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>>383 補足
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代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
(引用終り)
これ、いろいろ見たけど、証明の筋は
I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして、
単位元1≠0 の存在 つまり 1∈Iをいえば良いみたい
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
1を使って、1R ⊂Iが言えて、もちろんI ⊂Rで、I＝Rって筋な
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾