20/08/23 09:59:24.72 7NMituVg.net
向学心が完全に欠如した怠惰かつ粗雑な🐎🦌には決して理解できない文章
ジャコブソン根基
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・環が半単純であることとアルティン環かつそのジャコブソン根基が零であることは同値である。
半単純環
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数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、
すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、
A を半単純環という。
これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。
単純環が半単純環であることとアルティン環であることは同値である。
例えば、D が体で E が D 上のベクトル空間で次元 n が0でなく有限ならば、
環 EndD E と Mn(D) は単純アルティン環なので半単純環である。
単純環
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数学の環論において、（1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない）環 R が
単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、
R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう。
単純環 R について以下は同値：
・R は左アルティン的
・R は半単純
・R は極小左イデアルを持つ
・R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型
アルティン環
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アルティン環（アルティンかん、Artinian ring、アルチン環とも）とは、降鎖条件から定まるある種の有限性をもった環のこと。
環 R に対し次の二条件は同値である。
・（降鎖条件）： R の左イデアルからなる任意の降鎖は有限の長さで停止する：
・（極小条件）： R の左イデアルからなる空でない任意の族は包含関係に関する極小元を持つ：
これらの同値な条件を満たす環 R は左アルティン的 (left Artininan) であると言い、
また左アルティン的である環を左アルティン環と呼ぶ。