20/08/22 23:24:25.03 q0LXAazy.net
>>608
分かってないね。
行列環において「単元であることと零因子でないことが同値」であるにせよ
行列群のコンテキストで零因子は無意味。何故なら行列群には零元そのものが無いから。零元が無ければ零因子は定義すら不能。
なんで行列群の話をしてるのにいきなり行列環でしか意味を持たない零因子を持ち出すんだ？
って言ってるんだけどバカには理解できないらしい。
692:粋蕎
20/08/23 01:37:20.52 EERKJb15.net
環と群の区別も付かなくなった人糞ペスト大流行スレ
693:１３２人目の素数さん
20/08/23 08:08:34.46 7NMituVg.net
>>608
＞笑えるわ
安達老人の（笑 と 学歴詐称サイコパス◆yH25M02vWFhP の「笑えるわ」は
どっちも「負けました。もう勘弁して！」の「泣き」の一言ｗｗｗ
694:１３２人目の素数さん
20/08/23 08:42:53 7NMituVg.net
>>604
＞書棚の肥やしでつんどくだったが
数学を学ぶ意欲が全然ない証拠
無駄だから即刻古本屋に売却しよう
君に必要なのはまず断捨離
＞ちらみしてみると、
ちらみは誤解の元
君には数学は無理だから綺麗さっぱり諦めよう
まず自分が賢いという妄想を振り払うこと
君は高卒の馬鹿なんだよ
大学出た？それ、完全な妄想
695:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 09:03:57.66 ehdjUjVy.net
>>526 補足
>よってこれ（>>482）「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
>は、撤回しておくよ
行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って
商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605）
零因子を含まない環が、できるのか
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の根基
(抜粋)
環の根基 (radical of a ring) は環の「悪い」元からなるイデアルである。
根基の最初の例は冪零根基であった。
これは (Wedderburn 1908) のサジェスチョンに基づいて、(Kothe 1930) で導入された。
次の数年間でいくつかの他の根基が発見された。
それらのうち最も重要な例はジャコブソン根基である。
根基の一般論は (Amitsur 1952, 1954, 1954b) と Kurosh (1953) によって独立に定義された。
つづく
696:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 09:04:41.27 ehdjUjVy.net
>>614
つづき
下記は、屋上屋だが貼る
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日）
川口 周
大阪大学理学研究科数学専攻
(抜粋)
（可換環）
P9
問 2.1.
(b) √0 := {a ∈ A | a はべき零元 } は A のイデアルになることを示せ．√0 を A のべき零根基（nilradical）という．
P26
中山の補題
A を環とする．
r =∩(1～m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く）
とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という．
a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A
をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ
り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である．
上のケーリー・ハミルトンの定理の証明と同様の方法で，中山の補題という（中山?東屋?Krull の補題ともいう）
次の定理が証明できる．A のイデアル I と A-加群 M に対して，
IM = {a1m1+・ ・ ・+anmn | n >= 1, a1, . . . , an ∈I, m1, . . . , mn ∈ M} とおく．
定理 6.18 (中山の補題). A は環，I は I ⊆ r をみたす A のイデアル，M は有限生成 A-加群とする．このとき，
M = IM ならば，M = 0 が成り立つ．
証明の概略．
略
(引用終り)
以上
697:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 09:20:02.49 ehdjUjVy.net
イデアルつながりで、アルティン予想がヒット
メモ貼る ラングランズ関連
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルティンのL-函数
(抜粋)
アルティン予想
アルティン予想とは、非自明な既約表現 ρ にたいしアルティン L-函数 L(ρ,s) は全複素平面上で解析的である、という予想である[1]
この予想は、ρ が 1 次元、つまりヘッケ指標に付随する L-函数やディリクレのL-函数に対しては成り立つ[1]。より一般的に、アルティンは、ρ が 1 次元表現から誘導される場合についてはこの予想が正しいことを示した。したがってガロア群が超可解群（英語版）(supersolvable)であれば、すべての表現に対してアルティンの予想が成り立つ。
アンドレ・ヴェイユ(Andre Weil)は、函数体の場合にアルティンの予想が成り立つことを証明した。
2 次元表現の射影像（射影一般線形群への自然な像）は巡回群、二面体群、四面体群、八面体群、二十面体群のいずれかで、このうち巡回群、二面体群の場合にはアルティン予想はヘッケの仕事から従う。ラングランズはベースチェンジ（英語版）(base change lifting)の方法を使い四面体群の場合を証明し、タネル(Tunnell)は彼の仕事を拡張し八面体群の場合も証明した。ワイルズ(Wiles)は谷山志村予想を証明するため、これらの結果を使った。リチャード・テイラー(Richard Taylor)ほかは、（非可解な）八面体の場合についていくつかの点で前進をさせた。現在、いくつかの研究が進行中である。
誘導指標のブラウアーの定理（英語版）によると、すべてのアルティンのL-函数はヘッケのL-函数の正と負の整数べきの積であることがしたがい、このことからアルティン L-函数は全複素平面上で有理型であることになる。
Langlands (1970)は、アルティン予想をラングランズ哲学において GL(n) の保型表現の L-函数にむすびつける事により証明できることを指摘した。さらに詳しくは、ラングランズ予想はアデール群 GLn(AQ) のカスプ表現をガロア群の n-次元既約表現へ結びつける。ここで対応するガロア表現のアルティンのL-函数と保型表現のL-函数は同じものとなり、アルティン予想は保型的なカスプ表現のL-函数は正則であるという既に知られている事実から従う。このことはラングランズの仕事の主要な動機のひとつであった。
698:１３２人目の素数さん
20/08/23 09:45:39.54 7NMituVg.net
>>614
🐎🦌がまた💩壺に墜ちたな…
>行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基 J(Mn(R))を作って
>商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて
>零因子を含まない環が、できるのか
そう思うなら、貴様のその手でやってみろ
「行列環 Mn(R)のヤコブソン根基 J(Mn(R))から
商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言える」
しかし貴様の望む零因子を含まない環は決して得られない
何故か？ 貴様には何遍死んでも分かるまい
「何遍死んでも」とは「任意の自然数ｎについてｎ回死んでも」の意味
無限回死んだら？さあ、どうだろうな？
で、貴様に質問だが、無限回死ぬことは可能だと思うか？
699:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 09:47:44.97 ehdjUjVy.net
>>615 文字化け訂正
a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．
↓
I 6= Aは、 I ≠ A
700:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 09:52:41.43 ehdjUjVy.net
>>617
(>>605より)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジャコブソン根基
(抜粋)
さらに単純な方法で、環のジャコブソン根基を環の「悪い元を消す」手段として考えることができる―つまり、ジャコブソン根基の元は商環 R/J(R) において 0 として振る舞う。N が可換環 R のベキ零根基であれば、商環 R/N はベキ零元をもたない。同様に任意の環 R に対して、商環は J(R/J(R)) = {0} という性質をもっており、したがってジャコブソン根基におけるすべての「悪い」元は J(R) で割ることによって取り除かれている。ジャコブソン根基やベキ零根基の元はそれゆえ 0 の一般化と見ることができる。
701:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 09:57:15.88 ehdjUjVy.net
>>619
うん？
可換環 R か？
なる～ほど
Mn(R)は、非可換か
なる～ほど
でも、零因子と逆元は、関係あるよな
おサルさんｗ（＾＾；
702:１３２人目の素数さん
20/08/23 09:59:24.72 7NMituVg.net
向学心が完全に欠如した怠惰かつ粗雑な🐎🦌には決して理解できない文章
ジャコブソン根基
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・環が半単純であることとアルティン環かつそのジャコブソン根基が零であることは同値である。
半単純環
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、
すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、
A を半単純環という。
これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。
単純環が半単純環であることとアルティン環であることは同値である。
例えば、D が体で E が D 上のベクトル空間で次元 n が0でなく有限ならば、
環 EndD E と Mn(D) は単純アルティン環なので半単純環である。
単純環
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学の環論において、（1 ≠ 0 を持つ可換とは限らない）環 R が
単純（たんじゅん、英: simple）であるとは、
R の両側イデアルが 0 と R しか存在しないことをいう。
単純環 R について以下は同値：
・R は左アルティン的
・R は半単純
・R は極小左イデアルを持つ
・R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型
アルティン環
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルティン環（アルティンかん、Artinian ring、アルチン環とも）とは、降鎖条件から定まるある種の有限性をもった環のこと。
環 R に対し次の二条件は同値である。
・（降鎖条件）： R の左イデアルからなる任意の降鎖は有限の長さで停止する：
・（極小条件）： R の左イデアルからなる空でない任意の族は包含関係に関する極小元を持つ：
これらの同値な条件を満たす環 R は左アルティン的 (left Artininan) であると言い、
また左アルティン的である環を左アルティン環と呼ぶ。
703:１３２人目の素数さん
20/08/23 10:03:28.12 L5nWlJ6C.net
>>608
行列群の話をしてるのにバカがいきなり行列環でしか意味を持たない零因子の話をしだしたから
「関係無い」
と言ってるのに、バカは
「関係無い」＝「行列環において単元であることと零因子でないことは同値」の否定
と勝手に誤解して勝手に喚いてる。
ホント救い様の無いバカだね。
704:１３２人目の素数さん
20/08/23 10:04:06.14 7NMituVg.net
>>620
🐎🦌には理解できない答え
Mn(R)のJacobson根基J(Mn(R))は{0}！
つまり、貴様が愚かにも妄想する「零因子を含むヤコブソン根基」
705:は存在しない！ 商環 Mn(R)/J(Mn(R)) はMn(R)と等しい もちろんJ(Mn(R))は{0} しかし、Mn(R)は相変わらず零因子をたんまり含んでいる 下手の考え、休むに似たりｗｗｗｗｗｗｗ
706:１３２人目の素数さん
20/08/23 10:15:26.76 7NMituVg.net
◆yH25M02vWFhP に贈る曲
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
何のために数学の知識だけを貪るのかは知らんが
数学の中にある論理を全く無視するなら
数学を学ぶ意味は全く無い
諦めろ 貴様は数学からオサラバしたほうがいい
そしてその別れには意味がある
そう 本当の自分を見つめなおす という意味が
偽りの鎧を脱ぎ捨てろ
707:粋蕎
20/08/23 11:24:05.00 EERKJb15.net
偽りの鎧=偽りの知識で固めた武装=コピペ引用=他力本願
708:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:06:25.22 ehdjUjVy.net
>>614
>行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って
>商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605）
>零因子を含まない環が、できるのか
これも撤回（＾＾；
上記の話は、可換環 R の話みたい（>>619-620ご参照）
行列環が、Division ringになる条件
うん、これか
"Relation to fields and linear algebra
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
（ unitary ring、単位的環、単位環 ）
むずいｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Division ring
Relation to fields and linear algebra
All fields are division rings; more interesting examples are the non-commutative division rings. The best known example is the ring of quaternions H. If we allow only rational instead of real coefficients in the constructions of the quaternions, we obtain another division ring. In general, if R is a ring and S is a simple module over R, then, by Schur's lemma, the endomorphism ring of S is a division ring;[6] every division ring arises in this fashion from some simple module.
つづく
709:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:07:04.45 ehdjUjVy.net
>>626
つづき
Much of linear algebra may be formulated, and remains correct, for modules over a division ring D instead of vector spaces over a field. Doing so it must be specified whether one is considering right or left modules, and some care is needed in properly distinguishing left and right in formulas. Working in coordinates, elements of a finite dimensional right module can be represented by column vectors, which can be multiplied on the right by scalars, and on the left by matrices (representing linear maps); for elements of a finite dimensional left module, row vectors must be used, which can be multiplied on the left by scalars, and on the right by matrices. The dual of a right module is a left module, and vice versa. The transpose of a matrix must be viewed as a matrix over the opposite division ring Dop in order for the rule (AB)^T = B^TA^T to remain valid.
Every module over a division ring is free; i.e., has a basis, and all bases of a module have the same number of elements. Linear maps between finite-dimensional modules over a division ring can be described by matrices; the fact that linear maps by definition commute with scalar multiplication is most conveniently represented in notation
710:by writing them on the opposite side of vectors as scalars are. The Gaussian elimination algorithm remains applicable. The column rank of a matrix is the dimension of the right module generated by the columns, and the row rank is dimension of the left module generated by the rows; the same proof as for the vector space case can be used to show that these ranks are the same, and define the rank of a matrix. つづく
711:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:07:21.28 ehdjUjVy.net
>>627
つづき
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
The center of a division ring is commutative and therefore a field.[8] Every division ring is therefore a division algebra over its center. Division rings can be roughly classified according to whether or not they are finite-dimensional or infinite-dimensional over their centers. The former are called centrally finite and the latter centrally infinite. Every field is, of course, one-dimensional over its center. The ring of Hamiltonian quaternions forms a 4-dimensional algebra over its center, which is isomorphic to the real numbers.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学) division ring
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念
斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
つづく
712:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:08:26.33 ehdjUjVy.net
>>628
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Matrix ring
・The algebra M2(R) of 2 × 2 real matrices, which is isomorphic to the split-quaternions, is a simple example of a non-commutative associative algebra. Like the quaternions, it has dimension 4 over R, but unlike the quaternions, it has zero divisors, as can be seen from the following product of the matrix units: E11E21 = 0, hence it is not a division ring. Its invertible elements are nonsingular matrices and they form a group, the general linear group GL(2, R).
Structure
・In general, every semisimple ring is isomorphic to a finite direct product of full matrix rings over division rings, which may have differing division rings and differing sizes. This classification is given by the Artin?Wedderburn theorem.
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ケーリー＝ディクソンの構成法
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cayley?Dickson construction
More generally, the Cayley?Dickson construction takes any algebra with involution to another algebra with involution of twice the dimension.[1]:45
The Hurwitz's theorem (composition algebras) states that the reals, complex numbers, quaternions, and octonions are the only (normed) division algebras (over the real numbers).
つづく
713:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:10:01.39 ehdjUjVy.net
>>629
つづき
（参考：2N×2N matrices だって（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Matrix Representation of Octonions and Generalizations 1999
Jamil Daboul 1 and Robert Delbourgo
Abstract
We define a special matrix multiplication among a special subset of 2N×2N matrices, and study the r
714:esulting (non-associative) algebras and their subalgebras. We derive the conditions under which these algebras become alternative non-associative and when they become associative. In particular, these algebras yield special matrix representations of octonions and complex numbers; they naturally lead to the Cayley-Dickson doubling process. Our matrix representation of octonions also yields elegant insights into Dirac’s equation for a free particle. A few other results and remarks arise as byproducts. （追加参考） ”例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。” か、なるほど これは、うまい例だな、覚えておこう 行列A∈R、B∈I ｜Bは、ある固定された列が 0 である行列 AB∈I｜ABは、ある固定された列が 0 である行列 ってことか https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0 非可換環 単純環 詳細は「単純環」を参照 単純環 (simple ring) とは、自身と零イデアルの他に両側イデアルを持たない、零環でない環である。単純環は必ず単純多元環 (simple algebra) と考えることができる。環としては単純だが加群としては単純でない環が存在する。 例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。 つづく
715:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:10:44.60 ehdjUjVy.net
>>630
つづき
（あんまり関係ないけど、検索ヒットメモ）
URLﾘﾝｸ(tsujimotter)<)
(引用終り)
以上
716:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:13:54.13 ehdjUjVy.net
>>626 追加訂正
（ unitary ring、単位的環、単位環 ）
↓
（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ）
でした（＾＾；
717:１３２人目の素数さん
20/08/23 16:24:42.17 7NMituVg.net
>>631
tsujimotterって、頭悪そうだな
道理で層の定義で「解析接続だ！」とかトンチンカンな嘘書くわけだ
718:１３２人目の素数さん
20/08/23 16:28:37.85 7NMituVg.net
>>626-630
わけもわからず体にこだわる高卒素人🐎🦌ｗｗｗｗｗｗｗ
毛深い野獣の貴様には数学は無理だから諦めろ
719:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:29:
720:40.05 ID:ehdjUjVy.net
721:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 16:30:07.34 ehdjUjVy.net
>>635
つづき
Zero as a divisor, and zero divisors
・Some authors require a to be nonzero in the definition of divisor, but this causes some of the properties above to fail.
・If one interprets the definition of divisor literally, every a is a divisor of 0, since one can take x = 0. Because of this, it is traditional to abuse terminology by making an exception for zero divisors: one calls an element a in a commutative ring a zero divisor if there exists a nonzero x such that ax = 0.[3]
(引用終り)
以上
722:１３２人目の素数さん
20/08/23 17:02:18 7NMituVg.net
>>635-636
貴様、なにがしたいの？
723:１３２人目の素数さん
20/08/23 18:45:03.69 L5nWlJ6C.net
>>637
ボクちゃん分かってますアピール
724:現代数学の系譜 雑談
20/08/23 19:44:35.58 ehdjUjVy.net
>>615
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日）
川口 周
大阪大学理学研究科数学専攻
(抜粋)
（可換環）
P26
中山の補題
A を環とする．
r =∩(1～m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く）
とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という．
a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である． 実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I ≠ A
をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ
り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である．
(引用終り)
上記の「a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である」は、下記ですな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジャコブソン根基
(抜粋)
同値な特徴づけ
単位元をもつ場合
・ J(R)は 1+RxR のすべての元が単元であるようなすべての元 x∈ R からなる集合である。 J(R)={x∈ R ｜ 1+RxR⊂ R^x }
725:１３２人目の素数さん
20/08/23 20:07:40.18 7NMituVg.net
🐎🦌◆yH25M02vWFhPが確実に見落としてる点
左イデアル Ra={ra|r∈R}
右イデアル aR={ar|r∈R}
しかし
両側イデアル RaR={ras|r∈R,s∈R}
ではない！！！
正しい定義は以下の通り
両側イデアル RaR={r_1as_1+…+r_nas_n|n∈N,r_i∈R,s_i∈R}
726:１３２人目の素数さん
20/08/23 20:18:43.67 7NMituVg.net
可換体K上の行列環Mn(K)の単項両側イデアルRxRは、
xが零行列でない限りMn(K)と一致する
何故ならMn(K)の線形空間としての基底が全て生成できるからである
（>>415参照）
727:現代数学の系譜 雑談
20/08/24 07:16:54.23 +oiN9Lqm.net
>>626 補足
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Division ring
>"Relation to fields and linear algebra
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]
728:" >（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ） >斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 下記が参考になりそう https://www.math.uni-bielefeld.de/~wcrawley/1617noncommalg/Noncommutative%20algebra.pdf Noncommutative algebra Bielefeld University, Winter Semester 2016/17 William Crawley-Boevey https://www.ams.org/journals/tran/2002-354-05/S0002-9947-02-02927-6/S0002-9947-02-02927-6.pdf CONSTRUCTING DIVISION RINGS AS MODULE-THEORETIC DIRECT LIMITS GEORGE M. BERGMAN TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 354, Number 5, Pages 2079?2114 published on January 8, 2002 Abstract. If R is an associative ring, one of several known equivalent types of data determining the structure of an arbitrary division ring D generated by a homomorphic image of R is a rule putting on all free R-modules of finite rank matroid structures (closure operators satisfying the exchange axiom) subject to certain functoriality conditions. This note gives a new description of how D may be constructed from this data. (A classical precursor of this is the construction of Q as a field with additive group a direct limit of copies of Z.) The division rings of fractions of right and left Ore rings, the universal division ring of a free ideal ring, and the concept of a specialization of division rings are then interpreted in terms of this construction. (引用終り) 以上
729:現代数学の系譜 雑談
20/08/24 07:17:12.00 +oiN9Lqm.net
>>639 補足
あと、素イデアルと極大イデアル補足
(参考：下記は分り易いね。可換環では、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件がすっきり言える)
URLﾘﾝｸ(icu-hsuzuki.github.io)
ALGEBRA II 1999年
Hiroshi SUZUKIgif
Department of Mathematics
International Christian University
URLﾘﾝｸ(icu-hsuzuki.github.io)
素イデアルと極大イデアル 1999年
（R を可換環、I をイデアルとする。このとき、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件を考える。）
(抜粋)
I：極大イデアル←→R/I：体 →R/I：整域←→I：素イデアル。
R を可換環とすると、上の定理から、零イデアル が素イデアルであることと、R が整域であることが同値であり、また、 が極大イデアルであることと、R が体であることが同値である。
つづく
730:現代数学の系譜 雑談
20/08/24 07:17:32.11 +oiN9Lqm.net
>>643
つづき
URLﾘﾝｸ(www.irohabook.com)
Irohabook
極大イデアルの定義と性質（可換環）
Aのイデアルmは
1.mがAでない
2.mより真に大きい自明でないイデアルが存在しない
を満たすとき、極大イデアルであるという。
ツォルンの補題と極大イデアルの存在
可換環においてイデアルの集合（イデアルは集合だから集合の集合ということになる）は、包含関係によって順序をなす。
順序集合において成り立つツォルンの補題から、すべての自明でない可換環（零でない可換環）は極大イデアルをもつ。
ツォルンの補題→極大イデアルの存在
極大イデアルで割った商環
可換環をイデアルで割ると可換環になる。可換環を極大イデアルで割ると可換環になるが、同時に体になる。これはイデアルの包含関係が商に受けつがれることと、体に自明でないイデアルが存在しないことからわかる。
極大イデアルで割る→剰余環は体
極大イデアルは素イデアルである
そこに含まれる元を二つの積に分解したとき、分解後の元がすべてそこに含まれるようなイデアルを素イデアルという。極大イデアルは素イデアルである。
可換環を素イデアルで割ると整域になるが、体は整域であるから、極大イデアルは素イデアルになる。
可換環関連記事
1.整域の整閉性は局所化で�
731:ﾛ存する 2.すべての環は極大イデアルをもつ 3.ネーター環の定義と性質 4.素イデアルの定義と性質（可換環） 5.極大イデアルの定義と性質（可換環） 6.素イデアルの定義と可換環の次元の話 つづく
732:現代数学の系譜 雑談
20/08/24 07:18:50.32 +oiN9Lqm.net
>>644
つづき
（参考：下記も分り易い、”関数環の場合に，ある一点で0となるもの全体が極大イデアルとなって，その点を指示するので，一般的な抽象論で，理想上の点を考えるのに使う”）
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク
極大イデアル（読み）きょくだいイデアル（英語表記）maximal ideal
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
環 R のイデアル J が極大であるとは，次の2条件を満足するようなイデアル J' ，すなわち，(1) J を真部分集合として含むような J' ，(2) R と異なる J' ，が存在しない場合である。このとき J を R の極大イデアルという。関数環の場合に，ある一点で0となるもの全体が極大イデアルとなって，その点を指示するので，一般的な抽象論で，理想上の点を考えるのに使う。
URLﾘﾝｸ(www.slideshare.net)
代数幾何02 極大イデアルとは点である
HanpenRobot
Hanpen Robotの代数幾何の，素朴な疑問を解決しようのコーナー！
URLﾘﾝｸ(tetobourbaki.)はてなぶろぐ.com/entry/2019/03/01/203500
記号の世界
20190301 なぜ素イデアルを点と見るのか数学
代数幾何について最近ちょっとしっくりきたのでまとめておきます．
(引用終り)
以上
733:現代数学の系譜 雑談
20/08/24 07:19:42.81 +oiN9Lqm.net
>>640-641
フォロー、ありがとさん
734:現代数学の系譜 雑談
20/08/24 07:27:10.26 +oiN9Lqm.net
>>643-645 補足
イデアル
代数学の抽象的な定義をぶつけられて、「なにそれ？」となる人もいるかも
上記に示した具体的な使い道や、イデアルの生まれた由来（下記）などを、腹に入れておくと、理解しやすいかも
代数学の抽象的な定義をぶつけられて、「なにそれ？」で、立ち止まってしまわないことだな
いまどき、ちょっと調べれば分かることも多い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル (環論)
歴史
19世紀のドイツの数学者であるクンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。その中で彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。
理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。
735:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 18:38:28 rNo847jr.net
>>642 追加
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環上の加群
環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合
736:的かつ加法に関して分配的となるようなものである。 任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。 加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。 つづく
737:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 18:39:45 rNo847jr.net
>>648
つづき
動機
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。環上の加群においては、スカラーの全体は環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアルの（作用の入る向きとして）左右を区別するし、環上の加群においてもそれはより顕著になることだが、しかしさまざまに重要な環論的議論において片側（大抵は左）からの作用に関するものだけを条件として提示することが行われる。
加群の理論のおおくは、ベクトル空間のもつ好ましい性質が、単項イデアル環のような「素性のよい」(well-behaved) 環上の加群の領域でどれだけたくさん存在するかというような議論からなるが、しかしながら環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群であっても基礎環（係数環）が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が（選択公理を仮定すれば）常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。
表現論との関係
M を左 R-加群とすると、R の元 r の作用が x を rx へ（右加群の場合は xr へ）うつす写像として定まり、その写像はアーベル群 (M, +) 上の群の自己準同型となる必要がある。EndZ(M) で表される、M の群自己準同型の全体は、加法と合成に関して環となるが、R の元 r にその作用を対応させることにより、R から EndZ(M) への環準同型が定義される。
このような環準同型 R → EndZ(M) は M における R の表現 (representation) と呼ばれる。左 R-加群を定義するもう一つの同値な方法は、アーベル群 M にその上の環 R の表現を考えることである。
つづく
738:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 18:41:13 rNo847jr.net
>>649
つづき
表現が忠実 (faithful) であるとは、写像 R → EndZ(M) が単射となることをいう。加群の言葉で言えば、これは R の元 r が M のすべての元 x に対して rx = 0 を満たすならば r = 0 と成ることを言っている。任意のアーベル群は有理整数環または適当な剰余類環 Z/nZ 上の忠実加群である。
一般化
任意の環 R をただひとつの対象から成る前加法圏と看做すことができる。この観点で言えば、左 R-加群とは R からアーベル群の圏 Ab への共変加法的函手に他ならない。右 R-加群は反変加法的函手である。このことが示唆するのは、任意の前加法圏 C に対し、C から Ab への加法的函手は C 上の一般化された左加群と考えるべきであるということである。このような函手の全体は、環上の加群の圏 R-Mod の一般化となる函手圏 C-Mod を成す。
可換環上の加群は別な方向に一般化することができる。まず、環付き空間 (X, OX) をとり、
739:OX-加群の層を考える。これらの全体は代数幾何学のスキーム論的取り扱いで重要な圏 OX-Mod を成す。 X がただ一点からなるならば、これは可換環 OX(X) 上の通常の意味での加群の圏である。 半環上の加群を考えることもできる。環上の加群はアーベル群だが、半環上の加群は可換単位的半群であればよい。通常の加群に関する議論の多くが、この一般化された意味での加群に対しても有効である。特に、任意の半環 S に対して S 上の n-次行列全体は半環を成し、S の元の順序 n-組の全体はその行列半環上の（ここで言う意味でのみだが）加群となる。これにより、理論計算機科学の分野から半環の概念を併合した、ベクトル空間の概念の更なる一般化が得られたことになる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4 自由加群 自由加群(じゆうかぐん、英: free module) とは、加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である。たとえば、すべてのベクトル空間は自由であり[1]、集合上の自由ベクトル空間は集合上の自由加群の特別な場合である。任意の加群はある自由加群の準同型像である。 つづく
740:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 18:42:41 rNo847jr.net
>>650
つづき
定義
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
略
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという[2]。
構成
集合 E が与えられたとき、E 上の自由 R-加群を作ることができる。それは単純に R の|E| 個のコピーの直和であり、しばしば R(E) と表記される。この直和を C(E) と表記し、具体的に構成しよう。
略
普遍性
上で定義された写像 ι: E → C(E) は次のような意味で普遍的である。
自由加群の普遍性
一般化
自由加群についての多くのステートメントは、一般の環上の加群については成り立たないが、自由加群のある種の一般化に対してはなお成り立つ。射影加群は自由加群の直和因子なので、自由加群への単射が存在し、その基底を射影加群に関する何らかの証明で使うことができる。より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。
関連項目
斜体 - すべての左加群が自由加群となる環
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Free object
In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
つづく
741:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 18:43:06 rNo847jr.net
>>651
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
加群の圏
加群の圏（かぐんのけん、英: category of modules）Mod は、すべての加群を対象としすべての加群準同型を射とする圏である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数的K理論
代数的K-理論(algebraic K-theory)は、ある非負な整数 n に対して環からアーベル群への函手の系列
K_{n}(R)
を定義して適用することに関係したホモロジー代数の重要な一部である。歴史的理由により、低次 K-群 K0 と K1 は、n ? 2 に対する高次 K-群 Kn とはいくらか異なった項と考えられている。実際、高次の群よりも低次の群は受け入れやすく、より多くの応用を持っている。
歴史
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、1950年代中期に K-理論をリーマン・ロッホの定理に非常に広い一般化を述べるためのフレームワークとして発見した。その後数年以内には、K-理論の位相的側面が、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により考え出され、現在は位相的K-理論（英語版）(topological K-theory)として知られている。
少し遅れて、理論の作用素代数のための一分野は、豊かな発展をして、作用素K-理論（英語版）(operator K-theory)やKK-理論（英語版）(KK-theory)をもたらした。K-理論は代数幾何学において代数的サイクルの理論で役割をはたすことも、明らかとなった（ゲルステンの予想（英語版）(Gersten's conjecture)）[1]。
結局、基本的な難しさは、（深い困難な理論を離れ） Quillen (1973, 1974) により解決された。彼はプラス構成（英語版）(plus-construction)とQ-構成（英語版）(Q-construction)を通して、任意の非負な n に対して Kn(A) の定義方法をいくつか示した。
(引用終り)
742:１３２人目の素数さん
20/08/24 20:41:28.51 Z6P5UFQD.net
そうそう、コピペだけしてろ、私見を一切入れるな、どうせ間違うから
743:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:06:18 +oiN9Lqm.net
>>653
ありがとさん
744:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:06:46 +oiN9Lqm.net
>>648
(引用開始)
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
(引用終り)
下記、松本 眞 代数学II：環と加群 広大 が参考になるな
”定義 1.2.2. 基底の存在する R 加群を自由 R 加群という。”
”定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）。
基底の元の個数（濃度）は基底の取り方によらない。”
この体は、P3の定義より、多分可換
”P5
圏（カテゴリー）
圏論は扱わないが、圏の用語を使いたいのでさらっと紹介する。”か（＾＾
”定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）”
”有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである”
これの斜体版があるのだろうね（＾＾
つまり、”R が斜体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）”（逆も？）
”有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである”みたいな（＾＾
つづく
745:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:07:01 +oiN9Lqm.net
>>655
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
まつもと まことのホームページ 広島大学数学科
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
授業など教育活動関連
2019年度第一ターム「代数学Ｃ・代数数理基礎講義Ａ」
講義レジュメ：pdf版
（これが下記だが、リンク先のファイルと表題が不一致ですよね）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数学II：環と加群
松本 眞 広島大学理学研究科
平成 30 年 4 月 9 日
P3
1.1 環上の加群
環 R といったら、零環 = {0} を許し、非可換環も許すが、積の単位元 1 を持つことは仮定
する（積の単位元を持つ環を単位的環という）。特に単位的であることが重要であるとき、つ
い「単位的環」と書くことがある。整域とは、可換環 R で R ? {0} が積についてモノイド（単
位元を持つ半群）となるものを指す。体とは、さらに R ? {0} が群となるものを指す。
P5
圏（カテゴリー）
圏論は扱わないが、圏の用語を使いたいのでさらっと紹介する。
つづく
746:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:07:23 +oiN9Lqm.net
>>656
つづき
P7
自由 R 加群と基底
定義 1.2.2. 基底の存在する R 加群を自由 R 加群という。
すなわち、自由 R 加群とは R の（任意個の）直和と同形な R 加群に他ならない。
特に、自由かつ有限生成なら有限個 (たとえば n 個) の基底がとれる (有限個の生成元をあ
らわすのに必要な基底をならべると、有限集合でありこれで生成されるから)。この場合には
M ～= R^n.
定理 1.2.3. R が体のとき、任意の R 加群は自由である。（基底の存在定理）。
基底の元の個数（濃度）は基底の取り方によらない。
有限次元線形空間の場合については、線形代数でならっているはずである。実用上はその場
合を知っていればたいてい十分
747:である。無限次元の場合の証明は、基底の存在には Zorn の補 題を使う。濃度の比較も含めて、ここではやらない。 定理 1.2.4. R が零環ではない単位的可換環のとき、自由 R 加群 M の基底の元の個数（より 一般には濃度）は基底の取り方によらない。この数を M のランク (rank, 階数) という。R が 体のときには線形空間 M の次元という。 つづく
748:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/24 23:07:48 +oiN9Lqm.net
>>657
つづき
証明. 無限基底のときは、なんだか考えにくいので有限個の基底の場合のみ考えてもらっても
いいです。
R のイデアルで 1 を含まないもの全体は、包含関係に関して空ではない帰納的順序集合とな
る。（0 イデアルがあるから空でない、というところで「零環ではない」という条件を使う。）
従って、Zorn の補題により包含関係に関して極大な 1 を含まないイデアルがあり、これは R
の極大イデアル m をあたえる。
いま、mM で M の元の m 係数一次結合全体を表すと、これは M の部分 R 加群となる。
商 R 加群 M/mM には m は零倍で作用する。従って (R → End(M/mM) の核が m を含むか
ら)M/mM は体 R/m 上の加群となる。ここで、M の基底を一つとると、その M/mM にお
ける像が R/m 加群としての基底となることがわかる。(xλ を M の基底としたとき、xλ の像
が M/mM を R 上（R/m 上といっても同値）生成することは自明。一次独立性だが、mM の
元を xi の一次結合で書くと定義から ?mixi (mi ∈ m) と一通りに書ける。いま、R の元の
R/m への像、M の元の M/mM への像を a￣ であらわすと、?a￣ix￣i = 0 ならば ?aixi ∈ mM,
上の注意により ai ∈ m で a￣i = 0。)
従って、基底の元の個数（濃度）は、M/mM の体 R/m 線形空間の一つの基底の元の個数
に一致する。（上の体に関する基底の定理から）それは基底の取り方によらない。
（ところで、細かいことですが、R が零環だと R 加群は零加群しかありません。そこには
{0} という一元からなる基底と、空集合という０個の元からなる基底があり、個数の一意性が
成り立ちません。）
こうして、自由 R 加群の同形類は、濃度と一対一となる。特に、有限生成自由 R 加群の同
形類は階数により自然数と一対一。（自然数は 0 を含むとする。）
ねじれ元。R 加群 M の元 x に対し、その annihilator
Ann(x) = {a ∈ R | ax = 0}
が {0} でないとき x をねじれ元という。< x >R が R と同形でない、と言っても同じ条件。
R が整域なら、ねじれ元の全体が部分 R 加群をなす。ねじれ部分 (torsion part) という。
(引用終り)
以上
749:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 07:31:39.47 SuJQZ9Ih.net
>>655 補足
(引用開始)
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
自由加群とは：「基底を持つ（自由加群と呼ばれる）加群」（下記環上の加群より）
また、自由加群wikipedia：加群の圏における自由対象（英語版）である。集合 E が与えられたとき、E 上の自由加群とは E を基底 にもつ自由加群である
ですか。なるほど。取りあえず、”圏”は無視で良さそうかな？（＾＾；
(引用終り)
下記「単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず」
”M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう.
M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である.
M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. ”
参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
”ねじれ”が、"free "なのかもね
構造定理の［補題 4.2］の証明中に
”p は R の素元
=⇒ pR は R の素イデアル
=⇒ pR は R の極大イデアル
=⇒ K = R/pR は体”
と出てくるので、ここらを使うと、
「環 R が体である必要十分条件はすべての R 加群が自由加群であることである」が言えそうかな
で、これの斜体版が成立するのかも
補足
「2 零化域」とか、「T(M) ： M のねじれ部分」とRの関係（定理 1.1～6）などを、しっかり理解すると、いいのかもね（＾＾；
つづく
750:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 07:32:39.29 SuJQZ9Ih.net
>>659
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(mathematics-pdf.com)
MATHEMATICS.PDF よしいず
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751:generated_modules_over_a_pid.pdf 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理(173KB, 13/01/31) MATHEMATICS.PDF よしいず (抜粋) 1 ねじれ加群 R を可換環とし, 0R を R の零元, 1R を R の単位元とする. また, M を R 加群とし, 0M を Mの零元とする. M の元 x が自由元であるとは, 任意の r ∈ R に対して,rx = 0M =⇒ r = 0R が成り立つときにいう. M の元 x が自由元であることと, x が R 上 1 次独立であることは同じ意味である. M の元 x がねじれ元であるとは, 自由元でないときにいう. すなわち, ある r ∈ R が存在してrx = 0M, r ≠ 0R が成り立つとき, x はねじれ元であるという. M の零元 0M はねじれ元である. 実際, 1R ・ 0M = 0M である. ［定理 1.1］R を整域, M を R 加群とする. このとき, M のねじれ元全体からなる集合 T(M) は、M の部分 R 加群である. T(M) を M のねじれ部分という. ［定理 1.3］R を整域, M を R 加群とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) はねじれがない. ［定理 1.4］整域上の自由加群はねじれがない. ［定理 1.5］R を単項イデアル整域とする. このとき, ねじれがない有限生成 R 加群は階数有限の自由 R 加群である ［系 1.6］R を単項イデアル整域とし, M を有限生成 R 加群, T(M) を M のねじれ部分とする. このとき, 剰余 R 加群 M/T(M) は階数有限の自由 R 加群である. つづく
752:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 07:44:56.57 SuJQZ9Ih.net
>>660
つづき
2 零化域
可換環 R 上の加群 M の元 x に対して,
AnnR(x) = {r ∈ R | rx = 0M}
を x の零化域という. R 自身を R 加群とみなしたとき, AnnR(x) は, R 加群の準同型
R → M, r |→ rx
の核である. よって, AnnR(x) は R の部分 R 加群であり, それはまさに R のイデアルである.
AnnR(x) が R の零イデアルであることと, x が M の自由元であることは同値である. また,
AnnR(x) = R であることは, x = 0M であることと同値である.
R が単項イデアル整域のとき, AnnR(x) は R の単項イデアルであり, ある 1 個の元によって生
成される.
3 単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
4 構造定理の一意性を示すための補題
［補題 4.2］R を単項イデアル整域とし, p を R の素元とする. このとき, R 加群としての同型
略
が成り立てば, u = u’ である.
［証明］
略
K = R/pR とおく
略
Ku は K 加群になる. 同様にして, Ku’も K 加群になる.
R は単項イデアル整域であるから,
p は R の素元
=⇒ pR は R の素イデアル
=⇒ pR は R の極大イデアル
=⇒ K = R/pR は体.
参考文献
[1] 彌永昌吉, 有馬哲, 浅枝陽: 詳解代数入門, 東京図書, 1990.
[2] 松坂和夫: 代数系入門, 岩波書店, 1976.
[3] 森田康夫: 代数概論, 裳華房, 1987.
(引用終り)
以上
まあ、要するに、零因子は（可換）環の構造を理解する上で、結構重要でありまして
（上記では、ねじれ部分関連）
それは、逆元の存在と密接に繋がっているようです
（”整域”などと繋がっている（”整域”なら、乗法単位元1を導入して、逆元も作れるし））
753:１３２人目の素数さん
20/08/25 08:58:59 cn8rizsd.net
>>661
私見を入れるなと言ってるのが分らんか？トンデモ野郎
754:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 11:20:51.30 2yNZ8A8t.net
>>662
ありがと
ごくろうさん
755:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 11:23:14.08 2yNZ8A8t.net
>>659
>参考になるな。自由は"free "の訳語だが、"free "には、ただ（只）とか、ある性質が存在しないときにも使う
>”ねじれ”が、"free "なのかもね
下記も、ご参考
"free "は、日本語の”自由”よりも、意味の範囲が広いんだね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Free object
(抜粋)
In mathematics, the idea of a free object is one of the basic concepts of abstract algebra. It is a part of universal algebra, in the sense that it relates to all types of algebraic structure (with finitary operations). It also has a formulation in terms of category theory, although this is in yet more abstract terms. Examples include free groups, tensor algebras, or free lattices. Informally, a free object over a set A can be thought of as being a "generic" algebraic structure over A: the only equations that hold between elements of the free object are those that follow from the defining axioms of the algebraic structure.
Definition
Free objects are the direct generalization to categories of the notion of basis in a vector space.
756:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:03:22.83 2yNZ8A8t.net
>>664
「捩れ (代数学)」
”環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。”
”環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。”
”加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
捩れ (代数学)
(抜粋)
捩れ（ねじれ、英: torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
加群に対して
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元[�
757:� 1] r が存在して、m を零化する、すなわち r?m = 0 となるとき、加群の捩れ元 (torsion element) という[3][注 2]。加群 M の捩れ元すべてからなる集合を t(M) と表す。 環 R 上の加群 M は、t(M) = M であるとき、捩れ加群 (torsion module) と呼ばれ、t(M) = 0 であるとき、捩れがない (torsion-free) と言う。t(M) が M の部分加群をなすとき、t(M) を捩れ部分加群 (torsion submodule) という。環 R が整域(可換性だけでは足りない。実際Z/6Zを自分の上の加群と見てみればよい)であれば、t(M) は捩れ部分加群である。R が非可換であれば t(M) は部分加群になるとは限らない。R が右Ore環（英語版）であることと、t(M) がすべての右 R 加群に対して M の部分加群であることとは同値である[4]。右ネーター域は Ore であるので、これは、R が右ネーター域の場合を含んでいる。 つづく
758:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:03:44.81 2yNZ8A8t.net
>>665
つづき
より一般的に、M を環 R 上の加群とし、S を R の積閉集合とする。このとき標準的な写像 M → MS の核を tS(M) と表す。tS(M) = M のとき、つまり M のすべての元 m は、S のある元 s によって零化されるとき、M は S-捩れ (S-torsion) と呼ばれる[5]。また tS(M) = 0 のとき、M はS-捻れなし (S-torsionless) という。特に、S を環 R の正則元全体の集合ととると上記の定義が再現される。
加群に対して
・M を任意の環 R 上の自由加群とすると、定義より直ちに、M は捩れがないことが分かる。特に、任意の自由アーベル群は捩れを持たず、体 K 上のベクトル空間は K 上の加群と見たとき、捩れがない。
・有限次元ベクトル空間 V に作用する線型作用素 L を考える。V を自然な方法で F[L]-加群と見ると、（多くのことの結果として、単純に有限次元性から、あるいはケイリー・ハミルトンの定理によって）V は捩れ F[L] 加群である。
「有限生成加群」
”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。”
つづく
759:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:04:08.81 2yNZ8A8t.net
>>665
つづき
”単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。”
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有限生成加群
有限生成加群（ゆうげんせいせいかぐん、英: finitely generated module）とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる[1]。
関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。
たとえば体上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。
定義
左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a1, a2, ..., an が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r1, r2, ..., rn が存在して、x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan となることである。
この場合、集合 {a1, a2, ..., an} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像
R^{n}→ M
が存在する（つまり M は有限ランクの自由加群の剰余加群である）とき、かつそのときに限る[2]。
加群 M の部分集合 S が有限生成部分加群 N を生成すれば、N の有限個の生成元は S からとってくることができる（なぜなら S の高々有限個の元しか有限個の生成元を表現するのに必要ないからである）。
任意の加群は有限生成部分加群の増大列の和集合である。
加群 M が体 R 上のベクトル空間であり生成集合が一次独立な場合には、n は well-defined で M の次元と呼ばれる（well-defined は任意の一次独立な生成集合は n 個の元をもつという意味である。これはベクトル空間の次元定理である）。
つづく
760:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:05:54.78 2yNZ8A8t.net
>>667
つづき
いくつかの事実
有限生成加群の部分加群は一般には有限生成でない。例えば、可算個の変数をもつ多項式環 R = Z[X1, X2, ...] を考えよう。R 自身は有限生成 R-加群である（{1} が生成集合）。定数項が 0 の多項式すべてからなる部分加群 K を考えよ。すべての多項式は係数が0でないような有限個の項のみからなるから、R-加群 K は有限生成でない。
一般に、加群は、すべての部分加群が有限生成であるときにネーター加群と呼ばれる。ネーター環上の有限生成加群はネーター加群である（実はこの性質がネーター環を特徴づける）。ネーター環上の加群が有限生成であるのはそれがネーター加群であるとき、かつそのときに限る。これはヒルベルトの基底定理と似ているが、同じではない。これはネーター環 R 上の多項式環 R[X] はネーター環であるというものである。いずれの事実によってもネーター環上の有限生成代数はまたネーター環である。
より一般に、代数（例えば環）は有限生成加群であれば
761:有限生成代数（英語版）である。逆に、有限生成代数が（係数環上）整であれば、有限生成加群である。（詳細は整拡大参照。） 可換環上の有限生成加群 可換環 R 上の有限生成加群に対して、中山の補題は基本的である。ときどき補題によって有限生成加群に対して有限次元ベクトル空間的な減少を証明することができる。 可換代数 A が R 上有限生成環 (finitely generated ring) であるとは、A の元の集合 G = {x1, ..., xn} が存在して G と R を含む A の最小の部分環 は A 自身であるということである。環の積を元を結合するのに使ってもよいので、単に G の元の R-線型結合以上のものが生成される。例えば、多項式環 R[x] は環として {1,x} で有限生成されるが、加群としてではない。 つづく
762:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:08:00.68 2yNZ8A8t.net
>>668
つづき
生成ランク
単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群が捩れなし（英語版） (torsion-free) であることと自由であることは同値である。
これはPID上の有限生成加群の構造定理の結果である。
その基本的な形は、PID 上の有限生成加群はねじれ加群と自由加群の直和であるというものである。
しかしそれは直接次のようにも示せる。
M を PID A 上捩れなし有限生成加群とし、F を極大自由部分加群とする。
f を A の元であって fM⊂ F とする。
このとき fM は自由加群の部分加群で A は PID なので自由である。
しかし今 f:M→ fM は M が捩れなしだから同型である。
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環の局所化
(抜粋)
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S?1R で表され、あるいは S が素イデアル {p}}} {p}} の補集合であるときには R_ {p}}}R_{{ {p}}}} で表される。S?1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。
局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。
つづく
763:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:08:20.86 2yNZ8A8t.net
>>669
つづき
用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S?1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。
数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」（従って、Z[1/n]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。
形式的な構成
単元の積はふたたび単元であり、環準同型は積を保つことから、局所化に用いる S は R の乗法モノイドの部分モノイドであることが求められる。すなわち、S は 1 を含み、s, t が S の元ならば st もやはり S に含まれる。環 R のこのような性質を持つ部分集合を乗法的集合（乗法系）あるいは積閉集合（乗法的閉集合）と呼ぶ。
環 R が整域である場合には、局所化は容易に構成することができる。0 が単元となるような環は自明な環 {0} のみであるから、S に 0 が含まれるときには、局所化 S?1R は必ず {0} となる。それ以外の場合には、R の商体 K を利用することができる。すなわち、S?1R として、商体 K の部分環であって、R の元 r と S の元 s によって r/s の形に表される元全体になっているものをとればよい。この場合、自然写像 R → S?1R は標準的な埋め込みであり、特に単射になる（一般の場合にはこれは保証されない）。例えば、�
764:i分数（英語版） の全体は、整数環 Z の 2 冪全体の成す積閉集合に関する局所化である。この場合 S?1R が二進小数の全体で R が整数全体、S は 2 冪の全体であって、R から S?1R への自然写像は単射である。 つづく
765:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:08:41.27 2yNZ8A8t.net
>>670
つづき
一般の可換環に対しては商体は存在しないのだけれども、それでも S の元を分母に持つような「分数」からなる局所化を構成することは可能である。整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、S の元の寄与の分だけである。
環の局所化の普遍性
環準同型 j : R → S?1R は S の各元を S?1R の単元に写し、かつ f: R → T を別の環準同型で S の各元を T の単元に写すものとすれば、環準同型 g: S?1R → T で f = g ? j を満たすものがただ一つ存在する。
この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 R とその部分集合 S をとり、R 上の多元環 A で標準準同型 R → A のもと S の各元が A の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、R-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を R の S における局所化と呼ぶ。
例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
・可換環 R が与えられたとき、R の非零因子（すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 S?1R は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から S?1R への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。
・Z/6Z の素イデアルは 2Z/6Z と 3Z/6Z の2つである（したがってクルル次元 0 である）。
これらの極大イデアルによる局所化はそれぞれ F2, F3 であり体である。
実は、可換環が被約かつクルル次元 0 であることと、任意の極大イデアルにおける局所化が体であることは同値である。（さらにこれはフォン・ノイマン正則であることとも同値である。）
つづく
766:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:09:03.50 2yNZ8A8t.net
>>671
つづき
性質
局所化 S?1R の性質をいくつか挙げる。
・可換環 R と R の素イデアル p に対して、 p の R における補集合 R＼ p は積閉集合で、対応する局所化を R_p であらわす。このとき、 R_p の唯一の極大イデアルは pRp={r/s ｜ r ∈ p, s ∈ R＼p}に等しい[4]。よって R_p は局所環である。
・S?1R = {0} となる必要十分条件は S が零元 0 を含むことである[2]。
・環準同型 R → S?1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。
非可換の場合
非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件（英語版） がある。
非可換環が局所化を持つ場合で、明らかに興味の対象となるのが、微分作用素の環の場合である。局所化によって、例えば、微分作用素 D の形式逆元 D?1 を解釈することができる微分方程式に対する D?1 の解釈はいろいろなやり方が様々な文脈で行われるが、局所化の方法による解釈は超局所解析 (microlocal analysis) と呼ばれる、いくつかの分野にわたる大きな数学的理論を形成している。接頭辞 micro- は特にフーリエ理論とも関連がある。
(引用終り)
以上
767:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 15:59:43.36 2yNZ8A8t.net
>>664 追加
ベクトル空間、体、基底 について
この関係は、あまり詳しく書いてないですね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間
線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（スカラー乗法）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後�
768:q）を満足するものでなければならない。 定義 「体 F 上のベクトル空間 V 」とは、後に述べるような、二種類の演算を備えた集合 V のことである。ベクトル空間 V の元はベクトル (英: vector ) と呼ばれる。体 F は係数体 (英: coefficient field, scalar field ) と呼ばれる。係数体 F の元はスカラー (英: scalar ) あるいは係数 (英: coefficient ) と呼ばれる。ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す[nb 1]。 基底と次元 詳細は「基底」および「次元」を参照 基底は簡明な方法でベクトル空間の構造を明らかにする。 基底とは、適当な添字集合で添字付けられたベクトルの（有限または無限）集合 B = {vi}i ∈ I であって、それが全体空間を張るもののうちで極小となるものを言う。 歴史 ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。1636年ごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二変数の方程式の解と平面曲線上の点とを等化して、解析幾何学を発見した[4]。座標を用いない幾何学的な解に到達するために、ベルナルド・ボルツァーノは1804年に、点同士および点と直線の間の演算を導入した。これはベクトルの前身となる概念である[5]。 つづく
769:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 16:00:13.57 2yNZ8A8t.net
>>673
つづき
加群
詳細は「環上の加群」を参照
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。
関連項目
・ベクトル空間代数（英語版） - 体の概念を予め要求せずにベクトル空間を定義する、ベクトル空間の抽象代数学的取扱い。
URLﾘﾝｸ(mathoverflow.net)
Vector spaces without natural bases Mar 29 '16 at 22:39
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
定義
（実数全体 R や複素数全体 C のような）体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う。より具体的には、B = {v1, …, vn} をベクトル空間 V の有限部分集合とするとき、B が基底であるとは、条件として
線型独立性
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、a1 = … = an = 0 でなければならない。
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。
(引用終り)
以上
770:現代数学の系譜 雑談
20/08/25 16:56:18.67 2yNZ8A8t.net
>>674 補足
”質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？”
余談ですが、実数体Rベースの有限次元ベクトル空間だと、基底は必ずあるのですね
Rが体や斜体ではない一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
なるほど
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
線形代数学第二B （2010年度） 山田光太郎 2011年2月11日
講義資料
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数
771:値関数全体 } は R 上の無限次元ベクトル空間となる． P3 質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？ お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません． 質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね． お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです． そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが． 質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？ お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．
772:１３２人目の素数さん
20/08/25 18:38:50 LqiSh/C2.net
詳しくありがとうございます
納得しました
773:１３２人目の素数さん
20/08/25 21:26:17.21 lTsO94ZA.net
>>675
まず、定義を確認しようね
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
定義 4.6 ベクトルの組 {a1, . . . , am} が V の基底であるとは，
• a1, . . . , am は 1 次独立，かつ
• 任意の V の要素は a1,. . . , am の線型結合で表される
注意 4.10. 零空間 {0} でないベクトル空間 V が基底をもたないとき，
V は無限次元であるという．
ベクトル空間 V が無限次元であるための必要十分条件は，
任意個数の 1 次独立な要素をとることができることである．
これ、線形空間の通常の基底の定義と全く異なるから
（通常の定義では無限次元でも基底が存在する）
違いが分からない馬鹿が、クソをミソだと思って食って下痢するｗ
774:１３２人目の素数さん
20/08/25 21:33:58.03 lTsO94ZA.net
>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が線型独立性を持つ。
B0={v1, …, vn} として
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、
a1 = … = an = 0 でなければならない。
・各 x ∈ V に対して、
適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F と
ベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで
x = a1v1 + … + anvn と表すことができる
（n は x ごとに違ってよい）。
の二条件を満たすことを言う。
775:１３２人目の素数さん
20/08/25 21:39:44.48 lTsO94ZA.net
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことは選択公理と同値）
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
776:１３２人目の素数さん
20/08/26 06:01:52.65 iiai9c8f.net
◆yH25M02vWFhP 無限次元の場合の基底の定義も知らず粋がる
馬鹿丸出しｗｗｗｗｗｗｗ
777:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 07:24:31.47 mnW83lWq.net
>>676
ID:LqiSh/C2さん、どうもです
私の数学メモを読んでくれてありがとう
いま、下記
(>>642より）
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Division ring
>"Relation to fields and linear algebra
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>（ unital/unitary ring、単位的環、単位環 ）
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
(引用終り)
について調べています
自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね
ねじれフリーが、もとのRの加除環性、つまり零因子を持たず、0以外の元に逆元が存在して、積が群になる（＝Rは体又は斜体）ってことに関係しているってこと
つまりは、「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係しているってことなのでしょうね～（＾＾；
778:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 07:33:51.97 mnW83lWq.net
>>681 余談
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
いま気付いたが、英語版だと A unital ring R、日本語版だと 環 R
英語版の通り、単位的環 つまり 乗法単位元を持つ環とするのが、正解かも（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単位的環
(抜粋)
単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。
779:１３２人目の素数さん
20/08/26 09:47:17.07 8ae+cQFx.net
勉強になるなあ
780:１３２人目の素数さん
20/08/26 17:34:00.37 XvaNrpWd.net
n≧3とする。縦2*nマス、横2*nマスのチェス盤から白、黒のマス目を１つずつ抜き取った欠損チェス盤で、
ドミノ牌で敷き詰められないものが存在するか。また、白、黒2個ずつ抜き取ったらどうか。
この問題ですが、2部グラフの完全マッチングの問題と考えていいでしょうか？
781:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:35:08.08 xagmva3J.net
メモ
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)(with%20surjectivity%20not%20required).
Wolfram MathWorld
Endomorphism
The term endomorphism derives from the Greek adverb endon ("inside") and morphosis ("to form" or "to shape").
In algebra, an endomorphism of a group, module, ring, vector space, etc. is a homomorphism from one object to itself (with surjectivity not required).
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
Wolfram MathWorld
Homomorphism
A term used in category theory to mean a general morphism. The term derives from the Greek omicronmuomicron (omo) "alike" and muomicronrhophiomegasigmaiotasigma (morphosis), "to form" or "to shape." The similarity in meaning and form of the words "homomorphism" and "homeomorphism" is unfortunate and a common source of confusion.
782:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:40:28.07 xagmva3J.net
>>683
どもです
レスありがとう
783:１３２人目の素数さん
20/08/26 17:40:56.87 iiai9c8f.net
>>675
＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
単に◆yH25M02vWFhP が、「一次独立」を全然理解してないだけ
■環上の加群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、
係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、
その元と環の元との間に乗法が定義され、
その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。
すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。
これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x（n-項の和）とし、
0x = 0 および (－n)x = －(nx) とおけばよい。
このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。
実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない
（ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ）。
■捩れ（代数元）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、・・・
環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。
環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元（＝零因子でない元）r が存在して、
m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、
加群の捩れ元 (torsion element) という。
■自由加群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
・E は M を生成する。
すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
・E は一次独立である。
すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元e1,e2,…,enに対して
r1e1+r2e2+…+rnen=0Mであれば、r1=r2=・・・=rn=0Rとなる。
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群である�
784:ﾆいう。 --- >>681 >自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね 自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない がいえる（基底の定義から自明） しかし逆は即座には言えない （つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る） 自由、とはいかなる（自明でない）関係式も存在しない、という意味 つまりねじれ以外の関係式も存在しない とはいえ、基底とか一次独立とか知らないとか、 大学全く行ったことないのがバレバレ （理系大学卒なら、こんなの大学1年の線形代数で習う常識中の常識）
785:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:41:46.80 xagmva3J.net
>>684
こちらへどうぞ
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
786:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 17:48:59.41 xagmva3J.net
>>687
おお、すごいじゃん
勉強してますね
>しかし逆は即座には言えない
>（つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る）
この後を聞きたいのだが
つまり、「自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない がいえる（基底の定義から自明）」は良いとして
（>>682より）
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>斜体 (数学) division ring
>斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。
(引用終り)
”単位的環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。”
をどぞ、語ってください
787:１３２人目の素数さん
20/08/26 17:53:01.47 iiai9c8f.net
>>681
＞「零因子を持たず」 と、「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」とが、関係している
まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
Ｚ加群の中にはねじれ元をもつものがある（つまり自由加群でない）ので
そのことからも、Ｚが体でないことが分かります（回りくどいですが）
788:１３２人目の素数さん
20/08/26 18:14:46.42 iiai9c8f.net
>>689
＞この後を聞きたいのだが
＞つまり、・・・
＞”単位的環 R が斜体である必要十分条件は
＞すべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。”
＞をどぞ、語ってください
以下のpdfの、p216-221
8. CHARACTERIZATION OF DIVISION RINGS
を読んで見な
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
ま、しかし、大学にも入れない君には決して理解できないよ
だから諦めな 高卒に、代数なんか無理
789:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:32:24.09 xagmva3J.net
>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。
確かに、>>675より
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．
P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．
質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね．
お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです．
そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが．
質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．
(引用終り)
確かに、この問答は、あまり教育的ではないね
「R 上の無限次元ベクトル空間となる」と、「例をあげたはず．F は基底をもちません」とは、アンマッチだね
「F は”有限”基底をもちません」と言えばよかったね
でも、下記の関数空間に、関係してくるから、深入りしたくなかったのかも
”Hamel(ハメル)基底”とか話をしだすと、収拾つかないと思ったかも
URLﾘﾝｸ(math-note.xyz)
あーるえぬ｜数学のあれこれ
ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数 2017/10/16
つづく
790:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:33:24.33 xagmva3J.net
>>692
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
関数空間
(抜粋)
概要
関数空間はもとの空間の様々な性質を自然な形で内包しており、素性のよい空間であれば、その関数空間からもとの空間を「復元」することができる。通常、考察の対象となる関数は実数値関数や複素数値関数のように終域を共有するものである。
関数の終域として、必要に応じて特定の体や環といった代数系をとることになるが、それにより関数空間にはベクトル空間や環上の加群の構造があらかじめ与えられていると考えることができる。もとの空間が代数的なものでなくても、関数空間へ移れば代数的な操作を利用した考察が可能となるということが、関数空間を考える動機のひとつである。つまり、関数空間の代数的な性質をもとの空間に還元してやることで、それまでには知られていなかった性質が発見されたり、
791:逆にもとの空間の幾何学的な構造を関数空間に移して考えることで、ある種の代数系の性質が決定されることを知ったりするのである。 [注釈 1] 一般化または追加の構造 ・函数環（英語版）: 函数の成す線型空間に積を入れて線型環としたもの ・環付き空間 / 概型: 空間とその上の函数空間を組として捉える見方を抽象化する概念 つづく
792:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:33:45.39 xagmva3J.net
>>693
つづき
（上記の”函数環（英語版）”のリンクが下記）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Banach function algebra
(抜粋)
In functional analysis a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex valued functions from X, together with a norm on A which makes it a Banach algebra.
Theorem: A Banach function algebra is semisimple (that is its Jacobson radical is equal to zero) and each commutative unital, semisimple Banach algebra is isomorphic (via the Gelfand transform) to a Banach function algebra on its character space (the space of algebra homomorphisms from A into the complex numbers given the relative weak* topology).
If the norm on A is the uniform norm (or sup-norm) on X, then A is called a uniform algebra. Uniform algebras are an important special case of Banach function algebras.
(引用終り)
以上
793:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 18:45:07.61 xagmva3J.net
>>690
>まず、一般の環について「零因子を持たない」と「0以外の元に逆元が存在して、積が群になる」は同値ではありません
>整数環がいい例です 零因子はありませんが、１とー１以外の元には逆元がありません
うん
だが、零因子でなければ、逆元を追加できるよね
つまり、整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
>>691
ありがと
ちらっと見た
1974か、ちょっと古いけど
Categoryも入っているね（＾＾
794:１３２人目の素数さん
20/08/26 19:32:52 iiai9c8f.net
>>695
＞整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
＞だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
高卒は「同値」という言葉の意味も知らんらしい
整数環は有理数体と同値です！！！とか
脳味噌サナダムシに食われてんのか？
URLﾘﾝｸ(www.newsweekjapan.jp)
795:１３２人目の素数さん
20/08/26 20:31:51.69 Cw0W0enJ.net
瀬田がシレっと自演レス入れてる件
796:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 20:33:38.67 mnW83lWq.net
>>696
必死で誤魔化して逃げようってわけ？ｗ（＾＾
797:現代数学の系譜 雑談
20/08/26 20:40:50.50 mnW83lWq.net
>>697
自演？ 下記か？
>>676 ID:LqiSh/C2 2020/08/25(火)
>>683 ID:8ae+cQFx 2020/08/26(水)
この二つのIDは、日が違うのでIDが別だが、同一人物と見た
彼の名誉のために言っておくが（＾＾；
別人だよ
798:粋蕎
20/08/26 20:53:29.89 Ph18BIHC.net
>>696
二行も要らん一行ずつで背反じゃ！
>>695 > 整数環に逆元を追加してやれば、有理数体が構成できるよね
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
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( Д ) Д)Д))
> だから、”逆元を追加できる”という条件下では、同値？
ｽﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟﾊﾟｰﾝ!!!!!!
+ ,, * +
" ＋※" + ∴ * ※ *
* * +※ ﾞ* ※ * ＋
+ "※ ∴ * + * ∴ +
* ※"+* ∵ ※ *"
( Д ) Д)Д))
何で儂が嫌いな第六天(=他化自在天)魔王・猿MaraオナホしごきPapiyas一石を同意どころか支援補強せんと行かんのじゃぁぁぁあああ!?
瀬田氏はネオエクスデスか何かか？『宇宙の法則が乱れる!!』言うんか?!どうやら瀬田氏はグランドクロスはグランドクロスでも
馬鹿と阿呆のグランドクロスの様じゃな!!巫山戯も巫山戯、巫山戯切っとる!!
「知『能』化」無き「知『識』万列」は死蔵が如し！It's a dead stock!! 此んなコピペ万列、ゴミ屋敷じゃ､
しかも瀬田氏の、完全・無欠!!に間違った素人以下の私見添えの所為で茶濁しどころか毒盛りじゃぁぁぁあああ!!
松平健「見苦しいぞ瀬田の守、神妙にせい!!｣