20/08/26 20:53:29.89 Ph18BIHC.net
>>696
二行も要らん一行ずつで背反じゃ！
>>695 > 整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
> だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
何で儂が嫌いな第六天(=他化自在天)魔王・猿MaraオナホしごきPapiyas一石を同意どころか支援補強せんと行かんのじゃぁぁぁあああ!?
瀬田氏はネオエクスデスか何かか？『宇宙の法則が乱れる!!』言うんか?!どうやら瀬田氏はグランドクロスはグランドクロスでも
馬鹿と阿呆のグランドクロスの様じゃな!!巫山戯も巫山戯、巫山戯切っとる!!
「知『能』化」無き「知『識』万列」は死蔵が如し！It's a dead stock!! 此んなコピペ万列、ゴミ屋敷じゃ､
しかも瀬田氏の、完全・無欠!!に間違った素人以下の私見添えの所為で茶濁しどころか毒盛りじゃぁぁぁあああ!!
松平健「見苦しいぞ瀬田の守、神妙にせい!!｣
799:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 20:59:29.46 mnW83lWq.net
>>695 補足
要するに、
環Rのある元aが”零因子” つまり、ax=0 で、a≠x≠0 となるという条件と(x∈R)
ある元aが”逆元を持つ” つまり、aｙ=1 なるyが存在する(y∈R)
とは、両立しないってことでは
もし、aｙ=ya=1 なら簡単
ax=0 の両辺に左からｙを掛けて
左辺 yax=（ya)x=１ｘ＝ｘ
右辺 y0=0
これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
”aｙ=1” のみ存在して、”za=1”の方は存在しない場合には、どうなるか（右左の逆もあるが）
そこがいまいち、すっきりしないので、斜体の場合を調べている（可換の場合は、当然 aｙ=ya=1 成立だが ）＊）
注＊）この場合が、上記と同じように言えれば、”零因子” と”逆元を持つ” とは両立しないと言い切れる
800:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:00:53.00 Cw0W0enJ.net
>>695
>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
できません。
2/3∈Qの逆元はZにありません。
Zの全商環を構成すればQになります。
801:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:02:06.30 mnW83lWq.net
>>700
ほいよ、>>701
802:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:04:53.72 Cw0W0enJ.net
>>676
何をどう納得したか答えて
納得できてなかったものがなぜ瀬田のレスにより納得できたかもね
803:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:04:54.12 mnW83lWq.net
>>702
>>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
>できません。
それだけで、体ができるとはいっとらんぞよｗ（＾＾
逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ
804:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:06:47.13 Cw0W0enJ.net
>>683
何がどう勉強になったのか答えて
勉強にならなかったものがなぜ瀬田のレスにより勉強になったかもね
805:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:08:15.28 mnW83lWq.net
>>704
まあ、かれはあっちこっち
沢山書いているから、なんか書いてくれるだろうよ
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
今日は、書かないかもね
806:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:09:15.40 mnW83lWq.net
>>701 タイポ訂正
これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
↓
これは、x≠0 に矛盾（aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
失礼しました（＾＾；
807:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:10:11.69 mnW83lWq.net
>>707 タイポ訂正
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
↓
但し、一日で書いている時間帯が集中しているので
808:十割蕎麦焼酎
20/08/26 21:10:29.64 Ph18BIHC.net
吉宗評判記 暴れん坊将軍
船越英一郎の親父「ぅぅううえっさっんま
小耳に挟んだ所によりますれば、瀬田の守の小倅が近頃、部屋に籠りっ切りに成り、何やら
此の世に於いても彼の世に於いても罷り通らん、謂わば屁の突っ張りにも成らない理屈を世に広めては
既に名の知れた学者たちの偉業とも言うべき知恵を、有ぁぁあろう事か、事有る毎に、間違った伝聞を世に開き､
自�
809:gは疎か、藩の顰蹙を買う事態に成って居り、其れを憂いた瀬田の守が、気にしてか腹を切りそうに成った所を 近くに居た家臣たちがどうにか止めたとの話ですぞ。否、儂だったら其んな息子、勘当している所ですぞ!!｣ 松平健「うぅむ｣
810:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:11:54.45 Cw0W0enJ.net
>>705
後出しジャンケン乙
811:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:14:51.47 Cw0W0enJ.net
>>705
>逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ
そんな文学的な説明じゃなくちゃんと定式化してみて
誤解の入る余地が無ければ数学とは呼べない
812:粋蕎
20/08/26 21:17:46.90 Ph18BIHC.net
>>703
格安スマホ猿MaraシコシコPapiyas一石のレス>>702が見えんか？
瀬田氏。今迄に何度、死にレスした？
813:粋蕎
20/08/26 21:27:44.08 Ph18BIHC.net
って言うか、働けーーー!!労災で左うちわ中なんじゃ。其の、会社に来てさえすりゃ良い（通院日以外は
出勤して見回るだけの殆ど遊び）の儂を、遥かに超越するレス機会自由度!!オドレ等、何、遊び腐っとるんじゃあああ!!
遊び言うても、社内巡りし、会社創設史上、最多の改善実績挙げとるぞ儂はぁぁぁあああ!!逆に回復するな言う始末!!阿呆か!!
其れに比べオドレ等は…。余りにも世の中をバカにし腐っとる!!乞食じゃ!!非ホームレス型の乞食じゃあああ、働けぇえやぁああ!!
814:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:32:31.08 iiai9c8f.net
>>714
＞働けぇえやぁああ!!
具体的に何すればいい？
◆yH25M02vWFhPは頭使う仕事は無理
ここまで酷い馬鹿は見たことがない
国立大阪大学？嘘つけｗ
知り合いの大阪大学工学部卒の奴に
ここの書き込み見せたらこういってたぞ
「酷い・・・酷すぎる」
確かに馬鹿な奴もいるけどそんなレベルじゃない
工業高校卒か大卒だとしても名前書けば入れるFランクレベルだって
815:粋蕎
20/08/26 21:34:08.18 Ph18BIHC.net
して。何故、通院中にも関わらず飲酒禁止されとらんのか？そりゃあ、儂が創傷・手術入院～今に至り
痛み止めさえ不要の無処方治療に因る。手術前中後の点滴麻酔以来の服用無し。結果、医者も呑み仲間入り｡
どうやら儂は、コミュ障の筈が、コミュ障の真逆じゃったらしい｡
呑もうぜぃオドレ等ぁああ
816:粋蕎
20/08/26 21:46:11.90 Ph18BIHC.net
もしかすりゃあ阪大卒は嘘じゃ無うかも知れん
阪大（附属病院脳機能未達児教育学級）卒or阪大（附属保育園）卒or阪大（附属幼稚園）卒or阪大（附属小学校）未卒・学歴無し
羅王！天に還る時が来たのだ!!…あ、間違ったアミバだった
北斗!!…残悔積歩拳!!
817:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:49:44.42 ANn/L5DS.net
>>713
め~さまは格安ｽﾏﾎｯﾍﾟちゃんなんですか…!
ｴﾓ一緒…!
(д\)ﾟ。嬉ｼｨ…
ｫ蕎麦ｯﾁｬﾏ…ᕼᗩᑭᑭY情報🐣ありがとぅ…
おやすみなさ~ぃ!
818:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:52:49.33 ANn/L5DS.net
>>713
…そばちゃま、そちらは、め~さまではないようですよ？…
�
819:ﾈりぷっ様かな？って…
820:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:56:46.56 ANn/L5DS.net
…一緒ｼﾞｬﾅｶｯﾀ…
(д\)ﾟ。゜
ﾟ。゜
…失礼ｼﾏｽﾀ…
821:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:58:16.79 ANn/L5DS.net
またｽﾙﾙｪがﾀﾋんじゃった！
ごめんなさ-ぃ…
|=з
822:１３２人目の素数さん
20/08/26 22:06:56 ANn/L5DS.net
め~さま、ｴﾓﾋﾟ-
魔界に還る時が来たよぅです…
今までありがとうございました
もぅｽﾄｰｶｰはしません。
お元気で。お幸せに🍀*゜
みなさまもありがとうございました
🌈ご機嫌よう🌈
823:粋蕎(出先)
20/08/26 22:13:27 eLicAEgc.net
猿の女人格を矢鱈と掻き毟るべきではない
824:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 23:38:31.48 mnW83lWq.net
>>691
>以下のpdfの、p216-221
> 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
>を読んで見な
>URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
ざっと見たよ、面白かった
けど、それ、下記の和文 wikipedia の出典5・参考文献の”Auslander & Buchsbaum”だね
さらに、よく見ると、英文 en.wikipedia にも、面白いリンクがあるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.
参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Division ring
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(抜粋)
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □
Remark. Note that this proof can be dualized to the case of right modules and thus we obtained that a unital ring R is a divison ring if and only if every right R-module is free.
External links
・Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules.
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
825:粋蕎
20/08/26 23:43:19.61 Ph18BIHC.net
元祖嘲笑ぷっ記述者は猿の女人格
猿自身の女性的欲求つまりオカマ人格なのか嫁なのか姉妹なのかは儂にも見通せない
826:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 23:57:54.00 mnW83lWq.net
あほらし
そもそも、全ては>>134より
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」
から始まった
正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
で、ウルサイから、正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識でと、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
（要は、正方行列に零因子が存在して、それを除外する話でしょという趣旨でね）
で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこ
827:といってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ ？ ”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんかって話で、 正方行列から、一般の環Rでどうなるという話で、いまに至る。この話は、結構面白い（＾＾ で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる （一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）
828:１３２人目の素数さん
20/08/27 00:21:51.91 3uCFoBs2.net
>>726
>正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
>とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
>つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
その理屈が通らないことは他ならぬ君の引用がことごとく正則行列（可逆行列）となっていることが示している。
そりゃそうだ、正方行列なんて書いたら速攻で炎上必至だから。
829:１３２人目の素数さん
20/08/27 00:25:58.31 3uCFoBs2.net
>>726
>で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ
群の話してるのに環でしか意味を為さない零因子を持ち出したら、
「なんかまたトンチンカンなこといってるな」
と返されて当然では？
830:１３２人目の素数さん
20/08/27 00:37:41 3uCFoBs2.net
>>726
>で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
>（一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）
ここは数学板ですから文学はやめて下さいね。
きちんと命題と証明を書きましょう。
831:粋蕎
20/08/27 01:25:00.24 whEq6FB9.net
理学は疎か工学でも無く文学でさえ無き願望論じゃ
832:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:38:50.99 4tb7ymDo.net
>>726
＞そもそも、全ては>>134
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
＞ 群は基本的に非可換だよ」
＞から始まった
そして、どこにも環とか体とか出てこない
環ガー、体ガーといってるのはおまえだけｗ
＞正方行列を、
＞「逆元を持つ正方行列」あるいは
＞「可逆な正方行列」あるいは
＞「行列式が０でない正方行列」とでも
＞書けば良かったのだろうが
「書けばよかった」ではなく
「書かなければいけなかった」
＞コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
「コンテキスト」「デフォルト」が誤り
群の定義（デフィニション）に、逆元の存在が書かれてるから
逆元が存在しない元まで含めたら、定義に反する
というのは我々数学科で数学を学んだ人間全員一致の絶対に正しい指摘
つまり、おまえは数学を学ばなかった野獣であり駆除対象の絶対悪ｗ
833:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:42:11.19 4tb7ymDo.net
>>726
＞で、ウルサイから、
根本的な誤りの指摘に「ウルサイ」という貴様が不遜
だから人間失格の野獣は困る 人間の知性を全否定しやがる絶対悪
＞正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識
＞と、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
後だしのいいわけするな
貴様が高校数学で落ちこぼれたのは明らか
＞（要は、正方行列に零因子が存在して、
＞ それを除外する話でしょという趣旨でね）
除外は読み手がすることではない
書き手である貴様が真っ先にやるべきことなのだ
覚えとけ 人間失格の野獣🐎🦌！！！
834:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:46:31.90 4tb7ymDo.net
>>726
＞”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんか
整数環Zにより真正面から否定されるトンデモ主張ｗｗｗｗｗｗｗ
＞整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、
＞四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
後出しは貴様の負けを示す自爆発言
導入が必要なこと自体、貴様の「零因子がなければ斜体！」説の誤りを示すもの
ついでにいえば、ただ整数の逆元のみを導入してもダメ
要するに貴様は後から後から言い訳する毛深い野獣の🐎🦌野郎
人間にある筈の論理的思考力（理性）が完全に欠如している
835:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:48:58.71 4tb7ymDo.net
馬鹿は自分が定義を理解していなかった言い訳で
「コンテキスト」とか「デフォルト」とかいう横文字
を喚き散らす癖をやめろ みっともないぞｗ
ついでにコンテキストとデフォルトをそれぞれ日本語に訳せ
日本人ならできるだろ �
836:ｳあやれ！ｗ
837:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:54:03.11 4tb7ymDo.net
野獣◆yH25M02vWFhP の誤り
１．正則行列というところを正方行列といった
（任意の正方行列に逆行列があると誤解してたｗ）
２．逆行列の存在条件として行列式が零でないといえばいいところを
何をトチ狂ったか「零因子でない」とかいいだした
（行列式をまったく知らなかったｗ）
３．群論の話なのに、無意味に環論とか体論とか持ち出し
「一般の環で、零因子でなければ可逆元！」とか
「一般の環で、零因子だけ取り除けば斜体の出来上がり！」とか
素人感丸出しのトンデモ発言連発
（群論だけで閉じとけば、こんな馬鹿発言で恥さらすことなかったｗ）
838:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/27 07:45:18 nLHDH0VU.net
>>724 追加
(引用開始)
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(引用終り)
これ読んだ。疑問氷解！
”Thus the only left ideals in R are 0 and R. Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.
Thus every element is left invertible. But then every element is invertible. Indeed, if βx=1 then there exist α∈R such that αβ=1 and thus
1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □”
なるほど、
”every element is left invertible. Indeed, if βx=1 ”を言って
↓
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
と繋がるんだね
βx=1とか、αβ=1とかを取ってくるのが、証明のキモだ
あと、”Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.”もうまい。
これ、>>481 の” 0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。”に類似している
>>481でも、ここから”したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）”を導いたんだ
（上記、”let x∈R. Then Rx=R” と、”0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える”とが、類似）
チャート式風でいえば、”0でない元を取る”ですね
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
も、頻出テクっぽいな
839:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:49:40.74 NVBIr97s.net
>>736 追加
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
この前半の証明も良いね～
”Recall that if R is a (nontrivial) ring and M is a R-module, then (nonempty) subset S⊆M is called linearly independent if for any m1,…,mn∈M
and any r1,?,rn∈R the equality
r1・m1+…+rn・mn=0
implies that r1=…=rn=0. If S⊆M is a linearly independent subset of generators of M, then S is called a basis of M.
Of course not every module has a basis (it even doesn’t have to have linearly independent subsets).
R-module is called free, if it has basis.
In particular if R is a field, then it is well known that every R-module is free.
What about the converse?
Proposition. Let R be a unital ring. Then R is a division ring if and only if every left R-module is free.
つづく
840:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:50:05.99 NVBIr97s.net
>>737
つづき
Proof. ,,⇒” First assume that R is a divison ring.
Then obviously R has only two (left) ideals, namely 0 and R
(because every nontrivial ideal contains invertible element and thus it contains 1, so it contains every element of R).
Let M be a R-module and m∈M such that m≠0.
Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M??P is linearly independent}.
Therefore we pro
841:ved that Λ≠Φ. Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded. Thus we may apply Zorn’s lemma. Let P0∈Λ be a maximal element in Λ. We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M). Assume that m∈M is such that m not∈P0. Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal) and thus there exist m1,?,mn∈M and λ,λ1,?,λn∈R such that λ≠0 and λ・m+λ1・m1+?λn・mn=0. Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring) and therefore m=(?λ?1λ1)・m1+?+(?λ?1λn)・mn. Thus P0 generates M, so every R-module is free. This completes this implication.” (引用終り) なるほどね この証明は、味わい深いですね～ つづく
842:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:51:07.08 NVBIr97s.net
つづき
”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ、下記の
「しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。」
と符合しているのだが、自己準同型環 End(M)で、Endomorphism（準同型）という用語（>>685ご参照）だが
上記では、”homomorphism”なのです。群論などだと、”homomorphism”が多い気がする
R-加群では、End(M)が多いのかな（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環上の加群
(抜粋)
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
つづく
843:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:51:26.06 NVBIr97s.net
>>739
つづき
動機
環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
厳密な定義
厳密な定義
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用
844: R × M → M の組であって、その作用（通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す）は、r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、条件 略 を満足するものでなければならない（最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを 1R で表している。環が単位的であることを仮定しない文脈では、R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する）。 しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。すなわち、環上の加群とは環作用を持つアーベル群のことである（群作用あるいは作用も参照）。この意味では、環上の加群の理論は群の（あるいは同じことだが群環の）ベクトル空間における作用を扱う群の表現論（線型表現論）の一般化である。 (引用終り) 以上
845:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:59:26.30 NVBIr97s.net
>>739 補足
”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ
Then we have endomorphism(自己準同型) of R-modules f:M→M such that f(r)=r・m.
の方が、wikipedia 環上の加群の記述と合いますかね
こちらが、正解かな？
ker(f)の議論とも合いそうだ
846:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 13:53:44.17 NVBIr97s.net
>>738 補足
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking 2013-03-22
(抜粋)
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M｜P is linearly independent}.
Therefore we proved that Λ≠Φ.
Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded.
Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal)
and thus there exist m1,・・・,mn∈M and λ,λ1,・・・,λn∈R such that λ≠0
and λ・m+λ1・m1+・・・λn・mn=0.
Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)
-and therefore m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.
Thus P0 generates M, so every R-module is free.
(引用終り)
”Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).”
これも、常用の筋ですね。
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
から、Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)（ここで逆元を使っている）
より、m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.とするのも鮮やかです。見事です
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ツォルンの補題
(抜粋)
命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ
ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である
線型代数においては基底の存在を、
代数学においては全てのゼロでない環は極大イデアルを持ち、任意の体における代数的閉包の存在をそれぞれ証明する際に使われる
847:１３２人目の素数さん
20/08/27 14:56:34.58 s3GY++rV.net
ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。
848:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 16:48:17.24 NVBIr97s.net
>>742 補足
”[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明”：下記、>>742の証明とほぼ同じ筋です
URLﾘﾝｸ(math-note.xyz)
あーるえぬ｜数学のあれこれ
[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明 2020/3/15
(抜粋)
Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．
例えば，この記事で扱う
ベクトル空間における基底
Hamel基底
の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．
なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．
目次
1 Zornの補題
2 基底の存在の証明
2.1 ベクトル空間の基底とその存在証明
2.2 Hamel基底とその存在証明
3 参考文献
ベクトル空間の基底とその存在証明
[証明]
Fを体，Vを{0}でないF上のベクトル空間とする．このVが基底をも�
849:ﾂことを示す． 次をみたすVの部分集合Bの族をΒとする：任意の有限個のb1,...,bn∈Bに対して，b1,...,bnは線型独立である． Step.1 Bが包含に関して極大元をもつことを示す． 集合族は包含関係に関して順序集合となることは，上の命題で示した．また，Vは{0}ではないから，v∈V＼{0}が存在する． このとき，集合{v}からとれる有限個の元はvのみであり，vは線型独立だから，Βは空でない． よって，あとはΒが帰納的であることを示せば，[Zornの補題]によりΒは包含に関して極大元をもつことが分かる． Step.2 Βの包含に関する極大元がVの基底となることを背理法により示す．すなわち，Βの包含に関する任意の極大元をBとし，Bの有限個の元の線形結合で表せないv∈Vが存在するとして矛盾を導く． Hamel基底とその存在証明 Hamel基底は体Q上のベクトル空間Rの基底ということができる． なお，これを体論の言葉で書けば，R=Q(Β)ということになる． [Zornの補題]を用いることによって，Hamel基底の存在が証明できるのである． 先に見た「ベクトル空間の基底の存在の証明」で, と見ることにより，同様に議論を進めることができる． (引用終り) 以上
850:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:13:02.11 NVBIr97s.net
>>743
>ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
>ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換ね、懐かしいな
機械工学で、これ好きな人がいたな。昔、航空工学の理論だった。二次元の。いま、FEMとか数値計算で三次元ばりばりやれるから主流じゃないと思うけど
”逆変換”が、いまいち分からない。でも、下記などを参照して、自分で調べてみて
”複素数関数の等角写像”が、重要キーワードです。”ド・モアブルの定理”は、ちょっと違うと思う
（参考）
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
北数教 第 87 回数学教育実践研究会 平成25 年11月30日
メビウス変換とジューコフスキー変換
複素変換を視覚化する 松本睦郎（札幌北高等学校）
(抜粋)
ジューコフスキー（1847～1921）は、ロシアの航空技術者である。1910 年「航空機の翼の翼型の外
形線について」の論文の中で複素数関数の等角写像を利用した翼の揚力についての理論「クッタ・ジュ
ーコフスキー定理」を発表した。コンピュターもない時代に、どのような発想でこの理論を発見したのか、不思議に思える。
複素数平面で定義される代表的なメビウス変換とジューコフスキー変換を Mathematica で見てみよう。
URLﾘﾝｸ(monoist.atmarkit.co.jp)
ジューコフスキー翼を作図してみる (2/4)
2016年02月05日
[伊藤孝宏，MONOist]
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
(抜粋)
１．翼理論の芽生え
大空へ飛翔することは人類の最大の夢でした。その実現には翼の持つ性質の理解が必須です。ここでは流体中を移動する翼が生み出す揚力のメカニズムを説明します。
URLﾘﾝｸ(hb3.seikyou.ne.jp)
流体力学講話・つまみ食い（その５）
KENZOU
2008年 8 月 9 日
(抜粋)
5 回目は，任意の形状の物体が流体から受ける圧力やモーメントを求めるブラジウスの公式から揚力に関
するクッタ・ジューコフスキー定理，それから�
851:刳p写像とその活用などを学びます。それでははじめます。 8 ジューコフスキー変換
852:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:19:27.71 NVBIr97s.net
>>692
">>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。"
追加
参考：「無限次元と有限次元、ハメル基底と正規直交基底とフーリエ級数論」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
(抜粋)
線型代数学における基底（basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である[1]。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。
ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。
定義
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が既に述べた意味で線型独立性を持つ。
つづく
853:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:20:37.12 NVBIr97s.net
>>746
つづき
各 x ∈ V に対して、適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F とベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで x = a1v1 + … + anvn と表すことができる（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。
これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。
無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。
（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（
854:つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。 先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ||x|| = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。 つづく
855:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:21:01.36 NVBIr97s.net
>>747
つづき
例
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …}
・・を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。
しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。
この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ[2]）。
この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
(引用終り)
以上
856:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:45:33.08 NVBIr97s.net
>>747 補足
>（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
ハメル基底： R の Q-基底
これを使って説明すると、ハメル基底で、 Rは Q-基底の戦型空間として表すことができる
理論的にはね。でも、あんまり嬉しくない
ハメル基底を使って、具体的に何か言えるかというと、言えること殆どない
と同様に、関数空間のハメル基底の存在は言えても、”それ使えない”ってこと
で、フーリエ変換の基底の方が、役に立つってことです
ヒルベルト空間などもその例ですね
（参考）
URLﾘﾝｸ(trace.tennessee.edu)
University of Tennessee, Knoxville
A Note on Hamel Bases Masters Theses 12-2008
Jeremy S. Higdon
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間
(抜粋)
ヒルベルト空間
抽象ヒルベルト空間においてどのような基本ベクトル族が、ヒルベルト空間 H を位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する（あるいは単に生成する）とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包（即ち、有限線型結合およびその極限）が、全体空間に一致することである。 そのような函数の集合は H の基底（あるいはヒルベルト基底）と呼ばれ、基底の濃度はヒルベルト空間 H の次元と呼ばれる[nb 12]。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、シュミットの直交化法を用いて互いに直交するベクトルの族からなる基底が得られることも意味している[64]。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。
様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。
注釈
12^ ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。
857:１３２人目の素数さん
20/08/27 17:52:42.96 s3GY++rV.net
>>745
レスありがとうございます。
「ジューコフスキー翼を作図してみる」と
「流体力学講話・つまみ食い（その５）」については
ジューコフスキー変換のみの説明みたいですね。
「メビウス変換とジューコフスキー変換」については
複素数の関係を示す逆変換の式は載ってますが、
実部と虚部の成分を求める式が載っていないません。
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」については
結果がどうやら僕と同じようなので、
おそらくド・モアブルの定理をあてはめて解いた式じゃないかと思います。
漠然とした質問で対応しにくかったですね。
858:明日にでも質問内容をもう少し詳しく説明したyoutube動画でもアップして、 僕の計算ミスの可能性とかもあるかもしれないので、 許可したGoogleアカウントが閲覧できるGoogleスプレッドシートでも作っててみて、 再度質問してみようと思います。
859:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:20:56.04 4tb7ymDo.net
>>736
>これ読んだ。疑問氷解！
しかし鉄は融かせなかった、と
---
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）
証明（和訳つき）
Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。
In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。
thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。
This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。
Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。
Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。
If I is proper, then we have a decomposition of a R-module
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。
R≃I⊕I',
but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。
Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。
Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---
君、ここを全部すっとぱしたね。
違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で
自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ
を証明してごらん。
860:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:33:20.02 4tb7ymDo.net
>>743
>ジューコフスキー変換の逆変換
ジューコフスキー変換って以下だろ？
w=z+1/z
両辺にzを書ける
wz=z^2+1
右辺に移項する
0=z^2-wz+1
解の公式を使う
z=(w±√（w^2-4))/2
これで終わりだろ
>ド・モアブルの定理で計算できないか
ド・モアブル？ああ、複素数の２乗と√の計算のことか
どういう計算やってるんだ？どうせミスってるんだろ
真面目にチェックしないとミスは見つからないぞ
861:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:38:17.11 4tb7ymDo.net
>>750
まず計算式書け
確実に計算ミスだから
862:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:40:48.72 s3GY++rV.net
>>752
ド・モアブルの定理は公式だけ見つけて使えそうかなと思って計算してみたけど
前提条件とかちゃんを理解してるわけじゃないかな。
明日もうちょっと確認可能な物をネット上にアップしてみるよ。
確かに、疲れてるとか自分で正しいと思い込んでしまってて
間違いに気づかないとかはたまにあるからね。
明日アップする資料作りながら気づくとかもあるかもしれないし。
863:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:47:24.17 s3GY++rV.net
>>753
5ちゃんねるでローカルにある画像を貼り付けることができるなら簡単にできるけど、
数式入力ができないテキスト表示だと結局そこで間違うかもしれんし。
もし5ちゃんねるでローカルにある画像を貼り付ける方法があるなら、それ教えて。
864:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:49:11 4tb7ymDo.net
>>754
別に責めてないよ ミスは誰にもある
大�
865:魔ﾈのは自分でミスを見つけられるようになること 難しい話ではないから分かればどうってことない筈
866:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:51:25 4tb7ymDo.net
>>755
画像に頼るなって 全部文字で書ける
そうでなければExcelで計算できるわけないだろ
867:１３２人目の素数さん
20/08/27 19:58:31 4tb7ymDo.net
＞z=(w±√（w^2-4))/2
ここまで分かればもう計算可能だな
まあ大阪大はもとより大阪工業大学すら受からん学歴詐称野郎の
◆yH25M02vWFhPには絶対無理だろうがな（煽りまくり）
868:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:02:24 s3GY++rV.net
>>757
テキスト表示するためFORTRANやBASICの記述で書いて
そこで、間違ってしまったら意味がないのでもう少しきちんとした資料を作ってみます。
僕がやったやり方はそれほど難解というわけではありませんが、
複素平面を逆変換するので >>752 に書かれてるような簡単な式ではありません。
869:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:05:46 s3GY++rV.net
複素平面 → 複素平面の実部と虚部の値
870:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:24:35.38 4tb7ymDo.net
>>759
まず、EXCELでやってごらんよ
871:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:31:26.54 s3GY++rV.net
>>761
まずエクセルでやった結果です。
セル参照を含んだ式では、ここに書いてもかちんぷんかんプンになりそうだし。
FORTRANやVBやCで組んだプログラムならコピペするだけで済むんですが、
エクセルで失敗してるものをプログラムする気にはなれません。
明日辺りGoogleスプレッドシートに移植しようかなと思ってます。
それなら10～20分の作業でネットにアップできそうだし。
872:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:39:58.81 4tb7ymDo.net
√(a+bi)の計算の仕方
a+bi＝r((a/r)+(b/r)i) (r=√(a^2+b^2))
√(a+bi)=√r(√((r+a)/2r)+√((r-a)/2r)i (半角公式を使う)
873:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:44:26.99 4tb7ymDo.net
>>762
EXCELでやるなら、セルに一気に最終計算の式を入れる馬鹿な真似は絶対するなよ
デバッグできないだろ？デバッグ第一で考えるんなら、ステップ毎に計算すること
各ステップについて検算してミスがないことを確かめられるようにしないと
バグは見つけられないから そんなの基本中の基本だけどな
874:１３２人目の素数さん
20/08/27 20:57:40.86 s3GY++rV.net
>>763
半角公式はド・モアブルの定理の一部だったはすだと思うので、
同じ結果になるんじゃないかと思いますが、
式に三角関数が入ってないのはよく覚えがないですね。
まあ、明日にでも資料作りながらそこに書かれてる式も試してみます。
875:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:06:09.44 s3GY++rV.net
>>764
エクセルでするにしろプログラムを組むことを前提に、解法に従って代入していきます。
>>745 の「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式を試す時は、
一つのセルにその式をそのまま記入しましたが。
2次元の弾性問題を解く有限要素法プログラムを組む前に
一桁程度の要素数の問題をエクセルで解いてプログラムを検証したこともあるので、
余り初心者に向けるような気づかいは無用だと思います。
876:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:11:54.66 4tb7ymDo.net
>>765
複素数の平方根の計算でド・モアブルを使うんなら
一旦、逆三角関数で角度を出して
それを半分にして三角関数で戻すんだろ？
でもそんなまだるっこしいことしなくても、
実数の平方根だけで求まるというのが半角公式
877:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:15:07.30 4tb7ymDo.net
>>766
まず自分が初心者だと自覚したほうがいいんじゃね？
自惚れは自分を殺すよ
878:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 21:16:33.16 nLHDH0VU.net
>>765
どうも
>半角公式はド・モアブルの定理の一部だったはすだと思うので、
ド・モアブルの定理って、下記？ 外してるよ、それ
複素関数論は、分からない？ 等角写像が、キーワード�
879:ｾよ その感じだと、下記の”ＦＮの高校物理(分野別目次) 二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）”をまず読んでみて ゆとり前の高校卒以上なら読めるでしょ 大学レベルだと、その後の中央大学とか工学院大学とかの該当部分な https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ド・モアブルの定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB アブラーム・ド・モアブル (抜粋) アブラーム・ド・モアブル（Abraham de Moivre, 1667年5月26日 - 1754年11月27日）はフランスの数学者である。 https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula De Moivre's formula https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=De_Moivre_formula De Moivre formula Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] The formula was found by A. de Moivre (1707), its modern notation was suggested by L. Euler (1748). つづく
880:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 21:17:16.55 nLHDH0VU.net
>>769
つづき
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
ＦＮの高校物理(分野別目次)
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
ＨＯＭＥ １．芽生え ２．循環 ３．円柱周りの流れ ４．Kutta-Zhukovskijの定理 ５．等角写像 ６．流れの写像 ７．二次元翼理論（１）Zhukovskijの仮定（２）平板翼（３）円弧翼（４）Zhukovskij翼（５）厚翼（６）データ ８．文献
URLﾘﾝｸ(www.phys.chuo-u.ac.jp)
中央大学 理工学研究科 物理学専攻 中野研究室
２０１１年度流体物理学講義ノート
1. 質量、運動量、エネルギーの保存則
2. 速度場の空間変化
3. 渦度場
4. ３次元ポテンシャル流れ
5. ２次元渦なし流
6. 等角写像
7. ２次元の渦運動
8. ナヴィエ＝ストークス方程式
URLﾘﾝｸ(www.phys.chuo-u.ac.jp)(2011).pdf
２０１１年度流体物理学講義ノート 中野研究室 中央大
6 等角写像
6.1 ２次元での座標変換
6.2 ジューコフスキー変換
URLﾘﾝｸ(fluid.mech.kogakuin.ac.jp)
「流れ学III」講義ノート
流れ学IIIを担当している飯田雅宣先生の講義ノートをPDF形式で配布いたします。工学院大学
URLﾘﾝｸ(fluid.mech.kogakuin.ac.jp)
2006年度版 Dwonload(4,972,544バイト) 飯田雅宣先生 工学院大学
(引用終り)
以上
881:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:26:20.83 s3GY++rV.net
>>769 >>770
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式は
同じ結果になることを既に確認済みです。
何らかの間違いをしてたなら、明日辺り資料作りしてる時に気付くかもしれませんが。
882:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:28:57.13 4tb7ymDo.net
>>769
＞ド・モアブルの定理って、下記？ 外してるよ、それ
なんだこの馬鹿、複素数もわかってねぇのか（ｗ
√(cosΘ+sinΘi)＝(cos(Θ/2)+sin(Θ/2)i) ってことだろが（ｗ
ここで、愚直なやり方は
・まず逆三角関数で角度Θを求める
・２で割る
・角度Θ/2で三角関数を適用して戻す
しかし、そんなことしなくても半角公式で
cos(Θ/2)=√((1+cosΘ)/2)
sin(Θ/2)=√((1-cosΘ)/2)
で計算できちゃう
883:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:29:23.06 s3GY++rV.net
>>768
初心者が有限要素法をエクセルで計算できるとでも？
まあ、逆関数を求めるときはさすがにマクロVBA使ったと思うけど。
884:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:29:50.99 s3GY++rV.net
逆関数 → 逆行列
885:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:33:39.38 s3GY++rV.net
>>772
そこまで簡単だと言い張るなら、
2つの複素平面の実部と虚部の関係式を示して見せてよ。
下品な言
886:葉で相手を誹謗するならそのくらいは示して。 その言葉、結局自分に返ってきてるよ。
887:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:34:14.08 4tb7ymDo.net
>>773
君は、数学（複素数！）の初心者、もしくは、プログラミングの初心者、だといっている
まず、複素数の基本的計算（おそらく平方根）をミスってる可能性大
そして、そのミスを自分で見つけるデバッグ能力がない
これ、熟練者なら絶対あり得ないことだから
888:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:36:15.82 s3GY++rV.net
曖昧なことをグダグダ言って、結局何もまともに説明できない
邪馬台国畿内説者と同等レベルのやつだったか。
889:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:37:53.45 4tb7ymDo.net
>>775
＞2つの複素平面の実部と虚部の関係式を示して見せてよ。
え？
z=(w±√（w^2-4))/2 まで分かってて関係式が求められないの？
大学どこよ？
平行根の式は示してやったぞ
あとは四則演算だから馬鹿でも計算できるだろ？
甘ったれんなよ
890:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:38:48.47 s3GY++rV.net
>>776
>>775 読め。
今後、高卒未満レベルと思われるレスは無視するから。
891:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:40:12.79 4tb7ymDo.net
>>777
＞曖昧なことをグダグダ言って
おまえ、ほんとどこの大学よ？複素数知らないのかよ？
もっとも明確に平方根の式を示してやったのに計算すらできねぇのかよ？
892:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:42:12.02 4tb7ymDo.net
>>779
複素数の平方根の計算式すら自分で求められないとか、貴様、白痴かよ（嘲
893:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:42:22.20 s3GY++rV.net
結局、複素数をちゃんと理解できてないやつだったか。
恥ずかしげもなく書き続けられるな。
このスレ、僕以外は理系の高卒未満レベルしか読んでないと思ってるんだろうな。
894:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:46:32.30 4tb7ymDo.net
>>782
＞結局、複素数をちゃんと理解できてないやつだったか。
それ、貴様自身だろ
＞このスレ、僕以外は理系の高卒未満レベルしか読んでないと思ってるんだろうな。
少なくとも、貴様が高校生レベルの複素数を理解してるとは思えん
もし、理解してるなら自分でバグが見つけられる筈
895:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:48:08.40 s3GY++rV.net
>>775 を読め。
896:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:50:05.45 4tb7ymDo.net
>>784
なに駄々こねてんだ？おまえ大学出てねぇの？
897:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:55:45 s3GY++rV.net
ジューコフスキー変換はz=ζ+a**2/ζだからジューコフスキー翼すぐに書けるよねって言ってるレベルだよな。
複素平面を理解できてる奴なら >>743 読んだ時点でそんな話じゃないことすぐわかるはずだからな。
898:１３２人目の素数さん
20/08/27 21:58:25 4tb7ymDo.net
>>769
＞複素関数論は、分からない？ 等角写像が、キーワードだよ
全然見当違いだな
単に角度が「対数」であるという程度の話
しかしｎ乗根を求めるんならともかく、
平方根程度ならそこまで大袈裟に考える必要もない
899:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:04:59.50 4tb7ymDo.net
>>786
>>743読んだ時点で、
「ああ、複素数の平方根求めるのに苦悶してるな」
と即座に分かったよ
でも、その程度のこと、他人から教わったら感動がないじゃん
自分で見つけないと、身につかないよ 高校レベルのことだし
ま、工業高校卒とかで、とにかくバカチョンで使える方法を教えて、と
土下座して頼まれたら、教えてあげるけどさ
900:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:07:53.90 s3GY++rV.net
>>788
もう一回だけ相手したるわ。
>>775 を読め。
901:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:09:06.95 4tb7ymDo.net
おれは>>763で複素数の平方根の求め方を教えてやったよ
いくらなんでも複素数の四則演算は知ってるよな？
だったらもう答えは求まるじゃん
あのさ、一から十まで他人から教わって楽しい？そんなのつまんないだろ？
902:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:10:44.36 s3GY++rV.net
結局逃げ回るんやな。
曖昧なことをグダグダ言って、結局何もまともに説明できない
邪馬台国畿内説者と同等レベル。
903:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:12:47.43 4tb7ymDo.net
>>789
悪いけど、バカチョンの答えは教えないよ
だいたいさあ、>>763はもう核心じゃん
これが分ればもうあとは考えることないじゃん
どこまで甘ったれてんのよ
904:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:14:49.42 s3GY++rV.net
僕が書いてる情報からいろいろ調べて多少自分で理解したつもりなんだろうけど、
結局複素平面をちゃんと理解できてないことは、>>743 を読んで、
それに対して書いたことから判明済み。
905:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:15:42.24 4tb7ymDo.net
>>791
マジで複素数の計算できないの？（呆）
>>763なんて全然曖昧なことないじゃん
計算して確かめられるだろ？間違ってたら教えてくれ
邪馬台国とかどうでもええよ オレの男系祖先、縄文人だし
906:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:19:48.34 4tb7ymDo.net
>>793
いや、理解してないのは君
ジューコフスキー変換の式から逆変換の式求めるのなんか簡単だし
それを実二変数の式に変換するのだって全然難しくない
しかもあんたが苦悶した複素数の平方根の計算法を
まったく曖昧さなしに>>763で書ききってみせてやったんだぜ
有難く思えよ 別に礼も金も要らねえ こんなクソ仕事ｗ
907:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:23:44.32 s3GY++rV.net
うざ。
ド・モアブルの定理さえわかってたら、
半角の公式も倍角の公式も覚えたり、調べたりする必要ないだけやのに、
こんな数学わかってないような奴が、えらそうなこと言いまくってて恥ずかしないんやな。
僕以外のスレの読者が理系高卒未満と割り切ってるか、
理系高卒レベルに達してないか、
それとも僕以外にスレの読者がないと思ってるかのどれかやな。
908:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:26:17.03 s3GY++rV.net
テイラー展開とかも高校数学でその一部が紹介されてるけど、
テイラー展開なんて必要ないんだよとか言いそう。
労力は一緒なのに。
１つにまとまってるか、いくつもの公式を使うかの違い。
909:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:29:46.95 4tb7ymDo.net
>>796
＞ド・モアブルの定理さえわかってたら
おまえ、ド・モアブル好きだなｗ
平方根だけで済むんなら三角関数とか逆三角関数とか使わないほうがいいだろｗ
どうでもええけど、お前高卒？
910:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:31:39.01 s3GY++rV.net
複雑さが変わらないのがまだわかってないんだろうな。
911:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:34:45.27 4tb7ymDo.net
>>797 >>799
なんか妄想の世界に浸ってるみたいだな
高卒の馬鹿の妄想は理解不能ｗ
912:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:49:24.79 s3GY++rV.net
こいつ自分で書いててほんまにわかってないんやな。
√(cosΘ+sinΘi)＝(cos(Θ/2)+sin(Θ/2)i)
Θ=tan-1 (sinΘ/cosΘ)
ほれ、これで満足か？どこ計算違いしてるんや？
913:１３２人目の素数さん
20/08/27 22:50:39.87 s3GY++rV.net
Θ=tan-1 (sinΘ/cosΘ) → Θ=arctan (sinΘ/cosΘ)
914:粋蕎
20/08/27 23:01:50.76 whEq6FB9.net
解だけ求めるユトリは素っ込んでろ｡
テメェでテメェの組んだ計算アルゴリズムの検証補正も怠けといてデケェ口を叩くな横着野郎｡
やった事あります出来ます言っといて、いざ出来なかった分際でデバッグ怠けて遣り方を教えろとか､
肩書き能書きだけ立派で天狗調子の癖して使えねぇ奴。小僧天狗って奴だ｡
真摯に自分のヘマを気にしてチマチマやり直す、なんて気は更々無い自滅人間｡
ヘマしても取り返せる人間はヘマを真摯に気にしてやり直すが、お前は丸で逆｡
何でそんな答え摘まみ食い無成長野郎のおねだりを俺等が聞いてやらなくちゃいけないんだ？
奉仕してくれる目上にだけ媚びを売る様なテメェみたいな奴、変わる気がねぇならもう成長以前に脳の性能を決める
お前の根性そのものがもう治る見込み無いわ。良かったな、人権社会で。誰かの手を焼いていきりゃ何でもいいんだろ？
915:１３２人目の素数さん
20/08/27 23:03:07.58 4tb7ymDo.net
>>801
(C+Si)=(c+si)^2=(c^2-s^2)+(2cs)i
C=c^2-s^2=1-2s^2
S=2cs
s=√((1-C)/2)
c=√(1-s^2)=√(1-(1-C)/2)=√((1+C)/2)
実は半角公式は、複素数の計算が分かってたら角度抜きで求まる
あああ、あほくさｗ
916:１３２人目の素数さん
20/08/27 23:07:40 s3GY++rV.net
エクセルで計算するのに関数ATAN使うなって、
すべての下品な誹謗がそのまま自分に返ってんな。
もはや、エクセルを使ったことがないやつしかこいつの味方はないな。
917:１３２人目の素数さん
20/08/27 23:10:36 4tb7ymDo.net
ｴﾓだけでなく蕎麦にも惚れられるオレ
分かる奴には分かるんだなあ（自画自賛ｗ）
918:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/08/27 23:12:19 whEq6FB9.net
>>801-802
怠惰脳の退化壊死の手助けしたか。やさしいねぇ、易しく冷たいねぇ｡
まぁ誰もこんな我儘勝手恩知らずに厳しく優しく相手なんかしてやったりなんかしないか｡
919:１３２人目の素数さん
20/08/27 23:13:59 4tb7ymDo.net
実数の平方根求めるのにLN使ってもいいけど、使わなくてもできるｗ
複素数の平方根求めるのにATAN使ってもいいけど、使わなくてもできるｗ
920:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 23:51:14.75 nLHDH0VU.net
>>739
>R-加群では、End(M)が多いのかな（＾＾
雪江明彦 代数学3の7.5節 P348,349では
End R(R)や、End R(D^n)のような記号が使われているね
921:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 23:53:29.12 nLHDH0VU.net
>>771
>「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」にある式は
>同じ結果になることを既に確認済みです。
>何らかの間違いをしてたなら、明日辺り資料作りしてる時に気付くかもしれませんが。
了解
頑張って下さい
健闘を祈る
922:現代数学の系譜 雑談
20/08/28 00:10:13.40 5cMWCMf+.net
>>766
>2次元の弾性問題を解く有限要素法プログラムを組む前に
>一桁程度の要素数の問題をエクセルで解いてプログラムを検証したこともあるので、
>余り初心者に向けるような気づかいは無用だと思います。
なるほど
じゃあ
下記は、マイクロソフト社のVisual Basic 2010 Express (無料)を使って計算して
良かったとあるよ
参考になると思うので、ちらっと見てみたらどう？
URLﾘﾝｸ(jaxa.repo.nii.ac.jp)
1.53MB - 宇宙航空研究開発機構リポジトリ
ポテンシャル流れの計算法
-パネル法と等角写像法との比較-重見仁 著 - ?2013
電卓すらない時代に等角写像法を用いて，. 翼型まわりの流れを計算した先達たちの苦労が実感としてわかった．今井がかなりの紙幅を割いて説明している. 薄翼理論による近似は，そのような背景の下で重用されたのではないか，と推測される ...
923:１３２人目の素数さん
20/08/28 08:45:12 RYgrpQMx.net
>>751
これでセタは完全に死んだな
ーーー
>>736
>これ読んだ。疑問氷解！
しかし鉄は融かせなかった、と
---
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
「全ての左R加群が自由ならば、Rは可除環」
（,,⇐” 以降の箇所）
証明（和訳つき）
Assume now that every left R-module is free.
今、全ての左R加群が自由だと仮定せよ。
In particular every left R-module is projective,
特に、全ての左加群は射影的である。
thus R is semisimple and therefore R is Noetherian.
したがって、Rは半単純であり、ネーター環である。
This implies that R has invariant basis number.
このことから、Rは不変基底数を持つ。
Let I⊆R be a nontrivial left ideal.
Rの部分集合Iを自明でない左イデアルとする。
Thus I is a R-module, so it is free and since all modules are projective (because they are free), then I is direct summand of R.
したがって、IはR加群であり、自由であり、射影的であるからIはRの直和である。
If I is proper, then we have a decomposition of a R-module
もし、Iが真のイデアル（=Rと｛0｝以外のイデアル）ならば、以下のR加群の直和分割を持つ。
R≃I⊕I',
but rank of R is 1 and rank of I⊕I' is at least 2.
しかし、Rのランクは１で、I⊕I'のランクは少なくとも２である。
Contradiction,because R has invariant basis number.
矛盾、なぜならRが不変基底数をもつから。
Thus the only left ideals in R are 0 and R.
したがって、Rの左イデアルは、0とRしかない。
---
君、ここを全部すっとぱしたね。
違うというなら、
「射影的」「半単純」「ネーター環」「不変基底数（IBN)」
の定義を正確に書き切った上で
自由加群⇒射影的
射影的⇒半単純＆ネーター環
半単純環、ネーター環⇒不変基底数（IBN)を持つ
を証明してごらん。
924:１３２人目の素数さん
20/08/28 08:52:03.52 RYgrpQMx.net
>>739
セタは準同型と自己準同型も区別できんらしい
そりゃ数学が全く理解できんわけだ
数学以前に国語がダメとは日本人失格だな
925:１３２人目の素数さん
20/08/28 08:57:55.54 RYgrpQMx.net
セタには理解できない事柄
線形空間R^nの自己準同型環End(R^n)は、行列環M_n(R)
926:１３２人目の素数さん
20/08/28 08:59:19.53 RYgrpQMx.net
セタには理解できない事柄
線形空間R^nの自己同型群Aut(R^n)は、一般線形群GL_n(R)
927:１３２人目の素数さん
20/08/28 12:40:01.43 DRZUtYPJ.net
>>808
>>754 でも書いた通り、自信はないが、こ�
928:ﾁちは原因に薄々気づいてる。 僕が思ってる通りなら、「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」も おそらく同じ間違いをしてる。で、お前もな。 >>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが、 複素数の関係式だけ示したり、 >>801 に書いた程度のシンプルな式を複雑にこねくり回したりでしたり顔かよ。 複素平面について簡単に説明してるWEB見つけたからURL貼っとくよ。 高校教科書パラパラめくってみたけど、 たぶん文系高卒でも理解するのに1時間かからんだろう。 後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。 これで、お前の味方は （文系高卒未満∪文系高卒以上だが数学赤点ギリギリ）∩エクセル使えないやつ だけやな。 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/fukusosuu/fukusoheimen.html こっちは暇人じゃないんだから、昨晩お前に付き合ったおかげで、 質問の説明資料ネットにアップするのは明日以後になりそうかな。 >>803 レスがもし僕に宛てたものなら答えとくけど、 逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。 僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
929:１３２人目の素数さん
20/08/28 12:47:30.25 DRZUtYPJ.net
そうそう。
ド・モアブルの定理なら、僕が通った大学のテキストの複素平面の章の2ページ目で説明されてたよ。
適用できるのなら、複素平面を扱う問題では使うのが当たり前でしょって言ってるようなもんかな。
今回は適用範囲外だったようだが。
930:現代数学の系譜 雑談
20/08/28 15:20:00.46 GoijW/XC.net
>>816-817
ド・モアブルの上位互換が、下記のオイラーの公式です
”ド・モアブル”は、今後言わない方が良いと思う
コウモリに噛みつかれるだけだから（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの公式
(抜粋)
複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）とは、複素指数函数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである：
e^iΘ =cos Θ +isin Θ
ここで e・[注 1]は指数関数、i は虚数単位、cos ・, sin ・ はそれぞれ余弦関数、正弦関数（三角関数）である。この等式は、任意の複素数 θ に対して成り立つが、特に θ が実数である場合がよく使われる。θ が実数のとき、e^iθ は、絶対値 1, 偏角 θ（単位はラジアン）の複素数に等しい。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
log (cos x+isin x)=ix
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。
指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。
物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re^iθ に等しい。また、特に、θ = π のとき、
e^iπ +1=0
が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の双曲線関数による表示を導く：
cos Θ =cosh iΘ
sin Θ =1/i sinh iΘ
応用上では、オイラーの公式により三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。
931:１３２人目の素数さん
20/08/28 16:02:51.61 RYgrpQMx.net
>>816
＞こっちは原因に薄々気づいてる。
角度の計算と、どの半角をとるかの問題だろ？
そもそもジューコフスキー変換の式を見れば２対１の写像だと分かる
（円の内側と外側の点が、同じ点に写像される）
だから「逆写像」をとるとき、１対２になるので、うまくつながないとおかしくなる
そのこともちゃんと
「二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）」のHPの
（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数
のところに書いてある
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面［上右図参照］を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」
932:１３２人目の素数さん
20/08/28 16:04:54.60 RYgrpQMx.net
>>818
トーカクシャゾーも今後一切言わない方が良い
トンチンカンの極みだからな
933:１３２人目の素数さん
20/08/28 16:16:50.82 RYgrpQMx.net
>>816
＞後、写像の知識があったら僕が思ってる原因も察しがつくやろ。
（小声で）「写像の知識」あんなら漫然と式写したらあかんことくらい即座にわかるやろ
知恵が足りひんｗ
参考（愛が足りひん）
本物
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ニセモノｗ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
934:１３２人目の素数さん
20/08/28 16:27:11 RYgrpQMx.net
ああそうそう半角問題以前の話で
複素数x+yiの偏角を求めるとき
atan(y/x)を馬鹿チョンで使たらあかんよ
x+yiも、-x-yiも、同じ角度になるけど、実際はちゃうやん
まず、そこ気づかなあかんで
935:１３２人目の素数さん
20/08/28 16:45:02 RYgrpQMx.net
>>816
＞ >>743 の質問は複素平面を理解できる人にしか内容がわからないだろうが
↓ゴメン、この文章では何も伝わらんわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。」
オレならこう書くわ
「ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようとおもったんですが、
実はジューコフスキー変換は円の内側と外側の点を同じ点に移す２対１写像で
やりたいのは円の外側の点のみへの写像としているのですが、上手くいきません。
そもそも、それ以前にもおかしい点があるようです。
逆変換の中で、一か所複素数の平方根を求める箇所があるのですが、
そこは、複素数ｘ、ｙからarctan(y/x)で偏角Θを求めて、
cos(Θ/2)、sin(Θ/2)で戻しています。
何が間違ってるか？どうすれば意図する逆写像が構成できるか
アドバイスをお願いいたします。」
な、コニシもそう思うやろ（誰や？コニシってｗ）
URLﾘﾝｸ(www.dailymotion.com)
＊コニシは11:38~ 登場
936:１３２人目の素数さん
20/08/28 17:26:07.25 RYgrpQMx.net
＞逆変換ができてるらしい式だけは既に入手済み。
＞僕が欲しいのはその式を導出する方法を示した資料もしくはアドバイス。
予想
ジューコフスキー写像を
メビウス変換→２乗→メビウス逆変換
の形で表した上で、逆写像を
メビウス変換→平方根→メビウス逆変換
の形で構成する
分枝の問題は、平方根写像という簡単な形について対応すればいいので楽
他にもアイデアはあるが、今はここまでにしとく
937:現代数学の系譜 雑談
20/08/28 18:12:43.81 GoijW/XC.net
>>736
（参考）
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
Every R-module is free ? R is a division ring asked Oct 25 '11 Leo
(抜粋)
Answer 10 Oct 26 '11 Bruno Stonek
I will paraphrase Pete Clark's "Commutative algebra" notes (pp. 24-25), available here.
URLﾘﾝｸ(math.uga.edu)
COMMUTATIVE ALGEBRA PETE L. CLARK Date: March 9, 2015. University of Georgia USA
P31
Proposition 3.4. For a commutative ring R, TFAE:
(i) Every R-module is free.
(ii) R is a field.
Proof. As discussed above, (ii) =⇒ (i) is a fundamental theorem of linear algebra,so we need only concern ourselves with the converse.
But if R is not a field, then there exists a nonzero proper ideal I, and then R/I is a nontrivial R-module with 0 ?= I = ann(R/I), so by Exercise 3.16 R/I is not free.
Remark: If R is a not-necessarily-commutative ring such that every left R-module is free, then the above argument shows R has no nonzero proper twosided ideals, so is what is called a simple ring. But a noncommutative simple ring may still
admit a nonfree module. For instance, let k be a field and take R = M2(k), the 2 × 2 matrix ring over k. Then k ? k is a left R-module which is not free. However, suppose R is a ring with no proper nontrivial one-sided ideals.
Then R is a division ring ? i.e., every nonzero element of R is a unit ? and every R-module is free.
Note well the form of Proposition 3.4: we assume that R is a commutative ring for which R-modules satisfy some nice property, and we deduce a result on the structure of R. Such “inverse problems” have a broad appeal throughout mathematics
and provide one of the major motivations for studying modules above and beyond their linear algebraic origins. We will see other such characterizations later on.
URLﾘﾝｸ(ejje.weblio.jp)
TFAE 成句
1.(mathematics) Initialism of the following are equivalent.
938:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/28 21:13:38 5cMWCMf+.net
>>811
下記追加
なお、繰返すが、等角写像がキーワードだよ
URLﾘﾝｸ(staff.miyakyo-u.ac.jp)
Uryu Hitoshi 宮城教育大学
URLﾘﾝｸ(staff.miyakyo-u.ac.jp)
Mon, 19 Jan 2009 Uryu Hitoshi 宮城教育大学
現象の数理2008
URLﾘﾝｸ(staff.miyakyo-u.ac.jp)
939:xt.pdf 現象の数理2008 Uryu Hitoshi 宮城教育大学 複素関数論の応用 平成 20 年 11 月 14 日 本テキストでは、複素関数論の基礎を既知として、複素解析の具体的な応 用のいくつかを紹介する (計算機による実験を含む)。 (抜粋) P1 以上を考慮して奥村氏が作成したプログラムに若干手を加えたもの以下の complex.c である。本質的なルーチンには変更を加えていない。 /********************************** complex.c -- 複素数の四則と初等複素関数 ***********************************/ 1.3 演習（複素数と関数値） 前説の csisoku.c,function.c を実行させ、実際に複素数の値と複素関数の値 を求めてみよ。 プログラムの実行のさせ方 C プログラムが csisoku.c とする (function.c についても同様)。 * * * > gcc -lm function.c 2 複素数関数の可視化 複素数関数の値が計算できるようになったので、次に複素初等関数を可視 化することにより深く関数の行動を理解しよう。理論を復習し、C プログラ ムを作成実行しデータを計算し、gnuplot でグラフを描く。 P32 3.7.5 飛行機の翼 ジューコフスキー変換において a = b = 1 とすると 以下はジューコフスキー変換により gnuplot によるデータをはき出す C プ ログラムである。 問 プログラム joukowski.c において円の中心を α = a + ib を適当に変化させ てみて翼の形の変化を考察せよ。 研究 ジューコフスキー変換により飛行機の翼の外部と円の外部と対応がつく。 また最初の変換により円の外部は下半平面に対応がつく。下半平面における 一様流は簡単に表現出来る．これを２つの関数で変換すれば、飛行機の翼の 外の一様流の流れを知る事ができる。これを C 言語プログラムを作成する事 により，確認せよ．
940:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/28 21:15:00 5cMWCMf+.net
>>826 補足
エクセルじゃないが、gccのプログラムあるよ（＾＾
941:１３２人目の素数さん
20/08/28 21:37:54.65 RYgrpQMx.net
>>826 正則写像なら等角写像 したがって無意味
942:１３２人目の素数さん
20/08/29 05:12:26.01 9OkyXBRa.net
>>824
ジューコフスキー変換とメビウス変換て複素数の関係式から見ても全然別の写像で全く関係ないやろ。
4tb7ymDo同様、複素平面や写像を全く理解できてないやつのいい加減なアドバイスはいらん。
943:１３２人目の素数さん
20/08/29 05:17:06.47 9OkyXBRa.net
高校数学さえマスターしてれば少しの＋αで理解できるようなことやのに、
応用数学どころか高校数学さえきちんとマスターしてるのかさえ疑わしいような連中が
したり顔でレスしまくってるスレやな。
944:１３２人目の素数さん
20/08/29 05:31:34.82 9OkyXBRa.net
>>823
必要な数学知識がある人間で、ジューコフスキー変換やったことある人間やったら、
ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなことはいちいち書かん。
何もわかってないど素人のアドバイスも欲しいとは思ってない。
945:１３２人目の素数さん
20/08/29 05:35:14.88 9OkyXBRa.net
>>822
>>816 に貼ってるリンク先の説明読んどけ。
946:１３２人目の素数さん
20/08/29 05:45:39.28 9OkyXBRa.net
おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
結局、>>745 のおかげで計算ミスの可能性が低いことが分かっただけで、
それ以外は高校数学さえ理解してんのかどうか怪しいようなど素人の戯言ばかりかよ。
947:１３２人目の素数さん
20/08/29 06:13:08 9OkyXBRa.net
5ちゃんねるってある意味今の日本社会を表してそうやな。
近年、英語で外国人と話すより
日本語で日本人と話す方がコミュニケーションが難しいと感じることがめちゃくちゃ増えたもんな。
全然話がかみ合わん。
大学で下宿し始めたころ、「あなただけに当たりました」とか言って
�
948:d話してきたやつとの会話を思い出すようなかみ合わなさや。
949:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:02:32.68 bw0a3zO8.net
いや、ID:9OkyXBRaて何がしたいの？
質問するひとの態度じゃないでしょ。
ちゃんと数学科出てるひとが答えてるよ。
質問の仕方が悪いか、答えが返ってきてるのに消化できてないだけじゃね？
950:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:07:53.66 fwcCN5Bq.net
>>829
>ジューコフスキー変換とメビウス変換て
>複素数の関係式から見ても全然別の写像で
>全く関係ないやろ。
なんか、予測外れたみたい
>>824って、ジューコフスキ―変換を
メビウス変換（一次分数変換）と２乗変換の合成
で表そうってこと
例えば、ジューコフスキ―変換は
f(z)=-i(z+1)/(z-1)
g(z)=z^2
h(z)=2(z-1)/(z+1)
として、h・g・f(z)として実現できるね
で、この逆写像は
h^(-1)(w)=(2+w)/(2-w)
g^(-1)(w)=√w
f^(-1)(w)=(w-i)/(w+i)
となるから、f^(-1)・g^(-1)・h^(-1)(w)として実現できる
メビウス変換の逆写像はもちろんメビウス写像だし
これは複素球面同士を１対１に写像するから
何も考える必要はない
問題は平方根写像 これは１対２写像になる
で、この場合、複素球面全体から上半平面に移すように調整すれば、
逆変換全体として複素球面全体から円の外側への写像になる
951:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:10:43.89 fwcCN5Bq.net
>>830
>少しの＋αで理解できるようなことやのに、
君のいう+αって具体的に何だい？
952:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:20:20.39 fwcCN5Bq.net
>>831
>ド・モアブルの定理使ったってこと書いといたらすぐわかるようなこと
問題を自分で論理的に分析して正確に表す努力をしない人には数学は理解できないよ
君がやったであろう方法をやってみたら、何がまずいかすぐわかった
atan(y/x)で偏角を求めると、x+yiでも-x-yiでも同じ偏角になっちゃう
これはまず欠陥だね こんなこと実際に計算したら賢い高校生なら
いわれなくても気づくけどね
あなた、大学どこ？理学部じゃなく工学部だよね？
東大・京大はあり得ないな 早慶とか東工大・阪大・名大もないだろう
953:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:28:12.87 fwcCN5Bq.net
>>832
君こそ
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
の写像の可視化（円の外が平面全体に写像）の画を見た上で
「（４）ｚ平面の円柱周りをζ平面の平板周りに写像（ジューコフスキー変換）
１．円を直線に写像する関数」
の以下の文読みなよ
「図から明らかなようにζ面上の１点に対応する点がｚ面上に二つ存在する。
ｚ面の点とζ面の点を１対１で対応させるには、
ζ面として長さ4ａの線分を共有した二枚の面を準備すればよい。
このように何枚も重ねて多価関数を表す面のことをRiemann面という。」
954:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:33:28.80 fwcCN5Bq.net
>>833
＞おそらく、ド・モアブルの定理が使える複素平面が違っただけやろ。
この粗雑な言い方を見る限りなんかわかってないっぽいな
数学以前に国語の能力が低いみたいね
読むほうも書くほうも
ついでにいうと、ジューコフスキ―の場合、
メビウス変換と２乗変換の組み合わせでOKだけど
一般の有理写像の場合には、
メビウス変換とｎ乗写像の組み合わせでは無理だろう
955:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:40:07.56 fwcCN5Bq.net
>>834
君、ほんと、どこの大学？
どっかのだれかみたいに大阪大学とかフカすのほんとやめてな
ここでは工学部卒ボロカスにいうてるけど、
実際の工学部で学部どころか修士まで出てる連中は数値解析とか詳しいから
解析に関して数学科の連中が知ってるようなことは大体知ってる
オレがDISるのは、君みたいなハンパな奴だけだよ
956:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:47:02.12 9OkyXBRa.net
>>835
具体的に言えば、>>836 のような、複素平面や写像をちょっとばかりかじって、
中途半端な理解で適当にでたらめなこと書いてるようなやつの
アドバイスはいらんということやな。
こいつ、>>830 に書いてるようなやつ未満かもしれんで。
ジューコフスキー変換がζ=(z**2+1)/z《1は厳密には定数a》って知ってたら、
(2z**2)iと等しくないことくらい、複素数理解した中学生でもわかりそうなもん。
957:１３２人目の素数さん
20/08/29 07:56:49.09 fwcCN5Bq.net