
20/08/15 13:43:36.24 qXL9heBQ.net
垂心
446:１３２人目の素数さん
20/08/15 16:24:42 icX1mGke.net
>>427
例えば座標平面上で A(-1,0),B(100,0),C(0,100)とすると
BCの一部を辺とする正方形は垂心を含まない。
447:１３２人目の素数さん
20/08/15 16:26:21 66Dxz5iE.net
人間は知り合いの死による精神的動揺で寿命が縮む。
直接の知り合いのことを1次知り合いと呼ぶ。また「知り合いの知り合い」を2次知り合い、「知り合いの知り合いの知り合い」を3次知り合い、…とし、任意の2人は必ず6次以内の知り合いである。
一般にn次知り合いの相手が死んだとき、人間は寿命が[{32/2^(n-1)}-1]時間縮む。
渡哲也が死んだことで日本国民の寿命の総和がどれほど減少するか推定したい。
448:１３２人目の素数さん
20/08/15 17:53:07.49 6GTusgWt.net
>>387
プログラム組んで100までの自然数でやってみた。
a <- function(n){
x=complex(n)
x[1]=1
x[2]=1i
if(n<3) return(x[n])
for(i in 1:(n-2)){
x[i+2]=x[i+1]+x[i]
}
return(x[n])
}
b <- function(n) a(n+1)/a(n)
P <- function(j,k) abs(b(j)-b(k))
P=Vectorize(P)
N=100
j=k=1:N
z=outer(j,k,P)
max(z) ; sqrt(5)
idx=which(z==sqrt(5))
for(i in idx){
print(c(i%%N,i%/%N+1))
}
最大値は√5
> max(z) ; sqrt(5)
[1] 2.2360679774997898
[1] 2.2360679774997898
それを与える値は
> for(i in idx){
+ print(c(i%%N,i%/%N+1))
+ }
[1] 2 1
[1] 1 2
449:１３２人目の素数さん
20/08/15 19:20:54.33 icX1mGke.net
>>426
内心を含むから空でない。
辺AB上の点E、辺BC上の点F,G、辺CA上の点Hを頂点とする内接正方形EFGHが内心を含むことを示す。辺AB,辺ACの一部を一辺とする内接正方形についても同様。
点Hを中心とする半径GHの円をOとする。直線BEは円Oと交わるから∠EBH＜∠GBH。ゆえに∠GBH＞(1/2)∠ABCであるから、∠Bの二等分線は線分GHと交わる。
同様に∠Cの二等分線は線分EFと交わる。したがって内心は正方形EFGHの内部にある。
450:イナ
20/08/15 19:43:07.05 +S/JbsGk.net
前>>417
>>429
うちに渡哲也さんのサイン色紙があります。
渡哲也さんが亡くなったからといって自分のような一兵卒の寿命が縮むなんておそれ多いです。
451:１３２人目の素数さん
20/08/15 21:09:36.19 R1A01FWT.net
>>402
この問題、解析解って求められるんでしょうか？
自分も未定乗数法でやってみようと、しばらく式をコネ回してみたけど
簡単な形式には持っていけそうにありません。
Wolframも数値解しか出しません。
Minimize[ {(x-1)^2+(y-1)^2, x^3+y^3 -3x y == 0}, {x,y} ]
→ ...
452:１３２人目の素数さん
20/08/15 23:21:36.40 Jm/ZFtUB.net
>>433
s=x+y, t=xy で書き直したら、なんかでた
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
453:１３２人目の素数さん
20/08/15 23:40:27 06RJcXIp.net
微分方程式
u'(t)=f(u(t))
の一般解ってどう求めればいいんですか？
454:１３２人目の素数さん
20/08/15 23:57:45 ura3P6dp.net
変数分離
455:１３２人目の素数さん
20/08/16 00:27:18 pRhbC/47.net
>>434
x^3 - 6x^2 + 15x - 3 = 0 の実数解らしいね
URLﾘﾝｸ(www)
456:.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-+6x%5E2+%2B+15x+-+3+%3D+0 グラフ的には正しそうに見える https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%5E2+%2B+%28y-1%29%5E2+%3D+%282+-+%282%2F%285Sqrt%285%29+-+11%29%29%5E%281%2F3%29+%2B+%28%285Sqrt%285%29+-+11%29%2F2%29%5E%281%2F3%29%29%2C+x%5E3%2By%5E3+-3xy+%3D+0
457:１３２人目の素数さん
20/08/16 00:49:58.40 N4DeS3nO.net
∫sin(x^k)dx[0→∞]は収束するか発散するか。なおkは実数定数。
これについて詳しく教えてもらいたいです
458:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:13:44 JAwBuHm3.net
>>438
ｋの値を変えてプログラムで実験してみたけど
> # ∫sin(x^k)dx[0∫sin(x^k)dx[0→∞]
> f <- function(k) integrate(function(x)sin(x^k),0,Inf)
> f(1)
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
roundoff error is detected in the extrapolation table
> f(runif(1,1,10))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
maximum number of subdivisions reached
> f(runif(1,0,1))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
roundoff error is detected in the extrapolation table
> f(runif(1,-1,0))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
the integral is probably divergent
> f(runif(1,-10,-1))
Error in integrate(function(x) sin(x^k), 0, Inf) :
the integral is probably divergent
収束はしないみたい。
459:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:16:29 N4DeS3nO.net
>>439
なんかすごいですね笑 これどうやって数学的に証明すればいいんですかね…
460:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:19:49 JAwBuHm3.net
>>417
10 / ( 2sin(2π/5) )＝5.257311
461:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:30:07 pRhbC/47.net
フレネル積分を知っていれば k の値によって収束したり収束しなかったりすることは明らか
|x| > 1 なら収束する
|x| ≦ 1 なら収束しない
と予想
462:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:32:33 pRhbC/47.net
>>442
訂正
|k| > 1 なら収束する
|k| ≦ 1 なら収束しない
463:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:35:46 N4DeS3nO.net
>>443
フレネル積分をどう応用したらいいんですかね…交項級数とかに繋がってくる感じですか??
464:１３２人目の素数さん
20/08/16 01:39:40 N4DeS3nO.net
フレネル積分∫sin(x^2)dx[0→∞]の収束性を示すのってどうやるんですか？？
465:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/08/16 01:56:19 FpEi9Mun.net
前>>417別解。
>>314
5/sin(2π/5)=5.25731112119……
466:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/08/16 01:58:57 FpEi9Mun.net
前>>446
>>314
∴約5cm3mm
467:１３２人目の素数さん
20/08/16 02:10:47 f0CPlVcj.net
>>445
ライプニッツの公式に帰着させればいいんじゃない？
468:１３２人目の素数さん
20/08/16 02:12:48 N4DeS3nO.net
>>448
えええ、、どんな感じでつなげるのですか？？宜しければ詳しく知りたいです
469:１３２人目の素数さん
20/08/16 02:24:01 ocOa8mpd.net
収束性だけでいいならc^k=tと置換するだけやろ
470:１３２人目の素数さん
20/08/16 03:02:14.88 940pKOPL.net
鋭角三角形△ABCの内部に点Pがあり、
∠PAB,∠PBC,∠PCAの値はそれぞれ分かっている。
この条件のみで、点Pの位置をただ1箇所に特定できるか。
471:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:58:42 YLcVkQjG.net
>>451
特定するには角度は２個わかればいいんじゃないかな？
472:１３２人目の素数さん
20/08/16 10:35:06.86 JAwBuHm3.net
乱数発生させて任意の形の鋭角三角形を作って
∠PAB＝45°,∠PBC＝30°になるPをプログラムで探索させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
473:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:37:04 T/d8M/lm.net
二条を教えてください
474:１３２人目の素数さん
20/08/16 15:55:46.52 XfR5KAjl.net
>>454
京都府京都市の地名。二条城が有名。
475:１３２人目の素数さん
20/08/16 16:26:29.05 /uc0uymM.net
>>443
正解です!!
Γ(1+1/k) sin(π/(2|k|)) (|k|>1)
>>444-445
k=2
Γ(3/2) sin(π/4) = (1/2)Γ(1/2) (1/√2) = √(π/8)
476:１３２人目の素数さん
20/08/16 18:27:43.42 /uc0uymM.net
>>402
デカルトの葉線でござるか。与式から
1 = x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy
= (x+y+1)(xx+yy-xy-x-y+1),
f(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2
= {2
477:(xx+yy-xy-x-y+1) + (x+y-2)^2}/3 = {2/(x+y+1) + (x+y-2)^2}/3 = {2/(s+1) + (s-2)^2}/3 (s=x+y) = (s^3 -3ss +6)/{3(s+1)}, df/ds = {2(s^3 -3s -3)}/{3(s+1)^2} = 0 より s = φ^(2/3) + φ^(-2/3) = 2.1038034 で最小 {x,y} = {φ^(2/3), φ^(-2/3)}, t = xy = 1, f(x,y) ≧ 2 - φ^(5/3) + φ^(-5/3) = 0.21838195 φ = (1+√5)/2 = 1.618034
478:１３２人目の素数さん
20/08/16 18:44:51.74 /uc0uymM.net
0 = x^3 + y^3 - 3xy
= (x+y)(xx-xy+yy) - 3xy
= s(ss-3t) - 3t,
より
t = (s^3)/{3(s+1)},
479:１３２人目の素数さん
20/08/16 19:11:55.84 7pdtccLH.net
鋭角三角形△ABCの内部に点Pが与えられており、∠APB=x°,∠BPC=y°,∠CPA=z°である。
△ABCの内部の点Qで、∠AQB,∠BQC,∠CQAのいずれもx°またはy°またはz°に等しいものを考える。
以下の場合に、QをPとは異なる点にとることはできるか。
（1）x>y≧z
（2）x≧y>z
（3）x>y>z
480:１３２人目の素数さん
20/08/16 20:28:07 XfR5KAjl.net
>>459
すべてできる。例えば、A(-1,-1),B(2,0),C(0,2),P(1,0),Q(0,1) など。
481:１３２人目の素数さん
20/08/16 20:41:50.93 XfR5KAjl.net
しかし最近とくに、ここを自作問題投下スレと勘違いしてるんじゃないかと思うことが増えている気がする。
一応、ここで聞いているからには分からない問題なのだろうと解釈して回答をしているけれども。
自作問題を投下したいけど適切なスレが分からないということなら、素直にそう聞けばいいのに。
それともなんらかの意図を持った確信犯なのだろうか。
482:１３２人目の素数さん
20/08/16 21:11:30.57 lbhPh1Wz.net
自信がないからここで確認してるんじゃないの
もっと酷い場合は答えの用意もなくここで面白い問題になるか確認してることもありそう
483:１３２人目の素数さん
20/08/16 21:35:12.52 f0CPlVcj.net
問題になるか分からない問題なのだろ
484:１３２人目の素数さん
20/08/16 21:57:47.63 XfR5KAjl.net
>>462
それをするために適切なスレが他にあるのにわざわざここでやるってのがいまいちわからなくてね。
485:１３２人目の素数さん
20/08/16 22:19:27.00 meLnB0iY.net
>>460
一般の鋭角三角形についてはどうですか
486:１３２人目の素数さん
20/08/16 23:13:48.65 pRhbC/47.net
自作ですが分からないので投下します
自然数 n に対し、一変数多項式 f[n](x) を以下のように再帰的に定める。
f[0](x) = x
f[n](x) = (f[n-1](x))^2 - n
各 n に対し、 f[n](x) の実数根のうち最大のものを a[n] とする。
定義より明らかに a[n] は実数の代数的整数である。
(1) n > 1 のとき、 a[n] は無理数か？
(2) lim[n→∞] a[n] は存在するか？
存在するならば、それは無理数か？超越数か？
(3) g[n](x) ∊ Z[x] を a[n] の最小多項式とする。
g[n](x) = f[n](x) となる n はどのような数か？そうでない n はどのような数か？
また、そのような n および、そうでない n はそれぞれ無数に存在するか？
487:１３２人目の素数さん
20/08/16 23:31:11.41 f0CPlVcj.net
低次で何か面白そうな傾向は出たのかね？
それがなきゃ興味ないな
488:１３２人目の素数さん
20/08/16 23:37:41.54 pRhbC/47.net
>>467
以下に予想を書いておきますね
【予想(>>466)】
(1) a[n] は n > 1 で常に無理数
(2) lim[n→∞] a[n] は存在し、恐らく超越数
(3) n > 1 がsquare-freeかつそのときに限り g[n](x) = f[n](x)
したがってどちらも無数に存在する
489:１３２人目の素数さん
20/08/16 23:42:07.82 lbhPh1Wz.net
普通にa[n]=√(1+√(2+…√n)…)になるんじゃないのか？
これ収束はするけど収束値の代数的記述は未解決らしい
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
490:１３２人目の素数さん
20/08/16 23:44:17.70 lbhPh1Wz.net
てかこれから逆算して出題してそう
491:１３２人目の素数さん
20/08/16 23:48:12.56 pRhbC/47.net
>>469
やっぱりそうなるんですかね？
実はその数を根にもつ多項式を構成しようとして考えたのが f[n](x) です
したがってその数は高々 2^n 次の代数的整数であることがわかります
ただ、その数が f[n](x) の根の中で最大になるかどうかがわかりません
492:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:12:17.43 20svZZnl.net
f[n](x)の根の一般式が±√(1±√(2…±√n)…)になるんじゃないかな
493:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:12:22.94 SfLQkZLB.net
>>457
>df/ds = {2(s^3 -3s -3)}/{3(s+1)^2} = 0 より
> s = φ^(2/3) + φ^(-2/3) ...
ここでサクっと解が求まるのは、裏でヴィエトの解法を使ってますか？
それとも黄金比を使った王道パターンがあるのでしょうか？
ヴィエトの解法 (参考: 前スレ >>432)
s^3 -3s -3 = 0 の実解を求める
a = ... = 2
θ = ... = arccos( 3/2 ) / 3 { θは虚数となる }
... ∴ e^(+3θ*I) = √{ (3+√5)/2 }
s= a*cos(θ) = 2*cos(1/3 * ln((3+√(5))/2) * I ) {他の2解は複素数となる}
= 2*cosh( 2/3 * ln( √{(6+2√5)/ 4} ) )
= 2*cosh( 2/3 * ln( (1+√5)/ 2 ) )
= e^{+2/3 * lnφ} + e^{-2/3 * lnφ}
= φ^(2/3) + φ^(-2/3)
494:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:14:26.64 SfLQkZLB.net
訂正
誤 ... ∴ e^(+3θ*I) = √{ (3+√5)/2 }
正 ... ∴ e^(+3θ*I) = (3+√5)/2
495:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:19:46.53 IxYiNKnI.net
>>472
そうだよ
そして全て+を選択する場合が一番大きい
-を選択して途中で複素数になることもあるが絶対値は常に+を選択したものの方が勝ってるから大丈夫そう
496:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:24:37.20 IxYiNKnI.net
てか一度複素数になる符号選択をしたらその先実数には帰って来ないことが示せるか
497:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:57:08.12 9U9sXAI2.net
そうなのかな
符号の選択は f[5](x) ですら非常に複雑そう
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
ところで、 f[n](x) の展開式（の係数）は明示的に書けるのかな
たとえば定数項 f[n](0) だけでもわからないだろうか
498:１３２人目の素数さん
20/08/17 00:58:17.63 U7f6nYy/.net
>>473
この場合は実解１つなので
カルダノで解けます。
499:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:03:08.50 ENNOwnx+.net
n次多項式f(x)で
f(1)f(2)...f(n)=f(n+1)
であるものを全て求めたいのですが分かりません。
1以上n以下のある整数mに対しf(m)=0、かつf(n+1)=0であれば成立するのは分かりました
500:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:16:05.31 9U9sXAI2.net
>>479
n = 2 の時点で自由度高すぎて無理そう
501:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:17:56 IxYiNKnI.net
>>479
一般にはニュートンの補間公式使って出せるはず
f(1)～f(n)をまず任意に与えて、最後に(n+1,f(1)f(2)…f(n))を通るように設定する
502:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:23:54 IxYiNKnI.net
ニュートンってかラグランジュか
具体的には
f(x)=Π[i=1,n](x-i)f(i)/n!+Σ[j=1,n]Π[i≠j](x-i)f(j)/(j-i)
503:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:27:16 U7f6nYy/.net
f(x) = n+1-x + (x-1)(x-2)････(x-n),
のとき
f(1)=n, f(2)=n-1, ････, (n-1)=2, f(n)=1, f(n+1) = n!
504:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:36:24 U7f6nYy/.net
1≦m≦n
f(x) = (n+1-x)^m + (n!)^(m-1)･(x-1)(x-2)････(x-n),
でもいいか
505:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:40:22.41 IxYiNKnI.net
>>482
例えば
n=2のとき
f(1)=a、f(2)=b、f(3)=abとして
f(x)=(x-1)(x-2)ab/2+(x-2)(x-3)a/2-(x-1)(x-3)b
n=3のとき
f(1)=a、f(2)=b、f(3)=c、f(4)=abcとして
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)abc/6-(x-2)(x-3)(x-4)a/6+(x-1)(x-3)(x-4)b/2-(x-1)(x-2)(x-4)c/2
このようにして一般の場合が求まる
506:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:42:32.35 9U9sXAI2.net
>>482
それで f(x) = (9/4)x^2 って拾ってこれる？
507:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:47:11.18 IxYiNKnI.net
>>486
上の例のn=2のときのaとbに9/4と9を代入すると出る
(x-1)(x-2)81/8+(x-2)(x-3)9/8-(x-1)(x-3)9=9/4x^2
508:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:50:45.98 U7f6nYy/.net
>>481
g(x) はn次以下の多項式
f(x) = g(x) + {g(1)g(2)････g(n) - g(n+1)}(x-1)(x-2)････(x-n)/n!
かな？
509:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:52:23.99 9U9sXAI2.net
>>487
あ、 Π[i≠j] の i は 1 から n+1 までを動くのか
なるほど、すごいな
510:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:54:00.64 IxYiNKnI.net
>>488
なるほど、その記述でも行けるね
511:１３２人目の素数さん
20/08/17 01:55:37.27 SfLQkZLB.net
>>478
ありがとうございます。
512:１３２人目の素数さん
20/08/17 05:34:50.62 hHpaTy/b.net
画像の微分方程式の一般解の求め方を教えていただきたいです
院試が近いのですが高校レベルの数学すらあやふやなため全然分かりません
よろしくお願いします
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
513:１３２人目の素数さん
20/08/17 10:44:30.40 d0IFupQZ.net
笠原の微分積分学にf(x) - f(0) ～ g(x) - g(0)ならばf(x)～g(x)と書いてありますが、なぜでしょうか？
φ(x)～ψ(x)は両関数とも無限小でlim_{x->+0}φ(x)/ψ(x)=1を意味する記号です。
514:１３２人目の素数さん
20/08/17 10:49:22.70 d0IFupQZ.net
笠原の本持っている人はp.85の一番上に書いてあるので参照してください。
515:１３２人目の素数さん
20/08/17 11:11:20.54 A0lhg88c.net
>>493
f(x)-f(0)～g(x)-g(0)
の時はf()-f(0)もg(x)-g(0)も無限小だからf(0)=g(0)=0になるからかな？
516:１３２人目の素数さん
20/08/17 11:14:18.56 d0IFupQZ.net
f(x)-f(0)->0だからといってf(0)=0は言えないと思います。
517:１３２人目の素数さん
20/08/17 11:28:32.40 d0IFupQZ.net
笠原の本ですが、φ(x)=(1/x)*log(x)+1/x^2+o(1/x^2)のときo(φ(x)^2)=o(1/x^2)であると書いてありますが、これはなぜですか？(p.96一番上のあたり）
518:１３２人目の素数さん
20/08/17 11:49:27.61 A0lhg88c.net
>>496
あ、失礼しました、そうですね
結局言えるのは
f(x)-f(0)～g(x)-g(0) ‥①
かつ
(0)=g(0)=0‥②
ならば
fx)～g(x)‥③
であつて①⇒③はもちろん言えませんね
(反例はf(x)=1+x, g(x)=x など)
ホントに①⇒③と読めるなら筆滑りの類いではないかと
519:１３２人目の素数さん
20/08/17 12:47:23.25 d0IFupQZ.net
笠原の本ですが、φ(x)=(1/x)*log(x)+1/x^2+o(1/x^2) （x->∞）のときo(φ(x)^2)=o(1/x^2)（x->∞）であると書いてありますが、これはなぜですか？(p.96一番上のあたり）
520:１３２人目の素数さん
20/08/17 13:12:07.37 9U9sXAI2.net
>>499
成り立たないと思う
f(x) = (φ(x)^2)/(log(x)) とすれば f(x) = o(φ(x)^2) だが、
x^2 f(x) = x^2 φ(x)^2 /(log(x)) = O(log(x)) → ∞
521:１３２人目の素数さん
20/08/17 13:34:48.91 d0IFupQZ.net
>>498
ありがとうございます。
>>500
ありがとうございます。
ランダウの記号関係の話はあまり他の本にも載っていない内容ですので、丁寧に書いてあったとしたら良かったのですが、非常に雑なんです。
ちなみに、>>499は途中の計算で出てくるんですが、最終的な結果（以下に書きます）は間違っていないでしょうか？(pp.95-96)
(1+x)^(1/x) = 1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + 1/x^2 + o(1/x^2) (x->∞)
522:１３２人目の素数さん
20/08/17 13:41:44.61 d0IFupQZ.net
杉浦光夫の解析入門1のp.117問題1(iv)がまさに>>501の問題でした。
答えは、 1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + o(|log(x)|^2/x^2) でした。
523:１３２人目の素数さん
20/08/17 13:43:04.42 d0IFupQZ.net
どちらがあっているのか、あるいは両方あっているのか、あるいは両方間違っているのか？どなたかわかる方いらっしゃいますか？
524:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:27:26.15 U7f6nYy/.net
(1+x)^h = x^h・(1+1/x)^h
マクローリンで
x^h = e^{h log(x)} = Σ[k=0,∞] (1/k!){h log(x)}^k,
一般二項公式で
(1+1/x)^h = 1 + h/x + h(h-1)/(2x^2) + ････,
ここで h→1/x とおく。
>>499
φ(x)^2 = O({log(x)/x}^2) = o(1/x^2) (x→∞)
>>501 は正しい
525:。 >>502 は x^(1/x) と思われる。
526:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:37:27.75 A0lhg88c.net
(1+x)^(1/x)
=exp( (1/x)log(1+x) )
= 1 + (1/x)log(1+x)
. + (1/2)( (1/x)log(1+x) )^2
. +o( (1/x)log(1+x) )^2
に
(1/x)log(1+x)=(1/x)log(x)+1/x^2+o(1/x^2)
を代入したらできそう
527:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:41:03.75 U7f6nYy/.net
>>499
成立たないと思う
>>501 >>502
両方合っている
528:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:59:14.00 SfLQkZLB.net
>>492
(1) (x^2-y^2) y' = 2xy
∂F/∂x = -2xy q(x,y), ∂F/∂y = (x^2-y^2) q(x,y)
となる関数 F(x,y) を求めてみる。
問の微分方程式は dF = (∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy = 0 と等価(※)である。(q(x,y)は積分因子)
∂∂F/∂x∂y = ∂∂F/∂y∂x を満たす必要 (連続条件とか積分可能条件とか) があるので、
-2xq -2xy ∂q/∂y = 2xq + (x^2-y^2) ∂q/∂x
(x^2-y^2)∂q/∂x + 2xy ∂q/∂y = -4xq {一見簡単になる気がしないが...}
q = 1/y^2 が条件を満たす。
よって ∂F/∂x= -2x/y, ∂F/∂y= x^2/y^2 - 1
∴ F(x,y) = -x^2/y - y = 2R {積分定数}
x^2 + (y - R)^2 = R^2 つまり陰関数解は円である。
陽解は y = R ± √{R^2 -x^2} (-|R| ≦ x ≦ +|R|)
傾きが無限になる点 (x=±|R|) は極限点として許容されるだろう。
積分因子を考慮すると y = 0 (定数解)もまた解である。これは円族の極限でもある。
(※等価が言えるのは方程式が有意味な範囲のみ)
529:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:59:54.40 SfLQkZLB.net
>>492
(2) y' +2y = a*cos(2x)
Aを定数とすると
(Ae^{±i2x})’ + 2*Ae^{±i2x} = (2±2i)Ae^{±i2x}
よって特解は
y = a/2 * ( e^{+i2x}/(2+2i) + e^{-i2x}/(2-2i) )
= a/2 * Re{ e^{+i2x}/(1+i) }
= a/4 * Re{ (1-i)e^{+i2x} }
= a/4 * ( cos(2x) + sin(2x) )
斉次一般解と合わせて
y = C * e^{-2x} + a/4 * ( cos(2x) + sin(2x) )
が一般解である。
530:１３２人目の素数さん
20/08/17 15:06:52.34 SfLQkZLB.net
>>492
(3) y'+y/x = x^m y^m
これはWolframでカンニング
DSolve[ y'[x]+y[x]/x == x^m y[x]^m, y[x],x ]
... {{y[x]→(x^(1 + m)/2 - 1/2 m x^(1 + m) + x^(-1 + m) C[1])^(1/(1 - m))}}
よく分からんが ○^(1/(1 - m)) が肝なのだろう。 (こんなの思いつくわけがない...※)
f(x) = y^{1-m} と置いて
f' = (1-m) f/y * y' = (1-m) f * (x^m /f - 1/x )
∴ f' -(m-1)f/x -(1-m)x^m = 0
f' -p(x) f - q(x) = 0 タイプの方程式解 ((2)でも使えるパターン) ...
f(x) = e^{+∫dx p} ∫dx( q e^{-∫dx p} ) {p=(m-1)/x, q=(1-m)x^m}
= x^{m-1} ∫dx ( (1-m)x^m * x^{1-m} )
= (1-m) x^{m-1} ( 1/2 * (x^2 - C^2) ) {積分定数は後知恵で整えた}
よって
y = { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C^2 - x^2 ) }^{1/(1-m)} ( -|C| ≦ x ≦ |C| )
(もちろんWolfram解と等価である)
※手持ちの本をよく見たら、これはベルヌイの方程式のパターンだそうだ。
たぶん見た事あるけど忘れてた。
531:１３２人目の素数さん
20/08/17 15:27:42 9U9sXAI2.net
>>492
(1)は同次形（両辺を x^2 で割る）
(2)は線形
(3)はベルヌーイ形
532:１３２人目の素数さん
20/08/17 16:59:37 U7f6nYy/.net
>>492
? (xx-yy)(dy/dx) = 2xy,
x = r cosθ, y = r sinθ,
とおくと、与式は
(dy/dx) = tan(2θ),
すなわち
(動径OPと Pでの接線のなす角) = θ = (動径OPと x軸のなす角),
x軸が点Oでの接点だとすると、
2点O, Pにおける交角が相等しいことになる。
円周角の定理の逆により、Pの軌跡は O を通る円周。
同次形なので u = y/x とおく。
x(du/dx) + u = (dy/dx) = 2xy/(xx-yy) = 2u/(1-uu),
より
(1/x)dx = {(1-uu)/u(1+uu)}du = {1/u - 2u/(1+uu)}du,
x = 2R u/(1+uu) = 2R xy/(xx-yy), {2R:積分定数}
x^2 + (y-R)^2 = R^2,
533:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:15:59.75 U7f6nYy/.net
>>492
③ (dy/dx) + y/x = x^m y^m, (mは2以上の定数)
(1/x)(xy) ' = (xy)^m,
xy=v とおくと
(1/x)v ' = v^m,
v^(-m) v' = x,
積分して
-{1/(m-1)}v^(1-m) = -(CC-xx)/2,
y = v/x = (1/x){(m-1)(CC-xx)/2}^{1/(1-m)},
534:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:27:47.63 9U9sXAI2.net
>>511
> x = 2R u/(1+uu) = 2R xy/(xx-yy), {2R:積分定数}
> x^2 + (y-R)^2 = R^2,
違くね
上は双曲線
下は円
535:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:30:26.65 SfLQkZLB.net
>>509
(3)の解はやや不正確なので少し訂正
m: 偶数 ⇒ y = + { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}
定義域: C>0 ⇒ { x<-C, 0<x<+C }, C≦0 ⇒ { x<0 },
m: 奇数 ⇒ y = ± { (m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}
定義域: C＞0 ⇒ { |x|<C }, C≦0 ⇒ 実解なし
とにかく 根号内は正で y^(1-m) が ～ になれば良い。
536:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:43:29.81 SfLQkZLB.net
>>514 (再訂正)
m: 偶数 ⇒
y = + { +(m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}
定義域: C >0 ⇒ { x<-C, 0<x<+C }, C≦0 ⇒ { x<0 }
y = - { -(m-1)/2 * x^{m-1} ( C - x^2 ) }^{1/(1-m)}
定義域: C >0 ⇒ { -C<x<0, +C< x}, C≦0 ⇒ { x＞0 }
yが負の領域に解は無いんか？と気付くべきだった。
537:１３２人目の素数さん
20/08/17 18:01:17.35 9U9sXAI2.net
>>500
O(log(x)) だと証明になってないな
x^2 f(x) = log(x) + o(1) → ∞
だった
538:１３２人目の素数さん
20/08/17 18:52:36.21 8hGqtSan.net
>>386
wolfram入力可能に短縮した
Table[2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+3C(0,C(0,C(3,n-16)))+11C(0,n-22)+C(0,C(0,C(6,n-29))),{n,1,44}]
539:１３２人目の素数さん
20/08/17 18:56:04.87 8hGqtSan.net
わからない問題は
わからないままにしておくことによって
人々は幸せになる
540:１３２人目の素数さん
20/08/17 19:04:22.65 U7f6nYy/.net
>>513
仰るとおり。
x = 2R u/(1+uu) = 2R xy/(xx＋yy),
ですた。
541:１３２人目の素数さん
20/08/17 21:04:44.80 d0IFupQZ.net
>>499
>>499
笠原のをほぼ書き写しました。誰か解読してください。
f(x) = (1 + x)^(1/x)
log(f(x)) = (1/x)*log(1 + x) = (1/x)*log(x) + (1/x)*log(1 + 1/x) = (1/x)*log(x) + (1/x)*(1/x + o(1/x))
= (1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2) (x->∞)
f(x) = exp((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))
log(f(x))の各項はx->∞のときすべて無限小だからテイラー公式から
f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^2 + o(1/x^2) ← これがなぜ成り立つのか分からない。
= 1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + 1/x^2 + o(1/x^2)) (x->∞)
542:１３２人目の素数さん
20/08/17 21:09:21.88 d0IFupQZ.net
>>520
こういう漸近展開は何がうれしくてこんな風に展開しているんですか？
xが大きい時にf(x)と1 + (1/x)*log(x) + (1/(2*x^2))*(log(x))^2 + 1/x^2の値が近いということが言えて嬉しいということですか？
でもどれくらいxが大きいときに、誤差はどれくらいといった情報は得られませんから意味あるのかな？って思いました。
543:１３２人目の素数さん
20/08/17 21:35:29.73 A0lhg88c.net
>>521
まぁ言ってる事にそもそも意味が感じられないし面白くもないというなら無理して読まなくてもいいんではない？
ただ
f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2))^2 + o(1/x^2)
すなわち
f(x) = 1 + ((1/x)*log(x) + 1/x^2 + p(x)) + (1/2)*((1/x)*log(x) + 1/x^2 + q(x))^2 + r(x)
for some
p(x), q(x), r(x)
such that
lim p(x)x^2 = lim q(x)x^2 = lim r(x)x^2 = 0
くらいは自分で示せないとこの先何勉強してても行き詰まるよ
544:１３２人目の素数さん
20/08/17 21:59:59.60 IxYiNKnI.net
確かに言われてみればオーダー計算の正当性を示すことってあんま無いかもね
expくらい行儀のいい関数なら大丈夫だろうとやってしまいがちだけど特に物理と
545:か
546:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:06:44.14 9U9sXAI2.net
成り立たないんじゃないの？
誤差項付きのテイラー展開
exp(h) = 1 + h + h^2/2 + o(h^2) as (h→0)
において
h = (1/x)*log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2) as (x→∞)
と置いたように見えるけど
h^2 には (log(x))^2 / x^2 の項が含まれるから x^2 を掛けたら発散するはず
o(h^2) = o((log(x))^2 / x^2) as (x→∞)
だと思うが
例えば
log(x)/x^2 = o((log(x))^2 / x^2) as (x→∞)
だが、 log(x)/x^2 = o(1/x^2) as (x→∞) ではない
547:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:12:02.48 hHpaTy/b.net
>>507ID:SfLQkZLBさんと>>511ID:U7f6nYy/さん丁寧に解説ありがとうございます
あとでじっくり勉強させていただきます
>>510
ありがとうございます
教科書とノートで解法を確認してみます