20/08/11 22:28:46 WVTEAQ4r.net
>>979
同じ方針です、説明少し端折りすぎたかもです
記号を合わせると
S=Σ[1≦r≦43]((45/44)r-f(r/44))
を計算していくわけですが
まず第1項目はΣ[1≦r≦43](45/44)r=45×43/2です
次に第2項目はΣ[1≦r≦43]f(r/44)ですが、
これはfの定義f(x)= Σ[1≦a≦9] [ax]を思い出すと
二重和Σ[1≦r≦43, 1≦a≦9] [ar/44]です
ここで先にこれのrの和
Σ[1≦r≦43] [ar/44]
をとることを考えるわけです
これはx-y平面において直線y=ax/44とx軸とx=44で囲まれる三角形の内部と斜辺上の格子点を数えることになります
この格子点の数は対称性によって
長方形(0≦x≦44,0≦y≦a)の内部の点の数((44-1)(a-1)個)と対角線(=直線y=ax/44)上の点の数(gcd(a,44)-1)を足して半分にしたものと一致します
よって
Σ[1≦r≦43] [ar/44]=((44-1)(a-1)+gcd(a,44)-1)/2
となり、これをaで足し上げて45×43/2から引くと公式が出ます
1028:１３２人目の素数さん
20/08/11 22:47:12.88 AOzBAWPP.net
>>982
それならむしろ>>973 , >>967の方針でどこがうまくいかんかったんや？
1029:１３２人目の素数さん
20/08/11 22:53:26.43 dwVOjOlW.net
>>982
それなら、
最大値
> f(1,1);f(0,0)
[1] 1.5
[1] 1.5
最小値
> f(0,1);f(1,0)
[1] 0.6666667
[1] 0.6666667
1030:１３２人目の素数さん
20/08/11 22:57:02.10 dwVOjOlW.net
>>985
根拠はこの等高線グラフ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1031:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:00:35 dwVOjOlW.net
プログラムで偏微分させたらこんな式になったから、手を出すのはやめた。
> f=expression( (3+x-2*y)*(2-x+2*y)/((4-2*x-y)*(1+2*x+y)) )
> D(f,'x')
((2 - x + 2 * y) - (3 + x - 2 * y))/((4 - 2 * x - y) * (1 + 2 *
x + y)) - (3 + x - 2 * y) * (2 - x + 2 * y) * ((4 - 2 * x -
y) * 2 - 2 * (1 + 2 * x + y))/((4 - 2 * x - y) * (1 + 2 *
x + y))^2
> D(f,'y')
((3 + x - 2 * y) * 2 - 2 * (2 - x + 2 * y))/((4 - 2 * x - y) *
(1 + 2 * x + y)) - (3 + x - 2 * y) * (2 - x + 2 * y) * ((4 -
2 * x - y) - (1 + 2 * x + y))/((4 - 2 * x - y) * (1 + 2 *
x + y))^2
1032:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:06:51 vj5zwGo/.net
>>983
Σ[1≦r≦43] [ar/44] の値がその領域の格子点の個数に帰着されるのはなぜですか？
対角線(=直線y=ax/44)上の点の数が (gcd(a,44)-1) となるのはなぜですか？
1033:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:24:28 sLooAqcf.net
>>939
x = N + r/44, 0≦r<44,
とおくと
f(x) = 45N + f(r/44),
与式から
45N(r) + f(r/44) = 44N(r) + r,
N(r) = r - f(r/44),
これの計算が面倒だが････
N(r) < 0; 0個
N(r) = 0; 1個 (r=0)
N(r) = 1; 1個 (r=1)
N(r) = 2; 2個 (r=2,22)
N(r) = 3; 6個 (r=3,11,15,23,30,33)
N(r) = 4; 28個 (その他)
N(r) = 5; 4個 (r=14,21,29,41)
N(r) = 6; 1個 (r=42)
N(r) = 7; 1個 (r=43)
N(r) > 7; 0個
よって
Σ[r=0,43] N(r) = 168,
Σ[r=0,43] r/44 = 43/2 = 21.5
S = Σ[r=0,43] x(r) = 379/2 = 189.5
1034:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:41:18 WVTEAQ4r.net
>>988
図を考えれば分かりやすいと思うけど文章で書いてみる
直線y=ax/44とx軸とx=44で囲まれる直角三角形の内部と斜辺(ただし端点(0,0)(44,a)は入れない)上にある格子点を数えてみる
まず1≦x≦43なる整数を
1035:決め、縦に範囲内にある整数yを探せばよいが x=r軸上において、縦の範囲は1≦y≦ar/44となるから、この軸上には[ar/44]個の格子点がある 結局、範囲内すべての格子点の数はΣ(1≦r≦43) [ar/44]に一致する 端点を除いた斜辺上における格子点は(1≦x≦43)の範囲で直線y=ax/44に乗っている格子点(x,ax/44)であるが ax/44が整数になることためにはxが44/gcd(a,44)の倍数でなければならない 1≦m×44/gcd(a,44)≦43となるmは1,2,…,(gcd(a,44)-1)なので、 結局、端点を除いた斜辺上にはgcd(a,44)-1個の格子点がある
1036:１３２人目の素数さん
20/08/12 00:06:33.97 oejKmXQz.net
ところでm=(1+2+…+n)-1、δ(x)=1/2-x+[x]としたとき
Σ[1≦x≦n,1≦y≦m]δ(xy/m)=Σ[1≦x≦n]gcd(x,m)/2
とキレイに書けるけど何かいい説明あるんかな
1037:１３２人目の素数さん
20/08/12 00:41:32.45 JIB7mcFI.net
>>990
はーなるほど
Σ[1≦r≦43] [ar/44] を直接計算するのは面倒でも、
格子点の個数と考えれば長方形の面積として簡単に計算できるんですね
ありがとうございます
1038:１３２人目の素数さん
20/08/12 00:41:48.65 oejKmXQz.net
mは任意でもいいのか
1039:１３２人目の素数さん
20/08/12 00:47:49.94 vgqXhROq.net
番組の途中ですが････
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1040:１３２人目の素数さん
20/08/12 01:39:18.51 oejKmXQz.net
>>991
よく考えたら
Σ[1≦y≦m]δ(xy/m)=gcd(x,m)/2
が成り立ちますね
証明は先の長方形と対角線上の格子点を数える方法で出来る
1041:１３２人目の素数さん
20/08/12 05:18:11 AJ9sCyxm.net
プログラムキチガイが無理矢理議論に参加しているのが笑える
早く死ねばいいのに
1042:１３２人目の素数さん
20/08/12 05:27:55 AJ9sCyxm.net
１辺の長さ１の正７角形の高さの厳密解を求めたら
こんな式になってしまった。もっと簡単にできるかもしれん。
(sin(2*pi/7)/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2) - (cos(4*2*pi/7)*sin(2*pi/7))/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2) - sin(4*2*pi/7)/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2) + (cos(2*pi/7)* sin(4*2*pi/7))/((1 - cos(2*pi/7))^2 + sin(2*pi/7)^2))
1043:１３２人目の素数さん
20/08/12 05:38:10 KrQ981jo.net
>>997
手計算で検算してみたのか。
1044:１３２人目の素数さん
20/08/12 05:42:52.93 KrQ981jo.net
>>996
あんたも手計算して参加すればいいのに。
wolfram使って確認する人もいるし
俺みたいに自作プログラムでカウントする人間もいる。
丸め誤差の処理しないバグがあったが。
1045:１３２人目の素数さん
20/08/12 05:44:25.08 AJ9sCyxm.net
二倍角や半角の公式が使えないキチガイ
1046:1001
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