20/08/16 17:47:15.94 0IMtsn2Y.net
>>346
つづき
ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく（一次ではなく）高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。
今日の determinant（決定するもの）に当たる言葉が初めて現れたのはガウスによる1801年の Disquisitiones Arithmeticae である。そこで彼は二次形式の判別式（今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる）を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。
現代的な行列式の概念の確立
現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。
1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。
行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。
(引用終り)
以上
389:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 19:44:12 0IMtsn2Y.net
>>200 補強
(引用開始)
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
(>>184より)
URLﾘﾝｸ(oguemon.com)
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(引用終り)
追加参考
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
福井 敏純
埼玉大学 大学院理工学研究科
数理電子情報専攻 数学コース
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
講義関連 福井 敏純
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
線形代数学講義ノート
福井 敏純
2020 年 3 月 23 日
(抜粋)
P20
1.2.4 逆行列
AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表
す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列
Y が存在すればそれは X に等しい．
Y = Y (AX) = (Y A)X = X
A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）．
X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1
実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す．
逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という．
例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である．
Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである．
*3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる．
つづく
390:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 19:45:18 0IMtsn2Y.net
>>348
つづき
定理 1.2.12 (積の逆行列). 正方行列 A, B に逆行列 A^-1
, B^-1 が存在するとき積 AB に
も逆行列が存在し，それは次で与えられる．
(AB)^-1 = B^-1A^-1
第 2 章 行列式 27
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
P44
2.4 積の行列式
2.4.1 積の行列式
行列式に関する次の定理は基本的である．
定理 2.4.1 (積の行列式). n 次正方行列 A = (ai,j ), B = (bj,k) に対し
det(AB) = det(A) det(B).
系 2.4.2. 正方行列 A が逆行列をもつ必要十分条件は det(A)≠ 0.
証明. det(A) ≠ 0 ならば逆行列が存在する事は既に見た（定理 2.3.7）．A が逆行列 A^-1
をもてば1 = det(E) = det(AA^-1) = det(A) det(A^-1)
よって，det(A)≠ 0.
この証明より det(A^-1) = 1/det(A) も分かる．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
7 行列式の性質
7.1 固有値との関係
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Determinant
(引用終り)
以上
391:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 20:22:19 0IMtsn2Y.net
>>348-349 補足
＜行列式の視点から、行列では「可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たない」は、簡単に見える＞
まず、下記を３点を認めましょう
・det(AB) = det(A) det(B).
・逆行列 A^-1で、det(A^-1) = 1/det(A)
・（逆行列の一意性）：A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない
こ
392:の３点を認めると １）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので ２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く） だから、１）と２）とが、同時には成り立つと ・AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、 ・A^-1AX＝0→X＝0となる。これは、 X≠0に矛盾 ・よって、「１）と２）とは、同時には成り立たない」は、ほぼ自明です そもそも、”零因子AX＝0”と、”逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E”とは、水と油みたいなものです（＾＾ 行列Aで、逆行列の存在と、零因子AX＝0の成否とが、 密接に関連していることは、 大学の数学教程を学べば常識でしょうね～ｗｗ（＾＾； （>>332より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413 数学の代数学について sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo 可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
393:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 20:29:43 0IMtsn2Y.net
>>349 コピーミス訂正
（まあ、原文 URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp) 線形代数学講義ノート を見て下さい）
誤：
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
↓
正：
P42
2.3.3 余因子行列
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ≠ 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
394:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 21:43:38.57 0IMtsn2Y.net
>>350 補足
そうそう、行列式でしたね（＾＾；
１）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので
２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く）
↓
これを、行列式で書くと
１）零因子なら、｜A｜｜X｜＝0（数の零）、但し A≠0、X≠0
２）逆行列 ｜A｜｜A^-1｜＝1（数の1）
で
・｜A｜｜X｜＝0より、｜A｜＝0 又は｜X｜＝0 （両方0もある）
・｜A｜｜A^-1｜＝1 より、｜A｜≠0であり、上記より｜X｜＝0
が出ます
さて、”｜A｜≠0なら、Aは逆行列を持つ”を認めると
>>350で示した通り
AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、(A^-1A)X＝0→X＝0となり、これは、 X≠0に矛盾
一方、AX＝0（零行列）、但し X≠0 を認めるなら
行列Aは逆行列を持てず、即ち、｜A｜＝0にならざるを得ない
つまり、「零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0」 なら、｜A｜＝｜X｜＝0 成立です
たったこれだけのことですが、
”行列式”というメガネを通すと、すっきり見えてくる部分が多いのです
そして、正方行列Aで、行列式｜A｜＝0なら、逆行列を持つことができず（∵”｜A｜｜A^-1｜＝1”が不成立だから）
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
が、すっきり見えてくるでしょう！ （＾＾
395:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 21:46:52.31 0IMtsn2Y.net
>>352 タイポ訂正
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
↓
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れず、よって零因子も持てない＆成れない
分かると思うが（＾＾；
396:１３２人目の素数さん
20/08/17 06:59:49 lbRpX4Uh.net
>>348-353
肝心なことが分かってませんね
今、あなたに対して指摘されているのは
「逆行列を持てば零因子ではない」ではなく
「逆行列を持たなければ零因子」に対する
あなたの証明の誤りです
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
これ 余因子が分かっていたら明らかですよ
397:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:03:50 lbRpX4Uh.net
>>354
しかしながら、余因子行列のような馬鹿チョン技に頼らず
A≠O かつ |A|=0
から
DA＝O、AC＝O、で C≠O、D≠O
となる行列C,Dが具体的に構成できることは
>>338で示されている通りです
大学1年の線形代数からやり直そうね ボク
398:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:14:23 lbRpX4Uh.net
>>355
ついでにいうと、上記のC,Dは一意的でないことも
線形代数が分かってる人なら常識だろう
399:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:27:42 lbRpX4Uh.net
馬鹿「一つの例で群が分かったと思うのはアサハカ
自然数の全体が群とか言って喜んでるのはアホ」
阿呆「バカ、０以外の自然数には加法逆元がないだろｗ
ところで、乗法逆元は零因子でないことと同値
環論から証明できる」
馬鹿「アホ、整数には零因子はないが、逆元があるのは１と－１だけだぞ
整数を自然数と云い間違えるのとはわけが違うよ
思い込みで口から出まかせ行ったらトンデモになりさがるぞ」
400:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 07:37:56 TRrMkJI/.net
>>311 >>314 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
(抜粋)
A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を
401:f(a) = a + 1 で定める。 f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。 また、z ∈ N に対して gz ∈ A を gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) で定める。 gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。 (解答) 略 (引用終り) さて、この(解答)を少しひねって、 ”右逆元も左逆元も、もたない例”を考えてみた z ∈ N に対して hz ∈ A を hz(a) =a + 1 (a >= 2) or =z (a = 1 但し、zは、z>2なるある自然数 ) で定める hz は、右逆元も左逆元も、もたない ∵ 花木解答の通り、hzは全射でもなく、単射でもないから。詳細は、>>311 >>314をご参照
402:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:42:48 lbRpX4Uh.net
>>358
◆yH25M02vWFhP
「一般の環で、零因子でない⇔逆元あり」
の誤りに反論できず
403:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 07:42:52 TRrMkJI/.net
>>354
(引用開始)
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
(引用終り)
同意ですけど
常識ですけど
「言える」なんて
一言も言っていません
あなたの脳内の幻聴ですよ
お薬が不足していたようですね
飲み忘れに気を付けましょう～！！ｗｗｗ（＾＾
404:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:44:46 lbRpX4Uh.net
整数環であきらかなように、乗法逆元もないが零因子もない元（例えば２）はある
405:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:49:10 lbRpX4Uh.net
>>360
＞同意ですけど
やっと理解したかね？
＞常識ですけど
いやいや、君、知らなかったよね？
＞「言える」なんて一言も言っていません
言えないなら、ドヤ顔で>>200を書いたりせんけどな
君、明らかにA≠OならA~≠Oに決まってると
何の根拠もなく思い込んでたよね
「Aが正方行列ならA~/|A|は逆行列だ」
と迂闊にも思い込んでたように
線形代数の理屈を全く理解せず
ただただ公式を暗記すれば誤魔化せると
なめた態度をとった結果がこのザマｗ
406:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 10:35:16.03 YzHCxD9t.net
この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
だが、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
407:１３２人目の素数さん
20/08/17 11:40:19.14 lbRpX4Uh.net
>>363
そもそも、その自称数学者の工学馬鹿が
層の説明でただの張り合わせの話を
「解析接続だ！」と誤解してるのを
真に受けた同類の工学馬鹿が得意顔で
コピペしたのがはじまり
それにして複素関数論も勉強したことない馬鹿が
なんでもかんでも「解析接続」というのは実に悪い癖だね
＞数学では、自分の失言を帳消しにすることはできない
君はちょっとつつくと簡単に発狂して
失言の連鎖反応で臨界に達するから面白い
正真正銘の自己愛性人格障害なんだな
どんだけ自分が天才だと自惚れてるんだよ
408:１３２人目の素数さん
20/08/17 12:03:30.86 zkD81yCI.net
>>364
顔パンパンに腫れ上がったメガネヲタが何言うどんねん。工学様々やないか。
409:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:21:09.41 6YtilH3B.net
関西�
410:ﾙﾃﾞｨｽに反応してｱﾝﾁが…
411:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:55:38.56 lbRpX4Uh.net
維ソ新！！！ｗ
412:１３２人目の素数さん
20/08/17 15:47:56 lbRpX4Uh.net
◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
任意の正方行列Aについて、A~/|A|は逆行列
→|A|=0だと逆行列でなかった
しかしAが零行列でなければ、A~/|A|も零行列でなく、零因子
→Aが零行列でなくてもA~/|A|が零行列になる場合があった
しかし、環では、可逆元でなければ零因子になるから正しい
→整数環では反例アリ （今ココ）
もう三つも嘘ついた ほんまアホやな
413:１３２人目の素数さん
20/08/17 15:50:09 lbRpX4Uh.net
>>368 修正
◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
任意の正方行列Aについて、A~/|A|は逆行列
→|A|=0だと逆行列でなかった
しかし、Aが零行列でなければ、A~も零行列でなく、零因子
→Aが零行列でなくてもA~が零行列になる場合があった
しかし、環では、可逆元でなければ零因子になるから正しい
→整数環では反例アリ （今ココ）
もう三つも嘘ついた ほんまアホやな
414:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 17:02:41 YzHCxD9t.net
>>363 補足
必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ
>>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
（補足説明も、>>134-136に書いてある）
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
>>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い
普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する
というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです）
で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです
逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ
で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160）
やれやれですなｗ（＾＾；
以上
415:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 17:11:49.44 YzHCxD9t.net
>>370 追加
(引用開始)
ところがところが、おサルは怒り狂って
「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」
「おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ」という（>>160）
(引用終り)
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
正則行列Aにおいて、Aに逆行列が存在することと、Aが零因子でないことは、同値
つまり、Aが零因子であることと、Aに逆行列が存在しないことは、同値
無知にも、これを知らないから、「おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ」という（>>160）
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
416:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:38:52.58 lbRpX4Uh.net
>>370
必死に失言を否定しようと詭弁を弄する哀れな◆yH25M02vWFhP
正方行列でなく正則行列といえば問題なかった
しかし◆yH25M02vWFhPは正則行列の意味すら知らず
正方行列Aには逆行列A~/|A|が存在すると思い込んでた
これが第一の誤り
いまだに表現論とかトンチンカンなこといってるが
線形写像の行列表現と聞いて脊髄反射してるだけだろう
ｎ×ｎ行列は、ｎ次元線形空間の自己線形写像の全体だが
残念ながら、全単射となる
417:自己同型写像とは限らない 自己同型写像となる条件が|A|が0でないというもの 線形代数を学んだ人間なら必ず知ってること
418:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:45:03.16 lbRpX4Uh.net
>>370
◆yH25M02vWFhPは
「逆行列が存在しない正方行列が存在する」
と指摘された時点で
「ああ、正則行列、つまり|A|が0でない正方行列、と書くべきでしたね」
と書けば問題なかった
しかし、なにをトチ狂ったのかここで「零因子でない」とかいいだした
それだけならまあただ粋がってるだけといってよかったが、愚かにも
「|A|=0なら、AA~＝Oで、零因子と証明できる」
といってしまった
これが第二の誤り
「AがOでなければ、A~もOでない筈」と
何の根拠もなく思い込んでたんだろうが、実はここが落とし穴
AがOでないのに、A~がOになる行列はいくらもある
だからそれだけでは零因子になることの証明にならない
419:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:56:06.70 lbRpX4Uh.net
>>370
◆yH25M02vWFhPは
「|A|=0でAがOでないのに、A~がOになる行列はいくらもあるから
それだけでは零因子になることの証明にならない」
といわれて誤りを認めればよかったのに、愚かにも
「一般的な環論で、可逆元以外の元は０でなければ零因子」
と言い切ってしまった
これが第三の誤り
もちろん、反例がある 整数環であるｗ
例えば２は可逆元ではないが、零因子でもない
行列環の場合、可逆元でなければ、０でない元は零因子だが
それは論理的に細かい分析が必要
しかし◆yH25M02vWFhPは粗雑な奴なので細かいことが考えられない
だからA~とかいう公式に食いつきたがる
要するに式より細かいものは理解できない
AB=OとなるBはもちろん具体的に構成できるが面倒くさい
ケイリー・ハミルトンの定理を使えば式でも表せるが、
正直言って◆yH25M02vWFhPには
ケイリー・ハミルトンの定理だけ教えるのは有害
どうせ式だけ見てトンチンカンな妄想誤解をするから
公式馬鹿は数学を理解しているように見えても
所詮はナントカを覚えたサルと同じ
人間としての理性はない
420:１３２人目の素数さん
20/08/17 18:06:00.98 lbRpX4Uh.net
ちなみにケイリー・ハミルトンの定理というが
・ハミルトンは四元数として表せる行列の場合に証明した
・ケイリーは2次および3次の行列の場合のみ証明した
・一般のn次行列について証明したのはフロベニウスである
421:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 21:36:00.08 TRrMkJI/.net
おっさん、大学で抽象代数が苦手だったみたいだな～～ｗｗ
書いていることを見ると、よく分かるわｗ（＾＾；
理解が浅いな～～！
下記でもよめ！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
象が転んだ
いまさら聞けない？群と体と環の関係とは(2020/4/18更新)?代数に憑かれた男たちと代数に疲れた私と?
2019年06月08日 06時44分07秒 | 数学のお話
(抜粋)
数学ブログでは､”ガロア群”や「ABC予想」をテーマにしたブログを立てましたが。群と体と環の関係をしっかりと理解しとかないと､このテーマに付いてくのはキツイかと。
そこで今日は､群と体と環の基本の基を紹介します。これが理解出来るだけでも､代数学の苦手意識が消えるかもです。
実は私も､この代数学(群論)の基礎が理解できなくて､大学の数学を頓挫しました。今から思うと､非常に惜しい事をしたと思います。
これを後悔先に立たずというか､代数に疲れた男というか。
”体”と”群”の微妙な関係
”体”ですが。内部構造に関する限り､”群”よりも複雑です。故に､代数の教科書では群を紹介し､その後に体へ進みますが､大半が群の抽象性にウンザリし､体に進む前にヤラれてしまいます。見方によっては､体の方が群よりもありふれてて､理解しやすい所もある。
環は､加法
422:にて群になるが､乗法にては群にならない(逆元が存在しない)。故に､”環は加法にて可換群､乗法にて半群”と覚えときましょう。 上述した様に､有理数と実数と複素数は全て”体”をなすが､整数は割り算では閉じず､”体”にはならない。しかし､整数は加法に関して”群”になる。また乗法にて閉じており､結合則と単位元を満たすので､整数全体Zは”環”になる。これを”整数環”と呼びます。 群と体と環の関係を判り易く言えば､ある性質を満たす代数系を群と呼び､その中で更に特定の性質を満たす代数系を環と呼び､環の中で更に特定の性質を満たすものを体と。故に､群⊃アーベル群⊃環⊃可換環⊃整域⊃体と纏めておけば間違いないです(イラスト参照)。 つづく
423:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 21:36:30.38 TRrMkJI/.net
>>376
つづき
補足～群論の3つの柱とネーター環
因みに､ネーター環ですが。実は私の卒論がネーター環の定義でした。全く忘れてましたな。
以下の3つを満たす環です。
＜鈴木 咲衣ちゃん、結構分り易く纏まっているよ＞
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
鈴木 咲衣 東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
講義歴
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(引用終り)
以上
424:１３２人目の素数さん
20/08/17 22:42:15.77 CDCvYYLc.net
>>177
だれが、行列を分かってないのかな？ｗｗ（＾＾；
>>214
>抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
。。。と豪語する瀬田くんに行列と抽象代数のコラボ問題
実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
豪語しといてコピペは恥ずかしいので自力で解きましょうねー 基本が分かってれば解ける問題ですからー
425:１３２人目の素数さん
20/08/17 22:45:29.73 CDCvYYLc.net
瀬田くんは>>303も白紙でゼロ点でしたよねー
426:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 22:55:42.58 TRrMkJI/.net
>>372
>正方行列でなく正則行列といえば問題なかった
１）純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
２）例えば、もし、これが院試の答案なら、専門用語は正確を期すべき＊）
３）だが、５ｃｈは、院試の答案を書く場ではない＊）
注：
＊）数学じゃ無いが、司法試験の論文試験などで、専門用語が不正確な論文を見ると
「分かってない？」「勉強が足りない」という不合格の推定が働くという
逆もまた真。専門用語が正確だと、「良く勉強しているな」と
では、一般大衆に対する文章ではどうか？ 「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、相手に理解させるという目的から遠ざかる
いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな、群は基本的に非可換だよ」（>>134の通り）
B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな、群は基本的に非可換だよ」
のどちらが分り易いかだ
繰返すが、群は基本非可換です。ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
本来、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」なんて、アホかいなというレベル
で分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した（>>142）
院試の答案という、それを読む人が自分より数学レベルが上の人相手なら、「正則行列」が正しいだろう
だが、自分よりレベルが低いと思われる場合は、「正方行列」の方が適切だな（おサルお前のことだよｗ）
427:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 22:58:08.95 TRrMkJI/.net
>>378
ほいよｗ（＾＾
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
428:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:09:16.58 CDCvYYLc.net
>>380
>１）純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
いやいやｗ 正方行列群なんて書く人は瀬田くん以外いませんから
実際瀬田くんのコピペには「正則行列群」とか「可逆行列群」とかとなってて「正方行列群」なんて一つもありませんでしたから、残念！
429:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:12:01.53 TRrMkJI/.net
>>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
それ、さっき読んだ 鈴木 咲衣ちゃん
P30 下記
「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
そのものじゃんか？
なにが、”行列と抽象代数のコラボ問題”なのかね？ オチコボレ丸出しじゃん（鈴木 咲衣の練習 23.の単なる一つの系でしかないじゃんｗｗｗ）
（「分からない問題はここに書いてね」スレで教えて貰えよ>>381.。あるいは、自分でネット検索しな。解答はどっかにあるだろうな。おそらくYahoo知恵袋みたいなところに）
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
6.2 イデアルと剰余環（?）
定義 6.2.1 (部分環). 環 R の e を含む部分集合 S で，R の加法と乗法に関してそれ自身
が環になっているものを部分環という．
定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデア
ルと呼ぶ．
(1) R の加法について，I は群になる．
(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
イデアルは部分環の特別なも
のです．
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
430:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:22:00.05 TRrMkJI/.net
>>383 追加
オチコボレさんのためにｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
よろしくお願いします
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
メモ書き ピグの部屋 ペタ
体は自明なイデアルしか持たない
2019-08-20 02:25:39
431:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:28:33.16 TRrMkJI/.net
>>384
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
おっと、こっちかい？
両側イデアルとなっているけどな～ｗｗｗｗｗｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
432:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:33:54.19 CDCvYYLc.net
>>383
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
>なにが、”行列と抽象代数のコラボ問題”なのかね？ オチコボレ丸出しじゃん（鈴木 咲衣の練習 23.の単なる一つの系でしかないじゃんｗｗｗ）
Mn(R)は体であるという主張ですかー？
正方行列全体は乗法について群を成さないとさんざん教えてもらったばかりですよねー
暑さで脳みそ溶けてるんですかー？
433:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:40:44.29 CDCvYYLc.net
>>385
>おっと、こっちかい？
わざわざ「豪語しといてコピペは恥ずかしいので自力で解きましょうねー 基本が分かってれば解ける問題ですからー」
と忠告してあげたのにこのザマですかー
なんでもコピペで済まそうとしてあなた本当に数学嫌いなんですねー
434:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:53:06.11 CDCvYYLc.net
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
↑
こんなどの教科書にも必ず載ってる基本中の基本はさすがに出題しないですよーｗ
435:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:57:35.32 TRrMkJI/.net
>>383 補足
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
>定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ．
>(1) R の加法について，I は群になる．
>(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
そうか
なるほど
鈴木 咲衣ちゃん
「(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.」だから、この定義は両側イデアルなんだね（＾＾
436:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 00:09:45.97 aMkYF6+a.net
>>385
(引用開始)
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
おっと、こっちかい？
両側イデアルとなっているけどな～ｗｗｗｗｗｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
(引用終り)
うん？
”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
437:１３２人目の素数さん
20/08/18 00:30:15.44 pfu+OVXc.net
>>390
瀬田くん、妙に「両側」に拘ってるけど無意味ですよー
wikipediaより引用「左イデアルか
438:つ右イデアルであるものを、両側イデアル (two–sided ideal) または単にイデアルという。」 の通り、単に用語の流儀の違いだけですからー 揚げ足取りに失敗して残念！
439:１３２人目の素数さん
20/08/18 00:46:56.10 pfu+OVXc.net
瀬田くんバカだから教えといてあげますねー
非可換環では左イデアル、右イデアル、両側イデアル（＝左イデアル且つ右イデアル）は区別される。
両側イデアルを単にイデアルと云うことがある（用語の流儀）。
>>378は非可換環の問題なのでイデアルは両側イデアルと同義。妙な「両側」への拘りは無意味ですよー。
一方可換環では左イデアルは自動的に右イデアルでもある。可換だから。よって左イデアル、右イデアル、両側イデアルは全て同じモノで区別の必要が無い。
だから単にイデアルと云う。
440:１３２人目の素数さん
20/08/18 00:56:47.55 pfu+OVXc.net
片や「イデアル」、片や「両側イデアル」と書かれてるのを見て
>うん？
>”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
>それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
↑
これがコピペ脳の限界ですｗ 馬鹿丸出しですねー
441:１３２人目の素数さん
20/08/18 01:02:15.46 pfu+OVXc.net
片や「左イデアル」、片や「両側イデアル」と書かれてるのを見たら
>うん？
>”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
>それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
とリアクションすることをお奨めしときますねー
442:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:11:47.12 aMkYF6+a.net
>>391
>wikipediaより引用「左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two–sided ideal) または単にイデアルという。」
>の通り、単に用語の流儀の違いだけですからー
>揚げ足取りに失敗して残念！
残念ながら、この「揚げ足取」は、本質だよ
つまり、どの教科書でも論文でも、「両側イデアル または単にイデアルという」注釈は、落とさない
（「両側イデアル または単にイデアルという」という前提で、書くならこの注は必ずある。探せばある）
例外はない （アホが書いたら別。名のある数学者が書く文章で、これを抜かす人は皆無です。おれは見たことは無い！（＾＾）
443:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:19:07.92 aMkYF6+a.net
>>389 補足
下記の
「・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。」
だな、あと”森田同値”
基本だね
不勉強なので、おれにとっては、基本ではないがね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列環
(抜粋)
構造
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。
444:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:22:32.30 aMkYF6+a.net
>>395 補足
アホは、理解せずに
どこかの教科書などから
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
をコピーしたわけだ
だが、アホは、その教科書のどこかに
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
アホじゃん（＾＾
445:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:25:03.01 aMkYF6+a.net
>>397 タイポ訂正
だが、アホは、その教科書のどこかに
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
↓
だが、アホは、その教科書のどこかにある
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
分かると思うが（＾＾；
446:１３２人目の素数さん
20/08/18 09:25:46 pfu+OVXc.net
瀬田くんが何をそんなにムキになってるのか分かりませんが、
非可換環における両側イデアルとイデアルを別モノと解釈する流儀もあると言いたいのですか？
ではその流儀における両者の違いを答えて下さい。
447:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 10:3
448:4:46.46 ID:6E5Q9lbT.net
449:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:34:08.40 6E5Q9lbT.net
>>371 補足
環における 零因子と逆元の関係
下記の全商環に全部書いてあるね
いろいろ書いてあるが、大体思っていた通りだな
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全商環
全商環（ぜんしょうかん、英: total quotient ring[1]）あるいは全分数の環 (total ring of fractions[2]) は、整域に対する商体の構成を、零因子をもつ可換環に対して一般化するものである。この構成は、可換環に対して、その非零因子の「逆元」を付け加えて、より大きな環を作り出す操作になっている。零因子を可逆化することはできない[* 1]ので、全商環はもうこれ以上逆元を加えて拡大することはできないものになっている。このことから、全商環は「可能な限り逆元を付け加えた」という意味で最大の環である。
注意
1^ a が R の零元と異なる零因子で、a が R の全商環 Q の中で単元となると仮定すると、R の零元でない元 b で ab = 0 を満たすものと、Q の元 c で ca = 1 を満たすものとが存在することになるが、 0 = c(ab) = (ca)b = b となり、b が零元でないことに反する。従って R の零因子を Q の単元にすることはできない。
定義
R が可換環のとき、S を R における非零因子全体の成す集合とすれば、S は R の零元を含まない R の積閉集合（乗法に関して閉じているような R の部分集合）である。従って、環 R の S による局所化として、全商環 S-1R が得られる。可換環 R の全商環をしばしば Q(R) とも表す。
R が可換整域ならば、非零因子の全体は S = R* (= R - {0}) であり、全商環は R の商体に一致する。整域 R の商体を Q(R) と表すことがあるが、整域の全商環と商体が一致するという事実から、単に Q(R) と書いた場合にいず�
450:黷ﾌ意味であるかについて誤解の生じることはない。 作り方から S は零因子を含まないから、自然な写像 R → Q(R) は単射であり、従って全商環 Q(R) は可換環 R の拡大環となる。 つづく
451:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:35:11.80 6E5Q9lbT.net
>>401
つづき
例
R がアルティン環ならば、R の任意の元は単元であるか零因子であるかのいずれかであるから、非零因子全体の成す集合 S は R の単数群 R× に等しいから、全商環 Q(R) は (R×)-1R と書けるが、しかしそもそも S = R× の元はすべて可逆だったのだから、(R×)^-1 ⊂ R であり、Q(R) = R が成立する。
同様のことが可換フォンノイマン正則環 R でもおきる。R の元 a が零因子ではないとすると、フォンノイマン正則環においては適当な元 x ∈ R をとって a=axa とかくことができるから、変形して a(xa - 1)=0 なる方程式を得るが、a は零因子ではないとしたのだから xa=1 となり、すなわち a が単元であることが従う。ゆえにここでも Q(R) = R である。
応用
代数幾何学において、スキーム上の全商環の層を考えることができて、それを用いてカルティエ因子 (Cartier divisor) の定義が与えられる。
一般化
R が可換環で S が R の単位元を含む任意の乗法的マグマならば、同様の方法で S^-1R を構成できる。ただし、分母になれるのは S の元だけである。S に R の零元が含まれるならば S^-1R は自明な環となる。詳細は環の局所化を参照。
典拠
1^ Matsumura (1980), p. 12
2^ Matsumura (1989), p. 21
参考文献
Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1980
Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory, 1989
IUTを読むための用語集資料集スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:455番)
PDFが落ちていた
URLﾘﾝｸ(inis.jinr.ru)
Matsumura,_Commutative_Algebra,1980
URLﾘﾝｸ(chairejeanmorlet-1stsemester2015.weebly.com)
Commutative ring theory
HIDEYUKI MATSUMURA
Department of Mathematics, Faculty of Sciences
Nagoya University, Nagoya, Japan
Translated by M. Reid
H. Matsumura, 1980.
English translation 0 Cambridge University Press 1986
(引用終り)
以上
452:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:38:02.64 6E5Q9lbT.net
>>400 誤変換訂正
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
↓
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が無い範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
分かると思うが（＾＾；
453:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 14:25:52.03 6E5Q9lbT.net
>>400 追加
まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
（参考）
URLﾘﾝｸ(numbertheory.untokosho.com)
高校生/社会人のための整数論入門
―類体論入門のためにー
Takashi
平成24年5月27日
(抜粋)
このHPは、高校生/社会人のために整数論の入門を記載したものです。高校生/社会人に限定したのは、大学などで数学を専門に学んでいない人も対象に加えたためであり、現在の大学で勉強しはじめたひとにとっても役にたつ内容だと思います。
最終的な目標は、類体論の初歩を郡論や体論、ｶﾞﾛｱ理論等を前提とすることなく記載することです。
URLﾘﾝｸ(numbertheory.untokosho.com)
高校生/社会人のための整数論入門 Takashi
3.2.1 環
定義 3.2.1
（
454:6） （乗法に関する交換法則） Rの任意の元 a,bに対し、交換法則 a・b=b・aが成り立つ。 このHPでは乗法に関しては交換法則を条件（6）としています。このように、交換法則 a・b=b・a が成り立つようなRを特に可換環（commutative ring）ということがあります。 一般的には、可換でない環（非可換環）も環という場合があります。 下記の例のとおり、可換環の典型例としては整数環や多項式環が、非可換環の典型例としては行列環があります。 本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう。 http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node61.html 高校生/社会人のための整数論入門 Takashi 3.2.2 イデアル
455:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:58:42.28 6E5Q9lbT.net
>>404
なお、下記イデアルご参考
特に、下記のtsujimotterの記事はためになるよね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル (環論)
(抜粋)
歴史
クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。
R=Z {√5i]={a+b{√5i｜a,b∈ Z }
この環には 6 の分解は 2 通り存在する。
6 = 2 × 3
6 = (1 + √5 i ) × (1 - √5 i )
1 ± √5 i がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。
クンマーは、これはまだ分解が十分でないために起きると考えた。例えば有理整数環 Z においても、12 = 3 × 4 = 2 × 6 のように、分解が十分でなければ 2 通りの分解が発生する。これは 12 = 2 × 2 × 3 と完全に分解しなければならない。これと同様に、上記の環 R においてもより根元的な分解 6 = A × B × C × D が存在し、
2 = A × B
3 = C × D
1 + √5 i = A × C
1 - √5 i = B × D
なのであろうというのがクンマーの基本的な発想である。
もちろん A, B, C, D は R の元ではありえない。クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。
つづく
456:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:59:08.10 6E5Q9lbT.net
>>405
つづき
現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。
A = 2R + (1 + √5 i )R,
B = 2R + (1 - √5 i )R,
C = 3R + (1 + √5 i )R,
D = 3R + (1 - √5 i )R
とすれば、
6R = A × B × C × D
であり、
2R = A × B,
3R = C × D,
(1 + √5 i )R = A × C,
(1 - √5 i )R = B × D,
すなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。
また、現代の環論では 2, 3, 1 + √5 i, 1 ? √5 i はそもそも R における 6 の素因数ではない。
これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p-進体の理論にも継承されている。
(引用終り)
つづく
457:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:59:29.25 6E5Q9lbT.net
>>406
つづき
URLﾘﾝｸ(tsujimotter-sub.)ハテナブログ.com/entry/ideal-over-z5-3
tsujimotterの下書きノート
2015-08-12
Z[√-5] のイデアルについて (3)
(抜粋)
さて，�
458:｢よいよ複数元で生成されたイデアル同士の掛け算について考えよう。以下では，２つの生成元同士で考えているが，３つ以上になっても全く同じである。 (α1,β1)(α2,β2)=(α1β1,α1β2,α2β1,α2β2)(α1,β1,α2,β2∈OK) 要するに，すべての生成元同士の組に対してそれぞれ掛け算を行って，結果をすべて生成元としたイデアルを作るのである。 このままだと，元の数が増えて行って大変だと思うかもしれないが，そこは先ほど述べたユークリッドの互除法を使って，等価なイデアルに置き換えていけばよい。 例を計算してみよう。 素イデアル 上の例は，(1+√?5) というイデアルに対して，因数分解することが出来たと見ることもできる。 ここで気になってくるのは，分解された２つのイデアル (2,1+√?5),(3,1+√?5) はこれ以上分解できないのか，という問題だ。 つまり，以上２つのイデアルは素イデアルかどうか，ということである。 素イデアルを考える上では，本シリーズ１回目に代数的数のノルムを考えたように，イデアルのノルムという概念を考えると便利である。 イデアルのノルムに対しては，以下のような便利な定理があるのだ。 ノルムが有理素数であるイデアルは，素イデアルである (引用終り) 以上
459:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:32:04.62 TOk0YG1H.net
>>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
>>383
>それ、P30 下記
>「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
◆yH25M02vWFhPは
「体には自明なイデアルしかない」
という文章を
「体であるとは、自明なイデアルしかないこと（と同値）である」
と誤読する悪い癖がある
しかし正しい読解は
「体であるならば、自明なイデアルしかない」
であって、逆は真ではない
ちなみに
「R の両側イデアルが 0 と R しか存在しない環」
は単純環という
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
※ついでに、イデアルという場合両側イデアルである
つまり両側イデアルでないイデアルは存在しない
（左イデアル、右イデアルもイデアル、というのは定義の誤読）
460:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:46:55.08 TOk0YG1H.net
>>380
＞純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
正しい文章は
「数学では、正則行列が正確な表現だ」
「純」とか「とは言える」とか無駄な言葉は要らない
＞一般大衆に対する文章ではどうか？
＞「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、
＞相手に理解させるという目的から遠ざかる
もし、正則行列の意味を説明しないなら
相手に理解させる努力を放擲しているから
「目的から遠ざかる」どころではなく
「目的を見失っている」というのが正しい
しかし、君は工学部卒なんだろう？
正則行列という言葉くらい当然知ってるだろう
意味も完璧に説明できなくては線形代数の単位などとれない筈
したがって、上記の文章は無意味
正則行列の意味を説明し切れ
大学一年を修了した理工系の学生ならそのくらいできて当然
＞いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
＞A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな」
＞B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな」
＞のどちらが分り易いかだ
Aは誤り、Bは正しいが、正則行列の説明がないからダメ
正しい回答は以下の通り
「折角だから書いておくと、正則行列（＝行列式が０でない正方行列）か０でない四元数な」
なぜこの程度の完璧な回答も書けないのか？
工学部卒なんだろう？線形代数の単位はとったんだろう？
だったら、正則行列を知らないなんてありえない
多元数とはなんだ？
実数上の多元体は実数体・複素数体・四元数体で
そのうち、非可換なのは四元数体だけなんだから、特定すればいいだろう
しかも君は０を除くという基本的なことすらしていない
粗雑にもほどがある 数学が分かりたいなら細かいことを蔑ろにするな
461:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:51:43.76 TOk0YG1H.net
>>380
＞分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した
全然ダメ 積だけで群だとはいえない
単位行列の存在を示す必要があるし
逆行列の存在も示す必要がある
そしてその時、任意の正方行列に逆行列が存在するわけではない
と気づく筈である もし気づかないならそいつは線形代数がわかってない
行列式は習った筈 逆行列が存在するのは行列式が０でないときそのときに限る
と習った筈 証明など覚えてなくても定理�
462:ﾍ覚えてる筈 もし定理すら覚えられないなら、数学を学ぶ意味はない
463:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:53:51.62 TOk0YG1H.net
レベルが低いから、必要な条件を落としていい、ということにはならない
さて◆yH25M02vWFhPに質問
行列式が０ならば零行列、とはいえないのはご承知の通り
では固有値が全て０ならば零行列、といえるか？
464:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:57:32 TOk0YG1H.net
>>380
＞ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
「代数方程式の根」とか抜きで、そもそも
要素が３つ以上の有限集合の元の置換は非可換
ウソだと思うなら試してみればいい
465:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 18:24:50 6E5Q9lbT.net
>>383 補足
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
(引用終り)
これ、いろいろ見たけど、証明の筋は
I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして、
単位元1≠0 の存在 つまり 1∈Iをいえば良いみたい
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
1を使って、1R ⊂Iが言えて、もちろんI ⊂Rで、I＝Rって筋な
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
466:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 20:18:37 aMkYF6+a.net
>>413 訂正
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
↓
（I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し 任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
だな
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”は、常用の筋だが
これ、数学では結構大事なんだよね
高校数学ではうるさく言われた。0と0以外では、割り算とか積の逆元の存在で、0は例外で、場合分けをしろと（大学入試の証明問題でね）
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”の一言、院試でも、これを書くか書かないかで、何点か違うだろうね
467:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 21:04:51 aMkYF6+a.net
>>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)
おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I ”で”ある aij は 0 ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
468:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:16:14 TOk0YG1H.net
>>413
＞「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの
＞〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
＞これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、
＞I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして
＞ （ここに{0}は、零行列）
＞E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな
全然違うよ
469:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:18:16 TOk0YG1H.net
>>415
行列も分からん高卒の貴様には全く理解できないだろｗｗｗｗｗｗｗ
470:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:23:02 TOk0YG1H.net
ある箇所だけ（例えば1行目1列目の箇所だけ）1の行列があるとして、
そこから、任意の箇所（n行目m列目の箇所）について
そこだけ1になる行列を作るにはどうするかやってみな
ま、行列計算もできない高卒馬鹿の貴様には逆立ちしても無理ｗｗｗｗｗｗｗ
471:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:51:45 pfu+OVXc.net
>>400
>２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
何をトチ狂ってるんですか？単に環なんて言ってませんけど？行列環と言ってますけど？行列環は非可換ですけど？
>３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ
非可換環に対し「イデアル」は「両側イデアル」を指し、それは左イデアル且つ右イデアルである。
はい、「イデアル」で何の曖昧さもありませんけど？
> 単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です
違います。
非可換環に対しイデアルと言った場合、左イデアルや右イデアルではなく両側イデアルを指します。
入門レベルくらい勉強してから発言しましょうねー。
> そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
上記の通り違いますねー。
> しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い）
上記の通り断る必要ありませんねー。
瀬田くんが見たことが有ろうが無かろうが無関係ですねー。
> そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
> において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ
上記の通り何もまずくないですねー。
472:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:52:07 pfu+OVXc.net
>>400
（続き）
>４．鈴木 咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが
> 鈴木 咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない
> ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木 咲衣ちゃん
体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
そんな入門レベルすら分からずに
>教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな
と上から目線しちゃう瀬田くんこそ赤っ恥ですねー。
473:１３２人目の素数さん
20/08/18 22:03:32.79 pfu+OVXc.net
>>404
>まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
>「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
>それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
訳わからんこと言う前に入門レベルをしっかり勉強しましょーねー
474:１３２人目の素数さん
20/08/18 23:45:29.62 pfu+OVXc.net
>>415
あれほど自力で解きましょうと言ったのに結局検索エンジン頼みですかｗ
よっぽど考えることが嫌いなようですねー
で？検索エンジンの出力結果は理解できたんですかー？
ちなみに>>415は誤植ありますけどｗ
475:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 00:03:34.96 BSgO+qBk.net
>>420
>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>そんな入門レベルすら分からずに
また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；
おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
からというつもりなの？ なんですかね、それはｗｗｗ
そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
ほんと、代数弱いね、あなたは
代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
数学において、体（たい）という用語は、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、no
476:n-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
477:１３２人目の素数さん
20/08/19 00:26:10.01 4a1fOPiB.net
>>423
>おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
>で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
>からというつもりなの？
いいえ？違いますけど？
どんな捻じ曲がった読み方をすればそんな誤読になるんですか？
>なんですかね、それはｗｗｗ
ただの誤読ですねー
>そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
>ほんと、代数弱いね、あなたは
>代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾
>（参考）
>URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
>体 (数学)
瀬田くんさー、君が引用したページの冒頭右側の表をよーくご覧なさいな
この表から「体」は「可換体」と「可換体と非可換体の総称」の二通りの意味があること読み取れますかー？
つまり君の主張
>そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
は誤読ってことですよー
君は数学の前に国語を勉強すべきですねー 話が数学に行く前に躓いてますからー
478:１３２人目の素数さん
20/08/19 00:30:59.06 4a1fOPiB.net
>>423
で、結局瀬田くんは国語で躓いちゃって>>415なんて到底理解できてないんでしょうねー
平気で誤植して気付きもしないのがその証拠ですねー
>>415がどんな証明か、全然分かってないでしょ？正直に白状なさい
479:１３２人目の素数さん
20/08/19 00:37:18.31 4a1fOPiB.net
>>423
>で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
問題文の「イデアル」が、「両側イデアル」と同義であるという根拠は>>419で教えてあげましたからよく読みましょー
といっても国語で躓く瀬田くんには無理かな？
480:１３２人目の素数さん
20/08/19 06:15:24 hEWQC19/.net
>>425
>>415の理屈が分れば、なぜ両側か、分かる
ま、行列計算すらできない、しないヤツには百遍死んでもわかるまいが
481:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 07:54:59 BSgO+qBk.net
>>415 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
(引用終り)
補足
URLﾘﾝｸ(www.ma.noda.tus.ac.jp)
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)
（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です
よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
klの組は、任意
つづく
482:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 07:55:23 BSgO+qBk.net
>>428
つづき
イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので
klの組を集めて、その和から単位行列Eができる
E∈ I 成立
イデアルの定義から
ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです
QED
なるほど、行列単位Eijを使うのがキモですな
それを使って、
「 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない」から
任意の行列単位Eklが、行列の積を使って構成できる。行列の積がキモ
あとは、いろいろあるだろう
上記の単位行列Eを構成するのも分り易いかな
（＾＾
以上
483:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 10:08:15 bglsLP4c.net
>>428
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
ここ、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、結合則を使っている（当たり前だが意識しておく方が良い）
また、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、A ∈ I に対して、左右から、EkiとEjｌとを掛けている。
Iが両側イデアルなら、EkiAEjｌ ∈ I だ。
が、両側イデアルで�
484:ﾈいなら、”EkiAEjｌ ∈ I ”は、保障されないってことだね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 環 (数学) 厳密な定義 乗法半群 (R,*) はモノイド（あるいは半群）である 2.乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a * b)* c = a *(b * c) が成立する。
485:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 11:20:11.04 bglsLP4c.net
>>428 補足
(引用開始)
( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
(引用終り)
蛇足だが、証明の方針は
１．{0}以外のイデアルIの存在を仮定する
２．仮定より、 A ∈ I で A≠0（零行列）なる行列Aが存在する
３．行列Aには、aij ≠ 0 なる成分が存在する
４．このaij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
このときに使えるのが、
R中に存在する行列（ここにはいろんな部品が落ちている）
と、積（R中の行列とAの積が、イデアルIに入る）。両側イデアルを仮定すると、Rの行列を左右から掛けることができる。
aij^-1 EkiAEjｌ＝Ekl の式 から分かるように、左から掛ける Ekiのkで行の位置kの調整、右から掛けるEjｌで列の位置ｌの調整ができる
行列単位 Eklが任意にできれば、対角成分を持つものの和 E11+E22+・・・+Enn →E（単位行列）ができる
単位行列 E∈ I から、I＝R
そういう流れですね
この流れは、行列環以外でもほぼ同じで、
”Rが体のときに単純環になる”という証明も同じ方針ですね
（体の話は、行列よりずっと簡単で、A≠0（数として零）から、即体で逆元の存在が言えて、単位元 1 ∈ Iが言えます）
486:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 11:36:15.87 bglsLP4c.net
>>396
(引用開始)
”森田同値”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列環
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。
(引用終り)
”森田同値”ね。昔大学受験のころ、大学入試問題で、大学の数学をちょっと焼き直して、入試問題にするという話しがあって
大学の大定理を前提として使うと、その系として簡単に出るところを、しこしこと高校レベルの式変形をさせるみたいなの
それを、思い出した
もちろん、両方必要なんだろう。式変形から導くことと、大定理の一つの系であるという教養の知識と
参考
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田同値
代数学において、森田同値とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
動機
環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が圏同値であることと定めた。
この表
487:記方法は非可換環を扱っている場合にのみ興味の対象となる。なぜなら可換環が森田同値である必要十分条件は環同型であるからである。これは一般に森田同値な環の中心が環同型なことから従う。 つづく
488:現代数学の系譜 雑談
20/08/19 11:36:54.14 bglsLP4c.net
>>432
つづき
例
同型な環は森田同値である。
任意の環 R と非負整数 n について R 成分の n 次正方行列から成る全行列環 Mn(R) は環 R と森田同値である[2]。これはアルティン‐ウェダーバーン理論によって与えられる単純アルティン環の分類の一般化になっていることに注意する。森田同値を確かめるには、もし M が左 R 加群ならば Mn は行ベクトルに対する左から行列の掛け算によって Mn(R) 加群の構造が与えられることに注意すればよい。これは左 R 加群の圏 R-Mod から左 Mn(R) 加群の圏 Mn(R)-Mod への関手を定める。
(引用終り)
以上
489:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:01:36 bglsLP4c.net
>>423
>>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>>そんな入門レベルすら分からずに
>また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；
なるほど なるほど、下記の雪江明彦 「私の教科書の用語について」が参考になるかも
”永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思う”
だって
なるほどね
なお、”ScienceDirect Commutative Field” ”Handbook of Algebra”1996 で
”each (not necessarily commutative) field is a semifield”という用法もあるね
「用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう」（下記 雪江明彦より）
また、下記”Field Theory by Wulf-Dieter Geyer”の ”2. Historical remarks about the concept of field”が、面白かった
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
私の教科書の用語について 雪江明彦 2012/7/7
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで書いておく.
2. 「可除環」か「斜体」か
最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の2 巻が出た後，
3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて
「ヴェーダーバーンの定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し
か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼ぶことにしたが，
3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1，2 巻を増刷したときに
ここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが
用語を変えることにした. さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう?
つづく
490:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:02:39 bglsLP4c.net
>>434
つづき
桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした. いずれにせよ，1,2 巻ではほとんど「体」しか出てこないので，
問題になるのは 3 巻の補足に入ってから. そのときは「可除環」とした理由がわかって
もらえるのではないだろうか.
用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
数学選書6 可換体論 （新版）京都大学名誉教授 理博 永田�
491:�宜 著 1985年3月発行 （初版刊行から18年経ち，その後の進歩に伴ない，内容の加筆・訂正すべき点がでてきた．そこで1985年に全面的に書き改めたものが“新版”である．） https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/2/36_2_157/_pdf/-char/ja （体の話ではないが）可換環論の50年 永田雅宜 (1983年9月28日 提出) 数学 https://kotobank.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6-97289 コトバンク 抽象代数学 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説 代数系を公理論的に取扱って，その一般的理論を追究する数学の一部門が抽象代数学で，D.ヒルベルトの公理主義に端を発し，E.シュタイニッツの体の理論で開花し，現代数学の花形となった。日本では，園正造のイデアル論や高木貞治の類体論が世界的にすぐれた研究として知られている。 いまでは，単に代数学といえば，抽象代数学のことである。 つづく
492:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:03:33 bglsLP4c.net
つづき
URLﾘﾝｸ(www.sciencedirect.com)
ScienceDirect
Commutative Field
Handbook of Algebra
Udo Hebisch, Hanns Joachim Weinert, in Handbook of Algebra, 1996
Example 1.7
a)
Clearly, each ring is a semiring and each (not necessarily commutative) field is a semifield.
As usual, we denote by (Z, +, ・) the ring of integers and by (Q, +, ・) and (R, +, ・) the fields of rational and real numbers.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Field (mathematics)
Classic definition
・Commutativity of addition and multiplication: a + b = b + a, and a ・ b = b ・ a.
URLﾘﾝｸ(math.uni.lu)
Field Theory by Wulf-Dieter Geyer, Universit¨at Erlangen-Nurnberg ¨
Winter School on Galois Theory
Luxembourg, 15?24 February 2012
Contents
2. Historical remarks about the concept of field . . . . . . . . . . . .. . . 10
2.1. What Wikipedia says . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. New Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
2.3. The Birth of the Concept of Field and its Notations . . . . . . . . . . 14
2.4. The Paper of Steinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
つづく
493:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:04:11 bglsLP4c.net
>>436
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ernst Steinitz
Ernst Steinitz (13 June 1871 ? 29 September 1928) was a German mathematician.
Mathematical works
In 1910 Steinitz published the very influential paper Algebraische Theorie der Korper (German: Algebraic Theory of Fields, Crelle's Journal (1910), 167?309). In this paper he axiomatically studies the properties of fields and defines important concepts like prime field, perfect field and the transcendence degree of a field extension. Steinitz proved that every field has an algebraic closure. He also made fundamental contributions to the theory of polyhedra: Steinitz's theorem for polyhedra is that the 1-skeletons of convex polyhedra are exactly the 3-connected planar graphs. His work in this area was published po
494:sthumously as a 1934 book, Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente der Topologie,[1] by Hans Rademacher. (引用終り) 以上
495:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:22:53 bglsLP4c.net
>>428 タイポ訂正
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
↓
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる
です。まあ、元々が 花木 解答 (4) の（>>428）
”Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I”なので、分かると思うが（＾＾；
496:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 16:42:05 bglsLP4c.net
>>438 タイポ訂正追加
>>430より
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる
↓
>従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる
ミスのコピーで、伝播してしまった（＾＾；
497:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:02:05.27 4a1fOPiB.net
>>428
間違い
君は自分で解かず（解けず）カンニングした解答から逆推測してるだけ
案の定その推測は間違っている
カンニングしても間違うようじゃ数学は無理なので諦めましょう
498:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:50:34 hEWQC19/.net
>>428
>(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
>E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
>となるので REijR = R である。
引用が間違ってるね 粗雑だね
誤 E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
正 Ekl = Eki Eij Ejl ∈ REij R
>問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
>EijEkl = δj,k Eil.
>（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
補足が間違ってるね 粗雑だね
誤 k≠i なら
正 k≠j なら
499:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:51:26 hEWQC19/.net
>>429
>イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので
>klの組を集めて、その和から単位行列Eができる
>E∈ I 成立
>イデアルの定義から
>ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです
アタマ固いね
>>431
>証明の方針は
>４．・・・aij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける
ほんとアタマ固いね
そもそも
「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1～n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」
なんだから、
「あるEklについて、Ekl∈Iなら、任意のEijについてEij∈I」
が言えた時点で、Eijの線形結合として表せるものは全てIの要素
そして、Rの任意の要素はEijの線形結合として表せるからR=Iだろ
君は、基底知らんのか？
体は、体上一次元の線形空間で、単位元１はその基底だから
１∈Iが言えればいい、
「単位元がIの要素」を一般化するんじゃなくて
「基底がIの要素」を一般化したと思ったほうがいい
500:１３２人目の素数さん
20/08/19 19:56:28 hEWQC19/.net
そもそもなんで両側イデアルかといえば
・Eijの行iの1を行kに移すのに、行列Ekiを左から掛けるから
Ekj = Eki Eij
・Eijの列jの1を列lに移すの、行列Ejlを右から掛けるから
Eil = Eij Ejl
・つまりEijを、Eklにするには左右から行列を掛ける必要があるから
Ekl = Eki Eij Ejl
501:１３２人目の素数さん
20/08/19 20:01:05 hEWQC19/.net
>>428
> {Eij}^n i,j=1
idiot !!!
502:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 20:27:01 BSgO+qBk.net
>>441
ご丁寧にフォローありがとう
前半は、コピーがうまく行かなかった
まあ、原文見れば良い
後半は、確かに私のタイプミスだったね
ありがとよ
503:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/19 20:36:06 BSgO+qBk.net
>>444
分り易いやつだな
ピンチになると、複数idかｗ
まあ、原文のURL辿れってこと
引用コピーは、備忘録でね
引用部分のキーワードが、後に検索するとき便利なようにってこさ
そもそも、この数学板じゃ、行列とかまともに書けない
下付き上付きの添え字も、まともに書けない
こんな数式や行列もまともに書けない数学板で、証明ごっことかさ、
どれだけ底辺のくすぶりオチコボレ丸出しっだ？ってことですよｗｗ
数学科のオチコボレ哀れｗｗｗ
504:１３２人目の素数さん
20/08/19 21:47:42 hEWQC19/.net
idiotと云われただけで発●するなよ
基底も知らないで大阪大学卒とか学歴詐称すんな
505:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:23:05.16 gmO23IhH.net
>>434 補足
”斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念
506:逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。 斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。 例 ・有理数の全体 Q, 実数の全体 R, 複素数の全体 C は可換体である。 ・四元数の全体 H は非可換体である。 ・既約加群の自己準同型環は斜体である（シューアの補題）。 ・（可換とは限らない）有限整域は可換体である（ウェダーバーンの小定理）。 つづく
507:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:24:25.13 gmO23IhH.net
>>448
つづき
諸概念
体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。
体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダーバーンの小定理）。
n・1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n・1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
さて、英語版
”Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). ”
だって
つまり、英語では、"fields" は可換体で、 a word meaning "body"＝ 体は、”is used for division rings”だって。今の日本は、大分英語的用法になっているんだね（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Division ring
In abstract algebra, a division ring, also called a skew field, is a ring in which division is possible. Specifically, it is a nonzero ring[1] in which every nonzero element a has a multiplicative inverse, i.e., an element x with a・x = x・a = 1. Stated differently, a ring is a division ring if and only if the group of units equals the set of all nonzero elements. A division ring is a type of noncommutative ring under the looser definition where noncommutative ring refers to rings which are not necessarily commutative.
つづく
508:現代数学の系譜 雑談
20/08/20 00:25:15.67 gmO23IhH.net
>>449
つづき
Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]
All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.
Main theorems
Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.)
Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
Related notions
Division rings used to be called "fields" in an older usage. In many languages, a word meaning "body" is used for division rings, in some languages designating either commutative or non-commutative division rings, while in others specifically designating commutative division rings (what we now call fields in English). A more complete comparison is found in the article Field (mathematics).
The name "Skew field" has an interesting semantic feature: a modifier (here "skew") widens the scope of the base term (here "field"). Thus a field is a particular type of skew field, and not all skew fields are fields.
While division rings and algebras as discussed here are assumed to have associative multiplication, nonassociative division algebras such as the octonions are also of interest.
A near-field is an algebraic structure similar to a division ring, except that it has only one of the two distributive laws.
(引用終り)
以上