20/08/13 08:10:04.86 RBrrjuJv.net
>>252-254
得意げに無駄なコピペするヒマがあったら
真っ先に以下の文章を読むべきだったね、君
斜体 (数学)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
定義
a が零元 0K でない K の元ならば
それに対して aa＾(－1
285:) = a＾(－1)a = 1K を満たす、 逆元と呼ばれる元 a^(－1) が常に存在する。 非自明な単位的非可換環 K に対して 可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(－1) ∈ K が存在する。 を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。 読むべきところを読まずに、毎度恒例の自爆 君の軽率さは、人間として致命的な欠陥だよ（笑いゼロ、マジ）
286:１３２人目の素数さん
20/08/13 08:15:16.98 RBrrjuJv.net
さて、馬鹿を弄るだけだと、数学板のスレッドとしてふさわしくないので
たまには数学的なネタもぶっこんであげよう
ほ・い・よｗｗｗｗｗｗｗ
フロベニウスの定理 (代数学)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
数学の抽象代数学において、フロベニウスの定理とは、
実数体上の有限次元の結合的多元体を特徴付ける定理であって、
ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによって
1877年に証明された。
内容
D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体）
287:１３２人目の素数さん
20/08/13 08:19:35.44 RBrrjuJv.net
例によって例のごとく、英語版のほうが豊富なので
興味ある人は読んでみよう
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(real_division_algebras)
但し、可除性の定義の日本語の文章すら正しく読めない◆yH25M02vWFhPは除く！！！
288:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:56:33 BJ2NNS4M.net
>>251 訂正
> ８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
> Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
<ここ補足>
１．まず、普通（実数などの場合）の逆行列では、< 逆行列の一意性 >が成立します。（下記、高知工科大学など）
２．もっとも、一般の逆行列もどきでは、”一意的には定まらない”と言われます（下記、田辺国士）
３．単位行列も、一意です。単位元eもマグマの単位元なども、同様に一意です
４．行列に戻ると、逆行列及び単位行列の一意性から、A A^-1＝E（Eは単位行列）となって
零因子の存在 AX＝0 (A≠0、X≠0)と矛盾します
（∵ AX＝0の両辺に A^-1を左から掛けると、A^-1 AX＝(A^-1 A)X＝(E)X＝X≠0、一方右辺は0で矛盾。（但し、結合則を使った））
５．普通の正方行列の場合、Aが零因子行列であることと、逆行列を持つこととが、矛盾することが、逆行列の一意性から簡単に理解できます
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kochi-tech.ac.jp)
高知工科大学 井上 昌昭
URLﾘﾝｸ(www.core.kochi-tech.ac.jp)
2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.12 高知工科大学 井上 昌昭
< 逆行列の一意性 >
(抜粋)
定理1 正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。
< 証明 > A の逆行列が 2 つあったとして, それを X, Y とすると,
XA = AX = I , Y A = AY = I (I は単位行列)
である。よって
X = XI = X(AY)=(XA)Y = IY = Y
より X = Y である。 (証明終)
定理2 正則行列 A に対して,
XA = I (I は単位行列)
を満たす正方行列 X が存在すれば, X は A の逆行列 A^?1 である。
すなわち
X = A^?1
である。
つづく
289:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:57:06 BJ2NNS4M.net
>>261
つづき
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オベレーションズ・リサーチ 日本オペレーションズ・リサーチ学会
解説 一般逆行列 (1) 田辺国士 (たなベ・くにお 統計数理研究所) 1976
(抜粋)
正方行列 Aの行列式が 0でないならば，行列方程式
AX=I, XA=I (1)
を満たす行列 Xがただ 1つ定まり，逆行列と呼ばれ A^-l
であらわされます.
�
290:ｱのとき，連立一次方程式 Ax=y (2) は，任意のベクトru にたいして，ただ 1つの解をもち， それは の逆行列と右辺の積 A^-l とあらわされること もよく知られています. 最適化理論，推定理論，制御理論，電気回路網理論などの分野では，非正則 行列や長方行列がしばしば登場し，これをある意味で逆転することが要求されます. したがって，一般の m,n 行列 にたいして， (1)に類 似の代数的関係が成り立つような“逆行列もどき" 定義され，長方行列 を係数行列とする連立一次方程式 (2) にたいして Xy にしかるべき意味を与えることが できるならば，これらの分野における行列によるモデル の表現，計算の運用あるいは推論の上で有用な道具とな るでしょう. この考えを最初に定式化したのは E. H. Moore( 1920) です.L かし， 1950 年代になって A. Bjerhammar (1951 )や R. Penrose(1955) が独立にこの概念に再定式 化を与えるまで人々の注意をひきませんでした.その後 c. R. Rao( 1962) Moore Penrose, Bjerhammar よりも弱 、条件による定式化を与え，それを一般逆行列 と名つ寺け， S. K. Mitra とともにこの一般逆行列の系統 的な分類の研究を行なっています[13]. これに関してわ が国では渋谷[6] の研究があります. §1. 種々の一般逆行列 Xが満たすべき条件として Xy が連立 一次方程式 (2) の解となるという性質を要求することは 自然でしょう.“方程式 (2) の解が存在するような任意の 右辺 にたいして Xy (2) つの解である"という 条件を満たす n,m 行列 が常に存在します.これを の一般逆行列と呼び A-であらわします. 一般に Aにたいして A-は一意的には定まりません . つづく
291:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:57:41 BJ2NNS4M.net
>>262
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。
性質
単位元である
AI = IA = A
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単位元
(抜粋)
単位元（ 英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん, 英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。
定義
(M, *) を集合 M とその上の二項演算 * のなすマグマとする。M の元 e が * に関する（両側）単位元であるとは、M のすべての元 a に対して
a*e=e*a=a
を満たすときにいう。
さらに細かく、M の任意の元 a に対して
a * e = a を満たすとき右単位元といい、
e * a = a を満たすとき左単位元という。
単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。
単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。
環などの加法と乗法のふたつの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元（しばしば 0 で表す）と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元（しばしば 1 で表す）という。
性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。
しかしマグマ (M, *) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。
このことは、実際 e1 が左単位元 e2
292: が右単位元であるならば、 e_{1}=e_{1}*e_{2}=e_{2} が成立することからわかる。 とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。 マグマ (S, *) が一つも単位元を持たないこともありうる。 つづく
293:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:58:07 BJ2NNS4M.net
>>263
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
マグマ (数学)
(抜粋)
抽象代数学におけるマグマ（英語: magma）または亜群（あぐん、groupoid）は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × M → M からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。
このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである[* 1]。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群（groupoid）と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群（groupoid）」と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。
(引用終り)
以上
294:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:31:44.76 RBrrjuJv.net
◆yH25M02vWFhP
可除性の定義
「x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(－1) ∈ K が存在する。」
と矛盾する>>251の
「５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある」
の馬鹿発言を修正すらできず沈黙死
295:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:35:33.89 RBrrjuJv.net
◆yH25M02vWFhP
零因子で発狂し零因子で自爆死
行列式、勉強しろよｗ
296:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:44:25.88 RBrrjuJv.net
「正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。」
正則行列Aは全単射となる線形写像なんだから逆写像は唯一だろう
逆写像
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。
写像 f が可逆 (invertible) であるとは、
Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件
f(x)=y ⇔ g(y)=x
を満足するものが存在するときに言う。
f が可逆ならば写像 g は一意である
（つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、
一つよりも多くも少なくもない）。
写像 g を f の逆写像と呼び、f^(－1) で表す。
別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、
その逆関係が再び写像となることである
（このとき、逆関係が逆写像を与える）。
必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、
上記の条件を適用するためには
「値域 Y の各元 y に対して、
f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」
必要がある。
この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。
f および f^(－1) がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、
これらはともに全単射となる。
297:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:51:40 RBrrjuJv.net
“逆行列もどき"
元の行列をAとしたとき
もどき行列をA'とすれば
Aの値域にあるwについて
AA'w=w となる
（Aは全射でないから）
但し一般にA'Av=vとはならない
（Aは単射とはかぎらないから）
298:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:56:06 RBrrjuJv.net
連立一次方程式で、解が無数にある場合
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってるが
そもそも方程式で定められる線形写像が単射でない
連立一次方程式で、解が存在しない存在
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってない
（方程式で定められる線形写像が全射でないため）
299:１３２人目の素数さん
20/08/13 17:03:46 RBrrjuJv.net
>>264
そこはマグマじゃなく圏を持ち出せよｗ
圏 C は以下のものからなる:
対象の類 ob(C)
対象の間の射の類 hom(C)
各射 f ∈ hom(C) には
始域と呼ばれる対象 a ∈ Ob(C) および
終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、
"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は
a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、
射の合成と呼ばれる二項演算
hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ g ∘ f
が存在して以下の公理を満足する:
結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立つ。
単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等
300:射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、 任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ∘ f = f and g ∘ 1x = g を満たす。 これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。 集合の圏 Set 対象：全ての集合 射：全ての写像 線形空間の圏 K-Vect 対象：全ての K-ベクトル空間 射：全ての K-線型写像
301:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:57:18.73 bF50UmjA.net
>>261
＜行列の右逆行列と左逆行列が一致する話（１～４）＞
１）
URLﾘﾝｸ(tad311.xsrv.jp)
大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』著者： 宮腰 忠
URLﾘﾝｸ(tad311.xsrv.jp)
n 次正方行列 A についての定理
「XA = I ←→ AX = I」の初等的証明 1）
1）【補足説明】定理：有限次数の正方行列 A に対して，XA = I（I は単位行列）を満たす行列 X が存在する
とき，それは AX = I を満たす．逆に，行列 X が AX = I を満たすとき，それは XA = I も満たす．（その
ような行列 X を A の逆行列 A
?1 という．逆行列は存在しない場合もある．XA = I を満たす行列 X を A
の左逆行列，AX = I を満たす行列 X を A の右逆行列という．したがって，この定理は「左逆行列と右逆
行列は，両者が存在するとき，それらは一致する」と言うことができる．実際の証明はそれらの存在証明
を伴う．無限次元行列については，左逆行列・右逆行列が存在しても，それらが一致するとは限らない
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
つづく
302:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:58:03.26 bF50UmjA.net
>>271
つづき
２）
URLﾘﾝｸ(www.minamiazabu.net)
南麻布広男 手のひら数学 (数学の小部屋)
URLﾘﾝｸ(math.style)
行列 教本 南麻布広男
URLﾘﾝｸ(math.style)
121018 初版
URLﾘﾝｸ(goo.gl)
行列と行列式 第 7 回
7.1 逆行列
逆行列の性質
AA?1 = A?1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
行列の場合はちゃんと成分を使って証明すべきことのようだ。
だが，それはちゃんと証明されているので，右逆行列は存在すれば，左逆行列も存在して，
かつそれは一致する，すなわち，逆行列は可換である，としてよいことにする。
つづく
303:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:59:10.64 bF50UmjA.net
>>272
つづき
３）
URLﾘﾝｸ(fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp)
大和田 拓 京都大学 工学研究科 航空宇宙工学専攻 流体力学分野
URLﾘﾝｸ(fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp)
付録１ 人には聞けない線形代数の基礎
大和田拓
京都大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻
P15
Lesson 5 逆行列
命題 2 (右逆行列) Aを n次の正方行列（ n行 n列の行列)とする． Aの列
304:ベクトル 全体が線形独立ならば， Eを n次の単位行列としてAB=E を満たす行列 Bが一意 的に存在する．このとき Bを Aの右逆行列という． 命題 3 (左逆行列) 正方行列の場合には列ベクトル全体が線形独立であることと行ベクトル全体が 線形独立であることが同値であることを命題４および５は示している．従って 右逆行列と左逆行列は同時に存在する．そしてさらに次のことがいえる． 命題 6 (逆行列) 左右の逆行列は等しい．すなわち B=D ∵ B=(DA)B=D(AB)=D. つづく
305:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:59:29.94 bF50UmjA.net
>>273
つづき
４）
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
kymst こと山下弘一郎先生
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
MathDocs 山下弘一郎先生
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
New Series, No.A-1. version Mar. 2011. 山下弘一郎先生
行列と可換性
Copy-ultra-Left. All-Rights ReVERSEd.
Article by YAMASHITA, Koichiro. Mar 07 2011
THEOREM 3.2 (余因子行列)
A ∈ M2(K) とその余因子行列 Ae について，trA = τ, det A = δ とすれば次が成り
立つ：
AA~ = δI, A + A~ = τI.
この第 2 式から，A~ = ?A + τI であるから，余因子行列 A~ は A の 1 次式で表わされ，
よって A~ と A は可換である: AA~ = A~A = δI.
逆行列の存在条件は，もはやアタリマエの事実となる：
Corollary 3.3
A の右逆行列は 1/δ A~ であるが，余因子行列との可換性によって，これは左逆行列
でもある．そこで改めて，A の逆行列 (inverse matrix) を A?1 と書く
右逆行列と左逆行列が一致するのを確かめたこと，今までにありましたか?
(引用終り)
以上
306:１３２人目の素数さん
20/08/14 07:33:59 tstI7/Nb.net
>>271-274
◆yH25M02vWFhPクンは、自習中でしたか 結構結構
ところで、写像f:X→Yに対してf^(-1):Y→Xが存在すれば
f^(-1)・f:X→X f・f^(-1):Y→Y はいずれも
XおよびY上恒等写像id_X、id_Yと一致しますが何か？
307:１３２人目の素数さん
20/08/14 07:53:55.99 tstI7/Nb.net
>>173
＞正方行列A(≠O)が零因子であるとは.
＞AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
＞（証明）
＞Aの余因子行列A~を用いて
＞AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
＞仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
＞よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です
これ、×な
まず、
＞Aの余因子行列A~を用いてAA~=|A|Eという関係式が成り立っている
は正しい
次に
＞Bとして、A~を選べばAB=Oとなり
も正しい
しかし
＞よって・・・Aは零因子です
は誤り
なんでか？
君さ、
「Aが零行列でないとき、余因子行列A~も零行列でない」
と、何の根拠もなく勝手に思い込んでるでしょ？
それ、初歩的な誤りなｗ
（最も簡単な例）
ｎを３以上とする
行列のどこか１か所だけ０の行列について
その余因子行列は零行列
一般にランクがｎ－２以下のｎ×ｎ行列で、
その余因子行列が零行列となるものが存在する
つまりこの証明は正しくない
Aが零因子⇔零行列でなくdetA=０
は正しいんだがね
さて、detA=０であり０でない行列Aについて
・AB=０となる、０でない行列B
・CA=０となる、０でない行列C
はどうやって構成できるでしょうか？
308:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:43:37.02 tstI7/Nb.net
>>277
実は、B=Cとすることができる
ヒント
ケイリー・ハミルトンの定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理、
またはハミルトン・ケイリーの定理は
（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有
309:方程式を満たす という定理である。 アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。 A が与えられた n×n 行列で、In は n×n 単位行列とすれば、 A の固有多項式は p(λ):=det(λ I_n-A)} で定義される。 ここで det は行列式をとること、 λ は係数環の元（スカラー）である。 引数の行列は各成分が λ の多項式（とくに一次式または定数）だから、 その行列式も λ に関する（n-次の）モニック多項式になる。 ケイリー–ハミルトンの定理の主張は、 固有多項式を行列多項式と見ればそれが A において消えること、 すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた結果が零行列に等しいこと、 すなわち p(A)=Oの成立を述べるものである。 注 置き換えにおいて、λ の冪は、 行列の積に関する累乗としての A の冪によって置き換わるから、 特に p(λ) の定数項は A^0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わらなければならない。
310:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:53:04.06 tstI7/Nb.net
でも、>>276の問題を解くだけだったら、
ケイリー・ハミルトンの定理使わなくてもできるけど
311:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:54:35.61 tstI7/Nb.net
逆行列の構成もケイリー・ハミルトンの定理使ってできるけど
もちろんつかわなくてもできる そういうこと
312:１３２人目の素数さん
20/08/14 16:01:42.55 tstI7/Nb.net
>>278-279
何でこんなこと書いたかというと、
訳も分からずケイリー・ハミルトンの定理の式を
馬鹿チョンで使うヤツがいるから
◆yH25M02vWFhP お前だよ、お・ま・え
313:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:32:21.15 OxWPj/ry.net
>>271 >>272 補足
(引用開始)
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
逆行列の性質
AA-1 = A-1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
(引用終り)
ここ
重要変形テク
1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
同じだが
X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y．
2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
さて
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）
この証明は、行列だから可能です
一般の代数系では、できない。（下記、松本 眞 広島大などご参照）
なので、群では、左逆元と右逆元との存在を仮定し（それは即ち、モノイドでは一致するが）、それらを公理として与えるのです（松本 眞 広島大などご参照）
つづく
314:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:32:56.30 OxWPj/ry.net
>>281
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたく
315:さんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を x * y = x + y + x^2y^2 で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。 x * y = 0 を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 環 (数学) 環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ[注 1]。 定義と導入 略 つづく
316:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:34:44.66 OxWPj/ry.net
>>282
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モノイド
単系（たんけい、英: monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
定義
集合 S とその上の二項演算 ・: S × S → S が与えられ、以下の条件
結合律
S の任意の元 a, b, c に対して、(a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c).
単位元の存在
S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e ・ a = a ・ e = a.
を満たすならば、組 (S, ・, e) をモノイドという。まぎれの虞のない場合、対 (S, ・) あるいは単に S のみでも表す。 二項演算の結果 a ・ b を a と b の積[注釈 1]と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
性質
モノイドにおいては、可逆元（あるいは単元）の概念を定義することができる。モノイドの元 x が可逆であるとは xy = e かつ yx = e を満たす元 y が存在するときにいう。y は x の逆元と呼ばれる。y および z が x の逆元ならば、結合律により y = (zx)y = z(xy) = z となるから、逆元は存在すればただひとつである[3]。
任意のモノイドが必ず何らかの群に含まれるとは限らない。例えば、b が単位元ではない場合にも a ・ b = a を満たすような二つの元 a, b をとることができるモノイドというものを矛盾なく考えることができるが、このようなモノイドを群に埋め込むことはできない。なぜなら、埋め込んだ群において必ず存在する a の逆元を両辺に掛けることにより b = e が導かれ、b が単位元でないことに矛盾するからである。モノイド (M, ・) が消約律 (cancellation property) を満たす、あるいは消約的 (cancellative) であるとは
つづく
317:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:35:10.32 OOQfjZEv.net
Dulmage - Mendelsohn分解を実装しようと思っていますが、まずは2部グラフの最大マッチングを求めるHopcroft - Karpのアルゴリズムから
実装しないといけないので大変です。
318:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:35:48.38 OxWPj/ry.net
>>283
つづき
M の任意の元 a, b, c に対し、a ・ b = a ・ c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる
という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。
消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm-n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm-n-1 が x の逆元となる。
モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す（単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない）。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。
モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ
a = a ・ a-1 ・ a かつ a-1 = a-1 ・ a ・ a-1
となる M の元 a-1 をただひとつ持つとき、M を逆モノイド (inverse monoid) あるいは山田モノイドという[注釈 5]。逆モノイドが消約的ならばそれは群を成す。
つづく
319:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:36:13.46 OxWPj/ry.net
>>285
つづき
圏論との関係
モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、
モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。
もっとはっきり述べれば、モノイド (M, ・) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 ・ で与えられる）。
これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。
この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。
モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。
また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。
(引用終り)
以上
320:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:36:37.34 OOQfjZEv.net
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
実際に応用する際には、こんな感じの疎行列に対して適用されるんですね。
321:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:38:09.65 OOQfjZEv.net
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
DM分解が何の役に立つのか正直言って分かりませんが、連立1次方程式がたしかにキレイになりますね。
322:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:39:00.26 OxWPj/ry.net
>>284
>Dulmage - Mendelsohn分解を実装しようと思っていますが、まずは2部グラフの最大マッチングを求めるHopcroft - Karpのアルゴリズムから
>実装しないといけないので大変です。
どうも
ご苦労さまです
”Dulmage - Mendelsohn分解を実装”は、すでに（既存の）実装があると思うので
そちらを参考にされるのが良いと思います
（多分、英文資料なら多くあるのでは？）
機械翻訳使えば、多少楽でしょう
323:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:40:17.49 OxWPj/ry.net
>>287-288
なるほど、かなり調査済みなんですね
頑張ってください（＾＾
324:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:40:41.07 OOQfjZEv.net
DM分解を検索するとなぜか伊理正夫系の人たちばかりがヒットします。
実はあまり役に立たない？伊理正夫がDM分解を好きだったというだけ？
325:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:04:15.25 tstI7/Nb.net
>>281-286
零因子っていわなくなったね
>>173の間違いを認めたくないなんて
どうしようもない小者だね
だから数学が理解できない馬鹿のままなんだよ
326:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:30:47.93 tstI7/Nb.net
>>286
＞モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。
＞実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、
＞圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする
＞射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。
さらに、射を同型射だけに制限すれば、群になる
射 (圏論)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、
f ∘ g1 = f ∘ g2 ならば g1 = g2 が
327:任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つこと。 全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、 g1 ∘ f = g2 ∘ f ならば g1 = g2 が 任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成り立つこと。 単射でも全射でもあるような射は 全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。 同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、 f ∘ g = idY かつ g ∘ f = idX が 成り立つものを同型射であると言う。 射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、 両者は一致して f は同型射であり、 g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。 逆射は、それが存在すれば一意である。 逆射 g もやはり同型射であり、逆射として f を持つ。 二つの対象がその間に同型射を持つとき、 それら二つは互いに同型あるいは同値であるという。 注意すべきは、任意の同型射は双射だが、 双射は必ずしも同型射ではないことである。
328:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:33:58.13 OOQfjZEv.net
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
圏論といえば、近々、以下の本が発売されます。
圏論入門 Haskellで計算する具体例から
329:１３２人目の素数さん
20/08/14 19:39:29.83 tstI7/Nb.net
正方行列の全体M_n(K)は、
線形空間K^nの自己射の全体であるから
モノイドではあるが群ではない
正則行列の全体GL_n(K)は、
線形空間K^nの自己同型射の全体であるから
群である
330:１３２人目の素数さん
20/08/14 20:01:05.91 tstI7/Nb.net
ちなみに対象が複数ある圏で、
射が全て同型射の場合、
亜群（groupoid)となる
331:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 21:04:11.93 w35QJuJk.net
>>291
>DM分解を検索するとなぜか伊理正夫系の人たちばかりがヒットします。
実はあまり役に立たない？伊理正夫がDM分解を好きだったというだけ？
伊理正夫か、懐かしいな
数値解析のレジェンドですよね
”伊理正夫がDM分解を好きだった”ではなく、あの人は、数値解析については
なんでもやった人です。DM分解も、彼の業績の一分野にすぎないでしょう
あと、DM分解は、学問的には下火のような気がする
（学問的には終わっているのでは？）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
伊理正夫
伊理 正夫（いり まさお、1933年（昭和8年） - 2018年（平成30年）8月13日）は、日本の数学者・工学者。東京大学名誉教授、元同大学工学部長・中央大学理工学研究所所長。工学博士（東京大学）。専門は数理工学、応用数学（例えば数値解析、線形計画法、マトロイド理論、計算幾何学など）。
来歴
1955年3月、東京大学工学部応用物理学科（数理工学専修コース）を卒業。1960年3月、東京大学大学院数物系研究科応用物理学専門課程博士課程を修了し、同年工学博士号を取得。
1960年4月より九州大学工学部通信工学科助手に就任し、同年12月、助教授となる。1962年10月、東京大学工学部計数工学科助教授に転任。1973年4月に教授に就任し、1993年3月まで務める。1993年5月、東京大学名誉教授となる。
1987年4月、東京大学工学部長に就任（1989年3月まで）。1989年4月より1991年3月まで東京大学総長特別補佐（副学長）を務めた。この間、1991年10月に西安電子科技大学から名誉教授の称号を授与されている。
1991年には日本応用数理学会・計算の品質研究部会（精度保証付き数値計算を扱う部会）の主査を務める（その後、大石進一に引き継がれる）[1]。
1992年から1994年まで日本オペレーションズ・リサーチ学会会長[2]。
332:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 21:10:16.19 w35QJuJk.net
>>297 補足
ご参考まで
URLﾘﾝｸ(jom.jsiam.org)
JSIAM Online Magazine
学会ノート
伊理正夫先生追悼特集(1)：伊理正夫先生を偲ぶ ―ご経歴と�
333:ｲ業績を中心に―土谷 隆 (Published Date: 2018/10/20) (抜粋) 伊理先生のご研究は数理工学・応用数理の広範な範囲に渡ります． 1960年代から1970年代には，電気回路方程式の表現法の研究から出発して 代数的位相幾何学や線形計画的手法も用いたグラフ・ネットワーク解析, 大規模システム分割の理論を展開され， さらにそれを受けて発展させる形でマトロイド理論とその工学的応用についての研究を進められる一方， 高性能の積分公式である IMT (Iri-Moriguti-Takasawa) 公式なども提案されました． 1980年代から1990年代にかけては計算幾何学のための種々のアルゴリズムの開発と地理情報処理への展開，可変指数部を持つ浮動小数点数値表現である伊理－松井方式， 線形計画問題に対する内点法の伊理－今井法，高速自動微分法の提案と実用化などの研究を進められました． このように，先生の諸分野におけるご業績は枚挙にいとまがありません． 先生はこれらのご研究を200編以上の論文として出版されました．
334:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 21:12:51.76 w35QJuJk.net
>>281 タイポ訂正
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
↓
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子でないことを認めると、
（＾＾；
335:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 21:23:54.29 w35QJuJk.net
>>281 補足
(引用開始)
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子でないことを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）
(引用終り)
ここ”左逆元 XA = E から出発しても、同様の議論で、AX＝E が成立する”
の一行を追加します
追伸
これ、院試などを受けるつもりなら、要注意点です
つまり、”逆もまた同様に成立”とか、”逆元の右左を逆にしても同様に成立つ”とか
必要な一言を、書き漏らさないよう
試験の採点では、「書いていないことには、点を出せない」ってこと
普通の定期試験なら、「こいつは分かっているんだな」と斟酌してくれるかもしれないが
院試になると、答案の名前は伏せられるので、採点者にはだれの答案か基本分からないし
採点基準通りに採点されるだろうから、普段の定期試験より、採点は厳しいだろう
（私ら関係ないけどね（＾＾ ）
336:１３２人目の素数さん
20/08/14 22:20:21.30 tstI7/Nb.net
>>300
正則行列を知らず、正方行列の群なんて書いちゃう人は
大学院なんか受けたって叩き落されますから
高卒の君、数学に興味もつなよ 無駄だから
337:１３２人目の素数さん
20/08/14 23:20:37 YSkG5ywK.net
>>214
>群・環・体
>この文脈で
>「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
>「逆元が存在するかどうかを論じてる
>たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
>だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
>なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
たまたまですねー
「単元は非零因子」は自明に成立しますが、「非零因子は単元」は一般には不成立ですからー
当たり前です。もし成立するなら「整域は体」が成立してしまいますよー
群・環・体（蟹江）をどう読んだら分かったんですかー？
>抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
無知はあなたですねー
338:１３２人目の素数さん
20/08/14 23:43:54.23 YSkG5ywK.net
瀬田に問題
有限環においては「非零因子は単元」が成立することを証明せよ
339:１３２人目の素数さん
20/08/15 06:09:08.14 SNsaKEgj
340:.net
341:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 06:38:04.77 lDTZxP5F.net
（>>154 再録）
自分の大失言を、取り繕うため、必死に他人のあら探ししてる～ｗ
意図が見え見えで、笑えるわ（＾＾
だがな、他人を攻撃しても、自分の失言は、どうしようもないよね
「自然数Ｎが、群の例？」
アホじゃん。おれと良い勝負だよｗ（＾＾；
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
342:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 06:56:39.68 lDTZxP5F.net
>>281 補足
”群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。”
英語版では、”No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).”
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。
(URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In algebra, the zero-product property states that the product of two nonzero elements is nonzero.
In other words, it is the following assertion:
If ab=0, then a=0 or b=0.)
しばしば自明でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定する[3]が、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は 1 ≠ 0 と同値[4]であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。1(≠ 0) を持つ可換域は（可換）整域と呼ばれる[5][注釈 1]。
定理 (Wedderburn)
有限域は自動的に有限体になる。
つづく
343:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 06:58:17.00 lDTZxP5F.net
>>306
つづき
零因子について（少なくとも可換環の場合には）位相幾何学的な解釈をすることができる。環 R が可換整域となるための必要十分条件は、R が被約環（つまり冪零元を持たない環）であり、かつそのスペクトル Spec R が既約位相空間となることである。前者の性質はある種の無限小の情報を保有しているとしばしば考えられ、対して後者はより幾何学的な情報を与えている。例えば、体 k 上の環 k[x, y]/(xy) は整域でない（x および y の属する類が零因子を与える）が、これは幾何学的にはこの環のスペクトルが既約でない（実際に、二つの既約成分である直線 x = 0 と y = 0 の和となる）ことに対応する。
群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。
(英語版)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(ring_theory)
Domain (ring theory)
Group rings and the zero divisor problem
No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).
(引用終り)
以上
344:１３２人目の素数さん
20/08/15 07:20:06.25 SNsaKEgj.net
>>305-307
線形代数の基礎すら知らず、任意の正方行列は正則行列だ、
などとほざく素人に環論なんか無理 諦めな
345:１３２人目の素数さん
20/08/15 07:55:42 SNsaKEgj.net
◆yH25M02vWFhPのトンデモ発言
・任意の正方行列は正則行列（正方行列全体は群を成す）
・detA=0なるAが零行列でなければ、余因子行列A~も零行列でない
(detA=0なるAが零行列でなければ零因子のニセ証明）
結局逆行列を持つ条件(行列式が０でない）も知らず
余因子の性質すら理解していない
ほんとに大学出たの？ 線形代数全く知らないよね？
346:１３２人目の素数さん
20/08/15 08:14:03 SNsaKEgj.net
T大シラバス
線型代数学?
線型代数学の萌芽である行列は多変数の連立一次方程式を効率的，統一的に扱う手法として発明された．
また，行列式は方程式の解がただ一つ存在するための条件として発見された．
ベクトルの概念の起こりは古典力学にあり，その意味で線型代数学の歴史は古い．
しかし行列の本質である線型性概念の真の威力が認識され，数学の一分野と
して線型代数学が確立したのは新しく，20 世紀にはいってのことであった．
自然界や社会科学における現象は一般には複雑で一次方程式で表せることはまれだが，
一次近似によりその本質的な部分をとらえることは常套手段であり，
線型代数学の考え方は非常に有効である．
また，量子力学や，フーリエ解析などに現れる無限次元のベクトル空間を扱うための基礎ともなっており，
線型代数学の応用については枚挙にいとまがない．
このように，線型代数学の考え方は現代数学や理論物理学においてはもちろんのこと，
工学，農学，医学，経済学などにおいても基本的な考え方として浸透しており，応用範囲も広い．
線型代数学は理論的には単純で明快であるが，その反面，抽象的な概念操作にある程度慣れないと理解しにくい面もある．
線型代数学を身につけるには，演習などのさまざまな問題にあたり，理解を深めることが必要である．
「数理科学基礎」において学んだ線型代数に関する知識を前提とする．
S2 タームの「線型代数学?」で以下の項目 1, 2 を扱い，
A セメスターの「線形代数学?」で項目 3～6 を扱うことを目安とするが，
担当教員によって，順序や内�
347:eに一部変更が加えられる場合がある． 1. ベクトル空間，線型写像 2. 生成系，一次独立性，基底 3. 内積 4. 行列式 5. 固有値，固有ベクトル 6. 対称行列の対角化と二次形式 --- ホラ！！！ 全部大学1年でやることじゃん しかもこれ理?、?、?共通だから 数学科だけじゃない理学部・工学部・農学部・薬学部・医学部共通の常識 知らない奴は・・・大卒じゃなぁぁぁぁぁい！
348:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 10:54:14.98 I4zLJ0eW.net
>>300 補足
モノイドの場合は、下記 花木章秀 信州大 問題 22で
二つの元 fとgzで
gz・f = idS （単位元。 問題では idN と書いてあるが、解答と不一致となっているのは、ご愛敬です（＾＾； ）
一方、 f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
なるほど、なるほど（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22. A を 1 を単位元とするモノイドとする。
a ∈ A に対して、b ∈ A が a の 左逆元であるとは、ba = 1 となることとする。
また b が a の 右逆元であるとは、ab = 1 となることとする。
A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を f(a) = a + 1 で定める。
f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。
また、z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める。
gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。
(解答)
代数入門問題集・解答例と解説 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P15
22. h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。
よって f は右逆元をもたない。
k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である。
よって gz は左逆元をもたない。
すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
(引用終り)
以上
349:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 11:15:07.05 I4zLJ0eW.net
>>300 補足
>>311のように、モノイドでは
gz・f = idS （idSは単位元）
でも
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）となる
例が存在する。
では、群ではどうか？
>>300より
AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)
において
群では、最低限、右又は左逆元の存在が保障されているから
例えば、XAの右逆元をXA^-1R として、これを右からかけると
上記左辺は、(XA)(XA^-1R)＝E
上記右辺は、(XA)(XA)(XA^-1R)＝(XA){(XA)(XA^-1R)}＝XA
よって、E＝XA （即ち、XA＝E ）
よって、Aの右逆元Xが存在すれば、それは左逆元でもある
同様に、（群の場合）左逆元Xから、それが右逆元であることも、導ける
以上
350:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 11:41:41.02 I4zLJ0eW.net
>>312 タイポ訂正
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)
↓
XA＝XEA＝X(AX)A＝(XA)(XA)
X(AX)Aがダブりだったな（＾＾；
351:現代数学の系譜 雑談
20/08/15 17:41:47.43 I4zLJ0eW.net
>>311 トリビア蛇足
花木章秀 信州大より
モノイドの場合
gz・f = idS （単位元）
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
１）まず
A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする
f ∈ A を f(a) = a + 1
z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定めている
２）22の解答にある 「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」
これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nで は、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明
３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す
ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない
gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない）
つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます
（なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です
４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！
５）同じ論法で、>>311の「k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である」も言える
６）花木解答に記載の「gz・f = idS」は、上記３）で述べた通りです
f・gzはどうかと言えば、gz：N→Nでzのところがダブりですが、像はNそのものなのです。そして、f：N→N+1で、その像は 1 は集合N+1に含まれないので、「f・gz ≠ idS」という花木解答です
トリビア蛇足でした
これは、自分では思いつかないね
（実際、gz・f = idS → f・gz ＝ idS が証明できないかを（モノイドなどにおいて）考えてみたが、出来なかった。反例があるんだね。思いつかなかったな）
（＾＾；
352:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 06:45:48.04 0IMtsn2Y.net
>>311 トリビア蛇足の追加
>花木章秀 信州大 問題 22
>すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
>これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
"gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める"
で、”=z (a = 1)”で、変数zを導入しています
つまり、zは、自然数であれば、なんでも良いわけです
なので、これが「一意的ではないことも分かる」に、つながります
そして、gz(a)は、群の元には成れない
f(a)も、群の元には成れない
この例は、秀逸ですね
覚えておくと良いと思います
ちょっと自慢できそう
353:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:54:03.99 2xkr/j04.net
>>314-315
行列式は難しくて無理かい？
それじゃ工学部も卒業できないね
354:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:57:09.06 2xkr/j04.net
A は n×n 行列
A の ij 成分を aij と書く
行列式は以下の式で定義される
「行列式1」
detA=買ﾐ∈Snsgn(σ)∏i=1naiσ(i)=買ﾐ∈Snsgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)
σ は 1 から n の置換（順列）を表す。
買ﾐ∈Sn は，「n 次の全ての置換に関して和を取る」ことを表す。
sgn(σ) は置換の符号を表す。
奇置換なら－1，偶置換なら+1 。
355:１３２人目の素数さん
20/08/16 06:58:39.77 2xkr/j04.net
>>317のように行列式を定義すると，
以下の3つの性質が成立する。
「行列式2」
性質1：単位行列 I に関して detI=1
性質2（交代性）：i 列と j 列を交換すると行列式は－1 倍される
性質3（多重線形性）：一つの列以外固定して一つの列の関数と見たときに線形性が成立する。
逆に上記の3つの性質を満たす関数は行列式のみ。
つまり行列式とは上記の3つの性質を満たすものと定義することもできる。
356:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:53:53.39 0IMtsn2Y.net
>>251 補足
(>>214-215より、引用開始)
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
（おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)
＜さて、もう一度纏める＞
１）下記零因子の定義より、aが左零因子で（a≠0で） ax=0 となる x≠0 が存在するとして
もし、aが左逆元 a^-1L を有し、(a^-1L)(a)＝I(単位元)となれば、左から(a^-1L)を ax=0に掛けて
x=0が得られ、x≠0に矛盾する。よって、「aが左零因子」と「aが左逆元 a^-1L を有す」は、両立しない
（同様、「aが右零因子」と「aが右逆元 a^-1R を有す」は、両立しない）
２）さて、積演算が可換な場合は、左右の区別がなく、「aが零因子」と「aが左逆元 a^-1L 又は右逆元 a^-1R を有す」は、（左右どちらも）両立しない
３）さらに、群では、逆元には左右の区別がないので（逆元は左右どちらも同じ）、従って、aの逆元の存在と、「aが左零因子」又は「aが右零因子」とは、（左右どちらも）両立しない（>>312-313）
４）モノイドや、マグマになると、群とは異なる現象がおきる（下記松本、花木）
５）正方行列の場合も、３）同様である。それらは、行列や行列式の理論から、諸結果を導くことも可能だが、多くの部分は抽象代数学の一般的な群、環、体の理論から導くことも可能である(>>281)
６）なお、下記「非可換整域 wikipedia」の”群環と零因子問題（カプランスキーの零因子予想）”というのがあって、「様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている」、「今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2017年現在）」です
まあ結局、”「零因子」と、「逆元を持つ」とは、密接な関係がありま～す”！！
つづく
357:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:54:36.71 0IMtsn2Y.net
>>319
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を
x * y = x + y + x^2y^2
で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。
x * y = 0
を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。
つづく
358:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:55:35.78 0IMtsn2Y.net
>>320
つづき
（>>314-315も、ご参照）
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22.など
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。
群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 - g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。
つづく
359:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 07:56:02.99 0IMtsn2Y.net
>>321
つづき
(英語版)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(ring_theory)
Domain (ring theory)
Group rings and the zero divisor problem
No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).
(引用終り)
以上
360:１３２人目の素数さん
20/08/16 08:48:06.53 2xkr/j04.net
なんか、素人って＊＊の一つ覚えで「群・環・体」とかいうけど
たかが線形代数すらロクに理解できないレベルで
そんな呪文唱えても意味ないだろｗ
現に
「detA=0でAが零行列でないなら、
余因子行列A~ も零行列でない！」
とトンデモ発言してるし
行列式そして余因子の計算が分かってたら
反例なんか速攻三秒で思いつくぞｗ
361:１３２人目の素数さん
20/08/16 08:51:31.33 2xkr/j04.net
整数全体は環であり整域である
一方で、乗法における可逆元は１とー１だけである
つまり一般の環において、
「可逆元でないから零因子である」
とはいえない（ビシっ）
362:１３２人目の素数さん
20/08/16 08:58:02.62 2xkr/j04.net
>>324
せいぜいいえるのは、一般の環では
「零因子なら可逆元ではない」
という程度である
もし、一般の環で
「可逆元でないなら零因子である」
がいえるなら、以下が成り立つ
「整域は体である」（ドヤ顔）
うひょー！整数って体なのか！
２ｘ＝１となる整数ｘってあるんだ！
大発見だ、ぜひ教えてくれ！！！
363:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 09:26:30 0IMtsn2Y.net
(
364:target="_blank">>>214-215より、引用開始) 群・環・体 この文脈で 「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります （おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる たまたまそれが零因子でないという性質と同値である だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178） ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!! 。 。 。 ｡ 。 。 ﾟ 。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。 / ／/ ／ ／ ( Д ) Д)Д)) それって、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾； 知る人ぞ知る 常識と言えば、常識かもね この人は、抽象代数学に、無知ってことですね～ ＷＷＷＷＷ（＾＾； ｗｗｗｗｗ（＾＾； アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
365:１３２人目の素数さん
20/08/16 09:34:43 2xkr/j04.net
＞それって、”たまたま”でないことは、
＞ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること
いや分からないよｗ
だって「零因子でなければ可逆元」って反例あるじゃん
整数環という実に基本的な反例がｗ
＞この人は、抽象代数学に、無知ってことですね～ ＷＷＷＷＷ
いやいや 抽象代数学に無知なのは君だよ、き・み
たまたま行列で成り立つからって、
一般の環でも成り立つと思うのがアホｗ
366:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 09:40:38 0IMtsn2Y.net
（>>131より）
(引用開始)
「例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
367:１３２人目の素数さん
20/08/16 09:46:21 2xkr/j04.net
>>328
誰？ｗ
あのな、なんでみんなコテハン＆トリップ使わないか分かってないだろ
おまえみたいな馬鹿はどうせ次から次へと間違うだろ？
そのときおまえみたいにコテハン＆トリップ使ってるとこういわれるんだよ
「ああ、あの馬鹿また間違ったｗｗｗ」
おまえさあ、もう微積分も線形代数も分かってないんだから
いいかげん最先端の数学にむやみに食いつくのはやめて
地道に大学１年の微積分と線形代数からやり直せよ
368:１３２人目の素数さん
20/08/16 12:07:24.85 faNNmqdx.net
>>326
>群・環・体
>この文脈で
>「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
一般の環で
・「単元は非零因子」は成立
・「非零因子は単元」は不成立
は理解できましたかー？
キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？
そこが曖昧だと有るとも無いとも言えない、つまり今回もキミの主張はナンセンスってことですねー
369:１３２人目の素数さん
20/08/16 13:20:52.20 FmVE4ps5.net
Euler Maclaurin formulaをやさしく説明したサイトを紹介してください。
370:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 13:24:31.22 0IMtsn2Y.net
>>330
>キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？
説明しましょう（＾＾
そもそも、私が>>149で、下記を発言したのです
(引用開始)
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
URLﾘﾝｸ(www.geisya.or.jp)
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
零因子
(引用終り)
そこで、おサルが、>>160で下記発言
(引用開始)
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ
おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)
で、私は>>169で下記反論をした
(引用開始)
>>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；
(引用終り)
まとめると、出発は、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係だよ
で、この時点で、おサルは、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係を知らなかった
（”なんかまたトンチンカンなこといってるな 零因子の話なんかまったくしてないぞ”でしたねｗ）
でも、両者は同値（>>200ご参照）
で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(kanielabo.org)
エッセイの部屋
URLﾘﾝｸ(kanielabo.org)
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
(引用終り)
以上
371:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 13:25:21.04 0IMtsn2Y.net
>>329
>誰？ｗ
>あのな、なんでみんなコテハン＆トリップ使わないか分かってないだろ
しらばっくれてｗ
ばれていないつもりか？ｗｗ
”誰？”って、お前のこと�
372:ｾよ！ みんな分かっているんだよ～！！ ｗｗｗ（＾＾；
373:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 13:35:21.12 0IMtsn2Y.net
>>331
易しくないかもしれないが
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
オイラーの和公式
オイラーの和公式(オイラー・マクローリンの公式、英: Euler?Maclaurin formula)は級数の和を与える公式である[1]。この公式は収束の遅い無限級数の和を求めるときに便利であるが、{\displaystyle f(x)}f(x)が多項式であるような場合を除き、{\displaystyle m\to \infty }{\displaystyle m\to \infty }とすればベルヌーイ数が急速に大きくなって発散する。従って、漸近展開のように発散する前の適当なところで打ち切らなければならない。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euler?Maclaurin formula
URLﾘﾝｸ(people.csail.mit.edu)
18.704 Seminar in Algebra and Number Theory Fall 2005
Euler-Maclaurin Formula
Prof. Victor Ka?c Kuat Yessenov
374:１３２人目の素数さん
20/08/16 13:50:41 faNNmqdx.net
>>332
>でも、両者は同値（>>200ご参照）
>で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾
成立しません。分かり易い反例は整数環。
>URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
>数学の代数学について
>sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
>可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
>(引用終り)
>以上
「単元は非零因子」なのだから同時に成り立たないのは当たり前。
しかしそれだけでは逆「非零因子は単元」は言えないことは分かりますかー？
375:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:02:06 FmVE4ps5.net
>>334
ありがとうございました。
376:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:22:06 2xkr/j04.net
>>332
なんだ、このバカ、まだ>>200の証明の誤りに気づけないんだ
＞１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
然り
（上記１を式変形して）
＞２．A・t[Aij] ＝|A| E（正則行列を含む全正方行列の場合）
然り
＞３．正則行列とは、|A|≠0
＞（行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
然り
＞つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
＞上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
誤り
まず、行列環の場合（注:一般の環では決して成立しない！）
行列の性質により（注：だから一般の環では成立しない！）
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」
し・か・し、|A|=0の場合の
A・t[Aij] ＝Ｏ （Ｏは零行列）
では、Aが零因子であることの証明にはならない
な・ぜ・な・ら、Aが零行列でなくても
t[Aij]が０行列となる場合があるから
たとえば行列
（１ １ １)
（１ １ １）
（１ １ １）
はどうみたって零行列ではないが
余因子行列を計算すれば零行列になる
ウソだと思うなら計算してみろｗｗｗ
◆yH25M02vWFhPは線形代数の基礎も分からん馬鹿
大学１年からやり直せ 微積分も線形代数も分からん数盲、いや論理盲め
377:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:32:31 2xkr/j04.net
正則でなくしかも零行列でない行列Aが零因子となることを示すのに
ケイリー・ハミルトンの定理のような高尚な定理を使わなくてもできる
ｎ×ｎ行列Aについて、行および列の入れ替えで、
ランクｍ（０＜ｍ＜ｎ）の場合、
０でない成分が、ｍ×ｍ部分にだけ存在する
階段行列に変えられる
上記の行列は、（ｎ－ｍ）×（ｎ－ｍ）部分にだけ
０でない成分が入った行列Bとの積が零行列になる
あとは、Bに対して、Aを階段行列にするのに実行した
行および列の入れ替え操作の行列（どれも正則）の
逆行列を掛ければ
AC＝０ DA=0
となるような行列C,Dが構成できる
エレガントさの欠片もないがｗ 証明としては十分だろう
378:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:36:06 2xkr/j04.net
>>338 追記 線形代数を知ってる人にはいわずもがなのことだが ｎ×ｎの正則行列 ランクｎ 零行列 ランク０ ランクｎ－２以下の場合、余因子行列が零行列になるものがある
380:１３２人目の素数さん
20/08/16 14:42:45.70 2xkr/j04.net
◆yH25M02vWFhPクンよお
整数環で０、１、－１以外の
２，３，４，５，・・・
－２，－３，－４，－５，・・・に
乗法逆元（もちろん整数、したがって１／２とかはNG！）が
あるというなら示してくれｗｗｗｗｗｗｗ
ホント、自然数が群とかいうのと同じくらい白痴だな
あれもお前の発言だろ、ばぁぁぁぁぁかｗｗｗ
381:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 15:11:03.43 0IMtsn2Y.net
ピンチになれば、複数ｉｄ使い分け
分り易いやつだな（＾＾；
382:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 15:11:41.38 0IMtsn2Y.net
>>336
どういたしまして（＾＾
383:１３２人目の素数さん
20/08/16 15:23:09 2xkr/j04.net
>>341
妄想乙
>>200の証明の誤りは理解できたか？この落ちこぼれ大馬鹿野郎ｗ
384:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:16:25.87 0IMtsn2Y.net
>>294
遅レスすまん
見た
目次を見た感じだが
面白そうだね
385:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:32:27.56 0IMtsn2Y.net
(>>274より)
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
MathDocs 山下弘一郎先生
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
New Series, No.A-1. version Mar. 2011. 山下弘一郎先生
行列と可換性
Copy-ultra-Left. All-Rights ReVERSEd.
Article by YAMASHITA, Koichiro. Mar 07 2011
(抜粋)
P16
1858 年の『ロンドン王立協会哲学紀要』(Philosophical Transactions
of Royal Society of London, vol.148) に，Cayley は “A Memoir on the Theory of Matrices” という
論文を発表した8．
行列，matrix (pl. matrices) という用語が使われたのも，この論文が最初である．その中で Cayley
は，後日彼の名を冠せられることになる定理を，(kymst にはそう読めるのだが，かなりハイになって)
... I obtain the remarkable theorem that any matrix whatever satisfies an algebraical
equation of its own order,...
として明らかにする (p.476)．ただし，証明は 3 次正方行列で止めて，p.483 で
(... but) I have not thought it necessary to undertake the labour of a formal proof of
the theorem in general case of a matrix of any degree.
としてスッポカス．証明を与えたのが，もう一人の方，Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) で
あった ... ということで，ここまでにしておこう．
8The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, vol.2(1889), pp.475-496 に再録されている．Pdf file が
Michigan 大学の図書館から down load できる (URLﾘﾝｸ(quod.lib.umich.edu)). Figure 1 は，その p. 491 から転写した．
（参考：上記と別サイトから（いまどき検索すれば、ヒット
386:する場合多い）） https://www.jstor.org/stable/pdf/108649.pdf A Memoir on the Theory of Matrices Author(s): Arthur Cayley Source: Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 1858, Vol. 148 (1858), pp. 17-37 Published by: Royal Society
387:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:46:46.85 0IMtsn2Y.net
>>345 補足
行列式については、日本の和算家たちも、研究しているね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
歴史
西洋で行列式が考えられるようになったのは16世紀であり、これは19世紀に導入された行列そのものよりも遥かに昔に導入されていたことになる。また、数を表の形に並べたものや、現在ガウス（・ジョルダン）消去法と呼ばれているアルゴリズムは最も古くには中国の数学者たちによって考えられていたことにも注意する必要がある。
行列式に関する最初期の計算
楊輝(中国、1238年?～1298年)は『詳解九章算術』で数字係数の二元連立一次方程式の解をクラメルの公式の形で、行列式的なものを含んだ形で与えている。 また1545年にジェロラモ・カルダノは、著書 Ars Magna の中で同じく2×2の場合のクラメルの公式を与えている。この公式は regula de modo（ラテン語で「様態に関するの規則」の意味）と呼ばれている。 彼らは「行列式」を定義したわけではないが、その概念の萌芽をみてとることができる。
高階の行列に関する行列式
高階の行列に関する行列式の定義はそれから百年ほどたって日本で和算の関孝和、田中由真、そしてドイツのライプニッツによりほとんど同時にかつ独立に与えられた。
ライプニッツは数多くの線型方程式系を研究していたが、その頃は行列記法がまだなかったので、彼は未知数の係数を、現在のような ai,j のかわりに ij のように添字の対によって表現していた。1678年に彼は3つの未知数に関する3つの方程式に興味を抱き、列に関する行列式の展開式を与えている。同じ年に彼は4次の行列式についても(符号の間違いを別にすれば)正しい式を与えている。
一般的な行列式
関孝和は、最初の手稿からやや後の『大成算成』（建部賢明、建部賢弘と共著、執筆は1683年（天和3年） － 1710年（宝永7年）頃）で、第一列についての余因子展開を一般の場合について正しく与えている。
つづく
388:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 17:47:15.94 0IMtsn2Y.net
>>346
つづき
ヨーロッパにおいても、行列式の理論は日本の場合と同じく（一次ではなく）高次の代数方程式の変数消去の研究のために発展した。
今日の determinant（決定するもの）に当たる言葉が初めて現れたのはガウスによる1801年の Disquisitiones Arithmeticae である。そこで彼は二次形式の判別式（今日的な意味での行列式の特別な例と見なせる）を用いている。彼はさらに行列式と積の関係についても後少しのところまでいっている。
現代的な行列式の概念の確立
現代的な意味での行列式という用語はコーシーによって初めて導入された。彼はそれまでに得られていた知識を統合し、1812年には積と行列式の関係を発表している（同じ年にビネも独立に証明をあたえていた）。コーシーは平行して準同型の簡約化についての基礎付けの研究も行っている。
1841年に「クレレ誌」で発表されたヤコビの3本の著作によって行列式の概念の重要性が確立された。ヤコビによって初めて行列式の計算の系統的なアルゴリズムが与えられ、またヤコビアンの概念によって写像の行列式も同様に考察できるようになった。行列の枠組みはケイリーとシルベスターによって導入された。ちなみにケイリーは逆行列の公式を確立させており、行列式の記号として縦棒を導入したのも彼である。
行列式の理論は様々な対称性を持つような行列についての行列式の研究や、線型微分方程式系のロンスキー行列式など数学の様々な分野に新たに行列式を持ち込むことが追究されている。
(引用終り)
以上
389:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 19:44:12 0IMtsn2Y.net
>>200 補強
(引用開始)
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
(>>184より)
URLﾘﾝｸ(oguemon.com)
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(引用終り)
追加参考
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
福井 敏純
埼玉大学 大学院理工学研究科
数理電子情報専攻 数学コース
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
講義関連 福井 敏純
URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp)
線形代数学講義ノート
福井 敏純
2020 年 3 月 23 日
(抜粋)
P20
1.2.4 逆行列
AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表
す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列
Y が存在すればそれは X に等しい．
Y = Y (AX) = (Y A)X = X
A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）．
X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1
実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す．
逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という．
例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である．
Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである．
*3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる．
つづく
390:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 19:45:18 0IMtsn2Y.net
>>348
つづき
定理 1.2.12 (積の逆行列). 正方行列 A, B に逆行列 A^-1
, B^-1 が存在するとき積 AB に
も逆行列が存在し，それは次で与えられる．
(AB)^-1 = B^-1A^-1
第 2 章 行列式 27
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
P44
2.4 積の行列式
2.4.1 積の行列式
行列式に関する次の定理は基本的である．
定理 2.4.1 (積の行列式). n 次正方行列 A = (ai,j ), B = (bj,k) に対し
det(AB) = det(A) det(B).
系 2.4.2. 正方行列 A が逆行列をもつ必要十分条件は det(A)≠ 0.
証明. det(A) ≠ 0 ならば逆行列が存在する事は既に見た（定理 2.3.7）．A が逆行列 A^-1
をもてば1 = det(E) = det(AA^-1) = det(A) det(A^-1)
よって，det(A)≠ 0.
この証明より det(A^-1) = 1/det(A) も分かる．
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
7 行列式の性質
7.1 固有値との関係
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Determinant
(引用終り)
以上
391:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 20:22:19 0IMtsn2Y.net
>>348-349 補足
＜行列式の視点から、行列では「可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たない」は、簡単に見える＞
まず、下記を３点を認めましょう
・det(AB) = det(A) det(B).
・逆行列 A^-1で、det(A^-1) = 1/det(A)
・（逆行列の一意性）：A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない
こ
392:の３点を認めると １）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので ２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く） だから、１）と２）とが、同時には成り立つと ・AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、 ・A^-1AX＝0→X＝0となる。これは、 X≠0に矛盾 ・よって、「１）と２）とは、同時には成り立たない」は、ほぼ自明です そもそも、”零因子AX＝0”と、”逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E”とは、水と油みたいなものです（＾＾ 行列Aで、逆行列の存在と、零因子AX＝0の成否とが、 密接に関連していることは、 大学の数学教程を学べば常識でしょうね～ｗｗ（＾＾； （>>332より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413 数学の代数学について sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo 可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
393:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/16 20:29:43 0IMtsn2Y.net
>>349 コピーミス訂正
（まあ、原文 URLﾘﾝｸ(www.rimath.saitama-u.ac.jp) 線形代数学講義ノート を見て下さい）
誤：
P42
2.3.3 余因子行列
定理 2.3.7
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
↓
正：
P42
2.3.3 余因子行列
正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である．
定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E
証明 略
系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ≠ 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し
それは次式で与えられる．
A^-1 =1/det(A) A*
証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い．
394:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 21:43:38.57 0IMtsn2Y.net
>>350 補足
そうそう、行列式でしたね（＾＾；
１）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので
２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く）
↓
これを、行列式で書くと
１）零因子なら、｜A｜｜X｜＝0（数の零）、但し A≠0、X≠0
２）逆行列 ｜A｜｜A^-1｜＝1（数の1）
で
・｜A｜｜X｜＝0より、｜A｜＝0 又は｜X｜＝0 （両方0もある）
・｜A｜｜A^-1｜＝1 より、｜A｜≠0であり、上記より｜X｜＝0
が出ます
さて、”｜A｜≠0なら、Aは逆行列を持つ”を認めると
>>350で示した通り
AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、(A^-1A)X＝0→X＝0となり、これは、 X≠0に矛盾
一方、AX＝0（零行列）、但し X≠0 を認めるなら
行列Aは逆行列を持てず、即ち、｜A｜＝0にならざるを得ない
つまり、「零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0」 なら、｜A｜＝｜X｜＝0 成立です
たったこれだけのことですが、
”行列式”というメガネを通すと、すっきり見えてくる部分が多いのです
そして、正方行列Aで、行列式｜A｜＝0なら、逆行列を持つことができず（∵”｜A｜｜A^-1｜＝1”が不成立だから）
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
が、すっきり見えてくるでしょう！ （＾＾
395:現代数学の系譜 雑談
20/08/16 21:46:52.31 0IMtsn2Y.net
>>352 タイポ訂正
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない
↓
逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れず、よって零因子も持てない＆成れない
分かると思うが（＾＾；
396:１３２人目の素数さん
20/08/17 06:59:49 lbRpX4Uh.net
>>348-353
肝心なことが分かってませんね
今、あなたに対して指摘されているのは
「逆行列を持てば零因子ではない」ではなく
「逆行列を持たなければ零因子」に対する
あなたの証明の誤りです
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
これ 余因子が分かっていたら明らかですよ
397:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:03:50 lbRpX4Uh.net
>>354
しかしながら、余因子行列のような馬鹿チョン技に頼らず
A≠O かつ |A|=0
から
DA＝O、AC＝O、で C≠O、D≠O
となる行列C,Dが具体的に構成できることは
>>338で示されている通りです
大学1年の線形代数からやり直そうね ボク
398:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:14:23 lbRpX4Uh.net
>>355
ついでにいうと、上記のC,Dは一意的でないことも
線形代数が分かってる人なら常識だろう
399:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:27:42 lbRpX4Uh.net
馬鹿「一つの例で群が分かったと思うのはアサハカ
自然数の全体が群とか言って喜んでるのはアホ」
阿呆「バカ、０以外の自然数には加法逆元がないだろｗ
ところで、乗法逆元は零因子でないことと同値
環論から証明できる」
馬鹿「アホ、整数には零因子はないが、逆元があるのは１と－１だけだぞ
整数を自然数と云い間違えるのとはわけが違うよ
思い込みで口から出まかせ行ったらトンデモになりさがるぞ」
400:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 07:37:56 TRrMkJI/.net
>>311 >>314 補足
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
(抜粋)
A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を
401:f(a) = a + 1 で定める。 f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。 また、z ∈ N に対して gz ∈ A を gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) で定める。 gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。 (解答) 略 (引用終り) さて、この(解答)を少しひねって、 ”右逆元も左逆元も、もたない例”を考えてみた z ∈ N に対して hz ∈ A を hz(a) =a + 1 (a >= 2) or =z (a = 1 但し、zは、z>2なるある自然数 ) で定める hz は、右逆元も左逆元も、もたない ∵ 花木解答の通り、hzは全射でもなく、単射でもないから。詳細は、>>311 >>314をご参照
402:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:42:48 lbRpX4Uh.net
>>358
◆yH25M02vWFhP
「一般の環で、零因子でない⇔逆元あり」
の誤りに反論できず
403:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/17 07:42:52 TRrMkJI/.net
>>354
(引用開始)
つまり行列Aについて
A≠O かつ |A|=0
というだけでは、余因子行列~Aについて
A~≠O
とはいえない、ということ
(引用終り)
同意ですけど
常識ですけど
「言える」なんて
一言も言っていません
あなたの脳内の幻聴ですよ
お薬が不足していたようですね
飲み忘れに気を付けましょう～！！ｗｗｗ（＾＾
404:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:44:46 lbRpX4Uh.net
整数環であきらかなように、乗法逆元もないが零因子もない元（例えば２）はある
405:１３２人目の素数さん
20/08/17 07:49:10 lbRpX4Uh.net
>>360
＞同意ですけど
やっと理解したかね？
＞常識ですけど
いやいや、君、知らなかったよね？
＞「言える」なんて一言も言っていません
言えないなら、ドヤ顔で>>200を書いたりせんけどな
君、明らかにA≠OならA~≠Oに決まってると
何の根拠もなく思い込んでたよね
「Aが正方行列ならA~/|A|は逆行列だ」
と迂闊にも思い込んでたように
線形代数の理屈を全く理解せず
ただただ公式を暗記すれば誤魔化せると
なめた態度をとった結果がこのザマｗ
406:現代数学の系譜 雑談
20/08/17 10:35:16.03 YzHCxD9t.net
この話、元々は、>>129の
日曜数学者 tsujimotter 氏
数学ガールの有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
有名なキャッチフレーズ 《例示は理解の試金石》
”抽象 ←→ 具体例 ”
から始まったのです
（>>130-131より）
(引用開始)
「例が１つだけだと確実に間違う
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
で唯一の例を根拠に「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿」(>>130)
って、自然数Ｎが、群の例？
ああ、wikipedia 「自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである」
を誤読したか？
ｽﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟﾎﾟｰﾝ!!!
。 。
。 ｡ 。 。 ﾟ
。 ｡ﾟ。゜。 ﾟ｡ 。
/ ／/ ／ ／
( Д ) Д)Д))
アホじゃん。おれと良い勝負だよなｗ（＾＾；
ってこと
おサルは、群の具体例で、自然数→”「群の演算は可換！」とか言いきったら馬鹿”と言い出したのです
それをからかったら、むきになって、誤魔化そうと、他人を攻撃してきたのですｗｗ
だが、ディベートは知らず
数学では、他人を攻撃しても、自分の失言を帳消しにすることはできない（これは古代ギリシャからの教えですｗ）