純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 - 暇つぶし2ch458:｢よいよ複数元で生成されたイデアル同士の掛け算について考えよう。以下では，２つの生成元同士で考えているが，３つ以上になっても全く同じである。 (α1,β1)(α2,β2)=(α1β1,α1β2,α2β1,α2β2)(α1,β1,α2,β2∈OK) 要するに，すべての生成元同士の組に対してそれぞれ掛け算を行って，結果をすべて生成元としたイデアルを作るのである。このままだと，元の数が増えて行って大変だと思うかもしれないが，そこは先ほど述べたユークリッドの互除法を使って，等価なイデアルに置き換えていけばよい。例を計算してみよう。素イデアル上の例は，(1+√?5) というイデアルに対して，因数分解することが出来たと見ることもできる。ここで気になってくるのは，分解された２つのイデアル (2,1+√?5),(3,1+√?5) はこれ以上分解できないのか，という問題だ。つまり，以上２つのイデアルは素イデアルかどうか，ということである。素イデアルを考える上では，本シリーズ１回目に代数的数のノルムを考えたように，イデアルのノルムという概念を考えると便利である。イデアルのノルムに対しては，以下のような便利な定理があるのだ。ノルムが有理素数であるイデアルは，素イデアルである (引用終り) 以上

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