20/08/20 00:25:15.67 gmO23IhH.net
>>449
つづき
Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]
All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.
Main theorems
Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.)
Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
Related notions
Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). A more complete comparison is found in the article Field (mathematics).
The name "Skew field" has an interesting semantic feature: a modifier (here "skew") widens the scope of the base term (here "field"). Thus a field is a particular type of skew field, and not all skew fields are fields.
While division rings and algebras as discussed here are assumed to have associative multiplication, nonassociative division algebras such as the octonions are also of interest.
A near-field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws.
(引用終り)
以上
509:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:27:25.65 gmO23IhH.net
>>447
>idiotと云われただけで発●するなよ
いや、別に
アホのオチコボレ数学科、ヒキコモ無職・無収入から
何を言われようが、なんともないｗ（＾＾
510:１３２人目の素数さん
20/08/20 00:40:57.07 W815SeIs.net
>>445
そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに未だ気付かない瀬田くんだったとさ
めでたしめでたし
511:１３２人目の素数さん
20/08/20 06:29:54 XKBeWolE.net
>>452
＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに
＞未だ気付かない瀬田くん
これか
>>328
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな
512:１３２人目の素数さん
20/08/20 06:31:04 XKBeWolE.net
>>452
＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに
＞未だ気付かない瀬田くん
これか
>>428
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな
513:１３２人目の素数さん
20/08/20 06:42:23 XKBeWolE.net
つまりEkiAEjlで、
「Aのi行目j列目の値aijが、k行目l列目に転写され、他が0となる行列」
となる
EkiAだけだと
「Aのi行目まるごと、k行目に転写し、他が0となる行列」
AEjlだけだと
「Aのj列目まるごと、l列目に転写し、他が0となる行列」
まず、行列の計算の仕方を真っ先覚えて、実践しようぜ！
高卒◆yH25M02vWFhPの学歴詐称詐欺野郎 セタよお
514:１３２人目の素数さん
20/08/20 07:38:08 W815SeIs.net
重大な間違いを犯してるのになぜか示したい帰結は導けてしまう謎の瀬田証明ｗ
解答のサル真似すらできない瀬田くんはサル未満だったとさ
めでたしめでたし
515:１３２人目の素数さん
20/08/20 07:50:55 W815SeIs.net
「代数入門問題集」（>>415）なのだから、大学生が自力で解くことが想定されている。
解答を見ても間違う瀬田くんに数学は無理ｗ
516:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 09:47:12.07 ofe1CzFB.net
ピンチになると、複数IDでご登場か
分かり易いやつだな
あほサル
ばれてるよ
517:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/20 10:56:48 ofe1CzFB.net
>>453-454
(引用開始)
>>328
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
(引用終り)
おお、ご指摘の通りだね
おれの大チョンボだったな。最近手で行列計算やらんからな・・（＾＾；
だが、ちょっと待て
赤ペン先生するよ！ｗ
誤「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
↓
正「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」
が正しいぞ！ 100点満点で言えば、5点減点の95点だな
まあ、間違い方としては、おれの方が大チョンボだが、これもちょっとしたチョンボだな～（いい勝負かもよｗ（＾＾）
昔は、中学で、こっそり連立方程式の検算用に行列表記と行列式の計算を教えてくれた
まあ、おサルの中卒は認めるよ。頑張ったね（＾＾；
518:１３２人目の素数さん
20/08/20 19:47:13 W815SeIs.net
解答があると間違いを素直に認めるんだなｗ
箱入り無数目は絶対に認めないのにｗ
これがバカの限界ｗ
519:１３２人目の素数さん
20/08/20 19:54:35 XKBeWolE.net
答えがあると言い訳できないからね
高卒の学歴詐称馬鹿にはこまったもんだ
こんな馬鹿が国立大学なんか入れるわけない
大阪大学どころか秋田大学でも無理ｗ
520:１３２人目の素数さん
20/08/20 19:57:56 XKBeWolE.net
>>459
＞中学で、こっそり連立方程式の検算用に
＞行列表記と行列式の計算を教えてくれた
どこの後進地域だ�
521:謔翌翌翌翌翌翌� 東京なら小学生でも知ってる いまどき中学受験するガキなら 遠山啓の数学入門（上）程度のことは 知ってて当然 知らなきゃ確実に落ちるｗ
522:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 21:21:21.64 gmO23IhH.net
>>428 訂正
訂正しときます
（訂正のみ書くよ）
（補足）
・行列単位の積 EikEkl = Eil となる（なおEik等は、行列単位で、(i, k) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列（下記戸松ご参照））
・上記同様だが、下記花木の問 25(4)で
0 ≠ A = (aij) ∈ I でのEkiAEjｌ
を考える（なお、0 ≠ Aより、一般性を失うことなく、あるaijで aij≠0と仮定することができる）
前半の積EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
「積EkiAは、行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」となる（>>459）
（つまり、0ではない成分aijは、(k, j)の位置へ移る）
・同様に、任意の行列 B = (bkj) で、
「積BEkl は、行列Bのj列目が抜き出されでｌ列目に転写され、その他の"列”が0となる行列」である（上記同様である）
（つまり、B＝EkiAを考えると、上記(k, j)の位置のaijは、(k, ｌ)の位置へ移る）
・結局、aijを、任意に選んだ(k, ｌ)の位置に移すことができる
・仮定よりaij≠0だから、これに逆数 aij^-1を掛けて
aij^-1 EkiAEjｌ ＝Ekl が導かれる
・klの組は、任意に選べるから、一つのaij≠0なる要素から、任意の行列単位Ekl が導かれ、イデアルI内の行列 A = (aij) ∈ I から積のみを使って導かれるので
イデアルI内に、任意の行列単位 Eklが存在する、つまり Ekl ∈ Iとなる
＜なお参考に下記を再録しておく＞
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（問 25 26の解答ご参照）
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
（P1～2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照）
523:１３２人目の素数さん
20/08/20 22:02:46 W815SeIs.net
>>463
解答見ても間違え、間違いを手取り足取り教えてもらって
>訂正しときます
にふいたｗ
524:１３２人目の素数さん
20/08/21 01:46:20.46 Ik5evrii.net
>>458
ピンチ？？？
525:１３２人目の素数さん
20/08/21 02:02:03.97 r7YnYWZV.net
87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
規則性を見つけてくれ〜(^_^)ﾉ
上は
nを1〜44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？
526:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:32:22 WrfyH/cJ.net
>>448 補足
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
(引用終り)
これ、下記アルティン・ウェダーバーンの定理が参考になるな
「可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型である」
>>434にある 雪江明彦 3 巻目 「ヴェーダーバーンの定理」がこれ
手元の雪江本では、P350の定理7.5.15ですな （殆ど読んでないけど（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルティン・ウェダーバーンの定理
(抜粋)
定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di
527: は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。 直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。 R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。 つづく
528:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:33:37 WrfyH/cJ.net
>>467
つづき
アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は 体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。
有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。
(引用終り)
529:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:35:46 WrfyH/cJ.net
>>468
補足
”ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照”な
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環論
(抜粋)
可換環は非可換の場合と比べてその性質はよく調べられている。可換環の自然な例を多く提供する代数幾何学や代数的数論は可換環論の発展の大きな原動力であった。この二つは可換環に密接に関係する分野であるから、一般の環論の一部というよりは、可換環論や可換体論の一部と考えるほうが普通である。
非可換環は可換の場合と比べて奇妙な振る舞いをすることが多くあるので、その理論は可換環論とは極めて毛色の異なったものとなる。非可換論は、それ自身の独自の方法論を用いた発展をする一方で、可換環論の方法論に平行する形で（仮想的な）「非可換空間」上の函数環として幾何学的な方法である種の非可換環のクラスを構築するという方法論が新興している。このような傾向は1980年代の非可換幾何学の発展と量子群の発見に始まる。こうした新たなパラダイムは、非可換環（特に非可換ネーター環）のよりよい理解を導くこととなった (Goodearl 1989)。
歴史
可換環論は代数的数論、代数幾何、不変式論などを起源に持つ。これらの主題の発展に中心的な役割を果たしたのは代数体の整数環、代数函数体、多変数多項式環などである。非可換環論は複素数の概念を拡張した様々な超複素数系を獲得しようとする試みとして始まった。
ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照
つづく
530:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:36:14 WrfyH/cJ.net
>>469
つづき
非可換環は多くの点で行列の成す環が雛形となっている。また、代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。非可換環の例は正方行列の成す環やもっと一般にアーベル群や加群の上の自己準同型全体の成す環、あるいは群環・モノイド環などによって与えられる。
(引用終り)
531:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:38:09 WrfyH/cJ.net
補足
ついでに
”注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単�
532:ｳ）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0 単位的環 (抜粋) 単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。 定義について 集合 R 上の二つの二項演算 (+,*) を持つ代数系 (R,+,*) が単位的環であるとは、 6.乗法単位元: R の元 1R が存在して、R の全ての元 a に対して 1R * a = a * 1R = a を満たす。 （ラングの本など）環の定義に乗法単位元の存在を含める文献もあり、その場合に必ずしも単位的でない環を表すのに擬環 (pseudo-ring, rng) などの語が用いられる[要出典]。即ち、R が単位環であるとは、乗法単位元 1R の存在する擬環のことに他ならない。 例 整数の全体 Z や任意の体（有理数体 Q, 実数体 R, 複素数体 C, 有限体 Fq など）は単位的環である。また、適当な集合 I 上で定義され適当な単位的環に値をとる写像全体の成す集合は、（点ごとの和と）点ごとの積に関して単位的環を成す（乗法単位元は、I の各元に対して常に単位元を対応させる写像）。 単位的環に係数を持つ多項式全体の成す集合やコンパクト台付きシュヴァルツ超函数全体の成す集合は合成積に関して単位的環を成す。しかし、（シュヴァルツ超函数の双対である）試験函数には無限遠で 0 に収斂するなどの制約がついていることが多く、解析学に現れるそういった函数空間の多くは（点ごとの積に関する）単位元を持たない環となる。 つづく
533:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:38:30 WrfyH/cJ.net
>>471
つづき
注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。
(引用終り)
534:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:46:12 WrfyH/cJ.net
>>472
さらに、ついで
環 (数学)の関連箇所
自分の備忘録として（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
(抜粋)
環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった[1]。
現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。
定義に関する注意
公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。
つづく
535:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:47:24 WrfyH/cJ.net
>>473
つづき
もっと
536:重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある[4][5][6]。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ[7]。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。 他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。 Z4 の環としての性質 ・整数の乗法においては、二整数 x, y の積が xy = 0 を満たすならば x = 0 または y = 0 が成り立つが、環 (Z4, +, ?) では必ずしもそれは成立せず、例えば 2 ? 2 = 0 が各因数が 0 ではないにもかかわらず成り立つ。一般に、環 (R, +, ?) の非零元 a が (R, +, ?) における零因子であるとは、R の非零元 b で ab = 0 を満たすものが存在するときに言う。環 Z4 においては 2 が唯一の零因子である（なお、0 を零因子と扱うこともあることに注意）。 ・零因子を持たない可換環は整域と呼ばれる（後述）。故に整数全体の成す環 Z は整域であり、一方 Z4 は整域ではない環である。 イデアル R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ Iならば xy やyxがかならず I に入っているとき、I を両側イデアルという。（したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。）イデアル I が与えられているとき、x - y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。 つづく
537:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:47:46 WrfyH/cJ.net
>>474
つづき
環の構成法
剰余環
詳細は「剰余環」を参照
感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 (R, +, ・ ) とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環あるいは商環 R/I とは、I による（台となる加法群 (R, +) に関する）剰余類全体の成す集合に
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I)(b + I) = (ab) + I.
という演算を入れたものをいう。ただし、a, b は R の任意の元である。
環のクラス
いくつかの環（整域、体）のクラスについて、以下のような包含関係がある。
・可換環 ⊃ 整域 ⊃ 半分解整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体
つづく
538:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:48:07 WrfyH/cJ.net
>>475
つづき
有限環
詳細は「有限環（英語版）」を参照
自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる（必ずしも単位的でない）環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない（加法群は位数 m の巡回群に同型）。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群としてみれば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する（有限アーベル群の構造定理）。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する[11]。一方、位数 m の「群」は二種類しかない（いずれも可換群）。
有限環論が有限アーベル群の理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類の互いに同型でない有限環が存在することによる（Z/mZ のいくつかの直和と零環）。一方、有限アーベル群を必要としない方法では有限環のほうが簡単なこともある。例えば、有限単純群の分類は20�
539:｢紀数学の大きなブレイクスルーの一つであり、その証明は雑誌の何千ページにも及ぶ長大なものであったが、他方で任意の有限単純環は必ず適当な位数 q の有限体上の n-次正方行列環 Mn(Fq) に同型である。このことはジョセフ・ウェダーバーンが1905年と1907年に確立した二つの定理から従う。 定理の一つは、ウェダーバーンの小定理として知られる、任意の有限可除環は必ず可換であるというものである。ネイサン・ヤコブソンが後に可換性を保証する別な条件として 「R の任意の元 r に対し、整数 n (> 1) が存在して rn = r を満たすならば R は可換である[12]」 を発見している。特に、r2 = r を任意の r が満たすならば、その環はブール環と呼ばれる。環の可換性を保証するもっと一般の条件もいくつか知られている[13]。 自然数 m に対する位数 m の環の総数はオンライン整数列大辞典の A027623 にリストされている。 つづく
540:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:48:55 WrfyH/cJ.net
>>476
つづき
主イデアル環
詳細は「主イデアル整域」および「主イデアル環」を参照
環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論的性質は必ずしも近いものとはならない。整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアルが単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。
環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルが
aR={ar ｜ r∈ R }
の形に表されることをいう。また主イデアル整域 (PID) とは整域でもあるような主イデアル環をいう。
環が主イデアル整域であるという条件は、環に対するほかの一般的な条件よりもいくぶん強い制約条件である。例えば、R が一意分解整域 (UFD) ならば R 上の多項式環も UFD となるが、R が主イデアル環の場合同様の主張は一般には正しくない。整数環 Z は主イデアル環の簡単な例だが、Z 上の多項式環は R = Z[X] は PIR でない（実際 I = 2R + XR は単項生成でない）。このような反例があるにもかかわらず、任意の体上の一変数多項式環は主イデアル整域となる（実はさらに強く、ユークリッド整域になる）。より一般に、一変数多項式環が PID となるための必要十分条件は、その多項式環が体上定義されていることである。
つづく
541:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:49:26 WrfyH/cJ.net
>>477
つづき
非可換環
詳細は「環論」を参照
非可換環の研究は現代代数学（特に環論）の大きな部分を占める主題である。非可換環はしばしば可換環が持たないような興味深い不変性を示す。例えば、非自明な真の左または右イデアルを持つけれども単純環である（つまり非自明で真の両側イデアルをもたない）ような非可換環が存在する（例えば体（より一般に単純環）上の2次以上の正方行列環）。このような例から、非可換環の研究においては直感的でないような考え違いをする可能性について留意すべきであることがわかる。
ベクトル空間の理論を雛形にして、非可換環論における研究対象の特別な場合を考えよう。線型代数学においてベクトル空間の「スカラー」はある体（可換可除環）でなければならなかった。しかし加群の概念ではスカラーはある抽象環であることのみが課されるので、この場合、可換性も可除性も必要ではない。加群の理論は非可換環論において様々な応用があり、たとえば環上の加群を考えることで環自身の構造についての情報が得られるというようなことも多い。環のジャコブソン根基の概念はそのようなものの例である。実際これは、環上の左単純加群の左零化域全ての交わりに等しい（「左」を全部いっせいに「右」に変えてもよい）。ジャコブソン根基がその環の左または右極大イデアル全体の交わりと見ることもできるという事実は、加群がどれほど環の内部的な構造を反映しているのかを示すものといえる。確認しておくと、可換か非可換かに関わらず任意の環において、すべての極大右イデアルの交わりは、すべての極大左イデアルの交わりに等しい。従って、ジャコブソン根基は非可換環に対してうまく定義することができないように見える概念を捉えるものとも見ることができる。
(引用終り)
以上
542:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:52:21 WrfyH/cJ.net
>>466
こちらへどうぞ（＾＾
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
543:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 08:00:29 WrfyH/cJ.net
>>465
おサルは、ピンチですよ～！ｗ（＾＾
(>>363より)
この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
(引用終り)
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
攻撃は最大の防御です
ディベートでもかな？（違うかも）
でも、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
でも、行列環では、逆元の存在と零因子とは密接な関係がある
アルティン・ウェダーバーンの定理は、それ普通って主張だよね
544:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 11:41:28 sZPmTJOe.net
>>480 補足
（>>384より）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
(引用終り)
上記は、体は可換体で、イデアルは両側イデアルのことです。
証明の筋は、（Yahoo回答の通りで屋上屋だが）
１）”体R→自明な両側イデアルしか持たない”で
{0}でない、両側イデアルIで、Iの0でない元yが存在する
体なので、yの逆元y^-1が存在する
両側イデアルの定義より、積yy^-1＝1∈I （1は、乗法単位元で、Iは”1”を含むがキモ）
1∈Iより、1R＝R⊂I。I⊂Rだから、I＝Rとなり、体は自明な両側イデアルしか持たない
２）”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”をいうには
{0}でない、両側イデアルIで、仮定よりI＝R
0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）
よってRの元bが存在してab=1となる（(a)＝Rだから、任意のx,y ∈R でax＝y と必ずできるってこと。これが本質）
（なお、bは逆元である。つまり、0でない元aに逆元が存在するが言えた）
したがって、環Rは体である。
３）以上より、環Rが体であることの必要十分条件は、
”環Rが自明な両側イデアルしか持たないこと”である事が示された。
さて、
”体R→自明な両側イデアルしか持たない”は、斜体（非可換）に拡張できる
だが、逆の”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”は、非可換の場合には反例がある
つづく
545:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 11:42:07 sZPmTJOe.net
>>481
つづき
その反例こそ、何を隠そう、行列環 Mn(R) だ！（>>467など）
行列環 Mn(R) が、積で非可換は、いわずもがな
行列環 Mn(R) が、零因子を持つことも、いわずもがな
つまり、行列環 Mn(R) は単純環であるけれども、斜体ではない ∵行列環 Mn(R) 零因子を含み、零因子は逆元を持てない！
逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係なのです
そして、「アルティン・ウェダーバーンの定理」から、これ結構普通＊）
環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
自分の失言を誤魔化そうと、
他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないｗ（＾＾；
＊）注
>>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾
以上
546:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 11:49:10 sZPmTJOe.net
>>480 補足
>日曜数学者 tsujimotter 氏
彼の名誉のために、補足しておくと
（>>103より）
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
2019-06-21
層の定義
(引用終り)
これ、な～んにも間違ったことは書いていないと思うよ
もちろん、私も、「層の定義」とか、深いところは理解していないけどな（＾＾；
でも、おサルが、私を攻撃するために、
tsujimotter 氏の文を誤読・曲解して、難癖をつけただけのこと
それで、自爆してりゃ、世話ないぜｗ
547:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 12:05:31 sZPmTJOe.net
>>480 補足
>アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
勿論、私も知らなかった
でも言われてみれば、これ結構当たり前のことかもね（＾＾
で、私は、正方行列に零因子があることは知っていた（常識だから自慢しているわけではない。念のため）
零因子に逆元（逆行列）が存在しないことも、知っていた
逆行列を持つなら、行列式は０ではなく、零因子でないことも知っていた
だから、>>149を書いたのです
勿論、>>141-142も同じ趣旨
（>>141より）
”まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ”
を、おサルはこれを曲解して、正方行列の全体 Mn(R) （＝行列環）だと、思ったらしい
コンテキストが群なんだから、”正方行列の零因子を除く”は、当たり前だよ
そこを必死に突いて、「行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係」だってこと（>>482より）
そういうことを知らずに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違い発言ｗ（>>371など）
自分の失言を誤魔化そうと、
他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないなｗ（＾＾；
548:粋蕎
20/08/21 12:49:15.29 OKshRg9w.net
コピペ心象工作氏は群を何と勘違いしとるのか？
549:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:04:45 sZPmTJOe.net
>>482 補足
>>>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾
なるほど、下記
環の直積：”1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。”
だから、この例で、pi(x) に零因子を選び、零因子の相棒 pi(y) を持ってきて、ｘ側のpi(x)以外の座標には、0（零）を当てれば＊）、積環において xy = 0が成立だな
つまり、pi(x) に一つでも、零因子が入れば、全体でも零因子ってことですね
＊）注：y＝(0,0・・0,pi(y),0・・0,0)ってこと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の直積
(抜粋)
いくつかの環を1つの大きい直積環、積環 (product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で Ri が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Πi ∈ I Ri は演算を coordinate-wise に定義することによって環にできる。
得られる環は環 Ri の直積 (direct product) と呼ばれる。
550:有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。 性質 これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。 つづく
551:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:05:25 sZPmTJOe.net
>>486
つづき
各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。
R の元 x が単元であることとその component のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。
1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。
(引用終り)
552:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:21:34 sZPmTJOe.net
>>485
粋蕎さん、どうも
＞コピペ心象工作氏は群を何と勘違いしとるのか？
人の群れじゃないですかね？
まあ、私には、勘違いはないですよ
群は、元々は方程式の解法における根の置換から考えられた
置換群は、非可換です。全く素朴な、考えです
群で非可換な例を示せなんて、アホとしか言いようがない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 (数学)
歴史
群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。
16世紀中頃に、ジェロラモ・カルダーノ、ルドヴィコ・フェラーリらによって四次方程式までは冪根による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。その後18世紀後半になってラグランジュによって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「ラグランジュの定理」にその名が残っているのはこのためである。）19世紀に入り、ルフィニやニールス・アーベルによって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。
ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の可解性という性質に帰着した。ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今ではガロア理論と呼ばれている。
つづく
553:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:22:18 sZPmTJOe.net
>>488
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Group (mathematics)
History
The modern concept of an abstract group developed out of several fields of mathematics.[8][9][10]
The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract
554:definition of a finite group.[13] Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.[14] After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.[15] つづく
555:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:22:47 sZPmTJOe.net
>>489
つづき
The third field contributing to group theory was number theory. Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.[16] In 1847, Ernst Kummer made early attempts to prove Fermat's Last Theorem by developing groups describing factorization into prime numbers.[17]
The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870).[18] Walther von Dyck (1882) introduced the idea of specifying a group by means of generators and relations, and was also the first to give an axiomatic definition of an "abstract group", in the terminology of the time.[19] As of the 20th century, groups gained wide recognition by the pioneering work of Ferdinand Georg Frobenius and William Burnside, who worked on representation theory of finite groups, Richard Brauer's modular representation theory and Issai Schur's papers.[20]
(引用終り)
以上
556:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:59:01 sZPmTJOe.net
>>483 補足
>URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)<)
サイエンス社
代数幾何入門講義
小林 正典 著 2008 年 6 月 1 日
まえがき
抽象化の前に具体例を与えるように努めた．また，高度な抽象化は段階を踏んで行うようにした．途中からページをめ
くると難しく見えるかもしれないが，前から順番に読んでいけばさほどでもないはずである．
抽象的に感じる命題は，具体的な例に置き換えて読むとよい．仮定が一般化されているのは，証
明にそれだけの仮定しか使っていない，というヒントでもある．「環」であれば，多項式環，「環付き
空間」「概型」であれば，アフィン空間や射影空間をまず思い浮かべてみるとよい
第 6 章
層
層は，正則関数のように局所的性質をもつ大域的な対象を，代数的に表現するのに便利な概念である．
層はどのようなものを抽象化したものであるかを先に説明しておこう．Rn の
開集合 U に対して，Cr(U) で U 上の Cr 級関数の全体のなす環を表す．また
A p(U) で U 上の C∞ 級 p 形式の全体のなす加群を表す．以下ではこのように，
F(U) で U を定義域とする何らかの局所的性質を満たす関数や微分形式の全体
を表している，と思うと理解しやすいであろう．
6.1 局所的性質
位相空間の上の関数が連続であるとか微分可能であるかどうかは，各点の十
分小さな近傍で判定される．このように，各点の十分小さな近傍の性質で判定
される性質を，局所的性質と呼ぶ．
局所と大域の違いについて簡単な例で考えてみよう．
557:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 16:15:54 sZPmTJOe.net
>>491 追加
まあ、ここらも、読まないとね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
局所環
(抜粋)
局所環（きょくしょかん、英: local ring[1]）は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で[2]、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。
定義
環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ（したがって全て）満たすもののことである[3]：
1.R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
2.R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
3.R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
4.R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
5.R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある（特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない）。
6.R/J は可除環である。ただし J は R のジャコブソン根基を表す。
これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基にも一致する。上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。
可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。
文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある[4]。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。
つづく
558:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 16:18:45 sZPmTJOe.net
>>492
つづき
可換な例
可換（および非可換な）体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。
局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間（これはいくらでも小さく取って構わない）で一致するような函数を全て同一視する。この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽（め、germ）または実数値連続函数芽（が）という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。
この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する
559:必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。 この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。 これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像から芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数から芽の環を考えてもよいが、結果として、これらの芽の環は局所環となる[5]。またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうして特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。 体上の（一変数あるいは多変数の）形式冪級数環も局所環の例である[7]。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。（一方で体上の多項式環は局所環ではない[5]。） (引用終り) 以上 追伸 可換だとジャコブソン根基関係ない なので、ずっと簡単になります
560:現代数学の系譜 雑談
20/08/21 17:11:36.69 sZPmTJOe.net
>>467 補足
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。
(引用終り)
これ、再度強調しておくと
「逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない」
ってこと
この、乗法単位元 1D を含む、つまり、1D∈I が、重要キーワードで、キモなのです
（>>442）
”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」
なんだから”
の批判は、全くの的外れです
本当は、単位行列 E ∈I を作れば良い
{Eij} i,j=1～n の全ては不要です
対角成分 {Eii} i=1～n だけ作って
その和を集めれば、良いのです
（”その和を集めれば”は、部分加群であることから出る（イデアル定義より））
ただ、証明の都合で、対角成分 {Eii} i=1～n だけで良いところが
{Eij} i,j=1～n の全てが出来てしまっただけなのです（＾＾
前者の”単位行列 E ∈I を作れば良い”は、まさに上記”斜体”の重要キーワードの通りです
ここから、普通に、Eの対角成分 → {Eii} i=1～n を 構成する筋は、容易に思いつくことでしょう
だから、”単位行列 E ∈I を作れば良い”の方が、証明の方針として、自然な流れなのです
かつ、行列環に限られない、応用範囲の広い考えなのです
ところが、”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」”
は、行列環以外では、適用できない 狭い考えなのです（＾＾；
561:１３２人目の素数さん
20/08/21 18:41:26.38 r7YnYWZV.net
87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
規則性を見つけてくれ〜(^_^)ﾉ
上は
nを1〜44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？
562:１３２人目の素数さん
20/08/21 18:53:45.23 5VB2YcFE.net
>>480
563:>攻撃は最大の防御 残念ながら ◆yH25M02vWFhPの場合 攻撃は完全な自爆
564:１３２人目の素数さん
20/08/21 18:56:20.61 5VB2YcFE.net
>>481
（◆yH25M02vWFhP 第一の自爆）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
>環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
正しくは「可換環R」
以下の「証明」を読んで理解したなら、
そのことに気づけるはずだが
君は、理解できなかった、と
>aから生成される単項イデアル(a)を考える。
>明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。
>したがって1∈(a)となる
ここまでは非可換環でもOK
し・か・し
>よってRの元bが存在してab=1となる
ここが、非可換環ではNG
可換環なら、両側からRの元を掛けている場合も
「可換性」によって、例えば右側に寄せられる
そうしてしまえば、ac+ad=1の場合も
a(c+d)=1となるから、(c+d)がaの逆元だといえる
ゆえに「Rの元bが存在してab=1」と言い切れる
し・か・し・・・
非可換環の場合、例えばlarを、arlとかrlaとかにすることができない
したがって
(l1)a(r1)+(l2)a(r2)=1
だからといって、そこから
a(r1l1+r2l2)=1
とすることができない
こんなの、数学科卒なら分かるが
素人は論理的思考力がないから
指摘されるまで絶対気づけない
565:１３２人目の素数さん
20/08/21 18:58:09.13 5VB2YcFE.net
>>482
（◆yH25M02vWFhP 第二の自爆）
>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
You are idiot!!!
行列環Mn（R)から、環の構造を保ったまま、零因子だけを除くことはできない
簡単のため、M2(R)で説明
まず、単位行列
(1 0)
(0 1)
は正則 （行列式は1・1-0・0=1だから）
次に、以下の行列
(1 1)
(0 1)
も正則 （行列式は1・1-1・0=1だから）
しかし後者から前者を引いた行列
(0 1)
(0 0)
は、正則ではない！（行列式は0･0-1・0=0だから）
つまり、無理矢理、零因子を抜けば、加法で閉じなくなる
素人は考えないから、こういうあさはかなミスを平気でやらかし
他人に指摘されるまで決して気づけない！
ああ、恥ずかしｗｗｗｗｗｗｗ
>零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）
素人はトンデモ妄想の泥沼で溺死する
だいたい、
「行列環 Mn(R) から、零因子を除く」
みたいな安直な方法で斜体にできるんなら
以下の重要な定理が成り立つわけないだろが！
フロベニウスの定理 (代数学)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
「D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体）」
566:１３２人目の素数さん
20/08/21 18:58:29.26 Ik5evrii.net
>>494
>ところが、”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」”
>は、行列環以外では、適用できない 狭い考えなのです（＾＾；
大間違い。
Rが単位的かつ線型空間でありさえすれば適用可能。（そもそも非単位的なら「1∈I ⇒ I=R」が使えない。）
なぜなら、Rの乗法単位元のスカラー倍ci×1はRの元だからある基底ベクトルEiについてci×1×Ei=ciEiはIの元、基底の任意の一次結合Σ[i]ciEiもIの元だからR⊂I。
定義からI⊂Rだから、結局I=R。
はい、行列環に限らず適用できることが示されますた。瀬田くん相変わらずバカやのう。
567:１３２人目の素数さん
20/08/21 18:59:45.01 5VB2YcFE.net
>>484
（◆yH25M02vWFhP 第四の自爆）
>私は、正方行列に零因子があることは知っていた
>零因子に逆元（逆行列）が存在しないことも、知っていた
>逆行列を持つなら、行列式は０ではなく、零因子でないことも知っていた
だったら、無条件で
”まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな”
と書くな
君が「正則行列」という言葉を知らなかったとしても
”行列式が０でない正方行列とか、０を除く四元数あたりな”
と簡単かつ正確に書くことはできた筈
もしかして、一つでも条件をつけたら簡単でないとか、馬鹿なこといわないだろうね？
工学部というのは粗野な毛深い畜生の巣窟なのかね？ｗ
>コンテキストが群なんだから
コンテキストという言葉で誤魔化せると思うのも
568:idiot！ 工学部というのは日本語も英語も正しく書けない 粗野な毛深い畜生の巣窟なのかね？ｗ
569:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:06:30.63 Ik5evrii.net
瀬田くんバカだから「行列環」と「線型空間をなす環」がどれほどの違いか分らんでしょ？
線型空間は数学の至る所に存在する非常にありふれた構造なんやで～
あんたコピペ以外はほぼ必ず間違うね～ ドヤ顔でデマ流したらあかんで～
570:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:10:50.42 5VB2YcFE.net
>>501
＞あんたコピペ以外はほぼ必ず間違うね～
◆yH25M02vWFhPは、大学に入れなかった高卒だからな
大阪大学卒とかよくもヌケヌケと大嘘がつけたもんだ
国立大学卒なら正則行列くらい知ってる
571:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:17:14.55 Ik5evrii.net
行列環の行列とはn次正方行列であってn次元線型空間の自己同型写像に対応する。
当然線型空間というだけの条件から比べれば限定された狭いものになる。
勝手に狭い対象に限定したらあかんで～ 瀬田くんよう
572:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:24:36.45 Ik5evrii.net
>>494
行列環の証明だけ見て行列環でしか適用できないと判断。
これってまさに
>例が１つだけだと確実に間違う
じゃんｗ
せぇーーーたぁぁーーーーｗ
573:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:34:20.36 Ik5evrii.net
>>497
>>環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
>正しくは「可換環R」
まさにいま非可換環Mn(R)では成立しないことやったばっかなのにｗ
瀬田アホ過ぎｗ
574:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:38:53.14 Ik5evrii.net
>>498
>>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
酷い、酷過ぎるぅぅぅぅーーーーー
せぇーーーーたぁぁーーーーー
575:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:50:58.38 Ik5evrii.net
瀬田くんの引用先はどれもこれも「正則行列」とか「可逆行列」。
誰も
>コンテキストが群
だからといって「正方行列」とは書いてない。
瀬田くんだけですねー
>コンテキストが群なんだから
と言い訳して誤魔化そうとするのは。
576:１３２人目の素数さん
20/08/21 19:54:01.17 QSqddlJw.net
>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
は意味不明ですね。
零因子を除いた集合は乗法で閉じてますが、加法で閉じてるとは言えませんから。
つまり、a,b が零因子でなくても、a+bが零因子になることはありえますから。
当たり前ですね。
577:１３２人目の素数さん
20/08/21 20:00:16.65 Ik5evrii.net
バカだとは思ってたが、さすがに
>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
には驚かされた
恐るべしコピペ脳
578:１３２人目の素数さん
20/08/21 20:08:42.95 Ik5evrii.net
>行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
の間違いを5VB2YcFEさんは丁寧に示してくれたが
代数をちょっとでもかじった経験があれば直観で気付きそうなもの
瀬田くんは訳も分からずコピペばかりしてるから感覚がまったく養われてないんだなー
579:１３２人目の素数さん
20/08/21 20:21:47.55 5VB2YcFE.net
>>510
＞間違いを5VB2YcFEさんは丁寧に示してくれたが
息の根は確実に止めないと（極悪）
580:１３２人目の素数さん
20/08/21 20:24:39.66 5VB2YcFE.net
>>508
＞a,b が零因子でなくても、a+bが零因子になることはありえますから。
（１ ０）
（０ １）
＋
（０ １）
（１ ０）
＝
（１ １）
（１ １）
行列式計算すれば分かるけど
前二つはそれぞれ１とー１
足したものは０
581:１３２人目の素数さん
20/08/21 20:32:29.10 5VB2YcFE.net
多元体
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。
この事実は、ミシェル・ケルヴェアとジョン・ミルナーによってそれぞれ独立に1958年に証明された。
これは代数的位相幾何学、特に K-理論を用いるものである。
qq~ が平方数の和に等しいという等式が成立する次元が 1, 2, 4, 8 に限られることは、
アドルフ・フルヴィッツによって、1898年には既に示されていた。」
「実数体上有限次元の多元体は
・それが「単位的かつ可換」（もしくは「結合的かつ可換」）ならば実数体 R または複素数体 C に同型、
・それが「非可換かつ結合的」ならば四元数体 H に同型、
・それが「非結合的だが交代的」ならば八元数体 O に同型
のいずれかでなければならない。」
「以下、体 K 上の有限次元多元体の次元について知られていることを挙げる。
・
582:K が代数閉体ならば必ず dim A= 1 である。 ・K が実閉体ならば dim A= 1, 2, 4, 8 のいずれかに限られる。 ・K が代数閉体でも実閉体でもないならば、K 上の多元体が存在する次元は無数に存在する。」
583:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 20:41:53 WrfyH/cJ.net
ピンチになると、複数id使い分けか
分り易いやつだなｗ（＾＾；
584:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 20:44:30 WrfyH/cJ.net
>>497
>正しくは「可換環R」
ああ、失礼
その積もりだったよ
まじで、>>481は、全部可換です
まあ、院試だったら、減点だろうな
皆さん、気を付けましょうｗ（＾＾；
585:１３２人目の素数さん
20/08/21 20:46:37 5VB2YcFE.net
>>515
大学入試で落ちた人が院試に受かるわけないｗ
586:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 20:50:38 WrfyH/cJ.net
後出し、後出し
(>>480より)
攻撃は最大の防御です
ディベートでもかな？（違うかも）
でも、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
でも、行列環では、逆元の存在と零因子とは密接な関係がある
アルティン・ウェダーバーンの定理は、それ普通って主張だよね
(引用終り)
全部、後出しじゃんかｗｗｗｗ（＾＾
587:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 21:02:44 WrfyH/cJ.net
ところでさｗ
>>378の問題でさ
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
のあんたの証明は？
まさか、>>415の花木章秀の行列単位 Ekiを使う証明と同じってことなよな～～ｗｗ
自力で考えたんだろｗ？
え～っ、花木章秀と同じで、行列単位 Ekiを使う証明だってｗｗｗｗｗ（＾＾；
自力で考えたが、花木章秀と同じ～ｗ？
笑える～～ｗｗｗｗｗｗ（＾＾；
588:１３２人目の素数さん
20/08/21 21:04:23 5VB2YcFE.net
>>517
後出しで間違う高卒ＤＱＮ ｗｗｗｗｗｗｗ
「零因子除けば体」（ドヤ顔）
ヒャーハッハッハ！！！
589:１３２人目の素数さん
20/08/21 21:07:22 5VB2YcFE.net
>>518
花木章秀の証明も理解できずに間違えた
高卒ＤＱＮが悔しさで発狂中
ヒャーハッハッハ！！！
もう死ねよ 人間失格の野獣
貴様の眉間に銃弾打ち込んでやるから成仏しな
貴様の肉は俺たち人間様が美味しく食ってやっから
ジビエ料理かｗｗｗｗｗｗｗ
590:１３２人目の素数さん
20/08/21 21:17:34.11 5VB2YcFE.net
ジビエ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
■獣類
野ウサギ（lièvre、リエーヴル）
ジビエの中ではクセが強く、また肉質も硬くパサつきやすい。
火の入れ方、スパイスやハーブの使い方など調理に気を遣う食材である。
1匹を丸ごと煮込む「ロワイヤル」と呼ばれる調理法が代表的である。
また、血をソース（シヴェ・ソース）のつなぎに使って野性味を強調することも多い。
一方、家禽のウサギはラパン（lapin）と呼ばれ、リエーヴルよりも淡白な味わいで知られる。
シカ（chevreuil、シュヴルイユ）
クセの少ない淡白な赤身肉。ヨーロッパでは2歳くらいの個体を使う。
頭や首の急所を狙って一発で即死させないと暴れて肉に血が回ってしまうため、
ハンターの腕が問われるところである。
血抜きも即座に行
591:わなくてはならない。 イノシシ（sanglier、サングリエ）、仔イノシシ（marcassin、マルカッサン） 日本では成獣を狩るが、フランスでは肉が硬くなるのを嫌って、 まだウリ坊の幼獣を対象とする。味、料理法等は豚肉に準じる。 クマ（ours、ウルス） 肉の大半は脂身で、口どけが良い。 赤身は筋張って臭みがある。発酵温度が非常に高く、 冷蔵庫では腐敗するので、冷凍に近い温度で熟成させる。 シカやイノシシと違い、脱骨済みの部位で流通している。 アライグマ（ratons laveurs、ラトン・ラヴール） ドイツ、フランス、日本に野生化し、 駆除対象とされた北米原産アライグマは、 近年ジビエとして現地にて利用され始めている。 脂の下処理後の赤身肉のみを、香味野菜と長時間煮込む調理法が一般的。
592:１３２人目の素数さん
20/08/21 21:26:56.68 Ik5evrii.net
>「零因子除けば体」（ドヤ顔）
瀬田よ、浅い、浅過ぎるよおまえ
んなわけねーだろｗ
593:１３２人目の素数さん
20/08/21 23:15:15 5qiPpY9M.net
応用数学とくに数理物理学におけるWの計り知れない貢献をウェブ上の文献で耽読いたしたのはS川氏であったと丁寧に記憶したT川氏が伊藤の公式をGauss-Riemannに帰着させたR氏の定理と曲率テンソルにおいて自明な計量を持つ
Kahler多様体の代数的側面とCauchyの分布の数値計算的性質に裏付けられた多値関数のRiemann的な正則モノドロミーの線形群上の加群への作用が解析的連接層と代数的連接層の圏同値を誘導して有名なRiemannの定理を導くが正則
行列式群の極大p部分群のべき等性から数論的部分群による商は位相群の同型を導くことがA氏の論文に載っており現在も引用され続けているのは定理7. 9. 12の宇宙的非自明性によるものであることはK藤氏により指摘されておりAbel群の研究においては標準的な文献になっている。
594:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 23:18:02 WrfyH/cJ.net
>>495
それ、下記でやっているよね
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:272番)-
595:１３２人目の素数さん
20/08/21 23:30:28.27 r7YnYWZV.net
群論を使った解釈をお願いする
596:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 23:41:25 WrfyH/cJ.net
>>498-513
ありがとさん
ああ、そうだったねｗ（＾＾；
ご指摘の通り
よってこれ（>>482）「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
は、撤回しておくよ
なお（>>482より）修正
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係なのです
↓
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちには、密接な関係がある
よって、なお下記は有効ですな
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
597:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 23:43:00 WrfyH/cJ.net
>>525
>群論を使った解釈をお願いする
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:272番)-
で、一括して議論頼むよ
分散する意味は、薄い
598:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 23:53:52 WrfyH/cJ.net
>>518
（再録）
>>378の問題でさ
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
のあんたの証明は？
まさか、>>415の花木章秀の行列単位 Ekiを使う証明と同じってことなよな～～ｗｗ
自力で考えたんだろｗ？
(引用終り)
やっぱ、種本丸写しかよ
いやいや、それで良い、それでいいんだ
身の程を知れってこと
自力で考えるなんて、あんたの頭じゃ、無理だよね
数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
正道とは、自分に適した道のこと
Fランでも、数学教師は、東大京大から来る場合が多い
数学秀才が来る場合が多い。彼らは、自分の
599:体験から「自分で考えて解きましょう」なんていうけどさ あんたらが、同じようにできるわけない やっぱ、種本丸写し、いやいや、それで良い、それでいいんだ きっと、花木章秀だって、種本あるんだよ、きっと 自分でじっくり考えるところと、ある程度考えて解答を見て理解するところと、使い分けないと おサルが、数学科で落ちこぼれたのは、数学教師の「自分で考えて解きましょう」を、真に受けたんじゃね？ 身の程を知れってこと、自力で考えるなんて、あんたの頭じゃ、無理だよね
600:１３２人目の素数さん
20/08/22 00:46:22 q0LXAazy.net
そりゃ
>「零因子除けば体」（ドヤ顔）
なんて言っちゃう頭じゃ自力解答は絶対に無理だろｗ
てか解答見ても間違ってたしなｗ
しかし瀬田くん、>>415は「代数入門問題集」、まともな大学生は自力で解くんやで～
つまり瀬田くんは大学生のレベルに遥かに届かないってこと、残念！
601:１３２人目の素数さん
20/08/22 06:59:38.80 es3Bwx6Y.net
>>526
＞（>>482）
＞「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
＞は、撤回しておくよ
◆yH25M02vWFhPって、恥を感じないサイコパスなんだな
フルチンで外で歩いて、女子から「キャー！変態！」といわれても
「ああ、服着てなかったね。じゃ”次”からは服着るよ」（ニコニコ）
と毎度恒例の上から目線で答えて、
しかも云ったことすっかり忘れて
次も素っ裸で歩き回るｗ
こいつ自分が世界の支配者だと思ってるんだろうな
短小包茎の童貞のくせにｗ
602:１３２人目の素数さん
20/08/22 07:04:15.50 es3Bwx6Y.net
>>528
＞あんたの証明は？
＞やっぱ、種本丸写しかよ
高卒の負け犬が、悔しさ全開で発狂し悪態ついてますｗｗｗｗｗｗｗ
まずは、その＊ン＊ンの皮剥けよ
恥垢がクセェんだよｗｗｗｗｗｗｗ
おめぇ妻も子もいるとかいってたけど
コドモって本当にお前のコか？
DNA調べたら全然親子関係なかったとか
少なくないらしいぞ
ま、コドモにとってはそのほうがいいかもな
馬鹿な貴様のDNA受け継いだとかもうそれだけで
この現代社会では完全な負け犬だもんなｗｗｗｗｗｗｗ
603:１３２人目の素数さん
20/08/22 07:06:14.00 es3Bwx6Y.net
>>528
＞きっと、花木章秀だって、種本あるんだよ、きっと
どうでもいいけど、数学に興味ないなら、数学板読むなよ
ここはおまえみたいな毛深い野獣の来るところじゃねえんだよ！
604:１３２人目の素数さん
20/08/22 07:31:44.20 es3Bwx6Y.net
このスレの現状
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
◆yH25M02vWFhPは、ぶっちぎりの＊＊、和田まあや、というよりは
「なんかリコウぶってるけど、実は最強お＊＊の、齋藤飛鳥」だなｗ
で、私？これかな
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
祝福しろよ！ｗ
（参考動画）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
乃木坂46の赤い彗星、久保史緒里
605:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 07:59:53.08 qg6YAvVW.net
>>526 補足
もう一度、零因子と逆元との関係を纏めておこう
まず、実数Rを成分とするn×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)については、下記ご参照
１．n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) で、ここには0（零行列）と零因子が含まれている
２．Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
３．行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である
だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
606:l_linear_group General linear group (抜粋) In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. This forms a group, because the product of two invertible matrices is again invertible, and the inverse of an invertible matrix is invertible, with identity matrix as the identity element of the group. The group is so named because the columns of an invertible matrix are linearly independent, hence the vectors/points they define are in general linear position, and matrices in the general linear group take points in general linear position to points in general linear position. To be more precise, it is necessary to specify what kind of objects may appear in the entries of the matrix. For example, the general linear group over R (the set of real numbers) is the group of n×n invertible matrices of real numbers, and is denoted by GLn(R) or GL(n, R). つづく
607:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 08:00:26.74 qg6YAvVW.net
>>534
つづき
More generally, the general linear group of degree n over any field F (such as the complex numbers), or a ring R (such as the ring of integers), is the set of n×n invertible matrices with entries from F (or R), again with matrix multiplication as the group operation.[1] Typical notation is GLn(F) or GL(n, F), or simply GL(n) if the field is understood.
More generally still, the general linear group of a vector space GL(V) is the abstract automorphism group, not necessarily written as matrices.
The special linear group, written SL(n, F) or SLn(F), is the subgroup of GL(n, F) consisting of matrices with a determinant of 1.
The group GL(n, F) and its subgroups are often called linear groups or matrix groups (the abstract group GL(V) is a linear group but not a matrix group). These groups are important in the theory of group representations, and also arise in the study of spatial symmetries and symmetries of vector spaces in general, as well as the study of polynomials. The modular group may be realised as a quotient of the special linear group SL(2, Z).
If n >= 2, then the group GL(n, F) is not abelian.
Contents
1 General linear group of a vector space
2 In terms of determinants
3 As a Lie group
3.1 Real case
3.2 Complex case
4 Over finite fields
4.1 History
5 Special linear group
6 Other subgroups
6.1 Diagonal subgroups
6.2 Classical groups
7 Related groups and monoids
7.1 Projective linear group
7.2 Affine group
7.3 General semilinear group
7.4 Full linear monoid
8 Infinite general linear group
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般線型群
つづく
608:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 08:01:22.75 qg6YAvVW.net
>>534
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列群
(抜粋)
行列群は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で、行列の積の操作を伴うものである。線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群、つまり、K 上と忠実な有限次元表現を認めるものである。
任意の有限群が線型であるのはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるためである。無限群（英語版）の中で、線型群は興味深く扱いやすいクラスをなす。
線型でない群の例としては、「あまりに大きな」群（を含む。例えば、無限集合の置換からなる群）やある種の病的な振る
609:舞いを示す群（例えば、有限生成された無限ねじり群）などがある。 基本的な例 群Gが線形であると言われるのは、体K、整数d、Gから一般線形群GLd(K)への単射（K上のd次の忠実な線形表現）が存在する場合である。 必要であれば，GがK上でd次線形であると言うことで，体と次元について言及することができる。 基本的な例は、例えば線形群の部分群として定義される群である。例えば 1.群GLn(K)そのもの。 2.特殊線形群SLn(K)（行列式1を持つ行列の部分群）。 3.可逆な上(または下)の三角行列の群 4.giが集合Iで指定されたGLn(K)の要素の集合であるとすると、giによって生成される部分群は線形である。 古典群 詳細は「古典群（英語版）」を参照 とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。 行列群としての有限群 すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。 表現論と指標理論 線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する。 (引用終り) 以上
610:１３２人目の素数さん
20/08/22 08:13:41 es3Bwx6Y.net
>>534
乗法と加法の違いを野獣◆yH25M02vWFhPに教えておこうｗ
＞Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、
＞n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
GLn(R)は乗法に関して群だが、加法に関しては群ではない
GLn(R)に0を追加しても同じことである
したがってGLn(R)もGLn(R)∪|0}も環ではない（当然、体ではない）
611:１３２人目の素数さん
20/08/22 08:31:42.97 es3Bwx6Y.net
>>534
＞行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
そもそも行列の積しか考えてない つまり環であることは考えなくていい
したがって零行列も零因子も考えなくていい
「Mn(R)で、正則行列か否かは、行列式で分けられる」でいい
＞即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
同様に
「即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら”特異行列”、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる」
と云えばいい
＞だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である
同様に
”つまり、行列式｜A｜≠0なら、Aは逆元をもつ”
といえばいい
余計なことをいうから、
「Mn(R) から 零因子を除けば、体！」（ドヤ顔）
とほざいて大恥かく
肥溜めの上で飛び跳ねたところ
いきなり底が抜けて落っこち
クソまみれで溺死するクソガキ
それが◆yH25M02vWFhP ｗｗｗｗｗｗｗ
612:１３２人目の素数さん
20/08/22 08:50:17 es3Bwx6Y.net
どうでもいいクソ知識
正則行列＝非特異行列
特異行列＝非正則行列
正則 regular
特異 singular
ここで◆yH25M02vWFhPに質問
・行列式が０＝少なくとも１つの固有値が０
というだけでは零行列とはいえない
では
・全ての固有値が０
なら零行列といえるか？
613:１３２人目の素数さん
20/08/22 09:02:05.39 q0LXAazy.net
>>534
>だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾
行列環ではね。
しかし一般には単元でも零因子でもない元が存在するから、代数が分かってないという指摘は当たらない、むしろ分かってないのはそんな指摘をしてしまった瀬田くん自身、残念！
614:１３２人目の素数さん
20/08/22 09:24:57.70 q0LXAazy.net
命題「単位的環Rの基底を為すベクトルすべてがRのイデアルIの元ならI=R」
は、Rが線型空間でありさえすれば真。
「行列環に限られる」なんて嘘垂れ流さないで下さいねー
>例が１つだけだと確実に間違う
って教えてもらったのに「野獣の耳に念仏」ですかー？
615:１３２人目の素数さん
20/08/22 09:32:04.79 es3Bwx6Y.net
野獣◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
「行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」
Mn(R)から零因子を除けば、ほ~ら、n^2元体
*``･*。 。*･``* *``･*。 。*･``*
もう
616:｜ `*｡ ` ｡ *` ｜☆ ｜ ` *｡ `｡*` ｜ ,｡∩ ∧,,∧ *` ☆ ∧,,,/∩ ☆∩ ∧,,,∧ ☆ `* ∧,,/∩｡, + ( ´･ω･)*｡+ﾟ + (･ω･｀ )*｡+ﾟ+｡*( ´･ω･) + ﾟ+｡*(･ω･｀ ) + `*｡ヽ つ*ﾟ*☆･+｡⊂ ﾉ｡+ ☆ +｡ヽ つ｡+･☆*ﾟ*⊂ ﾉ ｡*` どうにでも `･+｡*･`ﾟ⊃+∩∧,,∧･+｡*+･` ﾟ `･+*｡+･∧,,∧∩+ ⊂ﾟ`･*｡+･` ☆ ∪~ ｡*ﾟ . (´・ω・｀)∪ ☆ ∪(´・ω・｀) . ﾟ*｡. .~∪ ☆ `･+｡*･ ﾟ ☆ `･+｡ つ─*ﾟ･ ☆･ﾟ*─⊂ ｡+･`☆ ﾟ ･*｡+･` ⊂ `･+･*+･`ﾟ ﾟ`･+*･+･ ` ⊃ ~∪ なーれ♪ ∪~
617:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:01:11.90 CQL2z3C6.net
|∞
|д`)ｶﾜｨｨ…
618:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:02:42.48 q0LXAazy.net
>>541
>Rが線型空間でありさえすれば真
選択公理を仮定しないと基底の存在が保証されないか・・・
619:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:03:02.03 CQL2z3C6.net
|∞ ゜*。○ﾟ
|д`)…
с
|
620:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:03:24.56 CQL2z3C6.net
|=з
621:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:18:54.84 qg6YAvVW.net
>>528 補足
>数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
>正道とは、自分に適した道のこと
さて、下記の問題で、
(>>378)
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
もう一度、この問題のまとめを しよう
大体は、>>463と>>481に書いたけど、証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」に同じ
（蛇足だが、{0}（零0から成るイデアル）と、環R全体から成るイデアルを、自明なイデアルという）
＜チャート式風考察＞（＾＾；
１．問題文の「イデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ」から、Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして、Iの性質を調べるという筋が浮かぶ
背理法で、「Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」から、矛盾（実はI＝R）でも良いし
背理法を避けて、「{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」でも良い
要は、「（中間の）イデアルI」に思い至ること
２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく、1∈I →I＝R
（いまの場合、単位行列E∈I を示すという方針になる）
これは、1∈I→1R⊂I から出る
３．上記で既に言及しているが、I＝Rという等号は、”I⊂R ＆ R⊂I”に分けて証明することが多い
（余談だが、これは不等式で、I＝Rという等式を、”I>=R ＆ R=<I”に分けて証明するのに類似）
つづく
622:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:19:18.27 qg6YAvVW.net
>>547
つづき
さて、「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られること」
の証明
１．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ A = (aij) ∈ Iなる行列Aが存在する
ここに、0 ≠ Aより、ある成分aij≠0である
２．行列単位 Ekl （klのみ1で 他は0の行列）を使う
行列の積 Eki・A・Ejkは、(k,k)なる対角成分が aijになる行列である（注：この式変形は、知識として知っておく必要あり）
aij≠0なので、上の積に1/aijを掛けると、(1/aij)(Eki・A・Ejk)＝Ekkとなる
３．イデアルが部分加群を成すことより、Ekkの和を取って
Σ k=1～n Ekk ＝E ∈ Iが示せた。（ここに、Eは単位行列）
４．上記のチャート式２より、I＝Rとなる
QED
（補足：要するに、基底の全部Eklを示す必要はなく、対角成分Ekkのみを示せば良い）
この証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」にもそのまま使える
「環Rが体であるならば、自明なイデアルしか持たない」のみを示そう
証明
１．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ a ∈ Iなる元aが存在する
２．体であるから、0 ≠ aより、逆元a^-1 がR中に存在する
３．イデアルの定義より、 a・a^-1＝1 ∈ Iとなる。（ここに、1は乗法単位元）
４．上記のチャート式２より、I＝Rとなる
QED
すっきりしているでしょ（＾＾
つづく
623:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:28:02.57 qg6YAvVW.net
>>546
624:ID:CQL2z3C6さん、どうも お久しぶりです お元気そうで、なによりです
625:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:29:52.52 es3Bwx6Y.net
>>547
王道あれば覇道あり
シナあれば蒙古あり
＞２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく
馬鹿は一つの知識に固執する
利口は新たな知識を恐れない
イデアルの知識として、イデアルが加群であることを知っておく
Rの基底が全てIの要素であれば、I=Rとなるのは、加群として当たり前
626:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:32:23.86 q0LXAazy.net
>>547
>「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」
だから可換環だっちゅーにｗ 学習せん奴やのうｗ
非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ
627:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:32:48.16 qg6YAvVW.net
>>548
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.)<)ヤフー/qa/question_detail/q1019988015
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（問 25 26の解答ご参照）
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
（P1～2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照）
(引用終り)
以上
628:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:33:48.59 qg6YAvVW.net
>>551
つー>>552 「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。」
629:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:34:50.81 es3Bwx6Y.net
ところでチャート式が好きならこれでも読んだら？
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
著者はあの加藤文元ｗ
もう大学教養課程も高校並だな
630:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:38:57.10 q0LXAazy.net
>>547
>２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく
それを言うなら、より条件の緩い「Rの単元がIに属すと・・・」だろｗ
ちょっとは頭使えよｗ
631:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:41:51.51 qg6YAvVW.net
>>551
>だから可換環だっちゅーにｗ 学習せん奴やのうｗ
>非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ
そうそう、下記の鈴木 咲衣ちゃん
はっきり、可換の場合とうたった方が良いと思う
ここでは、可換の場合のみ扱うと宣言して
このテキストでは、イデアルは、両側イデアルを意味すると、一言いっておく
(>>389より)
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
P30
6.2 イデアルと剰余環
定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ．
(1) R の加法について，I は群になる．
(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという�
632:D 練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
633:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 10:45:08.09 qg6YAvVW.net
>>554
へー、それは面白いな
君の数学科時代にあったら、あなたも数学オチコボレにならなかったかもね
634:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:47:16.61 es3Bwx6Y.net
>>556
◆yH25M02vWFhPは >>497読んでないだろ？
読んだとしても、ワケワカランだっただろ？
でなきゃこんな馬鹿発言しない
635:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:48:24.76 q0LXAazy.net
>>556
「定義 6.1.4 (体). 可換環 R において，0 以外の元が存在し，それらが全て乗法に関する逆
元をもつとき R を体という．」
「練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
ぜんぜん合ってるじゃん。なにバカが言いがかり付けてんの？
636:１３２人目の素数さん
20/08/22 10:53:51.12 es3Bwx6Y.net
馬鹿は両側イデアルに固執してるけど
両側イデアルでも非可換なら
「自明なイデアル⇒斜体」
はいえないよ
こいつ、ほんとidiotだな
637:１３２人目の素数さん
20/08/22 11:06:29.38 CQL2z3C6.net
|∞ﾟ○。*゜>>549
|*“))大変ｺﾞ無沙汰痛ｼﾃｵﾘﾏｽ…
|∞
|(*'')*,,)✨ﾍﾟｺﾘ
|=з 大変失礼痛ｼﾏｽﾀ~!
638:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 11:13:24.93 qg6YAvVW.net
>>547
>数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
>正道とは、自分に適した道のこと
大学の数学の練習問題というのは
例えば、19世紀とか20世紀前半に
その時代の天才数学者が心血をそそいだ、当時の未解決問題が、あったりするわけだ
それを、どこまで時間を掛けて自力で解く努力をするか
さて、数学の問題を、３つに分ける
教科書の練習問題、院試の問題、数学研究の未解決問題
教科書の練習問題
１．時間：無制限
２．参照：あり。何を見ても、だれに聞いても良いし、教えて貰っても良い。というより、積極的に友人作って、教え合えば良い
院試の問題
１．時間：制限あり
２．参照：だめ。その場で自力で解く
数学研究の未解決問題
１．時間：無制限
２．参照：あり。何を見ても、だれに聞いても良いし、教えて貰っても良い。というより、積極的に共同研究をやるのが良いと思う
ところで、教科書の練習問題を解く目的は、院試であったり、将来の数学研究のためであったりする（勿論、教材の理解を深める意味もある）
・もし、目的が院試なら、解答を見て、よく理解して、解法の筋を分析して、同じ問題やちょっとひねった類似問題が、制限時間内に解けるようにするってことが必要だ
・それが、>>547-548だ
・もちろん、上記のキモは、「解答を見て、よく理解して、解法の筋を分析して、同じ問題やちょっとひねった類似問題が、解けるよう」ってことだから
数学研究から、全く外れているわけでもない
要するに、自力で問題が解けるためには、ある程度のその分野の数学の知識と、数学の筋が閃かないと、ダメ
で、教科書の練習問題で、自力で解けそうかどうか、そういう見極めも大事
院試対策なら、上記の通り、ある程度で、解答を見て
その解答を、理解・分析するって勉強法もありだろう
つづく
639:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 11:16:11.75 qg6YAvVW.net
>>562
つづき
数学研究なら下記
そして、教科書の練習問題に多大の時間を浪費しないという選択肢もありでしょう
身の程知らずが、教科書の練習問題を自力で解こうとして、多大の時間を浪費し
よってもって、数学オチコボレになったらしい人がいる（＾＾；
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
岡潔先生の情緒の世界 8 ガウスのように 日々のつれづれ オイラー研究所の所長 2012-03-04
(抜粋)
アンドレ・ヴェイユがはじめて来日したとき、ヴェイユは「（数学は）ガウスのようにはじめよ」というアドバイスをしたのだそうです。
ヴェイユの言葉は続き、ガウスのようにはじめるとすぐに、自分はガウスではないとわかるだろう、とのこと。ですが
640:、それでもいいから、ともかくガウスのようにはじめよというのです。 (引用終り)
641:現代数学の系譜 雑談
20/08/22 11:18:00.79 qg6YAvVW.net
>>561
ID:es3Bwx6Yさん
どうも
遊んでいってください（＾＾
642:１３２人目の素数さん
20/08/22 11:20:23.32 es3Bwx6Y.net
>>563
＞教科書の練習問題に多大の時間を浪費しないという選択肢もありでしょう
まっさきに言い訳する人は、何もやってもダメ
◆yH25M02vWFhP お前のことだぞｗ
643:１３２人目の素数さん
20/08/22 11:21:36.58 es3Bwx6Y.net
大学入試も落ちる馬鹿が院試なんか受かるわけないぞｗｗｗｗｗｗｗ
644:粋蕎
20/08/22 11:28:03.09 PoT1cJcw.net
群て、環や体みたいにそんなに条件強くないじゃろ
明らかに瀬田氏は群を何かと勘違いしとる
645:１３２人目の素数さん
20/08/22 11:32:49.18 q0LXAazy.net
>>562
>解答を見て、よく理解して
あんた解答からの逆推測に失敗しとるやんｗ（>>440）
646:１３２人目の素数さん
20/08/22 11:34:34.36 es3Bwx6Y.net
>>567
そもそも群の話しかしてないのに
環とか体とか持ち出す時点で
◆yH25M02vWFhPは精神患ってるｗ
647:１３２人目の素数さん
20/08/22 11:42:52.36 q0LXAazy.net
>あんた解答からの逆推測に失敗しとるやんｗ（>>440）
解答が〇〇〇となってるからこの部分は△△△ということ な ん だ ろ う
↑
当てずっぽうに推測してるだけ
案の定その推測は間違っていた
行列Aに行列単位Ekjを左からかける操作が何を意味するのか間違ってたでしょ？
なんで論証過程が間違ってるのに目的の帰結に辿り着くの？ ぜんぜんダメ