20/08/19 11:20:11.04 bglsLP4c.net
>>428 補足
(引用開始)
( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
(引用終り)
蛇足だが、証明の方針は
１．{0}以外のイデアルIの存在を仮定する
２．仮定より、 A ∈ I で A≠0（零行列）なる行列Aが存在する
３．行列Aには、aij ≠ 0 なる成分が存在する
４．このaij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
このときに使えるのが、
R中に存在する行列（ここにはいろんな部品が落ちている）
と、積（R中の行列とAの積が、イデアルIに入る）。両側イデアルを仮定すると、Rの行列を左右から掛けることができる。
aij^-1 EkiAEjｌ＝Ekl の式 から分かるように、左から掛ける Ekiのkで行の位置kの調整、右から掛けるEjｌで列の位置ｌの調整ができる
行列単位 Eklが任意にできれば、対角成分を持つものの和 E11+E22+・・・+Enn →E（単位行列）ができる
単位行列 E∈ I から、I＝R
そういう流れですね
この流れは、行列環以外でもほぼ同じで、
”Rが体のときに単純環になる”という証明も同じ方針ですね
（体の話は、行列よりずっと簡単で、A≠0（数として零）から、即体で逆元の存在が言えて、単位元 1 ∈ Iが言えます）