20/08/24 18:43:06 rNo847jr.net
>>651
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
加群の圏
加群の圏（かぐんのけん、英: category of modules）Mod は、すべての加群を対象としすべての加群準同型を射とする圏である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数的K理論
代数的K-理論(algebraic K-theory)は、ある非負な整数 n に対して環からアーベル群への函手の系列
K_{n}(R)
を定義して適用することに関係したホモロジー代数の重要な一部である。歴史的理由により、低次 K-群 K0 と K1 は、n ? 2 に対する高次 K-群 Kn とはいくらか異なった項と考えられている。実際、高次の群よりも低次の群は受け入れやすく、より多くの応用を持っている。
歴史
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、1950年代中期に K-理論をリーマン・ロッホの定理に非常に広い一般化を述べるためのフレームワークとして発見した。その後数年以内には、K-理論の位相的側面が、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により考え出され、現在は位相的K-理論（英語版）(topological K-theory)として知られている。
少し遅れて、理論の作用素代数のための一分野は、豊かな発展をして、作用素K-理論（英語版）(operator K-theory)やKK-理論（英語版）(KK-theory)をもたらした。K-理論は代数幾何学において代数的サイクルの理論で役割をはたすことも、明らかとなった（ゲルステンの予想（英語版）(Gersten's conjecture)）[1]。
結局、基本的な難しさは、（深い困難な理論を離れ） Quillen (1973, 1974) により解決された。彼はプラス構成（英語版）(plus-construction)とQ-構成（英語版）(Q-construction)を通して、任意の非負な n に対して Kn(A) の定義方法をいくつか示した。
(引用終り)
742:１３２人目の素数さん
20/08/24 20:41:28.51 Z6P5UFQD.net
そうそう、コピペだけしてろ、私見を一切入れるな、どうせ間違うから
743:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:06:18 +oiN9Lqm.net
>>653
ありがとさん
744:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:06:46 +oiN9Lqm.net
>>648
(引用開始)
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
(引用終り)
下記、松本 眞 代数学II：環と加群 広大 が参考になるな
”定義 1.2.2. 基底の存在する R 加群を自由 R 加群という。”
”定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）。
基底の元の個数（濃度）は基底の取り方によらない。”
この体は、P3の定義より、多分可換
”P5
圏（カテゴリー）
圏論は扱わないが、圏の用語を使いたいのでさらっと紹介する。”か（＾＾
”定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）”
”有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである”
これの斜体版があるのだろうね（＾＾
つまり、”R が斜体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）”（逆も？）
”有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである”みたいな（＾＾
つづく
745:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:07:01 +oiN9Lqm.net
>>655
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
まつもと まことのホームページ 広島大学数学科
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
授業など教育活動関連
2019年度第一ターム「代数学Ｃ・代数数理基礎講義Ａ」
講義レジュメ：pdf版
（これが下記だが、リンク先のファイルと表題が不一致ですよね）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数学II：環と加群
松本 眞 広島大学理学研究科
平成 30 年 4 月 9 日
P3
1.1 環上の加群
環 R といったら、零環 = {0} を許し、非可換環も許すが、積の単位元 1 を持つことは仮定
する（積の単位元を持つ環を単位的環という）。特に単位的であることが重要であるとき、つ
い「単位的環」と書くことがある。整域とは、可換環 R で R ? {0} が積についてモノイド（単
位元を持つ半群）となるものを指す。体とは、さらに R ? {0} が群となるものを指す。
P5
圏（カテゴリー）
圏論は扱わないが、圏の用語を使いたいのでさらっと紹介する。
つづく
746:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:07:23 +oiN9Lqm.net
>>656
つづき
P7
自由 R 加群と基底
定義 1.2.2. 基底の存在する R 加群を自由 R 加群という。
すなわち、自由 R 加群とは R の（任意個の）直和と同形な R 加群に他ならない。
特に、自由かつ有限生成なら有限個 (たとえば n 個) の基底がとれる (有限個の生成元をあ
らわすのに必要な基底をならべると、有限集合でありこれで生成されるから)。この場合には
M ～= R^n.
定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）。
基底の元の個数（濃度）は基底の取り方によらない。
有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである。実用上はその場
合を知っていればたいてい十分
747:である。無限次元の場合の証明は、基底の存在には Zorn の補 題を使う。濃度の比較も含めて、ここではやらない。 定理 1.2.4. R が零環ではない単位的可換環のとき、自由 R 加群 M の基底の元の個数（より 一般には濃度）は基底の取り方によらない。この数を M のランク (rank, 階数) という。R が 体のときには線形空間 M の次元という。 つづく
748:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:07:48 +oiN9Lqm.net
>>657
つづき
証明. 無限基底のときは、なんだか考えにくいので有限個の基底の場合のみ考えてもらっても
いいです。
R のイデアルで 1 を含まないもの全体は、包含関係に関して空ではない帰納的順序集合とな
る。（0 イデアルがあるから空でない、というところで「零環ではない」という条件を使う。）
従って、Zorn の補題により包含関係に関して極大な 1 を含まないイデアルがあり、これは R
の極大イデアル m をあたえる。
いま、mM で M の元の m 係数一次結合全体を表すと、これは M の部分 R 加群となる。
商 R 加群 M/mM には m は零倍で作用する。従って (R → End(M/mM) の核が m を含むか
ら)M/mM は体 R/m 上の加群となる。ここで、M の基底を一つとると、その M/mM にお
ける像が R/m 加群としての基底となることがわかる。(xλ を M の基底としたとき、xλ の像
が M/mM を R 上（R/m 上といっても同値）生成することは自明。一次独立性だが、mM の
元を xi の一次結合で書くと定義から ?mixi (mi ∈ m) と一通りに書ける。いま、R の元の
R/m への像、M の元の M/mM への像を a￣ であらわすと、?a￣ix￣i = 0 ならば ?aixi ∈ mM,
上の注意により ai ∈ m で a￣i = 0。)
従って、基底の元の個数（濃度）は、M/mM の体 R/m 線形空間の一つの基底の元の個数
に一致する。（上の体に関する基底の定理から）それは基底の取り方によらない。
（ところで、細かいことですが、R が零環だと R 加群は零加群しかありません。そこには
{0} という一元からなる基底と、空集合という０個の元からなる基底があり、個数の一意性が
成り立ちません。）
こうして、自由 R 加群の同形類は、濃度と一対一となる。特に、有限生成自由 R 加群の同
形類は階数により自然数と一対一。（自然数は 0 を含むとする。）
ねじれ元。R 加群 M の元 x に対し、その annihilator
Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0}
が {0} でないとき x をねじれ元という。< x >R が R と同形でない、と言っても同じ条件。
R が整域なら、ねじれ元の全体が部分 R 加群をなす。ねじれ部分 (torsion part) という。
(引用終り)
以上
749:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 07:31:39.47 SuJQZ9Ih.net
>>655 補足
(引用開始)
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
(引用終り)
下記「単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず」
”M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう.
M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である.
M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. ”
参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
”ねじれ”が、"free "なのかもね
構造定理の［補題 4.2］の証明中に
”p は R の素元
=⇒ pR は R の素イデアル
=⇒ pR は R の極大イデアル
=⇒ K = R/pR は体”
と出てくるので、ここらを使うと、
「環 R が体である必要十分条件はすべての R 加群が自由加群であることである」が言えそうかな
で、これの斜体版が成立するのかも
補足
「2 零化域」とか、「T(M) ： M のねじれ部分」とRの関係（定理 1.1～6）などを、しっかり理解すると、いいのかもね（＾＾；
つづく
750:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 07:32:39.29 SuJQZ9Ih.net
>>659
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(mathematics-pdf.com)
MATHEMATICS.PDF よしいず
トップページ > PDF形式の数学ノート
URLﾘﾝｸ(mathematics-pdf.com)
751:generated_modules_over_a_pid.pdf 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず (抜粋) 1 ねじれ加群 R を可換環とし, 0R を R の零元, 1R を R の単位元とする. また, M を R 加群とし, 0M を Mの零元とする. M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう. M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である. M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. すなわち, ある r ∈ R が存在してrx = 0M, r ≠ 0R が成り立つとき, x はねじれ元であるという. M の零元 0M はねじれ元である. 実際, 1R ・ 0M = 0M である. ［定理 1.1］R を整域, M を R 加群とする. このとき, M のねじれ元全体からなる集合 T(M) は、M の部分 R 加群である. T(M) を M のねじれ部分という. ［定理 1.3］R を整域, M を R 加群とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) はねじれがない. ［定理 1.4］整域上の自由加群はねじれがない. ［定理 1.5］R を単項イデアル整域とする. このとき, ねじれがない有限生成 R 加群は階数有限の自由 R 加群である ［系 1.6］R を単項イデアル整域とし, M を有限生成 R 加群, T(M) を M のねじれ部分とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) は階数有限の自由 R 加群である. つづく
752:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 07:44:56.57 SuJQZ9Ih.net
>>660
つづき
2 零化域
可換環 R 上の加群 M の元 x に対して,
AnnR(x) = {r ∈ R | rx = 0M}
を x の零化域という. R 自身を R 加群とみなしたとき, AnnR(x) は, R 加群の準同型
R → M, r |→ rx
の核である. よって, AnnR(x) は R の部分 R 加群であり, それはまさに R のイデアルである.
AnnR(x) が R の零イデアルであることと, x が M の自由元であることは同値である. また,
AnnR(x) = R であることは, x = 0M であることと同値である.
R が単項イデアル整域のとき, AnnR(x) は R の単項イデアルであり, ある 1 個の元によって生
成される.
3 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
4 構造定理の一意性を示すための補題
［補題 4.2］R を単項イデアル整域とし, p を R の素元とする. このとき, R 加群としての同型
略
が成り立てば, u = u’ である.
［証明］
略
K = R/pR とおく
略
Ku は K 加群になる. 同様にして, Ku’も K 加群になる.
R は単項イデアル整域であるから,
p は R の素元
=⇒ pR は R の素イデアル
=⇒ pR は R の極大イデアル
=⇒ K = R/pR は体.
参考文献
[1] 彌永昌吉, 有馬哲, 浅枝陽: 詳解代数入門, 東京図書, 1990.
[2] 松坂和夫: 代数系入門, 岩波書店, 1976.
[3] 森田康夫: 代数概論, 裳華房, 1987.
(引用終り)
以上
まあ、要するに、零因子は（可換）環の構造を理解する上で、結構重要でありまして
（上記では、ねじれ部分関連）
それは、逆元の存在と密接に繋がっているようです
（”整域”などと繋がっている（”整域”なら、乗法単位元1を導入して、逆元も作れるし））
753:１３２人目の素数さん
20/08/25 08:58:59 cn8rizsd.net
>>661
私見を入れるなと言ってるのが分らんか？トンデモ野郎
754:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 11:20:51.30 2yNZ8A8t.net
>>662
ありがと
ごくろうさん
755:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 11:23:14.08 2yNZ8A8t.net
>>659
>参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
>”ねじれ”が、"free "なのかもね
下記も、ご参考
"free "は、日本語の”自由”よりも、意味の範囲が広いんだね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Free object
(抜粋)
In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
Definition
Free objects are the direct generalization to categories of the notion of basis in a vector space.
756:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:03:22.83 2yNZ8A8t.net
>>664
「捩れ (代数学)」
”環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。”
”環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。”
”加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
(抜粋)
捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[�
757:� 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。 環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。 つづく
758:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:03:44.81 2yNZ8A8t.net
>>665
つづき
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
「有限生成加群」
”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。”
つづく
759:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:04:08.81 2yNZ8A8t.net
>>665
つづき
”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有限生成加群
有限生成加群（ゆうげんせいせいかぐん、英: finitely generated module）とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる[1]。
関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。
たとえば体上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。
定義
左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。
この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像
R^{n}→ M
が存在する（つまり M は有限ランクの自由加群の剰余加群である）とき、かつそのときに限る[2]。
加群 M の部分集合 S が有限生成部分加群 N を生成すれば、N の有限個の生成元は S からとってくることができる（なぜなら S の高々有限個の元しか有限個の生成元を表現するのに必要ないからである）。
任意の加群は有限生成部分加群の増大列の和集合である。
加群 M が体 R 上のベクトル空間であり生成集合が一次独立な場合には、n は well-defined で M の次元と呼ばれる（well-defined は任意の一次独立な生成集合は n 個の元をもつという意味である。これはベクトル空間の次元定理である）。
つづく
760:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:05:54.78 2yNZ8A8t.net
>>667
つづき
いくつかの事実
有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である（{1} が生成集合）。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。
一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である（実はこの性質がネーター環を特徴づける）。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。
より一般に、代数（例えば環）は有限生成加群であれば
761:有限生成代数（英語版）である。逆に、有限生成代数が（係数環上）整であれば、有限生成加群である。（詳細は整拡大参照。） 可換環上の有限生成加群 可換環 R 上の有限生成加群に対して、中山の補題は基本的である。ときどき補題によって有限生成加群に対して有限次元ベクトル空間的な減少を証明することができる。 可換代数 A が R 上有限生成環 (finitely generated ring) であるとは、A の元の集合 G = {x1, ..., xn} が存在して G と R を含む A の最小の部分環 は A 自身であるということである。環の積を元を結合するのに使ってもよいので、単に G の元の R-線型結合以上のものが生成される。例えば、多項式環 R[x] は環として {1,x} で有限生成されるが、加群としてではない。 つづく
762:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:08:00.68 2yNZ8A8t.net
>>668
つづき
生成ランク
単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。
しかしそれは直接次のようにも示せる。
M を PID A 上捩れなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。
f を A の元であって fM⊂ F とする。
このとき fM は自由加群の部分加群で A は PID なので自由である。
しかし今 f:M→ fM は M が捩れなしだから同型である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の局所化
(抜粋)
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S?1R で表され、あるいは S が素イデアル {p}}} {p}} の補集合であるときには R_ {p}}}R_{{ {p}}}} で表される。S?1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。
局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。
つづく
763:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:08:20.86 2yNZ8A8t.net
>>669
つづき
用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S?1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。
数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」（従って、Z[1/n]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。
形式的な構成
単元の積はふたたび単元であり、環準同型は積を保つことから、局所化に用いる S は R の乗法モノイドの部分モノイドであることが求められる。すなわち、S は 1 を含み、s, t が S の元ならば st もやはり S に含まれる。環 R のこのような性質を持つ部分集合を乗法的集合（乗法系）あるいは積閉集合（乗法的閉集合）と呼ぶ。
環 R が整域である場合には、局所化は容易に構成することができる。0 が単元となるような環は自明な環 {0} のみであるから、S に 0 が含まれるときには、局所化 S?1R は必ず {0} となる。それ以外の場合には、R の商体 K を利用することができる。すなわち、S?1R として、商体 K の部分環であって、R の元 r と S の元 s によって r/s の形に表される元全体になっているものをとればよい。この場合、自然写像 R → S?1R は標準的な埋め込みであり、特に単射になる（一般の場合にはこれは保証されない）。例えば、�
764:i分数（英語版） の全体は、整数環 Z の 2 冪全体の成す積閉集合に関する局所化である。この場合 S?1R が二進小数の全体で R が整数全体、S は 2 冪の全体であって、R から S?1R への自然写像は単射である。 つづく
765:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:08:41.27 2yNZ8A8t.net
>>670
つづき
一般の可換環に対しては商体は存在しないのだけれども、それでも S の元を分母に持つような「分数」からなる局所化を構成することは可能である。整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、S の元の寄与の分だけである。
環の局所化の普遍性
環準同型 j : R → S?1R は S の各元を S?1R の単元に写し、かつ f: R → T を別の環準同型で S の各元を T の単元に写すものとすれば、環準同型 g: S?1R → T で f = g ? j を満たすものがただ一つ存在する。
この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 R とその部分集合 S をとり、R 上の多元環 A で標準準同型 R → A のもと S の各元が A の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、R-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を R の S における局所化と呼ぶ。
例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
・可換環 R が与えられたとき、R の非零因子（すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 S?1R は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から S?1R への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。
・Z/6Z の素イデアルは 2Z/6Z と 3Z/6Z の2つである（したがってクルル次元 0 である）。
これらの極大イデアルによる局所化はそれぞれ F2, F3 であり体である。
実は、可換環が被約かつクルル次元 0 であることと、任意の極大イデアルにおける局所化が体であることは同値である。（さらにこれはフォン・ノイマン正則であることとも同値である。）
つづく
766:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:09:03.50 2yNZ8A8t.net
>>671
つづき
性質
局所化 S?1R の性質をいくつか挙げる。
・可換環 R と R の素イデアル p に対して、 p の R における補集合 R＼ p は積閉集合で、対応する局所化を R_p であらわす。このとき、 R_p の唯一の極大イデアルは pRp={r/s ｜ r ∈ p, s ∈ R＼p}に等しい[4]。よって R_p は局所環である。
・S?1R = {0} となる必要十分条件は S が零元 0 を含むことである[2]。
・環準同型 R → S?1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。
非可換の場合
非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件（英語版） がある。
非可換環が局所化を持つ場合で、明らかに興味の対象となるのが、微分作用素の環の場合である。局所化によって、例えば、微分作用素 D の形式逆元 D?1 を解釈することができる微分方程式に対する D?1 の解釈はいろいろなやり方が様々な文脈で行われるが、局所化の方法による解釈は超局所解析 (microlocal analysis) と呼ばれる、いくつかの分野にわたる大きな数学的理論を形成している。接頭辞 micro- は特にフーリエ理論とも関連がある。
(引用終り)
以上
767:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:59:43.36 2yNZ8A8t.net
>>664 追加
ベクトル空間、体、基底 について
この関係は、あまり詳しく書いてないですね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間
線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（スカラー乗法）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後�
768:q）を満足するものでなければならない。 定義 「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す[nb 1]。 基底と次元 詳細は「基底」および「次元」を参照 基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。 基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの（有限または無限）集合 B = {vi}i ∈ I であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。 歴史 ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。1636年ごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二変数の方程式の解と平面曲線上の点とを等化して、解析幾何学を発見した[4]。座標を用いない幾何学的な解に到達するために、ベルナルド・ボルツァーノは1804年に、点同士および点と直線の間の演算を導入した。これはベクトルの前身となる概念である[5]。 つづく
769:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 16:00:13.57 2yNZ8A8t.net
>>673
つづき
加群
詳細は「環上の加群」を参照
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。
関連項目
・ベクトル空間代数（英語版） - 体の概念を予め要求せずにベクトル空間を定義する、ベクトル空間の抽象代数学的取扱い。
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Vector spaces without natural bases Mar 29 '16 at 22:39
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
定義
（実数全体 R や複素数全体 C のような）体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う。より具体的には、B = {v1, …, vn} をベクトル空間 V の有限部分集合とするとき、B が基底であるとは、条件として
線型独立性
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、a1 = … = an = 0 でなければならない。
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。
(引用終り)
以上
770:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 16:56:18.67 2yNZ8A8t.net
>>674 補足
”質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？”
余談ですが、実数体Rベースの有限次元ベクトル空間だと、基底は必ずあるのですね
Rが体や斜体ではない一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
なるほど
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
線形代数学第二B （2010年度） 山田光太郎 2011年2月11日
講義資料
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数
771:値関数全体 } は R 上の無限次元ベクトル空間となる． P3 質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？ お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません． 質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね． お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです． そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが． 質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？ お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．
772:１３２人目の素数さん
20/08/25 18:38:50 LqiSh/C2.net
詳しくありがとうございます
納得しました
773:１３２人目の素数さん
20/08/25 21:26:17.21 lTsO94ZA.net
>>675
まず、定義を確認しようね
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
定義 4.6 ベクトルの組 {a1, . . . , am} が V の基底であるとは，
• a1, . . . , am は 1 次独立，かつ
• 任意の V の要素は a1,. . . , am の線型結合で表される
注意 4.10. 零空間 {0} でないベクトル空間 V が基底をもたないとき，
V は無限次元であるという．
ベクトル空間 V が無限次元であるための必要十分条件は，
任意個数の 1 次独立な要素をとることができることである．
これ、線形空間の通常の基底の定義と全く異なるから
（通常の定義では無限次元でも基底が存在する）
違いが分からない馬鹿が、クソをミソだと思って食って下痢するｗ
774:１３２人目の素数さん
20/08/25 21:33:58.03 lTsO94ZA.net
>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が線型独立性を持つ。
B0={v1, …, vn} として
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、
a1 = … = an = 0 でなければならない。
・各 x ∈ V に対して、
適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F と
ベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで
x = a1v1 + … + anvn と表すことができる
（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。
775:１３２人目の素数さん
20/08/25 21:39:44.48 lTsO94ZA.net
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことは選択公理と同値）
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
776:１３２人目の素数さん
20/08/26 06:01:52.65 iiai9c8f.net
◆yH25M02vWFhP 無限次元の場合の基底の定義も知らず粋がる
馬鹿丸出しｗｗｗｗｗｗｗ
777:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 07:24:31.47 mnW83lWq.net
>>676
ID:LqiSh/C2さん、どうもです
私の数学メモを読んでくれてありがとう
いま、下記
(>>642より）
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Division ring
>"Relation to fields and linear algebra
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ）
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
(引用終り)
について調べています
自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね
ねじれフリーが、もとのRの加除環性、つまり零因子を持たず、0以外の元に逆元が存在して、積が群になる（＝Rは体又は斜体）ってことに関係しているってこと
つまりは、「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係しているってことなのでしょうね～（＾＾；
778:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 07:33:51.97 mnW83lWq.net
>>681 余談
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
いま気付いたが、英語版だと A unital ring R、日本語版だと 環 R
英語版の通り、単位的環 つまり 乗法単位元を持つ環とするのが、正解かも（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単位的環
(抜粋)
単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。
779:１３２人目の素数さん
20/08/26 09:47:17.07 8ae+cQFx.net
勉強になるなあ
780:１３２人目の素数さん
20/08/26 17:34:00.37 XvaNrpWd.net
n≧3とする。縦2*nマス、横2*nマスのチェス盤から白、黒のマス目を１つずつ抜き取った欠損チェス盤で、
ドミノ牌で敷き詰められないものが存在するか。また、白、黒2個ずつ抜き取ったらどうか。
この問題ですが、2部グラフの完全マッチングの問題と考えていいでしょうか？
781:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:35:08.08 xagmva3J.net
メモ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)(with%20surjectivity%20not%20required).
Wolfram MathWorld
Endomorphism
The term endomorphism derives from the Greek adverb endon ("inside") and morphosis ("to form" or "to shape").
In algebra, an endomorphism of a group, module, ring, vector space, etc. is a homomorphism from one object to itself (with surjectivity not required).
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Wolfram MathWorld
Homomorphism
A term used in category theory to mean a general morphism. The term derives from the Greek omicronmuomicron (omo) "alike" and muomicronrhophiomegasigmaiotasigma (morphosis), "to form" or "to shape." The similarity in meaning and form of the words "homomorphism" and "homeomorphism" is unfortunate and a common source of confusion.
782:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:40:28.07 xagmva3J.net
>>683
どもです
レスありがとう
783:１３２人目の素数さん
20/08/26 17:40:56.87 iiai9c8f.net
>>675
＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
単に◆yH25M02vWFhP が、「一次独立」を全然理解してないだけ
■環上の加群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、
係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、
その元と環の元との間に乗法が定義され、
その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。
すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。
これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x（n-項の和）とし、
0x = 0 および (－n)x = －(nx) とおけばよい。
このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。
実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない
（ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ）。
■捩れ（代数元）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、・・・
環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元（＝零因子でない元）r が存在して、
m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、
加群の捩れ元 (torsion element) という。
■自由加群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
・E は M を生成する。
すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
・E は一次独立である。
すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元e1,e2,…,enに対して
r1e1+r2e2+…+rnen=0Mであれば、r1=r2=・・・=rn=0Rとなる。
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群である�
784:ﾆいう。 --- >>681 >自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね 自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない がいえる（基底の定義から自明） しかし逆は即座には言えない （つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る） 自由、とはいかなる（自明でない）関係式も存在しない、という意味 つまりねじれ以外の関係式も存在しない とはいえ、基底とか一次独立とか知らないとか、 大学全く行ったことないのがバレバレ （理系大学卒なら、こんなの大学1年の線形代数で習う常識中の常識）
785:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:41:46.80 xagmva3J.net
>>684
こちらへどうぞ
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
786:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:48:59.41 xagmva3J.net
>>687
おお、すごいじゃん
勉強してますね
>しかし逆は即座には言えない
>（つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る）
この後を聞きたいのだが
つまり、「自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない がいえる（基底の定義から自明）」は良いとして
（>>682より）
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
(引用終り)
”単位的環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。”
をどぞ、語ってください
787:１３２人目の素数さん
20/08/26 17:53:01.47 iiai9c8f.net
>>681
＞「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係している
まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
Ｚ加群の中にはねじれ元をもつものがある（つまり自由加群でない）ので
そのことからも、Ｚが体でないことが分かります（回りくどいですが）
788:１３２人目の素数さん
20/08/26 18:14:46.42 iiai9c8f.net
>>689
＞この後を聞きたいのだが
＞つまり、・・・
＞”単位的環 R が斜体である必要十分条件は
＞すべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。”
＞をどぞ、語ってください
以下のpdfの、p216-221
8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
を読んで見な
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
ま、しかし、大学にも入れない君には決して理解できないよ
だから諦めな 高卒に、代数なんか無理
789:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:32:24.09 xagmva3J.net
>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
確かに、>>675より
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．
P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．
質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね．
お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです．
そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが．
質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．
(引用終り)
確かに、この問答は、あまり教育的ではないね
「R 上の無限次元ベクトル空間となる」と、「例をあげたはず．F は基底をもちません」とは、アンマッチだね
「F は”有限”基底をもちません」と言えばよかったね
でも、下記の関数空間に、関係してくるから、深入りしたくなかったのかも
”Hamel(ハメル)基底”とか話をしだすと、収拾つかないと思ったかも
URLﾘﾝｸ(math-note.xyz)
あーるえぬ｜数学のあれこれ
ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数 2017/10/16
つづく
790:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:33:24.33 xagmva3J.net
>>692
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
関数空間
(抜粋)
概要
関数空間はもとの空間の様々な性質を自然な形で内包しており、素性のよい空間であれば、その関数空間からもとの空間を「復元」することができる。通常、考察の対象となる関数は実数値関数や複素数値関数のように終域を共有するものである。
関数の終域として、必要に応じて特定の体や環といった代数系をとることになるが、それにより関数空間にはベクトル空間や環上の加群の構造があらかじめ与えられていると考えることができる。もとの空間が代数的なものでなくても、関数空間へ移れば代数的な操作を利用した考察が可能となるということが、関数空間を考える動機のひとつである。つまり、関数空間の代数的な性質をもとの空間に還元してやることで、それまでには知られていなかった性質が発見されたり、
791:逆にもとの空間の幾何学的な構造を関数空間に移して考えることで、ある種の代数系の性質が決定されることを知ったりするのである。 [注釈 1] 一般化または追加の構造 ・函数環（英語版）: 函数の成す線型空間に積を入れて線型環としたもの ・環付き空間 / 概型: 空間とその上の函数空間を組として捉える見方を抽象化する概念 つづく
792:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:33:45.39 xagmva3J.net
>>693
つづき
（上記の”函数環（英語版）”のリンクが下記）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Banach function algebra
(抜粋)
In functional analysis a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex valued functions from X, together with a norm on A which makes it a Banach algebra.
Theorem: A Banach function algebra is semisimple (that is its Jacobson radical is equal to zero) and each commutative unital, semisimple Banach algebra is isomorphic (via the Gelfand transform) to a Banach function algebra on its character space (the space of algebra homomorphisms from A into the complex numbers given the relative weak* topology).
If the norm on A is the uniform norm (or sup-norm) on X, then A is called a uniform algebra. Uniform algebras are an important special case of Banach function algebras.
(引用終り)
以上
793:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:45:07.61 xagmva3J.net
>>690
>まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
>整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
うん
だが、零因子でなければ、逆元を追加できるよね
つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
>>691
ありがと
ちらっと見た
1974か、ちょっと古いけど
Categoryも入っているね（＾＾
794:１３２人目の素数さん
20/08/26 19:32:52 iiai9c8f.net
>>695
＞整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
＞だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
高卒は「同値」という言葉の意味も知らんらしい
整数環は有理数体と同値です！！！とか
脳味噌サナダムシに食われてんのか？
URLﾘﾝｸ(www.newsweekjapan.jp)
795:１３２人目の素数さん
20/08/26 20:31:51.69 Cw0W0enJ.net
瀬田がシレっと自演レス入れてる件
796:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 20:33:38.67 mnW83lWq.net
>>696
必死で誤魔化して逃げようってわけ？ｗ（＾＾
797:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 20:40:50.50 mnW83lWq.net
>>697
自演？ 下記か？
>>676 ID:LqiSh/C2 2020/08/25(火)
>>683 ID:8ae+cQFx 2020/08/26(水)
この二つのIDは、日が違うのでIDが別だが、同一人物と見た
彼の名誉のために言っておくが（＾＾；
別人だよ
798:粋蕎
20/08/26 20:53:29.89 Ph18BIHC.net
>>696
二行も要らん一行ずつで背反じゃ！
>>695 > 整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
> だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
何で儂が嫌いな第六天(=他化自在天)魔王・猿MaraオナホしごきPapiyas一石を同意どころか支援補強せんと行かんのじゃぁぁぁあああ!?
瀬田氏はネオエクスデスか何かか？『宇宙の法則が乱れる!!』言うんか?!どうやら瀬田氏はグランドクロスはグランドクロスでも
馬鹿と阿呆のグランドクロスの様じゃな!!巫山戯も巫山戯、巫山戯切っとる!!
「知『能』化」無き「知『識』万列」は死蔵が如し！It's a dead stock!! 此んなコピペ万列、ゴミ屋敷じゃ､
しかも瀬田氏の、完全・無欠!!に間違った素人以下の私見添えの所為で茶濁しどころか毒盛りじゃぁぁぁあああ!!
松平健「見苦しいぞ瀬田の守、神妙にせい!!｣
799:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 20:59:29.46 mnW83lWq.net
>>695 補足
要するに、
環Rのある元aが”零因子” つまり、ax=0 で、a≠x≠0 となるという条件と(x∈R)
ある元aが”逆元を持つ” つまり、aｙ=1 なるyが存在する(y∈R)
とは、両立しないってことでは
もし、aｙ=ya=1 なら簡単
ax=0 の両辺に左からｙを掛けて
左辺 yax=（ya)x=１ｘ＝ｘ
右辺 y0=0
これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
”aｙ=1” のみ存在して、”za=1”の方は存在しない場合には、どうなるか（右左の逆もあるが）
そこがいまいち、すっきりしないので、斜体の場合を調べている（可換の場合は、当然 aｙ=ya=1 成立だが ）＊）
注＊）この場合が、上記と同じように言えれば、”零因子” と”逆元を持つ” とは両立しないと言い切れる
800:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:00:53.00 Cw0W0enJ.net
>>695
>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
できません。
2/3∈Qの逆元はZにありません。
Zの全商環を構成すればQになります。
801:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:02:06.30 mnW83lWq.net
>>700
ほいよ、>>701
802:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:04:53.72 Cw0W0enJ.net
>>676
何をどう納得したか答えて
納得できてなかったものがなぜ瀬田のレスにより納得できたかもね
803:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:04:54.12 mnW83lWq.net
>>702
>>つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
>できません。
それだけで、体ができるとはいっとらんぞよｗ（＾＾
逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ
804:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:06:47.13 Cw0W0enJ.net
>>683
何がどう勉強になったのか答えて
勉強にならなかったものがなぜ瀬田のレスにより勉強になったかもね
805:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:08:15.28 mnW83lWq.net
>>704
まあ、かれはあっちこっち
沢山書いているから、なんか書いてくれるだろうよ
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
今日は、書かないかもね
806:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:09:15.40 mnW83lWq.net
>>701 タイポ訂正
これは、x≠0 （aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
↓
これは、x≠0 に矛盾（aｙ=za=1 ならy=zが言えるとか細かい話があるけど略）
失礼しました（＾＾；
807:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 21:10:11.69 mnW83lWq.net
>>707 タイポ訂正
但し、一日で書いている時間帯に集中しているので
↓
但し、一日で書いている時間帯が集中しているので
808:十割蕎麦焼酎
20/08/26 21:10:29.64 Ph18BIHC.net
吉宗評判記 暴れん坊将軍
船越英一郎の親父「ぅぅううえっさっんま
小耳に挟んだ所によりますれば、瀬田の守の小倅が近頃、部屋に籠りっ切りに成り、何やら
此の世に於いても彼の世に於いても罷り通らん、謂わば屁の突っ張りにも成らない理屈を世に広めては
既に名の知れた学者たちの偉業とも言うべき知恵を、有ぁぁあろう事か、事有る毎に、間違った伝聞を世に開き､
自�
809:gは疎か、藩の顰蹙を買う事態に成って居り、其れを憂いた瀬田の守が、気にしてか腹を切りそうに成った所を 近くに居た家臣たちがどうにか止めたとの話ですぞ。否、儂だったら其んな息子、勘当している所ですぞ!!｣ 松平健「うぅむ｣
810:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:11:54.45 Cw0W0enJ.net
>>705
後出しジャンケン乙
811:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:14:51.47 Cw0W0enJ.net
>>705
>逆元を加えることができれば、整数環を、四則演算だけで拡張できるということ
そんな文学的な説明じゃなくちゃんと定式化してみて
誤解の入る余地が無ければ数学とは呼べない
812:粋蕎
20/08/26 21:17:46.90 Ph18BIHC.net
>>703
格安スマホ猿MaraシコシコPapiyas一石のレス>>702が見えんか？
瀬田氏。今迄に何度、死にレスした？
813:粋蕎
20/08/26 21:27:44.08 Ph18BIHC.net
って言うか、働けーーー!!労災で左うちわ中なんじゃ。其の、会社に来てさえすりゃ良い（通院日以外は
出勤して見回るだけの殆ど遊び）の儂を、遥かに超越するレス機会自由度!!オドレ等、何、遊び腐っとるんじゃあああ!!
遊び言うても、社内巡りし、会社創設史上、最多の改善実績挙げとるぞ儂はぁぁぁあああ!!逆に回復するな言う始末!!阿呆か!!
其れに比べオドレ等は…。余りにも世の中をバカにし腐っとる!!乞食じゃ!!非ホームレス型の乞食じゃあああ、働けぇえやぁああ!!
814:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:32:31.08 iiai9c8f.net
>>714
＞働けぇえやぁああ!!
具体的に何すればいい？
◆yH25M02vWFhPは頭使う仕事は無理
ここまで酷い馬鹿は見たことがない
国立大阪大学？嘘つけｗ
知り合いの大阪大学工学部卒の奴に
ここの書き込み見せたらこういってたぞ
「酷い・・・酷すぎる」
確かに馬鹿な奴もいるけどそんなレベルじゃない
工業高校卒か大卒だとしても名前書けば入れるFランクレベルだって
815:粋蕎
20/08/26 21:34:08.18 Ph18BIHC.net
して。何故、通院中にも関わらず飲酒禁止されとらんのか？そりゃあ、儂が創傷・手術入院～今に至り
痛み止めさえ不要の無処方治療に因る。手術前中後の点滴麻酔以来の服用無し。結果、医者も呑み仲間入り｡
どうやら儂は、コミュ障の筈が、コミュ障の真逆じゃったらしい｡
呑もうぜぃオドレ等ぁああ
816:粋蕎
20/08/26 21:46:11.90 Ph18BIHC.net
もしかすりゃあ阪大卒は嘘じゃ無うかも知れん
阪大（附属病院脳機能未達児教育学級）卒or阪大（附属保育園）卒or阪大（附属幼稚園）卒or阪大（附属小学校）未卒・学歴無し
羅王！天に還る時が来たのだ!!…あ、間違ったアミバだった
北斗!!…残悔積歩拳!!
817:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:49:44.42 ANn/L5DS.net
>>713
め~さまは格安ｽﾏﾎｯﾍﾟちゃんなんですか…!
ｴﾓ一緒…!
(д\)ﾟ。嬉ｼｨ…
ｫ蕎麦ｯﾁｬﾏ…ᕼᗩᑭᑭY情報🐣ありがとぅ…
おやすみなさ~ぃ!
818:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:52:49.33 ANn/L5DS.net
>>713
…そばちゃま、そちらは、め~さまではないようですよ？…
�
819:ﾈりぷっ様かな？って…
820:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:56:46.56 ANn/L5DS.net
…一緒ｼﾞｬﾅｶｯﾀ…
(д\)ﾟ。゜
ﾟ。゜
…失礼ｼﾏｽﾀ…
821:１３２人目の素数さん
20/08/26 21:58:16.79 ANn/L5DS.net
またｽﾙﾙｪがﾀﾋんじゃった！
ごめんなさ-ぃ…
|=з
822:１３２人目の素数さん
20/08/26 22:06:56 ANn/L5DS.net
め~さま、ｴﾓﾋﾟ-
魔界に還る時が来たよぅです…
今までありがとうございました
もぅｽﾄｰｶｰはしません。
お元気で。お幸せに🍀*゜
みなさまもありがとうございました
🌈ご機嫌よう🌈
823:粋蕎(出先)
20/08/26 22:13:27 eLicAEgc.net
猿の女人格を矢鱈と掻き毟るべきではない
824:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 23:38:31.48 mnW83lWq.net
>>691
>以下のpdfの、p216-221
> 8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
>を読んで見な
>URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
ざっと見たよ、面白かった
けど、それ、下記の和文 wikipedia の出典5・参考文献の”Auslander & Buchsbaum”だね
さらに、よく見ると、英文 en.wikipedia にも、面白いリンクがあるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#CITEREFAuslanderBuchsbaum2004
斜体 (数学)
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
出典
5.^ Auslander & Buchsbaum 2004, p. 221, Theorem 6.8.8.
参考文献
・Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014). Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. MR0366959. Zbl 0325.13001
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Division ring
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(抜粋)
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □
Remark. Note that this proof can be dualized to the case of right modules and thus we obtained that a unital ring R is a divison ring if and only if every right R-module is free.
External links
・Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's characterization of division rings via their free modules.
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
825:粋蕎
20/08/26 23:43:19.61 Ph18BIHC.net
元祖嘲笑ぷっ記述者は猿の女人格
猿自身の女性的欲求つまりオカマ人格なのか嫁なのか姉妹なのかは儂にも見通せない
826:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 23:57:54.00 mnW83lWq.net
あほらし
そもそも、全ては>>134より
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」
から始まった
正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
で、ウルサイから、正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識でと、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
（要は、正方行列に零因子が存在して、それを除外する話でしょという趣旨でね）
で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこ
827:といってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ ？ ”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんかって話で、 正方行列から、一般の環Rでどうなるという話で、いまに至る。この話は、結構面白い（＾＾ で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる （一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）
828:１３２人目の素数さん
20/08/27 00:21:51.91 3uCFoBs2.net
>>726
>正方行列を、「逆元を持つ正方行列」あるいは「可逆な正方行列」あるいは「行列式が０でない正方行列」
>とでも書けば良かったのだろうが、コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
>つまり、”デフォルト”は、黙示的に指定されている。群なら、”逆元を持つのは、デフォルト”
その理屈が通らないことは他ならぬ君の引用がことごとく正則行列（可逆行列）となっていることが示している。
そりゃそうだ、正方行列なんて書いたら速攻で炎上必至だから。
829:１３２人目の素数さん
20/08/27 00:25:58.31 3uCFoBs2.net
>>726
>で、おサルは、>>160で「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」と来たもんだ
群の話してるのに環でしか意味を為さない零因子を持ち出したら、
「なんかまたトンチンカンなこといってるな」
と返されて当然では？
830:１３２人目の素数さん
20/08/27 00:37:41 3uCFoBs2.net
>>726
>で、有理数体Qの話(>>695)も同じで、整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
>（一貫）中学か高校レベルの常識で、それ”デフォルト”ですよ（>>705）
ここは数学板ですから文学はやめて下さいね。
きちんと命題と証明を書きましょう。
831:粋蕎
20/08/27 01:25:00.24 whEq6FB9.net
理学は疎か工学でも無く文学でさえ無き願望論じゃ
832:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:38:50.99 4tb7ymDo.net
>>726
＞そもそも、全ては>>134
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
＞ 群は基本的に非可換だよ」
＞から始まった
そして、どこにも環とか体とか出てこない
環ガー、体ガーといってるのはおまえだけｗ
＞正方行列を、
＞「逆元を持つ正方行列」あるいは
＞「可逆な正方行列」あるいは
＞「行列式が０でない正方行列」とでも
＞書けば良かったのだろうが
「書けばよかった」ではなく
「書かなければいけなかった」
＞コンテキストが群だから、逆元を持つのは、デフォルト
「コンテキスト」「デフォルト」が誤り
群の定義（デフィニション）に、逆元の存在が書かれてるから
逆元が存在しない元まで含めたら、定義に反する
というのは我々数学科で数学を学んだ人間全員一致の絶対に正しい指摘
つまり、おまえは数学を学ばなかった野獣であり駆除対象の絶対悪ｗ
833:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:42:11.19 4tb7ymDo.net
>>726
＞で、ウルサイから、
根本的な誤りの指摘に「ウルサイ」という貴様が不遜
だから人間失格の野獣は困る 人間の知性を全否定しやがる絶対悪
＞正方行列に零因子が存在することくらい当然で常識
＞と、>>149を投稿した（旧高校数学Cも引用してね）
後だしのいいわけするな
貴様が高校数学で落ちこぼれたのは明らか
＞（要は、正方行列に零因子が存在して、
＞ それを除外する話でしょという趣旨でね）
除外は読み手がすることではない
書き手である貴様が真っ先にやるべきことなのだ
覚えとけ 人間失格の野獣🐎🦌！！！
834:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:46:31.90 4tb7ymDo.net
>>726
＞”逆元を持つ”と、正方行列の零因子は、密接な関係（裏表の関係）じゃんか
整数環Zにより真正面から否定されるトンデモ主張ｗｗｗｗｗｗｗ
＞整数環Zにおいて、0以外の任意の整数ｎの逆元1/nを導入して、
＞四則演算で閉じるようにすれば、Qになる
後出しは貴様の負けを示す自爆発言
導入が必要なこと自体、貴様の「零因子がなければ斜体！」説の誤りを示すもの
ついでにいえば、ただ整数の逆元のみを導入してもダメ
要するに貴様は後から後から言い訳する毛深い野獣の🐎🦌野郎
人間にある筈の論理的思考力（理性）が完全に欠如している
835:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:48:58.71 4tb7ymDo.net
馬鹿は自分が定義を理解していなかった言い訳で
「コンテキスト」とか「デフォルト」とかいう横文字
を喚き散らす癖をやめろ みっともないぞｗ
ついでにコンテキストとデフォルトをそれぞれ日本語に訳せ
日本人ならできるだろ �
836:ｳあやれ！ｗ
837:１３２人目の素数さん
20/08/27 06:54:03.11 4tb7ymDo.net
野獣◆yH25M02vWFhP の誤り
１．正則行列というところを正方行列といった
（任意の正方行列に逆行列があると誤解してたｗ）
２．逆行列の存在条件として行列式が零でないといえばいいところを
何をトチ狂ったか「零因子でない」とかいいだした
（行列式をまったく知らなかったｗ）
３．群論の話なのに、無意味に環論とか体論とか持ち出し
「一般の環で、零因子でなければ可逆元！」とか
「一般の環で、零因子だけ取り除けば斜体の出来上がり！」とか
素人感丸出しのトンデモ発言連発
（群論だけで閉じとけば、こんな馬鹿発言で恥さらすことなかったｗ）
838:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/27 07:45:18 nLHDH0VU.net
>>724 追加
(引用開始)
Notes
7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
(引用終り)
これ読んだ。疑問氷解！
”Thus the only left ideals in R are 0 and R. Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.
Thus every element is left invertible. But then every element is invertible. Indeed, if βx=1 then there exist α∈R such that αβ=1 and thus
1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □”
なるほど、
”every element is left invertible. Indeed, if βx=1 ”を言って
↓
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
と繋がるんだね
βx=1とか、αβ=1とかを取ってくるのが、証明のキモだ
あと、”Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that
βx=1.”もうまい。
これ、>>481 の” 0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。”に類似している
>>481でも、ここから”したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）”を導いたんだ
（上記、”let x∈R. Then Rx=R” と、”0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える”とが、類似）
チャート式風でいえば、”0でない元を取る”ですね
”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて
↓
”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ,
so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ”
も、頻出テクっぽいな
839:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:49:40.74 NVBIr97s.net
>>736 追加
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking (16130)
Last modified on 2013-03-22
この前半の証明も良いね～
”Recall that if R is a (nontrivial) ring and M is a R-module, then (nonempty) subset S⊆M is called linearly independent if for any m1,…,mn∈M
and any r1,?,rn∈R the equality
r1・m1+…+rn・mn=0
implies that r1=…=rn=0. If S⊆M is a linearly independent subset of generators of M, then S is called a basis of M.
Of course not every module has a basis (it even doesn’t have to have linearly independent subsets).
R-module is called free, if it has basis.
In particular if R is a field, then it is well known that every R-module is free.
What about the converse?
Proposition. Let R be a unital ring. Then R is a division ring if and only if every left R-module is free.
つづく
840:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:50:05.99 NVBIr97s.net
>>737
つづき
Proof. ,,⇒” First assume that R is a divison ring.
Then obviously R has only two (left) ideals, namely 0 and R
(because every nontrivial ideal contains invertible element and thus it contains 1, so it contains every element of R).
Let M be a R-module and m∈M such that m≠0.
Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M??P is linearly independent}.
Therefore we pro
841:ved that Λ≠Φ. Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded. Thus we may apply Zorn’s lemma. Let P0∈Λ be a maximal element in Λ. We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M). Assume that m∈M is such that m not∈P0. Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal) and thus there exist m1,?,mn∈M and λ,λ1,?,λn∈R such that λ≠0 and λ・m+λ1・m1+?λn・mn=0. Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring) and therefore m=(?λ?1λ1)・m1+?+(?λ?1λn)・mn. Thus P0 generates M, so every R-module is free. This completes this implication.” (引用終り) なるほどね この証明は、味わい深いですね～ つづく
842:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:51:07.08 NVBIr97s.net
つづき
”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ、下記の
「しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。」
と符合しているのだが、自己準同型環 End(M)で、Endomorphism（準同型）という用語（>>685ご参照）だが
上記では、”homomorphism”なのです。群論などだと、”homomorphism”が多い気がする
R-加群では、End(M)が多いのかな（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環上の加群
(抜粋)
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
つづく
843:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:51:26.06 NVBIr97s.net
>>739
つづき
動機
環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
厳密な定義
厳密な定義
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用
844: R × M → M の組であって、その作用（通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す）は、r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、条件 略 を満足するものでなければならない（最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを 1R で表している。環が単位的であることを仮定しない文脈では、R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する）。 しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。すなわち、環上の加群とは環作用を持つアーベル群のことである（群作用あるいは作用も参照）。この意味では、環上の加群の理論は群の（あるいは同じことだが群環の）ベクトル空間における作用を扱う群の表現論（線型表現論）の一般化である。 (引用終り) 以上
845:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 11:59:26.30 NVBIr97s.net
>>739 補足
”Then we have homomorphism of R-modules f:R→M such that f(r)=r・m.
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal). ”
のところ
Then we have endomorphism(自己準同型) of R-modules f:M→M such that f(r)=r・m.
の方が、wikipedia 環上の加群の記述と合いますかね
こちらが、正解かな？
ker(f)の議論とも合いそうだ
846:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 13:53:44.17 NVBIr97s.net
>>738 補足
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)
rings whose every module is free Author joking 2013-03-22
(抜粋)
Note that ker(f)≠R (because f(1)≠0) and thus ker(f)=0 (because ker(f) is a left ideal).
It is clear that this implies that {m} is linearly independent subset of M.
Now letΛ={P⊆M｜P is linearly independent}.
Therefore we proved that Λ≠Φ.
Note that (Λ,⊆) is a poset (where ,,⊆” denotes the inclusion) in which every chain is bounded.
Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
Then P0∪{m} is linearly dependent (because P0 is maximal)
and thus there exist m1,・・・,mn∈M and λ,λ1,・・・,λn∈R such that λ≠0
and λ・m+λ1・m1+・・・λn・mn=0.
Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)
-and therefore m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.
Thus P0 generates M, so every R-module is free.
(引用終り)
”Thus we may apply Zorn’s lemma.
Let P0∈Λ be a maximal element in Λ.
We will show that P0 is a basis (i.e. P0 generates M).”
これも、常用の筋ですね。
Assume that m∈M is such that m not∈P0.
から、Since λ≠0, then λ is invertible in R (because R is a divison ring)（ここで逆元を使っている）
より、m=(-λ^-1λ1)・m1+・・・+(-λ^-1λn)・mn.とするのも鮮やかです。見事です
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ツォルンの補題
(抜粋)
命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ
ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である
線型代数においては基底の存在を、
代数学においては全てのゼロでない環は極大イデアルを持ち、任意の体における代数的閉包の存在をそれぞれ証明する際に使われる
847:１３２人目の素数さん
20/08/27 14:56:34.58 s3GY++rV.net
ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換で算出した座標に適用しても元の座標に戻りませんでした。
ジューコフスキー変換の逆変換について詳しく説明してるウェブなど、
何らかのアドバイスがあったらレスください。
848:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 16:48:17.24 NVBIr97s.net
>>742 補足
”[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明”：下記、>>742の証明とほぼ同じ筋です
URLﾘﾝｸ(math-note.xyz)
あーるえぬ｜数学のあれこれ
[ベクトル空間の基底]と[ハメル基底]の存在の証明 2020/3/15
(抜粋)
Zorn(ツォルン)の補題は選択公理と同値な存在定理であり，Zornの補題を用いることで様々なものの存在を証明することができる．
例えば，この記事で扱う
ベクトル空間における基底
Hamel基底
の存在は両者ともZornの補題によって証明することができる．
なお，Hamal基底のイメージなどについては以下の記事でも説明しているので参照されたい．
目次
1 Zornの補題
2 基底の存在の証明
2.1 ベクトル空間の基底とその存在証明
2.2 Hamel基底とその存在証明
3 参考文献
ベクトル空間の基底とその存在証明
[証明]
Fを体，Vを{0}でないF上のベクトル空間とする．このVが基底をも�
849:ﾂことを示す． 次をみたすVの部分集合Bの族をΒとする：任意の有限個のb1,...,bn∈Bに対して，b1,...,bnは線型独立である． Step.1 Bが包含に関して極大元をもつことを示す． 集合族は包含関係に関して順序集合となることは，上の命題で示した．また，Vは{0}ではないから，v∈V＼{0}が存在する． このとき，集合{v}からとれる有限個の元はvのみであり，vは線型独立だから，Βは空でない． よって，あとはΒが帰納的であることを示せば，[Zornの補題]によりΒは包含に関して極大元をもつことが分かる． Step.2 Βの包含に関する極大元がVの基底となることを背理法により示す．すなわち，Βの包含に関する任意の極大元をBとし，Bの有限個の元の線形結合で表せないv∈Vが存在するとして矛盾を導く． Hamel基底とその存在証明 Hamel基底は体Q上のベクトル空間Rの基底ということができる． なお，これを体論の言葉で書けば，R=Q(Β)ということになる． [Zornの補題]を用いることによって，Hamel基底の存在が証明できるのである． 先に見た「ベクトル空間の基底の存在の証明」で, と見ることにより，同様に議論を進めることができる． (引用終り) 以上
850:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:13:02.11 NVBIr97s.net
>>743
>ジューコフスキー変換の逆変換をやってみようと思って、
>ド・モアブルの定理で計算できないかなと試みたのですが、
ジューコフスキー変換ね、懐かしいな
機械工学で、これ好きな人がいたな。昔、航空工学の理論だった。二次元の。いま、FEMとか数値計算で三次元ばりばりやれるから主流じゃないと思うけど
”逆変換”が、いまいち分からない。でも、下記などを参照して、自分で調べてみて
”複素数関数の等角写像”が、重要キーワードです。”ド・モアブルの定理”は、ちょっと違うと思う
（参考）
URLﾘﾝｸ(izumi-math.jp)
北数教 第 87 回数学教育実践研究会 平成25 年11月30日
メビウス変換とジューコフスキー変換
複素変換を視覚化する 松本睦郎（札幌北高等学校）
(抜粋)
ジューコフスキー（1847～1921）は、ロシアの航空技術者である。1910 年「航空機の翼の翼型の外
形線について」の論文の中で複素数関数の等角写像を利用した翼の揚力についての理論「クッタ・ジュ
ーコフスキー定理」を発表した。コンピュターもない時代に、どのような発想でこの理論を発見したのか、不思議に思える。
複素数平面で定義される代表的なメビウス変換とジューコフスキー変換を Mathematica で見てみよう。
URLﾘﾝｸ(monoist.atmarkit.co.jp)
ジューコフスキー翼を作図してみる (2/4)
2016年02月05日
[伊藤孝宏，MONOist]
URLﾘﾝｸ(fnorio.com)
二次元翼理論（等角写像とジューコフスキーの仮定）
(抜粋)
１．翼理論の芽生え
大空へ飛翔することは人類の最大の夢でした。その実現には翼の持つ性質の理解が必須です。ここでは流体中を移動する翼が生み出す揚力のメカニズムを説明します。
URLﾘﾝｸ(hb3.seikyou.ne.jp)
流体力学講話・つまみ食い（その５）
KENZOU
2008年 8 月 9 日
(抜粋)
5 回目は，任意の形状の物体が流体から受ける圧力やモーメントを求めるブラジウスの公式から揚力に関
するクッタ・ジューコフスキー定理，それから�
851:刳p写像とその活用などを学びます。それでははじめます。 8 ジューコフスキー変換
852:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:19:27.71 NVBIr97s.net
>>692
">>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。"
追加
参考：「無限次元と有限次元、ハメル基底と正規直交基底とフーリエ級数論」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
(抜粋)
線型代数学における基底（basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である[1]。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。
ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。
定義
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が既に述べた意味で線型独立性を持つ。
つづく
853:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:20:37.12 NVBIr97s.net
>>746
つづき
各 x ∈ V に対して、適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F とベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで x = a1v1 + … + anvn と表すことができる（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。
これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。
無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。
関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来）や代数基底という用語が用いられる。
（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。
これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。
無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（
854:つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。 先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。実際、有限次元空間は定義により有限な基底を持つし、また完備でない無限次元ノルム空間で可算なハメル基底を持つものが存在する。有限個の例外を除く全ての項が 0 となる実数列全体の成す空間 c00 にノルム ||x|| = supn|xn| を入れたものを考えると、その標準基底は可算ハメル基底になる。 つづく
855:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:21:01.36 NVBIr97s.net
>>747
つづき
例
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …}
・・を満たすという意味で当該函数系の「無限線型結合」として表される。
しかし殆どの自乗可積分函数はこれら基底函数の有限線型結合としては表すことができず、したがってこの「基底」はハメル基底には「ならない」。
この空間の任意のハメル基底は、この可算無限にすぎない「基底」よりもはるかに大きいのである（ハメル基底は連続の濃度をもつ[2]）。
この種の空間のハメル基底は典型的に有用でなく、一方でこれらの空間の正規直交基底はフーリエ解析において本質的である。
(引用終り)
以上
856:現代数学の系譜 雑談
20/08/27 17:45:33.08 NVBIr97s.net
>>747 補足
>（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）
>無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。
ハメル基底： R の Q-基底
これを使って説明すると、ハメル基底で、 Rは Q-基底の戦型空間として表すことができる
理論的にはね。でも、あんまり嬉しくない
ハメル基底を使って、具体的に何か言えるかというと、言えること殆どない
と同様に、関数空間のハメル基底の存在は言えても、”それ使えない”ってこと
で、フーリエ変換の基底の方が、役に立つってことです
ヒルベルト空間などもその例ですね
（参考）
URLﾘﾝｸ(trace.tennessee.edu)
University of Tennessee, Knoxville
A Note on Hamel Bases Masters Theses 12-2008
Jeremy S. Higdon
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間
(抜粋)
ヒルベルト空間
抽象ヒルベルト空間においてどのような基本ベクトル族が、ヒルベルト空間 H を位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する（あるいは単に生成する）とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包（即ち、有限線型結合およびその極限）が、全体空間に一致することである。 そのような函数の集合は H の基底（あるいはヒルベルト基底）と呼ばれ、基底の濃度はヒルベルト空間 H の次元と呼ばれる[nb 12]。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、シュミットの直交化法を用いて互いに直交するベクトルの族からなる基底が得られることも意味している[64]。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。
様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。
注釈
12^ ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。