純粋・応用数学（含むガロア理論）3

純粋・応用数学（含むガロア理論）3at MATH

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 - 暇つぶし2ch685:F%BA ジャコブソン根基 (抜粋) 環論において、環 R のジャコブソン根基あるいはヤコブソン根基（英: Jacobson radical）とは、すべての単純右 R-加群を零化する R の元からなるイデアルである。定義において「右」の代わりに「左」としても同じイデアルが得られるので、この概念は左右対称である。環のジャコブソン根基をよく J(R) あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はジャコブソン（英語版）にちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環について(Jacobson 1945)で研究した人である。環のジャコブソン根基には内在的な特徴づけが数多くあり、そのいくつかは単位元をもたない環に対する定義としても採用することができる。加群の根基はジャコブソン根基の定義を加群を含むように拡張する。ジャコブソン根基は多くの環や加群の理論の結果、例えば中山の補題において、際立った役割を果たす。直感的な議論他の環の根基のように、ジャコブソン根基は「悪い」元の集まりとして考えることができる。この場合「悪い」性質はこれらの元は環のすべての単純左・右加群を零化するということである。比較の目的のため、可換環のベキ零根基 √0 を考えよう。これはすべてのベキ零元からなる。実は任意の環について、環の中心に入っているベキ零元はジャコブソン根基にも入っている[1]。なので、可換環については、ベキ零根基はジャコブソン根基に含まれている。つづく

次ページ

続きを表示

1を表示