20/08/15 11:41:41.02 I4zLJ0eW.net
>>312 タイポ訂正
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)
↓
XA＝XEA＝X(AX)A＝(XA)(XA)
X(AX)Aがダブりだったな（＾＾；
351:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 17:41:47.43 I4zLJ0eW.net
>>311 トリビア蛇足
花木章秀 信州大より
モノイドの場合
gz・f = idS （単位元）
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
１）まず
A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする
f ∈ A を f(a) = a + 1
z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定めている
２）22の解答にある 「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」
これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nで は、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明
３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す
ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない
gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない）
つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます
（なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です
４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！
５）同じ論法で、>>311の「k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である」も言える
６）花木解答に記載の「gz・f = idS」は、上記３）で述べた通りです
f・gzはどうかと言えば、gz：N→Nでzのところがダブりですが、像はNそのものなのです。そして、f：N→N+1で、その像は 1 は集合N+1に含まれないので、「f・gz ≠ idS」という花木解答です
トリビア蛇足でした
これは、自分では思いつかないね
（実際、gz・f = idS → f・gz ＝ idS が証明できないかを（モノイドなどにおいて）考えてみたが、出来なかった。反例があるんだね。思いつかなかったな）
（＾＾；
352:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 06:45:48.04 0IMtsn2Y.net
>>311 トリビア蛇足の追加
>花木章秀 信州大 問題 22
>すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
>これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
"gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める"
で、”=z (a = 1)”で、変数zを導入しています
つまり、zは、自然数であれば、なんでも良いわけです
なので、これが「一意的ではないことも分かる」に、つながります
そして、gz(a)は、群の元には成れない
f(a)も、群の元には成れない
この例は、秀逸ですね
覚えておくと良いと思います
ちょっと自慢できそう
353:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:54:03.99 2xkr/j04.net
>>314-315
行列式は難しくて無理かい？
それじゃ工学部も卒業できないね
354:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:57:09.06 2xkr/j04.net
A は n×n 行列
A の ij 成分を aij と書く
行列式は以下の式で定義される
「行列式1」
detA=買ﾐ∈Snsgn(σ)∏i=1naiσ(i)=買ﾐ∈Snsgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)
σ は 1 から n の置換（順列）を表す。
買ﾐ∈Sn は，「n 次の全ての置換に関して和を取る」ことを表す。
sgn(σ) は置換の符号を表す。
奇置換なら－1，偶置換なら+1 。
355:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:58:39.77 2xkr/j04.net
>>317のように行列式を定義すると，
以下の3つの性質が成立する。
「行列式2」
性質1：単位行列 I に関して detI=1
性質2（交代性）：i 列と j 列を交換すると行列式は－1 倍される
性質3（多重線形性）：一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する。
逆に上記の3つの性質を満たす関数は行列式のみ。
つまり行列式とは上記の3つの性質を満たすものと定義することもできる。
356:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:53:53.39 0IMtsn2Y.net
>>251 補足
(>>214-215より、引用開始)
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
（おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)
＜さて、もう一度纏める＞
１）下記零因子の定義より、aが左零因子で（a≠0で） ax=0 となる x≠0 が存在するとして
もし、aが左逆元 a^-1L を有し、(a^-1L)(a)＝I(単位元)となれば、左から(a^-1L)を ax=0に掛けて
x=0が得られ、x≠0に矛盾する。よって、「aが左零因子」と「aが左逆元 a^-1L を有す」は、両立しない
（同様、「aが右零因子」と「aが右逆元 a^-1R を有す」は、両立しない）
２）さて、積演算が可換な場合は、左右の区別がなく、「aが零因子」と「aが左逆元 a^-1L 又は右逆元 a^-1R を有す」は、（左右どちらも）両立しない
３）さらに、群では、逆元には左右の区別がないので（逆元は左右どちらも同じ）、従って、aの逆元の存在と、「aが左零因子」又は「aが右零因子」とは、（左右どちらも）両立しない（>>312-313）
４）モノイドや、マグマになると、群とは異なる現象がおきる（下記松本、花木）
５）正方行列の場合も、３）同様である。それらは、行列や行列式の理論から、諸結果を導くことも可能だが、多くの部分は抽象代数学の一般的な群、環、体の理論から導くことも可能である(>>281)
６）なお、下記「非可換整域 wikipedia」の”群環と零因子問題（カプランスキーの零因子予想）”というのがあって、「様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている」、「今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2017年現在）」です
まあ結局、”「零因子」と、「逆元を持つ」とは、密接な関係がありま～す”！！
つづく
357:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:54:36.71 0IMtsn2Y.net
>>319
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を
x * y = x + y + x^2y^2
で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。
x * y = 0
を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。
つづく
358:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:55:35.78 0IMtsn2Y.net
>>320
つづき
（>>314-315も、ご参照）
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22.など
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。
群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 - g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。
つづく
359:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:56:02.99 0IMtsn2Y.net
>>321
つづき
(英語版)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(ring_theory)
Domain (ring theory)
Group rings and the zero divisor problem
No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).
(引用終り)
以上
360:１３２人目の素数さん
20/08/16 08:48:06.53 2xkr/j04.net
なんか、素人って＊＊の一つ覚えで「群・環・体」とかいうけど
たかが線形代数すらロクに理解できないレベルで
そんな呪文唱えても意味ないだろｗ
現に
「detA=0でAが零行列でないなら、
余因子行列A~ も零行列でない！」
とトンデモ発言してるし
行列式そして余因子の計算が分かってたら
反例なんか速攻三秒で思いつくぞｗ
361:１３２人目の素数さん
20/08/16 08:51:31.33 2xkr/j04.net
整数全体は環であり整域である
一方で、乗法における可逆元は１とー１だけである
つまり一般の環において、
「可逆元でないから零因子である」
とはいえない（ビシっ）
362:１３２人目の素数さん
20/08/16 08:58:02.62 2xkr/j04.net
>>324
せいぜいいえるのは、一般の環では
「零因子なら可逆元ではない」
という程度である
もし、一般の環で
「可逆元でないなら零因子である」
がいえるなら、以下が成り立つ
「整域は体である」（ドヤ顔）
うひょー！整数って体なのか！
２ｘ＝１となる整数ｘってあるんだ！
大発見だ、ぜひ教えてくれ！！！
363:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 09:26:30 0IMtsn2Y.net
(
364:target="_blank">>>214-215より、引用開始) 群・環・体 この文脈で 「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります （おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる たまたまそれが零因子でないという性質と同値である だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178） ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!! 。 。 。 ｡ 。 。 ﾟ 。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。 / ／/ ／ ／ ( Д ) Д)Д)) それって、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾； 知る人ぞ知る 常識と言えば、常識かもね この人は、抽象代数学に、無知ってことですね～ ＷＷＷＷＷ（＾＾； ｗｗｗｗｗ（＾＾； アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
365:１３２人目の素数さん
20/08/16 09:34:43 2xkr/j04.net
＞それって、”たまたま”でないことは、
＞ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること
いや分からないよｗ
だって「零因子でなければ可逆元」って反例あるじゃん
整数環という実に基本的な反例がｗ
＞この人は、抽象代数学に、無知ってことですね～ ＷＷＷＷＷ
いやいや 抽象代数学に無知なのは君だよ、き・み
たまたま行列で成り立つからって、
一般の環でも成り立つと思うのがアホｗ
366:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 09:40:38 0IMtsn2Y.net
（>>131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
367:１３２人目の素数さん
20/08/16 09:46:21 2xkr/j04.net
>>328
誰？ｗ
あのな、なんでみんなコテハン＆トリップ使わないか分かってないだろ
おまえみたいな馬鹿はどうせ次から次へと間違うだろ？
そのときおまえみたいにコテハン＆トリップ使ってるとこういわれるんだよ
「ああ、あの馬鹿また間違ったｗｗｗ」
おまえさあ、もう微積分も線形代数も分かってないんだから
いいかげん最先端の数学にむやみに食いつくのはやめて
地道に大学１年の微積分と線形代数からやり直せよ
368:１３２人目の素数さん
20/08/16 12:07:24.85 faNNmqdx.net
>>326
>群・環・体
>この文脈で
>「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
一般の環で
・「単元は非零因子」は成立
・「非零因子は単元」は不成立
は理解できましたかー？
キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？
そこが曖昧だと有るとも無いとも言えない、つまり今回もキミの主張はナンセンスってことですねー
369:１３２人目の素数さん
20/08/16 13:20:52.20 FmVE4ps5.net
Euler Maclaurin formulaをやさしく説明したサイトを紹介してください。
370:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 13:24:31.22 0IMtsn2Y.net
>>330
>キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？
説明しましょう（＾＾
そもそも、私が>>149で、下記を発言したのです
(引用開始)
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
URLﾘﾝｸ(www.geisya.or.jp)
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
零因子
(引用終り)
そこで、おサルが、>>160で下記発言
(引用開始)
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)
で、私は>>169で下記反論をした
(引用開始)
>>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；
(引用終り)
まとめると、出発は、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係だよ
で、この時点で、おサルは、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係を知らなかった
（”なんかまたトンチンカンなこといってるな 零因子の話なんかまったくしてないぞ”でしたねｗ）
でも、両者は同値（>>200ご参照）
で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(kanielabo.org)
エッセイの部屋
URLﾘﾝｸ(kanielabo.org)
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
(引用終り)
以上
371:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 13:25:21.04 0IMtsn2Y.net
>>329
>誰？ｗ
>あのな、なんでみんなコテハン＆トリップ使わないか分かってないだろ
しらばっくれてｗ
ばれていないつもりか？ｗｗ
”誰？”って、お前のこと�
372:ｾよ！ みんな分かっているんだよ～！！ ｗｗｗ（＾＾；
373:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 13:35:21.12 0IMtsn2Y.net
>>331
易しくないかもしれないが
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの和公式
オイラーの和公式(オイラー・マクローリンの公式、英: Euler?Maclaurin formula)は級数の和を与える公式である[1]。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、{\displaystyle f(x)}f(x)が多項式であるような場合を除き、{\displaystyle m\to \infty }{\displaystyle m\to \infty }とすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euler?Maclaurin formula
URLﾘﾝｸ(people.csail.mit.edu)
18.704 Seminar in Algebra and Number Theory Fall 2005
Euler-Maclaurin Formula
Prof. Victor Ka?c Kuat Yessenov
374:１３２人目の素数さん
20/08/16 13:50:41 faNNmqdx.net
>>332
>でも、両者は同値（>>200ご参照）
>で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾
成立しません。分かり易い反例は整数環。
>URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
>数学の代数学について
>sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
>可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
>(引用終り)
>以上
「単元は非零因子」なのだから同時に成り立たないのは当たり前。
しかしそれだけでは逆「非零因子は単元」は言えないことは分かりますかー？
375:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:02:06 FmVE4ps5.net
>>334
ありがとうございました。
376:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:22:06 2xkr/j04.net
>>332
なんだ、このバカ、まだ>>200の証明の誤りに気づけないんだ
＞１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
然り
（上記１を式変形して）
＞２．A・t[Aij] ＝|A| E（正則行列を含む全正方行列の場合）
然り
＞３．正則行列とは、|A|≠0
＞（行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
然り
＞つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
＞上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
誤り
まず、行列環の場合（注:一般の環では決して成立しない！）
行列の性質により（注：だから一般の環では成立しない！）
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」
し・か・し、|A|=0の場合の
A・t[Aij] ＝Ｏ （Ｏは零行列）
では、Aが零因子であることの証明にはならない
な・ぜ・な・ら、Aが零行列でなくても
t[Aij]が０行列となる場合があるから
たとえば行列
（１ １ １)
（１ １ １）
（１ １ １）
はどうみたって零行列ではないが
余因子行列を計算すれば零行列になる
ウソだと思うなら計算してみろｗｗｗ
◆yH25M02vWFhPは線形代数の基礎も分からん馬鹿
大学１年からやり直せ 微積分も線形代数も分からん数盲、いや論理盲め
377:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:32:31 2xkr/j04.net
正則でなくしかも零行列でない行列Aが零因子となることを示すのに
ケイリー・ハミルトンの定理のような高尚な定理を使わなくてもできる
ｎ×ｎ行列Aについて、行および列の入れ替えで、
ランクｍ（０＜ｍ＜ｎ）の場合、
０でない成分が、ｍ×ｍ部分にだけ存在する
階段行列に変えられる
上記の行列は、（ｎ－ｍ）×（ｎ－ｍ）部分にだけ
０でない成分が入った行列Bとの積が零行列になる
あとは、Bに対して、Aを階段行列にするのに実行した
行および列の入れ替え操作の行列（どれも正則）の
逆行列を掛ければ
AC＝０ DA=0
となるような行列C,Dが構成できる
エレガントさの欠片もないがｗ 証明としては十分だろう
378:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:36:06 2xkr/j04.net
>>338 追記 線形代数を知ってる人にはいわずもがなのことだが ｎ×ｎの正則行列 ランクｎ 零行列 ランク０ ランクｎ－２以下の場合、余因子行列が零行列になるものがある
380:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:42:45.70 2xkr/j04.net
◆yH25M02vWFhPクンよお
整数環で０、１、－１以外の
２，３，４，５，・・・
－２，－３，－４，－５，・・・に
乗法逆元（もちろん整数、したがって１／２とかはNG！）が
あるというなら示してくれｗｗｗｗｗｗｗ
ホント、自然数が群とかいうのと同じくらい白痴だな
あれもお前の発言だろ、ばぁぁぁぁぁかｗｗｗ
381:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 15:11:03.43 0IMtsn2Y.net
ピンチになれば、複数ｉｄ使い分け
分り易いやつだな（＾＾；
382:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 15:11:41.38 0IMtsn2Y.net
>>336
どういたしまして（＾＾
383:１３２人目の素数さん
20/08/16 15:23:09 2xkr/j04.net
>>341
妄想乙
>>200の証明の誤りは理解できたか？この落ちこぼれ大馬鹿野郎ｗ
384:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:16:25.87 0IMtsn2Y.net
>>294
遅レスすまん
見た
目次を見た感じだが
面白そうだね
385:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:32:27.56 0IMtsn2Y.net
(>>274より)
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
MathDocs 山下弘一郎先生
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
New Series, No.A-1. version Mar. 2011. 山下弘一郎先生
行列と可換性
Copy-ultra-Left. All-Rights ReVERSEd.
Article by YAMASHITA, Koichiro. Mar 07 2011
(抜粋)
P16
1858 年の『ロンドン王立協会哲学紀要』(Philosophical Transactions
of Royal Society of London, vol.148) に，Cayley は “A Memoir on the Theory of Matrices” という
論文を発表した8．
行列，matrix (pl. matrices) という用語が使われたのも，この論文が最初である．その中で Cayley
は，後日彼の名を冠せられることになる定理を，(kymst にはそう読めるのだが，かなりハイになって)
... I obtain the remarkable theorem that any matrix whatever satisfies an algebraical
equation of its own order,...
として明らかにする (p.476)．ただし，証明は 3 次正方行列で止めて，p.483 で
(... but) I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of
the theorem in general case of a matrix of any degree.
としてスッポカス．証明を与えたのが，もう一人の方，Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) で
あった ... ということで，ここまでにしておこう．
8The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, vol.2(1889), pp.475-496 に再録されている．Pdf file が
Michigan 大学の図書館から down load できる (URLﾘﾝｸ(quod.lib.umich.edu)). Figure 1 は，その p. 491 から転写した．
（参考：上記と別サイトから（いまどき検索すれば、ヒット
386:する場合多い）） https://www.jstor.org/stable/pdf/108649.pdf A Memoir on the Theory of Matrices Author(s): Arthur Cayley Source: Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 1858, Vol. 148 (1858), pp. 17-37 Published by: Royal Society
387:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:46:46.85 0IMtsn2Y.net
>>345 補足
行列式については、日本の和算家たちも、研究しているね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
歴史
西洋で行列式が考えられるようになったのは16世紀であり、これは19世紀に導入された行列そのものよりも遥かに昔に導入されていたことになる。また、数を表の形に並べたものや、現在ガウス（・ジョルダン）消去法と呼ばれているアルゴリズムは最も古くには中国の数学者たちによって考えられていたことにも注意する必要がある。
行列式に関する最初期の計算
楊輝(中国、1238年?～1298年)は『詳解九章算術』で数字係数の二元連立一次方程式の解をクラメルの公式の形で、行列式的なものを含んだ形で与えている。 また1545年にジェロラモ・カルダノは、著書 Ars Magna の中で同じく2×2の場合のクラメルの公式を与えている。この公式は regula de modo（ラテン語で「様態に関するの規則」の意味）と呼ばれている。 彼らは「行列式」を定義したわけではないが、その概念の萌芽をみてとることができる。
高階の行列に関する行列式
高階の行列に関する行列式の定義はそれから百年ほどたって日本で和算の関孝和、田中由真、そしてドイツのライプニッツによりほとんど同時にかつ独立に与えられた。
ライプニッツは数多くの線型方程式系を研究していたが、その頃は行列記法がまだなかったので、彼は未知数の係数を、現在のような ai,j のかわりに ij のように添字の対によって表現していた。1678年に彼は3つの未知数に関する3つの方程式に興味を抱き、列に関する行列式の展開式を与えている。同じ年に彼は4次の行列式についても(符号の間違いを別にすれば)正しい式を与えている。
一般的な行列式
関孝和は、最初の手稿からやや後の『大成算成』（建部賢明、建部賢弘と共著、執筆は1683年（天和3年） － 1710年（宝永7年）頃）で、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えている。
つづく
388:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:47:15.94 0IMtsn2Y.net
>>346
つづき
ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく（一次ではなく）高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。
今日の determinant（決定するもの）に当たる言葉が初めて現れたのはガウスによる1801年の Disquisitiones Arithmeticae である。そこで彼は二次形式の判別式（今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる）を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。
現代的な行列式の概念の確立
現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。
1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。
行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。
(引用終り)
以上
389:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 19:44:12 0IMtsn2Y.net
>>200 補強
(引用開始)
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
(>>184より)
URLﾘﾝｸ(oguemon.com)
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(引用終り)
追加参考
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
福井 敏純
埼玉大学 大学院理工学研究科
数理電子情報専攻 数学コース
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
講義関連 福井 敏純
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
線形代数学講義ノート
福井 敏純
2020 年 3 月 23 日
(抜粋)
P20
1.2.4 逆行列
AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表
す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列
Y が存在すればそれは X に等しい．
Y = Y (AX) = (Y A)X = X
A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）．
X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1
実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す．
逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という．
例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である．
Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである．
*3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる．
つづく
390:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 19:45:18 0IMtsn2Y.net
>>348
つづき
定理 1.2.12 (積の逆行列). 正方行列 A, B に逆行列 A^-1
, B^-1 が存在するとき積 AB に
も逆行列が存在し，それは次で与えられる．
(AB)^-1 = B^-1A^-1
第 2 章 行列式 27
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
P44
2.4 積の行列式
2.4.1 積の行列式
行列式に関する次の定理は基本的である．
定理 2.4.1 (積の行列式). n 次正方行列 A = (ai,j ), B = (bj,k) に対し
det(AB) = det(A) det(B).
系 2.4.2. 正方行列 A が逆行列をもつ必要十分条件は det(A)≠ 0.
証明. det(A) ≠ 0 ならば逆行列が存在する事は既に見た（定理 2.3.7）．A が逆行列 A^-1
をもてば1 = det(E) = det(AA^-1) = det(A) det(A^-1)
よって，det(A)≠ 0.
この証明より det(A^-1) = 1/det(A) も分かる．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
7 行列式の性質
7.1 固有値との関係
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Determinant
(引用終り)
以上
391:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 20:22:19 0IMtsn2Y.net
>>348-349 補足
＜行列式の視点から、行列では「可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たない」は、簡単に見える＞
まず、下記を３点を認めましょう
・det(AB) = det(A) det(B).
・逆行列 A^-1で、det(A^-1) = 1/det(A)
・（逆行列の一意性）：A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない
こ
392:の３点を認めると １）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので ２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く） だから、１）と２）とが、同時には成り立つと ・AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、 ・A^-1AX＝0→X＝0となる。これは、 X≠0に矛盾 ・よって、「１）と２）とは、同時には成り立たない」は、ほぼ自明です そもそも、”零因子AX＝0”と、”逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E”とは、水と油みたいなものです（＾＾ 行列Aで、逆行列の存在と、零因子AX＝0の成否とが、 密接に関連していることは、 大学の数学教程を学べば常識でしょうね～ｗｗ（＾＾； （>>332より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413 数学の代数学について sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo 可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
393:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 20:29:43 0IMtsn2Y.net
>>349 コピーミス訂正
（まあ、原文 URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp) 線形代数学講義ノート を見て下さい）
誤：
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
↓
正：
P42
2.3.3 余因子行列
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ≠ 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
394:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 21:43:38.57 0IMtsn2Y.net
>>350 補足
そうそう、行列式でしたね（＾＾；
１）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので
２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く）
↓
これを、行列式で書くと
１）零因子なら、｜A｜｜X｜＝0（数の零）、但し A≠0、X≠0
２）逆行列 ｜A｜｜A^-1｜＝1（数の1）
で
・｜A｜｜X｜＝0より、｜A｜＝0 又は｜X｜＝0 （両方0もある）
・｜A｜｜A^-1｜＝1 より、｜A｜≠0であり、上記より｜X｜＝0
が出ます
さて、”｜A｜≠0なら、Aは逆行列を持つ”を認めると
>>350で示した通り
AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、(A^-1A)X＝0→X＝0となり、これは、 X≠0に矛盾
一方、AX＝0（零行列）、但し X≠0 を認めるなら
行列Aは逆行列を持てず、即ち、｜A｜＝0にならざるを得ない
つまり、「零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0」 なら、｜A｜＝｜X｜＝0 成立です
たったこれだけのことですが、
”行列式”というメガネを通すと、すっきり見えてくる部分が多いのです
そして、正方行列Aで、行列式｜A｜＝0なら、逆行列を持つことができず（∵”｜A｜｜A^-1｜＝1”が不成立だから）
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
が、すっきり見えてくるでしょう！ （＾＾
395:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 21:46:52.31 0IMtsn2Y.net
>>352 タイポ訂正
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
↓
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れず、よって零因子も持てない＆成れない
分かると思うが（＾＾；
396:１３２人目の素数さん
20/08/17 06:59:49 lbRpX4Uh.net
>>348-353
肝心なことが分かってませんね
今、あなたに対して指摘されているのは
「逆行列を持てば零因子ではない」ではなく
「逆行列を持たなければ零因子」に対する
あなたの証明の誤りです
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
これ 余因子が分かっていたら明らかですよ
397:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:03:50 lbRpX4Uh.net
>>354
しかしながら、余因子行列のような馬鹿チョン技に頼らず
A≠O かつ |A|=0
から
DA＝O、AC＝O、で C≠O、D≠O
となる行列C,Dが具体的に構成できることは
>>338で示されている通りです
大学1年の線形代数からやり直そうね ボク
398:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:14:23 lbRpX4Uh.net
>>355
ついでにいうと、上記のC,Dは一意的でないことも
線形代数が分かってる人なら常識だろう
399:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:27:42 lbRpX4Uh.net
馬鹿「一つの例で群が分かったと思うのはアサハカ
自然数の全体が群とか言って喜んでるのはアホ」
阿呆「バカ、０以外の自然数には加法逆元がないだろｗ
ところで、乗法逆元は零因子でないことと同値
環論から証明できる」
馬鹿「アホ、整数には零因子はないが、逆元があるのは１と－１だけだぞ
整数を自然数と云い間違えるのとはわけが違うよ
思い込みで口から出まかせ行ったらトンデモになりさがるぞ」
400:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 07:37:56 TRrMkJI/.net
>>311 >>314 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
(抜粋)
A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を
401:f(a) = a + 1 で定める。 f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。 また、z ∈ N に対して gz ∈ A を gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) で定める。 gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。 (解答) 略 (引用終り) さて、この(解答)を少しひねって、 ”右逆元も左逆元も、もたない例”を考えてみた z ∈ N に対して hz ∈ A を hz(a) =a + 1 (a >= 2) or =z (a = 1 但し、zは、z>2なるある自然数 ) で定める hz は、右逆元も左逆元も、もたない ∵ 花木解答の通り、hzは全射でもなく、単射でもないから。詳細は、>>311 >>314をご参照
402:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:42:48 lbRpX4Uh.net
>>358
◆yH25M02vWFhP
「一般の環で、零因子でない⇔逆元あり」
の誤りに反論できず
403:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 07:42:52 TRrMkJI/.net
>>354
(引用開始)
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
(引用終り)
同意ですけど
常識ですけど
「言える」なんて
一言も言っていません
あなたの脳内の幻聴ですよ
お薬が不足していたようですね
飲み忘れに気を付けましょう～！！ｗｗｗ（＾＾
404:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:44:46 lbRpX4Uh.net
整数環であきらかなように、乗法逆元もないが零因子もない元（例えば２）はある
405:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:49:10 lbRpX4Uh.net
>>360
＞同意ですけど
やっと理解したかね？
＞常識ですけど
いやいや、君、知らなかったよね？
＞「言える」なんて一言も言っていません
言えないなら、ドヤ顔で>>200を書いたりせんけどな
君、明らかにA≠OならA~≠Oに決まってると
何の根拠もなく思い込んでたよね
「Aが正方行列ならA~/|A|は逆行列だ」
と迂闊にも思い込んでたように
線形代数の理屈を全く理解せず
ただただ公式を暗記すれば誤魔化せると
なめた態度をとった結果がこのザマｗ
406:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 10:35:16.03 YzHCxD9t.net
この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
だが、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）
407:１３２人目の素数さん
20/08/17 11:40:19.14 lbRpX4Uh.net
>>363
そもそも、その自称数学者の工学馬鹿が
層の説明でただの張り合わせの話を
「解析接続だ！」と誤解してるのを
真に受けた同類の工学馬鹿が得意顔で
コピペしたのがはじまり
それにして複素関数論も勉強したことない馬鹿が
なんでもかんでも「解析接続」というのは実に悪い癖だね
＞数学では、自分の失言を帳消しにすることはできない
君はちょっとつつくと簡単に発狂して
失言の連鎖反応で臨界に達するから面白い
正真正銘の自己愛性人格障害なんだな
どんだけ自分が天才だと自惚れてるんだよ
408:１３２人目の素数さん
20/08/17 12:03:30.86 zkD81yCI.net
>>364
顔パンパンに腫れ上がったメガネヲタが何言うどんねん。工学様々やないか。
409:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:21:09.41 6YtilH3B.net
関西�
410:ﾙﾃﾞｨｽに反応してｱﾝﾁが…
411:１３２人目の素数さん
20/08/17 14:55:38.56 lbRpX4Uh.net
維ソ新！！！ｗ
412:１３２人目の素数さん
20/08/17 15:47:56 lbRpX4Uh.net
◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
任意の正方行列Aについて、A~/|A|は逆行列
→|A|=0だと逆行列でなかった
しかしAが零行列でなければ、A~/|A|も零行列でなく、零因子
→Aが零行列でなくてもA~/|A|が零行列になる場合があった
しかし、環では、可逆元でなければ零因子になるから正しい
→整数環では反例アリ （今ココ）
もう三つも嘘ついた ほんまアホやな
413:１３２人目の素数さん
20/08/17 15:50:09 lbRpX4Uh.net
>>368 修正
◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
任意の正方行列Aについて、A~/|A|は逆行列
→|A|=0だと逆行列でなかった
しかし、Aが零行列でなければ、A~も零行列でなく、零因子
→Aが零行列でなくてもA~が零行列になる場合があった
しかし、環では、可逆元でなければ零因子になるから正しい
→整数環では反例アリ （今ココ）
もう三つも嘘ついた ほんまアホやな
414:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 17:02:41 YzHCxD9t.net
>>363 補足
必死に、失言を誤魔化そうと、他人を攻撃するおサルさん、哀れｗ
>>133で、群の例で、非可換のものを挙げてくれと言い出したのは、おサルです
私が、>>134で「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
群は基本的に非可換だよ」と書いた
（補足説明も、>>134-136に書いてある）
おサルは、何を勘違いしたのか、これを「全ての正方行列が群を成す」と曲解して、騒ぐのです（＾＾
（”全て”とか、言ってないんだよね、私は。おサルの妄想・幻聴です。
>>145-146に、（行列による）「群の表現」の話もしている（明らかに「全て」でなく”部分”群も可です））
ほんと、バカですね。正方行列と言っても、これだけでは何も決まっていない。数学では、デフォルトの部分も多い
普通は、nxn次元（nは2以上）の行列だとか、ｎを固定する
というか、今の場合は、普通にｎを固定して、ｎ有限次元で考えますよね（これ（ｎ固定）、デフォルトです）
で、群と言えば、逆元。いろんな代数系で、群は（積の）「逆元の存在が保障されている代数系」の一つです
逆元は普通に、デフォルトです（言わないが合意事項）。群の公理を仮定しているのに、いちいち、「群に逆元が存在する」などと、いうことはありません
群の表現論で使うnxn行列で、わざわざ「群に逆元が存在する」などとは、ド素人ｗ
で、うるさいから、正方行列で、>>149で”零因子 高校数学 >> 旧高校数学C 、行列環や零因子（wikipedia）などを自学自習して下さい”と言った
ところがところが、おサルは怒り狂って「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」という（>>160）
やれやれですなｗ（＾＾；
以上
415:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 17:11:49.44 YzHCxD9t.net
>>370 追加
(引用開始)
ところがところが、おサルは怒り狂って
「なんかまたトンチンカンなこといってるな、零因子の話なんかまったくしてないぞ」
「おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ」という（>>160）
(引用終り)
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
正則行列Aにおいて、Aに逆行列が存在することと、Aが零因子でないことは、同値
つまり、Aが零因子であることと、Aに逆行列が存在しないことは、同値
無知にも、これを知らないから、「おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ」という（>>160）
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
416:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:38:52.58 lbRpX4Uh.net
>>370
必死に失言を否定しようと詭弁を弄する哀れな◆yH25M02vWFhP
正方行列でなく正則行列といえば問題なかった
しかし◆yH25M02vWFhPは正則行列の意味すら知らず
正方行列Aには逆行列A~/|A|が存在すると思い込んでた
これが第一の誤り
いまだに表現論とかトンチンカンなこといってるが
線形写像の行列表現と聞いて脊髄反射してるだけだろう
ｎ×ｎ行列は、ｎ次元線形空間の自己線形写像の全体だが
残念ながら、全単射となる
417:自己同型写像とは限らない 自己同型写像となる条件が|A|が0でないというもの 線形代数を学んだ人間なら必ず知ってること
418:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:45:03.16 lbRpX4Uh.net
>>370
◆yH25M02vWFhPは
「逆行列が存在しない正方行列が存在する」
と指摘された時点で
「ああ、正則行列、つまり|A|が0でない正方行列、と書くべきでしたね」
と書けば問題なかった
しかし、なにをトチ狂ったのかここで「零因子でない」とかいいだした
それだけならまあただ粋がってるだけといってよかったが、愚かにも
「|A|=0なら、AA~＝Oで、零因子と証明できる」
といってしまった
これが第二の誤り
「AがOでなければ、A~もOでない筈」と
何の根拠もなく思い込んでたんだろうが、実はここが落とし穴
AがOでないのに、A~がOになる行列はいくらもある
だからそれだけでは零因子になることの証明にならない
419:１３２人目の素数さん
20/08/17 17:56:06.70 lbRpX4Uh.net
>>370
◆yH25M02vWFhPは
「|A|=0でAがOでないのに、A~がOになる行列はいくらもあるから
それだけでは零因子になることの証明にならない」
といわれて誤りを認めればよかったのに、愚かにも
「一般的な環論で、可逆元以外の元は０でなければ零因子」
と言い切ってしまった
これが第三の誤り
もちろん、反例がある 整数環であるｗ
例えば２は可逆元ではないが、零因子でもない
行列環の場合、可逆元でなければ、０でない元は零因子だが
それは論理的に細かい分析が必要
しかし◆yH25M02vWFhPは粗雑な奴なので細かいことが考えられない
だからA~とかいう公式に食いつきたがる
要するに式より細かいものは理解できない
AB=OとなるBはもちろん具体的に構成できるが面倒くさい
ケイリー・ハミルトンの定理を使えば式でも表せるが、
正直言って◆yH25M02vWFhPには
ケイリー・ハミルトンの定理だけ教えるのは有害
どうせ式だけ見てトンチンカンな妄想誤解をするから
公式馬鹿は数学を理解しているように見えても
所詮はナントカを覚えたサルと同じ
人間としての理性はない
420:１３２人目の素数さん
20/08/17 18:06:00.98 lbRpX4Uh.net
ちなみにケイリー・ハミルトンの定理というが
・ハミルトンは四元数として表せる行列の場合に証明した
・ケイリーは2次および3次の行列の場合のみ証明した
・一般のn次行列について証明したのはフロベニウスである
421:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 21:36:00.08 TRrMkJI/.net
おっさん、大学で抽象代数が苦手だったみたいだな～～ｗｗ
書いていることを見ると、よく分かるわｗ（＾＾；
理解が浅いな～～！
下記でもよめ！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
象が転んだ
いまさら聞けない？群と体と環の関係とは(2020/4/18更新)?代数に憑かれた男たちと代数に疲れた私と?
2019年06月08日 06時44分07秒 | 数学のお話
(抜粋)
数学ブログでは､”ガロア群”や「ABC予想」をテーマにしたブログを立てましたが。群と体と環の関係をしっかりと理解しとかないと､このテーマに付いてくのはキツイかと。
そこで今日は､群と体と環の基本の基を紹介します。これが理解出来るだけでも､代数学の苦手意識が消えるかもです。
実は私も､この代数学(群論)の基礎が理解できなくて､大学の数学を頓挫しました。今から思うと､非常に惜しい事をしたと思います。
これを後悔先に立たずというか､代数に疲れた男というか。
”体”と”群”の微妙な関係
”体”ですが。内部構造に関する限り､”群”よりも複雑です。故に､代数の教科書では群を紹介し､その後に体へ進みますが､大半が群の抽象性にウンザリし､体に進む前にヤラれてしまいます。見方によっては､体の方が群よりもありふれてて､理解しやすい所もある。
環は､加法
422:にて群になるが､乗法にては群にならない(逆元が存在しない)。故に､”環は加法にて可換群､乗法にて半群”と覚えときましょう。 上述した様に､有理数と実数と複素数は全て”体”をなすが､整数は割り算では閉じず､”体”にはならない。しかし､整数は加法に関して”群”になる。また乗法にて閉じており､結合則と単位元を満たすので､整数全体Zは”環”になる。これを”整数環”と呼びます。 群と体と環の関係を判り易く言えば､ある性質を満たす代数系を群と呼び､その中で更に特定の性質を満たす代数系を環と呼び､環の中で更に特定の性質を満たすものを体と。故に､群⊃アーベル群⊃環⊃可換環⊃整域⊃体と纏めておけば間違いないです(イラスト参照)。 つづく
423:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 21:36:30.38 TRrMkJI/.net
>>376
つづき
補足～群論の3つの柱とネーター環
因みに､ネーター環ですが。実は私の卒論がネーター環の定義でした。全く忘れてましたな。
以下の3つを満たす環です。
＜鈴木 咲衣ちゃん、結構分り易く纏まっているよ＞
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
鈴木 咲衣 東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
講義歴
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(引用終り)
以上
424:１３２人目の素数さん
20/08/17 22:42:15.77 CDCvYYLc.net
>>177
だれが、行列を分かってないのかな？ｗｗ（＾＾；
>>214
>抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
。。。と豪語する瀬田くんに行列と抽象代数のコラボ問題
実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
豪語しといてコピペは恥ずかしいので自力で解きましょうねー 基本が分かってれば解ける問題ですからー
425:１３２人目の素数さん
20/08/17 22:45:29.73 CDCvYYLc.net
瀬田くんは>>303も白紙でゼロ点でしたよねー
426:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 22:55:42.58 TRrMkJI/.net
>>372
>正方行列でなく正則行列といえば問題なかった
１）純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
２）例えば、もし、これが院試の答案なら、専門用語は正確を期すべき＊）
３）だが、５ｃｈは、院試の答案を書く場ではない＊）
注：
＊）数学じゃ無いが、司法試験の論文試験などで、専門用語が不正確な論文を見ると
「分かってない？」「勉強が足りない」という不合格の推定が働くという
逆もまた真。専門用語が正確だと、「良く勉強しているな」と
では、一般大衆に対する文章ではどうか？ 「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、相手に理解させるという目的から遠ざかる
いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな、群は基本的に非可換だよ」（>>134の通り）
B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな、群は基本的に非可換だよ」
のどちらが分り易いかだ
繰返すが、群は基本非可換です。ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
本来、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」なんて、アホかいなというレベル
で分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した（>>142）
院試の答案という、それを読む人が自分より数学レベルが上の人相手なら、「正則行列」が正しいだろう
だが、自分よりレベルが低いと思われる場合は、「正方行列」の方が適切だな（おサルお前のことだよｗ）
427:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 22:58:08.95 TRrMkJI/.net
>>378
ほいよｗ（＾＾
分からない問題はここに書いてね462
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
428:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:09:16.58 CDCvYYLc.net
>>380
>１）純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
いやいやｗ 正方行列群なんて書く人は瀬田くん以外いませんから
実際瀬田くんのコピペには「正則行列群」とか「可逆行列群」とかとなってて「正方行列群」なんて一つもありませんでしたから、残念！
429:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:12:01.53 TRrMkJI/.net
>>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
それ、さっき読んだ 鈴木 咲衣ちゃん
P30 下記
「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
そのものじゃんか？
なにが、”行列と抽象代数のコラボ問題”なのかね？ オチコボレ丸出しじゃん（鈴木 咲衣の練習 23.の単なる一つの系でしかないじゃんｗｗｗ）
（「分からない問題はここに書いてね」スレで教えて貰えよ>>381.。あるいは、自分でネット検索しな。解答はどっかにあるだろうな。おそらくYahoo知恵袋みたいなところに）
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
6.2 イデアルと剰余環（?）
定義 6.2.1 (部分環). 環 R の e を含む部分集合 S で，R の加法と乗法に関してそれ自身
が環になっているものを部分環という．
定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデア
ルと呼ぶ．
(1) R の加法について，I は群になる．
(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
イデアルは部分環の特別なも
のです．
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
430:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:22:00.05 TRrMkJI/.net
>>383 追加
オチコボレさんのためにｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。
よろしくお願いします
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
メモ書き ピグの部屋 ペタ
体は自明なイデアルしか持たない
2019-08-20 02:25:39
431:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:28:33.16 TRrMkJI/.net
>>384
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
おっと、こっちかい？
両側イデアルとなっているけどな～ｗｗｗｗｗｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
432:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:33:54.19 CDCvYYLc.net
>>383
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
>なにが、”行列と抽象代数のコラボ問題”なのかね？ オチコボレ丸出しじゃん（鈴木 咲衣の練習 23.の単なる一つの系でしかないじゃんｗｗｗ）
Mn(R)は体であるという主張ですかー？
正方行列全体は乗法について群を成さないとさんざん教えてもらったばかりですよねー
暑さで脳みそ溶けてるんですかー？
433:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:40:44.29 CDCvYYLc.net
>>385
>おっと、こっちかい？
わざわざ「豪語しといてコピペは恥ずかしいので自力で解きましょうねー 基本が分かってれば解ける問題ですからー」
と忠告してあげたのにこのザマですかー
なんでもコピペで済まそうとしてあなた本当に数学嫌いなんですねー
434:１３２人目の素数さん
20/08/17 23:53:06.11 CDCvYYLc.net
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
↑
こんなどの教科書にも必ず載ってる基本中の基本はさすがに出題しないですよーｗ
435:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 23:57:35.32 TRrMkJI/.net
>>383 補足
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
>定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ．
>(1) R の加法について，I は群になる．
>(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.
そうか
なるほど
鈴木 咲衣ちゃん
「(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.」だから、この定義は両側イデアルなんだね（＾＾
436:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 00:09:45.97 aMkYF6+a.net
>>385
(引用開始)
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
おっと、こっちかい？
両側イデアルとなっているけどな～ｗｗｗｗｗｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
yahoo
eqe********さん2008/10/1823:04:53
行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。
(引用終り)
うん？
”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
437:１３２人目の素数さん
20/08/18 00:30:15.44 pfu+OVXc.net
>>390
瀬田くん、妙に「両側」に拘ってるけど無意味ですよー
wikipediaより引用「左イデアルか
438:つ右イデアルであるものを、両側イデアル (two–sided ideal) または単にイデアルという。」 の通り、単に用語の流儀の違いだけですからー 揚げ足取りに失敗して残念！
439:１３２人目の素数さん
20/08/18 00:46:56.10 pfu+OVXc.net
瀬田くんバカだから教えといてあげますねー
非可換環では左イデアル、右イデアル、両側イデアル（＝左イデアル且つ右イデアル）は区別される。
両側イデアルを単にイデアルと云うことがある（用語の流儀）。
>>378は非可換環の問題なのでイデアルは両側イデアルと同義。妙な「両側」への拘りは無意味ですよー。
一方可換環では左イデアルは自動的に右イデアルでもある。可換だから。よって左イデアル、右イデアル、両側イデアルは全て同じモノで区別の必要が無い。
だから単にイデアルと云う。
440:１３２人目の素数さん
20/08/18 00:56:47.55 pfu+OVXc.net
片や「イデアル」、片や「両側イデアル」と書かれてるのを見て
>うん？
>”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
>それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
↑
これがコピペ脳の限界ですｗ 馬鹿丸出しですねー
441:１３２人目の素数さん
20/08/18 01:02:15.46 pfu+OVXc.net
片や「左イデアル」、片や「両側イデアル」と書かれてるのを見たら
>うん？
>”両側イデアル”という条件を落とすことができる？
>それは、なかなか面白いｗｗｗｗｗ（＾＾
とリアクションすることをお奨めしときますねー
442:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:11:47.12 aMkYF6+a.net
>>391
>wikipediaより引用「左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアル (two–sided ideal) または単にイデアルという。」
>の通り、単に用語の流儀の違いだけですからー
>揚げ足取りに失敗して残念！
残念ながら、この「揚げ足取」は、本質だよ
つまり、どの教科書でも論文でも、「両側イデアル または単にイデアルという」注釈は、落とさない
（「両側イデアル または単にイデアルという」という前提で、書くならこの注は必ずある。探せばある）
例外はない （アホが書いたら別。名のある数学者が書く文章で、これを抜かす人は皆無です。おれは見たことは無い！（＾＾）
443:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:19:07.92 aMkYF6+a.net
>>389 補足
下記の
「・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。」
だな、あと”森田同値”
基本だね
不勉強なので、おれにとっては、基本ではないがね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列環
(抜粋)
構造
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。
444:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:22:32.30 aMkYF6+a.net
>>395 補足
アホは、理解せずに
どこかの教科書などから
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
をコピーしたわけだ
だが、アホは、その教科書のどこかに
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
アホじゃん（＾＾
445:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 07:25:03.01 aMkYF6+a.net
>>397 タイポ訂正
だが、アホは、その教科書のどこかに
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
↓
だが、アホは、その教科書のどこかにある
「両側イデアルを、単にイデアルと書く」みたいな注釈を、コピーするのを忘れたらしいなｗｗｗ（＾＾；
分かると思うが（＾＾；
446:１３２人目の素数さん
20/08/18 09:25:46 pfu+OVXc.net
瀬田くんが何をそんなにムキになってるのか分かりませんが、
非可換環における両側イデアルとイデアルを別モノと解釈する流儀もあると言いたいのですか？
ではその流儀における両者の違いを答えて下さい。
447:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 10:3
448:4:46.46 ID:6E5Q9lbT.net
449:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:34:08.40 6E5Q9lbT.net
>>371 補足
環における 零因子と逆元の関係
下記の全商環に全部書いてあるね
いろいろ書いてあるが、大体思っていた通りだな
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全商環
全商環（ぜんしょうかん、英: total quotient ring[1]）あるいは全分数の環 (total ring of fractions[2]) は、整域に対する商体の構成を、零因子をもつ可換環に対して一般化するものである。この構成は、可換環に対して、その非零因子の「逆元」を付け加えて、より大きな環を作り出す操作になっている。零因子を可逆化することはできない[* 1]ので、全商環はもうこれ以上逆元を加えて拡大することはできないものになっている。このことから、全商環は「可能な限り逆元を付け加えた」という意味で最大の環である。
注意
1^ a が R の零元と異なる零因子で、a が R の全商環 Q の中で単元となると仮定すると、R の零元でない元 b で ab = 0 を満たすものと、Q の元 c で ca = 1 を満たすものとが存在することになるが、 0 = c(ab) = (ca)b = b となり、b が零元でないことに反する。従って R の零因子を Q の単元にすることはできない。
定義
R が可換環のとき、S を R における非零因子全体の成す集合とすれば、S は R の零元を含まない R の積閉集合（乗法に関して閉じているような R の部分集合）である。従って、環 R の S による局所化として、全商環 S-1R が得られる。可換環 R の全商環をしばしば Q(R) とも表す。
R が可換整域ならば、非零因子の全体は S = R* (= R - {0}) であり、全商環は R の商体に一致する。整域 R の商体を Q(R) と表すことがあるが、整域の全商環と商体が一致するという事実から、単に Q(R) と書いた場合にいず�
450:黷ﾌ意味であるかについて誤解の生じることはない。 作り方から S は零因子を含まないから、自然な写像 R → Q(R) は単射であり、従って全商環 Q(R) は可換環 R の拡大環となる。 つづく
451:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:35:11.80 6E5Q9lbT.net
>>401
つづき
例
R がアルティン環ならば、R の任意の元は単元であるか零因子であるかのいずれかであるから、非零因子全体の成す集合 S は R の単数群 R× に等しいから、全商環 Q(R) は (R×)-1R と書けるが、しかしそもそも S = R× の元はすべて可逆だったのだから、(R×)^-1 ⊂ R であり、Q(R) = R が成立する。
同様のことが可換フォンノイマン正則環 R でもおきる。R の元 a が零因子ではないとすると、フォンノイマン正則環においては適当な元 x ∈ R をとって a=axa とかくことができるから、変形して a(xa - 1)=0 なる方程式を得るが、a は零因子ではないとしたのだから xa=1 となり、すなわち a が単元であることが従う。ゆえにここでも Q(R) = R である。
応用
代数幾何学において、スキーム上の全商環の層を考えることができて、それを用いてカルティエ因子 (Cartier divisor) の定義が与えられる。
一般化
R が可換環で S が R の単位元を含む任意の乗法的マグマならば、同様の方法で S^-1R を構成できる。ただし、分母になれるのは S の元だけである。S に R の零元が含まれるならば S^-1R は自明な環となる。詳細は環の局所化を参照。
典拠
1^ Matsumura (1980), p. 12
2^ Matsumura (1989), p. 21
参考文献
Hideyuki Matsumura, Commutative algebra, 1980
Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory, 1989
IUTを読むための用語集資料集スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:455番)
PDFが落ちていた
URLﾘﾝｸ(inis.jinr.ru)
Matsumura,_Commutative_Algebra,1980
URLﾘﾝｸ(chairejeanmorlet-1stsemester2015.weebly.com)
Commutative ring theory
HIDEYUKI MATSUMURA
Department of Mathematics, Faculty of Sciences
Nagoya University, Nagoya, Japan
Translated by M. Reid
H. Matsumura, 1980.
English translation 0 Cambridge University Press 1986
(引用終り)
以上
452:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 11:38:02.64 6E5Q9lbT.net
>>400 誤変換訂正
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
↓
そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が無い範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
分かると思うが（＾＾；
453:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 14:25:52.03 6E5Q9lbT.net
>>400 追加
まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
（参考）
URLﾘﾝｸ(numbertheory.untokosho.com)
高校生/社会人のための整数論入門
―類体論入門のためにー
Takashi
平成24年5月27日
(抜粋)
このHPは、高校生/社会人のために整数論の入門を記載したものです。高校生/社会人に限定したのは、大学などで数学を専門に学んでいない人も対象に加えたためであり、現在の大学で勉強しはじめたひとにとっても役にたつ内容だと思います。
最終的な目標は、類体論の初歩を郡論や体論、ｶﾞﾛｱ理論等を前提とすることなく記載することです。
URLﾘﾝｸ(numbertheory.untokosho.com)
高校生/社会人のための整数論入門 Takashi
3.2.1 環
定義 3.2.1
（
454:6） （乗法に関する交換法則） Rの任意の元 a,bに対し、交換法則 a・b=b・aが成り立つ。 このHPでは乗法に関しては交換法則を条件（6）としています。このように、交換法則 a・b=b・a が成り立つようなRを特に可換環（commutative ring）ということがあります。 一般的には、可換でない環（非可換環）も環という場合があります。 下記の例のとおり、可換環の典型例としては整数環や多項式環が、非可換環の典型例としては行列環があります。 本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう。 http://numbertheory.untokosho.com/numbertheory/numbertheory-node61.html 高校生/社会人のための整数論入門 Takashi 3.2.2 イデアル
455:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:58:42.28 6E5Q9lbT.net
>>404
なお、下記イデアルご参考
特に、下記のtsujimotterの記事はためになるよね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E7%92%B0%E8%AB%96)
イデアル (環論)
(抜粋)
歴史
クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。
R=Z {√5i]={a+b{√5i｜a,b∈ Z }
この環には 6 の分解は 2 通り存在する。
6 = 2 × 3
6 = (1 + √5 i ) × (1 - √5 i )
1 ± √5 i がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。
クンマーは、これはまだ分解が十分でないために起きると考えた。例えば有理整数環 Z においても、12 = 3 × 4 = 2 × 6 のように、分解が十分でなければ 2 通りの分解が発生する。これは 12 = 2 × 2 × 3 と完全に分解しなければならない。これと同様に、上記の環 R においてもより根元的な分解 6 = A × B × C × D が存在し、
2 = A × B
3 = C × D
1 + √5 i = A × C
1 - √5 i = B × D
なのであろうというのがクンマーの基本的な発想である。
もちろん A, B, C, D は R の元ではありえない。クンマーは、x 2 + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。
クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。
つづく
456:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:59:08.10 6E5Q9lbT.net
>>405
つづき
現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。
A = 2R + (1 + √5 i )R,
B = 2R + (1 - √5 i )R,
C = 3R + (1 + √5 i )R,
D = 3R + (1 - √5 i )R
とすれば、
6R = A × B × C × D
であり、
2R = A × B,
3R = C × D,
(1 + √5 i )R = A × C,
(1 - √5 i )R = B × D,
すなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。
また、現代の環論では 2, 3, 1 + √5 i, 1 ? √5 i はそもそも R における 6 の素因数ではない。
これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。
なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p-進体の理論にも継承されている。
(引用終り)
つづく
457:現代数学の系譜 雑談
20/08/18 15:59:29.25 6E5Q9lbT.net
>>406
つづき
URLﾘﾝｸ(tsujimotter-sub.)ハテナブログ.com/entry/ideal-over-z5-3
tsujimotterの下書きノート
2015-08-12
Z[√-5] のイデアルについて (3)
(抜粋)
さて，�
458:｢よいよ複数元で生成されたイデアル同士の掛け算について考えよう。以下では，２つの生成元同士で考えているが，３つ以上になっても全く同じである。 (α1,β1)(α2,β2)=(α1β1,α1β2,α2β1,α2β2)(α1,β1,α2,β2∈OK) 要するに，すべての生成元同士の組に対してそれぞれ掛け算を行って，結果をすべて生成元としたイデアルを作るのである。 このままだと，元の数が増えて行って大変だと思うかもしれないが，そこは先ほど述べたユークリッドの互除法を使って，等価なイデアルに置き換えていけばよい。 例を計算してみよう。 素イデアル 上の例は，(1+√?5) というイデアルに対して，因数分解することが出来たと見ることもできる。 ここで気になってくるのは，分解された２つのイデアル (2,1+√?5),(3,1+√?5) はこれ以上分解できないのか，という問題だ。 つまり，以上２つのイデアルは素イデアルかどうか，ということである。 素イデアルを考える上では，本シリーズ１回目に代数的数のノルムを考えたように，イデアルのノルムという概念を考えると便利である。 イデアルのノルムに対しては，以下のような便利な定理があるのだ。 ノルムが有理素数であるイデアルは，素イデアルである (引用終り) 以上
459:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:32:04.62 TOk0YG1H.net
>>378
>行列と抽象代数のコラボ問題
>実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。
>>383
>それ、P30 下記
>「R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
>練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．」
>そのものじゃんか？
◆yH25M02vWFhPは
「体には自明なイデアルしかない」
という文章を
「体であるとは、自明なイデアルしかないこと（と同値）である」
と誤読する悪い癖がある
しかし正しい読解は
「体であるならば、自明なイデアルしかない」
であって、逆は真ではない
ちなみに
「R の両側イデアルが 0 と R しか存在しない環」
は単純環という
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
※ついでに、イデアルという場合両側イデアルである
つまり両側イデアルでないイデアルは存在しない
（左イデアル、右イデアルもイデアル、というのは定義の誤読）
460:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:46:55.08 TOk0YG1H.net
>>380
＞純数学的には、正則行列の方が正確な表現だとは言える
正しい文章は
「数学では、正則行列が正確な表現だ」
「純」とか「とは言える」とか無駄な言葉は要らない
＞一般大衆に対する文章ではどうか？
＞「専門用語は正確に」と、専門用語を連発すると、
＞相手に理解させるという目的から遠ざかる
もし、正則行列の意味を説明しないなら
相手に理解させる努力を放擲しているから
「目的から遠ざかる」どころではなく
「目的を見失っている」というのが正しい
しかし、君は工学部卒なんだろう？
正則行列という言葉くらい当然知ってるだろう
意味も完璧に説明できなくては線形代数の単位などとれない筈
したがって、上記の文章は無意味
正則行列の意味を説明し切れ
大学一年を修了した理工系の学生ならそのくらいできて当然
＞いまの場合、「群の例で、非可換のものを挙げてくれ」という注文に対して
＞A．「折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな」
＞B．「折角だから書いておくと、正則行列とか多元数あたりな」
＞のどちらが分り易いかだ
Aは誤り、Bは正しいが、正則行列の説明がないからダメ
正しい回答は以下の通り
「折角だから書いておくと、正則行列（＝行列式が０でない正方行列）か０でない四元数な」
なぜこの程度の完璧な回答も書けないのか？
工学部卒なんだろう？線形代数の単位はとったんだろう？
だったら、正則行列を知らないなんてありえない
多元数とはなんだ？
実数上の多元体は実数体・複素数体・四元数体で
そのうち、非可換なのは四元数体だけなんだから、特定すればいいだろう
しかも君は０を除くという基本的なことすらしていない
粗雑にもほどがある 数学が分かりたいなら細かいことを蔑ろにするな
461:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:51:43.76 TOk0YG1H.net
>>380
＞分り易く、行列の積が基本非可換だから、”正方行列（の成す群）”を例示した
全然ダメ 積だけで群だとはいえない
単位行列の存在を示す必要があるし
逆行列の存在も示す必要がある
そしてその時、任意の正方行列に逆行列が存在するわけではない
と気づく筈である もし気づかないならそいつは線形代数がわかってない
行列式は習った筈 逆行列が存在するのは行列式が０でないときそのときに限る
と習った筈 証明など覚えてなくても定理�
462:ﾍ覚えてる筈 もし定理すら覚えられないなら、数学を学ぶ意味はない
463:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:53:51.62 TOk0YG1H.net
レベルが低いから、必要な条件を落としていい、ということにはならない
さて◆yH25M02vWFhPに質問
行列式が０ならば零行列、とはいえないのはご承知の通り
では固有値が全て０ならば零行列、といえるか？
464:１３２人目の素数さん
20/08/18 17:57:32 TOk0YG1H.net
>>380
＞ガロアが群を考えたのは、代数方程式の根の置換で、これは基本非可換
「代数方程式の根」とか抜きで、そもそも
要素が３つ以上の有限集合の元の置換は非可換
ウソだと思うなら試してみればいい
465:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 18:24:50 6E5Q9lbT.net
>>383 補足
URLﾘﾝｸ(www.is.c.titech.ac.jp)
代数系
鈴木 咲衣
2019 年 11 月 30 日
(抜粋)
P30
R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという．
練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ．
(引用終り)
これ、いろいろ見たけど、証明の筋は
I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして、
単位元1≠0 の存在 つまり 1∈Iをいえば良いみたい
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
1を使って、1R ⊂Iが言えて、もちろんI ⊂Rで、I＝Rって筋な
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
466:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 20:18:37 aMkYF6+a.net
>>413 訂正
（任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
↓
（I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し 任意のｘ∈Iに対して、Rは体だから、逆元ｘ^-1が存在して、ｘｘ^-1＝1∈Iが言える）
だな
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”は、常用の筋だが
これ、数学では結構大事なんだよね
高校数学ではうるさく言われた。0と0以外では、割り算とか積の逆元の存在で、0は例外で、場合分けをしろと（大学入試の証明問題でね）
”I≠ {0} より、I にx≠0なる元が存在し”の一言、院試でも、これを書くか書かないかで、何点か違うだろうね
467:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/18 21:04:51 aMkYF6+a.net
>>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)
おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I ”で”ある aij は 0 ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
URLﾘﾝｸ(zen.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。
(3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。
(4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R である。
(4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R である。
問
26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
468:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:16:14 TOk0YG1H.net
>>413
＞「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの
＞〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
＞これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、
＞I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして
＞ （ここに{0}は、零行列）
＞E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな
全然違うよ
469:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:18:16 TOk0YG1H.net
>>415
行列も分からん高卒の貴様には全く理解できないだろｗｗｗｗｗｗｗ
470:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:23:02 TOk0YG1H.net
ある箇所だけ（例えば1行目1列目の箇所だけ）1の行列があるとして、
そこから、任意の箇所（n行目m列目の箇所）について
そこだけ1になる行列を作るにはどうするかやってみな
ま、行列計算もできない高卒馬鹿の貴様には逆立ちしても無理ｗｗｗｗｗｗｗ
471:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:51:45 pfu+OVXc.net
>>400
>２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
何をトチ狂ってるんですか？単に環なんて言ってませんけど？行列環と言ってますけど？行列環は非可換ですけど？
>３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ
非可換環に対し「イデアル」は「両側イデアル」を指し、それは左イデアル且つ右イデアルである。
はい、「イデアル」で何の曖昧さもありませんけど？
> 単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です
違います。
非可換環に対しイデアルと言った場合、左イデアルや右イデアルではなく両側イデアルを指します。
入門レベルくらい勉強してから発言しましょうねー。
> そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
上記の通り違いますねー。
> しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い）
上記の通り断る必要ありませんねー。
瀬田くんが見たことが有ろうが無かろうが無関係ですねー。
> そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
> において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ
上記の通り何もまずくないですねー。
472:１３２人目の素数さん
20/08/18 21:52:07 pfu+OVXc.net
>>400
（続き）
>４．鈴木 咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが
> 鈴木 咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない
> ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木 咲衣ちゃん
体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
そんな入門レベルすら分からずに
>教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな
と上から目線しちゃう瀬田くんこそ赤っ恥ですねー。
473:１３２人目の素数さん
20/08/18 22:03:32.79 pfu+OVXc.net
>>404
>まあ、下記 の高校生/社会人のための整数論入門があって
>「本HPでは、単に環という場合、可換環を意味することに注意しましょう」と注意書き
>それなら、イデアルも、常に両側イデアルだけどな
訳わからんこと言う前に入門レベルをしっかり勉強しましょーねー
474:１３２人目の素数さん
20/08/18 23:45:29.62 pfu+OVXc.net
>>415
あれほど自力で解きましょうと言ったのに結局検索エンジン頼みですかｗ
よっぽど考えることが嫌いなようですねー
で？検索エンジンの出力結果は理解できたんですかー？
ちなみに>>415は誤植ありますけどｗ