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つづき
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中山の補題
(抜粋)
現代代数学や可換環論において、中山の補題（なかやまのほだい、英: Nakayama's lemma、クルル-東屋の定理（Krull?Azumaya theorem）とも[1]）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。
この補題は、まずヴォルフガンク・クルルによって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が Azumaya (1951) によって発見されたにも関わらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている[1][2]。可換の場合には、補題はケイリー・ハミルトンの定理を一般化した形の単純な帰結であり、これは Atiyah (1969) に書かれている。非可換なときの右イデアルに対する補題の特別な場合は Jacobson (1945) にあり、そのため非可換な中山の補題はジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson?Azumaya theorem) と呼ばれることもある[1]。後者はジャコブソン根基の理論にたくさんの応用をもっている[3]。
つづく