20/08/19 07:54:59 BSgO+qBk.net
>>415 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
(引用終り)
補足
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
klの組は、任意
つづく