451:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:35:11.80 6E5Q9lbT.net
>>401
つづき
例
R がアルティン環ならば、R の任意の元は単元であるか零因子であるかのいずれかであるから、非零因子全体の成す集合 S は R の単数群 R× に等しいから、全商環 Q(R) は (R×)-1R と書けるが、しかしそもそも S = R× の元はすべて可逆だったのだから、(R×)^-1 ⊂ R であり、Q(R) = R が成立する。
同様のことが可換フォンノイマン正則環 R でもおきる。R の元 a が零因子ではないとすると、フォンノイマン正則環においては適当な元 x ∈ R をとって a=axa とかくことができるから、変形して a(xa - 1)=0 なる方程式を得るが、a は零因子ではないとしたのだから xa=1 となり、すなわち a が単元であることが従う。ゆえにここでも Q(R) = R である。
応用
代数幾何学において、スキーム上の全商環の層を考えることができて、それを用いてカルティエ因子 (Cartier divisor) の定義が与えられる。
一般化
R が可換環で S が R の単位元を含む任意の乗法的マグマならば、同様の方法で S^-1R を構成できる。ただし、分母になれるのは S の元だけである。S に R の零元が含まれるならば S^-1R は自明な環となる。詳細は環の局所化を参照。
典拠
1^ Matsumura (1980), p. 12
2^ Matsumura (1989), p. 21
参考文献
Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1980
Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory, 1989
IUTを読むための用語集資料集スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:455番)
PDFが落ちていた
URLﾘﾝｸ(inis.jinr.ru)
Matsumura,_Commutative_Algebra,1980
URLﾘﾝｸ(chairejeanmorlet-1stsemester2015.weebly.com)
Commutative ring theory
HIDEYUKI MATSUMURA
Department of Mathematics, Faculty of Sciences
Nagoya University, Nagoya, Japan
Translated by M. Reid
H. Matsumura, 1980.
English translation 0 Cambridge University Press 1986
(引用終り)
以上
452:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:38:02.64 6E5Q9lbT.net
>>400 誤変換訂正
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
↓
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が無い範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
分かると思うが（＾＾；
453:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 14:25:52.03 6E5Q9lbT.net
>>400 追加
まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
（参考）
URLﾘﾝｸ(numbertheory.untokosho.com)
高校生/社会人のための整数論入門
―類体論入門のためにー
Takashi
平成24年5月27日
(抜粋)
このHPは、高校生/社会人のために整数論の入門を記載したものです。高校生/社会人に限定したのは、大学などで数学を専門に学んでいない人も対象に加えたためであり、現在の大学で勉強しはじめたひとにとっても役にたつ内容だと思います。
最終的な目標は、類体論の初歩を郡論や体論、ｶﾞﾛｱ理論等を前提とすることなく記載することです。
URLﾘﾝｸ(numbertheory.untokosho.com)
高校生/社会人のための整数論入門 Takashi
3.2.1 環
定義 3.2.1
（
454:6） （乗法に関する交換法則） Rの任意の元 a,bに対し、交換法則 a・b=b・aが成り立つ。 このHPでは乗法に関しては交換法則を条件（6）としています。このように、交換法則 a・b=b・a が成り立つようなRを特に可換環（commutative ring）ということがあります。 一般的には、可換でない環（非可換環）も環という場合があります。 下記の例のとおり、可換環の典型例としては整数環や多項式環が、非可換環の典型例としては行列環があります。 本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう。 http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node61.html 高校生/社会人のための整数論入門 Takashi 3.2.2 イデアル
455:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:58:42.28 6E5Q9lbT.net
>>404
なお、下記イデアルご参考
特に、下記のtsujimotterの記事はためになるよね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル (環論)
(抜粋)
歴史
クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。
R=Z {√5i]={a+b{√5i｜a,b∈ Z }
この環には 6 の分解は 2 通り存在する。
6 = 2 × 3
6 = (1 + √5 i ) × (1 - √5 i )
1 ± √5 i がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。
クンマーは、これはまだ分解が十分でないために起きると考えた。例えば有理整数環 Z においても、12 = 3 × 4 = 2 × 6 のように、分解が十分でなければ 2 通りの分解が発生する。これは 12 = 2 × 2 × 3 と完全に分解しなければならない。これと同様に、上記の環 R においてもより根元的な分解 6 = A × B × C × D が存在し、
2 = A × B
3 = C × D
1 + √5 i = A × C
1 - √5 i = B × D
なのであろうというのがクンマーの基本的な発想である。
もちろん A, B, C, D は R の元ではありえない。クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。
つづく
456:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:59:08.10 6E5Q9lbT.net
>>405
つづき
現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。
A = 2R + (1 + √5 i )R,
B = 2R + (1 - √5 i )R,
C = 3R + (1 + √5 i )R,
D = 3R + (1 - √5 i )R
とすれば、
6R = A × B × C × D
であり、
2R = A × B,
3R = C × D,
(1 + √5 i )R = A × C,
(1 - √5 i )R = B × D,
すなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。
また、現代の環論では 2, 3, 1 + √5 i, 1 ? √5 i はそもそも R における 6 の素因数ではない。
これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p-進体の理論にも継承されている。
(引用終り)
つづく
457:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:59:29.25 6E5Q9lbT.net
>>406
つづき
URLﾘﾝｸ(tsujimotter-sub.)ハテナブログ.com/entry/ideal-over-z5-3
tsujimotterの下書きノート
2015-08-12
Z[√-5] のイデアルについて (3)
(抜粋)
さて，�
458:｢よいよ複数元で生成されたイデアル同士の掛け算について考えよう。以下では，２つの生成元同士で考えているが，３つ以上になっても全く同じである。 (α1,β1)(α2,β2)=(α1β1,α1β2,α2β1,α2β2)(α1,β1,α2,β2∈OK) 要するに，すべての生成元同士の組に対してそれぞれ掛け算を行って，結果をすべて生成元としたイデアルを作るのである。 このままだと，元の数が増えて行って大変だと思うかもしれないが，そこは先ほど述べたユークリッドの互除法を使って，等価なイデアルに置き換えていけばよい。 例を計算してみよう。 素イデアル 上の例は，(1+√?5) というイデアルに対して，因数分解することが出来たと見ることもできる。 ここで気になってくるのは，分解された２つのイデアル (2,1+√?5),(3,1+√?5) はこれ以上分解できないのか，という問題だ。 つまり，以上２つのイデアルは素イデアルかどうか，ということである。 素イデアルを考える上では，本シリーズ１回目に代数的数のノルムを考えたように，イデアルのノルムという概念を考えると便利である。 イデアルのノルムに対しては，以下のような便利な定理があるのだ。 ノルムが有理素数であるイデアルは，素イデアルである (引用終り) 以上
459:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:32:04.62 TOk0YG1H.net
>>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
>>383
>それ、P30 下記
>「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
◆yH25M02vWFhPは
「体には自明なイデアルしかない」
という文章を
「体であるとは、自明なイデアルしかないこと（と同値）である」
と誤読する悪い癖がある
しかし正しい読解は
「体であるならば、自明なイデアルしかない」
であって、逆は真ではない
ちなみに
「R の両側イデアルが 0 と R しか存在しない環」
は単純環という
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
※ついでに、イデアルという場合両側イデアルである
つまり両側イデアルでないイデアルは存在しない
（左イデアル、右イデアルもイデアル、というのは定義の誤読）
460:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:46:55.08 TOk0YG1H.net
>>380
＞純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
正しい文章は
「数学では、正則行列が正確な表現だ」
「純」とか「とは言える」とか無駄な言葉は要らない
＞一般大衆に対する文章ではどうか？
＞「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、
＞相手に理解させるという目的から遠ざかる
もし、正則行列の意味を説明しないなら
相手に理解させる努力を放擲しているから
「目的から遠ざかる」どころではなく
「目的を見失っている」というのが正しい
しかし、君は工学部卒なんだろう？
正則行列という言葉くらい当然知ってるだろう
意味も完璧に説明できなくては線形代数の単位などとれない筈
したがって、上記の文章は無意味
正則行列の意味を説明し切れ
大学一年を修了した理工系の学生ならそのくらいできて当然
＞いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
＞A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな」
＞B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな」
＞のどちらが分り易いかだ
Aは誤り、Bは正しいが、正則行列の説明がないからダメ
正しい回答は以下の通り
「折角だから書いておくと、正則行列（＝行列式が０でない正方行列）か０でない四元数な」
なぜこの程度の完璧な回答も書けないのか？
工学部卒なんだろう？線形代数の単位はとったんだろう？
だったら、正則行列を知らないなんてありえない
多元数とはなんだ？
実数上の多元体は実数体・複素数体・四元数体で
そのうち、非可換なのは四元数体だけなんだから、特定すればいいだろう
しかも君は０を除くという基本的なことすらしていない
粗雑にもほどがある 数学が分かりたいなら細かいことを蔑ろにするな
461:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:51:43.76 TOk0YG1H.net
>>380
＞分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した
全然ダメ 積だけで群だとはいえない
単位行列の存在を示す必要があるし
逆行列の存在も示す必要がある
そしてその時、任意の正方行列に逆行列が存在するわけではない
と気づく筈である もし気づかないならそいつは線形代数がわかってない
行列式は習った筈 逆行列が存在するのは行列式が０でないときそのときに限る
と習った筈 証明など覚えてなくても定理�
462:ﾍ覚えてる筈 もし定理すら覚えられないなら、数学を学ぶ意味はない
463:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:53:51.62 TOk0YG1H.net
レベルが低いから、必要な条件を落としていい、ということにはならない
さて◆yH25M02vWFhPに質問
行列式が０ならば零行列、とはいえないのはご承知の通り
では固有値が全て０ならば零行列、といえるか？
464:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:57:32 TOk0YG1H.net
>>380
＞ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
「代数方程式の根」とか抜きで、そもそも
要素が３つ以上の有限集合の元の置換は非可換
ウソだと思うなら試してみればいい
465:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 18:24:50 6E5Q9lbT.net
>>383 補足
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
(引用終り)
これ、いろいろ見たけど、証明の筋は
I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして、
単位元1≠0 の存在 つまり 1∈Iをいえば良いみたい
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
1を使って、1R ⊂Iが言えて、もちろんI ⊂Rで、I＝Rって筋な
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
466:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 20:18:37 aMkYF6+a.net
>>413 訂正
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
↓
（I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し 任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
だな
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”は、常用の筋だが
これ、数学では結構大事なんだよね
高校数学ではうるさく言われた。0と0以外では、割り算とか積の逆元の存在で、0は例外で、場合分けをしろと（大学入試の証明問題でね）
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”の一言、院試でも、これを書くか書かないかで、何点か違うだろうね
467:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 21:04:51 aMkYF6+a.net
>>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)
おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I ”で”ある aij は 0 ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
468:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:16:14 TOk0YG1H.net
>>413
＞「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの
＞〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
＞これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、
＞I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして
＞ （ここに{0}は、零行列）
＞E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな
全然違うよ
469:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:18:16 TOk0YG1H.net
>>415
行列も分からん高卒の貴様には全く理解できないだろｗｗｗｗｗｗｗ
470:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:23:02 TOk0YG1H.net
ある箇所だけ（例えば1行目1列目の箇所だけ）1の行列があるとして、
そこから、任意の箇所（n行目m列目の箇所）について
そこだけ1になる行列を作るにはどうするかやってみな
ま、行列計算もできない高卒馬鹿の貴様には逆立ちしても無理ｗｗｗｗｗｗｗ
471:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:51:45 pfu+OVXc.net
>>400
>２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
何をトチ狂ってるんですか？単に環なんて言ってませんけど？行列環と言ってますけど？行列環は非可換ですけど？
>３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ
非可換環に対し「イデアル」は「両側イデアル」を指し、それは左イデアル且つ右イデアルである。
はい、「イデアル」で何の曖昧さもありませんけど？
> 単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です
違います。
非可換環に対しイデアルと言った場合、左イデアルや右イデアルではなく両側イデアルを指します。
入門レベルくらい勉強してから発言しましょうねー。
> そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
上記の通り違いますねー。
> しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い）
上記の通り断る必要ありませんねー。
瀬田くんが見たことが有ろうが無かろうが無関係ですねー。
> そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
> において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ
上記の通り何もまずくないですねー。
472:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:52:07 pfu+OVXc.net
>>400
（続き）
>４．鈴木 咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが
> 鈴木 咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない
> ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木 咲衣ちゃん
体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
そんな入門レベルすら分からずに
>教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな
と上から目線しちゃう瀬田くんこそ赤っ恥ですねー。
473:１３２人目の素数さん
20/08/18 22:03:32.79 pfu+OVXc.net
>>404
>まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
>「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
>それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
訳わからんこと言う前に入門レベルをしっかり勉強しましょーねー
474:１３２人目の素数さん
20/08/18 23:45:29.62 pfu+OVXc.net
>>415
あれほど自力で解きましょうと言ったのに結局検索エンジン頼みですかｗ
よっぽど考えることが嫌いなようですねー
で？検索エンジンの出力結果は理解できたんですかー？
ちなみに>>415は誤植ありますけどｗ
475:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 00:03:34.96 BSgO+qBk.net
>>420
>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>そんな入門レベルすら分からずに
また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；
おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
からというつもりなの？ なんですかね、それはｗｗｗ
そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
ほんと、代数弱いね、あなたは
代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
数学において、体（たい）という用語は、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、no
476:n-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
477:１３２人目の素数さん
20/08/19 00:26:10.01 4a1fOPiB.net
>>423
>おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
>で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
>からというつもりなの？
いいえ？違いますけど？
どんな捻じ曲がった読み方をすればそんな誤読になるんですか？
>なんですかね、それはｗｗｗ
ただの誤読ですねー
>そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
>ほんと、代数弱いね、あなたは
>代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾
>（参考）
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>体 (数学)
瀬田くんさー、君が引用したページの冒頭右側の表をよーくご覧なさいな
この表から「体」は「可換体」と「可換体と非可換体の総称」の二通りの意味があること読み取れますかー？
つまり君の主張
>そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
は誤読ってことですよー
君は数学の前に国語を勉強すべきですねー 話が数学に行く前に躓いてますからー
478:１３２人目の素数さん
20/08/19 00:30:59.06 4a1fOPiB.net
>>423
で、結局瀬田くんは国語で躓いちゃって>>415なんて到底理解できてないんでしょうねー
平気で誤植して気付きもしないのがその証拠ですねー
>>415がどんな証明か、全然分かってないでしょ？正直に白状なさい
479:１３２人目の素数さん
20/08/19 00:37:18.31 4a1fOPiB.net
>>423
>で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
問題文の「イデアル」が、「両側イデアル」と同義であるという根拠は>>419で教えてあげましたからよく読みましょー
といっても国語で躓く瀬田くんには無理かな？
480:１３２人目の素数さん
20/08/19 06:15:24 hEWQC19/.net
>>425
>>415の理屈が分れば、なぜ両側か、分かる
ま、行列計算すらできない、しないヤツには百遍死んでもわかるまいが
481:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 07:54:59 BSgO+qBk.net
>>415 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
(引用終り)
補足
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
klの組は、任意
つづく
482:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 07:55:23 BSgO+qBk.net
>>428
つづき
イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので
klの組を集めて、その和から単位行列Eができる
E∈ I 成立
イデアルの定義から
ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです
QED
なるほど、行列単位Eijを使うのがキモですな
それを使って、
「 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない」から
任意の行列単位Eklが、行列の積を使って構成できる。行列の積がキモ
あとは、いろいろあるだろう
上記の単位行列Eを構成するのも分り易いかな
（＾＾
以上
483:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 10:08:15 bglsLP4c.net
>>428
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
ここ、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、結合則を使っている（当たり前だが意識しておく方が良い）
また、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、A ∈ I に対して、左右から、EkiとEjｌとを掛けている。
Iが両側イデアルなら、EkiAEjｌ ∈ I だ。
が、両側イデアルで�
484:ﾈいなら、”EkiAEjｌ ∈ I ”は、保障されないってことだね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 環 (数学) 厳密な定義 乗法半群 (R,*) はモノイド（あるいは半群）である 2.乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a * b)* c = a *(b * c) が成立する。
485:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 11:20:11.04 bglsLP4c.net
>>428 補足
(引用開始)
( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
(引用終り)
蛇足だが、証明の方針は
１．{0}以外のイデアルIの存在を仮定する
２．仮定より、 A ∈ I で A≠0（零行列）なる行列Aが存在する
３．行列Aには、aij ≠ 0 なる成分が存在する
４．このaij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
このときに使えるのが、
R中に存在する行列（ここにはいろんな部品が落ちている）
と、積（R中の行列とAの積が、イデアルIに入る）。両側イデアルを仮定すると、Rの行列を左右から掛けることができる。
aij^-1 EkiAEjｌ＝Ekl の式 から分かるように、左から掛ける Ekiのkで行の位置kの調整、右から掛けるEjｌで列の位置ｌの調整ができる
行列単位 Eklが任意にできれば、対角成分を持つものの和 E11+E22+・・・+Enn →E（単位行列）ができる
単位行列 E∈ I から、I＝R
そういう流れですね
この流れは、行列環以外でもほぼ同じで、
”Rが体のときに単純環になる”という証明も同じ方針ですね
（体の話は、行列よりずっと簡単で、A≠0（数として零）から、即体で逆元の存在が言えて、単位元 1 ∈ Iが言えます）
486:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 11:36:15.87 bglsLP4c.net
>>396
(引用開始)
”森田同値”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列環
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。
(引用終り)
”森田同値”ね。昔大学受験のころ、大学入試問題で、大学の数学をちょっと焼き直して、入試問題にするという話しがあって
大学の大定理を前提として使うと、その系として簡単に出るところを、しこしこと高校レベルの式変形をさせるみたいなの
それを、思い出した
もちろん、両方必要なんだろう。式変形から導くことと、大定理の一つの系であるという教養の知識と
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田同値
代数学において、森田同値とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
動機
環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が圏同値であることと定めた。
この表
487:記方法は非可換環を扱っている場合にのみ興味の対象となる。なぜなら可換環が森田同値である必要十分条件は環同型であるからである。これは一般に森田同値な環の中心が環同型なことから従う。 つづく
488:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 11:36:54.14 bglsLP4c.net
>>432
つづき
例
同型な環は森田同値である。
任意の環 R と非負整数 n について R 成分の n 次正方行列から成る全行列環 Mn(R) は環 R と森田同値である[2]。これはアルティン‐ウェダーバーン理論によって与えられる単純アルティン環の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし M が左 R 加群ならば Mn は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって Mn(R) 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 R 加群の圏 R-Mod から左 Mn(R) 加群の圏 Mn(R)-Mod への関手を定める。
(引用終り)
以上
489:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:01:36 bglsLP4c.net
>>423
>>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>>そんな入門レベルすら分からずに
>また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；
なるほど なるほど、下記の雪江明彦 「私の教科書の用語について」が参考になるかも
”永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思う”
だって
なるほどね
なお、”ScienceDirect Commutative Field” ”Handbook of Algebra”1996 で
”each (not necessarily commutative) field is a semifield”という用法もあるね
「用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう」（下記 雪江明彦より）
また、下記”Field Theory by Wulf-Dieter Geyer”の ”2. Historical remarks about the concept of field”が、面白かった
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
私の教科書の用語について 雪江明彦 2012/7/7
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで書いておく.
2. 「可除環」か「斜体」か
最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の2 巻が出た後，
3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて
「ヴェーダーバーンの定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し
か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼ぶことにしたが，
3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1，2 巻を増刷したときに
ここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが
用語を変えることにした. さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう?
つづく
490:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:02:39 bglsLP4c.net
>>434
つづき
桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした. いずれにせよ，1,2 巻ではほとんど「体」しか出てこないので，
問題になるのは 3 巻の補足に入ってから. そのときは「可除環」とした理由がわかって
もらえるのではないだろうか.
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
数学選書6 可換体論 （新版）京都大学名誉教授 理博 永田�
491:�宜 著 1985年3月発行 （初版刊行から18年経ち，その後の進歩に伴ない，内容の加筆・訂正すべき点がでてきた．そこで1985年に全面的に書き改めたものが“新版”である．） https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/2/36_2_157/_pdf/-char/ja （体の話ではないが）可換環論の50年 永田雅宜 (1983年9月28日 提出) 数学 https://kotobank.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6-97289 コトバンク 抽象代数学 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説 代数系を公理論的に取扱って，その一般的理論を追究する数学の一部門が抽象代数学で，D.ヒルベルトの公理主義に端を発し，E.シュタイニッツの体の理論で開花し，現代数学の花形となった。日本では，園正造のイデアル論や高木貞治の類体論が世界的にすぐれた研究として知られている。 いまでは，単に代数学といえば，抽象代数学のことである。 つづく
492:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:03:33 bglsLP4c.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www.sciencedirect.com)
ScienceDirect
Commutative Field
Handbook of Algebra
Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert, in Handbook of Algebra, 1996
Example 1.7
a)
Clearly, each ring is a semiring and each (not necessarily commutative) field is a semifield.
As usual, we denote by (Z, +, ・) the ring of integers and by (Q, +, ・) and (R, +, ・) the fields of rational and real numbers.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Field (mathematics)
Classic definition
・Commutativity of addition and multiplication: a + b = b + a, and a ・ b = b ・ a.
URLﾘﾝｸ(math.uni.lu)
Field Theory by Wulf-Dieter Geyer, Universit¨at Erlangen-Nurnberg ¨
Winter School on Galois Theory
Luxembourg, 15?24 February 2012
Contents
2. Historical remarks about the concept of field . . . . . . . . . . . .. . . 10
2.1. What Wikipedia says . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. New Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
2.3. The Birth of the Concept of Field and its Notations . . . . . . . . . . 14
2.4. The Paper of Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
つづく
493:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:04:11 bglsLP4c.net
>>436
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ernst Steinitz
Ernst Steinitz (13 June 1871 ? 29 September 1928) was a German mathematician.
Mathematical works
In 1910 Steinitz published the very influential paper Algebraische Theorie der Korper (German: Algebraic Theory of Fields, Crelle's Journal (1910), 167?309). In this paper he axiomatically studies the properties of fields and defines important concepts like prime field, perfect field and the transcendence degree of a field extension. Steinitz proved that every field has an algebraic closure. He also made fundamental contributions to the theory of polyhedra: Steinitz's theorem for polyhedra is that the 1-skeletons of convex polyhedra are exactly the 3-connected planar graphs. His work in this area was published po
494:sthumously as a 1934 book, Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie,[1] by Hans Rademacher. (引用終り) 以上
495:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:22:53 bglsLP4c.net
>>428 タイポ訂正
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
↓
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる
です。まあ、元々が 花木 解答 (4) の（>>428）
”Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I”なので、分かると思うが（＾＾；
496:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:42:05 bglsLP4c.net
>>438 タイポ訂正追加
>>430より
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
↓
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる
ミスのコピーで、伝播してしまった（＾＾；
497:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:02:05.27 4a1fOPiB.net
>>428
間違い
君は自分で解かず（解けず）カンニングした解答から逆推測してるだけ
案の定その推測は間違っている
カンニングしても間違うようじゃ数学は無理なので諦めましょう
498:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:50:34 hEWQC19/.net
>>428
>(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
>E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
>となるので REijR = R である。
引用が間違ってるね 粗雑だね
誤 E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
正 Ekl = Eki Eij Ejl ∈ REij R
>問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
>EijEkl = δj,k Eil.
>（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
補足が間違ってるね 粗雑だね
誤 k≠i なら
正 k≠j なら
499:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:51:26 hEWQC19/.net
>>429
>イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので
>klの組を集めて、その和から単位行列Eができる
>E∈ I 成立
>イデアルの定義から
>ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです
アタマ固いね
>>431
>証明の方針は
>４．・・・aij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
ほんとアタマ固いね
そもそも
「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」
なんだから、
「あるEklについて、Ekl∈Iなら、任意のEijについてEij∈I」
が言えた時点で、Eijの線形結合として表せるものは全てIの要素
そして、Rの任意の要素はEijの線形結合として表せるからR=Iだろ
君は、基底知らんのか？
体は、体上一次元の線形空間で、単位元１はその基底だから
１∈Iが言えればいい、
「単位元がIの要素」を一般化するんじゃなくて
「基底がIの要素」を一般化したと思ったほうがいい
500:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:56:28 hEWQC19/.net
そもそもなんで両側イデアルかといえば
・Eijの行iの1を行kに移すのに、行列Ekiを左から掛けるから
Ekj = Eki Eij
・Eijの列jの1を列lに移すの、行列Ejlを右から掛けるから
Eil = Eij Ejl
・つまりEijを、Eklにするには左右から行列を掛ける必要があるから
Ekl = Eki Eij Ejl
501:１３２人目の素数さん
20/08/19 20:01:05 hEWQC19/.net
>>428
> {Eij}^n i,j=1
idiot !!!
502:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 20:27:01 BSgO+qBk.net
>>441
ご丁寧にフォローありがとう
前半は、コピーがうまく行かなかった
まあ、原文見れば良い
後半は、確かに私のタイプミスだったね
ありがとよ
503:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 20:36:06 BSgO+qBk.net
>>444
分り易いやつだな
ピンチになると、複数idかｗ
まあ、原文のURL辿れってこと
引用コピーは、備忘録でね
引用部分のキーワードが、後に検索するとき便利なようにってこさ
そもそも、この数学板じゃ、行列とかまともに書けない
下付き上付きの添え字も、まともに書けない
こんな数式や行列もまともに書けない数学板で、証明ごっことかさ、
どれだけ底辺のくすぶりオチコボレ丸出しっだ？ってことですよｗｗ
数学科のオチコボレ哀れｗｗｗ
504:１３２人目の素数さん
20/08/19 21:47:42 hEWQC19/.net
idiotと云われただけで発●するなよ
基底も知らないで大阪大学卒とか学歴詐称すんな
505:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:23:05.16 gmO23IhH.net
>>434 補足
”斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念
506:逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。 斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 例 ・有理数の全体 Q, 実数の全体 R, 複素数の全体 C は可換体である。 ・四元数の全体 H は非可換体である。 ・既約加群の自己準同型環は斜体である（シューアの補題）。 ・（可換とは限らない）有限整域は可換体である（ウェダーバーンの小定理）。 つづく
507:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:24:25.13 gmO23IhH.net
>>448
つづき
諸概念
体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。
体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダーバーンの小定理）。
n・1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n・1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
さて、英語版
”Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). ”
だって
つまり、英語では、"fields" は可換体で、 a word meaning "body"＝ 体は、”is used for division rings”だって。今の日本は、大分英語的用法になっているんだね（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Division ring
In abstract algebra, a division ring, also called a skew field, is a ring in which division is possible. Specifically, it is a nonzero ring[1] in which every nonzero element a has a multiplicative inverse, i.e., an element x with a・x = x・a = 1. Stated differently, a ring is a division ring if and only if the group of units equals the set of all nonzero elements. A division ring is a type of noncommutative ring under the looser definition where noncommutative ring refers to rings which are not necessarily commutative.
つづく
508:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:25:15.67 gmO23IhH.net
>>449
つづき
Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]
All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.
Main theorems
Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.)
Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
Related notions
Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). A more complete comparison is found in the article Field (mathematics).
The name "Skew field" has an interesting semantic feature: a modifier (here "skew") widens the scope of the base term (here "field"). Thus a field is a particular type of skew field, and not all skew fields are fields.
While division rings and algebras as discussed here are assumed to have associative multiplication, nonassociative division algebras such as the octonions are also of interest.
A near-field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws.
(引用終り)
以上
509:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:27:25.65 gmO23IhH.net
>>447
>idiotと云われただけで発●するなよ
いや、別に
アホのオチコボレ数学科、ヒキコモ無職・無収入から
何を言われようが、なんともないｗ（＾＾
510:１３２人目の素数さん
20/08/20 00:40:57.07 W815SeIs.net
>>445
そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに未だ気付かない瀬田くんだったとさ
めでたしめでたし
511:１３２人目の素数さん
20/08/20 06:29:54 XKBeWolE.net
>>452
＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに
＞未だ気付かない瀬田くん
これか
>>328
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな
512:１３２人目の素数さん
20/08/20 06:31:04 XKBeWolE.net
>>452
＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに
＞未だ気付かない瀬田くん
これか
>>428
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな
513:１３２人目の素数さん
20/08/20 06:42:23 XKBeWolE.net
つまりEkiAEjlで、
「Aのi行目j列目の値aijが、k行目l列目に転写され、他が0となる行列」
となる
EkiAだけだと
「Aのi行目まるごと、k行目に転写し、他が0となる行列」
AEjlだけだと
「Aのj列目まるごと、l列目に転写し、他が0となる行列」
まず、行列の計算の仕方を真っ先覚えて、実践しようぜ！
高卒◆yH25M02vWFhPの学歴詐称詐欺野郎 セタよお
514:１３２人目の素数さん
20/08/20 07:38:08 W815SeIs.net
重大な間違いを犯してるのになぜか示したい帰結は導けてしまう謎の瀬田証明ｗ
解答のサル真似すらできない瀬田くんはサル未満だったとさ
めでたしめでたし
515:１３２人目の素数さん
20/08/20 07:50:55 W815SeIs.net
「代数入門問題集」（>>415）なのだから、大学生が自力で解くことが想定されている。
解答を見ても間違う瀬田くんに数学は無理ｗ
516:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 09:47:12.07 ofe1CzFB.net
ピンチになると、複数IDでご登場か
分かり易いやつだな
あほサル
ばれてるよ
517:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/20 10:56:48 ofe1CzFB.net
>>453-454
(引用開始)
>>328
＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
否 正しくは
「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる
「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、
他が0となる行列」
(引用終り)
おお、ご指摘の通りだね
おれの大チョンボだったな。最近手で行列計算やらんからな・・（＾＾；
だが、ちょっと待て
赤ペン先生するよ！ｗ
誤「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」
↓
正「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」
が正しいぞ！ 100点満点で言えば、5点減点の95点だな
まあ、間違い方としては、おれの方が大チョンボだが、これもちょっとしたチョンボだな～（いい勝負かもよｗ（＾＾）
昔は、中学で、こっそり連立方程式の検算用に行列表記と行列式の計算を教えてくれた
まあ、おサルの中卒は認めるよ。頑張ったね（＾＾；
518:１３２人目の素数さん
20/08/20 19:47:13 W815SeIs.net
解答があると間違いを素直に認めるんだなｗ
箱入り無数目は絶対に認めないのにｗ
これがバカの限界ｗ
519:１３２人目の素数さん
20/08/20 19:54:35 XKBeWolE.net
答えがあると言い訳できないからね
高卒の学歴詐称馬鹿にはこまったもんだ
こんな馬鹿が国立大学なんか入れるわけない
大阪大学どころか秋田大学でも無理ｗ
520:１３２人目の素数さん
20/08/20 19:57:56 XKBeWolE.net
>>459
＞中学で、こっそり連立方程式の検算用に
＞行列表記と行列式の計算を教えてくれた
どこの後進地域だ�
521:謔翌翌翌翌翌翌� 東京なら小学生でも知ってる いまどき中学受験するガキなら 遠山啓の数学入門（上）程度のことは 知ってて当然 知らなきゃ確実に落ちるｗ
522:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 21:21:21.64 gmO23IhH.net
>>428 訂正
訂正しときます
（訂正のみ書くよ）
（補足）
・行列単位の積 EikEkl = Eil となる（なおEik等は、行列単位で、(i, k) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列（下記戸松ご参照））
・上記同様だが、下記花木の問 25(4)で
0 ≠ A = (aij) ∈ I でのEkiAEjｌ
を考える（なお、0 ≠ Aより、一般性を失うことなく、あるaijで aij≠0と仮定することができる）
前半の積EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
「積EkiAは、行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」となる（>>459）
（つまり、0ではない成分aijは、(k, j)の位置へ移る）
・同様に、任意の行列 B = (bkj) で、
「積BEkl は、行列Bのj列目が抜き出されでｌ列目に転写され、その他の"列”が0となる行列」である（上記同様である）
（つまり、B＝EkiAを考えると、上記(k, j)の位置のaijは、(k, ｌ)の位置へ移る）
・結局、aijを、任意に選んだ(k, ｌ)の位置に移すことができる
・仮定よりaij≠0だから、これに逆数 aij^-1を掛けて
aij^-1 EkiAEjｌ ＝Ekl が導かれる
・klの組は、任意に選べるから、一つのaij≠0なる要素から、任意の行列単位Ekl が導かれ、イデアルI内の行列 A = (aij) ∈ I から積のみを使って導かれるので
イデアルI内に、任意の行列単位 Eklが存在する、つまり Ekl ∈ Iとなる
＜なお参考に下記を再録しておく＞
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（問 25 26の解答ご参照）
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
（P1～2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照）
523:１３２人目の素数さん
20/08/20 22:02:46 W815SeIs.net
>>463
解答見ても間違え、間違いを手取り足取り教えてもらって
>訂正しときます
にふいたｗ
524:１３２人目の素数さん
20/08/21 01:46:20.46 Ik5evrii.net
>>458
ピンチ？？？
525:１３２人目の素数さん
20/08/21 02:02:03.97 r7YnYWZV.net
87 71
85 70 55
83 68 54 41
81 66 53 40 29
79 64 51 39 28 19
77 62 49 38 27 18 11
75 60 47 36 26 17 10 5
73 58 45 34 25 16 9 4 1
規則性を見つけてくれ〜(^_^)ﾉ
上は
nを1〜44まで変化させた2n－1の出力に
4を頂点としてその周りを1小さな数で
取り囲んでいったものをプラスしたもの
0 0
0 1 0
0 1 1 0
0 1 2 1 0
0 1 2 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 3 2 1 0
0 1 2 3 4 3 2 1 0
このような数列を表す数式を
知っている人はいますか？
526:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:32:22 WrfyH/cJ.net
>>448 補足
(抜粋)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
(引用終り)
これ、下記アルティン・ウェダーバーンの定理が参考になるな
「可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型である」
>>434にある 雪江明彦 3 巻目 「ヴェーダーバーンの定理」がこれ
手元の雪江本では、P350の定理7.5.15ですな （殆ど読んでないけど（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アルティン・ウェダーバーンの定理
(抜粋)
定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di
527: は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。 直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。 R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。 つづく
528:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:33:37 WrfyH/cJ.net
>>467
つづき
アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は 体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。
有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。
(引用終り)
529:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:35:46 WrfyH/cJ.net
>>468
補足
”ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照”な
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環論
(抜粋)
可換環は非可換の場合と比べてその性質はよく調べられている。可換環の自然な例を多く提供する代数幾何学や代数的数論は可換環論の発展の大きな原動力であった。この二つは可換環に密接に関係する分野であるから、一般の環論の一部というよりは、可換環論や可換体論の一部と考えるほうが普通である。
非可換環は可換の場合と比べて奇妙な振る舞いをすることが多くあるので、その理論は可換環論とは極めて毛色の異なったものとなる。非可換論は、それ自身の独自の方法論を用いた発展をする一方で、可換環論の方法論に平行する形で（仮想的な）「非可換空間」上の函数環として幾何学的な方法である種の非可換環のクラスを構築するという方法論が新興している。このような傾向は1980年代の非可換幾何学の発展と量子群の発見に始まる。こうした新たなパラダイムは、非可換環（特に非可換ネーター環）のよりよい理解を導くこととなった (Goodearl 1989)。
歴史
可換環論は代数的数論、代数幾何、不変式論などを起源に持つ。これらの主題の発展に中心的な役割を果たしたのは代数体の整数環、代数函数体、多変数多項式環などである。非可換環論は複素数の概念を拡張した様々な超複素数系を獲得しようとする試みとして始まった。
ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照
つづく
530:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:36:14 WrfyH/cJ.net
>>469
つづき
非可換環は多くの点で行列の成す環が雛形となっている。また、代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。非可換環の例は正方行列の成す環やもっと一般にアーベル群や加群の上の自己準同型全体の成す環、あるいは群環・モノイド環などによって与えられる。
(引用終り)
531:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:38:09 WrfyH/cJ.net
補足
ついでに
”注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単�
532:ｳ）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0 単位的環 (抜粋) 単位的環（たんいてきかん、英: unital/unitary ring）、単位環（たんいかん、英: unit ring）あるいは単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) は[1]、乗法単位元を持つ環のことを言う。 定義について 集合 R 上の二つの二項演算 (+,*) を持つ代数系 (R,+,*) が単位的環であるとは、 6.乗法単位元: R の元 1R が存在して、R の全ての元 a に対して 1R * a = a * 1R = a を満たす。 （ラングの本など）環の定義に乗法単位元の存在を含める文献もあり、その場合に必ずしも単位的でない環を表すのに擬環 (pseudo-ring, rng) などの語が用いられる[要出典]。即ち、R が単位環であるとは、乗法単位元 1R の存在する擬環のことに他ならない。 例 整数の全体 Z や任意の体（有理数体 Q, 実数体 R, 複素数体 C, 有限体 Fq など）は単位的環である。また、適当な集合 I 上で定義され適当な単位的環に値をとる写像全体の成す集合は、（点ごとの和と）点ごとの積に関して単位的環を成す（乗法単位元は、I の各元に対して常に単位元を対応させる写像）。 単位的環に係数を持つ多項式全体の成す集合やコンパクト台付きシュヴァルツ超函数全体の成す集合は合成積に関して単位的環を成す。しかし、（シュヴァルツ超函数の双対である）試験函数には無限遠で 0 に収斂するなどの制約がついていることが多く、解析学に現れるそういった函数空間の多くは（点ごとの積に関する）単位元を持たない環となる。 つづく
533:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:38:30 WrfyH/cJ.net
>>471
つづき
注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。
(引用終り)
534:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:46:12 WrfyH/cJ.net
>>472
さらに、ついで
環 (数学)の関連箇所
自分の備忘録として（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
(抜粋)
環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった[1]。
現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。
定義に関する注意
公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。
つづく
535:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:47:24 WrfyH/cJ.net
>>473
つづき
もっと
536:重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある[4][5][6]。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ[7]。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。 他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。 Z4 の環としての性質 ・整数の乗法においては、二整数 x, y の積が xy = 0 を満たすならば x = 0 または y = 0 が成り立つが、環 (Z4, +, ?) では必ずしもそれは成立せず、例えば 2 ? 2 = 0 が各因数が 0 ではないにもかかわらず成り立つ。一般に、環 (R, +, ?) の非零元 a が (R, +, ?) における零因子であるとは、R の非零元 b で ab = 0 を満たすものが存在するときに言う。環 Z4 においては 2 が唯一の零因子である（なお、0 を零因子と扱うこともあることに注意）。 ・零因子を持たない可換環は整域と呼ばれる（後述）。故に整数全体の成す環 Z は整域であり、一方 Z4 は整域ではない環である。 イデアル R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ Iならば xy やyxがかならず I に入っているとき、I を両側イデアルという。（したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。）イデアル I が与えられているとき、x - y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。 つづく
537:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:47:46 WrfyH/cJ.net
>>474
つづき
環の構成法
剰余環
詳細は「剰余環」を参照
感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 (R, +, ・ ) とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環あるいは商環 R/I とは、I による（台となる加法群 (R, +) に関する）剰余類全体の成す集合に
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I)(b + I) = (ab) + I.
という演算を入れたものをいう。ただし、a, b は R の任意の元である。
環のクラス
いくつかの環（整域、体）のクラスについて、以下のような包含関係がある。
・可換環 ⊃ 整域 ⊃ 半分解整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体
つづく
538:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:48:07 WrfyH/cJ.net
>>475
つづき
有限環
詳細は「有限環（英語版）」を参照
自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる（必ずしも単位的でない）環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない（加法群は位数 m の巡回群に同型）。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群としてみれば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する（有限アーベル群の構造定理）。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する[11]。一方、位数 m の「群」は二種類しかない（いずれも可換群）。
有限環論が有限アーベル群の理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類の互いに同型でない有限環が存在することによる（Z/mZ のいくつかの直和と零環）。一方、有限アーベル群を必要としない方法では有限環のほうが簡単なこともある。例えば、有限単純群の分類は20�
539:｢紀数学の大きなブレイクスルーの一つであり、その証明は雑誌の何千ページにも及ぶ長大なものであったが、他方で任意の有限単純環は必ず適当な位数 q の有限体上の n-次正方行列環 Mn(Fq) に同型である。このことはジョセフ・ウェダーバーンが1905年と1907年に確立した二つの定理から従う。 定理の一つは、ウェダーバーンの小定理として知られる、任意の有限可除環は必ず可換であるというものである。ネイサン・ヤコブソンが後に可換性を保証する別な条件として 「R の任意の元 r に対し、整数 n (> 1) が存在して rn = r を満たすならば R は可換である[12]」 を発見している。特に、r2 = r を任意の r が満たすならば、その環はブール環と呼ばれる。環の可換性を保証するもっと一般の条件もいくつか知られている[13]。 自然数 m に対する位数 m の環の総数はオンライン整数列大辞典の A027623 にリストされている。 つづく
540:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:48:55 WrfyH/cJ.net
>>476
つづき
主イデアル環
詳細は「主イデアル整域」および「主イデアル環」を参照
環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論的性質は必ずしも近いものとはならない。整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアルが単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。
環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルが
aR={ar ｜ r∈ R }
の形に表されることをいう。また主イデアル整域 (PID) とは整域でもあるような主イデアル環をいう。
環が主イデアル整域であるという条件は、環に対するほかの一般的な条件よりもいくぶん強い制約条件である。例えば、R が一意分解整域 (UFD) ならば R 上の多項式環も UFD となるが、R が主イデアル環の場合同様の主張は一般には正しくない。整数環 Z は主イデアル環の簡単な例だが、Z 上の多項式環は R = Z[X] は PIR でない（実際 I = 2R + XR は単項生成でない）。このような反例があるにもかかわらず、任意の体上の一変数多項式環は主イデアル整域となる（実はさらに強く、ユークリッド整域になる）。より一般に、一変数多項式環が PID となるための必要十分条件は、その多項式環が体上定義されていることである。
つづく
541:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:49:26 WrfyH/cJ.net
>>477
つづき
非可換環
詳細は「環論」を参照
非可換環の研究は現代代数学（特に環論）の大きな部分を占める主題である。非可換環はしばしば可換環が持たないような興味深い不変性を示す。例えば、非自明な真の左または右イデアルを持つけれども単純環である（つまり非自明で真の両側イデアルをもたない）ような非可換環が存在する（例えば体（より一般に単純環）上の2次以上の正方行列環）。このような例から、非可換環の研究においては直感的でないような考え違いをする可能性について留意すべきであることがわかる。
ベクトル空間の理論を雛形にして、非可換環論における研究対象の特別な場合を考えよう。線型代数学においてベクトル空間の「スカラー」はある体（可換可除環）でなければならなかった。しかし加群の概念ではスカラーはある抽象環であることのみが課されるので、この場合、可換性も可除性も必要ではない。加群の理論は非可換環論において様々な応用があり、たとえば環上の加群を考えることで環自身の構造についての情報が得られるというようなことも多い。環のジャコブソン根基の概念はそのようなものの例である。実際これは、環上の左単純加群の左零化域全ての交わりに等しい（「左」を全部いっせいに「右」に変えてもよい）。ジャコブソン根基がその環の左または右極大イデアル全体の交わりと見ることもできるという事実は、加群がどれほど環の内部的な構造を反映しているのかを示すものといえる。確認しておくと、可換か非可換かに関わらず任意の環において、すべての極大右イデアルの交わりは、すべての極大左イデアルの交わりに等しい。従って、ジャコブソン根基は非可換環に対してうまく定義することができないように見える概念を捉えるものとも見ることができる。
(引用終り)
以上
542:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 07:52:21 WrfyH/cJ.net
>>466
こちらへどうぞ（＾＾
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
543:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 08:00:29 WrfyH/cJ.net
>>465
おサルは、ピンチですよ～！ｗ（＾＾
(>>363より)
この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
(引用終り)
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
攻撃は最大の防御です
ディベートでもかな？（違うかも）
でも、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
さらに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
でも、行列環では、逆元の存在と零因子とは密接な関係がある
アルティン・ウェダーバーンの定理は、それ普通って主張だよね
544:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 11:41:28 sZPmTJOe.net
>>480 補足
（>>384より）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
(引用終り)
上記は、体は可換体で、イデアルは両側イデアルのことです。
証明の筋は、（Yahoo回答の通りで屋上屋だが）
１）”体R→自明な両側イデアルしか持たない”で
{0}でない、両側イデアルIで、Iの0でない元yが存在する
体なので、yの逆元y^-1が存在する
両側イデアルの定義より、積yy^-1＝1∈I （1は、乗法単位元で、Iは”1”を含むがキモ）
1∈Iより、1R＝R⊂I。I⊂Rだから、I＝Rとなり、体は自明な両側イデアルしか持たない
２）”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”をいうには
{0}でない、両側イデアルIで、仮定よりI＝R
0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。
明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）
よってRの元bが存在してab=1となる（(a)＝Rだから、任意のx,y ∈R でax＝y と必ずできるってこと。これが本質）
（なお、bは逆元である。つまり、0でない元aに逆元が存在するが言えた）
したがって、環Rは体である。
３）以上より、環Rが体であることの必要十分条件は、
”環Rが自明な両側イデアルしか持たないこと”である事が示された。
さて、
”体R→自明な両側イデアルしか持たない”は、斜体（非可換）に拡張できる
だが、逆の”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”は、非可換の場合には反例がある
つづく
545:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 11:42:07 sZPmTJOe.net
>>481
つづき
その反例こそ、何を隠そう、行列環 Mn(R) だ！（>>467など）
行列環 Mn(R) が、積で非可換は、いわずもがな
行列環 Mn(R) が、零因子を持つことも、いわずもがな
つまり、行列環 Mn(R) は単純環であるけれども、斜体ではない ∵行列環 Mn(R) 零因子を含み、零因子は逆元を持てない！
逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる
行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係なのです
そして、「アルティン・ウェダーバーンの定理」から、これ結構普通＊）
環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など）
ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い
自分の失言を誤魔化そうと、
他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないｗ（＾＾；
＊）注
>>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾
以上
546:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 11:49:10 sZPmTJOe.net
>>480 補足
>日曜数学者 tsujimotter 氏
彼の名誉のために、補足しておくと
（>>103より）
URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート
2019-06-21
層の定義
(引用終り)
これ、な～んにも間違ったことは書いていないと思うよ
もちろん、私も、「層の定義」とか、深いところは理解していないけどな（＾＾；
でも、おサルが、私を攻撃するために、
tsujimotter 氏の文を誤読・曲解して、難癖をつけただけのこと
それで、自爆してりゃ、世話ないぜｗ
547:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 12:05:31 sZPmTJOe.net
>>480 補足
>アルティン・ウェダーバーンの定理 >>467を知らなかったみたい（勿論、私も知らなかった（＾＾； ）
勿論、私も知らなかった
でも言われてみれば、これ結構当たり前のことかもね（＾＾
で、私は、正方行列に零因子があることは知っていた（常識だから自慢しているわけではない。念のため）
零因子に逆元（逆行列）が存在しないことも、知っていた
逆行列を持つなら、行列式は０ではなく、零因子でないことも知っていた
だから、>>149を書いたのです
勿論、>>141-142も同じ趣旨
（>>141より）
”まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ”
を、おサルはこれを曲解して、正方行列の全体 Mn(R) （＝行列環）だと、思ったらしい
コンテキストが群なんだから、”正方行列の零因子を除く”は、当たり前だよ
そこを必死に突いて、「行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係」だってこと（>>482より）
そういうことを知らずに、環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違い発言ｗ（>>371など）
自分の失言を誤魔化そうと、
他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないなｗ（＾＾；
548:粋蕎
20/08/21 12:49:15.29 OKshRg9w.net
コピペ心象工作氏は群を何と勘違いしとるのか？
549:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:04:45 sZPmTJOe.net
>>482 補足
>>>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾
なるほど、下記
環の直積：”1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。”
だから、この例で、pi(x) に零因子を選び、零因子の相棒 pi(y) を持ってきて、ｘ側のpi(x)以外の座標には、0（零）を当てれば＊）、積環において xy = 0が成立だな
つまり、pi(x) に一つでも、零因子が入れば、全体でも零因子ってことですね
＊）注：y＝(0,0・・0,pi(y),0・・0,0)ってこと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の直積
(抜粋)
いくつかの環を1つの大きい直積環、積環 (product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で Ri が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Πi ∈ I Ri は演算を coordinate-wise に定義することによって環にできる。
得られる環は環 Ri の直積 (direct product) と呼ばれる。
550:有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。 性質 これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。 つづく
551:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:05:25 sZPmTJOe.net
>>486
つづき
各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 Ri が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は Ri たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。Ai の1つを除くすべてが Ri に等しく残りの Ai が Ri の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、Ri の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。
R の元 x が単元であることとその component のすべてが単元であることは同値である、すなわち pi(x) がすべての i ∈ I に対して Ri の単元であることは同値である。R の単元群は Ri の単元群の直積である。
1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が pi(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。
(引用終り)
552:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:21:34 sZPmTJOe.net
>>485
粋蕎さん、どうも
＞コピペ心象工作氏は群を何と勘違いしとるのか？
人の群れじゃないですかね？
まあ、私には、勘違いはないですよ
群は、元々は方程式の解法における根の置換から考えられた
置換群は、非可換です。全く素朴な、考えです
群で非可換な例を示せなんて、アホとしか言いようがない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 (数学)
歴史
群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。
16世紀中頃に、ジェロラモ・カルダーノ、ルドヴィコ・フェラーリらによって四次方程式までは冪根による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。その後18世紀後半になってラグランジュによって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「ラグランジュの定理」にその名が残っているのはこのためである。）19世紀に入り、ルフィニやニールス・アーベルによって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。
ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の可解性という性質に帰着した。ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今ではガロア理論と呼ばれている。
つづく
553:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:22:18 sZPmTJOe.net
>>488
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Group (mathematics)
History
The modern concept of an abstract group developed out of several fields of mathematics.[8][9][10]
The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract
554:definition of a finite group.[13] Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.[14] After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.[15] つづく
555:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:22:47 sZPmTJOe.net
>>489
つづき
The third field contributing to group theory was number theory. Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.[16] In 1847, Ernst Kummer made early attempts to prove Fermat's Last Theorem by developing groups describing factorization into prime numbers.[17]
The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870).[18] Walther von Dyck (1882) introduced the idea of specifying a group by means of generators and relations, and was also the first to give an axiomatic definition of an "abstract group", in the terminology of the time.[19] As of the 20th century, groups gained wide recognition by the pioneering work of Ferdinand Georg Frobenius and William Burnside, who worked on representation theory of finite groups, Richard Brauer's modular representation theory and Issai Schur's papers.[20]
(引用終り)
以上
556:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 15:59:01 sZPmTJOe.net
>>483 補足
>URLﾘﾝｸ(tsujimotter.)<)
サイエンス社
代数幾何入門講義
小林 正典 著 2008 年 6 月 1 日
まえがき
抽象化の前に具体例を与えるように努めた．また，高度な抽象化は段階を踏んで行うようにした．途中からページをめ
くると難しく見えるかもしれないが，前から順番に読んでいけばさほどでもないはずである．
抽象的に感じる命題は，具体的な例に置き換えて読むとよい．仮定が一般化されているのは，証
明にそれだけの仮定しか使っていない，というヒントでもある．「環」であれば，多項式環，「環付き
空間」「概型」であれば，アフィン空間や射影空間をまず思い浮かべてみるとよい
第 6 章
層
層は，正則関数のように局所的性質をもつ大域的な対象を，代数的に表現するのに便利な概念である．
層はどのようなものを抽象化したものであるかを先に説明しておこう．Rn の
開集合 U に対して，Cr(U) で U 上の Cr 級関数の全体のなす環を表す．また
A p(U) で U 上の C∞ 級 p 形式の全体のなす加群を表す．以下ではこのように，
F(U) で U を定義域とする何らかの局所的性質を満たす関数や微分形式の全体
を表している，と思うと理解しやすいであろう．
6.1 局所的性質
位相空間の上の関数が連続であるとか微分可能であるかどうかは，各点の十
分小さな近傍で判定される．このように，各点の十分小さな近傍の性質で判定
される性質を，局所的性質と呼ぶ．
局所と大域の違いについて簡単な例で考えてみよう．
557:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 16:15:54 sZPmTJOe.net
>>491 追加
まあ、ここらも、読まないとね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
局所環
(抜粋)
局所環（きょくしょかん、英: local ring[1]）は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で[2]、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。
定義
環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ（したがって全て）満たすもののことである[3]：
1.R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
2.R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
3.R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
4.R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
5.R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある（特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない）。
6.R/J は可除環である。ただし J は R のジャコブソン根基を表す。
これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基にも一致する。上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。
可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。
文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある[4]。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。
つづく
558:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/21 16:18:45 sZPmTJOe.net
>>492
つづき
可換な例
可換（および非可換な）体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。
局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間（これはいくらでも小さく取って構わない）で一致するような函数を全て同一視する。この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽（め、germ）または実数値連続函数芽（が）という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。
この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する
559:必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。 この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。 これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像から芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数から芽の環を考えてもよいが、結果として、これらの芽の環は局所環となる[5]。またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうして特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。 体上の（一変数あるいは多変数の）形式冪級数環も局所環の例である[7]。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。（一方で体上の多項式環は局所環ではない[5]。） (引用終り) 以上 追伸 可換だとジャコブソン根基関係ない なので、ずっと簡単になります